ejercicios geometria en r3 #4

8/13/2019 Ejercicios Geometria en r3 #4

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EJERCICIOS GEOMETRIA EN R3 #4

1. Hallar el ángulo entre = = y = =

La ecuación de la primera recta =

= no esta en su forma

básica

− = − = −

porque no tenemos sola la z, está multiplicada por un 2

Para llevarla a esta forma dividimos esa parte de la ecuación entre 2:

2 + 32

−2= + 32

−2

Entonces tenemos que hallar el ángulo entre las rectas:

=

= y

=

=

=

= + !− y

=

=

Para hallar este ángulo usaremos el producto punto entre los vectoresdirectores de ambas rectas, primero debemos identificarlos sabiendo que:

Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor

&' = ) * + * + ,-

Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora !i)tri$a* a!+,



−

= −

= −

Entonces:

./0 1

− − = = + !−

Vemos que:

= − = = −

El vector es:

&' =−) * + * − ,-

./0 1

+ = − − = +

Vemos que:

= = − =

El vector es:

&' = ) * − * + ,-

hora, usando:

Si teneo! o! %e$tore! &' y &' . El "rou$to "unto e ello! &' &' !erá,

&' &' = &' &' 45#6%

Sieno &' y &' la! agnitue! e lo! %e$tore! y 6 el ángulo entre ello!.



Pero lo que necesitamos hallar es el ángulo:

45#6% = &' &'&' &' #%

78' 72' = 9−:;< + 3> − 2?-@ 93;< − 2> + ?-@ = #−:%#3% + #3%#−2%

+#−2%#% = − 2 8 − A − B = −

7

8' = C #−:% + 3 +#−2% = D E + E + = D F

72' = C 3 +#−2% + = D E + + 8 A = D

!eemplazando en -1:

45#6% = −D FD G = H I J K −3LD A2D 2E MG=8L$A3N

hora restamos:

8 B O N − G = 8BON−8L$A3N= $N

El ángulo entre las rectas es

$N

/. 0eo!trar ue la re$ta 1P + = −− = + e!tá en el "lano

Q P − − − = R



Para que la recta est" en el plano, los puntos de ella deben satisfacer la

ecuación del plano, ahora debemos encontrar un punto de la recta #

reemplazarlo en la ecuación de 2 a ver si lo satisface

$abemos que la recta tiene la forma: = =

$iendo $ $ un punto de la recta%

Entonces en la recta : "#$ $ % ="#−$$−%

&a conociendo un punto de la recta lo reemplazamos en la ecuación del

plano:

− 3 − 2#L% − 3#−:% − B = O

− 3 − 8 O + 2 8 − B = O R = R

'omo vemos se cumple la igualdad, entonces la recta esta en el plano%

3. 0eo!trar ue la! re$ta! 1PS + − + R = R T + − = RU y 1 P − = −− = + !on "er"eni$ulare!.

Primero tenemos que hallar la ecuación de la primera recta usando las

ecuaciones de dos planos, as(:

$i tenemos los dos planos:

+ − + R = R # % + − = R # %

)na recta puede venir determinada por la intersección de estos dos planos,

para hallar la ecuación param"trica esta recta debemos:



Escoger *, # o z # hacer una sustitución, tratando de que sea la más sencilla%

En este caso escog( * # la sustitución es:

= V # %

hora debemos usar -1* -/ # -3 para hallar las componentes y* de la

ecuación param"trica de la recta:

!eemplazamos en -1:

2 W + X − 2 + 8 O = O

− = − R − V # %

$umamos -/ # -4:

2 X = − A − 2 W = − − V

!eemplazar y en -/:

−3 − W + 2 − = O 2 = W + : = + V +inalmente la ecuación de la recta es:



1

P = V = − − V =V +

hora #a tenemos las dos rectas:

1P = V = − − V = V +

1 P − = − − = +

Para que las rectas sean perpendiculares el producto punto de sus vectoresdirectores es igual a % Entonces debemos hallar estos vectores:

./0 1

Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta aeá! !u %e$tor ire$tor

&' = ) * + * + ,-.

Se "uee e!$ri&ir la e$ua$i'n e e!ta re$ta en (ora "ara)tri$a* a!+,

= + V

= + V

= + V

Sieno V el "aráetro

$i tenemos:

1P = V = − − V = + V Vemos que:

= = − =

El vector es:



&' = ) * − * +

,-

./0 1

Si teneo! el "unto "#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor

&' = ) * + * + ,-


− = − = −

Entonces:

− = − − = +

Pero la ecuación de la primera recta no está en su forma básica porque no

tenemos sola la * positiva%

Para llevarla a esta forma dividimos esa parte de la ecuación entre -.:

− Y−8−8= Y − −

Entonces queda: = =

Vemos que:

= − = − =

El vector es:



&' =−) * − * + ,-

78' 72' = Z;< − 8> + 82 ?-[ 9−;< − 3> + 2?-@ = #8%#−% + #−8%#−3%

+ K82M #2% = − + 3 + 8 = R

4. Hallar la i!tan$ia el "unto "#−$$% a la re$ta F = =

a i!tan$ia - e una re$ta a un "unto 5 !e 6alla a!+,

\ = ]&' ^"' ]]&' ]

Sieno &' el %e$tor ire$tor e la re$ta y ^"' un %e$tor entre un "unto A e

la re$ta y el "unto 5.

Entonces la gráfica del e/ercicio ser(a:



Para poder hallar la distancia entre el punto 5 # la recta debemos conocer

los vectores

7' #

_`'%

El vector 7' es el vector director de :

./0 1

Si teneo! el "unto ^#$ $ % e una re$ta y aeá! !u %e$tor ire$tor

&' = ) * + * + ,-


− = − = −

Entonces:

− F = + − =

Vemos que:

= F = − =

El vector es:

&' = F) * − * + ,-

& un punto de la recta ^#$ $ %=^#$−$R%El vector _`' debemos hallarlo usando un punto ^#$ −$ R% de la recta # el

punto

"#−$$%

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