el método de la matrix de transferencia

El Método de la Matrix de Transferencia

Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.

Resumen

Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica

Introducción

El objetivo de la matería condensada es explicar las propiedades del mundo material, especialmente las propiedades estructurales y electrónicas de sólidos y líquidos.

Debido a la complejidad y diversidad de los sistemas que se estudian en este campo, los formalismos teóricos se basan generalmente en modelos simples, deducciones intuitivas o en cálculos numéricos realistas, generalmente muy pesados.

Entre los físicos de la materia condensada, especialmente entre experimentalistas, se piensa como J. J. Thomson que “es preferible una teoría cuyas consecuencias se pueden seguir con facilidad que otra más fundamental pero inmanejable”

El método de la matriz de transferencia contradice, en cierto modo, esta idea. Es una herramienta útil que, además de ser muy intuitiva, hace manejable las ecua- ciones fundamentales de las teorías cuántica y electromagnética, especialmente en la descripción cuántica del transporte electrónico y las propiedades opto-electrónicas.

LEDs

Eg= h

B C

B V

VBE VCB

IE

IB

IC

electrones

Drain (D)

n n

electrodo de metalaislante oxido de metal

canal tipo N

sustrato tipo P

- +

+-

Source (S) SiO2

VGS

sustrato

ID

Gate (G)

+ + + + + +

VDS

fines1960’s

fines

1980’s

Quantum Well Lasers

Double Resonant Barriers

V(z)

zBC

BV

h

Laser con superred en la zona activa

Semiconductores

INDICEI. Introduccíon

a. La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz Sb. La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y

cuantización

II. La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. a. Estructura de bandas. Aproximación de masa efectivab. semiconductores, dispositivos opto-electrónicos.

III. Paquetes Gaussianos en superredes ópticas

IV. Dinámica del spín en superredes magnéticas

V. Conclusiones

El Método de la Matrix de Transferencia

Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.

il

sl

z1 z2

V(z)

r il + t’ irir

srr’ ir + t iln(z)

sl

sr

Introducción

La relación entre matriz de transferencia y la matriz S

1D

Introducción

'

'sl il il

sr ir ir

r tS

t r

Scattering matrix


il

sl

z1 z2

V(z)

r il + t’ irir

srr’ ir + t il

1D

Introducción

il

sl

z1 z2

V(z)

ir

sr

Transfer matrix

2 1 1

2 1( , )sr il il

ir sl slz z z

M z z


1D

Introducción

la relación entre matriz de transferencia y la matriz S

Antes de establecer la

Es necesario mencionar que:

i) de la Propiedad de Reversibilidad Temporal sigue

ii) del Principio de Coservación de Flujo sigue

†S S I †z zM M

*x xM M TS S

0

0x

I

I

0

0z

I

I

**

M

Introducción

2 1

'( , )

'ir il il il

ir il ir sl

r tM z z

r t

il

z1 z2

V(z)

irslr il + t’ ir

srr’ ir + t il

' 'il irr t r t

1 'il irr t


Introducción

En sistemas 1D ,… son escalares, en D y D son matrices NxN. Estos bloques o elementos de matrizy los de la matriz S se relacionan así:

1†t

1' 'r t 1

't r 1't

0

' ' 0

r t

r t

0

1 ' 0

r

t


il

z1 z2

V(z)

irslr il + t’ ir

srr’ ir + t il

Introducción

il

z1 z2

V(z)

irsl

sr

†

1t

1

r

Las amplitudes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:

2†2

1T tt t

2 1( , )M z z

Los coeficientes de transmisión y reflexión están dadas por las relaciones:


2†2e

G Tr tt

tph E

Introducción¿Qué es la matriz de transferencia?

2mk E

0

2( )

mq V E

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0

(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b

(z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

el pozo de potencial

a

la barrera de potencial

V(z)

z0 a

V0

2 2

2

( )( ) ( ) ( )

2

d zV z z E z

m dz

Introducción

(z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0

(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad.

Solo entonces conoceremos los coeficientes y tendremos la solución (z) para todo punto del sistema

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE

¿Qué es la matriz de transferencia?


V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


la barrera de potencial

V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

Introducción


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


funciones de onda y vectores de onda

(z) = a1eikz + b1e-ikz 1

1

( )ikz

I ikz

a ez

b e

(z) = a2eqz + b2e-qz 2

2

qz

II qz

a ez

b e

z < 0

0 < z < b


V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

Introducción


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


Regresemos a las condiciones de frontera y de continuidad.

Continuidad en z = 0

a2 +b2 = a1 + b1

q a2– q b2= ik a1– ik b1

2 1

2 1

1 1 1 1a a

b bq q ik ik

I (0) = II (0) ’I’(0) =’ II (0)

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE


Introducción


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


II (0) =I (0) ’ II (0)

=’I’(0)2 1

2 1

1

2

a aq ik q ik

b bq ik q ikq

2 1

2 1

0 ,0a a

Mb b

1

1

1

ikz

ikz

a ez

b e

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE

Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad.

Continuidad en z = 0


1

2pb

q ik q ikM

q ik q ikq



(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


Continuidad en z = b

a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb

13 2

3 2

1 1 1 1kb qb

ikb qb

a e a e

ik ik q qb e b e

III (b) = II (b) ’III’(b) =’ II (b)

ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE

Introducción


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


Continuidad en z = b

a3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qb

II (b) = II (0) ’I’(0) =’ II (0)

ik a3eikb –ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

3 2

3 2

1

2

ikb qb

ikb qb

a e a ek iq k iq

k iq k iqkb e b e

3 2

3 2

,ikb qb

ikb qb

a e a eM b b

b e b e

V(z)

z0 b

Vo

I II IIIE


1

2bp

k iq k iqM

k iq k iqk

V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

Introducción

11

0 ,02

q ik q ikM

q ik q ikq

2 11

2 1

0 ,0a a

Mb b

31

,2

k iq k iqM b b

k iq k iqk

3 23

3 2

,ikb qb

ikb qb

a e a eM b b

b e b e

2 22

22

,0qb

qb

a e aM b

bb e

2 2

22

0

0

qb qb

qb qb

a e ae

bb e e

2

0,0

0

qb

qb

eM b

e


Introducción

2 11

2 1

0 ,0a a

Mb b

3 23

3 2

,ikb qb

ikb qb

a e a eM b b

b e b e

2 22

22

,0qb

qb

a e aM b

bb e

3 23 2

23

, ,0ikb

ikb

a e aM b b M b

bb e

3 23

3 2

,ikb qb

ikb qb

a e a eM b b

b e b e

3 1

3 2 113

, ,0 0 ,0ikb

ikb

a e aM b b M b M

bb e


3 1 13 2 1

1 13

, ,0 0 ,0 ,0ikb

bikb

a e a aM b b M b M M b

b bb e

V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

Introducción

2 11

2 1

0 ,0a a

Mb b

3 23

3 2

,ikb qb

ikb qb

a e a eM b b

b e b e

2 22

22

,0qb

qb

a e aM b

bb e


3 2 1,0 , ,0 0 ,0bM b M b b M b M

Propiedad multiplicativa de la matriz de transferencia

V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

Introducción


(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b


2 2 2 2

2 2 2 2

cosh sinh sinh2 2

,0

sinh cosh sinh2 2

b

k q k qqb i qb i qb

kq kqM b

k q k qi qb qb i qb

kq kq


V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

b3e-ikz

3 1

13

,0ikb

bikb

a e aM b

bb e

1* *

1

b b

b b

a

b

Coeficiente de transmisión y función de onda y en la barrera

V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

Puesto que

* *

1 1b

b

t t

2 2

1

cosh sinh2

btk q

qb i qbkq

*b b bT t t

para una barrera de AlGaAs

22 2

2 22 2

1

cosh sinh4

bTq k

qb qbq k

Tb1.0

0.5

0.5 1.0

E [eV]

Vo = 0.23[eV]

b = 100 nm

¿Cuál es la función de onda?


V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz13

* *10

ikbb b

b b

aa eb

* *1 1 0b ba b

*

1 1*b

b

b a

*

3 1*ikb b

b bb

a e a

1 1b ra

3 1*

1 ikb

b

a a e

3 1ikba ta e



*

1 1 *ikz ikzz a e e

( )1 *

1 ik z bIII z a e


V(z)

z0 b

Vo

II

a1eikz

b1e-ikz

a3eikz

2 1

2 1

1

2

a aq ik q ik

b bq ik q ikq

*

1 1 *ikz ikzz a e e

( )1 *

1 ik z bIII

b

z a e

(z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b

* *

1 * *1 cosh 1 sinhII

kz a qz i qz

q


*

1 1 *ikz ikzz a e e

( )1 *

1 ik z bIII

b

z a e

* *

1 * *1 cosh 1 sinhII

kz a qz i qz

q

¿Cómo es la matriz de transferencia en barreras con perfil arbitrario?

Barrera con perfil arbitrario

¿Para qué más nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?

Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad

Double Resonant Barriers

BC

BV


Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidad

M1

…z0 z1 z2 zn-1 zn

il

M2 MnM3

til

Sistemas desordenados D

PM, PP, NK, Ann Phys. 181, 290, 1988, …


Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aquí en dos propósitos:

i) Para estudiar el pozo de potencial

V(z)

z0 a

V0



i) Para estudiar otro de los sistemas básicos el pozo de potencial

ii) Para desarrollar la Teoría de Sistemas Periódicos Finitos (TSPF)

a) Superredes semiconductoras




lc

lc subbandas






RTBT con superred en la base

RTBT: Transistor Bipolar con Tunelamiento Resonante


a) Superredes semiconductoras, utilizadas en el transporte electrónico en sistemas heteroestructurados.




lc

lc

subbandas


a) Superredes semiconductoras, utilizadas en láseres con superred en la zona activa



i) Para estudiar otro de los sistemas básicos, el pozo de potencial

z0 z1 z2 zn-1 zn

il

…

tnil



b) Sistemas periódicos de perfíl arbitrario


V(z)

z0 a

V0

V(z)

z0 b

Vo

II

1

2pb

q ik q ikM

q ik q ikq

1

2bp

k iq k iqM

k iq k iqk

3( , )M a a 1

2pb

q ik q ikM

q ik q ikq

11

(0 ,0 )2bp

k iq k iqM M

k iq k iqk

¿Qué podemos aprovechar de la barrera de potencial?


V(z)

z0 a

V0

Falta aquí la matriz que propaga la información física de 0+ a a- , es decir

2 22

22

,0ika

ika

a e aM a

bb e

2 2

22

0

0

ika ika

ika ika

a e ae

bb e e

2

0,0

0

ika

ika

eM a

e

3( , )M a a 1

2pb

q ik q ikM

q ik q ikq

11

(0 ,0 )2bp

k iq k iqM M

k iq k iqk


V(z)

z0 a

V0

1(0 ,0 )M 1

2bp

q ik q ikM

q ik q ikq

31

( , )2pb

k iq k iqM M a a

k iq k iqk

2

0,0

0

ika

ika

eM a

e

3 2 1,0 , ,0 0 ,0aM a M a a M a M

2 2 2 2

2 2 2 2

cos sin sin2 2

,0

sin cosh sin2 2

a aa

a a

q k k qka ka ka

kq kqM a

k q q kka qb ka

kq kq

V(z)

z0 a

V0

,0 a aa

a a

M a

3 1

13

qaa a

qaa a

a e a

bb e

1

3

0

0a a

qaa a

a

b e

La condición de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0

a1 eqz

b1 e-qz

a3 eqz

b3 e-qz

a

b3 e-qa = aa1

eigenvalores y eigenfunciones en el pozo

V(z)

z0 a

V0

,0 a aa

a a

M a

3 1

13

qaa a

qaa a

a e a

bb e


a1 eqz

b1 e-qz

a3 eqz

b3 e-qz

a

2 2

cos sin 02

q kka ka

kq

2 2

cot2

k qka

kq


a = nm

0 a

Vo = 0.23 eV

V(z)

z0 a

V0

,0 a aa

a a

M a

3 1

13

qaa a

qaa a

a e a

bb e

1

3

0

0a a

qaa a

a

b e


a1 eqz

b1 e-qz

a3 eqz

b3 e-qz

a

b3 e-qa = aa1

a = nm Vo = 0.23 eV


,0 a aa

a a

M a

3 1

13

qaa a

qaa a

a e a

bb e


a

b3 e-qa = aa1

1qz

I z a e

( )1

1 q z aIII

a

z a e

1( ) cos sinIIq

z a kz kzk

V(z)

z0 a

V0a1 eqz

b1 e-qz

a3 eqz

b3 e-qz

a = nm Vo = 0.6 eV


,0 a aa

a a

M a

3 1

13

qaa a

qaa a

a e a

bb e


1qz

I z a e

( )1

1 q z aIII

a

z a e

1( ) cos sinIIq

z a kz kzk

V(z)

z0 a

V0a1 eqz

b1 e-qz

a3 eqz

b3 e-qz

a = nm Vo = 0.6 eV

a = nm

0 a

Vo = 0.23 eV


Sistemas Periódicos

El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos

Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas)

Teoría Standard

El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma

1( ) ( ) ( ) ( )Di ikze u z e u z k rr r

Teoría de Sistemas Periódicos Finitos

Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!

1 (1 )n

n R

TT

T U T

0.1 0.2 0.3

eV

0.5

1

T n

n 1

n 2

n 3

n 5

n 10

El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas

E


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3

Si conocemos la MT de una celda unitaria

lc

M

Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )

* *

* * * * * * * *...

n

* *

n nn

n n

M


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

nn-1n-1

nn+1n

nn+1n

pn-1 = -1 n

npn pn-1

n= pn-1

npn pn-1

npn pn-1


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

nn-1n-1

n= pn-1

nn-1 +

n-1pn - pn-1 -1n-1+ (pn-1 – pn-

2)

npn pn-1

npn pn-1pn - pn-1 pn-2+ (pn-1 – pn-2)

pn – () pn-1 pn-2 pn – () pn-1 pn-2

pn = Un(r)


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

n= pn-1

npn pn-1

pn = Un(r)

†

1t

**

1r

2

2

1

1n

n n

T tp p

†1

1 1n

n n n

tp p

1 (1 )n

n R

TT

T U T

0.1 0.2 0.3

eV

0.5

1

T n

n 1

n 2

n 3

n 5

n 10

El coeficiente de transmisión al variar el número de celdas

E

il

…

tnil

1 (1 )nn R

TT

T U T

2

1

( )n

n R

G GU

11n np

*1n n np p

* *M

cosR n

* *n n

nn n

M

Which are the most relevant results of the TFPS?

tph E

†

1*†

11

nnn

npp

t

†nnn ttT

†2

Tr2

nntte

G

0)(1 RnU ,E

resonant energies

one cell

* *M

n cells * *n n

nn n

M

z0 z1 z2 zn-1 znM M M

il

…

tnil

Which is the main idea of this TFPS?

definition of M

eigenfunctionstransition probabilitiesoptical response…

)(

)(

)(

)(

o

o

zz

zz

z

z

z

z

)()()( zzz

transport propertiestunnelling timesenergy eigenvalues

†

1

n

nt

scattering approach

transport propertiestunnelling timesenergy eigenvalues

z

Eigenvalues and eigenfunctions

022 1

2222

n

wIR

wIn U

kq

kq

kq

kqU ww

V o0.23 eVV w 0.44 eV

lc13nm

zo zn

k

qi

k

qiAEz

wjppjpp

wjppjpp

1

1),(

*

*,

el método de la matrix de transferencia

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