ejercicios de cálculo vol. iv · tantes de estos temas, con una colección de ejercicios resueltos...

Ejercicios de cálculo Vol. IV

Ejercicios de cálculo. Vol. IV

© Enrique Izquierdo Guallar

ISBN: 978-84-9948-357-3Depósito legal: A-790-2011

Edita: Editorial Club Universitario. Telf.: 96 567 61 33C/ Decano, 4 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma. Telf.: 96 567 19 87C/ Cottolengo, 25 – 03690 San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse o trans-mitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de información o sistema de reproducción, sin permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Prólogo

Analizados todos estos temas, en forma de preguntas de test, en el Volumen II: Cálculo, expongo de nuevo estos conceptos (ampliados en varios temas, integrales múltiples, curvilíneas, ecuaciones diferenciales, etc.), en este Volumen IV, constitui-do por una amplia colección de ejercicios.

He intentado, en este nuevo volumen, volver a repasar los conceptos más impor-tantes de estos temas, con una Colección de Ejercicios Resueltos y Propuestos con so-luciones, indicando los métodos más eficaces para resolver las preguntas planteadas.

Son conceptos fundamentales, parecidos a los propuestos en exámenes en distin-tas carreras técnicas y de ingenierías y he querido resolver, con los procedimientos más adecuados en cada caso (a veces más de un método), los problemas que normal-mente se plantean.

El volumen consta de una extensa colección de ejercicios con las preguntas más frecuentes, ampliado con una serie de ejercicios propuestos con soluciones, para que el alumnado trabaje por su cuenta, y pueda ver si ha asimilado los conceptos necesa-rios en los distintos temas expuestos.

Espero que esta colección de ejercicios facilite al alumnado la completa asimi-lación y comprensión de estos conceptos y le permita resolver cualquier ejercicio correspondiente a los temas aquí analizados.

He evitado, en algunas ocasiones, los procedimientos formales, explicando de una forma más sencilla y comprensible, según mi opinión, el concepto correspon-diente.

El autor

ÍNDICE

Tema 1.- CÁLCULO DIFERENCIAL ...................................................................7Tema 1.1.- Derivadas parciales ............................................................................9Tema 1.2.- Gradiente. Derivada direccional ......................................................24Tema 1.3.- Límites. Continuidad. Diferenciabilidad .........................................37Tema 1.4.- Máximos y Mínimos. Hessiano .......................................................47Tema 1.5.- Máximos y Mínimos condicionados................................................65Tema 1.6.- Desarrollos en serie. Plano tangente y recta normal ........................81

Tema 2.- CÁLCULO INTEGRAL .......................................................................93Tema 2.1.- Integración aproximada ...................................................................95Tema 2.2.- Integral simple ...............................................................................105Tema 2.3.- Cambio de límites de integración .................................................128Tema 2.4.- Áreas y volúmenes. Integrales de orden superior ..........................139Tema 2.5.- Integral curvilínea ..........................................................................164Tema 2.6.- Integral impropia ...........................................................................177

Tema 3.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ............185Tema 3.1.- Ecuaciones diferenciales de variables separadas ...........................187Tema 3.2.- Ecuaciones diferenciales homogéneas ...........................................199Tema 3.3.- Ecuaciones diferenciales exactas ...................................................216Tema 3.4.- Ecuaciones diferenciales lineales ..................................................236Tema 3.5.- Ecuación diferencial de Bernoulli .................................................255

7

Tema 1.- CÁLCULO DIFERENCIAL

1.1.- Derivadas parciales

1.2.- Derivadas direccionales. Gradiente

1.3.- Límites. Continuidad. Diferenciabilidad

1.4.- Máximos y mínimos absolutos. Hessiano

1.5.- Máximos y mínimos condicionados. Multiplicadores de Lagrange

1.6.- Desarrollos en serie. Fórmulas de Taylor y Mc-Laurin. Plano tangente

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Tema 1.1.- Derivadas parciales

Dada una función f(x,y), se denominan:

Derivada parcial de primer orden respecto a x- , en un punto (a,b), al límite:

fx (a,b) = [∂ f/ ∂ x] (a,b) = lím [f(a+h,b) – f(a,b)]/h h→0

Derivada parcial de primer orden respecto a y- , en un punto (a,b), al límite:

fy(a,b) = [∂ f/ ∂ y] (a,b) = lím [f(a,b+k) – f(a,b)]/k k→0

Derivada parcial de segundo orden respecto a x- , en un punto (a,b), al límite:

fx2(a,b) = [∂ 2f/ ∂ x2] (a,b) = lím [fx(a+h,b) – fx(a,b)/h h→0

Derivada parcial de segundo orden respecto a y- , en un punto (a,b), al límite:

fy2 (a,b) = [∂ 2f/ ∂ y2] (a,b) = lím [fy(a,b+k) – fy(a,b)]/k k→0

Derivada parcial de segundo orden respecto a x, y a y- , en un punto (a,b), a:

fxy(a,b) =[∂ 2f/ ∂ x ∂ y ] (a,b) = lím [fx(a,b+k) – f(a,b)]/k k→0

Derivada parcial de segundo orden respecto a y, y a x- , en un punto (a,b), a :

fyx(a,b) = [∂ 2f/ ∂ y ∂ x](a,b) = lím [fy(a+h,b) – fy(a,b)]/h h→0

Teorema de Schwarz.- Si una función f(x,y) es continua, en un punto (a,b), las de-rivadas cruzadas de segundo orden, en dicho punto, son iguales fxy(a,b) = fyx(a,b)

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Cálculo diferencial de varias variables

2xy/(x+y) (x,y) ≠ (0,0)1.- Dada la función f(x,y) = , hallar fx y fy 0 (x,y) = (0,0)

Solución:

En el punto (0,0):

fx(0,0) = lím {[f(0+h,0) – f(0,0)]/h} = lím [(2·h·0)/(h+0)] – 0}/h = lím 0/h2 = 0 h→0 h→0 h→0

fy(0,0) = lím {[f(0,0+k) – f(0,0)]/k} = lím{[(2·0·k)/(0+k)] – 0}/k = lím 0/k2 = 0 k→0 k→0 k→0

En cualquier otro punto (a,b) ≠ (0,0):

fx(a,b) = {[2y(x+y) – 1·2xy]/(x+y)2} = 2y2/(x+y)2

fy(a,b) = {[2x·(x+y) – 2xy]/(x+y)2} = 2x2/(x+y)2

2y2/(x+y)2 (x,y) ≠ (0,0)fx = 0 (x,y) = (0,0)

2x2/(x+y)2 (x,y) ≠ (0,0)fy = 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

2.- Dada la función f(x,y) = x3 – 2xy+y2, hallar fx(1,1) y fy(0,3)

Solución:

fx(1,1) = (3x2 – 2y)(1,1) = 3 – 2 = 1

fy(0,3) = (–2x+2y)(0,3) = 0+6 = 6

------------------------------------------

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3.- Dada la función f(x,y) = x2y+5y, comprobar que verifica el teorema de Schwarz

Solución:

fxy = [∂/ ∂ y(fx)] = (∂/ ∂ y)(2xy) = 2x →fxy= fyx

fyx = [∂/ ∂ x](fy) = (∂/ ∂ x)(x2+5) = 2x

-------------------------------------------

4.- Dada la función f(x,y) = ex+y2x, comprobar el teorema de Schwarz

Solución:

fx= ex+y2 → fxy= 2y → fxy = fyxfy = 2yx→fyx= 2y

-------------------------------------------

5.- Dada la función f(x,y) = x3y2 – 2xy+y3, hallar fx2, fy2, fxy, fyx

Solución:

fx= 3x2y2 – 2y→fx2= 6x, fxy= 6x2y – 2

fy= 2x3y – 2x+y3→fy2= 2x3+6y, fyx= 6x2y – 2

-------------------------------------------

6.- Dada la función f(x,y) = exy+L(x2y) – sen x, hallar fx, fy y fx2, en el punto P(1,2)

Solución:

fx= yexy+(1/x2y)·2xy – cos x = yexy+2/x – sen x →fx(1,2) = 2e2+2 – cos 1

fy= xexy+(1/x2y)·x2 = xexy+1/y →fy(1,2) = e2+1/2

fx2=y2exy–(2y/x2)+sen x →fx2(1,2) = 4e2 – 2+sen 1

-------------------------------------------

12


7.- Dada la función f(x,y) = x3y/(x2+y) – 5xy2+3, hallar fx(0,3), fy(0,3)

Solución:

fx={[3x2y(x2+y) – 2x·x3y]/(x2+y)2} – y25xy2L5 →fx(0,3) = 0/9 – 9·50L5 = –9L5

fy= {[x3(x2+y) – x3y]/(x2+y)2} – 2xy5xy2L5 →fy(0,3) = 0 – 0 = 0

--------------------------------------------

8.- Dada la función f(x,y)= 5x2+3y3 – 2xy, hallar fx2, fy2 y fxy, en Q(1,1)

Solución:

fx= 10x – 2y →fx2= 10, fxy= –2 →fx2(1,1) = 10, fxy(1,1) = –2

fy= 9y2 – 2x→fy2= 18y →fy2(1,1) = 18·1 = 18

-------------------------------------------

9.- Dada la función f(x,y) = yex/(x+y), hallar fx2, fy2, fxy,fyx

Solución:

fx= [yex(x+y) – yex]/(x+y)2 = [(xy+y2 – y)ex/(x+y)2

fx2= [(y+xy+y2 – y)ex(x+y)2 – 2(x+y)(xy+y2 – y)ex]/(x+y)4 = (x2y+2y2x+y3 – 2xy – 2y2+2y)ex/(x+y)3

fxy= [(x+2y – 1)(x+y)2ex – 2(x+y)(xy+y2 – y)ex]/(x+y)4 = (x2+xy – x+y)ex/(x+y)3

fy= [ex(x+y) – yex]/(x+y)2

fy2= –2(x+y)xex/(x+y)4 = –2xex(x+y)3

fyx= [(1+x)ex(x+y)2 – 2(x+y)xex]/(x+y)4 = (–x+y+x2+xy)ex/(x+y)3

-------------------------------------------

x/(x+y) (x,y) ≠ (0,0)10.- Dada la función 0 (x,y) = (0,0)

13


Hallar la derivada cruzada de segundo orden, fxy

Solución:

fx(0,0) = lím [f(0+h,0) – f(0,0)]/h = lím{[0/(0+h)] – 0}/h = lím 0/h = 0 h→0 h→0 h→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fx(x,y) = [1·(x+y) – 1·x]/(x+y)2 = y/(x+y)2

fxy(0,0) = lím [fx(0,0+k) – fx(0,0)]/k = lím [(0/k) – 0]/k = lím 0/k = 0 k→0 k→0 k→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fxy(x,y) = [1·(x+y)2 – 2(x+y) · y]/(x+y)4 = (x – y)/(x+y)3

(x – y)/(x+y)3 (x,y) ≠ (0,0)fxy = 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

xy/(x-y) (x,y) ≠ (0,0)11.- Dada la función 0 (x,y) = (0,0)

Comprobar el teorema de Schwarz

Solución:

fx(0,0) = lím [(0+h)·h/(0+h) – 0]/h = lím 0/h = 0 h→0 h→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fx(x,y) = [y(x – y) – xy]/(x – y)2 = –y2(x – y)2

fxy(0,0) = lím [fx(0,0+k) – fx(0,0)]/k =lím [(–k2/k2) – 0]/k = lím –k2/k3 = lím –1/k = –∞ →No existe k→0 k→0 k→0 k→0

14


En (x,y) ≠ (0,0)

fxy(x,y) = [–2y(x – y)2 – 2(x – y)y2]/(x – y)4 = –2yx/(x – y)3

fy(0,0) = lím [f(0,0+k) – f(0,0)]/k = lím [0·k/(0 – k) – 0]/k = lím 0/k = ∞ →No existe k→0 k→0 k→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fy = [x(x–y)+xy]/(x–y)2 = x2/(x–y)2

fyx(0,0) = lím [fy(0+h,0) – fy(0,0)]/h = lím (h2/h2) – 0]/h = lím 1/h = ∞ →No existe h→0 h→0 h→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fyx= [2x(x – y)2 – 2(x – -y)x2]/(x – y)4 = –2xy/(x – y)3

La función verifica el teorema de Schwarz, en todo punto, excepto en (0,0)

------------------------------------------- x/(x2y+y) (x,y) ≠ (0,0)12.-Dada la función , hallar fx y fy 0 (x,y) = (0,0)Solución:

fx(0,0) = lím [f(0+h,0) – f(0,0)]/h = lím [(0/h) – 0]/h = ∞ →No existe h→0 h→0

fy(0,0) = lím [f(0,0+k) – f(0,0)]/k = lím [(0/0+k) – 0]/k = 0 k→0 k→0

En (x,y) ≠ (0,0)

fx(x,y) = (x2y+y – 2xy·x)/(x2y+y)2 = (y – x2y)/(x2y+y)2

fy(x,y) = (–2xy+1)x/(x2y+y)2

(y – x2y)/(x2y+y)2 (x,y) ≠ (0,0) (x – 2x2y)/(x2y+y)2 (x,y) ≠ (0,0)fx = fy=

No existe (x,y) = (0,0) 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

15


13.- Dadas las funciones a) f(x,y) = x2 – xy+xy3, b) g(x,y) = exy2, hallar las deri-vadas parciales de segundo orden de ambas funciones

Solución:

a) f(x,y) = x2 – xy+xy3

fx= 2x – y+y3 fx2=2 fxy= –1+3y2

fy= –x+3y2 fy2= 6xy fyx= –1+3y2

b) g(x,y) = exy2

gx= y2exy2 gy2= y4exy2 gxy = 2yexy2+2xy3exy2

gy= 2xyexy2 gy2= 4x2y2exy2 gyx = 2yexy2+2xy3exy2

-------------------------------------------

14.-Dada la función f(x,y) = x2+xy, hallar fx y fy, por medio de los límites que las definen

Solución:

fx= lím [f(x+h, y) – f(x,y)]/h = lím{[(x+h)2+(x+h)y] – (x2+xy)}/h = lím (x2+2xh+xy+hy – x2 – xy)/h= h→0 h→0 h→0

= lím (2xh+hy)/h = 2x+y h→0

fy= lím [f(x,y+k) – f(x,y)]/k = lím {[x2+x(y+k)] – (x2+xy)}/k = lím (x2+xy+kx – x2 – xy)/k= k→0 k→0 k→0

= lím (kx)/k = x k→0

-------------------------------------------

15.- Hallar las derivadas parciales, de primer y segundo orden, de la función f(x,y) = x2+y, por medio de los límites que las definen

Solución:

fx= lím [f(x+h,y) – f(x,y)]/h = lím {[(x+y)2+y] – (x2+y)}/h = lím (2xh+h2)/h = lím (2x+h) = 2x h→0 h→0 h→0 h→0

fy = lím [f(x,y+k) – f(x,y)]/k = lím {[x2+(y+k)] – (x2+y)}/k = lím k/k = 1 k→0 k→0 k→0

16


fxy = lím [fx(x,y+k) – fx(x,y)]/k = lím (2x – 2x)/k = lím 0/k = 0 k→0 k→0 k→0

fyx= lím [fy(x+h,y) – fy(x,y)]/h = lím (1 – 1)/h = lím 0/h = 0 h→0 h→0 h→0

fx2 = lím [fx(x+h,y) – fx(x,y)]/h = lím [2(x+h) – 2x]/h = lím 2h/h = 2 h→0 h→0 h→0

fy2 = lím [fy(x,y+k) – fy(x,y)]/k = lím (1 – 1)/k = lím 0/k = 0 k→0 k→0 k→0

--------------------------------------------

16.-Hallar las derivadas parciales de primer y segundo orden de la función f(x,y) = sen xy+exy

Solución:

fx(x,y) = y cos xy+ yexy fx2 (x,y) = –y2sen xy + y2exy fxy(x,y) = cos xy –yx sen xy+exy+yxexy

fy(x,y) = x cos xy+xexy fy2(x,y) = –x2sen xy+x2exy fyx(x,y) = cos xy – xy sen xy+exy+xyexy

-------------------------------------------

17.-Hallar la derivada cruzada de segundo orden, fxy, de la función:

(x2+y)/(x+y) (x,y) ≠ (0,0)f(x,y) =

0 (x,y) = (0,0)

Solución:

fx(0,0) = lím [f(0+h,0) – f(0,0)]/h = lím [(h2/h2) – 0]/h = lím h2/h2 = 1 h→0 h→0 h→0

En puntos (x,y) ≠ (0,0):

fx(x,y) = [2x(x+y) – (x2+y)]/(x+y)2 = (x2+2xy – y)/(x+y)2

fxy(0,0) = lím [fx(0,0+k) – fx(0,0)]/k = lím [(–k/k2) – 1]/k = lím (–k – 1)/k = →No existe k→0 k→0 k→0

En puntos (x,y) ≠ (0,0):

fxy = [(2x – 1)(x+y)2 – 2(x+y)(x2+2xy – y)](x+y)4 = –x/(x+y)3

17


–x/(x+y)3 (x,y) ≠ (0,0fxy =

0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

xy/(x – y) (x,y) ≠ (0,0)18.-Dada la función f(x,y)= , hallar fx2 0 (x,y) = (0,0)

Solucion:

fx(0,0) = lím [f(0+h,0) – f(0,0)]/h = lím [(h·0/h – 0) – 0]/h = lím 0/h = 0 h→0 h→0 h→0

En (x,y) ≠ (0,0):

fx(x,y) = [y(x–y)–xy]/(x–y)2 = –y2/(x–y)2

fx2(0,0)= lím [fx(0+h,0)–fx(0,0)]/h = lím {[–0/(h – 0)2] – 0}/h= lím 0/h3 = 0 h→0 h→0 h→0

En (x,y) ≠ (0,0):

fx2= [2(x – y)·y2]/(x – y)4 = 2y2/(x – y)3

2y2/(x – y)3 (x,y) ≠ (0,0) fx2= 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

19.- Dada f(x,y) = x3 – 4x2y+y3, hallar fx2(1,3) y fxy(1,3)

Solución:

fx= 3x2 – 8xy fx2= 6x – 8y fxy= – 8x

fx2(1,3) = 6·1-8·3 = 6 – 24 = –18

fxy(1,3) = –8·1 = –8

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18


20.-Hallar el valor de a para que la función f(x,y) = ax2y+3y2x verifique el teo-rema de Schwarz

Solución:

fx= 2axy

fxy= 2ax

fy= 6xy

fyx= 6x

Para que se verifique el teorema, fxy= fyx →2ax = 6x→ a = 3

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19


Tema1.1.- Ejercicios propuestos, con soluciones

x2/(x+y) (x,y) ≠ (0,0)21.- Dada la función f(x,y) = , hallar fx y fy 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

22.- Dada la función f(x,y) = x3 – x2y+y2, hallar: fx, fy, fxy, fyx, fx2 y fy2

-------------------------------------------

23.- Dada la función f(x,y) = exy-x, hallar: fx2, fy2, fxy y fyx

-------------------------------------------

24.-Dada la función f(x,y) = x3+x2y2 – y3, comprobar que verifica el teorema de Schwarz

-------------------------------------------

x/(y3+x2) (x,y) ≠ (0,0)25.- Dada la función f(x,y) = , hallar fx y fxy 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

2/(x-3y) (x,y) ≠ (0,0)26.- Dada la función f(x,y) = , hallar: fx, fy y fxy 0 (x,y) = (0,0)

------------------------------------------------------

x2/(x3+y2) (x,y) ≠ (0,0)27.- Dada la función f(x,y) = , hallar: fx, fy, fxy 0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

20


28.- Dada la función f(x,y) = x3y+xy2+y2, hallar: fx, fy, fx2, fy2, fxy y fyx

-------------------------------------------

29.- Dada f(x,y) = x4y3, hallar: fx, fy, fx2, fy2, fxy y fyx

-------------------------------------------

30.- Dada f(x,y) = ex2y+L(xy2), hallar: fx, fy, fx2, fy2, fxy y fyx

-------------------------------------------

21


Tema 1.1.- Soluciones a los ejercicios propuestos

21.-

(x2+2xy)/(x+y)2 (x,y) ≠ (0,0) –x2/(x+y)2 (x,y) ≠ ( 0,0)fx = fy=

1 (x,y) = (0,0) 0 (x,y) = (0,0)

------------------------------------------

22.-

fx= 3x2 – 2xy, fx2= 6x – 2y, fxy= –2x

fy= –x2+2y, fy2= 2, fyx= –2x

-------------------------------------------

23.-

fx2(1,3) = e3, fy2(1,3) = e3, fxy(1,3) = 4e3, fyx(1,3) = 4e3

------------------------------------------

24.-

Si se verifica dicho teorema, (fxy= 4xy = fyx)

-------------------------------------------

25.-

(y3 – x2)/(y3+x2)2 (x,y) ≠ (0,0) (–3y5+9x2y2)/(x2+y3)3 (x,y) ≠ (0,0)fx = fxy=

no existe (x,y) = (0,0) no existe (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

22


26.-

En el punto (0,0): fx,fy y fxy, no existen

En cualquier otro punto (x,y) ≠ (0,0): fx= –2/(x – 3y)2, fy= 6/(x – 3y)2, fxy= –12/(x – 3y)3

--------------------------------------------

27.-

(2xy2 – x4)/(x3+y2)2 (x,y) ≠ (0,0) –2y/(x3+y2)2 (x,y) ≠ (0,0)fx= fy=

0 (x,y) = (0,0) 0 (x,y) = (0,0)

(–x4 – 4xy3 – xy2)/(x3+y2)2 (x,y) ≠ (0,0)fxy=

0 (x,y) = (0,0)

-------------------------------------------

28.-

fx= 3x2y+y2 fx2= 6xy fxy= 3x2+2y

fy= x3+2xy+2y fy2= 2x+2 fyx= 3x2+2y

-------------------------------------------

29.-

fx(1,1) = 4 fx2(1,1) = 12 fxy(1,1) = 12

fy(1,1) = 3 fy2(1,1) = 6 fyx(1,1) = 12

-------------------------------------------

23


30.-

fx= 2xyex2y+ [1/(x+y2)] fy = x2ex2y – [2y/(x+y2)]

fxy = fyx = 2xex2y+2x3yex2y – [2y/(x+y2)2]

fx2= 2yex2y+4x2y2ex2y – [1/(x+y2)]

fy2= x4ex2y+[(–2x-6y2)/(x+y2)2]

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24


Tema 1.2.- Gradiente. Derivada direccional

Dada una función f(x,y), se denomina gradiente de f, al vector formado por las de-rivadas parciales:

f ff = , =x y

(fx, fy)

Se denomina derivada direccional de una función al límite:

Dfv(P) = lím [f(p+tv) – f(P)]/t, siendo v un vector unitario t→0

Si la función f(x,y) es diferenciable, Dvf(P) = f(P)·vunit

-------------------------------------------

x3/(x2+y2) (x,y) ≠ (0,0)31.- Dada la función f(x,y) = , hallar Dvf(0,0) y Dfv(1,1), 0 (x,y) = (0,0)

siendo v el vector (1,3)

Solución:

Convirtamos el vector en unitario:

│v│ = 1+9 = 10 →vunit = (1/ 10 , 3/ 10 )

Dvf(0,0) = lím {f [(0,0)+t(1 110

, 3/ 10 )] – f(0,0)}/t = lím {[(t3/10 10 )/(t2/10+9t2/10)] – 0}/t = t→0 t→0

= lím [t3/(10 10 t3] = 1/(10 10 ) t→0

Dvf(1,1),

fx(1,1) = {[3x2(x2+y2) – 2x·x3]/(x2+y2)2}(1,1) =1/4

fy(1,1) = [–2yx3/(x2+y2)2] = –1/8

Dvf(1,1) = (1/4, –1/8) (1/ 10 , 3/ 10 ) = –1/8 10

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32.- Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2y – y3, en P(1,2), según el vector que forma 30o con el eje positivo de abscisas

Solución:

vunit = (cos 30o, sen 30o) = ( 3 /2, 1/2)

fx(P) = (2xy)P= 2·1·2 = 4

fy(P) = (x2 – 3y2)P = 1 – 3·4 = –11

∇ f(P) = (4, –11)

Dvf(P) = (4, –11)( 3 /2, 1/2) = (4 3 – 11) /2

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33.-Dada f(x,y) = exy, hallar Dvf(P), siendo P(0,3) y v(1/2, /2)

Solución:

│v│ = 1 3+4 4

= 1

fx(P) = (yexy)P = 3 fy(P) = (xexy)P = 0

Dvf(P) = (3,0)(1/2, 3 /2) = 3/2+0 = 3/2

------------------------------------------

34.-Dada la función f(x,y) = x2+yx, hallar:

a) El valor de Dvf(x,y), siendo P(0,3) y v (1/2,/2)b) La dirección en la que la derivada direccional de f(x,y) en el punto P es

máximac) El valor de dicha derivada direccional máxima

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Solución:

a) │v│= 2 1+4 4

= 1 fx(P) = (2x+y)(P) = 3 fy(P) = (x)(P) = 1

Dvf(P) = (3,1) ( 2 /2, 2 /2) = 2 2

b) La derivada direccional de f en P es máxima en la dirección del vector gradiente en el punto P:

∇ f(P) = (3,1)

c) El valor de dicha derivada direccional máxima es el módulo de dicho vector gra-diente en el punto:

Df(P)máx =│∇ f(P)│= 9 +1 = 10

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x2y (x,y) ≠ (0,0)35.-Dada la función f(x,y) = , hallar Dvf(P), por definición 0 (x,y) = (0,0)

siendo P(0,0) y v, el vector(3/5, 4/5)

Solución:

El vector v es unitario

Dvf(P) = lím [f(P+tv) – f(P)]/t = lím [(3t/5)2(4t/5)-0]/t = lím 36t3/125t = lím 36t2/125 = 0 t→0 t→0 t→0 t→0

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36.- Dada la función f(x,y) = x2y – y3, halla la derivada direccional en el punto A(1,2), según la dirección del vector que une dicho punto A con el B(2,4)

Solución:

v= AB = (2 – 1,4 – 2) = (1,2)│v│= 1+ 4 = 5 → vunit = (1/ 5 , 2/ 5 )

fx(A) = (2xy)(1,2) = 2·1·2 = 4

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fy(A) = (x2 – 3y2)(1,2) = 1 – 12 = –11

Dvf(A) = (4, –11)(1/ 5 , 2/ 5 ) = (4/ 5 ) – (22/ 5 ) = –18/ 5

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37.- Dada la función f(x,y) = x3y2 – 2x2y, hallar el vector gradiente de dicha fun-ción, en el punto P(1,0)

Solución:

fx(P) = (3x2y2 – 4xy)P = 0 → ∇ f(P) = (fx,fy)P = (0, –2)fy(P) = (2x3y-2x2)P = –2

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38.- Dada la función f(x,y) = x/(y+1), hallar su vector gradiente, en P(1,0)

Solución:

fx(P) = [(y+1)/(y+1)2] P= [1/(y+1)]P = 1 → ∇ f(1,0) = (1, –1)fy(P) = [-x/(y+1)2]P = –1/1 = –1

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x2y/(x+y) (x,y) ≠ (0,0)39.- Dada la función f(x,y) = , hallar el vector gradiente 0 (x,y) = (0,0)

Solución:

En el punto (0,0):

fx(0,0) = lím [f(0+h,0) – f(0,0)]/h = lím {[02h/(0+h)] – 0}/h = lím (0/h2) = 0 h→0 h→0 h→0

→ ∇ f(0,0) = (0,0)fy(0,0) = lím [f(0,0+k) – f(0,0)]/k = lím{[02·k/(0+k)] – 0}/k = lím (0/k2 )= 0 k→0 k→0 k→0

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En otro punto, (x,y) ≠ (0,0):

fx= [2xy(x+y) – x2y]/(x+y)2 = (x2y – 2xy2)/(x+y)2

→ ∇ f(x,y) = [(x2y – 2xy2)/(x+y)2 , x3/(x+y)2]fy = [x2(x+y) –x2y]/(x+y)2 = x3/(x+y)2

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40.- Dada la función f(x,y) = xy-x2y2, ¿en qué dirección es máxima la derivada direcccional de f(x,y) en el punto P(1,1)?, ¿cuál es su valor?

Solución:

La derivada direccional, en P, es máxima en la dirección del vector gradiente en el punto P

fx(P) = (y – 2xy2)P = 1 – 2 = –1 ∇ →f(P) = (–1, –1)fy(P) = (x – 2x2y)P = 1 – 2 = –1

El valor máximo es el módulo de dicho vector gradiente

Df(P)máx =│∇ f(P)│= √ (–1)2 + (–1)2 = 2

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41.-Hallar el valor de a para que la función f(x,y) = axy2 – x2y2 verifique el teo-rema de Schwarz

Solución:

fx = ay2 – 2xy2 fxy= 2ay – 4xy → fxy = fyx, para todo valor real de afy= 2axy – 2x2y fyx = 2ay – 4xy

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