Sistema Polar

Materia: Graficación

PRÁCTICA: 7

PRÁCTICA 7

Gráficas polares.

Objetivo.- Al finalizar la práctica el alumno será capaz de graficar las funciones polares propuestas de acuerdo a los comandos apropiados y visualizarlas de manera individual y luego con el comando subplot.

Introducción.- En este apartado el alumno buscara la información necesaria referente al contenido de la práctica, en por lo menos 3 citas bibliográficas.

Marco teórico

El Sistema Polar

El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud “r” que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r, θ), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto.

Se deducen las siguientes transformaciones:

De rectangulares a polares

r=√x2+ y2

θ=arctg yx

De polares a rectangulares

x=r cosθ

y=r senθ

Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes.

Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama “Eje Polar”, al eje vertical se lo llama “Eje 2π”. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama “Polo”.

FIG A Plano polar

Una ecuación en coordenadas polares se representa de la forma r = f (θ). Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, se debe obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar.

En MATLAB se utiliza el comando polar para dibujar un gráfico en coordenadas polares. Este comando tiene la siguiente sintaxis:

polar ( theta , radio , Especificacionde linea )

Donde theta y radio son los vectores cuyos elementos definen las coordenadas de un punto que se van a representar. En el comando polar dibujamos los puntos sobre la rejilla especial ideada para representar coordenadas polares. Los especificadores de línea son los mismos que los utilizados en el comando plot. Para representar una función r=f (θ) en un dominio dado, primero se debe crear el vector θcon los vectores deseados, y a continuación el vector correspondiente a los vectores f (θ ) . Utilizando operaciones elemento a elemento. A continuación solo resta utilizar dos vectores en el comando polar. Por ejemplo para representar la

función r=3cos2 (0.50 )+θ para 0≤θ≤2 π , se utilizan los siguientes comandos.

>>t = linspace (0,2*pi, 200);

>>r = 3*cos (0.5*t). ^2+t;

>>Polar (t, r)

Desarrollo

Introduzca los comandos vistos en clase teórica para cada una de las funciones propuestas. Cambia el color del fondo de la grafica, los colores y el tipo de las líneas de las graficas polares obtenidas.

Poner 4 graficas en una sola pantalla por medio del comando subplot qué ya has usado en prácticas anteriores.

Función N°1:r=2θ

Códigor=2θ

>> teta=linspace(0,8*pi,200);

>> r=2*teta;

>> polar(teta,r);

Edición a color

Función N°2: sin(2θ)∗cos(2θ)

Código sin(2θ)∗cos(2θ)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=sin (2*teta).*cos(2*teta);

>> polar(teta,r);

Edición a color

Función N°3:r=cos2θ

Código r=cos2θ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=cos(2*teta);

>> polar(teta,r);

>> title('Cos 2ѳ')

>> title('Cos 2TETA')

Edición a color

Función N ° 4: 2+2cosθ

Código 2+2cosθ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=2+2*cos(teta);

>> polar(teta,r);

Edición a color

Función N° 5: 4 senθ

Código 4 senθ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=4*sin(teta);

>> polar(teta,r);

Edición a color

Función N° 6: 2+2 senθ

Código 2+2 senθ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=2+2*sin(teta);

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N° 7: r=2+4 cos θ

Código r=2+4 cos θ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=2+4*cos(teta);

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N° 8: 2∗sen2θ

Código 2∗sen2θ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=2*sin(2*(teta));

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N° 9: r=4 (1−senθ)

Código r=4 (1−senθ)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=4*(1-sin(teta));

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N°10: r=8cos3θ

Código r=8cos3θ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=8*cos(3*teta);

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N° 11: r=−6(1+cos θ)

Código r=−6(1+cos θ)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=-6*(1+cos(teta));

>> polar(teta,r);

Edición color

Función N°12: r=2+4 senθ

Código r=2+4 senθ

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

>> r=2+(4*sin(teta));

>> polar(teta,r);

Edición color

Graficas 1-4 Con subplot

Código

>> subplot(2,2,1)

>> teta=linspace(0,8*pi,200);

r=2*teta;

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,2)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=sin(2*teta).*cos(2*teta);

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,3)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=cos(2*teta);

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,4)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=2+2*cos(teta);

polar(teta,r);

Edición color

Graficas 5-8 Con subplot

Código

>> subplot(2,2,1)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=4*sin(teta);

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,2)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=2+2*sin(teta);

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,3)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=2+4*cos(teta);

polar(teta,r);>> subplot(2,2,4)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=2*sin(2*(teta));

polar(teta,r);

Edición color

Graficas 9-12 Con subplot

Código

>> subplot(2,2,1)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=4*(1-sin(teta));

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,2)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=8*cos(3*teta);

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,3)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=-6*(1+cos(teta));

polar(teta,r);

>> subplot(2,2,)

>> subplot(2,2,4)

>> teta=linspace(0,2*pi,100);

r=2+(4*sin(teta));

polar(teta,r);

Edición color

Conclusión

Se puede concluir que las graficas no solo se componen de los ejes conocidos x, y o del plano tradicional. Si no también existen otros como son los de las coordenadas polares que constan de r y θpara su desarrollo y demostración en el eje polar.

En semestres anteriores graficamos las graficas a mano que era una manera que consistía de mucho trabajo y ahora con el uso de las tecnologías se permiten representar y calcular estas ecuaciones y graficas con ayuda de la herramienta MATLAB que simplifica el desarrollo de estas graficas con tan solo el lineamento e implementación de los comandos adecuados.

Los comandos que se incluyen debe de estar en su forma correcta ya que si se ejecuta una modificación la grafica puede variar y transformar los resultados.

Bibliografía

1. http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/5241/4/Precalculo%20de%20Villena%20-%2004%20-%20Coordenadas%20Polares.pdf

2. GILAT Amos, “MATLAB: Una introducción con ejemplos prácticos”

3. http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/file.php/111/Documentos/gravitacion/coordpolares.pdf