1

CAPÍTULO 8

El Modelo Estándar y posibles simetrías superiores

8.1 Introducción (recordatorio): Quarks y Leptones

8.2 Estructura de los hadrones: Quarks de valencia y quarks del mar (*)

8.3 Ruptura de simetría

8.4 Confinamiento en cromodinámica cuántica

8.5 El mecanismo de GIM y la matriz de CKM

8.6 Modelos de Gran Unificación

8.7 Supersimetrías

8.8 Gravedad, Supergravedad y Supercuerdas

(*) Referencias y nomenclatura: Quarks & Lepton. F. Halzen and A.D. Martin

2

- Espectro de hadrones y el Modelo Quark

(M. Gell-Mann y G. Zweig, 1960)

- Experimentos de scattering inelástico de electrones en SLAC

(J. Friedman, H. Kendall y R. Taylor, 1968)

…AUSENCIA de estados ligados del quark t

3

� Criterio seguido con la simetría de isospin fuerte: el miembro superior del

multiplete es el de carga eléctrica mas alta.

� Números cuánticos: B = 1/3 para todos los quarks. S(s) = -1 (igual para c, b y t)

Familias (o sabores) de quarks y leptones

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] ebQsQdQ

etQcQuQ

3

13

2

−===

+===

−−−

b

t

s

c

d

u

e

e

τ

ν

µ

νν τµ

(2)en lfundamenta

ción Representa

1

0

0

1

SU

4

Contenido en quarks de mesones y bariones

� Mesones = bosones (spin entero) ⇒Estados ligados de un número par de quarks (fermiones de spin ½)

( )dduududu −=== −+2

1 0πππ

sdKsdKsuKsuK ==== −+ 00

scDscD

ucDucDdcDdcD

ccJ

ss ==

====

⇒=

−+

−+

1964) Richter, B.y Ting (S. /

00

ψ

bsBbsB

bdBbdBbuBbuB

bbΥ

ss

dd

==

====

⇒=−+

00

00

1977) Lederman, (L.

(1ª)

(2ª)

(3ª)

Conservación de

todos los #

cuánticos:

S(s) = -1

Charm(c) = 1

Bottom (b) = -1

← Similar al sistema de kaones: violación CP

5

Contenido en quarks de mesones y bariones

� Bariones = fermiones (spin semi-entero) ⇒Estados ligados de un número impar de quarks

uddnuudp ==

s)quark (1 Hyperones 00 ddsudsuusuds =Σ=Σ=Σ=Λ→ −+

(1ª)

(2ª)

dssuss =Ξ=Ξ→ − s) quarks (2 Cascada 0

� Bariones (S=3/2) ⇒Existencia del color = Antisemitría de las funciones de onda de fermiones

sssuuu =Ω=∆ −++

6

� Verificación experimental de la existencia de color:

→

a

a

a

a

a

a

b

t

s

c

d

u

b

t

s

c

d

u

( )( )+−+−

+−

→→

=µµσ

σee

hadroneseeR

a = rojo, azul, verde

Bariones = uud ; Mesones = uu

7

( )+−+− → µµσ ee

( )hadronesee →+−σ

8

j(1) j(2)

propagador2/ qigµν−

0=⋅∇+∂∂

jt

rρ

( ) ( )( )

( ) 0

, ;0

0 ;

0

0

222

=−∂

≡

−=

=

+=⇔+⋅=

ψγ

αββγβσ

σα

ψψψβαψ

µµ

µ

mi

I

I

mPHmPH

r

rrrEcuación de Dirac

φφφ 222

2

222

;

mt

ipt

iEmpE

=∇+∂∂

−

∇−→∂∂

→+= hr

hr

Ecuación de Klein-Gordon

Ecuación de Schrödinger relativista para una

partícula libre de masa m:

Partículas en movimiento:

Forma covariante (partículas y antipartículas con

spin)

Densidad de flujo de un haz de partículas:

Ecuación de continuidad

(Teorema de Gauss)

(la disminución del numero de partículas

en un volumen dado es igual al flujo total

de partículas fuera del volumen)

0=∂ µµ j

ψγψ µµ ej −=

con la densidad de corriente:

9

( ) ( ) ( )

uq

ue

uq

euu

q

euu

q

euJ

q

qqq

quarks

2

2

2

2

2

2

2

2

1 3 ~

1

0

0

100

0

1

0

010

0

0

1

001~

µ

µµµ

γ

γγγ

+

+

Corriente de quarks (para un sabor de quarks):

( ) ( )+−+−+− →=→ µµσσ eeeqqee q23Suma a todos los sabores:

( ) ( ) ( )+−+−+−+− →=→=→ ∑∑ µµσσσ eeeqqeehadroneseeq

q

q

23

( )( ) ∑=→

→=

+−+−

+−

q

qeee

hadroneseeR 23

µµσσ

10

bcsduq

csduq

sduqR

,,,, 3

11

3

1

3

2

3

1

3

1

3

23

,,, 3

10

3

2

3

1

3

1

3

23

,, 23

1

3

1

3

23

22222

2222

222

==

+

+

+

+

==

+

+

+

==

+

+

=

11

Quarks de valencia y quarks del mar en los hadrones

La estructura de los hadrones ⇔ Experimentos de dispersión profundamente inelástica de electrones

(confirmación experimental de QCD)

⇒Encontrar “funciones de onda” que describan a los hadrones en términos de sus constituyentes (y viceversa)

12

Factores de forma. (Procedimiento general)

� Determinar una distribución de carga a partir de la distribución angular de los

electrones dispersados.

� Comparamos con la sección eficaz (conocida) de dispersión de electrones por

una carga puntual.

“blanco”

2)(qF

d

d

d

d

puntual

Ω=

Ωσσ

F(q) = Factor de forma (= forma del blanco)

q = ki – kf = momento transferido

)2/(cos)2/(4

2

42

2

θθ

ασsenEd

d

puntual

=

Ω

13

Dispersión elástica electrón-protón

1) Consideramos el protón como una carga puntual que obedece la ec. de Dirac.

dispersión e – µ ↔ dispersión e – p

+

−′

=Ω′ pp m

qsen

m

q

q

E

dEd

d

2)2/(

2)2/(cos

)2( 222

22

4

2

νδθθασ

)2/(4)cos1(222 22 θθ senEEEEppkkq ′−=−′−=′⋅−=′⋅−=(Despreciando las masas del e y p)

pm

qEE

2

2

−=′−=ν

−′

=Ω

)2/(2

)2/(cos)2/(4

2

2

22

42

2

θθθ

ασsen

m

q

E

E

senEd

d

pLab

Retroceso del protón Momento magnético del protón

Sin integrar en E´ (energía del electrón saliente):

14

Dispersión elástica electrón-protón

p

( )22 ḱkq −=

Si el protón tiene estructura:

( )

+−

−

=Ω

)2/(2

)2/(cos4

´

2sin4

22

212

222

22

222

142

2

θκθκ

θασ

senFFm

qF

m

qF

E

E

Ed

d

ppLab

)()()()( pupuJpupuJ protónprotónµµγ Γ′∝→′∝

νµνµµ σ

κγ qiqF

mqF

p

)(2

)( 222

1 +=Γ

κ = momento magnético anómalo del protón F1 , F2 = factores de forma independientes

( )µννµµν γγγγσ −=2

i

(formula de Rosenbluth)

… si el protón fuera una partícula puntual como el muon: k = 0 y F1 =1

15

magnético) momento deción (Distribu )(

carga) deción (Distribu 4

)(

21

2

22

2

1

2

FFqG

Fm

qFqG

M

p

E

κ

κ

+=

+=

( )( ) 213

0

2

22

22

2

1081.06r

71.01

2

cmdq

qdG

qqG

q

E

E

−

=

−

×≅

=⇒

−≈⇒

En la practica:

Empírico; la escala 0.71 GeV

refleja el inverso del tamaño del protón

16

Luego para las diferentes situaciones la sección eficaz evoluciona como:

222

;4

;con qQm

q

m

qp

pp

−=−

=⋅

= τν

{ }

{ }

{ } ( ) ( )

+=

+

+

+

+=

+

−=

→

→

→

2sin,2

2cos,...

22sin2

2cos

1...

22sin

22cos...

22

1

22

2

2222

22

22

2

22

θν

θν

νδθ

τθ

ττ

νδθθ

µµ

qWqW

m

qG

GG

m

q

m

q

eXep

MME

epep

ee

17

Dispersión inelástica electrón-protón

Si aumenta la energía transferida.. el protón empieza a comportarse como una partícula de Dirac libre (un quark):

m

Q

m

QW

m

QW

puntual

puntual

−=

−=

222

2

22

1

2

2

νδ

νδ

18

Dispersión inelástica electrón-protón

)( 2

1),(

)(22

12

),(2

2

22

2

1

222

1

wFm

QQW

wFm

Q

m

QQmW

puntual

puntual

→

−=

→

−=

νδνν

νδ

νν

qp

Q

m

qpm

Q

m

Q

wx

⋅=

⋅===

22

2

1con

222

ν

Independiente de Q2

para un valor dado de w

⇒Interacción puntualScaling de Bjorken

[similar al scattering

de Rutherford: sin-4(φ/2)]

(w caracteriza al fotón virtual)

19

Protón = Σ partones (quarks y gluones)

Función de distribución del momento del partón:

Probabilidad de que un parton i (que interacciona con el foton virtual) lleve una

fracción x del momento p del protón

1)( )( =→= ∑∫′

′i

ii

i xxfdxdx

dPxf

quarks) solo (no partones los todos´ =i

20

)( 2

1),(

)(22

12

),(2

2

22

2

1

222

1

2

2

wFm

QQW

wFm

Q

m

QQmW

altoQ

puntual

altoQ

puntual

→

−=

→

−=

νδνν

νδ

νν

2

2con

Q

mw

ν=

Redefinimos (por convención): )()( 2,12,1 xFwF →

)()(),(

)(2

1)(),(

2

2

2

2

21

2

1

2

2

xxfexFQW

xFx

xFQmW

i

iialtoQ

puntual

altoQ

puntual

∑= →

= →

νν

ν

La fracción de momento de los partones es idéntica a la variable cinemática

(adimensional) del fotón virtual

(Caracteriza al fotón virtual)

21

Interacción electrón-protón:

(Agrupamos por tipos de quarks, igual carga, y despreciamos la contribución de quarks c, b y t)

[ ] [ ]

[ ])()(3

1

)()(3

1)()(

3

2)(

1

2

22

2

xsxs

xdxdxuxuxFx

pp

ppppep

+

++

++

=

up(x) etc.. Son las distribuciones de probabilidad de los quarks u , etc..

⇒ 6 funciones de estructura desconocidas fi(x)

Interacción electrón-neutrón:

[ ] [ ] [ ]nnnnnnen ssdduuxFx

+

++

++

=222

23

1

3

1

3

2)(

1

22

Como p y n son miembros de un doblete de isospin su contenido en quarks esta relacionado:

)()()(

)()()(

)()()(

xsxsxs

xdxuxd

xuxdxu

np

np

np

==

==

==

Además se pueden imponer otras restricciones sobre las funciones de estructura: Ya

que los números cuánticos del protón y del neutrón están definidos por los quarks

constituyentes (o de valencia) , podemos suponer que los quarks del mar (u, d, y s)

ocurrirán con aproximadamente la misma frecuencia y distribución de momento:

)()()()()()()( xsxsxsxdxdxuxu seaseaseaseaseasea ======

[ ]

[ ] sduFx

sduFx

vv

en

vv

ep

3

44

9

11

3

44

9

11

2

2

++=

++=[ ] [ ]vvenep duFF

x−=−

3

1122

23

[ ] [ ]vvenep duFFx

−=−3

1122

enep FF 22 −

x

Datos de SLAC

24

Como los gluones que crean los pares quark – antiquark son de tipo bremstrahlung esperamos

que el espectro de s(x) sea de tipo brems a pequeño x ⇒ el número que quarks del mar crece logaritmicamente cuando x → 0.

vv

vv

xep

en

xep

en

du

du

xF

xF

xF

xF

++

→ →→→ 4

4

)(

)(y 1

)(

)(1

2

2

0

2

2

ep

en

F

F

2

2

x

Datos de SLAC

25

26

Parametrizando los datos F2ep,en(x) en términos de las distribuciones de quarks de valencia y

mar (usando las reglas de suma como ligaduras) extraemos las funciones de estructura de

quarks:

27

Gluones:

Si sumamos sobre el momento de todos los partones deberíamos reconstruir el momento

total p del protón; sin embargo, experimentalmente:

18.09

1

9

4)(2 =+=∫ du

ep xFdx εε

12.09

4

9

1)(2 =+=∫ du

en xFdx εε

( )p

puuxdx uu =+= ∫

1

0

con ε

46.054.0118.0 ; 36.0 =−=⇒== gdu εεε

28

fi(x1)

fj(x2)

)(ˆ sij ασ

p1

p2x2p2

x1p1

QCD perturbativa

⇔

( ) ),,,(ˆ)()(, 21212,

121 Qppxfxfdxdxpp sijjiji

ασσ ∑∫=Funciones

de estructuraQCD perturbativa

29

QED QCD

Momento transferidoDistancia

e efectiva

Distancia

gefectiva

Momento transferido

“ apantallamiento” “ anti-apantallamiento”

Comportamiento de αs: confinamiento y libertad asintótica

Recombinación

30

31

hadrons

e+ e-q

q

hadrons

hadrons

g

Evidencia experimental de los gluones

32

Ruptura de simetría

1+⋅−= ∑ ii

i ssHrr

κ

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ .... ↑Spines alineados en el estado fundamental de un material ferromagnético

Ejemplo: magnetismo = interacción de spines en un lattice. El H para un material ferromagnético

próximos spines entre acoplo del Intensidad 0>κ

La configuración del estado fundamental rompe la simetría rotacional del Halmiltoniano.

Cuando la solución de un conjunto de ecuaciones dinámicas viola una simetría inherente de

esas ecuaciones se dice que hay una ruptura espontánea de simetría.

Este fenómeno es un aspecto general de todos los sistemas con ruptura espontánea de

simetría. (Aparecen correlaciones de largo rango que pueden ser asociadas a partículas de

masa 0).

(Invariante bajo rotaciones)

33

( )

( ) ( ) 0 , 42

1

2

1

222222

22

>+++−

+=+=

λλ

ϖ yxyxm

ppm

VTH yx

Cuantitativamente: consideramos un Hamiltoniano clásico en 2 dimensiones (similar a un

oscilador armónico, salvo por el signo de λ) :

H es invariante bajo rotaciones alrededor del eje z (simetría global del sistema). La solución de

mínima energía será la de energía cinética 0, Por tanto, el mínimo de energía total será aquel

que coincida con el mínimo de potencial:

( )( )

( )( ) 0

0

222

222

=++−=∂∂

=++−=∂∂

yxmyy

V

yxmxx

V

λϖ

λϖDos soluciones:

x, y = 0 ; (…) = 0

34

λϖ 22

min

2

minminmin ó 0m

yxyx =+==

λϖ 2

minmin , 0m

xy ==

Las coordenadas en el extremo de potencial verifican:

Si por simplicidad elegimos:

Se rompe la simetría rotacional del sistema.

λϖ 22

min

2

min

myx =+

0minmin == yxSolución inestable

(máximo local)

(ejes x, y: φ1,φ2)

35

( ) ( ) ( )222min22min2minmin )(4

)(2

1, yxxyxxmyyxxV +++++−=++

λϖ

( ) superiores ordenes4

, 2242

min ++−=+ xmm

yxxV ϖλϖ

Pequeñas oscilaciones a lo largo del eje x o del eje y darán lugar a frecuencias ωx y ωy :

y

x

y

x

eje 0

eje2

→=

→=

ϖ

ϖϖ

Para cualquier solución, podemos definir modos normales de oscilación tal que pequeñas

oscilaciones a lo largo del valle de potencial no suponen cambio en energía (y corresponden a

frecuencias de oscilación 0), mientras que los modos ortogonales supondrán cambios en E y

tendrán una frecuencia no nula.

Pequeñas oscilaciones respecto a este mínimo determinan la estabilidad del sistema.

Expandiendo el potencial en torno a estas coordenadas:

Sin cambio de E

Con cambio de E

36

En mecánica cuántica los modos de frecuencia 0 se asocian a las partículas sin masa. Los

modos de frecuencia no nula a las partículas masivas. (Bosones de Goldstone)

Este procedimiento aplicado a las interacciones débiles permite explicar la masa de las

partículas gauge (W± ψ Ζ0) ⇔ Mecanismo de Higgs donde el bosón de Goldstone masivo es el bosón escalar de Higgs.

GeV 2.91y GeV 4.80

0~

0 ≅≅± ZW mm

mγ

(El isospin débil no será un “ buen” número cuántico.)

Como en el caso del ferromagnetismo, al elevar la temperatura del sistema se restaura la

simetría y los bosones volverán a ser de masa 0 ⇒ Las intensidades de las fuerzas electromagnéticas y débiles son comparables ⇒ Unificación de las fuerzas.

37

38

39

Sensibilidad al boson de Higgs

40

41

El mecanismo de GIM y la matriz CKM

Los bosones W y Z pueden producir transiciones entre miembros del mismo doblete de isospin

Para explicar las transiciones con |∆S|=1 (como las observadas en las desintegraciones débiles), y en analogía con el análisis del sistema de kaones neutros:

cc sensddd

u

d

uθθ cos donde +=′

′→

N. Cabibbo

(antes del descubrimiento del quark c)

42

Otras razones de transición (en particular aquellas relacionadas con las desintegraciones

leptonicas de los kaones neutros) no podían acomodarse en la estructura de análisis del ángulo

de Cabibbo, se postulo la existencia del quark c (y un nuevo doblete de quarks).

sdZuuZduWsuW

→→→→

+

+

0

0 23.01 ,0 =⇒=∆=∆ csenSS θ

µνµπ ++→++ 0K ννπ ++→ ++K

S. Glashow, J. Illiopoulos y L. Maiani

(Mecanismo de GIM)cc ssends

s

cθθ cos con +−=′

′

43

Los dos dobletes:

Son los auto-estados de la interacción débil.

Están relacionados con los auto-estados de la interacción fuerte, mediante la matriz de mezcla

de Cabibbo:

′

′ s

c

d

uy

−=

′

′

s

d

sen

sen

s

d

cc

cc

θθ

θθ

cos

cos

Con el descubrimiento de la nueva familia de quarks b y t, los tres dobletes de quarks son:

′

′

′ b

t

s

c

d

uy

44

=

′

′

′

b

s

d

VVV

VVV

VVV

b

s

d

tbtstd

cbcscd

ubusud

Acomoda la violación de CP observada

en el sistema de kaones neutros, por

medio de una fase en los elementos de

la matriz unitaria.

Matriz de

Cabibbo- Kobayashi-Maskawa

(CKM)

45

Comprobación experimental del

Modelo Estándar: SU C(3) ⊗ SU L(2) ⊗ U Y(1)

46

Otros aspectos (problemas?) del Modelo Estándar :

=

′

′

′

′′′

′′′

′′′

τ

µ

ττµττ

τµµµµ

τµ

τ

µ

ν

ν

ν

ν

ν

ν e

e

e

eeeee

UUU

UUU

UUU

Describe muy bien el mundo de “baja energía”, pero...

El boson de Higgs todavía no se ha observado

No se conoce el origen de 3 familias de leptones / quarks

Hay “demasiados” parámetros libres en la teoría

Ya que adecuar la existencia de la masa de los neutrinos

No incorpora la gravedad

Naturaleza de los neutrinos?

Dirac (con neutrino y antineutrino distinguibles)

Mayorana (con neutrino y antineutrino indistinguibles)

47

Problema de jerarquía: En teoría de campos, la masa de cualquier partícula se determina a partir de la suma de todas sus interacciones.

Para el boson de Higgs, en particular, sus interacciones en el vacío dando lugar a

correcciones radiativas a su masa.

Estas correcciones pueden escribirse como:

Donde Λ corresponde al cutoff de energía, a partir del cual los efectos de nuevas fuerzas (p.e. la fuerza de la gravedad) se hace importante. Y mEW es la masa de cualquier objeto que

contribuya (loop virtuales relevantes) a la escala electrodébil ≤ TeV, g representa el acoplamiento de cualquier objeto al boson de Higgs.

Como la escala de la gravedad cuántica (la unica otra fuerza conocida hasta el momento)

se espera que sea del orden de Λ ~ 1019 GeV, las correcciones deberían ser del mismo orden...

O bien hay cancelaciones fortuitas de 16 ordenes de magnitud o bien existen nuevas

interacciones (a la escala de TeV) que permite la estabilidad de la masa del Higgs a los valores

“intuidos” experimentalmente.

Otros aspectos (problemas?) del Modelo Estándar :

( )2222 EMH mgm +Λ≈δ

48

Extensiones del Modelo Estándar ⇒ Simetrías superiores

49

Modelos de Gran Unificación

↔

↔

↔

−−− a

a

a

a

a

ae

b

t

s

c

d

u

e τ

ν

µ

νν τµ

L

greengreen

bluebluered

redredbluegreen

Re

green

blue

red

e

du

duu

duuu

e

d

d

d

++

0

0

0

0

0

,

ν

→

estadosdesmultipletel

q

Grupos de simetría no Abelianos (no conmutativos) dan lugar a cuantizacion de las cantidades

conservadas. P.e. el grupo de rotaciones ⇔ momento angular cuantizado en unidades de: En el ME la carga eléctrica esta cuantizada en unidades de 1/3 e y proviene de una simetría

UQ(1) que es una transformación de fase descrita por un grupo de simetría conmutativo….

Podría explicarse si G ⊃ SU C(3) ⊗ SU L(2) ⊗ U Y(1) ⇒ G = SU (5)

h21

(similar al isospin�rotaciones en un espacio interno de 5 dimensiones)

50

Limites experimentales:

Experimentos geoquimicos:

Experimentos de partículas (dedicados):

Xduu

e+

uup

π0

++→ ep 0π

modo) del ente(independi años 106.1 25×>pτ

Nuevos campos gauge (X, Y hasta 24).

La escala de unificación MX ~1015 GeV .. Con un gran “desierto” desde MW a MX

La violación de B y L seria posible �

Predicciones experimentales: vida media del protón (p.e.)

s)especifico (modo años 1010 3431 −>pτ

51

Supersimetría (SUSY)

Interrelaciona Fermiones y Bosones. Resuelve el problema de “jerarquía”, introduce escalares

que pueden tener masa en el vacío diferente de 0 sin romper la invarianza Lorentz de la teoría.

Operador de las transformaciones:

Invarianza gauge global ⇒ Nuevo número cuántico conservado (multiplicativo) :

R-parity (R = +1 para partículas y R= -1 antipartículas)

, FBQBFQ ==

Los estados son multipletes que contienen igual numero de bosones y fermiones:

− 21,2

1

1,1

0,0

2

1,2

1

gaugino

gaugeboson

fermions

fermión

52

~Gluino Gluón Higgs~~

Higgsino

~,~

Wino/Zino,Bosones ~,~

Slepton ,Lepton

~Fotino Fotón~,~Squark ,Quark

g g, ,

ZW Z Wllll

qq q q

RLRL

RLRL

φφφφ

γγ

′′

2

1 1 0

2

1 SpinSpinSpinSpin

El nuevo espectro de partículas debe tener masas ≤ 1 TeV

53

54

Supersimetría (SUSY) → Supergravedad

En analogía con QED: Si exigimos simetría gauge local al grupo de transformaciones

de supersimetría

⇒ tensor energía-momento Τµν

Campo gauge = gravitón: partícula de spin 3/2. La constante de acoplamiento tiene dimensiones de (masa)-1

55

Teoría de Supercuerdas http://superstringtheory.com/

( )r

mGrV Ngrav

2

=Apreciable a distancias (o energías) en la

escala de Planck:

)10( 10 1933 GeVEcmr ≈≈ −

p.e. 2 partículas relativistas con E=pc

( )2

2

2

2

;

××≈⇒=≈

=c

EE

c

GV

E

c

pr

r

c

E

GrV NgravNgravh

hh

( )22392

2/10

7.6

6cGeV

G

c

c

EEV

N

grav ×≈≈

→≈h

usando el principio de incertidumbre

escala a la cual la fuerza gravitatoria no puede despreciarse

56

Teoría Cuantica de partículas puntuales Gravedad

Interacción de partículas puntuales

Interacción de partículas

57

Dimensiones extras

A Calabi-Yau shape: a two dimensional

of the six additional spatial

dimensions required by string theory.

58

Para este verano…Brian Green: The Elegant Universe