Lmites y continuidad 1. Encuentra un valor de >0 para = 0.01 de manera que f(x) ]L - , L + [ cuando x ]x0 - , x0 + [, x x0 . a)

, b)

, c)

, d)

2. Encuentra un valor de , en trminos de , de tal manera que si 0 < x x0 < d como resultado f(x)-L < a)

b)

c)

d)

3. Sea la funcin definida como

a) Dibuja la grfica de f.b) Determina

, si existe 4. Sea la funcin f definida como

a) Traza la grfica de la funcin f. b) Calcula, si existen,los limites siguientes:

,

,

5. Si x crece infinitamente, la funcin

tiende a cero:

.Cul debe ser el valor de N para qued como resultadof(x) < . 6. Si ,

. Cul debe ser el valor de N para qued como resultado7. Encuentra las discontinuidades e indica su tipo de cada una de las funciones siguientes: a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)(eselmximoenterodexquenosobrepasaax.Porejemplo.Ala funcin se le da el nombre de funcin parte entera de x, con , .) h)i)

j)

8. Encuentra el valor de A para que la funcin dada sea continua en x = 3.

9. Demuestra que la funcin f(x) = x3 es continua para cualquier valor real de su argumento.10. Demuestra que la funcin f

es continua en [- 4, 4] 11. Determina el intervalo ms grande(o unin de intervalos) en el que la funcin

es continua 12. Valindose de las propiedades de las funciones continuas comprobar que la ecuacin

tiene, por lo menos, una raz real comprendida entre 1 y 2. Aproxima el valor de esta raz con dos decimales. 13. Demuestre que el polinomio de grado impar tiene, por lo menos, una raz real 14. Dibuja la grfica de una funcin f que satisfaga las condiciones dadas: -5, -3, -2, -1, 0, y 2 son los nicos ceros de f;

;

;

;

;fescontinuaentodoslos nmeros de los intervalos abiertos ]-, -3[, ]-3, -1[, ]-1, 0[, ]0, +[. 15. Determine las constantes a, y b que hagan a la funcin continua en todo nmero y dibuja la grfica de la funcin resultante.

16. Halla los lmites siguientes a)

b)

c)

d)

e)

f)

(m,n ) g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

)

o)

(m,n ) p)

q)

r)

17. Hay un nmero a tal que

exista? Si es as, encuentre los valores de a y del lmite. 18.Consideremosuntringuloequilterodelado2.Sustresalturassirvenparaengendrarunnuevotringulo equiltero y as sucesivamente n veces. Hallar el lmite de la suma de las reas de todos los tringulos cuando n . 19.UncrculoderadioRllevainscritouncuadrado;ste,llevainscritouncrculoelcual,asuvez,tieneinscritoun cuadrado, y as sucesivamente n veces. Hallar el lmite de la suma de las reas de todos los crculos y el de la suma de las reas de todos los cuadrados cuando n . 20. Enla figura se muestra un crculo fijo C1 con ecuacin (x - 1)2 + y2 = 1 y un crculo C2 que se contrae, con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el punto superior de interseccin de los dos crculos y R es el punto de interseccin de la recta PQ y el eje x. Qu le sucede a R al contraerse C2; es decir cuando r 0+?C2 C1 O x y R Q P