EJERCICIOS 3º E.S.O. (Con Soluciones)

NÚMEROS

1.- Reduce a común denominador las siguientes fracciones:

24

28,

12

18,

20

5)b

24

16,

8

4,

42

35)a

Solución:

12(4,2,6)m.c.m

12

14,

12

18,

12

3

6

7,

2

3,

4

1ando)(simplific

24

28,

12

18,

20

5)b

6(6,2,3)m.c.m.

6

4,

6

3,

6

5

3

2,

2

1,

6

5ando)(simplific

24

16,

8

4,

42

35)a

2.- Calcula el valor de la siguiente expresión:

3:

2

5

3

4

5

1:

10

3

6

5:1

3

2

Solución:

3

4

2700

3600

18

20

50

90

3

23:

6

20

10

15

5

6

3

23:

2

5

3

4

5

1:

10

3

6

5:1

3

2

3.- Calcula el valor de la siguiente expresión:

5

8

3

2

4

1

4

3

3

2

4

1

3

5

5

2

2

3

Solución:

3

7

6

14

6

5

6

19

240

200

6

19

5

8

48

25

6

19

5

8

48

833

6

19

5

8

6

1

48

33

30

95

5

8

6

1

4

3

12

11

3

5

10

19

5

8

12

2

4

3

12

83

3

5

10

415

5

8

3

2

4

1

4

3

3

2

4

1

3

5

5

2

2

3

4.- Calcula el valor de las siguientes expresiones:

54

3:

6

1:

3

8)b

7:5

4

2

3:12)a

Solución:

15

64

45

192

4

15:

3

485

4

3:

6

1:

3

8)b

105

16

105

82

35

4

3

227:

5

4

2

3:12)a

5.- Julio pasa4

1del día en el colegio,

8

1lo dedica a comer,

6

1a estudiar,

12

1a hacer deporte

y el resto a dormir. ¿Qué fracción de día dedica a dormir?

Solución:

dormiradíadel8

3dedicaJulio

8

3

24

9

24

15

24

24

24

24361

12

1

6

1

8

1

4

11

6.- Escribe los siguientes números decimales en forma de fracción:

a) 21,54545...b) 19,3333...c) 2,0715151...d) 3,2373737...

Solución:

a)11

237

99

2133

99

212154...54545,21

b)3

58

9

174

9

19193...3333,19

c)825

1709

9900

20508

9900

20720715...0715151,2

d)

198

641

990

3205

990

323237...2373737,3

7.- La cantidad total de un concurso de fotografía se ha repartido entre los tres ganadores de

la siguiente forma: el primero ha recibido8

5del total; el segundo, el 32,5% y el tercero, 500 euros.

¿Cuál era el total para repartir entre los premiados?

Solución:

La fracción que recibe el segundo es: 32,5% =

40

13

1000

325

100

5,32

La fracción de premio que recibe el tercero es:

20

1

40

2

40

132540

40

13

8

51

Como esa fracción equivale a 500 euros, la cantidad buscada es x de tal manera que:

20

1

x = 500.Por tanto la cantidad total a repartir era de 10 000 €

8.- Expresa primero en forma de fracción y luego opera:

9

414,0....13333,1...5555,2

Solución:

150

259

900

1554

900

400

900

126

900

1020

900

2300

9

4

100

14

90

102

9

23

9

4

100

14

90

11113

9

225

9

414,0....13333,1...5555,2

9.- Realiza las siguientes operaciones, expresando primero los decimales en formafraccionaria:

4

974,1·...828282,0

9

1

Solución:

330

119

9900

3750

100

51·

99

70

100

225

100

174·

99

81

99

11

4

9

100

174·

99

82

9

1

4

974,1·...828282,0

9

1

10.- Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:

2

π)a 23)b

3

3)c

100001

1)d

Solución:

a)2

IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no periódico.

b) 23 IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no

periódicas.

c)3

3 IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras decimales no

periódicas.

100001

1)d RACIONAL, porque el cociente de la fracción es un número decimal periódico

11.- Representa de todas las formas posibles el intervalo

75,

4

Escribe dos números reales del intervalo.

¿Son 5 y4

7 puntos del intervalo?

Solución:

a)b) Dos números reales del intervalo son 2 y 2,1.

c) 5 sí es del intervalo, pero, no4

7 .

POTENCIAS Y RAÍCES

1.- Una fábrica produce 3 toneladas de hierro al día. ¿Cuántos kilos de hierro fabricará en 5días? Expresa el resultado en notación científica.

Solución:1 tonelada son 1000 kg.3 toneladas son 3000 kg.

En cinco días fabricará:

105,10001553000 4 kilogramos.

2.- Escribe en notación científica los siguientes números.

a) 25 millones de eurosb) Trescientos mil dólaresc) Cuatrocientos treinta y dos mil metrosd) Treinta milímetros (en metros)

Solución:

a) 25 millones de euros 7105,2 euros.

b) Trescientos mil dólares 5103 dólares

c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros 51032,4 metros

d) Treinta milímetros (en metros) 2103 metros

3.- Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:

4

52325

69

312b)3-:93a)

Solución:

9

442

524

42

522

4

52

113143225325

3323

332

323

332

69

312b)

33:33:333-:93a)

4.- Calcula las siguientes sumas y restas, convirtiendo previamente los radicales ensemejantes:

a) 18080455

b)49

7548

Solución:

37

333

7

543

7

534

27

325342

56564315654535

52322542523

4975

48b)

518080-455a)

5.- Halla en la forma más simplificada posible el resultado de las siguientes divisiones:

a) 8 25:5 b) 104 2 6:6

Solución:

a)48 28 248 28 48 555:55:525:5

b) 55 220 820 21020 220 52104 2 36666:66:66:6

6.- ¿Es correcto decir que 6 es el doble de 3 ? Razona tu respuesta

Solución:

No puesto que 3·23·26

El doble de 3 sería 123232 2

7.- Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales:

53 100:20·10

Solución:

30 132830 131530 131530 3151031530 10

30 12151530 1030 6230 1530 1053

5·25·2·210·210·2·1010·2·10

10:10·2·1010:10·2·10100:20·10

8.- Realiza las siguientes sumas de radicales:

a) 244554125 b) 27450512318

Solución:

a)

65262536355

6·25·36·35·5244554125 2222

b)

3622833·425·532·323

3·342·553·232·327450512318 2222

9.- Extrae factores de los siguientes radicales:

a) 300 b)8

1253

64

54)c

Solución:

a) 31035·23·5·2300 22

b)2

5

2

5

2·2

5·5

8

1252

2

c) 33333

3

3 24

32

2·2

3

2·2

2·3

64

54

10.- Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones de radicales:

6:10d3 5:3 625c

3 123 9b28a

))

))

Solución:

3

5

6

10

3 1294

6:10d)5312535

6253 5:3 625c)

31083123 9b)162828a)

11.- Expresa el resultado como potencia única:

16

1

2

1

2

1c)164-4-b)822a)

32534

Solución:

343232

1025353

8344

2

1

2

1

2

1

2

1

16

1

2

1

2

1c)

4444164-4-b)

2222822a)

POLINOMIOS

1.- Efectúa los siguientes productos y reduce los términos semejantes:

a) )1)(42()2

1)(42( 22 xxxx

b) )1)(()1)(( 22 yxyyxxyxyx

Solución:a) El primer paréntesis es factor común:

2xx8x4)2

1x2)(4x2()x1

2

1x)(4x2( 23222

b) El primer paréntesis es común:32232222 yxy3yx3x)yxy2x)(yx()1yxy1xyx)(yx(

2.- Completa las siguientes expresiones para que sean cuadrados perfectos:

a) 225x ... 36 b) 24 18xx ... c) ... 2540 x

Solución:

a) 2)5( x ...2)6( . Falta el doble producto de los dos términos: 2·5x·6 = 60x, para tener:

.)65( 2x

b) 222 )9(2)( xx ... Falta el cuadrado de 9 para tener el cuadrado: .)9( 22 x

c) ...2)5()4(52 x . Falta el cuadrado de 4x para tener el cuadrado:

2)54( x .

3.- Halla el polinomio que hay que restar a 153)( 235 xxxxP , para

obtener .3542)( 245 xxxxQ

Solución:Nos piden R(x) para que P(x) - R(x) = Q(x).Despejamos y sustituimos los polinomios:

4x3x4x)3x5x4x2(1x5x3x)x(Q)x(P)x(R 345245235

4.- Efectúa las siguientes operaciones:

a) 1))2(3(2 234 xxxx

b) )())1()1(()1( 232323 xxxxxxxxx

Solución:

a) 1232 234 xxxx

b) 3333111 23232323 xxxxxxxxxxxx

5.- Dados los polinomios 22

3

2

1)( 3 xxxP y 5

3

2

3

1)( 2 xxxQ . Calcula:

a) 4P(x) + 3Q(x)b) 2P(x) -6Q(x)

Solución:

a) 2342)53

2

3

1(3)2

2

3

2

1(4 2323 xxxxxxx

b) 2672)53

2

3

1(6)2

2

3

2

1(2 2323 xxxxxxx

6.- Calcula las siguientes potencias y reduce los términos semejantes:

.)34()52()3( 222 xxx

Solución:Desarrollamos los tres binomios y agrupamos los términos.

18x38x4)x9x2416(25x20x49x6x)x34()5x2()3x( 2222222

7.- Efectúa las operaciones que se indican, y reduce los términos semejantes:

a) (2x + y) - [x + (3x - 2y) - (x - 2y)]

b) )52(2)2( 3432 xxxxx

Solución:a) 2x + y - x - 3x + 2y + x - 2y = -x + y

b) 852)10422( 2343432 xxxxxxxxx

8.- Divide los siguientes polinomios:

)1x2x(:)x4x2x4x( 3346 .

Solución:

0x4x0x2x4x0x 23456 123 xx

6x 34 xx2 123 xx

0x4x0xx2 234

4x2 0x2x4 2

0x2x4xx0 234

3x 1x2 2x4 -1

Es decir: 12)( 3 xxxC , 14)( 2 xxR .

9.- Efectúa las siguientes divisiones utilizando el método de Ruffini:

a) )2(:)853( 24 xxxx

b) )2(:)453( 246 xxxx

Solución:

a) 1 0 - 3 5 - 8

- 2 - 2 4 - 2 - 6

1 - 2 1 3 - 14

32)( 23 xxxxC , R(x) = - 14

b) 1 0 -3 0 - 5 0 4

2 2 4 2 4 -2 -4

1 2 1 2 - 1 - 2 0

222)( 2345 xxxxxxC , R(x) = 0.

10.- En una división por el método de Ruffini se han borrado algunos de los coeficientes,quedando:

1 0 -9 0 2 6

2

Si sabemos que la división es exacta, ¿puedes reconstruirla, y escribir los polinomiosdividendo, divisor y cociente?

Solución:Como la división es exacta, el último coeficiente de la tercera fila es cero, y el que está enciam de él debeser -6. Entonces el coeficiente del divisor, el primero de la segunda fila debe ser -3, pues, al multiplicarlopor 2 resulta -6. Ahora, solamente consiste en continuar con el método.Los polinomios pedidos son:

0)x(Ry2x3x)x(C,3x)x(d,6x2x9x)x(D 3435

11.- Divide los siguientes polinomios:

).2x(:)3x4x2( 223

Solución:

3x0x4x2 23 2x - 23x2 + 4x 2x + 4

3x4x4 2

2x4 + 84x + 5

Es decir: C(x) = 2x +4, R(x) = 4x + 5.

ECUACIONES Y SISTEMAS

1.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de segundo grado:

).2x(x4)2x(x4 22

Solución:

Operamos: xxxxx 84444 222

Agrupamos los términos: 0442 xxResolvemos:

22

16164

x .

2.- Resuelve la siguiente ecuación:

x2

3

4

3

1

9

4

6

1x

2

1x

3

1

5

2

Solución:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90: xxx 6040166

1

2

13612

Quitamos los paréntesis y dividimos por 2:6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30xAgrupamos y resolvemos:

27x = 93

1

27

9x .

3.- Resuelve la siguiente ecuación:

x

4

9

3

1)

3

2x(x4)

2

1x2)(

2

1x2(

Solución:Operamos:

x3

1

4

3x

3

8x4

4

1x4 22

Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x

Agrupamos y resolvemos:

36x = 123

1

36

12x .

4.- Resolver la siguiente ecuación:

5

x2

6

x52

10

5x8

Solución:Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6xQuitamos los paréntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6xAgrupamos y resolvemos:

55x = 55 x = 1.

5.- Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la fórmula general:

a) 0327 2 x

b) 0155 2 xx

Solución:

a) Se trata de una ecuación de segundo grado incompleta. Despejamos: 39 xb) Como carece de término independiente, sacamos x como factor común: 5x(x-3) = 0, luego x = 0;

x = 3.

6.- Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuación de grado dos:5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).

Solución:

Operamos: .x20206030x20x5x5 2

Agrupamos los términos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos: .01492 xxResolvemos:

7

2

2

59

2

56819x

.

7.- Resolver la siguiente ecuación:

0xx12 2

Solución:

2

71

2

491

1·2

12·1·411x

2

Las soluciones son: 32

711

x y 4

2

712

x

8.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2y15x1515

1

3

x

5

y2

Solución:

Quitamos paréntesis:

21515

156

yx

xy

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:

3

553

21515

31815

yy

yx

yx

Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x:5

9

15

27252152

3

5·1515 xxx

La solución es x =3

5, y =

5

9

9.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

12y2y3x4

4y33x

Solución:

Quitando paréntesis:

122124

433

yyx

yx

Agrupando los términos:

2434

13

yx

yx

Multiplicando por 1 la 1ª ecuación y sumando:

5

23235

2434

13

xx

yx

yx

Se calcula y:15

28

5

283

5

231313

5

23

yyyy

La solución es x =5

23, y =

15

28

10.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

5

x5y2)y

2

x(2

x)yx(2)3x(2

Solución:Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:

x5y2y10x5

xy2x26x2

Agrupamos los distintos términos:

0y8x10

6y2x

(*)Multiplicamos la 1ª ecuación por 4, y restamos:

0y8x10

24y8x4

-6x = -24 x = 4Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación de (*):

4 + 2y = -6 y = -5. Solución: (4, -5)

11.- Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menorobtengas 11 de cociente y 8 de resto.

Solución:Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8

Debemos resolver el sistema:

8y11x

392yx

Restamos la segunda de la primera:

12y = 384 y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.

12.- Las dos cifras de un número suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el númerodisminuye en 9. ¿Qué número es?

Solución:Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.El número en cuestión es: 10x+y.El número con las cifran en orden inverso: 10y+x.Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:

9yx10xy10

9yx

Agrupando los términos y simplificando, resulta:

1yx

9yx

Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 y = 4, x = 5.

El número pedido es el 54.

PROPORCIONALIDAD

1.- 5 personas consumen en 2 días 100 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua consumirán 8personas durante una semana?

Solución:5 personas _____ 2 días _____ 100 litros8 personas ____ 7 días _____ x litros

Proporcionalidad compuesta directa

Se reduce a una proporción simple: 56010

56100100

56

10100

7

2

8

5

x

xxlitros

2.- Reparte 330 en partes inversamente proporcionales a 5 y 10.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad inversa:

A 5 le corresponde:5

k

A 10 le corresponde:10

k

Por tanto:

1100k33010

k3330

10

k

5

k

Luego a 5 le corresponde 2205

1100

a 10 le corresponde 11010

1100

3.- Un ganadero quiere transportar cierto número de vacas. Para ello contrata 15 camionescon una capacidad de 8 vacas cada uno, que realizarán el trabajo en 10 días. ¿Cuántotiempo tardarán si contrata la tercera parte de camiones con una capacidad para 12 vacas?

Solución:15 camiones 8 vacas c/u 10 días5 camiones 12 vacas c/u x días

Proporcionalidad compuesta inversa

Se reduce a una proporción simple: 2060

1012010

120

6010

8

12

15

5

x

xxdías

4.- Un artículo que vale 120 euros, ante la excesiva demanda, sube un 20%. Luego, cuando sereduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes?

Solución:Subida: 120 · 1,20 = 144 eurosRebaja: 144 · 0,8 = 115,20 eurosVale menos que antes de la subida.

5.- Un estanque contiene 25200 litros de agua, si se consume el 12,5 % del contenido y con lalluvia aumenta un 21% de lo que restaba ¿qué cantidad de agua contiene actualmente elestanque?

Solución:

El 12,5 % del agua del estanque se consume: 3150100

252005,12

25200100

5,12

x

xlitros.

Por tanto, quedan en el estanque 25200 - 3150=22050 litros.El 21% de agua que procede de la lluvia equivale a:

5,4630100

2205021

22050100

21

x

xlitros.

Por tanto, el estanque contiene actualmente 22050 + 4630,5= 26680,5 litros

6.- Tres usuarios de Internet, que utilizan el mismo ordenador, pagan la facturaproporcionalmente al número de horas que ha estado conectado cada uno. Si tienen quepagar 16,50, 21 y 10,50 euros respectivamente, y han estado conectados un total de 120horas, ¿cuánto tiempo habrá utilizado cada uno el ordenador?

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:El primer usuario habrá estado conectado: 16,50 kEl segundo usuario habrá estado conectado: 21 kEl tercer usuario habrá estado conectado: 10,50 kPor tanto:

5,21204812050,102150,16 kkkkkLuego:

El primer usuario habrá estado conectado 25,415,2·50,16 41 h. y un cuarto

El segundo usuario habrá estado conectado 5,525,2·21 52 h. y media

El tercer usuario habrá estado conectado 25,265,2·5,10 26 h. y un cuarto

7.- Reparte 7700 en partes directamente proporcionales a 2, 5, 7 y 11.

Solución:Sea k la constante de proporcionalidad directa:A 2 le corresponde: 2 kA 5 le corresponde: 5 kA 7 le corresponde: 7 kA 11 le corresponde: 11 kPor tanto:

308k7700k257700k11k7k5k2

Luego a 2 le corresponde 6163082 a 5 le corresponde 15403085 a 7 le corresponde 21563087 a 11 le corresponde 338830811

8.- Para cubrir el suelo de una casa se necesitan 270 baldosas de 24 cm de largo y 15 de ancho.¿Cuántas baldosas serían precisas si cada una mide 20 cm de largo y 12,5 cm de ancho?

Solución:270 baldosas 24 cm de largo 15 cm de anchox baldosas 20 cm de largo 12,5 cm de ancho

Proporcionalidad compuesta inversa

Se reduce a una proporción simple: 8,388250

360270

250

360

2705,12

15

20

24

270

x

xx

baldosas

SUCESIONES

1.- Averigua si65

11

13

6,

17

7,1 y son términos de la sucesión:

1

32

n

nan .

Solución:

1aluego,2n1n

3n1 22

17

7aluego,4n

1n

3n

17

742

sucesiónladeomintérunesno13

6N

3

11n

1n

3n

13

62

65

11aluego,8n

1n

3n

65

1182

2.- Halla el término general de las siguientes sucesiones:

a) 1, 4, 9, 16, ... b) 3, 6, 9, 12, ...

Solución:

a)2nan

b) nbn 3

3.- Halla los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) na =3n + 2 b)12

5

n

nbn

Solución:

a) 51 a ; 82 a ; 113 a ; 144 a ; 175 a

b) 21 b ;5

72 b ;

7

83 b ; 14 b ;

11

105 b

4.- Averigua el término siguiente en cada una de las sucesiones:a) 3, 5, 7, 9, ___b) 5, 10, 20, 40, ___

Solución:a) 3, 5, 7, 9, 11b) 5, 10, 20, 40, 80

5.- Halla el primer término y el término general de una progresión aritmética, sabiendo que elsexto término es -12 y la diferencia -4.

Solución:8a20a12d5aa 1116

dnaan )1(1 8 + (n - 1)(-4) = 8 - 4n + 4 nan 412

6.- Halla el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, sabiendo que elquinto término es 47 y el décimo 97.

Solución:

daa )510(510 97 = 47 + 5d d = 10

7a40a47d4aa 1115

7.- En una progresión aritmética el segundo término es 20 y el quinto 35. Halla el términogeneral.

Solución:

daa )25(25 35 = 20 + 3d 3d = 15 d = 5

521 aa =20 - 5 = 15

dnaan )1(1 = 15 + (n - 1)5 = 15 + 5n - 5 = 5n + 10 105 nan

8.- Halla la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética: 4, 2, 0, ...

Solución:d = -2

daa 29130 = 4 + 29(-2) = -54

7502

)544(30

2

)aa(30S 301

30

9.- Halla la suma de los 23 primeros términos de la progresión aritmética: 6,3

20,

3

19,...

Solución:

d =3

1

3

40

3

226

3

1226d22aa 123

3

667

6

1334

23

5823

2

3

40623

2

)aa(23S 231

23

10.- Una profesora de Educación Física quiere hacer una demostración gimnástica con ungrupo de 28 alumnos. Para ello quiere formar con sus alumnos y alumnas un triángulo, demodo que la primera fila tenga un alumno, la segunda dos, la tercera tres, etc. ¿Cuántasfilas habrá?

Solución:Si llamamos a1, a2, ..., an al número de alumnos de la 1ª fila, 2ª fila, ... n-ésima fila, respectivamente, es

2a,1a 21 , ...,

nan

Hemos de hallar n para que: 21 aaS n ... 28 na

7ny)válidano(8n056nn56nn282

)n1(n

2

)aa(nS 22n1

n

Por tanto, el número de filas es 7.

FUNCIONES

1.- Si 1)( xxf , indica si 1x , 2x y 4x pertenecen a su dominio y en el caso

de que así sea cuál sería su imagen mediante )(xf .

Solución:

Si 1x , Rxf 0011)( .Por tanto 1x pertenece al dominio, y su imagen es 0.

Si 2x , Rxf 112)( . Por lo tanto 2x no pertenece al dominio.

Si 4x , Rxf 514)( . Por tanto 4x pertenece al dominio y su imagen es 5 .

2.- Escribe la función que nos da el área de cualquier rectángulo de altura 3cm. en función dela base.

Solución:

3 cm.x

xcm3xA .

3.- El coste del recibo del teléfono depende de los minutos hablados y una cuota fija de 12euros. Cada minuto hablado cuesta 4,4 euros. ¿Cuál es la función que nos da el coste dedicho recibo?

Solución:Si llamamos x al número de minutos hablados, el coste del recibo será una función que dependerá de x:

euros12x4.4)x(f

4.- Un vendedor de periódicos obtiene una ganancia de 0.5 euros por la venta de unadeterminada revista de economía, pero ha de pagar al mes al repartidor 7euros. ¿Cuál serála función que nos daría el beneficio del vendedor al cabo de un mes?

Solución:El beneficio del vendedor al cabo de un mes dependerá del número de ejemplares que venda de la revistaen cuestión.

Si llamamos x al número de ejemplares vendidos, entonces 75'0)( xxf €

5.- Sea f(x), la función que asocia a cada número racional su duplo más uno. ¿Es esta funcióncreciente? ¿Alcanza su máximo para algún punto de su dominio?

Solución:

La función es 12 xxf , que es una función creciente, pero no alcanza su máximo, porque para

cualquier número racional siempre podemos encontrar uno mayor de manera que su imagen también seamayor que la imagen del anterior.

6.- Estudia si las siguientes funciones son periódicas, en caso que sean periódicas indica elperiodo:

a) b)

Solución:a) Es una función periódica de periodo 2.b) Es una función periódica de periodo 3.

7.- A la vista de la siguiente función, di los intervalos en los que es creciente y en los que esdecreciente.

OO

Y

X

Solución:

Esta función es creciente en los intervalos 2,14,5 y es decreciente en los intervalos

5,31,3 . Para el resto de los valores de la variable independiente la función es constante.

8.- A la vista de la siguiente función di dónde es creciente y decreciente, así como sus máximosy mínimos relativos y absolutos.

OO

Y

X

Solución:

La función es creciente en los intervalos )3,2()0,2()4,5( y es decreciente en

.)5,3()20()2,4(

La función tiene dos máximos relativos en )1,4( y )1,0( , mínimo relativo en 3,2 un máximo

absoluto en 4,3 y un mínimo absoluto en 4,2

9.- Termina la representación de cada una de las siguientes funciones, para que tengan lassimetría que se indica:

a) Par Impar c) Ni par, ni par

OO

Y

X OO

Y

X OO

Y

X

Solución:

OO

Y

X OO

Y

X OO

Y

X

10.- Dada la recta 12 xy , calcula una recta paralela a ella que tenga por ordenada en el

origen 3. Representa las dos rectas.

Solución:Las rectas paralelas a estas tienen la misma pendiente, es decir 2; por tanto la ecuación es:

3x2y

Y

X

11.- La pendiente de una determinada recta es2

1, siendo uno de los puntos por los que pasa

es )1,3( . Calcula su ecuación y representa dicha recta.

Solución:

La pendiente de esta recta es2

1, entonces: nxy

2

1. Para saber cuál es la ordenada en el origen,

utilizamos el hecho de que )1,3( pertenece a esta recta.

2

1nn

2

31n3.

2

11

. Así que2

1

2

1

xy

Y

X

12.- Representa las rectas 2 xy e 1 xy y calcula el punto que tienen en común.

Solución:El punto que tienen en común estas dos rectas se obtiene resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones:

1xy

2xy

2

1y,

2

3x

Y

X

13.- La pendiente de una recta es -1, y su ordenada en el origen 2. ¿Cuál será la ecuación de unarecta paralela a ella que tiene como ordenada en el origen -3?. Represéntalas gráficamente.

Solución:Se trata de una recta paralela a otra con pendiente -1, con lo cual la recta pedida tiene la misma pendiente.La ecuación será:y = -x-3

Y

X

14.- Calcula la ecuación de una recta paralela a la recta de ecuación 32

1

xy , que pasa

por el punto de intersección de las rectas: 121 xyexy .

Solución:Resolviendo el sistema, el punto de intersección de las rectas dadas es (-2, -3) , con lo cual la ecuación dela recta pedida será:

4x2

1y

15.- La ecuación de una recta es2

3

5

1 xy ¿Cuál será la ecuación de la recta que tiene la

misma ordenada en el origen y como pendiente la mitad? ¿Son estas dos rectas secantes?.En caso afirmativo, calcula el punto que tienen en común.

Solución:La ecuación de la recta pedida es:

2

3x

10

1y

Estas dos rectas son secantes puesto que no tienen la misma pendiente. El punto que tienen en común es

)2

3,0(

16.- Averigua si los siguientes puntos están alineados: )1,0(),2

1,3(),0,2( CBA

y )2

1,1(D .

Solución:Si están alineados pertenecerán a la misma recta. Tomamos dos de los puntos y calculamos la ecuación dela recta que los contiene:

nm.20

no.m1

2

1m,1n

con lo cual, la recta tiene como ecuación: 12

1

xy . Comprobamos ahora si el resto de los puntos

pertenecen a esta recta:

Si2

11

2

313.

2

13

yx ,por tanto B pertenece a esta recta

Si2

111.

2

11

yx ,con lo cual, D también pertenece a la recta.

Por lo tanto, los puntos A, B, C, y D estan alineados.