el papel del problema en la construcciÓn de conceptos ... · en la construcciÓn de conceptos...
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Material destinado a capacitación docente en la provincia de Santa Fe
EL PAPEL DEL PROBLEMA
EN LA CONSTRUCCIÓN
DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS
Fragmentos:
4. LA CONSTRUCCIÓN DEL CAMPO CONCEPTUAL DE LA
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
5. ANÁLISIS DE LA PROPUESTA GLOBAL A TRAVÉS DE UNA SECUENCIA DE
PROBLEMAS PARTICULAR, EN RELACIÓN A LA CONSTRUCCIÓN DEL
CONCEPTO DE ESCALA
ANEXO
Lic. Mabel Panizza
Lic. Patricia Sadovsky
FLACSO
MINISTERIO DE EDUCACIÓN PROVINCIA DE SANTA FE
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4. La construcción del campo conceptual de la proporcionalidad directa
Estamos acostumbrados a pensar en la proporcionalidad como un contenido escolar que se trabaja en un determinado momento, se desarrolla, se ejercita, y se da por finalizado para pasar al tema siguiente, que podrá ser fracciones, medida, decimales, geometría o cualquier otro que figure entre los contenidos que debemos desarrollar.
Esta manera de planificar contempla un aspecto organizativo sin duda necesario, ya que marca cuál va a ser el objeto específico de reflexión en cada momento del trabajo en el aula. Pero al mismo tiempo puede hacer perder de vista el hecho de que hay un conjunto importante de conceptos que desempeñan un papel fundamental en la adquisición del concepto de proporcionalidad, y que esos conceptos están siendo elaborados simultáneamente con la noción de proporcionalidad.
Efectivamente, pensar en relaciones de proporcionalidad directa nos puede remitir a situaciones como las siguientes:
- En la librería todos los artículos están rebajados un 20%. - Cada 2 kg de fruta se obtiene 1,5 kg de mermelada. - El tren marcha a 100km/h. - El plano de la casa está hecho a una escala de 1:250. - La presión del agua bajo la superficie del mar es directamente proporcional a la
profundidad. - Calcular cuántos paquetes de figuritas (todos iguales) es necesario comprar para tener
60 figuritas. - Averiguar de qué material está hecho un cubo de 5 cm3 de volumen que pesa 1 kg.
Los diversos niveles de complejidad de cada una de las situaciones anteriores están dados, entre otras cosas, por los tipos de números en juego (naturales, enteros, racionales); la naturaleza de las magnitudes intervinientes (longitud, peso, área, volumen, peso específico, velocidad, presión); la conceptualización acerca de la medida; la variedad de contextos de utilización; los conceptos derivados de ciertos contextos de utilización (porcentaje, escala, velocidad, peso específico).
Es por eso que, al plantear el problema del aprendizaje de la proporcionalidad, es necesario tener en cuenta que la misma se inscribe en el campo de lo multiplicativo, que se trata de un proceso complejo en el que aparece una red de conceptos relacionados unos con otros, todos los cuales se van adquiriendo simultáneamente durante un período prolongado de tiempo. Es por eso también que es necesario pensar en aproximaciones sucesivas al concepto de proporcionalidad, cada una de las cuales va enriqueciendo su significado al tiempo que amplía la comprensión de los conceptos conectados.
Para evitar ambigüedades, antes de continuar con el análisis escribiremos la definición que hemos adoptado y las propiedades esenciales de la proporcionalidad, a las que haremos referencia en el contexto de este trabajo. Por supuesto, el nivel de formalización con el que las presentamos no es el que se pretende que los alumnos de la escuela primaria adquieran.
DEFINICIÓN:
Una relación de proporcionalidad directa es una relación entre dos variables, en la que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina constante de proporcionalidad.
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PROPIEDADES:
1- En una situación de proporcionalidad directa, el correspondiente de un elemento a multiplicado por un número n es igual a n por el correspondiente del número a.
2- En una situación de proporcionalidad directa, a la suma de los elementos de una de las
variables, le corresponde la suma de los correspondientes de los elementos considerados.
Abordar la complejidad que supone la apropiación del campo conceptual de la proporcionalidad impone la necesidad de realizar un análisis tanto:
- desde la perspectiva de la estructura interna del dominio de conocimiento, como - desde la perspectiva del sujeto que aprende.
Como se verá a través del esquema organizativo elegido en este trabajo, hemos considerado ambos aspectos simultáneamente.
Ya hemos explicitado que adherimos a una concepción según la cual el problema juega un papel principal en todo el proceso de aprendizaje. Es por eso que pensamos que el estudio de un campo conceptual con intenciones didácticas debe estructurarse necesariamente a partir de los problemas que se pueden proponer.
Como criterio general buscamos un esquema organizativo que posibilite la formulación de una secuencia de problemas, de manera que ésta, una vez elaborada, cubra toda la complejidad del campo conceptual y la complejidad de su adquisición.
La puesta en marcha de este criterio general adopta distintas formas según el campo conceptual particular de que se trate. Para el caso de la proporcionalidad directa hemos adoptado un esquema organizativo que tiene en cuenta fundamentalmente:
- los conceptos cercanos subordinados: dominio numérico (tipos de números y operaciones); magnitudes, relación entre magnitudes; medida,
- el tipo de tarea, - los posibles procedimientos de resolución, - las diferentes formas de representación, - los conceptos derivados de los contextos de utilización.
Obviamente, todos estos aspectos se interrelacionan y la complejidad de un problema particular será producto de la interacción entre los mismos. Por ese motivo, es difícil considerar una secuencia de problemas ordenada estrictamente por complejidad creciente. Sin embargo, del análisis puede surgir un tratamiento exhaustivo del tema que posibilite a los alumnos establecer la mayor cantidad de relaciones posibles a propósito del concepto de proporcionalidad.
Un análisis de este tipo se transforma en una herramienta para el docente en el momento de seleccionar una secuencia de problemas teniendo en cuenta las características del grupo de alumnos particular de su clase.
Estas razones justifican el tratamiento de cada aspecto particular.
a a'
x n x n
n x a n x a'
a a'
+ +
b b'
a + b a' + b'
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4.1 Consideraciones acerca del esquema organizativo
• Los conceptos cercanos subordinados
Si al encarar el estudio de la proporcionalidad los chicos dispusieran de un sólido dominio de los distintos conjuntos numéricos y las correspondientes operaciones aritméticas en cada conjunto, si la medida fuera un concepto totalmente elaborado, cualquiera fuera la magnitud a medir, si pudieran considerarse adquiridas las distintas magnitudes, si los sistemas convencionales de unidades de medida no constituyeran ningún obstáculo, tal vez el alumno podría resolver de entrada cualquier situación de proporcionalidad aplicando la definición del concepto.
Pero no es el caso ni podrá serlo. No es pensable la elaboración de las conceptos anteriores de manera totalmente independiente de la elaboración del concepto de proporcionalidad directa. Por un lado, números, operaciones, magnitudes y medidas son instrumentos para la resolución de situaciones de proporcionalidad; y por otro, parte relevante del significado de los mismos es obtenido por los chicos a través de la utilización de dichas situaciones.
• El tipo de tarea
Si bien en este trabajo esperamos dejar claro que el problema es el resultado de la conjunción de los diferentes factores que estamos analizando, pensamos que es oportuno analizar una complejidad particular en relación al tipo de tarea involucrado.
Queremos decir con esto que aún considerando el mismo nivel de complejidad en cuanto a los conceptos cercanos subordinados, utilizando la misma representación y siendo que el tipo de procedimientos propicios para la resolución sea el mismo, la naturaleza de la tarea puede variar, dando por resultado problemas de distinta complejidad. No es lo mismo, por ejemplo, completar datos en una tabla que relacionar magnitudes directamente proporcionales, o que analizar el significado de la constante de proporcionalidad de una relación determinada.
• Los procedimientos posibles de resolución
Este análisis será necesariamente incompleto si no considerara los posibles procedimientos de resolución ya que los mismos son indicadores de las conceptualizaciones alcanzadas por quienes los ponen en práctica. Ya nos hemos referido a la manera en que los distintos procedimientos suponen la aplicación de reglas que, correctas o no, es imprescindible tener en cuenta, ya que muestran el estado de saber de los alumnos.
• Las diferentes formas de representación
Tanto en la formulación de un problema como en su resolución se utilizan diferentes formas de representación: verbal, por tablas, gráfica, por planteo, etc. Cada una de ellas resulta más o menos favorable según la información que se desee poner de relieve.
Por otra parte, el alumno asocia a cada forma de representación determinadas tareas y procedimientos, y en ese sentido la utilización de distintas formas aporta a ciertos aspectos particulares de la conceptualización.
El docente que sabe que esto es así acude al uso variado de formas de representación.
En este trabajo queremos poner el acento especialmente en la importancia de ser exhaustivo en las formas de representación, en la riqueza del análisis a partir de la integración entre las mismas, en que el alumno sea capaz de traducir un problema de una forma a otra y en que tenga la oportunidad de utilizar él mismo diferentes formas que por algún motivo le resulten significativas.
En la medida en que esto se tenga en cuenta, se obtendrá como consecuencia que el alumno no confunda el concepto con la representación. Esto debería ser – a nuestro juicio – un objetivo importante en relación con la adquisición de conceptos.
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• Los conceptos derivados de los contextos de utilización
Existen aplicaciones del concepto de proporcionalidad que, por tener un estatus diferenciado en relación a otras aplicaciones, constituyen un concepto en sí mismo y en consecuencia tienen un nombre propio. Nos referimos especialmente a: escala, porcentaje, peso específico, velocidad.
En este trabajo queremos llamar la atención sobre el hecho de que la tradición escolar ha separado estos conceptos de la del concepto de proporcionalidad: jerarquizando los conceptos por su nombre propio, olvidando el nombre común.
¿Qué queremos decir con esto?
Es frecuente que cuando se habla de porcentaje no se repare en el hecho de que este es un caso particular de proporcionalidad.
Otro tanto ocurre con las reducciones dentro de un sistema de medición: no se reflexiona acerca de que hacer una reducción significa utilizar que la medida en una longitud (por ejemplo) en una unidad determinada, es proporcional a la medida de la misma longitud en otra unidad.
Algo análogo puede decirse en relación al concepto de escala y al de velocidad.
4.2 Análisis de problemas de proporcionalidad directa Nos proponemos ahora analizar distintos problemas desde la perspectiva del esquema organizativo que explicitamos en los párrafos anteriores. Queremos poner el acento en el análisis de los problemas más que en los problemas en sí. ¿Qué queremos decir? Todas las consideraciones que se puedan hacer, previas a la puesta de una situación en aula, enriquecen las posibilidades de esa situación: no solamente es importante saber qué tarea van a realizar los chicos, también es necesario anticipar qué aprendizajes harán a partir de esa tarea, qué nuevas relaciones podrán establecer, qué distingue este trabajo del próximo y del anterior, en qué aspectos se centrará la reflexión posterior a la resolución del problema.
Es a partir de este análisis que – esperamos – los problemas comenzarán a distinguirse unos de otros mostrando desde lugares diferentes el concepto de proporcionalidad.
Nos ha parecido oprtuno presentar cada problema en el contexto del o los aspectos que le son más relevantes o que le dieron sentido. Es por eso que un mismo problema puede aparecer tratado en más de un apartado y analizado según el aspecto particular de que se trate. (Para un listado completo de los problemas, ver anexo).
Retomamos entonces las categorías anteriores, ahora sobre los problemas concretos.
• Los problemas desde la perspectiva de los conceptos cercanos subordinados. La naturaleza de los números y de las magnitudes: dos variables que intervienen en el asunto.
Analicemos las siguientes situaciones:
a) Paola colecciona figuritas. La siguiente tabla muestra la relación entre algunas cantidades de paquetes y la cantidad total de figuritas que obtiene.Completar la tabla, sabiendo que todos los paquetes traen la misma cantidad de figuritas.
Cantidad de paquetes 4 8 2 10 Cantidad de figuritas 20 100
b) Un motor consume en 4 horas 24 litros de combustible. Completar la tabla que relaciona el tiempo de marcha del motor con la cantidad de combustible que utiliza, sabiendo que el gasto de combustible por hora es siempre el mismo.
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Tiempo de funcionamiento (en horas) 4 8 2 10 Combustible que consume (en litros) 20 100
Aparentemente estos problemas son casi iguales. Sin embargo la naturaleza de las magnitudes en juego hace que el primero sea un problema planteable, sin duda, en segundo o tercer grado, mientras que el segundo exige cierta comprensión de las magnitudes tiempo y capacidad, comprensión que, generalmente se alcanza un poco más adelante.
Ligado a la naturaleza de las magnitudes que se relacionan en cada uno de los problemas, aparece otro aspecto que es fundamental considerar:
- en el primer caso, si pensáramos en extender la tabla para calcular otras cantidades, o en variar los datos iniciales, siempre estaríamos tratando con números naturales; las relaciones establecidas hasta el momento seguramente podrán adaptarse, más o menos rápidamente, al cálculo de nuevos valores.
- en el segundo problema, en cambio, si se introduce, por ejemplo, el cálculo del gasto de combustible para 12 minutos de funcionamiento del motor, no alcanzarán las relaciones establecidas hasta el momento. El chico, o bien necesitará hacer un cambio de unidades, o bien tendrá que establecer la equivalencia:
12 minutos = 1/5 hora.
Es decir, las magnitudes del segundo problema son magnitudes continuas y los datos pueden presentarse usando números naturales o racionales.
Una constante que varía (!)
La resolución de una situación con magnitudes continuas exige establecer una correspondencia entre dichas magnitudes y los números que se utilizan para medirlas teniendo en cuenta una determinada elección de las unidades de medida. Efectivamente, en el ejemplo del motor, observamos que la constante de proporcionalidad es 5 litros por hora, es decir, es lícito pasar de un renglón a otro de la tabla multiplicando por 5 siempre que el tiempo esté expresado en horas y la cantidad de combustible que se consume, en litros.
Tiempo de funcionamiento (en horas) 4 8 2 10 20
Combustible que consume (en litros) 20 40 10 50 100
5 litros por hora
Veamos que la misma situación podrá expresarse mediante esta otra relación de proporcionalidad directa:
Tiempo de funcionamiento (en minutos) 60 120 30 1
Combustible que consume (en litros) 5 10 2.5 1/12
1/12 litros por minuto
O también por esta otra:
Tiempo de funcionamiento (en minutos) 60 120 30 1 251/3 centilitros
por minuto Combustible que consume
(en centilitros) 500 1000 250 25/3
Vemos entonces que para caracterizar la relación de proporcionalidad directa que describe el gasto de combustible en función del tiempo de funcionamiento del motor es necesario fijar las
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unidades en las que se mide cada magnitud. Este problema no se presenta cuando las magnitudes que se relacionan no son continuas, como en el caso de las figuritas.
Moraleja:
En una situación de proporcionalidad pueden relacionarse magnitudes de la misma naturaleza (longitudes con longitudes, por ejemplo en un problema de escalas, dinero con dinero, por ejemplo en un problema de porcentaje) o magnitudes de distinta naturaleza (por ejemplo, tiempo de marcha y espacio recorrido, o volumen de una sustancia y peso correspondiente). Ya sea que se trate de una situación en la que se relacionan magnitudes de la misma o de distinta naturaleza, corresponde analizar el problema bajo la óptica de las unidades elegidas para medir cada una de las magnitudes, ya que la constante de proporcionalidad queda determinada por esta elección.
A veces todo cambia cuando los números cambian
Decíamos antes que consideramos pertinente establecer diferencias entre problemas, según los conjuntos numéricos que se relacionen. Dos problemas que parecen similares porque se diferencian solamente en el conjunto de datos, pueden ser esencialmente distintos si para un juego de datos resulta pertinente usar el modelo de proporcionalidad directa y para el otro juego, no.
¿Qué significa esto?
Supongamos el siguiente problema:
En un bote caben 4 personas. Completar la tabla que relaciona cantidad de botes con cantidad de personas, sabiendo que todos los botes utilizan al máximo su capacidad.
Si la tabla a completar fuera ésta:
Cantidad de botes 1 2 3 Cantidad de personas 4 24 40
Es decir, si admitimos que la cantidad de personas sea múltiplo de 4, la relación planteada es de proporcionalidad directa.
Si en cambio proponemos esta tabla:
Cantidad de botes 1 Cantidad de personas 4 5 6 7 8 9
Es decir, si admitimos que la cantidad de personas puede ser cualquiera, la situación deja de ser una situación de proporcionalidad. (Ya no se puede pasar de un renglón a otro de la tabla multiplicando por una constante).
Este ejemplo apunta a marcar una cuestión que suele pasar inadvertida: la lógica interna de las relaciones de proporcionalidad hace relevante la consideración de los conjuntos numéricos que se relacionan. En ese sentido, este ejemplo es diferente de los que propusimos en párrafos anteriores ya que en aquellos casos hacíamos la distinción apuntando fundamentalmente a la complejidad psicológica que supone operar con distintos conjuntos numéricos.
Continuando con el análisis de las diferencias cualitativas que pueden ofrecerse cambiando el juego de datos, consideremos el siguiente problema:
En séptimo A, 4 de cada 7 alumnos concurren al viaje de egresados. En séptimo B concurren al viaje 5 de cada 8. ¿En cuál de los dos cursos es mayor la proporción de alumnos que concurren, respecto del total de alumnos de la clase?
Observemos que no se pregunta en cuál de los dos cursos viajarán más alumnos (pregunta que no se podrá responder con los datos del problema, ya que se desconoce el total de alumnos de cada curso).
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La idea es establecer comparaciones a partir de medir la relación parte-todo en cada uno de los grupos. Esto no es trivial en absoluto y sólo podrá elaborarse si los alumnos tienen la oportunidad de enfrentarse con situaciones de este tipo.
Veamos las tablas que resultarán de considerar, para ambos séptimos, determinadas cantidades de alumnos en el curso:
SÉPTIMO A Si la cantidad de alumnos del curso fuera 7 14 21 28 La cantidad de alumnos viajantes sería 4 8 12 16
SÉPTIMO B Si la cantidad de alumnos del curso fuera 8 16 24 32 La cantidad de alumnos viajantes sería 5 10 15 20
Notemos que el significado de la constante de proporcionalidad es mucho más abstracto que en todos los casos anteriores: para séptimo A, por ejemplo, es 4/7, y significa que los cuatro séptimos de la división viajan. Acá aparece otra relación que los alumnos deberán establecer: decir que los 4/7 del curso viajan es lo mismo que decir que de cada 7 chicos, 4 viajan.
Este ejemplo propone una relación de proporcionalidad directa en la que los conjuntos que se vinculan se expresan numéricamente con números naturales y la constante de proporcionalidad es un número racional. Observemos que la consideración – para el caso de la razón 4/7 – de una cantidad de alumnos que no sea múltiplo de 7, pierde sentido en la realidad.
Cabe destacar que, a través de este problema, es posible enriquecer el significado de los números racionales. Vemos entonces cómo la construcción del concepto de proporcionalidad aparece imbricada con las sucesivas ampliaciones de los conjuntos numéricos, a tal punto que ambas elaboraciones se nutren una a la otra.
Cuando se trata de tomar parte
Comparemos ahora esta situación:
Cuatro de cada siete alumnos irán al viaje.
con esta otra:
Para obtener la proporción óptima, mezclar siete partes de barniz con cuatro partes de aguarrás.
Estas dos situaciones suelen confundirse aunque son completamente diferentes. La primera es equivalente a expresar "los 4/7 del curso irán de viaje". En el segundo caso, en cambio, la razón 4/7 no está expresando una relación parte-todo, sino la relación entre las partes de barniz y las partes de aguarrás. Si quisiéramos expresar la parte de aguarrás que contiene la mezcla tendríamos que usar la fracción 4/11.
En general, la comparación de dos situaciones de proporcionalidad hace poner en juego – explícita o implícitamente – series de razones iguales que es necesario comparar.
En síntesis:
Todo este punto que analiza los problemas desde la perspectiva de los conceptos involucrados, intenta establecer diferencias según la naturaleza de los números que intervienen y de las magnitudes que se relacionan. Diferenciamos los problemas según:
- los conjuntos que se relacionan se representen por números naturales o recionales,
- la constante de proporcionalidad de la relación sea un número natural o racional,
- las magnitudes que se relacionan sean o no de la misma naturaleza.
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• Los problemas desde la perspectiva del tipo de tarea
En este apartado analizaremos cierto tipo de complejidad que se relaciona específicamente con la tarea pedida, en la medida en que es posible separarla de la complejidad que aportan los otros elementos en la conformación de un problema.
Dos problemas pueden ser idénticos desde el punto de vista de quien posee todas las estrategias del pensamiento adulto y es experto en el dominio de conocimiento, y ser muy distintos desde el punto de vista del sujeto que aprende (Álvarez, Panizza, 1989).
Analicemos ahora algunos aspectos que pueden dar lugar a diferentes niveles de complejidad y que consideramos importante tener en cuenta a la hora de formular problemas de proporcionalidad.
El lugar de la incógnita en el enunciado verbal
Consideremos los siguientes problemas:
Si 4 paquetes tienen 20 caramelos, ¿cuántos caramelos hay en 12 paquetes?
Si 4 paquetes tienen 20 caramelos, ¿cuántos paquetes necesito para tener 60 caramelos?
Ambos problemas requieren del mismo concepto y están presentados de la misma manera (verbalmente). Sin embargo, para su resolución es posible que el alumno diga inmediatamente para el primer problema:
4 p ----- 20 c
12 p ----- x
y resuelva.
Para el segundo de estos problemas, en cambio, el alumno deberá reconocer previamente que más allá del orden en que se relacionen los datos y la incógnita en el enunciado, se trata de una regla de tres simple.
Es evidente que, una vez entendido esto, se trata de resolverlo por cualquiera de los procedimientos correctos. El hecho de que ambos problemas sean realmente distintos para el alumno es justamente ese análisis previo, y agrega una complejidad importante en comparación con el primer problema.
Comparar situaciones, comparar constantes
Problema:
Don Francisco y don Tomás venden las figuritas que colecciona Paola. En el quiosco de don Francisco, el precio de 5 paquetes es de $ 3,5. En lo de don Tomás el importe de 8 paquetes asciende a $6. ¿En cuál de los dos quioscos es menor el precio de un paquete?
En este problema se propone como tarea la comparación de los precios unitarios. Dicho en términos matemáticos, se pide la comparación de las constantes de proporcionalidad correspondientes a ambos quiosqueros.
Observemos que, para cada relación, se da como dato un solo par: cantidad de figuritas – precio correspondiente, y ninguno de los dos pares contiene el precio de 1 paquete.
La complejidad del problema es mayor que la que supone completar una tabla de proporcionalidad: es necesario acá comparar las razones 3,5/5 y 6/8 que corresponden al precio de un paquete en cada quiosco.
Supongamos ahora que el problema hubiera venido formulado de manera tal que la pregunta fuera:
¿En cuál de los dos quioscos convendrá comprar?
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Si bien este problema no puede considerarse mucho más complejo que el anterior, sí supone una tarea, por lo menos, más extensa. El alumno podrá pensar en resolverlo calculando el precio unitario (es decir reduciendo el problema al problema anterior), o podrá comparar el precio de una determinada cantidad (5, 8, 10 o lo que le resulte conveniente) para comparar. (Veremos este tipo de alternativas en c) Procedimientos posibles de resolución.)
En ambos problemas deberá manejar simultáneamente dos relaciones de proporcionalidad, lo que representa una complejidad mucho mayor que completar una tabla. A esto se le agrega una complejidad adicional, si en vez de pedir el cálculo del valor unitario, el alumno debe elegir esa tarea o alguna otra que le permita comparar.
Cuando la comparación de constantes se complica
Notemos que en el ejemplo de los quiosqueros, en cada relación, una de las magnitudes que interviene se expresa numéricamente con números naturales (cantidad de figuritas). La misma situación de comparar las constantes puede complicarse aún más si las dos magnitudes que se relacionan son continuas, como por ejemplo en el siguiente problema
Un jabón en polvo viene en paquetes de 500 gramos a $ 3,70 o en paquetes de 300 gramos a $ 2,10. ¿Cuál de los dos envases resulta más económico?
Acá, la búsqueda de la constante se dificulta por el hecho de que el valor correspondiente a 1 gramo de jabón carece de sentido en la realidad. Retomaremos este ejemplo cuando analicemos procedimientos posibles.
De paso, invitamos al lector a volver a analizar en este nuevo contexto el problema de los alumnos que viajan según la proporción y el número de cursos. (Véase la sección Todo cambia cuando los números cambian.)
¿Dónde está la pregunta?
Consideremos ahora los siguientes problemas:
A- Laura estuvo haciendo un plano para su departamento: un ambiente, cocina, baño, y un hall de entrada. Completar la siguiente tabla, sabiendo que con 1 cm va a representar 1 m (o sea con una escala de 1cm / m):
Medida real (en metros)
Medida sobre el plano (en cm)
Largo 4 ......... Habitación
Ancho 3,50 .........
Baño Lado 1,50 .........
Largo 3 ......... Cocina
Ancho 2,50 .........
Hall Lado 1 .........
B- Al fin se decidió por otra escala. El lado del baño quedó sobre el plano, de 3 cm. ¿Qué escala utilizó esta vez? ¿Por qué?
C- Entusiasmada agregó un balcón terraza a su último plano. Le quedó así:
¿Qué medidas sueña para su balcón?
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Este conjunto de problemas plantea exhaustivamente el tratamiento del lugar de la meta y del dato en una tabla de proporcionalidad. Analizando los enunciados queda claro que se trata de:
a) Dadas la escala y las medidas reales, obtener las medidas en el plano (problema A).
b) Dadas las medidas reales y las del plano obtener la escala (problema B).
c) Dadas la escala y la medida en el plano obtener la medida real (problema C).
En esta secuencia, hemos planteado distintos tipos de tareas:
- Búsqueda de incógnitas que pueden pertenecer a cualquiera de los dos conjuntos que se relacionan.
- Análisis del significado de la constante de proporcionalidad en una situación particular. - Comparación de situaciones similares a partir del análisis de las respectivas constantes de
proporcionalidad.
Por último pero no menos importante, consideremos este problema, que merece una atención especial:
Laura tomó un mapa y sacó una fotocopia reducida del mismo. Aquí está:
Este es el problema más complejo de la serie, y requiere poner en juego un alto poder de conceptualización. Por otra parte, su resolución no puede hacerse mediante una cuenta, sino que requiere hacer un razonamiento sobre datos que no son numéricos.
El alumno podrá resolverlo, por ejemplo, analizando el significado de que tanto en el mapa original como en la fotocopia 1 centímetro representa 25.000.000 centímetros (escala 1: 25.000.000), y llegar entonces a una contradicción. Este es un razonamiento que utiliza números, pero que los números utilizados sean considerados como datos relevantes requiere un análisis de la información que no es trivial:
- El alumno debe seleccionar entre toda la información que da el enunciado (en el que interactúan la información gráfica y la verbal), aquella que resulte pertinente para responder.
- No son los números en sí mismos los que constituyen la información pertinente, sino una relación entre los mismos.
Hemos observado que muchos alumnos intentan resolver el problema utilizando información no relevante. Resulta para ellos un proceso sumamente fructífero ir descartando soluciones
El mapa original estaba perfecto, pero la fotocopia contiene un error. ¿Cuál es?
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incorrectas a medida que avanzan en el análisis de la situación. Aún en el caso de que el alumno llegue a la resolución correcta sólo con ayuda del docente, el abordaje de este problema da lugar a conceptualizaciones importantes.
Resulta interesante en este problema observar que la escala está presentada en dos formas: numérica y gráfica. Como ya dijimos, el alumno deberá llegar a la conclusión de que la escala numérica (1: 25.000.000) es errónea (con esto responde el problema). Pero además el maestro puede hacer observar que la escala gráfica no cambia a pesar de la reducción, ya que la misma también es “víctima” de la misma reducción que sufre el resto de la figura.
Si se ubica este problema después de los problemas anteriores de escala, los chicos podrán relacionar las conclusiones establecidas anteriormente con esta nueva situación: al reducir la figura cambia la escala utilizada. Esta es una conclusión de un nivel de complejidad superior a las obtenidas anteriormente, y de alguna manera le da un significado más rico al concepto ya elaborado.
Deseamos a propósito de este problema, y en particular de esto último que acabamos de señalar, llamar a una reflexión de orden teórico: el alumno, para resolver el problema, buscará dentro de sus recursos alguno que lo ayude, pero seguramente necesitará algún recurso nuevo, no utilizado hasta el momento. En ese sentido decimos que no aplicará (estrictamente) lo aprendido, sino que realizará un proceso que enriquecerá el conocimiento anterior.
Según nuestra concepción, la idea de aplicación es relativa al estado de conocimiento de quien la realiza. Desde el punto de vista de quien ya ha elaborado el concepto puede hablarse de una aplicación propiamente dicha, que se corresponde con que el concepto utilizado se encuentra en estado acabado, y se trata de aplicarlo en un contexto particular. Desde el punto de vista del alumno, el término aplicación se relativiza, porque el problema apunta a construir el significado de la proporcionalidad, a partir de proveer un contexto complejo en el cual no cabe una utilización mecánica del concepto acabado.
• Los problemas desde los posibles procedimientos de resolución
Nos interesa ahora mirar los problemas desde la óptica de los posibles procedimientos de resolución. Pensamos que es necesario facilitar, desde los problemas que se proponen, el mayor despliegue posible de estrategias.
Para el análisis de los posibles procedimientos de resolución será especialmente relevante tener en cuenta la definición del concepto de proporcionalidad directa y las propiedades derivadas de dicha definición.
¿En qué sentido es pertinente tener en cuenta estos aspectos? La consideración de la definición y de las propiedades fundamenta los distintos procedimientos que se ponen en juego ante la resolución de una solución concreta.
Analicemos nuevamente el problema de Paola y las figuritas, ahora centrados en las estrategias para su resolución. Recordémoslo:
Paola colecciona figuritas. La siguiente tabla muestra la relación entre algunas cantidades de paquetes y la cantidad total de figuritas que obtiene. Completar la tabla, sabiendo que todos los paquetes traen la misma cantidad de figuritas.
Cantidad de paquetes 4 8 2 10 Cantidad de figuritas 20 100
Para el cálculo de la cantidad de figuritas de 8 paquetes, hemos observado que la estrategia más frecuente que los niños ponen en juego (siempre que se les permita producir sus propias estrategias) es multiplicar 20 x 2.
x 2
x 2
Cantidad de paquetes 4 8 Cantidad de figuritas 20 40
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Cuando se solicita a los niños que fundamenten su procedimiento, en general dicen que cosas como ésta:
"que hay que hacer 20 x 2 porque si tengo el doble de paquetes, voy a tener el doble de figuritas".
Observemos que el argumento de los chicos es una primera versión de la propiedad 1, que hemos enunciado en la página 2.
Es que justamente los chicos conocerán la propiedad a través de un proceso de construcción que pasará por distintas instancias hasta llegar a su elaboración acabada. Así, es probable que primero haya un uso implícito de la propiedad, que podrá explicitarse en un debate con todo el grupo de clase, coordinado por el docente.
Es probable también que en un principio los chicos usen la propiedad en el caso de que haya que duplicar, pero que no la pongan en juego si se trata de hacer otra multiplicación. La validez de la propiedad para otros números distintos de 2 se irá extendiendo progresivamente a través de la resolución de problemas, de la reflexión alrededor de los mismos, de la posibilidad de confrontar estrategias con otros compañeros, ...
Aplicando la misma propiedad se puede calcular la cantidad de figuritas que hay en 2 paquetes:
Un procedimiento posible para calcular las figuritas correspondientes a 10 paquetes es hacer 40 + 10. Claro, se fundamenta en la propiedad de la suma (propiedad 2 de la página 2).
En la tabla siguiente mostramos posibles procedimientos para el cálculo de las otras incógnitas:
+
Cantidad de paquetes 4 8 2 10 Cantidad de figuritas 20 40 10 50
10 + 20
8 + 2
: 2
: 2
x 2
x 2
: 2
: 2
Cantidad de paquetes 4 2 Cantidad de figuritas 20 10
Cantidad de paquetes 4 8 2 10 5 1 (20) ... Cantidad de figuritas 20 (40) (10) (50) (25) ... 100 120
: 2
: 2
x 2
x 2
8 + 2
10 + 40
: 2
: 2
x 2
x 2
4 + 20
20 + 100
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El famoso cálculo de la unidad
El cálculo de la cantidad de figuritas de 1 paquete se puede pensar de varias maneras. Una de las cuentas que resuelve el asunto en el caso de Paola y sus figuritas es:
20 / 4 = 5
Esta cuenta corresponde en realidad a dos maneras distintas de pensar en la cuestión:
1) Como 1 es la cuarta parte de 4, entonces en 1 paquete hay la cuarta parte de figuritas que en 4 paquetes, es decir que en 1 paquete hay 20/4 = 5 figuritas. (Aplicación de la propiedad 1 pág. 24)
2) El cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y es la cantidad de figuritas por paquete. (Aplicación de la definición).
paqueteporfiguritaspaquetesfiguitas
5420
=
Aunque en los dos procedimientos descriptos la cuenta es la misma, las relaciones establecidas para llegar a esa cuenta no son iguales:
En el primer caso, las dos magnitudes que se relacionan se manejan independientemente una de otra. En el segundo procedimiento, en cambio, se introduce una magnitud cociente: la cantidad de figuritas por paquete.
Una tercera manera de calcular la cantidad de figuritas que hay en un paquete se obtiene haciendo 25 – 20.
¿Cuál es la relación que lleva a esta última cuenta? Si en 4 paquetes hay 20 figuritas y en 5 paquetes hay 25, a la diferencia de paquetes, que es 1, corresponde la diferencia de figuritas que es 5.
Vemos entonces que no hay una única manera de reducir a la unidad, tal como supone la tradición escolar en materia de procedimientos.
¿Es imprescindible “pasar de la unidad” para plantear relaciones multiplicativas?
Necesidad de operar con fracciones
Analicemos ahora el siguiente problema
Laura, Aníbal y Julieta se pusieron de acuerdo: al terminar la fiesta dividirían el resto de la torta en tres partes iguales: una para cada chico. Completar la siguiente tabla, que relaciona la fracción que recibirá cada chico con algunos posibles restos de torta:
fracción de torta restante fracción para cada chico 1/2 ... 1/3 ... 1/4 ... ... 1/4
Cantidad de paquetes 4 1 Cantidad de figuritas 20 5
: 4
: 4
15
En este problema los datos que se proponen son números racionales y la constante de proporcionalidad también es un número racional: 1/3. Es evidente que en este caso es mucho más difícil aplicar las relaciones de tipo “a doble, doble”; “a mitad, mitad”; o “a la suma, la suma”. Para el alumno no es tan claro que, por ejemplo, 1/4 es la mitad de 1/2. El dominio de validez de estas propiedades no se extiende tan fácilmente de los naturales a los racionales. Este hecho puede hacer que los alumnos busquen otras relaciones entre los elementos de la tabla y descubran que es bastante económico multiplicar por 1/3 o por 3 según donde se encuentre la incógnita.
En la medida en que un cambio en los datos numéricos implica un cambio en los procedimientos que produce el alumno, el docente puede manejar esta variable para bloquear o favorecer determinadas estrategias.
Distintos procedimientos a propósito de la tarea de comparar relaciones.
Ya nos hemos referido al problema 3 del anexo. Se trata en este caso de comparar dos relaciones de proporcionalidad directa.
Vimos que una manera de resolver la situación es comparar las respectivas constantes de proporcionalidad.
Queríamos llamar la atención respecto de otras estrategias posibles:
La comparación es posible si se igualan, o bien la cantidad de paquetes, o bien los precios. La intención de mostrar otros procedimientos es señalar hasta qué punto el aferrarse a procedimientos convencionales puede trabar las posibilidades de enriquecimiento de la conceptualización.
Conclusiones:
A manera de síntesis queremos destacar las siguientes cuestiones:
- la diversidad de procedimientos en el aula, junto con el intercambio de los mismos entre los compañeros constituyen factores de progreso en el conocimiento. El alumno amplía su propia comprensión tanto cuando necesita encontrar palabras para explicar sus producciones, como cuando debe centrarse en el punto de vista de otro alumno;
- la utilización de uno u otro procedimiento por parte del alumno debiera atender a las características de la situación y a razones de economía;
- los problemas de regla de tres son problemas de proporcionalidad directa en los que se da un par de elementos que se relacionan y se pide hallar el correspondiente de otro elemento. No hay nada que justifique su tratamiento separado de la proporcionalidad;
- el docente puede propiciar o bloquear determinados procedimientos a partir de variar los datos de los problemas que propone.
Francisco Tomás
cantidad de paquetes precio cantidad de
paquetes precio
5 3,5 8 6
20 14 16 12
4 3
20 15
x 4 x 4
: 4
x 2
: 4
x 2
+ +
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• Los problemas desde la perspectiva de la utilización de diferentes formas de representación.
En este trabajo queremos poner el acento especialmente en la importancia de ser exhaustivo en las formas de representación, en la riqueza del análisis a partir de la integración entre las mismas, y en que el alumno sea capaz de traducir un problema de una forma a otra.
En la medida que esto se lleve a cabo, se obtendrá como consecuencia que el alumno no identifique el concepto con la representación. Esto deberá ser – a nuestro juicio – un objetivo importante en relación a la adquisición de conceptos.
Cada forma de representación pone de relieve un aspecto de la información que se provee o se maneja. Por ejemplo, el grafico cartesiano permite visualizar globalmente el comportamiento de la relación, será especialmente relevante cuando interese comparar dos relaciones se describen fenómenos semejantes. La tabla de datos, a su vez, es propicia para la puesta en juego de las propiedades 1 y 2 de la proporcionalidad.
Por otra parte, el alumno asocia a cada forma de representación determinadas tareas y procedimientos, y en ese sentido la utilización de distintas formas aporta a ciertos aspectos particulares de la conceptualización.
Asimismo, cada forma tiene su complejidad particular.
Es habitual que ante problemas presentados en forma análoga al problema 2 del Anexo, el alumno mire la tabla y asocie inmediatamente la situación con una de proporcionalidad, aún antes de haber leído la parte de formulación verbal del problema, que justificaría que la asociación es correcta.
¿Por qué motivo ocurre esto? La explicación es sencilla. Los alumnos asocian tareas y conceptos con las representaciones habituales propuestas por sus maestros (o por situaciones no escolares). De esta manera, la resolución del problema puede transformarse en una aplicación mecánica de algunos métodos aprendidos en relación al concepto. En este caso, la respuesta será correcta. Pero, podemos hablar de resolución correcta? Pensamos que sí solo en la medida en que el alumno haya analizado la totalidad del enunciado, y sepa que se trata de una situación de proporcionalidad a partir de un análisis crítico de la situación.
Ese sentido crítico se desarrolla a partir de ejercitar al alumno en la discriminación entre concepto y representación.
Consideremos los siguientes problemas:
A. Completar la siguiente tabla:
Edad de Aníbal Edad de Laura 11 14 12 23
B. Uno de estos cuadros, corresponde a cantidades que no son directamente proporcionales ¿Cuál es? ¿Por qué?
2 4 2 4 4 8 4 8 6 12 6 9
Ambos utilizan la representación tablas, pero en el problema A no hay proporcionalidad, y en el B se trata de discriminar en caso en que sí lo es de otro en que no.
Apuntamos con esto a la independencia entre la forma de representación y el concepto.
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Consideremos ahora este otro problema
Paola colecciona figuritas. Cada paquete trae 5 figuritas. ¿Cuántas figuritas podrá pegar en su álbum si compra 8 paquetes?
Allí se utiliza una formulación estrictamente verbal, con una estructura que puede asociarse nuevamente con la proporcionalidad, por el hecho de que la mayor parte de los problemas dados verbalmente en la escuela para utilizar proporcionalidad, son dados de esa manera.
Una aplicación del modelo de proporcionalidad llevará en este caso a una respuesta errónea. Si el alumno respondiera desde el sentido común, desde su enorme experiencia con figuritas, seguramente no se equivocaría: cualquier chico sabe que al comprar varios paquetes, las figuritas se repiten y no podrá pegarlas todas en su álbum. Por lo tanto no tiene sentido decir que comprando 8 paquetes, podrá pegar 40 figuritas. Es probable que el docente se equivoque es ese sentido más que el alumno, si se apura a responder el problema sin analizarlo. Por ese motivo nos ha parecido oportuno incluirlo aquí:
- Por un lado, si el docente, apurado, realiza la operación 5x8, habrá experimentado lo que significa asociar una forma de representación con el concepto, y podrá reflexionar acerca de las consecuencias didácticas de este hecho. Invitamos al lector a compartir su experiencia con otros colegas, cualquiera haya sido su situación frente al problema. Seguramente encontrará algún colega que no haya tomado la precaución de analizar las condiciones antes de responder (entre otras cosas porque el problema parece demasiado fácil).
- Por otro lado, para el chico, el problema es muy claro para entender por qué no se puede multiplicar 5x8, dado que es un problema muy significativo para él. De esa manera, resultará natural discutir con él y conjeturar las condiciones que deben cumplirse para hablar de proporcionalidad. Se estará apuntando entonces a establecer las condiciones de aplicabilidad del modelo ( por supuesto, no queremos decir con esto que haya que decirlo en estos términos al hablar con el alumno).
Otro punto importante se refiere al trabajo que el alumno debe hacer cuando pasa de una forma de representación a otra. Nuevamente, los problemas 15 a 19, y el problema 20 acuden a auxiliarnos.
El problema 15 tiene una parte formulada verbalmente y otra en forma de tabla. Se trata de utilizar la constante de proporcionalidad (dada verbalmente) para completar la tabla.
El problema 16, en cambio, requiere que el alumnos construya una tabla (u otra forma de representación) para analizar las medidas correspondientes con cada una de las escalas.
Otro tanto ocurre con el problema 17, esta vez para averiguar las medidas reales.
Los problemas 18 y 20 presentan la información de manera gráfica. El alumno deberá buscar los datos relevantes a partir del mismo, y utilizar alguna forma de representación a fin de resolverlos.
El conjunto total de problemas está pensado para poner en juego distintas formas de representación y posibilitar la interacción entre las mismas.
• Los problemas desde la perspectiva de los conceptos derivados de contextos particulares de utilización
Velocidad
Ya nos hemos explayado acerca de la dificultad que tiene para el alumno el uso de la proporcionalidad cuando se relacionan magnitudes. La comparación de velocidades medidas
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con distintas unidades requiere poner en juego esta dificultad, a través de sugerir la necesidad de llevar a la misma unidad (cociente) los valores, a fin de compararlos.
Esta es la intención del problema 13. El enunciado pretende ser impactante en el hecho de que los números involucrados, 120, 2, 2000 y 120000, que representan ciertas velocidades medidas en distintas unidades, parecen sugerir un orden entre dichas velocidades, pero la sugerencia es engañosa.
Cuando el alumno lleva dichas medidas a una unidad común (criterio que debería desarrollar por sí mismo) llega a la conclusión de que todas las velocidades son iguales. La sugerencia es que este problema promueva una discusión sobre el significado de las unidades y sobre el hecho de que la constante de proporcionalidad depende en realidad de las unidades en juego: al cambiar las unidades, la constante cambia (por ejemplo si se lleva todo a km/h, resulta para todas las situaciones que la constante es igual a 120). Insistimos en esto por el hecho de que la palabra constante tiene una connotación demasiado poderosa en el sentido de no variar Que el alumno entienda en qué sentido no varía es un aspecto que puede llevar bastante tiempo. Si no se le presentan problemas que pongan en juego esta (aparente) contradicción puede que el alumno no reflexione nunca acerca de ello.
El problema 14 tiene una formulación abierta. La idea es que el alumno ponga en juego el concepto de velocidad a partir de la necesidad de medirla. Deberá para ello establecer relaciones pertinentes. Podrá por ejemplo registrar el espacio recorrido en varios períodos de tiempo de la misma duración u observar el tiempo que tarda en recorrer determinada cantidad de camino.
La reducción de una unidad a otra.
El problema siguiente es un viejo conocido de la tradición escolar:
Completar la siguiente tabla que expresa la relación entre la cantidad de kilómetros y la cantidad de centímetros contenidos en determinadas longitudes.
Cantidad de kilómetros Cantidad de centímetros 1 .... 2 …
0,02 …. … 1
Lo hemos incluido aquí con el ánimo de hacer la reflexión de que la medida de una longitud en una unidad determinada es proporcional a la medida de esa misma longitud en otra unidad. Esto es un concepto muy poderoso sobre el cual usualmente no se reflexiona.
Es habitual que los chicos digan: las medidas de longitud van de 10 en 10. Invitamos a que hagan la experiencia de preguntarles qué significa eso de que van de 10 en 10. Este es un ejemplo especialmente claro en relación a la fragmentación del conocimiento al que ya nos hemos referido: al considerárselo un tema en sí mismo se lo ha desvinculado del concepto de proporcionalidad. Esto va en contra de la búsqueda de conceptualización por parte de los alumnos.
5. Análisis de la propuesta global a través de una secuencia de problemas particular, en relación a la construcción del concepto de escala
Hasta aquí hemos realizado un detallado análisis de las distintas variables que pueden influir en la complejidad de un problema. Como anunciáramos al principio, un problema particular es la conjunción de todos esos factores: conceptos subordinados, tipo de tarea, procedimientos
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sugeridos, formas de representación y, si corresponde, conceptos derivados de los contextos de utilización.
Esperamos hasta aquí haber logrado transmitir un método de análisis de los problemas o conjunto de problemas a fin de que sirva para que el docente elija una secuencia apropiada para cada situación didáctica particular, que tenga en cuenta las características de su grupo de alumnos.
A manera de síntesis, presentamos aquí un conjunto de problemas que, en el contexto particular del concepto de escala, contiene la combinación de los distintos factores analizados, con niveles crecientes de complejidad.
Los problemas a los que hacemos referencia figuran en el anexo como problemas número 15, 16, 17, 18, 19, 20 y 23.
No realizaremos en este contexto el análisis de aspectos que ya hemos analizado anteriormente. Sí nos interesa llamar la atención sobre cuáles de ellos están presentes.
En primer lugar, en los problemas 15 a 20, se ve una forma de trabajar exhaustivamente los tipos de tarea que se pueden proponer. Cada uno de ellos pone en juego una estrategia diferente, en relación a cuáles son los datos y cuál la meta. Por supuesto, este tratamiento puede (y sugerimos que se haga) hacerse con cualquier problema. Sin embargo, nos parece especialmente interesante en el caso de las escalas la claridad con que el dominio de la realidad interactúa con el dominio numérico, y su poder para conceptuar la proporcionalidad (en un caso complejo en relación a las unidades, incluyendo el caso en que la magnitud cociente no tiene unidades, como es el caso de la escala 1:200, 1:300, etc.)
El problema 23, como ya hemos analizado, plantea una tarea mucho más compleja, dado que no es posible realizarlo mediante ninguno de los procedimientos puesto en juego hasta el momento.
El conjunto de problemas utiliza distintos tipos de números: naturales y fraccionarios, éstos últimos en notación decimal y en notación fraccionaria.
Se utilizan distintas formas de representación: por tablas, verbal y gráfica. El alumno se verá en la necesidad de traducir los problemas de un lenguaje a otro para interpretarlos y resolverlos.
Los procedimientos involucrados naturalmente son de distinto tipo. A esto se agrega que para responder deberá, además de obtener un resultado numérico, utilizar críticamente dicho resultado.
Nos interesa señalar algunos aspectos que deberán someterse a la discusión de todo el grupo de alumnos a propósito de esta secuencia:
- para determinada elección de unidades, mayor escala (mayor constante) significa un plano más grande;
- cuando las unidades elegidas para las longitudes en la realidad y en el plano son las mismas, no es necesario especificarlas y el coeficiente de proporcionalidad no depende de la unidad elegida: 1:200 significa tanto 1 m para representar 20 m o 1 cm para representar 200 cm. Es decir 1:200 significa 1 unidad (cualquiera sea) para representar 200 de esas mismas unidades;
- para representar un determinado terreno, la utilización de la escala (escala 1:200) permite obtener un plano más detallado que si se utilizar al escala 1:300 ya que la fracción 1/200 es mayor que 1/300. (Esto no resulta evidente para los alumnos que tienden a pensar que 1/300 > 1/200 aplicando una regla (falsa) construida, probablemente, como una transferencia de lo que ocurre con los números naturales: “como 300 > 200, entonces 1/300 > 1/200”);
- en el caso de escalas, una constante entre 0 y 1, siempre que se utilice la misma unidad para la realidad y para el mapa, corresponde a una reducción, en cambio una constante mayor que 1 corresponde a una ampliación (problema 7).
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Observemos que la explicitación de los aspectos señalados anteriormente a través de una discusión con los alumnos, posibilita plantear una interacción entre la situación real que da lugar a la relación de proporcionalidad (en este caso el problema de la escala) y su representación en el esquema numérico. Pensamos que el estudio en profundidad del funcionamiento de la proporcionalidad en un contexto determinado, esto es analizar el significado de la constante en esta aplicación particular, tener en cuenta las variaciones que se producen al cambiar las unidades, dar sentido al hecho de que la constante sea un número mayor o menor que 1, etcétera, amplia notablemente las posibilidades de conceptualización. Creemos que cuanto más rico sea el conjunto de problemas con los que el chico tenga la oportunidad de enfrentarse, cuantas más relaciones logre establecer, mejores serán las condiciones en las que se encuentre para poder asimilar situaciones nuevas a su experiencia previa del concepto.
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Anexo Una propuesta de problemas para la construcción del campo conceptual multiplicativo de la escuela primaria.
1- Paola colecciona figuritas. Cada paquete trae 5 figuritas. ¿Cuántas figuritas podrá pegar en su álbum si compra 8 paquetes?
2- La siguiente tabla muestra la relación entre algunas cantidades de paquetes de figuritas y la cantidad total de figuritas que se obtienen. Completar la tabla sabiendo que todos los paquetes traen la misma cantidad de figuritas.
Cantidad de paquetes 4 5 8 12 10 1 Cantidad total de figuritas 20 80 60 160 200
3- Don Francisco y Don Tomás venden las figuritas que colecciona Paola. En el quiosco de Don Francisco, el precio de 5 paquetes es de $ 3,5. Al precio de Don Tomás, en cambio, el importe de 8 paquetes es de $ 6. ¿Qué quiosco elegirá Paola? ¿Por qué?
4- ¿Cuánto cuestan 10 paquetes en el quiosco de Don Tomás?
5- Si un chico le compró las figuritas a Don Tomás y gastó $ 27, ¿cuántos paquetes compró?
6- Los chicos del grado de Aníbal van a comprar chocolate para repartir entre ellos, calculando media tableta por chico. Completar la siguiente tabla.
Cantidad de chicos presentes Cantidad de chocolate consumido (medido en tabletas)
18 9 21 .... 22 11 23 11 1/2
En algunos casos quedará media tableta sin repartir, ¿cómo es en ese caso el número de chicos?
7- Laura, Aníbal y Julieta se pusieron de acuerdo: al terminar la fiesta dividirán el resto de la torta en tres partes iguales, una para cada chico. Completar la siguiente tabla que relaciona la fracción que recibirá cada chico con algunos posibles restos de torta.
Fracción de torta restante Fracción para cada chico ½ .....
1/3 ..... ¼ .....
...... ¼
8- En un bote caben 4 personas.¿Cuántos botes se necesitan como mínimo para transportar 25 personas?
9- Con relación al problema anterior: ¿cuántos botes se necesitan si se quiere que en cada bote vaya la misma cantidad de personas?
10- En un bote caben 4 personas. ¿Cuántos botes se necesitan como mínimo para transportar 24 personas? ¿Y para transportar 28? ¿Cuántas personas se transportan en 8 botes, si todos los botes se utilizan al máximo de su capacidad?
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11- Completar la siguiente tabla:
Edad de Aníbal Edad de Laura 11 14 12 23
12- Uno de estos cuadros corresponde a cantidades que no son directamente proporcionales. ¿Cuál es? ¿Por qué?
2 4 2 4 4 8 4 8 6 12 6 9
13- Para el juego de carreras de autos se dispone de un mazo de tarjetas. Cada tarjeta indica una velocidad. Comienza el chico que obtiene la tarjeta con mayor velocidad. La tarjeta de Ariel indica 120 kilómetros por hora, la de Juan Pablo 2 kilómetros por minuto, la de Ignacio 2000 metros por minuto y la de Aníbal 120000 metros por hora. ¿Quién empieza? ¿Por qué?
14- Proponer distintas maneras de controlar el velocímetro de un auto en el que uno circula por una ruta a velocidad constante.
15- Laura estuvo haciendo un plano para su departamento: un ambiente, cocina baño y un hall de entrada. Completar la siguiente tabla, sabiendo que con 1 cm, va a representar 1 m (o sea con una escala 1 cm/m):
Medida real (en metros)
Medida sobre el plano (en cm)
Largo 4 ......... Habitación
Ancho 3,50 .........
Baño Lado 1,50 .........
Largo 3 ......... Cocina
Ancho 2,50 .........
Hall Lado 1 .........
16- Después probó con otras escalas: ¿Con cuál resultará un plano más grande: con la de 1 cm/m, la de 1/2 cm/m, o la de 3 cm/m? ¿Por qué?
17- Al fin se decidió por otra escala. El lado del baño quedó, sobre el plano, de 3cm. ¿Qué escala utilizó esta vez? ¿Por qué?
18- Entusiasmada, agregó un balcón terraza a su último plano. Le quedó así:
¿Qué medidas sueña para su balcón?
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19- Por último, ya experta en escalas, consideró el siguiente dibujo:
Para ayudarte a entender el tema de escalas, Laura te pide ahora que realices una ampliación y una reducción del mismo, y que completes luego la siguiente tabla:
Largo Ancho Dibujo original (en cm)
Dibujo ampliado (en cm) Dibujo reducido (en cm)
¿Qué escala utilizaste para la ampliación? ¿Y para la reducción? ¿Qué relación guardan esos números entre sí? ¿Podrías realizar alguna conjetura?
20- Consultando planos de arquitectos, observó que venían sin unidades: 1: 100; 1: 200; 1: 300…. Se preguntó qué querrían decir, y por qué venían sin unidades. ¿Cómo se le podría explicar?
21- Completar la siguiente tabla, que expresa la relación entre la cantidad de kilómetros y la cantidad de centímetros contenidos en determinadas longitudes.
Cantidad de kilómetros Cantidad de centímetros 1 …….. 2 ……..
0,02 …….. ……. 1
22- Reducir a metros: 3 km 2 dam 4 m
3/10 cm
23- Laura tomó un mapa y sacó una fotocopia reducida del mismo. Aquí está:
El mapa original estaba perfecto, pero la fotocopia contiene un error. ¿Cuál es?