el plano afÍn - wordpress.com2. ecuaciÓn de la recta en el espacio 3. incidencia de punto y recta...

Matemáticas 2º Bachillerato. Geometría Analítica Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

TEMA 12: EL ESPACIO AFÍN

1. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN 2. ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO 3. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA 4. CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS 5. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO 6. ECUACIÓN DEL PLANO EN EL ESPACIO 7. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS 8. CONDICIÓN DE COPLANARIEDAD DE 4 PUNTOS 9. POSICIÓN RELATIVA DE 3 PLANOS 10. POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA 11. HAZ DE PLANOS DE ARISTA LA RECTA r

Las propiedades afines son propiedades cualitativas, como por ejemplo el que:

Un punto pertenezca a un plano.

Que dos rectas se corten en un punto………..

1. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO AFÍN

Un sistema de referencia del espacio afín 3E está compuesto por un punto fijo O del

espacio físico y tres vectores que forman base B de 3V : { { ̅ ̅ ̅ } }

A cada punto A del espacio E3 le haremos corresponder el vector de posición OA, que a su vez, será combinación lineal de los vectores de la base de V3:

Sea 3EA podemos expresar lo anterior así:

3 3 3

1 2 3

1

V R

plano físico vectores ternas de nº reales

A OA a , ,

a

E

a a

a e

1 2 32 3a e a e

O

1e

2e

3e

A

a

O

1e

2e

3e

A

a

r

X

v

x


2

2. ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO

Una recta en el espacio queda determinada:

1. Conociendo un punto A por donde pase y un vector direccional

v . 2. Conociendo dos puntos A y B por donde pase la recta. 3. Como intersección de dos planos.

Fijamos un sistema de referencia en el espacio E3 { { ̅ ̅ ̅ } } OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RECTA

s tiene que: || .

OX OA AX e AX v AX y v son lin dependientes

AX v OX OA AX OA v es la ecuación vectorial de la recta

Tenemos que

vAr , siendo las coordenadas del punto 321 ,, aaaA y las

componentes del vector 321 ,, vvvv

.

Sea , ,X x y z un punto cualquiera de la recta “r”, entonces, a partir de la ecuación

vectorial tenemos:

1 2 3 1 2 3 , , , , , ,OX OA AX OA v x y z a a a v v v

Igualando componentes, se obtiene:

O

1e

2e

3e

A

a

r

X

v

x

R


3

1 1

2 2

3 3

x

es la ecuación de la recta en forma paramétrica, al ir variando el

parámetro vamos obteniendo todos los puntos de la recta.

Despejando

a v

y a v

z a v

1

1

32 1 2

2 1 2 3

3

3

" " de las expresiones anteriores e igualando se obtiene la ecuación

contínua de la recta "r":

x

x ecuación contínua

a

v

z ay a a y a

v v v v

z a

v

De la ecuación continua obtenemos las ecuaciones implícitas o cartesianas:

1 2

1 2 2 1 2 1 23 31 1 2 2

3 3 2 3 2 2 321 2 3

2 3

x

x 0x

0

a y a

v v v v y v a v ax aa x a

z a v y v z v a v ay av v v

v v

De esta última forma, una recta en el espacio viene también dada como intersección de dos planos (no de forma única).

Ejemplo: sea

vAr , con 1, 1,4 1,3,2A y v

, hallar la ecuación de la

recta que pasa por el punto A y tiene como dirección el vector

v en todas sus formas:

1 2 1 2 1 2

2 3 2 3 2 2 3

x 0

0

v v y v a v a

v y v z v a v a

R


4

ecuación vectorial

Pasamos a coordenadas e igualamos:

x, , 1, 1,4 1,3,2

x 1 1

1 3 es la ecuación de la recta en forma paramétrica

4 2

Despejamos e igualamos:

x 1

1

x a AX a v

y z

y

z

1 x 1 1 4ecuación contínua

3 1 3 2

4

2

De la ecuación contínua obtenemos las implícitas:

x 1 13 x 1 1x 1 1 4 1 3

1 41 3 2 2 1 3 4

3 2

y y z

z

yyy z

y z y z

3 x 1 1 3x 3 1

2 2 3 122 1 3 4

3x 2Ecuaciones implícitas

2 3 14

y y

y zy z

y

y z

Ejemplo: Dada la recta r como intersección de dos planos, exprésala en paramétricas:


5

3

3x 1

2 3 2 2

3x 1 3x 1

2 3 2 2 2 3 2 2

3 19 2 11

2 3

1 1

2 2 3 3 3 2 2 5

11 11 11

3 1

2 2 2 6 6 2 2 4 8

11 11 11

5 5

11 11 11

4 8 4 8

11 11 11

y zr

x y z

y z y z

x y z x y z

z

z z x zx

z

z z z zy

x

r y

z

1 8

, ,1 1,8,1111 11

v

3. INCIDENCIA DE PUNTO Y RECTA

Un punto pertenece a una recta cuando al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la recta, en cualquiera de sus formas, se satisface la igualdad.

Ejemplo: Sea la recta

2, 4, 0( , )

1, 3, 2

Ar A v

v

, el punto 1, 1,4P ¿pertenece a

r?

31 22, 4,0 2 4

( , )1 3 21,3,2

1 2 1 4 41, 1,4 ?

1 3 2

A xx xr A v

v

P r

Luego P r


6

Ejemplo: Sea la recta

x 3

1 4

2

y

z

el punto 1, 1,4P ¿pertenece a la recta?

1

31 31

1, 1,4 ? 1 1 42

4 26

P r P r

4. CONDICIÓN DE COLINEALIDAD DE TRES PUNTOS

Dados tres puntos del espacio, para estudiar su colinealidad, se calcula la ecuación de la recta determinada por dos cualquiera de ellos y, a continuación, se prueba si el otro punto pertenece o no a dicha recta, si pertenece entonces los tres puntos son colineales, en caso contrario los tres puntos no son colineales.

Ejemplo: Sean los puntos

1, 2 , 1

0 , 1, 4

2 , 3 , 5

A

B

C

, comprobar si los tres puntos son o no

colineales: Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y B:

Vector direccional 0 1, 1 2,4 1 1, 3,5 1,3, 5v AB

Ecuación continua: 1 2 1

1 3 5

x y zr

Comprobamos si el punto 2,3,5C pertenece a r: 2 1 3 2 5 1

1 3 5C r

Luego los tres puntos A, B y C no son colineales.


7

5. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL ESPACIO

Dos rectas en el espacio pueden ocupar las siguientes posiciones relativas: 1. Se cruzan

2. Secantes

3. Paralelas

4. Coincidentes

Sean las rectas ( , ) ( , )r A v y s B w

Para estudiar la posición relativa de dos rectas podemos hacerlo de varias formas:

1. Se resuelve el sistema de ecuaciones formado por las respectivas ecuaciones de las rectas:

Consideramos este sistema de 3 ecuaciones con dos incógnitas y ,

entonces la matriz de los coeficientes || matriz ampliada es:

Los casos que se pueden presentar son:

1. 2rg M

a. * 2 Sistema Compatible Determinadorg M

Las dos rectas se cortan en un punto.

b. * 3 Sistema Incompatible rg M

Las dos rectas se cruzan.

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

x a v x b w

r y a v s y b w

z a v z b w

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

v w b a

v w b a

v w b a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a v b w

a v b w

a v b w

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

( , *)

v w b a

M M v w b a

v w b a

r

s r

s

r

s

r s


8

2. 1rg M

a. * 1 Sistema Compatible Determinadorg M

Las dos rectas son coincidentes.

b. * 2 Sistema Incompatible rg M

Las dos rectas son paralelas. Ejemplo: estudia la posición relativa de las siguientes rectas: Resolvemos el sistema correspondiente:

*

* *

2 2 2 1 2

3 | 1 1 3/ 22

2 1 12 1

2 1 2

1 1 3/ 2 2 3 2 4 1 3 0 2 3

2 1 1

M M

M rg M rg M

Luego las dos rectas se cruzan.

2. Se consideran los vectores: sean las rectas ( , ) ( , )r A v y s B w consideramos la

matriz formada por los vectores ( , , )v w AB que será una matriz 3 x 3,

estudiamos su rango:

a. det ( , , ) 0 ( , , ) 3v w AB rg v w AB , los tres vectores serán

linealmente independientes y por tanto las rectas se cruzan.

b. det ( , , ) 0 ( , ) 2 ( , , ) 2v w AB y rg v w rg v w AB , los tres

vectores serán linealmente dependientes y por tanto las rectas se cortan en un plano

c. ( , ) 1 ( , , ) 2rg v w y rg v w AB , las dos rectas son paralelas.

d. ( , ) 1 ( , , ) 1rg v w y rg v w AB , las dos rectas son coincidentes.

3(1, ,2 )

( , ) 2

( 2,1,2)

Ar A v

v

1 2

32

2 2

x

r y

z

1

3

1

x

s y

z

( 1,3,1)( , )

( 1, 1,1)

Bs S w

w

1

2

3

1 2

32

2 2

x

r x

x

1

2

3

1 1 21

33 32

1 1 2 2

x

s x

x


9

Ejemplo: estudia la posición relativa de las siguientes rectas:

Consideramos la matriz formada por los vectores

1,1,3

1,3,1 2 1 2

2,2, 2 1,1, 1 ( , , ) 1 1 1

1 1 12,1,2

1, 1,1

A

B

AB v w AB

v

w

Calculamos el determinante

2 1 2

det ( , , ) 1 1 1 0

1 1 1

v w AB

y ( , ) 2rg v w luego las dos rectas se cortan en un

punto. Calculamos el punto de intersección, para lo cuál resolvemos el sistema por Gauss:

2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 1 1 2 0 1 2 0 1 2

2 2 2 1 2 0 2 4 0 0 0

2

2 2 2 2 2 0

1 2 1

1 0 1

3 2 3

1

3

1

Punto de intersección :

x x

r y con P y

z z

x

s y

z

1

2 1

3

x

con P y

z

(1,1,3 )( , )

( 2,1,2)

Ar A v

v

1 2

1

3 2

x

r y

z

1

3

1

x

s y

z

( 1,3,1)( , )

(1, 1,1)

Bs S w

w

1 2

1

3 2

x

r y

z

1 1 1 2 2 2

3 3 1 2

1 1 3 2 2 2

x

s y

z


10

6. ECUACIÓN DEL PLANO EN EL ESPACIO

Un plano en el espacio queda determinado: 1. Conociendo un punto por donde pase y un par de vectores direccionales

v y w

.

2. Conociendo tres puntos A, B y C (no alineados) por donde pase el plano.

3. Conociendo un punto P y un vector normal al plano n

OBTENCIÓN DE LAS ECUACIONES DEL PLANO

s tiene que: , , son lin. dependientes

+ + es la ecuación vectorial del plano

OX OA AX e AX v w y

AX v w OX OA AX OA v w

Tenemos que , ,A v w

siendo las coordenadas del punto 321 ,, aaaA y las

componentes de los vectores 1 2 3 1 2 3, , , ,v v v v w w w w

.

Sea , ,X x y z un punto cualquiera del plano “ ”, entonces, a partir de la ecuación

vectorial tenemos:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 + , , , , , , , ,OX OA AX a v w x y z a a a v v v w w w

Igualando componentes, se obtiene:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

es la ecuación del plano en forma paramétrica, al ir variando los

valores de los parámetros y vamos obteniendo todos los

a v w

y a v w

z a v w

puntos del plano.

De las ecuaciones paramétricas, por eliminación de parámetros, se obtiene la ecuación implícita, general o cartesiana del plano:

O

1e

2e

3e

A

a

α

X

v

x

w


11

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 33 3 3 3 3 3

x x xa v w v w a v w a

y a v w v w y a v w y a

v w z az a v w v w z a

Pero como tiene que ser * 2rg M rg M para que el sistema sea C.D, entonces

el determinante:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x

0

v w a

v w y a

v w z a

Obteniéndose al desarrollar y agrupar términos semejantes, la

Ecuación general, implícita o cartesiana del plano 0Ax By Cz D

De la ecuación general se obtiene la ecuación segmentaria:

0

1 1

Ax By Cz DAx By Cz D Ax By Cz D

D D

Ax By Cz x y z

D D DD D D

A B C

, 0, 0

0, , 0 los puntos de corte del plano con los ejes coordenados OX, OY y OZ

0, 0,

D

A

DSiendo

B

D

C

Ejemplo: Ecuaciones del plano determinado por

1, 2,1

, , 1, 2,0

1,0,3

A

A v w v

w

+ Ecuación vectorialOX OA AX OA v w

x 1

2 2 Ecuaciones paramétricas

1 3

y

z

1 1 x 1

2 0 2 0 6 x 1 2 1 3 2 0

0 3 1

-6x 6 2 2 3 6 0 6x 3 2 2 0

y z y

z

z y y z Ecuación general

Vamos a obtener la ecuación segmentaria:

A

v

w


12

7. POSICIÓN RELATIVA DE DOS PLANOS

En el espacio dos planos pueden ocupar las siguientes posiciones relativas:

1. Se cortan en una recta

2. Ser paralelos

6x 3 2 26x 3 2 2 0 6x 3 2 2

2 2

6x 3 2 x1 1

1 22 2 2 1

3 3

1, 0, 0

3

20, , 0 son los puntos de corte del plano con los ejes coordenados

3

0, 0, 1

y zy z y z

y z y z

r


13

3. Ser coincidentes Para estudiar la posición relativa de dos planos se discute y en su caso se resuelve el S.E.L. determinado por sus ecuaciones.

Ejercicio: Estudiar la posición relativa de los planos 2 3 1 0

2 4 0

x y z

x z

* *

2 3 1

2 4

1 2 3 1 1 -2| se tiene que 0 2

2 0 1 4 2 0

x y z

x z

M M rg M rg M

Los dos planos se cortan según una recta. Calculamos las ecuaciones paramétricas

2 3 1despejamos y en función de

2 4

x y zx y z

x z

2 1 32 3 1 2 1 3

42 4 2 4

2

4 42 1 3 2 1 3 1 3 2

2 24

4 42

2 2

26 5 2

3 54

4 2 4

2

x y zx y z x y z

zx z x z x

z zx y z y z z y

zz zx

x x

xz

y

y rz

xz

Ejercicio: Sea el segmento de extremos A y B 1, 1,3A 6,7,10B

a) Calcular las coordenadas del punto medio M

b) Del punto N que está a 1

7 de A

c) Del punto P que está a un 1

3 de B

Calculamos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B:

1,1,3 1 5

, 6,7,10 1 8

3 75,8,7

A x

r A AB B r y

zAB

Entonces, el punto medio se obtiene al dar el valor 1

2 :

A B


14

1 71 5

2 2

1 7 131 8 3 , 3,

2 2 2

1 133 7

2 2

x

M y M

z

El punto N que está a 1

7 de A se obtiene al dar el valor

1

7

1 121 5

7 7

1 1 12 11 8 , , 4

7 7 7 7

13 7 4

7

x

N y N

z

El punto P que está a un 1

3 de B estará a

2

3 de A luego

2

3 :

2 131 5

3 3

2 13 13 13 231 8 , ,

3 3 3 3 3

2 233 7

3 3

x

P y P

z

8. CONDICIÓN DE COPLANARIEDAD DE 4 PUNTOS

Dados 4 puntos del espacio serán coplanarios cuando uno cualquiera pertenezca al plano determinado por los otros tres. Ejercicio: Estudiar la coplanariedad de los siguientes puntos

1, 1,3A 0,2,6B 2,3,0C 1,1,4D

Calculamos la ecuación del plano que pasa por los puntos A, B y C:

1, 1,3

, , , , 1,3,3

3,4, 3

A

A B C A AB AC AB

AC

Planteamos, por ejemplo, la ecuación general del plano :

1 3 1 1 3

1 3 4 1 3 3 0

3 3 3 3 4 3

x x y z

y

z

Comprobamos ahora si el punto 1,1,4D :


15

1 1 1 1 4 3 0 2 1

1 3 3 1 3 3 18 4 9 6 0

3 4 3 3 4 3

Luego los cuatro puntos no son coplanarios

9. POSICIÓN RELATIVA DE 3 PLANOS

Dado 3 planos con sus ecuaciones cartesianas, para estudiar su posición relativa, se discute el S.E.L. formado por las tres ecuaciones. Si es compatible determinado, los planos forman un triedro cuyo vértice es la solución del S.E.L. En los demás casos se estudia la posición relativa de los planos tomados dos a dos.¨

Sean los planos:

Ax By Cz D

A x B y C z D

A x B y C z D

considerándolos como un sistema de

tres ecuaciones con tres incógnitas, la matriz del sistema sería:

*|

A B C D

M M A B C D

A B C D

Los casos que se pueden presentar son:

1. * 3 Sistema Compatible Determinadorg M rg M

Los tres planos se cortan en un punto,

siendo la solución del sistema las

coordenadas del punto de intersección.

2. *2 3 Sistema Incompatiblerg M y rg M

Los tres planos NO se cortan a la vez.

3. * 2 Sistema Compatible Indeterminadorg M rg M

Los tres planos se cortan a la vez en una recta. O también podría

ser que dos planos fuesen dos coincidentes y el otro los corte.

“Tienda de campaña”

Dos || y el otro corta


16

4. *1 2 Sistema Incompatiblerg M y rg M

Los tres planos son paralelos.

También podría ser que hubiesen

dos planos coincidentes y el otro

paralelo.

5. * 1 Planos coincidentesrg M rg M

Ejemplo: Estudia la posición relativa de los siguientes planos:

*

2 3 1 2 1 3

3 1 | 1 1 3 1

2 3 2 4 2 3 2 4

x y z

x y z M M

x y z

*

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3

1 1 3 1 0 1 4 2 0 1 4 2

2 3 2 4 0 1 4 2 0 0 0 0

2 Sistema Compatible Indeterminadorg M rg M

Y como no hay dos planos que sean paralelos entonces se cortan los tres según una recta.


17

10. POSICIÓN RELATIVA DE UN PLANO Y UNA RECTA

Dado 1 plano y una recta, para estudiar su posición relativa, podemos hacerlo:

Se discute el S.E.L. formado por las ecuaciones ecuaciones.

Utilizando vectores. Las posibles posiciones de recta y plano son:

1. Plano y recta se cortan en un punto Sistema compatible determinado.

2. Plano y recta son paralelos Sistema incompatible.

3. La recta está contenida en el plano. Sistema compatible indeterminado.

Ejercicio: Estudia la posición relativa de la recta y plano siguientes:

2 3 5 0 2 3 5

2 5 0 2 5

3 0 3 0

x y z x y z

x y x yr

x y z x y z

*

*

1 2 3 5 1 2 3 5 1 2 3 5

| 2 1 0 5 0 5 6 15 0 5 6 15

1 3 1 0 0 5 4 5 0 0 2 10

3 Sistema Compatible Determinado.

Recta y Plano se cortan en un punto ¿cuál?:

1 2 3 5

0 5 6 15

0 0 2 10

M M

rg M rg M

2

2 10 5

5 6 15 3 4 3 5

2 3 5 4

z z

y z y P

x y z x

Ejercicio: Estudia la posición relativa de la recta (paramétricas) y plano (cartesianas) siguientes:

2 6 0 2 6

1 2

1

3

x y z x y z

x

r y

z


18

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de r en la ecuación del plano y vemos si existe o no solución:

2 6

1 21 2 2 1 3 6

1

3

41 2 2 2 3 6 3 4

3

x y z

x

y

z

Por tanto, el sistema tiene solución, recta y plano se cortan en un punto, ¿cuál?:

4 111 2

3 31 24 4 1 11 1 5

1 1 , ,3 3 3 3 3 3

34 5

33 3

x

x

r y y P

z

z

Nota: si al sustituir las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación del plano se llega a una ecuación en que no tiene solución, el sistema será incompatible, recta y plano serían paralelos. Si se llega a una identidad del tipo 0 = 0 entonces la recta estaría contenida en el plano. Ejercicio: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P y que contiene a la recta r: (Método aconsejable cuando “r” la dan en contínua o paramétricas)

1, 1,3P 1 1

2 3 4

x y zr

Como la recta tiene que estar contenida en el plano, tomamos como vectores direccionales

del plano: el de la recta r y el vector AP :

1 1 01 1

2 3 4 2 3 4

Ax y zr

v

1 1 00,0,3 0,0,1

1, 1,3

AAP

P

La ecuación del plano es:

1, 1,3 1 1 3

, , 2 3 4 2 3 4 0

0 0 10,0,1

3 1 2 1 0 3 2 5 0

P x y z

P v AP v

AP

x y x y

P r

A


19

11. HAZ DE PLANOS DE ARISTA LA RECTA r

Sea una recta r que viene dada como intersección de dos planos:

0

0

A x B y C z Dr

A x B y C z D

El Haz de planos de base la recta r es el conjunto de planos que contienen a r, se expresa así:

Depende en principio de 2 parámetros y pero

como los dos no pueden ser cero, a la vez, siempre es posible dividir por uno de ellos. Eso si se pierde unos de los planos del haz. Entonces, el haz de planos de base la recta r lo podemos poner:

0

0

0

0

0 ( " ")

r

r

r

H A x B y C z D A x B y C z D

Suponiendo

H A x B y C z D A x B y C z D

A x B y C z D A x B y C z DH

A x B y C z D el plano suelto juguetón

Ejercicio: Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P y que contiene a la recta r:

1, 1,3P 3 2 5 0

4 3 4 0

x yr

y z (Método aconsejado cuando “r” viene dada como intersección de dos planos) El plano que contiene a la recta r será uno de los planos del Haz de planos de base r. Pasamos r a sus ecuaciones implícitas:

3 2 5 4 3 4 03 2 5 0

4 3 4 0 4 3 4 0 1, 1,3

3 2 5 4 3 4 0 3 4 2 3 5 4 0

como 1, 1,3 3 1 4 2 1 3 3 5 4 0

3 4 2 9 5 4 0 0

Luego el plano del haz es: 3 2

r

r

x y y zx yr H

y z y z P

x y y z x y z

P H

x y 5 4 3 4 0 0

3 2 5 0

y z

x y

P r

A

0rH A x B y C z D A x B y C z D


20

Ejercicio: Calcular el plano determinado por la recta: 2 4 0

3 2 8 0

x yr

y z

y el punto 1,0,3P

2 4 0

3 2 8 0

x yr

y z Los planos que contienen a “r” son el haz de planos de base

“r”: calculamos pues el Haz de planos de base la recta r sería:

2 4 3 2 8 0

2 4 3 2 8 0

2 1 3 2 4 8 0

rH x y y z

x y y z

x y z

Queremos un plano del Haz que pase por el punto 1,0,3P , luego:

2 1 1 3 0 2 3 4 8 0

3 2 6 4 8 0 14 6

7

rP H

Ejercicio: Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto 0,1,2 y se apoya en

las rectas 2

3 1 1

x y zr

y

1

6 2 1

x y zs

La recta la buscamos como intersección de dos planos:

1

2

; plano que contiene a r y pasa por el punto 0, 1, 2

; plano que contiene a s y pasa por el punto 0, 1, 2t

Calculamos a continuación cada uno de los planos por separado:

(OBSERVA QUE R Y S VIENEN EN CONTINUA, LUEGO INTERESA HACERLO………)

Para el plano

Tenemos que:

0 2 02

3 1 1 3 1 1

Ax y zr

v

32 4 3 2 8 0

7

3 2 4 3 2 8 0

7

14 7 28 3 3 2 8 0

14 7 28 9 6 24 0

14 2 6 4 0

7 3 2 0

x y y z

x y y z

x y y z

x y y z

x y z

x y z

1; plano que contiene a r y pasa por el punto 0, 1, 2 P

P r

A

t ?

r

s

P


21

Luego:

1

1

1

0,1,2

, , 3 1 1

0,1,2 0, 2,0 0,3,2

1 2

3 1 1 0

0 3 2

2 9 2 6 1 3 0 6 9 12 0

P

P v AP v

AP P A

x y z

luego la ecuación del plano es

x z y x x y z

Para el plano

Tenemos que:

1 0 01

6 2 1 6 2 1

Bx y zs

u

Luego:

2

2

2

0,1,2

, , 6 2 1

0,1,2 1,0,0 1,1,2

1 2

6 2 1 0

1 1 2

4 1 6 2 2 2 12 1 0 5 11 8 5 0

P

P u BP u

BP P B

x y z

luego la ecuación del plano es

x y z z y x x y z

Por tanto la recta que buscamos viene dada por:

1

2

6 9 12 0

5 11 8 5 0

x y zt

x y z

2; plano que contiene a s y pasa por el punto 0, 1, 2 P

P s

B


22

Ejercicio: Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto 0,1,2 y se apoya en

las rectas 3 6 0

2 0

x yr

z y y

3 1 0

2 0

x ys

y z

La recta la buscamos como intersección de dos planos:

1

2

; plano que contiene a r y pasa por el punto 0, 1, 2

; plano que contiene a s y pasa por el punto 0, 1, 2t

(OBSERVA QUE R Y S VIENEN EN IMPLÍCITAS, LUEGO INTERESA HACERLO………)

En cada caso, para hallar estos planos 1 2y , vamos a hacerlo utilizando el haz de

planos.

Para hallar 1 :

1

3 6 03 6 2 0

2 0

3 6 2 0 3 6 2 0

Queremos el plano que pasa por el punto 0, 1, 2 :

3 6 2 0 0 3 1 2 6 2 0

3 2 6 2 0 9

; 3 6 2 0

r

x yr H x y z y

z y

x y z y x y z

x y z

Luego x y z

1

9

; 6 9 12 0x y z

Para hallar 2 :

Por tanto la recta que buscamos viene dada por:

1

2

; 6 9 12 0

; 5 11 8 5 0

x y zt

x y z

2

2

3 1 03 1 2 0

2 0

3 1 2 0 3 2 1 0

Queremos el plano que pasa por el punto 0, 1, 2 :

3 2 1 0 0 3 1 4 1 0

43 4 1 0

5

4; 3 2 1 0

5

4; 3

5

s

x ys H x y y z

y z

x y y z x y z

x y z

Luego x y z

x

2

4 11 82 1 0 1 0

5 5 5

; 5 11 8 5 0

y z x y z

x y z

t ?

r

s

P


23

Ejercicio: Calcular la ecuación de un plano que delimita con los ejes, un triangulo

equilátero, y que pasa por el punto 1,2 1P

Consideramos la ecuación segmentaria del plano:

, 0, 0

1 0, , 0 puntos de corte del plano con los ejes coordenados

0, 0,

ax y z

ba b c

c

Como el plano delimita con los ejes coordenados un triángulo equilátero tendrá que ser a b c

1 2 31x y z

x x x aa a a

Y como el plano ha de pasar por el punto

1,2 1P :

El plano sería 2x y z

Ejercicio: Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A y B y es paralelo a la recta r:

1, 1,0 y 2,3, 4A B

1 1 1 1

2 3 1 2 3 1

x y z x y zr

El plano que buscamos queda determinado por:

1, 1,0 1 1 0

, , 3,4, 4 3 4 4 0

2 3 12,3, 1

4 4 8 8 9 8 3 3 12 12 0

8 11 17 19 0

A x y z

A AB v AB

v

x y z z y x

x y z

1 2 3; 1 2 1 2P x x x a a a

A

B

r


24

Ejercicio: Hallar el valor del parámetro para que los siguientes rectas determinen un plano y calcularlo.

3 1

2 1 2

x y zr

1 1 7

2 4

x y zt

Para que las dos rectas determinen un plano si consideramos los vectores direccionales de cada una de ellas y un tercer vector que se forma tomando un punto cualquiera de r y otro de s entonces, las matriz formada por esto tres vectores tiene que tener rango 2 para que los vectores sean coplanarios, esto es, linealmente dependientes:

2 1 20, 3,1

1,2,6 , w, 2 4 21, 1,7

1 2 6

AAB rg v AB rg

B

Por tanto, el determinante de orden 3 tiene que ser nulo:

1 2 68 4

2 1 2 4 8 12 12 16 2 8 10 8 10 010 5

2 4

Calculamos la ecuación del plano que los contiene:

, ,A v w

45

0 3 1 0 3 1

2 1 2 2 1 2 20 20 60 8 8 10 10 40 120 8

2 4 10 4 20

x y z x y z

x y z z y x

12 60 18 198 0x y z

Ejercicio: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección del plano 2 3 2 6 0x y z con los ejes OX, OY.

Para calcular los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados podemos pasar la ecuación del plano a la forma segmentaria:

2 3 22 3 2 6 0 2 3 2 6 1

6 6 6

3, 0, 0 punto de corte del plano con OX

1 0, 2, 0 punto de corte del plano con OY3 2 3

0, 0, 3 punto de corte del plano con OZ

x y zx y z x y z

x y z

Entonces, la

recta viene determinada por:

v

w

AB


25

3, 0, 0 punto de corte del plano con OX

0, 2, 0 punto de corte del plano con OY

3,0,0,

3,2,0

3

3 2 0

A

B

Ar A AB

AB

x y zr

Nota: los puntos de corte del plano con los ejes coordenados se pueden calcular teniendo en cuenta las ecuaciones de los ejes coordenados:

2 3 2 6 0

0 0 03 2 3

0 0 0

x y z

y x xOX x OY y OZ z

z z y

Ejercicio: Hallar el valor de para que sean coplanarias las rectas r y s y determinar la ecuación del plano que las contiene en forma segmentaria.

3 0

2 3 3 0

x y zr

x y z

2 1 0

0

x y zs

x y z

Como las rectas nos la dan con sus ecuaciones implícitas, entonces, para determinar su posición relativa consideramos el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de r y s.

*

3 0 2 1 0

2 3 3 0 0

3 0 3 0 1 3 1 0

2 3 3 0 2 3 3 2 1 3 3|

2 1 0 2 1 1 2 1 1

0 1 1 1

x y z x y zr s

x y z x y z

x y z x y z

x y z x y zM M

x y z x y z

x y z x y z

Para que las rectas sean coplanarias, el sistema ha de ser compatible determinado, pues dos rectas coplanarias se cortan en un punto (solución del sistema), luego ha de

ser: * 3rg M rg M

Como la que es cuadrada es la matriz ampliada empezamos calculando su determinante:


26

*

1 3 1 0 1 3 1 0 1 3 1 0

2 1 3 3 0 7 5 3 0 7 5 3

1 2 1 1 0 5 2 1 0 5 2 1

1 1 1 0 4 2 0 1 0 1

7 5 3 22 11 322 11 2 1

5 2 1 0 0 1 115 4 2 2 5 4 2 2

1 0 1 5 4 2 2 1

11( 4 4 5 4) 11

M

* *

*

11 0 4

0 4

M si rg M

Luego para rg M veamos

*

1 3 1 01 3 1

2 1 3 3| 2 1 3 1 9 4 1 6 6 0

1 2 1 11 2 1

1 1 1 0

M M es

*0 3 º

por tanto el sistema sería compatible determinado, por lo que las dos rectas r y s

se cortan en un punto que es lo mismo que decir que son coplanarias.

Luego para rg M rg M n de incógnitas

Para determinar para 0 la ecuación del plano que las contiene, pasamos las ecuaciones a paramétricas para averiguar los vectores direccionales de ambas rectas, que se tomarán como vectores direccionales del plano:

9 87 7

3 57 7

3

3 3 1 9 9 8 9 8 9

3 1 3 7 7 7 7 77

2 3 3 2 1 1

2 3 3 3 3 2 5 3 5 3

7 7 7 7 7

z

z z z z zx

x y zr

x y z z

z z z z zy

x

r y

z

Luego el vector direccional y un punto de r son:


27

9 87 7

3 57 7

9 3, , 0

7 7

8 5, , 1 8, 5, 7

7 7

x A

r y

vz

1 2

1 1 2 11

2 1 1 2 1 1 11

1 1 1 1

1 11

1 1

1

1

z

z z z zx z

x y zs

x y z z

z z zy

x

s y

z

Luego el vector direccional y un punto de s son:

11, 1, 0

11, 0, 1

xB

r s yw

z

Por tanto, el plano que contiene a r y s viene dado por:

1 1 0 1 1

, , 8, 5, 7 8 5 7 0

1 0 11, 0, 1

5 5 7 7 5 8 8 0

; 5 5 6 0 lo pasamos a la forma segmentaria:

5 5 6 5 55 5 6 1 1

6 66 6 6 6 6 6

5 5

B x y z

B v w v

w

x y z y

x y z

x y z x y z x y zx y z

el plano afÍn - wordpress.com2. ecuaciÓn de la recta en el espacio 3. incidencia de punto y recta...

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