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IntroduccionNuevo paradigma

El giro dinamico

Angel Nepomuceno Fern andezGrupo de Logica, Lenguaje e Informacion.

Seminario de Logica y Lenguaje21/03/2013

Angel Nepomuceno Fernandez El giro dinamico


Logica en los comienzos del XX. I

Un esquema para resumir la historia de la logica:

1 Logica tradicional , desde Aristoteles hasta el XVIII1 Aristoteles,2 Logica medieval3 Logica de Port Royal

2 Transici on : Leibniz3 Matematizaci on de la l ogica , desde el siglo XIX hasta el

presente1 Tradicion algebraica2 Fundamentistas3 Giro dinamico



Logica en los comienzos del XX. II

1 A la logica tradicional debemos la silogıstica. La logicamedieval estudia la distincion entre terminoscategorematicos y terminos sincategorematicos, la teorıade la suposicion (suppositio, sobre todo en Ockham yPedro Hispano) y la de la consecuencia

2 Leibniz desarrollo un calculo simbolico para serinterpretado tanto intensional como extensionalmente:A = B expresa identidad; A = B syss B = A ; si A = B yB = C, entonces A = C; si B y N constituyen L , ello seexpresa como B ⊕ N = L ; axiomas: 1) B ⊕ N = N ⊕ B(conmutatividad), 2) A ⊕ A = A (idempotencia)



Tradicion algebraica I

Boole presenta la logica como un algebra general. Algunasreglas simbolicas:

1 x(y + z) = xy + xz

2 xy = yx

3 xn = x

4 x(1 − x) = 0 [Los x que son no-x (1 − x) son la clase nula]

5 (1 − x) + x = 1 [La union de x con no-x es el universo]



Tradicion algebraica II

Representacion de las formas canonicas de la proposicioncategorica:

1 x(1 − y) = 0 o bien x = vy Todo X es Y [A]

2 xy = 0 o bien x = v(1 − y) Ning un X es Y [E]

3 v = xy o bien vx = vy Alg un X es Y [I]

4 v = x(1 − y) o bien vx = v(1 − y) Alg un X no es Y [O]



La logica de Peirce I

Peirce (tradicion algebraica) contribuye al desarrollo de lalogica con

intento de axiomatizaci on de logica proposicionalteorıa de la cuantificaci on (independiente de Frege)teorıa de las relaciones

Nivel proposicionalDefinibilidad de las conectivas proposicionalesProcedimiento de decision para determinar si un conjuntode sımbolos representa o no una ley logica (tablas devalores de verdad )



La logica de Peirce II

Teorıa de la cuantificacion independientemente de Fregeno para todo x ... = hay al menos un x que no...no hay algun x que ... = para todo x no ...distribucion de cuantificadores

Teorıa de los relativosLa relacion (dıadica) considerada extensionalmente:conjunto de pares de individuos: (I : J), (H : K)

“Existe una relacion r tal que I es un relativo de J” combinaelementos de la teorıa peirceana

La relacion una parte de representada mediate el sımbolo“⊂”: “x es una parte de y” se representa como “x ⊂ y”

La cuantificacion aplicada a x o y serıa una cuantificacionde clases



Ideas de Bolzano

De manera muy resumida:

1 Las proposiciones se pueden descomponer enconstituyentes generales . Distincion de vocabulario fijo yvocabulario variable

2 Reconocimiento de diversas formas de deducibilidad(deducibilidad, deducibilidad estricta, estadıstica, etc.)

3 Nocion central: deducibilidad de ϕ desde las premisas Γpara un vocabulario variable A , en sımbolos Γ⇒A ϕ, si

1 cada instancia de sustitucion de A para la que (cadapremisa de) Γ es verdadera, ϕ es verdadera

2 Γ es consistente

4 ⇒A verifica: si ϕ1, ..., ϕk , ...ϕn ⇒A ψ, entoncesϕ1, ..., ϕk ⇒A ϕk+1 ∧ ϕk+2 ∧ ... ∧ ϕn → ψ



Frege: lenguaje de formulas I

El lenguaje de formulas contiene diversas clases desımbolos

barras de juicio y contenido (⊢ a: a es un hecho)sımbolo de negaci onsımbolo de implicaci on (material) [escritura de abajo(antecedente) arriba (consecuente)]la generaliad (cuantificador universal)igualdad de contenido (segun contexto, identidad oequivalencia)

las demas conectivas y el cuantificador existencial sedefinen a partir de estos

La representacion del cuadro de oposicion de laproposicion categorica muestra la eficacia de surepresentacion simbolica



Frege: lenguaje de formulas II

Los sımbolos no logicos sonletras que representan contenidos judicables [variablesproposicionales: a, b, ..., o bien A , B, ...]sımbolos de funcion: f , g, ϕ, ...sımbolos de argumento: a, b, ...variables (usa letras goticas): x, y, ...

los principios l ogicos son juicios del pensamiento puro[expresiones verdaderas en virtud de su forma]

se puede establecer un calculo para derivar los principioslogicos de algunos reconocidos como tales



Frege: lenguaje de formulas III

Sistema axiom atico para l ogica de primer orden: axiomas

1 ⊢ a → (b → a)

2 ⊢ (c → (b → a))→ ((c → b)→ (c → a))

3 ⊢ (c → (b → a))→ (b → (c → a))

4 ⊢ (b → a)→ (¬a → ¬b)

5 ⊢ ¬¬a → a

6 ⊢ a → ¬¬a

7 ⊢ c ≡ d → (f(c)→ f(d))

8 ⊢ c ≡ c

9 ⊢ ∀xf(x)→ f(a)



Frege: lenguaje de formulas IV

Sistema axiom atico para l ogica de primer orden: reglas

Modus Ponensa → b , a

bIntroduccion “generalidad”

A → φ(a)A → ∀xφ(x)

siempre que x no aparezca en A (y x solo comoargumento de φ(x))

Sustitucion uniforme (implıcita)

AA(a/b)



Logica y metodologıa de la ciencia

A veces es difıcil senalar la frontera entre logica yepistemologıaVan Fraassen considera relevante la logica para la filosofıade la ciencia. Senala instrumentos logicos como

1 Teorema de L owenheim-Skolem2 Teorema de Beth

para abordar problemas de filosofıa de la ciencia, como1 El problema de la definibilidad2 El problema de la evidencia3 El papel de las inferencias condicionales

Aunque parezca el terreno de la logica clasica, acerca deinferencias condicionales detecta una relacion deconsecuencia que no es clasica



Gochet

Paul Gochet:

The invention of game-theoretic semantics by J.Hintikka in the seventies (Hintikka 1973, Saarinen1979) can be described as the emergence of a newparadigm not only for semantics but also for logic andthe philosophy of mathematics

(The Dynamic Turn in Twentieth Century LogicSynthese 130: 175-184, 2002)



Pietarinen-Sandu

Pietarinen & Sandu, sobre logica favorable a la independencia(IF-Logic) y semantica de teorıa de juegos (GTS):

IF logic has to go together with a semantic theory fromwhich its expressions derive their meaning... It is thiscombination of IF logic plus GTS that, we believe, willstimulate new questions on the philosophy of scienceand in the philosophy of particular sciences

(IF logic Game Theoretical Semantics, and thePhilosophy of Science. S. Rahman et al. (eds) Logic,Epistemology and the Unity of Science, Springer:105-138. 2009)



El giro dinamico: logica

De acuerdo con van Benthem, la inferencia (uno de losobjetos principales de la logica) es un procesoinformacional , pero la representacion de la informaciondeberıa no estar separada de tal proceso

En logica moderna se ha dado tambien un giro dinamico:las actividades de inferencia , evaluaci on , revisi on decreencias , etc. son tan importantes como sus productos(como pruebas y proposiciones)

En tal giro dinamico ha habido influencias de varias areas,principalmente, filosofıa, linguıstica, teorıa de juegos, etc.



Juegos logicos

En el siglo XX surgen varias propuestas de ver las tareaslogicas en forma de juegos, con lo que las nociones logicasbasicas emergen uniformemente como estrategias ganadorasen diversos escenarios

1 Hintikka (GTS): evaluacion de juegos entre Verificador yFalsificador teniendo en cuenta un modelo

2 Ehrenfeucht-Fra ıss e: juegos entre Duplicador yEstropeador (spoiler) que comparan modelos

3 Lorenz-Lorenzen : juegos de dialogos de argumentacionentre un Proponente y un Oponente



Precedente de la GTS

Tanto la logica clasica como avances en la tradicion algebraicaconvergen en los planteamientos de la GTS. No obstante, seha senalado un precedente: Peirce.

El hablante es esencialmente un defensor de su propiaproposicion y quiere interpretarla de manera quesera defendible

El interprete no esta tan interesado en interpretarlaplenamente sin considerar a que extremo se puede llegar,es relativamente hostil y busca la interpretacion menosdefendible



Las reglas de inferencia

Para justificar una inferencia, Hintikka propone dos clases dereglas o principios . Manteniendo la metafora del juego, asaber

1 Reglas definitorias . Son similares a las que definen unjuego, como el ajedrez, –la deduccion o la indagacioncientıfica podrıan ser vistas como un juego estrategico–;nos dan los movimientos posibles en una situacion dada(en el curso del juego)

2 Reglas estrat egicas . Estas reglas nos dicen cuales sonlos mejores movimientos para ganar el juego



Las reglas de inferencia II

Hintikka establece tambien una logica de cuestiones yrespuestas , de acuerdo con las diferencias entrerazonamiento ampliativo y no ampliativo –distincion que seda entre pasos de un argumento: interrogativos(ampliativos) y deductivos (no ampliativos)–

En la indagacion interrogativa la cosa es anticipar lasituaci on epist emica provocada por la respuesta

Sus observaciones podrıan tenerse en cuenta como unimportante conjunto de consejos certeros para abordaraproximaciones logicas a la inferencia cientıfica



Dinamicas logicas I

El programa denominado din amicas l ogicas tiene como puntode partida la logica epist emica , para tratar los flujos deinformacion, pero, combinando sistemas, se ofrecen mas ymejores bases que la logica estandar. En particular para

1 estudios del lenguaje natural . Se tiende a separar(logicas dinamicas) actos de informacion y evaluacion ensu sintaxis , y su semantica , pero esta los ejecutaimplıcitamente con el mismo codigo

2 practicas de argumentaci on y deliberacion, que se dan,por ası decir, en sistemas multiagente (la revision decreencias y cambios de preferencias se desencadenanmediante la confrontacion y el debate)



Dinamicas logicas II

En logica epistemica basica, se considera informaci on factuale informacion de orden superior (sobre la informaci on deotros ). Un lenguaje basico (incluyendo conocimiento comun):

p | ¬ϕ | ϕ ∨ χ | Kaϕ | CGϕ

Se definen modelos M = 〈W , {ℜa : a ∈ G}, v〉, donde

1 W , ∅ es el conjunto de estados (mundos)

2 {ℜa : a ∈ G} es un conjunto de relaciones definidas en Wpara cada individuo a

3 v : P 7→ W –P conjunto de variables proposicionales



Dinamicas logicas III

La logica dinamica llega a ser un instrumento para hacerfilosofıa: sus temas estan (al menos) entre la epistemologıa, lafilosofıa de la accion, la filosofıa de la ciencia y la filosofıa de lainformacion. Ejemplos:

1 Verificacionismo (paradoja de Fitch): ϕ→ ♦Kaϕ (loverdadero puede ser conocido), pero una instanciasera p ∧ ¬Kap → ♦Ka(p ∧ ¬Kap) (contradictorio)

2 Concepto de conocimiento: conocimiento = creenciaverdadera justificada

3 Filosofıa de la informacion: variedades en la nocion mismade informacion



El giro dinamico: comprension del discurso

En la comprension del discurso, se ha dado un girodin amico en el siguiente sentido:

Desde la semantica de teorıa de juegos (GTS) propuestapara interpretar la IF-logic, donde el lenguaje esconsiderado orientado a metas mas que una actividadgobernada por reglasConocer el significado de una oracion es conocer el cambioen el estado de informacion (Veltman), que parece ampliar,ası se podrıa definir una nocion de actualizacion mınima(van Benthem), siempre que los estados cognitivos (o deinformacion) fueran ordenados por inclusion



Donkey sentences

Juan tiene un burro. Le pega. Estructura logica:

∀x(Burro(x) ∧ Tiene(j, x)→ Pega(j, x))

Pero si “[” y “]” senalan el alcance de prioridad (no el meroanidamiento o encuadernado):

∃x[Burro(x) ∧ Tiene(j, x)]→ Pega(j, x)

de donde, se puede pasar, en efecto, a

∀x[Burro(x) ∧ Tiene(j, x)→ Pega(j, x)]

bien entendido que “la prioridad” esta en el antecedente



El problema del significado I

1 La semantica montagoviana de la lengua natural se basaen la semantica cientıfica (tarskiana), de acuerdo con elprincipio de composicionalidad (Frege), enunciado en elTractatus (4.024) como un enunciado es comprendidopor quien comprende sus constituyentes [¿Que sonconstituyentes?]

2 La GTS (Hintikka-Sandu) se basa en el principio designificado dependiente del contexto y considera queeste resulta incompatible con el principio decomposicionalidad tal cual

3 Esta incompatibilidad ¿Es eliminable cambiando laconcepcion est atica del significado a otra din amica ?



El problema del significado II

1 El calculo de predicados din amico es un intento dereconciliar composicionalidad y dependencia del contexto.En esta lınea se desarrolla la DRT (teorıa derepresentacion del discurso)

2 Aunque prevalecıa la idea de que el significado de unaoracion declarativa consiste en sus condiciones de verdad,se reconocio la interrelacion entre contenido y contexto

3 Hay que distinguir entre condiciones de verdad y valorde verdad



El problema del significado III

Necesidad de apelar al contexto: veanse las dos oracionessiguientes

1 He perdido 10 canicas y las he encontrado todas,excepto una. Probablemente est e bajo el sof a

2 He perdido 10 canicas y s olo he encontrado 9.Probablemente est e bajo el sof a

Dan la misma informacion sobre la situacion. Pero en 2 esnecesario introducir un referente de discurso apropiado parainterpretar el sujeto (elidido) de “este”



El problema del significado IV

Se pueden considerar dos tipos de informacion

1 Informaci on sobre el mundo , conjunto de situacionesposibles (que el agente no distingue desde la situacion oestado actual). Actualizar esta informacion: equivale aabandonar estados posibles (eliminar alternativas)

2 Informaci on sobre el discurso , items de texto disponibleen el estado. Actualizar esta informacion: anadir o quitaritems de texto



El problema del significado V

Significado (a)

Comprende el significado de una oracion quien conoce elcambio de estado de informacion que se efectua en cualquieraque acepta los contenidos de la oracion desencadenante

Significado (b)

El significado de una oracion declarativa es el cambio mınimoen el contenido informacional de la oracion desencadenante:

λxy • x ⊆ y ∧ Py ∧ ¬∃z(x ⊆ z ⊆ y ∧ Pz)

P es actualizacion mınima, x, y, z, son los estados cognitivos



El problema del significado VI

Desde el punto de vista de la GTS

Para comprender una sentencia F (primer orden)normalmente no tenemos tiempo suficiente (o espacio dememoria); nuestra comprension real debe basarse encomparaciones finitas (paso a paso) entre F y el mundo(mas que por la naturaleza pictorica de F)

Lo caracterıstico de la GTS no descansa en reglasparticulares que definen las condiciones de exito de unmovimiento en el juego, sino mas bien en la nocion deestrategia



¿Nuevos giros?

J. Woods y D. Gabbay hablan de giro cognitivo , proponenuna logica de la cognici on que debera tener un papeldestacado en la metodologıa de la ciencia (en la lıneasenalada por van Fraasen

Emerge una gran preocupacion por desarrollar unafilosof ıa de la informaci on (Floridi), que deberıacomprender un tratamiento logico de la informacion

Todo ello se puede considerar implıcito en el programaque hemos denominado din amicas l ogicas


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