ejercicios de volumen

__________________________________________________________________ 1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS – CAJAMARCA

1. Halle el volumen del sólido generado cuando la región limitada por las gráficas de

Ejercicios propuestos

3,1,0,41 2 ===−= xxyxxy gira alrededor del eje X.

2. Hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la

parábola xy 82 = y la recta 2=x , con respecto al eje x.

3. Hallar el volumen generado en la rotación del área limitada por la parábola 2y 4x= y

la ordenada correspondiente a 2=x con respecto al eje y.

4. Halle el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje X la región que se halla

en el primer cuadrante y que está limitada por las gráficas

4,1,0,2 ==== xxyxy .

5. En los ejercicios siguientes formular y evaluar la integral que da el volumen del sólido

formado al girar la región alrededor del eje y


6. Una esfera de radio r es cortada por un plano situado ( )h h r< unidades sobre el

ecuador. Encontrar el volumen del sólido (el segmento esférico) sobre el plano.

7. Hallar el volumen generado al rotar las curvas alrededor del eje X:

a. 1 , 0 , 0 , 41

y y x xx

= = = =+

b. 29 , 0y x x y= − =

c. 1 , 0 , 1 , 3y y x xx

= = = =

Alrededor del eje y

Alrededor del eje x

Alrededor del eje x

Alrededor del eje y

Alrededor del eje x Alrededor del eje y


d. 2 , 0 , 0 , 61

y y x xx

= = = =+

e. , 0 , 0 , 1xy e y x x−= = = =

f. 2 , 0 , 0 , 4x

y e y x x= = = =

g. 2 21 , 2 5 , 0 , 3y x y x x x x= + = − + + = =

h. 12, 4 , 0 , 8y x y x x x= = + = =

i. , 0 , 0 ,y sen x y x x π= = = =

j. 2 2 , 0 , 1 , 2x xy e e y x x−= + = = − =

8. En los ejercicios siguientes, determine el volumen de cada uno de los sólidos

generados al hacer girar la región acotada por las rectas y curvas dadas alrededor del

eje y

a. La región circundada por 25 , 0 , 1 , 1x y x y y= = = − = . Fig. (1)

b. La región circundada por 3 2 , 0 , 2x y x y= = = .Fig. (2)

c. La región circundada por 2sin 2 , 0 , 0 2x y x y= = ≤ ≤ π .Fig. (3)

d. La región circundada por cos ( 4) , 0 , 2 0x y x y= π = − ≤ ≤ . Fig. (4)

Fig.(1) Fig.(2)


e. La región circundada por 2 ( 1) , 0 , 0 , 3x y x y y= + = = = .

f. 22 ( 1) , 0 , 1x y y x y= + = =

9. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región dada alrededor del eje

indicado:

a. 22 , 0, 0, 5;y x y x x eje x= = = = b. 2 2 16, 0, 8;x y y x eje x− = = = c. 2 24 9 36 ; ,x y eje x eje y+ = d. 2 2, 4 ;y x y x x eje x= = − e. 24 , 0, 16 ;y x x y eje x= = = f. 2 5 6, 0 ;y x x y eje y= − + =

10. Determinar el volumen del sólido resultante al hacer girar la región comprendida entre

el eje y y la curva 2 / , 1 4x y y= ≤ ≤ , alrededor del eje y (ver figura 5)

Fig. (3) Fig. (4)

Fig. (5)


11. Diseño de un sartén Se le pide diseñar una sartén con forma de tazón esférico con

asas. Su experiencia doméstica le indica que puede obtener una sartén con capacidad

para 3 L si la construye con 9 cm de profundidad y un radio de 16 cm. Para asegurarse

de ello, imagine la sartén como un sólido de revolución semejante al que se muestra a

continuación y calcule su volumen con una integral. ¿Qué volumen tiene la sartén

realmente? Redondee la respuesta al centímetro cubico más cercano (1L=1000 3cm )

(Fig. 6)

12. Diseño de una plomada se le ha pedido que se diseñe una plomada que pese alrededor

de 190 g. Para cumplir su cometido, decide que su forma debe ser parecida a la del

sólido de revolución que se muestra a continuación. Determine el volumen de la

plomada. Si para su fabricación elige latón que tiene un peso de 8.5 3/g cm , ¿Cuánto

pesará la plomada (redondee al gramo más cercano)? (Fig. 7)

13. El volumen de un tanque de combustible Un tanque en el ala del avión de motor de

reacción tiene la forma de un sólido de revolución generado al girar la región acotada

por la gráfica de 218 2y x x= − y el eje x (0 2)x≤ ≤ alrededor del eje x , donde x y y

son medidos en metros. (Fig. 8)

Fig(6) Fig(7)


Fig.8

14. Tanque auxiliar de gasolina. Con el propósito de ampliar el alcance de un

helicóptero,, usted tiene que diseñar un tanque auxiliar de gasolina que deberá caber en

la parte inferior del fuselaje. Después de experimentar un poco en su mesa de dibujo,

decide que la forma del tanque será parecida a la superficie generada al hacer girar la

curva 21 ( 16) , 4 4y x x= − − ≤ ≤ , alrededor del eje x (las medida están en pies).

(Fig.9)

a. ¿Cuántos pies cúbicos de gasolina podrá contener el tanque (redondee al pie más

cercano)?

b. Un pie cúbico equivale a 7.481 galones. Si el helicóptero recorre 2 millas por galón,

¿Cuántas millas adicionales podrá volar una vez que se instale el tanque (redondee

a la milla más cercana)?

(Fig.9)

-4 -2 0 2 40

0.5

1

1.5

2

-10

1

-1

0

10

0.5

1

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