ejercicios 1-28 de geometria analitica elipse

Solución:

Tenemos la ecuación (x2/25)+(y2/9)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una

elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que

a2=25a=±5. b2=9b=±3. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2c2=25-

9c2=16c=±4.

De este modo tenemos Centro en C (0.0).

Vértices: V’(-a,0)V’(-5,0) y V(a,0)V(5,0).

Focos: F’(-c,0)F’(-4,0) y F(c,0)F(4,0).

Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-3) y B(0,b)B(0,3)

La gráfica generada usando el archivo Geogebra:

Solución:

Tenemos la ecuación (x2/100)+(y2/64)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de

una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que

a2=100a=±10. b2=64b=±8. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo: c2=a2-b2

c2=100-64c2=36c=±6.



Focos: F’(-c,0)F’(-6,0) y F(c,0)F(6,0).

Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-8) y B(0,b)B(0,8)


Solución:

Tenemos la ecuación (x2/4)+(y2/16)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de una

elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que


c2=16-4c2=12c=±(2)(3)1/2c=±3.464


Vértices: V’(0,-a)V’(0,-4) y V(0,a)V(0,4).

Focos: F’(0,-c)F’(0,3.464) y F(0,c)F(0,3.464).

Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-2,0) y B(b,0)B(2,0)


Solución:

Tenemos la ecuación (x2/25)+(y2/169)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de

una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que


c2=169-25c2=144c=±12



Focos: F’(0,-c)F’(0,-12) y F(0,c)F(0,12).

Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-5,0) y B(b,0)B(5,0)


Solución:

Tenemos la ecuación 9x2+25y2=900. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 9x2+25y2=900

((9x2)/900)+((25y2)/900)=1((x2)/100)+((y2)/36)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la

ecuación de una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b.

Tenemos que a2=100a=±10. b2=36b=±6. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:

c2=a2-b2c2=100-36c2=64c=±8.



Focos: F’(-c,0)F’(-8,0) y F(c,0)F(8,0).

Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-6) y B(0,b)B(0,6).


Solución:


((4x2)/36)+((9y2)/36)=1((x2)/9)+((y2)/4)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de

una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que


c2=9-4c2=5c=±(5)1/2c=±2.236



Focos: F’(-c,0)F’(-2.236,0) y F(c,0)F(2.236,0).

Extremos del eje menor: B’(0,-b)B’(0,-2) y B(0,b)B(0,2).


Solución:

Tenemos la ecuación 9x2+y2=9. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: 9x2+y2=9

((9x2)/9)+((y2)/9)=1((x2))+((y2)/9)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la ecuación de una

elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b. Tenemos que

a2=9a=±(9)1/2a=±3. b2=(1)b=±(1)1/2

b=±1. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este

modo:c2=a2-b2c2=9-1c2=8c=±(8)1/2

c=±2(2)1/2c=±2.8284.



Focos: F’(0,-c)F’(0,-2.83) y F(0,c)F(0,2.83).

Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-1,0) y B(b,0)B(1,0).


Solución:


((25x2)/100)+((4y2)/100)=1((x2)/4)+((y2)/25)=1. Esta ecuación es de la forma: (x/b)2 + (y/a)2 =1, que es la

ecuación de una elipse con centro C (0,0), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al eje x. donde a>b.

Tenemos que a2=25a=±(25)1/2a=±5. b2=(4)b=±(4)1/2

b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De

este modo:c2=a2-b2c2=25-4c2=21c=±(21)1/2

c=±4.58.



Focos: F’(0,-c)F’(0,-4.58) y F(0,c)F(0,4.58).

Extremos del eje menor: B’(-b,0)B’(-2,0) y B(b,0)B(2,0).


Solución:

Tenemos la ecuación 4x2+9y2-16x-18y-11=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 4x2+9y2-16x-18y-11=0(4x2-16x)+(9y2-18y)=114(x2-4x)+9(y2-2y)=114(x2-4x+4)+

9(y2-2y+1)=11+16+94(x-2)2+9(y-1)2=36. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:

4(x-2)2+9(y-1)2=36 (4(x-2)2/36)+(9(y-1)2/36)=1((x-2)2/9)+((y-1)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:

(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor

paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que a2=9a=±(9)1/2a=±3. b2=(4)b=±(4)1/2

b=±2. Usando la

ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=9-4c2=5c=±(5)1/2

c=±2.236. Tenemos la

relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x-2)h=2, de igual modo: (y-k)(y-1)k=1. La ecuación del eje principal

que es paralelo al eje x es y=1. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=2.

De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (2, 1)

Vértices: V’(h-a, k)V’((2-3),1)V’(-1,1) y V (h+a ,k)V((2+3), 1)V (5, 1).

Focos: F’(h-c, k)F’((2-2.236,1)F’(-0.24, 1) y F(h+c, k)F((2+2.236. 1)F(4.24, 1).

Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(2,(1-2))B’(2,-1) y B(h, k+b)B(2, (1+2))B(2,3).


x

x’

y y’

x=2

Ecuación del eje

menor: y’ x=2

Ecuación del eje

principal: x’ y=1

Solución:

Tenemos la ecuación x2+4y2-6x-8y-3=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: x2+4y2-6x-8y-3=0(x2-6x)+(4y2-8y)=3(x2-6x)+4(y2-2y)=3(x2-6x+9)+4(y2-2y

+1)=3+9+4(x-3)2+4(y-1)2=16. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: (x-3)2+4(y-1)2=16

((x-3)2/16)+(4(y-1)2/16)=1((x-3)2/16)+((y-1)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la

ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b.

Tenemos que a2=16a=±(16)1/2a=±4. b2=(4)b=±(4)1/2

b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De

este modo:c2=a2-b2c2=16-4c2=12c=±(12)1/2

c=±3.464. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-

h)(x-3)h=3, de igual modo: (y-k)(y-1)k=1. La ecuación del eje principal que es paralelo al eje x es y=1. La

ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=3.


Vértices: V’(h-a, k)V’((3-4),1)V’(-1,1) y V (h+a ,k)V((3+4), 1)V (7, 1).

Focos: F’(h-c, k)F’((3-3.464,1)F’(-0.46, 1) y F(h+c, k)F((3+3.464, 1)F(6.46, 1).



y y’

x

x’

Ecuación del eje

menor: y’ x=3

Ecuación del eje

principal: x’ y=1

Solución:

Tenemos la ecuación 4x2+y2+8x-4y-92=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 4x2+y2+8x-4y-92=0(4x2+8x)+(y2-4y)=924(x2+2x)+(y2-4y)=924(x2+2x+1)+(y2-4y

+4)=92+4+44(x+1)2+(y-2)2=100. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:

4(x+1)2+(y-2)2=100(4(x+1)2/100)+((y-2)2/100)=1((x+1)2/25)+((y-2)2/100)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/b)2

+ (y/a)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo

al eje x. donde a>b. Tenemos que a2=100a=±(100)1/2a=±10. b2=(25)b=±(25)1/2

b=±5. Usando la

ecuación:b2=a2-c2, despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=100-25c2=75c=±(75)1/2

c=±5(3)1/2c=±8.66.

Tenemos la relación: (x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x+1)h=-1, de igual modo: (y-k)(y-2)k=2. La ecuación del

eje principal que es paralelo al eje y es x=-1. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje x es y=2.

De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (-1, 2)

Vértices: V’(h, k-a)V’(-1,(2-10)V’(-1,-8) y V (h ,k+a)V(-1, (2+10))V (-1, 12).

Focos: F’(h, k-c)F’(-1,(2-8.66))F’(-1, -6.66) y F(h, k+c)F(-1, (2+8.66))F(-1, 10.66).

Extremos del eje menor: B’(h-b, k)B’((-1-5),2))B’(-6,2) y B(h+b, k)B((-1+5), 2)B(4,2).


x

y

x’

y’

Ecuación del eje

menor: x’ y=2

Ecuación del eje

principal: y’ x=-1

Solución:

Tenemos la ecuación 2x2+2y2-2x+18y+33=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 2x2+2y2-2x+18y+33=0(2x2-2x)+(2y2+18y)=-33

2(x2-x)+2(y2+9y)=-332(x2-x+(1/4))+2(y2+9y+(81/4))=-33+(1/2)+(81/2)2(x-(1/2))2+2(y+(9/2))2=8. Procedemos a

ajustar esta expresión a la forma canónica: 2(x-(1/2))2+2(y+(9/2))2=8(2(x-(1/2))2/8+(2(y+(9/2))2/8)=1

((x-(1/2))2/4)+((y+(9/2))2/4=1(x-(1/2))2+(y+(9/2))2=4. Esta ecuación es de la forma:(x-h)2 + (y-k)2 =r2, que es la

ecuación de una circunferencia con centro C (h, k), y radio r. Tenemos que su centro está en C (1/2,(-9/2)), su

radio es r=2

De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (1/2, (-9/2))

El radio es r=2

Con esto se demuestra que la ecuación: Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 ( 1 ) si A=C, la ecuación se transforma en:

Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0, que al dividirla entre A resulta: x2+y2+(D/A)x+(E/A)y+(F/A)=0. Esta gráfica es la de una

circunferencia, un punto o el conjunto vacío. Este enunciado concuerda con el Teorema 1, pues una circunferencia

es una forma límite de una elipse. Este hecho puede demostrarse considerando la ecuación que relaciona los

valores de a, b y c de una elipse: b2=a2-c2.

En esta ecuación se aprecia que a medida que c tiende a cero, b2 tiende a a2. Si b2=a2, las formas estándares de

la ecuación de una elipse se transforman en: ((x-h)2/a2)+((y-k)2/a2)=1(x-h)2+(y-k)2=a2, que es una ecuación de

una circunferencia con centro en (h, k) y radio a.


x x

y

x

x’ x

y’ x

Solución:

Tenemos la ecuación 4x2+4y2+20x-32y+89=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios

al cuadrado que son indicados: 4x2+4y2+20x-32y+89=0(4x2+20x)+(4y2-32y)=-894(x2+5x)+4(y2-8y)=-

894(x2+5x+(25/4))+4(y2-8y+16)=-89+25+644(x+(5/2))2+4(y-4)2=0(x+(5/2))2+(y-4)2=0. Esta ecuación es de la

forma:(x-h)2 + (y-k)2 =r2, que es la ecuación de una circunferencia con centro C (h, k), y radio r. Tenemos que su

centro está en C (-5/2,4), su radio es r=0.

Por lo tanto al ser el radio igual a cero, es un punto C (-5/2,4).

Solución:

Tenemos la ecuación 25x2+y2-4y-21=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 25x2+y2-4y-21=0(25x2)+(y2-4y)=2125(x2)+(y2-4y)=21

25(x2)+(y2-4y+4)=21+425(x-0)2+(y-2)2=25. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:

25(x-0)2+(y-2)2=25(25(x-0)2/25)+((y-2)2/25)=1((x-0)2/1)+((y-2)2/25)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/b)2 +

(y/a)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje y, eje menor paralelo al

eje x. donde a>b. Tenemos que a2=25a=±(25)1/2a=±5. b2=(1)b=±(1)1/2

b=±1. Usando la ecuación:b2=a2-c2,

despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=25-1c2=24c=±(24)1/2

c=±(2)(6)1/2c=±4.89. Tenemos la relación:

(x-h) y (y-k), entonces (x-h)(x+0)h=0, de igual modo: (y-k)(y-2)k=2. La ecuación del eje principal que es

paralelo al eje y es x=0. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje x es y=2.


Vértices: V’(h, k-a)V’(0,(2-5)V’(0,-3) y V (h ,k+a)V(0, (2+5))V (0, 7).

Focos: F’(h, k-c)F’(0,(2-4.89))F’(0, -2.89) y F(h, k+c)F(0, (2+4.89))F(0, 6.89).

Extremos del eje menor: B’(h-b, k)B’((0-1),2))B’(-1,2) y B(h+b, k)B((0+1), 2)B(1,2).


x’

x

y

Ecuación del eje

menor: x’ y=2

Ecuación del eje

principal: y’ x=0

Solución:

Tenemos la ecuación x2+3y2-4x-23=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: x2+3y2-4x-23=0(x2-4x)+(3y2)=23(x2-4x+4)+3(y2)=23+4(x-2)2+3(y-0)2=27.

.Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica: (x-2)2+3(y-0)2=27(x-2)2/27)+(3(y-0)2/27)=1(x-

2)2/27)+((y-0)2/9)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 + (y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C

(h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al eje y. donde a>b. Tenemos que

a2=27a=±(27)1/2a=±3(3)1/2

a=±5.196. b2=(9)b=±(9)1/2b=±3. Usando la ecuación:b2=a2-c2, despejamos c.

De este modo:c2=a2-b2c2=27-9c2=18c=±(18)1/2

c=±(3)(2)1/2c=±4.24. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k),

entonces (x-h)(x-2)h=2, de igual modo: (y-k)(y-0)k=0. La ecuación del eje principal que es paralelo al eje

x es y=0. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=2.


Vértices: V’(h-a, k)V’((2-5.2), 0)V’(-3.2, 0) y V (h+a ,k)V((2+5.2), 0)V (7.2, 0).

Focos: F’(h-c, k)F’((2-4.24, 0)F’(-2.24, 0) y F(h+c, k)F((2+4.24), 0)F(6.24, 0).



Ecuación del eje

principal: x y=0

Ecuación del eje

menor: y’ x=2

y’ y

x

Solución:

Tenemos la ecuación 2x2+3y2-4x+12y+2=0. Agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 2x2+3y2-4x+12y+2=0(2x2-4x)+(3y2+12y)=-22(x2-2x)+3(y2+4y)=-22(x2-2x+1)+

3(y2+4y+4)=-2+2+122(x-1)2+3(y+2)2=12. Procedemos a ajustar esta expresión a la forma canónica:

2(x-1)2+3(y+2)2=12(2(x-1)2/12)+(3(y+2)2/12)=1((x-1)2/6)+((y+2)2/4)=1. Esta ecuación es de la forma:(x/a)2 +

(y/b)2 =1, que es la ecuación de una elipse con centro C (h, k), eje principal paralelo al eje x, eje menor paralelo al

eje y. donde a>b. Tenemos que a2=6a=±(6)1/2a=±2.45. b2=(4)b=±(4)1/2

b=±2. Usando la ecuación:b2=a2-c2,

despejamos c. De este modo:c2=a2-b2c2=6-4c2=18c=±(2)1/2

c=±1.414. Tenemos la relación: (x-h) y (y-k),

entonces (x-h)(x-1)h=1, de igual modo: (y-k)(y+2)k=-2. La ecuación del eje principal que es paralelo al

eje x es y=-2. La ecuación del eje menor que es paralelo al eje y es x=1.

De este modo tenemos Centro en C (h, k) C (1, -2)

Vértices: V’(h-a, k)V’((1-2.45), -2)V’(-1.45, -2) y V (h+a ,k)V((1+2.45), -2)V (3.45, -2).

Focos: F’(h-c, k)F’((1-1.414, -2)F’(-0.414, -2) y F(h+c, k)F((1+1.414), -2)F(2.414, -2).

Extremos del eje menor: B’(h, k-b)B’(1,(-2-2))B’(1,-4) y B(h, k+b)B(1, (-2+2))B(1,0).


x

x’

y y’ Ecuación del eje

menor: y’ x=1

Ecuación del eje

principal: x’ y=-2

Solución:

Tenemos la ecuación: 4x2+y2-8x+2y+5=0, agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 4x2+y2-8x+2y+5=0(4x2-8x)+(y2+2y)=-54(x2-2x)+(y2+2y)=-5

4(x2-2x+1)+(y2+2y+1)=-5+4+14(x-1)2+(y+1)2=0.

Como el lado derecho de la ecuación de la ecuación:[ 4(x-1)2+(y+1)2=0] es cero, la gráfica representa un punto, ya

que tenemos (x-h) y (y-k) entonces h=1 y k=-1. El punto es C (h,k) C (1,-1)

Solución:

Tenemos la ecuación: 2x2+3y2+8x-6y+20=0, agrupamos los términos semejantes y completamos los binomios al

cuadrado que son indicados: 2x2+3y2+8x-6y+20=0(2x2+8x)+(3y2-6y)=-202(x2+4x)+3(y2-2y)=-20

2(x2+4x +4)+ 3(y2-2y+1)=-20+8+32(x+2)2+3(y-1)2=-9.

Como el lado derecho de la ecuación de la ecuación:[ 2(x+2)2+3(y-1)2=-9] es negativo y el lado izquierdo es

positivo, la gráfica es el conjunto vacío.

Solución:

Los focos son F’(-5,0) y F(5,0) y la constante mencionada en la definición es 20, es decir la constante es 2a. De

este modo 2a=20a=10. Luego las coordenadas del foco son determinadas por F’(x-c.k) y F(x+c,k), por

comparación tenemos (x-c)=-5 y k=0, por otro lado (x+c)=5. De la ecuación (x-c)=-5c=x+5, sustituyendo el valor

de c en: (x+c)=5x+(x+5)=52x=0x=0. Sustituyendo el valor de x en (x-c)=-50-c=-5c=5.

De la ecuación:b2=a2-c2b2=(10)2-(5)2

b2=100-25b2=75b=(75)1/2b=±5(3)1/2

b=±8.66.

Por la posición de los focos F’(-5,0) y F(5,0) podemos determinar que es una elipse con el eje principal paralelo al

eje x, por lo que la ecuación de la elipse de la forma canónica es: (x2/a2)+(y2/b2)=1 , donde a>b. De esta manera

sustituyendo los valores de a y b, tenemos: (x2/100)+(y2/75)=1, simplificando la ecuación, tenemos:

(x2/100)+(y2/75)=1100[(x2/100)+(y2/75)=1]x2+(4y2/3)=1003x2+4y2=300

La gráfica de esta ecuación usando el archivo Geogebra es:

Solución:

Los focos son F’(0,-3) y F(0,3) y la constante mencionada en la definición es 6(3)1/2, es decir la constante es 2a.

De este modo 2a=6(3)1/2a=3(3)1/2

a=±5.20 Luego las coordenadas del foco son determinadas por F’(x.k-c) y

F(x,k+c), por comparación tenemos (k-c)=-3 y h=0, por otro lado (k+c)=3. De la ecuación (k-c)=-3c=k+3,

sustituyendo el valor de c en: (k+c)=3k+(k+3)=32k=0k=0. Sustituyendo el valor de x en (k-c)=-3

0-c=-3c=3.

De la ecuación:b2=a2-c2b2=(3(3)1/2)2-(3)2

b2=27-9b2=18b=(18)1/2b=±3(2)1/2

b=±4.24.

Por la posición de los F’(0,-3) y F(0,3) podemos determinar que es una elipse con el eje principal paralelo al eje y,

por lo que la ecuación de la elipse de la forma canónica es: (x2/b2)+(y2/a2)=1 , donde a>b. De esta manera

sustituyendo los valores de a y b, tenemos: (x2/18)+(y2/27)=1, simplificando la ecuación, tenemos:

(x2/18)+(y2/27)=127[(x2/18)+(y2/27)=1](3x2/2)+y2=273x2+2y2=54.


Solución:

Origen en C (0,0), la longitud del eje mayor (2a) es tres veces la del eje menor (2b) y pasa por el punto P (3,3). Los

focos sobre el eje x, esto indica que las coordenadas de los focos son: F’(-c,0) y F(c,0), usando la definición de la

elipse: Una elipse es el conjunto de puntos de un plano para los que es constante la suma de sus distancias a dos

puntos fijos. A cada uno de tales puntos fijos se le llama foco.

Tenemos la relación:2a=(3)(2b)2a=6ba=3bb=a/3. Luego tenemos la relación c2=a2-b2

c2=a2-(a/3)2c2=a2-(a2/9)c2=8a2/9. De esta relación tenemos la relación: 2a=3(2b)b=(a/3). Tenemos un punto

de la elipse: P (3,3), donde x=3, y=3. La ecuación canónica de una elipse con eje principal sobre el eje x y centro

en el origen: (x2/a2)+(y2/b2)=1, donde a>b, sustituyendo: b=(a/3) y x=3, y=3 en esta ecuación tenemos:

(x2/a2)+(y2/b2)=1(9/a2)+(81/a2)=189=a2a=(89)2

a=±9.44. De este modo b=(a/3)b=±(9.44/3)b=±3.14 De

la relación: c2=8a2/9c2=(8/9)(89)c2=712/9c=(712/9)1/2c=±8.89

Así la ecuación que representa esta elipse es: (x2/89)+(9y2/89)=1, simplificando:x2+9y2=89


Solución:

La elipse tiene los vértices en: V’(-2,0) y V(2,0) y pasa por el punto: P(-1,(1/2)(3)1/2)P(-1,0.866). Con esta

información determinamos que V’(-a,0) y V(a,0), por comparación a=2 y –a=-2.

Además es una elipse con eje principal paralelo al eje x. Si consideramos que su centro está en el origen C (0,0) la

ecuación de la elipse en su forma canónica es: (x2/a2)+(y2/b2)=1, conocemos un punto de la elipse, P(-1,(1/2)(3)1/2),

donde x=-1, y=(1/2)(3)1/2, además a=2.Sustituyendo en la forma canónica de la elipse: (x2/a2)+(y2/b2)=1

((-1)2/(2)2)+(((1/2)(3)1/2)2/(b2)=1(1/4)+(3/4b2)=11+(3/b2)=4(3/b2)=3b2=1b=(1)1/2b=±1

Usando la ecuación c2=a2-b2, sustituyendo: c2=a2-b2c2=(2)2-(1)2

c2=4-1c2=3c=(3)1/2c=±1.73

La ecuación que representa esta elipse es: (x2/4)+(y2)=1. Simplificando la ecuación: (x2/4)+(y2)=1x2+4y2=4


Solución:

La elipse tiene los vértices en: V’(0,-5) y V(0,5) y pasa por el punto: P(2,(-5/3)(5)1/2)P(2,-3.73). Con esta

información determinamos que V’(0,-a) y V(0,a), por comparación a=5 y –a=-5.

Además es una elipse con eje principal paralelo al eje y. Si consideramos que su centro está en el origen C (0,0) la

ecuación de la elipse en su forma canónica es: (x2/b2)+(y2/a2)=1, conocemos un punto de la elipse, P(2,(-5/3)(5)1/2),

donde x=2, y=(-5/3)(5)1/2, además a=5.Sustituyendo en la forma canónica de la elipse:

(x2/b2)+(y2/a2)=1((4)/b2)+((25*5)/(9*25)=1(4/b2)+(5/9)=1(36/b2)+5=9(36/b2)=4b2=36/4b2=9b=±3.

Usando la ecuación c2=a2-b2, sustituyendo: c2=a2-b2c2=25-9c2=16c=±4.

Con esto los focos son F’(0,-4) y F(0,4). Y el eje x corta a la elipse en B’(-3,0) y B(3,0)

La ecuación que representa esta elipse es: (x2/b2)+(y2/a2)=1(x2/9)+(y2/25)=1. Simplificando la ecuación:

(x2/9)+(y2/25)=1(25x2/9)+y2=2525x2+9y=225


Solución:

El centro de la elipse se encuentra en C (4,-2), un vértice en V (9,-2) y un foco en F (0,-2).

Al tener la elipse un centro que no coincide con el origen, tiene las coordenadas C (h,k), por comparación h=4 y

k=-2. Por otro lado las coordenadas de uno de los vértices de la elipse viene determinada por V(h+a,k), de este

modo tenemos que h+a=9a=9-ha=9-4a=5. De igual manera las coordenadas de uno de los focos de la

elipse viene dada por F’(h-c,k), así tenemos F (0,-2), por comparación h-c=0c=0+hc=4 Con esto usamos la

ecuación c2=a2-b2b2=a2-c2

b2=(25)2-(4)2b2=25-16b2=9b=±3

De este modo el otro vértice es: V’(h-a. k)V’(4-5,-2)V’(-1,-2). El otro foco es: F(h+c,k)F (4+4,-2)F (8,-2). El

eje menor (y’) toca a la elipse en los puntos B’(h,k-b)B’(4,(-2-3)B’(4,-5) y en el punto B(h,k+b)

B(4,(-2+3))B(4,1)

Luego tenemos que la ecuación canónica de la elipse con centro en C (h, k) y con eje principal paralelo al eje x,

es: ((x-h)2/a2)+((y-k)2/b2)=1. De esta manera la ecuación que define la elipse que se analiza en este problema es:

((x-h)2/a2)+((y-k)2/b2)=1((x-4)2/(5)2)+((y+2)2/(3)2)=1((x-4)2/25)+((y+2)2/9)=1


y y’

x’

x

Solución:

Un foco se encuentra en F (2,-3), un vértice en V (2,4) y centro en el eje x. Nota, al poner atención a la indicación

que se da de que el centro se encuentra en el eje x, esto indica que k=0. Las coordenadas del foco para una

elipse viene determinada por F(h,k+c), de este modo por comparación h=2, y k+c=-3c=-3-kc=-3-0c=-3.

El vértice se define por la ecuación: V (h, k+a), de este modo por comparación k+a=4a=4-ka=4-0a=4.

Usando la ecuación:b2=a2-c2b2=(4)2-(-3)2

b2=16-9b2=7b=(7)1/2b=±2.65.

Con lo anterior determinamos el otro vértice V’(h,k-a)V’(2,(0-4))V’(2,-4). De forma semejante, el foco es:

F’(h,k-c)F’(2,(0-(-3))F’(2,3). Los puntos en el que el eje menor ( x ) toca a la elipse son B’(h-b,k)

B’((2-2.65),0)B’(-0.65,0), el otro punto es B((2+2.65),0)B(4.65,0).

La ecuación canónica de la elipse con centro en C (h,k) y con eje mayor paralelo al eje y, tiene la forma:

((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x-2)2/((7)1/2)2+((y-0)2/(4)2)=1((x-2)2/7)+((y2)/16)=1


y’

Solución:

Los focos son localizados en F’(-1,-1) y F(-1,-7), y el semieje mayor con longitud de 8 unidades. De las ecuaciones

que definen las pociones de los focos, tenemos: F’(h,k-c)F’(-1,-1), por comparación tenemos h=-1, y ,

k-c=-1c=k+1. El otro foco se determina por F(-1,7), por comparación k+c=7k+(k+1)=72k=6k=3,

sustituyendo en c=k+1c=3+1c=4.

Al hablar de la longitud del semieje eje mayor que es de es 8 unidades, inferimos que a=8. Al aplicar la ecuación:

b2=a2-c2b2=(8)2-(4)2

b2=64-16b2=48b=((12)(4))1/2b=((4)(3)(4))1/2

b=±(4)(3)1/2b=±6.93.

De este modo podemos calcular los vértices V’(h,k-a) y V (h,k+a)V’(-1,(3-8))V’(-1-5), luego V(h,k+a)

V(-1,(3+8))V(-1,11). Los puntos en donde el eje menor (x’) corta la elipse son B’((h-b),k)B’((-1-6.93),3)

B’(-7.93,3) y el otro punto es B((h+b),k)B((-1+6.93),3)B(5.93,3). El centro de la elipse se localiza en

C(h,k)C(-1,3).

La ecuación que define la elipse que se analiza, de deduce usando la forma canónica de la elipse con el eje mayor

paralelo al eje y: ((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x+1)2/48)+((y-3)2/64)=1


x

y y’

x’

Solución: Los focos son localizados en F(2,3) y F’(2,-7), y el semieje menor con longitud de (2/3) unidades de la

longitud del semieje mayor. De las ecuaciones que definen las pociones de los focos, tenemos: F(h,k+c)F’(2,3),

por comparación tenemos h=2, y ,k+c=3c=3-k. El otro foco se determina por F’(2,-7), por comparación

k-c=-7k-(3-k)=-72k+3=-72k=-10k=-2, sustituyendo en c=3-k.c=3-(-2)c=5. Al hablar de la longitud del

semieje menor (b) que es (2/3) de la longitud del semieje mayor, entendemos que b=(2/3)a. Ahora tenemos la

ecuación: b2=a2-c2. Sustituyendo la igualdad vista, tenemos:( (2/3)a)2=a2-(5)2(4/9)a2=a2-25

a2-(4/9)a2=25(5/9)a2=25a2=(9)(25)/5a2=45a=±(3)(5)1/2a=±6.71, Usando la ecuación b2=a2-c2

b2=(45)-

(25)b2=20b=±(2)(5)1/2b=±4.47 Comprobando que b=(2/3)ab=(2/3)(3)(5)1/2

b=±4.47.

De este modo podemos calcular los vértices V’(h,k-a) y V (h,k+a)V’(2,(-2-6.71))V’(2,-8.71), luego V(h,k+a)

V(2,(-2+6.71))V(2,4.71). Los puntos en donde el eje menor (x’) corta la elipse son B’((h-b),k)B’((2-4.47,-2)

B’(-2.47,-2) y el otro punto es B((h+b),k)B((2+4.47),-2)B(6.47,-2). El centro de la elipse se localiza en

C(h,k)C(2,-2).

La ecuación que define la elipse que se analiza, de deduce usando la forma canónica de la elipse con el eje mayor

paralelo al eje y: ((x-h)2/b2)+((y-k)2/a2)=1((x-2)2/20)+((y+2)2/45)=1


x

y

x’

y’

ejercicios 1-28 de geometria analitica elipse

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