el método de la matrix de transferencia

El Método de la Matrix de Transferencia

Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.

Resumen

Presentaremos una introducción al Método de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teoría del transporte electrónico cuántico y en la opto-electrónica

INDICEI. Introduccíon

a. La Matriz de Transferencia (MT) y su relación con la matriz Sb. La MT de la barrera rectangular y el pozo cuántico. Efecto tunel y

cuantización

II. La Teoría de Sistemas Periódicos Fínitos. a. Estructura de bandas (eigenvalores y eigenfunciones). Aproximación

de masa efectivab. Semiconductores, dispositivos opto-electrónicos, heteroestructuras,

(láseres).

III. Paquetes Gaussianos en superredes ópticas

IV. Dinámica del spín en superredes magnéticas

V. Conclusiones

El Método de la Matrix de Transferencia

Pedro Pereyra PadillaArea de Física Teórica y Materia Condensada

Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, México D.F.

Sistemas Periódicos

El cálculo de los niveles de energía y de las eigenfunciones es el problema más importante en la descripción cuántica de los sólidos cristalinos

Todos los modelos diseñados para el cálculo de los niveles de energía de sistemas periódicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los cálculos numéricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles están agrupados en bandas contínuas (Teorías de Bandas Contínuas)

Teoría Standard

El teorema de Bloch (rigurosamente válido sólo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas periódicos son de la forma

1( ) ( ) ( ) ( )Di ikze u z e u z k rr r

Teoría de Sistemas Periódicos Finitos

Utilizando el método de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recíproco, se deducen fórmulas compactas y cerradas para la evaluación de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas periódicos. Mostraremos que ni las bandas son contínuas ni las eigenfunciones periódicas!!

Sistemas Periódicos*

…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3

Si conocemos la MT de una celda unitaria, podemos describir al sistema completo

lc

M

Mn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) … M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )

* *

* * * * * * * *...

n

* *

n nn

n n

M

* PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

nn-1n-1

nn+1n

nn+1n

pn-1 = -1 n

npn pn-1

n= pn-1

npn pn-1

npn pn-1


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

nn-1n-1

n= pn-1

nn-1 +

n-1pn - pn-1 -1n-1+ (pn-1 – pn-

2)

npn pn-1

npn pn-1pn - pn-1 pn-2+ (pn-1 – pn-2)

pn – () pn-1 pn-2 pn – () pn-1 pn-2

pn = Un(r)


…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

Mn = M Mn-1

1 1

* * * ** *1 1

n n n n

n n n n

n= pn-1

npn pn-1

pn = Un(r)

†

1t

**

1r

2

2

1

1n

n n

T tp p

†1

1 1n

n n n

tp p

* PP, J. Math Phys. 36, 1166 (1995), PP, Phys. Rev. Lett. 80, 2677 (1998), PP, J Phys. A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo Phys. Rev. B 65, 205120 (2002).


0 .1 0 .2 0 .3

0 .5

E

T1

1n=1 1 (1 )n

n R

TT

T U T

0 .1 0 .2 0 .3

0 .5

1 .

1 2 n=2T2

E

1 2

…

10

0 .1 0 .2 0 .3

0 .5

1 .

n=10

T10

E

0 .1 0 .2 0 .3

0 .5

1 .

1 2 3 n=3T3

E

Eigenvalores y eigenfunciones

…

V(z)

z0 z1 z2

…zn-1 z

n

z3lc

a) Sistemas abiertos. Niveles y Estados Resonantes

2

1n

n

T

|n|2 -|n|2 =12 2 2

1

1 1

11n

nn

TU

cosr n

0 .1 0 .2 0 .3

0 .5

1 .

2 n1

z0

2

1n

n

T

|n|2 -|n|2 =12 2 2

1

1 1

11n

nn

TU

…3

z1 z2 z3znzn-1


2 2

cos cosh sin sinh cos2

k qk a q b k a q b

k q n

cosr n

a) Sistemas abiertos. Modelo de Kronig-Penney. Niveles y Estados Resonantes

2 2

cos cosh sin sinh cos2

k qk a q b k a q b

k q n




2Tr M La condición define las bandas


PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)


b) Eigenvalores de la energía en sistemas cerrados


La anulación de las funciones de onda en los extremos implica le ecuación de eigenvalores

PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)



PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)



Estados de Superficie

022 1

2222

n

wIR

wIn U

kq

kq

kq

kqU ww

V o0.23 eVV w 0.44 eV

lc13nm

zo zn

k

qi

k

qiAEz

wjppjpp

wjppjpp

1

1),(

*

*,







PP Ann. Phys. 320, 1 (2005)


Aplicaciones de la TSPF

z0 z1 z2 zn-1 zn

il

…

tnil

For finite periodic systems (D or D), with arbitrary potential profile,

* PP, PRL 80, 2677 (1998), PP, J Phys A 31,4521 (1998), PP & E. Castillo PRB 65, 205120 (2002), JL Cardoso, PP & A Anzaldo, PRB 63, 153301(2001), A Kunold & PP J Appl. Phys. 93, 5018 (2003), PP Ann. Phys. 320, 1 (2005),…

This theory allows to calculate scattering amplitudes (transport properties, tunneling and transmission times of electrons and holes) and the energy spectra (energy eigenvalues and eigenfunctions), hence to study optoelectronic properties, spin transport properties, etc.)

The TFPS is valid for an arbitrary number of propagating modes, arbitrary number of cells and arbitrary potential profile

we have developed the TMA and the Theory of Finite Periodic Systems (TFPS)

The Transfer Matrix Approach*2

il

…

tnil

1 (1 )nn R

TT

T U T

2

1

( )n

n R

G GU

11n np

*1n n np p

* *M

cosR n

* *n n

nn n

M

Which are the most relevant results of the TFPS?

tph E

†

1*†

11

nnn

npp

t

†nnn ttT

†2

Tr2

nntte

G

0)(1 RnU ,E

resonant energies

1. Cálculo de tiempos de tunelaje y transmisión. Efecto superlumínico

500 900

5

10

15

f

n

1Tn

n 5

timefs

(PP, Phys. Rev. Lett. 84, 1772 (2000), H. Simajuntak, PP. Phys. Rev. B, 67, 045301 (2003), Phys. Rev. E, 75, 056604

2. Láseres.

¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante?

El láser azul

¿Se puede tratar al potencial como potencial seccionalmente constante?

Antes de hacer cálculos en sistemas semiconductores específicos se hacen las siguientes tres consideraciones importantes:

1. Los electrones en una banda se mueven como si fueran libres (su coeficiente de transmisión es 1).

2. Los electrones se mueven en el cristal como si tuvieran una masa diferente (su MASA EFECTIVA)

3. En cada capa semiconductora hay una masa efectiva diferente y además un GAP característico

V(z)

z+

zV(z)

¿Cómo se da este proceso en las estructuras semiconductoras si sabemos que en los átomos individuales los electrones “sienten” potenciales que tienen una enorme complejidad, que además aumenta con el tamaño de los átomos?

+

z+++++

V(z)

En los cristales semiconductores el potencial es, además de complejo, periódico

La metamorfosis que conduce a potenciales constante

V(z)

z

V(z)

z

cuando resolvemos la ecuación de Schröedinger para los electrones de valencia, se encuentra que su nivel de energía y los que siguen se multiplican formando las bandas de valencia y de conducción*

Eg

La periodicidad permite es fundamental en la metamorfosis del potencial que utilizaremos para los electrones de valencia en las estructuras semiconductoras

En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además como si tuvieran una masa menor.

En un cristal los electrones se mueven como si fueran partículas libres y además como si tuvieran una masa menor.

En la física del estado sólido existe toda una colección (zoologico) de masas para los electrones. Las masas efectivas están definidas como

zyxcondkdkEd

m,,,

11 2

2*,

La mayor parte de las masas efectivas se obtienen esperimentalmente, por ejemplo de experimentos transporte en campo magnético B.

GaAs AlAs

E

Bv

Bc

z

1.51 eV

Con cada dirección cristalina de los semiconductores se asocia una estructura de bandas de valencia y de conducción, junto con las correspondientes masas efectivas.

E

z

2.68 eV

creación del par e-h

recombinación

gap de energía

hEg

m*G =0.07 me m*

A =0.1 me

Si tenemos una heteroestructura semiconductora homogénea estudiamos al sistema como si los electrones percibieran únicamente las variaciones del gap. Es decir en un potencial seccionalmente constante. Con masas efectivas que generalmente cambiaran de una capa a otra. En 1D, para una capa dada

EzVzm sc

)(2 2

2

*

2

¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ?

¿Cómo se producen las heteroestructuras y cómo trabajamos en la AME ?

Desde hace poco más de 30 años la técnica de crecimiento de cristales sobre sustratos cristalinos ha ido perfeccionándose continuamente.

sustrato

crecimiento epitaxial

Actualmente, utilizando haces moleculares o por evaporación, se crecen cristales constituidas por un número finito de monocapas atómicas.

Estas técnicas han permitido crecer capas cristalinas con el espesor deseado !!

Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta otra vez una capa cristalina del tipo A

A B A

Si EgA < EgB

EgA EgB

E

heteroestructura

*Am *

Am*Bm

Si sobre la estructura cristalina del tipo A se crece otra del tipo B y sobre esta otra vez una capa cristalina tipo A

A B A

Si EgB < EgA

EgA EgB

E*Bm *

Am *Bm

Las técnicas de crecimiento de estructuras semiconductoras cristalinas permiten crear diferentes perfiles de potencial.

De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad

lc

En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico

De esta forma se producen también estructuras periódicas artificiales, las superredes, con parámetros de red y materiales escogidos a voluntad

En estos sistemas es más elocuente la finitud del sistema periódico

lc

lc

subbandas

2. Láseres. El láser azul

Theoretical Model

To study the electron-field interaction inside the superlattice (SL), we consider the Hamiltonian

HI describes the electron-field interaction,HEM the transversal field

Vq(z) (q=e,h) is the confining potential in the SL (including thecladding layers).

The particle-field interaction HI is treated as a perturbation term.

To solve the non-perturbed part we use the TFPS.

In this approach, based on the transfer matrix method, one can calculate the -th energy eigenvalue Eb

μ,v and Ψbμ,v in the μ-th subband of the conduction and

valence band are obtained from:

The coefficients hw and fw are:

A. Kunold, PP, J. Appl. Phys. 93, 5018 (2003)

The barrier thickness effect

L constant L variable

We observe a blue shift keeping the well thickness constant.

The well thickness effect

L constant L variable

We observe a red shift keeping the barrier thickness constant.

The effect of the number of cells

As could be expected, Χ decreases as n grows, while the gaps are better

defined.

Intense and thin lineshapes only

for n=8 and n=9

el método de la matrix de transferencia

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