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Capítulo 1: Probabilidades

Capítulo I :

Probabilidades

1.1.- Introducción

Debido a la incertidumbre que existe muchas veces al tomar decisiones,

resulta importante que los riesgos implícitos se evalúen de manera

científica. En este capítulo estudiaremos varias reglas de probabilidad

que sirven para evaluar la posible ocurrencia de diferentes fenómenos, y

ayudará a analiar los riesgos y minimiar el aar inherente tales como

al lanar un nuevo producto al mercado o aceptar un embarque reci!n llegado que contenga

partes defectuosas etc.

En la mayoría de problemas hay que tomar decisiones con base a experimentos, es necesario

tener como pre"requisitos la teoría básica de con#untos y el análisis combinatorio.

1.2.- Experimento

Es la observación de alguna actividad o la acción de efectuar una medición. $os experimentos u

operaciones reales o hipot!ticos pueden dividirse en dos clases% determinísticos y no

determinísticos.

1.2.1.- Experimentos Determinísticos

&n experimento es determinístico si los resultados del experimento están

completamente determinados y puede describirse por una fórmula

matemática llamado tambi!n modelo determinísticos. E#emplos%

a' ()oltar un ob#eto pesado y ver si cae o no*

b' ($anar una pelota de goma en el agua y ver si flota o se

sumerge*

)on experimentos determinísticos, pues en el primer caso es evidente que el ob#eto caerá, aún

más su movimiento se describe por las ecuaciones de caída libre, en el segundo caso la pelota

flotará indudablemente.

1.2.2.- Experimentos No Determinísticos o Aleatorios

)i los resultados del experimento no pueden predecirse con exactitud antes de realiar el

experimento.

E#emplo%

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2Estadística Social II

Wilder Alvarado CastilloE+ % $anar una moneda y observar la cara superior.

E % $anar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

$as características más comunes en estos experimentos son%

a' -ada experimento puede repetirse indefinidamente sin cambiar esencialmente lascondiciones.

b' En cada experimento no se sabe exactamente cuál va a ser el resultado.

c' -ada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse de antemano

con precisión, por e#emplo en E+ tal con#unto es cara, sello/ y en E es +, , 0, 1, 2, 3/

4ambi!n se consideran experimentos aleatorios los siguientes e#emplos%

E 3: Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos (D* y no defectuosos (5*.

E 4: Designar un delegado de aula de un grupo de 26 alumnos.

E 5 % -ontar el número de automóviles que cruan la intersección de avenidas hasta que ocurraun accidente*

E 6 : 7abricar artículos, hasta producir 2 defectuosos y contar el número total de artículosfabricados.

E 7 % 8bservar el tiempo de vida de un televisor.

1.3.- Espacio Muestral

$lamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio E , al con#unto de todos los

resultados posibles de dicho experimento aleatorio y lo denotaremos por Ω. Es lo equivalente al

conjunto universal en la teoría de con#untos. 9or e#emplo los espacios muestrales de los

experimentos aleatorios anteriores son%

Experimento Conjunto de resultados posiles ! Espacio MuestralE 1

E 2

E 3

E 4

E 5

E 6

E 7

Ω+ : - , )/, donde - : cara ) : sello

Ω : +, , 0, 1, 2, 3 /

Ω0 : D, 5/

Ω1 : ;+, ; , ;0, ....., ;26 /

Ω2 : 6, +, , 0, 1, 2,....../

Ω3 : 2, 3, , ......../

Ω

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3

Capítulo 1: Probabilidadessu condición. Este proceso se continúa hasta observar dos defectuosos consecutivos o hasta que

se observe tres artículos no defectuosos. Describir el espacio muestral.

"olución#

utiliando el diagrama de árbol posemos representar gráficamente todos los resultados posibles,de la siguiente forma%

El espacio muestral es%

Ω : DD, D5DD, D5D5DD, D5D5D5, D5D55, D55DD, D55D5, D55, 5DD,

5D5DD, 5D5D5, 5D55, 55DD, 55D5, 555/

Ejemplo 1-)upongamos que se tiene una ca#a con = #uguetes diferentes. )e sacan 0

#uguetes, de uno en uno+, con reemplaamiento. Describir el espacio muestral

asociado a este experimento.

"olución#

Sean a1, a2 , a3, …., a8 . los ocho juguetes dierentes de la caja.

Si se reali!a la "ri#era e$tracci%n, "uede salir cual&uiera de los 8 juguetes. Es decir:

;+ : a+, a, a0, A., a= /

Si se reali!a la segunda e$tracci%n, "uede salir otra ve! cual&uiera de los 8 juguetes, 'a &ue el

"ri#ero ue devuelto a la caja, "or ser con ree#"la!a#iento.

+ Se dice también que se ha extraído una muestra de tamaño 3. Se dice que la extracción se hace con reemplazamiento, si después de cada extracción se registra el artículo y se devuelve a

la caa.

D

D

5

D

D

D

D

DD

D

D

D

5

5

55

5

5

5

55

5

5

55

D

DD

DD

D5DDD5D5DD

D5D5D5

D5D55

D55DD

D55D5D555

5DD

5D5DD

5D5D5

5D55

55DD

55D5

555

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Wilder Alvarado Castillo ; : a+, a, a0, A., a= /

(s) sucesiva#ente, es evidente &ue en la tercera e$tracci%n tene#os:

;0 : a+, a, a0, A., a= /

Entonces el es"acio #uestral ser*:

Ω : ;+ x ; x ;0 : a+, a, a0, A., a= / x a+, a, a0, A., a= / x a+, a, a0, A., a= /

Ω : a+, a, a0, A., a= /0

+ ta#i-n:

Ω : B x, y, ' @ x, y, : a+, a, a0, A., a= /

Ejemplo 1-)ea el experimento verificar el estado Bapagado, prendido' de seis focos iguales.

&tiliando los números 6 Bcero' para (apagado* y + para (prendido*. Describir el

espacio muestral.

"olución#

;$ verificar el primer foco, el resultado puede ser 6 ó +C el segundo foco tambi!n puede ser 6 ó +, y

así sucesivamente. Entonces, el espacio muestral del experimento, verificar el estado de los seis

focos será%

Ω : 6 , +/3 : Bx+, x, x0, x1, x2, x3' @ x+, x, x0, x1, x2, x3 : 6, + /

1.3.1.- Espacio Muestral Discreto

)i tiene un número finito o infinito de elementos.

(1) Espacios Muestrales Discretos Finitos

-uando el espacio muestral tiene un número finito de elementos.

Ejemplo 1-

&n lote compuesto de 26 artículos provenientes de una línea de producción, contiene 2

artículos defectuosos. $os artículos son extraídos uno por uno B sin reemplaamiento'

hasta que el último artículo defectuoso sea extraído. allar el espacio muestral de este

experimento

"olución#

El número de artículos extraídos será como mínimo cinco y como máximo 26.

Ω : 2, 3,

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Capítulo 1: ProbabilidadesEs cuando puede establecerse una correspondencia biunívoca de sus elementos con el

con#unto de los números naturales, de modo que pueda ser enumerado como +, , 0, 1,

A.∞

Ejemplo 1-El experimento sea lanar una moneda hasta que ocurra sello. Describir su espacio

muestral.

"olución#

El espacio muestral asociado a este experimento sería%

Ω : -, -), --), ---), ----), A /

1.3.2.- Espacio Muestral Continuo

)i tiene un número no numerable de elementos. Es decir cuyos elementos son todos los

puntos de algún intervalo de números reales.

Ejemplo 1-

El experimento sea el volumen de gaseosa producida por día, la cual varía entre un valor

mínimo de 266,66 litros y un valor máximo de +666,66 l. )e escoge un día al aar y se

observa la cantidad producida. Escribir el espacio muestral.

"olución#El espacio muestral asociado a este experimento sería%

Ω : x ∈ ℜ @ 266 ≤ x ≤ +666/

Nota#

; un experimento aleatorio puede se le puede asociar más de un

espacio muestral, de acuerdo a la característica del fenómeno que se

desea medir.

9or e#emplo sea el experimento lanar 0 monedas, si estamos interesados en la secuencia decaras y sellos que aparecen, el espacio muestral sería%

Ω : ---, --), -)-, )--, -)), )-), ))-, ))) /9ero si estamos interesados en el número de sellos que salen, el espacio muestral es%

Ω : 6, +, , 0/

1.$.- "uceso

$lamaremos suceso a todo elemento de un espacio muestral y lo designaremos por x, y, ,....etc.

esto es si x es un suceso, entonces x ∈ Ω

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Wilder Alvarado Castillo

1.%.- E&entos

)e llama evento a cualquier subcon#unto del espacio muestral y lo denotaremos por ;, F, -, ..

etc,. $uego si ; es un evento entonces ; ⊂ Ω.

Ejemplo 1-

D! un e#emplo de evento para cada uno de los siguientes experimentos%

a' $anar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.

b' Extraer un artículo de un lote que contiene artículos defectuosos (D* y no defectuosos (5*.

c' -ontar el número de automóviles que cruan la intersección de avenidas hasta que ocurra

un accidente

d' 8bservar el tiempo de vida de un televisor

e' 7abricar artículos, hasta producir 2 defectuosos y contar el número total de artículos

fabricados

"olución#

a' ; : ( ocurre un número mayor que 0*

; : 1, 2, 3 /

b' ; : (se extrae un artículo no defectuoso*

; : 5 /

c' ; : (ocurre un accidente antes de que crucen +666 automóviles*

; : 6,+,, A, >>>/

d' ; : (El televisor dura más de 2 666 horas*

; : t ∈ ? @ t G 2 666 /

e' ; : (se fabricaron más de 66 artículos*

; : 6+, 6, 60, A /

1.'.- De(inición de )roailidad

A

*

C

. $

.'

.! .

.r .s

.t

.u

.v ."

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Capítulo 1: Probabilidades$a probabilidad es la posibilidad u oportunidad de que suceda un evento particular en el futuro,

sólo puede asumir valores entre 6 y +, inclusive.

&n evento que no tiene probabilidad de ocurrir es un e&ento nulo porque tiene una probabilidad

de cero, mientras que un evento que se tiene la certea que ocurrirá será un e&ento cierto+ y

tiene una probabilidad de + Existen tres enfoques que dan lugar a tres definiciones deprobabilidad%

1.,.- )roailidad Clsica o a )riori

$a probabilidad de un evento es la raón entre el número de casos favorables y el número total

de casos Bsucesos' posibles, siempre que todos los sucesos deben ser igualmente probables.

)i 5BΩ' : n , es el número de elementos del espacio muestral Bnúmero total de sucesos' y

5 B; ' : n ; , es el número de elementos del evento ; Bo números de sucesos favorables'C la

probabilidad del evento ; estará denotada por 9B;', la cual se calcula por la fórmula%

Ejemplo 1-

)i se lana una moneda tres veces. -alcular la probabilidad de que ocurra%

a' dos sellos

b' al menos dos sellos

c' a lo más dos sellos

"olución#

El experimento E+ % (lanar una moneda tres veces*, tendría como espacio muestral%

posiblescasosdenº

Aeventoalfavorablescasosdenº

)(

)()( =

Ω= !

" ! " #

---

--)

-)-

-)))--

)-)

))-

)))

Diarama de /rol

-

-

-

-

-

)

-

-

)

)

)

)

)

)

0ser&aciones

a' $a probabilidad de un evento cualquiera está comprendida entre 6 y +

b' 9H;I : 6, si ; es un evento imposible

c' 9H;I : +, si ; es el evento seguro de ocurrir.

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El espacio muestral sería%

Ω+ : ---, --), -)-, -)), )--, )-), ))-, )))/ ; % (8btener sellos* ; : -)), )-), ))-/

F% (;l menos sellos* F : -)), )-), ))-, )))/

-% ( ; lo más sellos* - : ---, --), -)-, -)), )--, )-), ))-/

$as probabilidades de los eventos estarían dadas por%

9B;' : 8

3

)(

)(=Ωn

"n

C 9BF' : 8

4

)(

)(=Ωn

$n

C 9B-' : 8

7

)(

)(=Ωn

% n

Ejemplo 1-

-onsideremos el lanamiento de dos dados. -alcular la probabilidad de%

a' obtener suma =

b' obtener suma <

c' obtener suma mayor que 3

d' que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo

"olución% El experimento aleatorio es% (lanar dos dados*. El espacio muestral a este experimento

estará dado por pares ordenados donde la primera componente es el resultado del primer dado y la

segunda componente el resultado del segundo%

D1D2 1 2 3 $ % ' 1 B+,+' B+,' B+,0' B+,1' B+,2' B+,3' 2 B,+' B,' B,0' B,1' B,2' B,3' 3 B0,+' B0,' B0,0' B0,1' B0,2' B0,3' $ B1,+' B1,' B1,0' B1,1' B1,2' B1,3' % B2,+' B2,' B2,0' B2,1' B2,2' B2,3'

' B3,+' B3,' B3,0' B3,1' B3,2' B3,3'

=Ω

(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)(6,2)(6,1)

(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)(5,2)(5,1)

(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)(4,2)(4,1)

(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)(3,2)(3,1)

(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)(2,2)(2,1)

(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)(1,1)

)ean los eventos siguientes% ; : (8btener suma =*

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Capítulo 1: Probabilidades ; : B3,' , B2,0' , B1,1' , B0,2', B,3' / nB;' : 2

36

5)( =∴ " #

F : (8btener suma

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1!Estadística Social II


)ea el evento F % (El número de la bola extraída sea 0*

En la ca#a solo hay bolas del + al 6, por lo tanto F sería un evento imposible de ocurrir, o sea F : /

0

20

0

)(

)()( ==

Ω=n

$n $ #

)ea el evento -% (el número de la bola extraída sea por lo menos +2*

- : +2, +3, +, 6 / n B-' : 3

10

3

20

6

)(

)()( ==

Ω=n

% n% #

)roailidad por recuencia elati&a

)i un experimento bien definido se repite n veces Bn grande'C la probabilidad de que un evento ;

ocurra a largo plao se estima observando la frecuencia relativa de veces que ocurre el evento.

Ejemplo 1-

&na muestra de +6 fábricas que emplean un total de +6 666 personas , demostró

que ocurrieron 266 accidentes de traba#o durante un período reciente de +

meses. allar la probabilidad de que un accidente de un traba#o suceda en una

industria determinada.

"olución

El espacio muestral estará formado por las +6 666 personas

)ea el evento ; % (suceda un accidente a cualquier traba#ador*

05,010000

500)( == " # : 2L

Existe la probabilidad del 2L de que suceda un accidente de traba#o en cualquiera de las industrias.

Ejemplo 1-

$a distribución de los miembros de los partidos políticos en la Escuela de Mndustrias es%

)artido A)A )) 4N IM 4)) M55N total de militantes 16% 166 ,6 $% $6 1%

Oilitantes mu#eres 1% 26 % 16 3 2

nesobservaciodetotalnº

pasadoelenocurriAeventoel!uevecesdenº

)(

)()( =

Ω= !

" ! " #

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Capítulo 1: ProbabilidadesP-uál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente %

a' sea una mu#erK

b' perteneca al partido 9erú 9K

c' sea un hombre del partido &nidadK

"olución%

El espacio muestral, estaría formado por el total de militantes,

por lo tanto nBΩ' : +62 Q +66 Q

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1.8.- E&entos mutuamente exclu9entes

Dos eventos ; y F definidos en el mismo espacio muestral son mutuamente excluyentes si no

pueden ocurrir #untos. Es decir la ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro.

)imbólicamente% si A ∩ * ! ∅

9or e#emplo, ser hombre y ser mu#er son eventos mutuamente excluyentes. 5adie puede ser

ambos a la ve.

Ejemplo 1-

)e lana un dado dos veces. )ean los eventos%

; % (la suma de los puntos obtenidos en los dos lanamientos es

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Capítulo 1: Probabilidades$as leyes , propiedades y operaciones de eventos se basan todas en la teoría de -on#untos,

tales como la unión, intersección, inclusión, complemento, diferencia, etc.

4nión% Dados dos eventos ; y F, se llama evento unión de ; con F y se denota (; 4 F* al

evento formado por todos los sucesos que pertenecen a ; ó pertenecen a F ó a ambos.A 4 * ! ?x ∈ @ x ∈ A ∨ x ∈ *

Intersección% dados dos sucesos aleatorios ; y F se denomina evento Mntersección de ; con F

y se denota (; ∩ F* al evento formado por todos los sucesos que pertenecen a ; y a F a la ve,

es decir%

A ∩ * ! ?x ∈ @ x ∈ A ∧ x ∈ *

Di(erencia% Dados los eventos ; y F, se llama evento diferencia de ; con F y se denota (; T F*,

al evento formado por todos los sucesos favorables a ; que no son favorables a F.

)imbólicamente%

A B * ! ?x ∈ @ x ∈ A ∧ x ∉ *

Complemento% )i ; es un evento del espacio muestral Ω, se llama complemento de ;,

denotado por ;U ó A al evento formado por todos los sucesos que no son favorables a ;. En

símbolos%

A ! A ! - A ! ?x ∈ @ x ∉ A

7e9es de Moran % )ean los eventos ; y F, se cumple que%

+V $ey % "A"A ∪=∩

V $ey% "A"A ∩=∪

1.11.-

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n

Ejemplo 1-

)i una moneda se arro#a +6 veces, el número de resultados posibles es %+6 : +61 C )i un dado se lana dos veces, el número de resultados posibles es 3 : 03.

1.11.2.- ela 2

Si ha' / 1 eventos del "ri#er intento, / 2 eventos del segundo intento, ... ' / n eventos del n

-si#o intento, entonces el n0#ero de resultados "osiles es:

F 1 G F 2 G F 3 G . . . F n G

Ejemplo 1-

)i una placa de un auto tiene letras Bsin la R'y cuatro dígitos, el número total de

resultados posibles sería entonces% B3'B3'B+6'B+6'B+6'B+6' : 3 66

1.11.3.- ela 3

El número de formas en que n ob#etos pueden ordenarse es%

nH ! n F n-1G Fn-2G ... F1G

Ejemplo 1-

)i un con#unto de 3 libros desean colocarse en un estante. PDe cuántas formas posibles

pueden ordenarseK.

El número de formas posibles en que pueden ordenarse es de 3W : 3 x 2 x 1 x 0 x x + :

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Capítulo 1: Probabilidadesdonde se van instalar las máquinas. PDe cuántas formas diferentes pueden colocarse las

ocho máquinas en los tres espacio disponiblesK

ay = posibilidades para el primer espacio, < para el segundo y 3 para el tercero. Entonces

sería% = B

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Ejemplo 1-

&n establecimiento de venta de autos desea anunciar que puede adquirir un

convertible, un dos puertas o un modelo de cuatro puertas, con elección de

aros deportivos o comunes Pcuántos arreglos diferentes de modelos y arospuede ofrecer el establecimientoK

"olución#

&sando la regla de la multiplicación donde n : 0 Bnúmero de modelos' y m : Bnúmero de

tipos de aros'%

4otal posible de arreglos : m x n : 0 x : 3

Ejemplo 1-

&na persona puede via#ar de una ciudad ; a otra F de 2 formas y

de F a - de 3 formas. P De -uántas formas puede ir de ; a -

pasando por F.

"olución% $a persona puede ir de ; a F de 2 formas y de F a - de

3 formas. 9or lo tanto puede de 2 x 3 : 36 formas de ir de ; a - pasando por F.

1.11.,.- )rincipio de Adición#

)i un experimento E+ puede ocurrir de n1 formas y un segundo experimento E puede ocurrir

de n2 formas, entonces el experimento E, que consiste en realiar o E + ó E B(o* en el sentido

de exclusión, es decir E+ y E no pueden ocurrir #untos' ocurre de n1 + n2 formas, siempre

que los espacios muestrales Ω+ ∩ Ω : ∅ B sean dis#untos'

Ejemplo 1-

-onsideremos el experimento de lanar una moneda o un dado. PDe cuántas formas ocurreK

"olución% El experimento E dado es compuestoC sean%

E+ % lanar una moneda C n+ : E % lanar una dado C n : 3

El experimento E % ( lanar una moneda o un dado (, ocurre de

n : n+ Q n : 3 Q : =

Ejemplo 1-

&na persona puede via#ar de -hiclayo a $ima por vía a!rea o por vía

terrestre y tiene a su disposición 2 líneas a!reas y +6 líneas terrestres.

Pde cuántas formas puede hacer el via#eK.

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Capítulo 1: Probabilidades"olución#

$a persona debe decidir via#ar o por tierra, o por aire, tiene que elegir uno de ellos, por lo

tanto tienen 2 Q +6 : +2 formas de hacer el via#e

Ejemplo 1-

Dos secretarias nuevas% Xanesa y Yuliana, se pueden ubicar en tres oficinas% ;dministración,

;suntos 9edagógicos y 9royección )ocial, ambas pueden estar en una misma oficina. P-uál

es la probabilidad que%

a' 5inguna de las dos se ubiquen en la oficina de ;dministración.

b' $as dos se ubiquen en una misma oficina.

"olución#

-alculando el número de elementos del espacio muestral% Xanesa puede estar en cualquiera

de las 0 oficinas B 0 formas', Yuliana tambi!n puede distribuirse de 0 formas. 9or lo tanto, el

número de formas de distribuir las dos personas es de 0 . 0 : > formas distintas%

n B Ω' : 0. 0 : >.

a' )ea el evento ; : (las dos no se ubiquen en la oficina de ;dministración*

Esto quiere decir que se deben ubicar en las oficinas restantes, lo cual se puede hacer de

. : 1 formas, es decir n B;' : 1

( :&

4

b' )ea el evento F : (las dos se ubiquen en una misma oficina*

)i las dos se ubican en una sola oficina, entonces la primera de ellas tiene 0 formas para

ubicarse, mientras que la segunda sólo tiene + forma, ya que tiene ubicarse donde se

ubicó la primera. B 0 . + : 0 formas'

3

1

&

3)( == $ #

Ejemplo 1-

)e deben escoger representantes de un grupo de traba#o que consta de 3 hombres y 1

mu#eres. El procedimiento será escribir los nombres en ho#as de papel y luego se van a sacar

papeles al aar.

a' P-uál es la probabilidad de que los dos sean hombresK

b' P-uál es la probabilidad de que los dos sean mu#eresK

c' P-uál es la probabilidad de que sean un hombre y una mu#erK

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1


9 B ;+ & ; & ;0 & . . . & ;S ' : 9 B;+' Q 9B; ' Q 9B;0' Q . . . Q 9B ;S'

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Wilder Alvarado Castillo)upongamos que seleccionamos un estudiante aleatoriamente del grupo. )i se sabe que el

estudiante es hombre. P-uál es la probabilidad que est! en ;dministraciónK. )i el estudiante

seleccionado es mu#er P-uál es la probabilidad que est! en contabilidadK.

"olución % definimos los siguientes eventos% ;+ : (el estudiante seleccionado es ombre* C

; : (el estudiante seleccionado es Ou#er*

F+ :*el estudiante está en ;dministración*

F : (el estudiante está en Economía*

F0 : (el estudiante está en -ontabilidad*

-alculamos las probabilidades simples o llamadas tambi!n probabilidades Oarginales.

9B;+' : 8%01000

800= C 9 B;' : 2%0

1000

200=

9BF+' : 35,01000

350= C 9BF' : 4,0

1000

400= C 9BF0' : 25,0

1000

250=

$uego calculamos las probabilidades con#untas 9 B ; i ∩ F #'C para i : +, #: +, ,0.

F+ F F0 4otal ;+ 6,2 6,02 6,6 6,=6

; 6,+6 6,62 6,62 6,64otal 6,02 6,16 6,2 +,66

a' $a 9robabilidad de que un alumno seleccionado est! en ;dministración

dado que ya se sabe que es hombre será%

# &$'( "' ) : 325,080,0

25,0

)(

)(

1

11 ==∩

" #

$ " #

b' $a probabilidad de que un alumno seleccionado est! en -ontabilidad,

dado que se sabe que es mu#er será%

25,020,0

05%0

)(

)()(

2

23

23 ==∩

= " #

" $ # " $ #

1.1$.- )roailidad Conjunta

$a probabilidad con#unta es aquella donde los sucesos ocurren simultáneamente. ;sí por

e#emplo%

a' $a probabilidad de que un estudiante sea niRo y de buen rendimiento.

b' $a probabilidad de que sea adolescente y fármaco dependiente.

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21


ó

Este resultado, en teoría de la probabilidad, se llama ?E[$; DE $; O&$4M9$M-;-M\5 o9?8F;FM$MD;D DE $; M54E?)E--M\5.

Ejemplo 1-

&na urna contiene 2 bolas blancas y 3 negrasC se extraen al aar sucesivamente y sin

reposición dos bolas,

a' P-uál es la probabilidad de que las dos sean blancasK

b' P-uál es la probabilidad de que sean una de cada colorK

"olución#

)ean los siguientes eventos%

F+% ( la primera bola resultó blanca* C F% ( la segunda bola resultó blanca*

5+% ( la primera bola resultó negra* C 5% ( la segunda bola resultó negra*

&tiliando el diagrama de árbol tenemos que%

a' $a probabilidad de que las dos bolas sean blancas está dada por%

9BF+ ∩ F' : 2 @ 11

b' $a probabilidad de que sean una de cada color es%

9BF+ ∩ 5' Q 9B5+ ∩ F' : 0 @++ Q 0@++ : ' @11

)()%()( $ " # " # $ " # =∩

F+ ∩ F

: 9BF

+'9BF

Z F

+'

: 2@++ . 1@+6 ! 2 @11

5+

5

F

5

F+

F

F+ ∩ 5

: 9BF

+'9B5

Z F

+'

: 2@++ . 3@+6 ! 3 @11

5+ ∩ F

: 9B5

+'9BF

Z 5

+'

: 3@++ . 2@+6 ! 3 @11

5+ ∩ 5

: 9B5

+'9B5

Z 5

+'

: 3@++ . 2@+6 ! 3 @11

9BF+' : 2@++

9B5+' : 3@++

9BFZ F

+' : 1@+6

9B5Z F

+' : 3@+6

9BFZ 5

+' : 2@+6

9B5Z 5

+' : 2@+6

)()%()( " $ # $ # $ " # =∩

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1.1%. )roailidad

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23

Capítulo 1: ProbabilidadesEn una gran#a hay 0 corrales. En el corral ; hay dos ove#as negras y tres blancas, el corral F tiene

1 ove#as negras y blancas, en el corral - hay 2 ove#as negras y 2 ove#as blancas. )e selecciona

al aar un corral y se saca una ove#a de este corral. P-uál es la probabilidad de que la ove#a

escogida sea negraK.

"olución

)e definen los siguientes eventos%

; : ( el corral ; es seleccionado*

F : ( el corral F es seleccionado*

- : ( el corral - es seleccionado*

5 : ( la ove#a seleccionada es de color negro*

El espacio muestral está constituido por las ove#as de los tres corrales y estos forman una

partición del espacio muestral, de tal forma que%

! A 4 * 4 C

Dado que 5 ⊂ Ω y según el teorema de probabilidad total se puede escribir como%

5 : B; ∩ 5' & BF ∩ 5' & B- ∩ 5'

Entonces% 9B5' : 9B;∩ 5' Q 9BF ∩ 5' Q 9B- ∩ 5'

$uego%

9 B5' : 9B;' 9B; Z 5' Q 9BF' 9BF Z 5' Q 9B-' 9B- Z 5'

9uesto que se escoge un corral al aar, los tres son igualmente posibles, según el diagrama de

árbol tenemos%

A C*

N

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)egún las probabilidades obtenidas tenemos que%

9B5' : @ +2 Q 1 @ += Q 2 @ 06 : $,@ :6

1.1,. 2, que se obtiene al

calcular +T 6,62.

Existe una t!cnica de diagnóstico para detectar la enfermedad, pero no es muy exacta. )ea F el

evento (la prueba indica que la enfermedad está presente*. -onsidere que la evidencia histórica

muestra que si una persona en realidad padece la enfermedad, la probabilidad de que la prueba

9BFr Z ;' :)(

)()(

" #

$ " # $ # r r

9B; ∩ 5' : @ +2

9BF ∩ 5' : 1 @ +=

9B- ∩ 5' : 2 @ 06

5

5

5

*

;

F

-

9B;' : +@ 0

9BF' : +@ 0

9B-' : +@ 0 *

*

9B5 Z ;' : @ 2

9B5 Z F' : 1@ 3

9B5 Z -' : 2@ +6

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25

Capítulo 1: Probabilidadesindique la presencia del padecimiento es 6,>6. utiliando las definiciones de probabilidad, tal

afirmación se escribe como%

9 B F Z ;+ ' : 6,>6

-onsid!rese que la probabilidad de que una persona en realidad no padeca la enfermedad, perola prueba indique que se encuentra presente es 6,+2.

9 B F Z ; ' : 6,+2

)elecciónese a una persona de -hina y aplíquese la prueba. $os resultados indeican que está

presente. P-uál es la probabilidad de que la persona padeca la enfermedadK.

En forma simbólica se desea determinar 9 B ;+ Z F' que se interpreta como 9Btiene la enfermedad

Z $os resultados de la prueba son positivos'. ;plicando el 4eorema de Fayes tenemos%

9B;+ZF' :)()%()()%(

)()%(

2211

11

" $ # " # " $ # " #

" $ # " #

+

:)15,0)(&5,0()&0,0)(05,0(

)&0,0)(05,0(

+

:1875,0

0450,0

: 6,1

a "roailidad de &ue una "ersona tenga la ener#edad, dado &ue la "ruea result% "ositiva, es de

,24.

Ejemplo 1-

El gerente general de la cadena OE4?8 estima la proporción de sus

establecimientos que alcanarán la meta de una venta anual equivalente a dos

millones de dólares en la forma siguiente%

)0)0CI0N DE

E"

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Wilder Alvarado CastilloEs decir, el gerente general, basándose en experiencias anteriores estima que hay una probabilidad

de 6,6 de que 36L de las tiendas alcanarán los dos millones de ventas anualC una probabilidad de

6,26 que alcancen el

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27


1.18. E&entos Independientes

)abemos que, si los eventos ; y F son mutuamente excluyentes como indica la figura%

Entonces ; ∩ F : ∅, y si 9B;' G 6, 9BF' G 6 , se tiene%

0(")

")(A")(A ==

y 0(A)

")(AA)(" ==

4ambi!n sabemos que si * ⊂ A, tal como muestra la figura siguiente%

)e cumple que%

1(")

(") (")

")(A")(A ===

En el primer caso, los eventos ; y F no pueden ocurrir simultáneamente, así que el

conocimiento de la ocurrencia de F nos dice que ; no ocurre B o viceversa '.

En el segundo caso si ocurre F, debe ocurrir ;. ] en general hemos visto al definir la

probabilidad condicional, que la ocurrencia de un evento condiciona la probabilidad de

ocurrencia de un segundo evento. )in embargo hay muchos casos donde los eventos están

totalmente sin conexión, y la ocurrencia de uno de ellos no cambia la probabilidad de

ocurrencia del otro. En este caso se dice que son EVENTOS INDEPENDIENTES .

A*

A

*

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N0

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2


Ejercicios B Capítulo 61

+. &na línea de producción

clasifica sus productos en defectuosos *D* y no defectuoso (5*. De un almac!ndonde guardan la producción diaria de !sta línea, se extraen artículos hasta observar

tres defectuosos consecutivos o hasta que se hayan verificado cinco artículos. -onstruir el espacio

muestral.

. )ean ;, F y - tres eventos cualesquiera en

el espacio muestral Ω. Exprese cada uno de los siguientes eventos en t!rminos de operaciones

entre ;, F y -.

a' 8curre exactamente uno de los eventos

b' 8curre por lo menos uno de los tres eventosc' 8curren exactamente dos de los eventos.

d' 8curren por lo menos dos eventos.

e' 8curren todos los eventos.

f' 5o ocurre ninguno de los eventos

g' 5o ocurre ;, o no ocurre F, o no ocurre -.

h' 8curren a lo más dos de los eventos

0. $a tasa de desempleo para el siguiente

período está pronosticado por un modelo económico. El pronóstico del modelo puede describirse

con uno de los cinco eventos%

;+ % (el desempleo será del +6L o más*

; % (el desempleo será del =L o más, pero menos del +6L*

;0 % (el desempleo será del 3L o más, pero menos del =L*

;1 % (el desempleo será del 1L o más, pero menos del 3L*

;2 % (el desempleo será menos del 1L*

4ome Fi para representar el desempleo actual de acuerdo a las mismas cinco clasificaciones B por e#emplo F+ : (el desempleo actual es del +6L o más('.

a' )on mutuamente excluyentes los eventos ; +, ; , ...,; 2.K

b' )on colectivamente exhaustivosK

c' PJu! indican los siguientes eventos en palabrasK

A2 ∩ B3 ; A3 ∪ A4 ; Ai ∩ B j ; Ai ∩ B j (i > j)

1. &n inversionista planea escoger dos de las

cinco oportunidades de inversión que le han recomendado. Describa el espacio muestral que

represente las opciones posibles.

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2. 9ara cada uno de los siguientes eventos,

indique si el tipo de probabilidad involucrada es un e#emplo de una probabilidad clásica,

probabilidad por frecuencia relativa o una probabilidad sub#etiva.

a' Jue el siguiente lanamiento de una moneda no cargada caiga en sello.

b' Jue el )porting -ristal gane la copa $ibertadores de ;m!rica el aRosiguiente.

c' Jue el microbús que lleva a los docentes los $unes a primera hora llegue

más de +6 minutos tarde.

d' Jue la suma de las caras de los dados sea <

e' Jue ;lan [arcía gane las próximas elecciones presidenciales.

f' Jue haya huelga de profesores el próximo ciclo.

3. En los últimos aRos, las

compaRías de tar#etas de cr!dito han hecho un esfuero agresivo para atraer

nuevas cuentas de estudiantes universitarios. )uponga que una muestra de

66 estudiantes de su universidad apuntó la siguiente información en t!rminos

de si el estudiante poseía una tar#eta de cr!ditos y@o una tar#eta de cr!dito de

via#es y entretenimiento%

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Capítulo 1: Probabilidadespensiones. )e efectuarán entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la

muestra. $os empleados se clasificaron como siguen%

Clasi(icación E&ento N de empleados)upervisores ; +6De mantenimiento F 26De 9roducción - +136[erencia D 06)ecretarial E 3=

a' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un empleado de

mantenimientoK

b' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea una secretariaK

c' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea alguien de

mantenimiento o una secretariaK

d' P-uál es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un supervisor o un

empleado de mantenimiento o un traba#ador de producción o un gerente o una secretariaK

e' PEstos eventos son mutuamente excluyentesK

>. )i 9B;' : 6,1 C 9BF' : 6,2 C 9B-' : 6,< C

9 B ;∩ F ' : 6, C 9B;∩ -' : 6, C

9BF ∩-' : 6,1 y 9 B ;∩F ∩-' : 6,+. allar%

a' 9 B ;∪ F ∪ -'

b' 9 B ;∪ F ∪ c '

+6. P-uáles de los siguientes casos representan

tres eventos que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes%

a' 9B;' : 6,3 C 9BF' : 6, C 9B-' : 6,+ y 9B; ∩F' : 6

b' 9B;' : 6,+ C 9BF' : 6,1 C 9B-' : 6,2 C 9B; ∪ F' : 9B-' C

9B; ∪-' : 6,3 C 9BF ∩-':6

++. &n dado tiene 0 caras negras numeradas

con +, , 0 C y las otras caras son blancas numeradas con 1, 2, 3. )i se lana este dado, P-uál es

la probabilidad de que apareca un número par o una cara blancaK

+. &n estudio de 66 cadenas de tiendas de

abarrotes reveló estos ingresos, despu!s del pago de impuestos%

Inreso despus de impuestos N de empresasOenos de ̂+ millón +6^+ millón a ̂ 6 millones 3+^6 millones a más 0

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Capítulo 1: ProbabilidadesEl ha limitado sus estimados a 6666 , 2666 , 06666, 02666 ó 16666 computadoras. Oás

adelante estableció que estaba completamente indeciso entre la venta de 06666 y 02666 y que no

podía decidir cuál era más probable. )in embargo, cree que unas ventas de 02666 son dos veces

más probables que 16666 y que unas ventas de 06666 son 1 veces más probables que 6666.

7inalmente decidió que unas ventas de 2666 son sólo un 26L más probables que las de 02666.a' P-uál es la probabilidad de vender 06666 ó 02666 computadorasK

b' P-uál es la probabilidad de vender más de 16666, ó menos de 66666

computadorasK

+

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Wilder Alvarado Castilloa' sea un alumno varón

b' sea un alumno varón, si es de -iencias

c' sea un alumno de -iencias, si es varón

d' sea un alumno de -iencias y varón

+. El Departamento de cr!dito de la -a#a ?ural

(-ru del 9erdón* sabe por experiencia que la probabilidad de que un acreedor de#e de pagar un

pr!stamo es de 6,61. 4ambi!n se encontró que dado un incumplimiento de pago de pr!stamo hay

una probabilidad de 6,16 de que se pidiera el pr!stamo para salir de vacaciones. ;demás, $a ca#a

rural sabe que la probabilidad de incumplimiento es la misma para empleados estatales que para

el resto de la población.

a' Pcuál es la probabilidad de que un prestatario pida prestado

para financiar sus vacaciones y luego no cumplaK

b' )i la probabilidad de que se haga un pr!stamo a un empleadoes de 6,6 P-uál es la probabilidad que un prestatario sea empleado

estatal y no cumpla con el pagoK

. 4odos los miembros de un club son

economistas o abogados, 16L de los miembros son abogados mientras que el 06L de las

mu#eres son economistas. El 26L de los economistas y el 06L de los abogados ganan más de ^

36666 por aRo. )in embargo solamente el 6L de las mu#eres economistas y el +6L de las

mu#eres abogados ganan más de 36666 por aRo.

a' )i se escoge aleatoriamente un miembro del club. Pcuál es la probabilidad que gane más de

^36666 por aRoK

b' )i se escoge aleatoriamente una mu#er. P-uál es la probabilidad que ella gane más de ^36666

por aRoK

0. De todos los alumnos (cachimbos* de la

&59?[ se sabe que el 16L provienen de centros secundarios privados y el 36L de centros

estatales. $a oficina central de asuntos acad!micos seRala que al final del

ciclo salieron invictos el 16L de los alumnos que vinieron de centros privadosy sólo el 06L de los que vinieron de centros estatales. )e elige un alumno

(cachimbo* al aar y se sabe que salió invicto. P-uál es la probabilidad que el

alumno hubiera asistido a un centro estatalK.

1. &na compaRía de desarrollo urbano está

considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector

de -hiclayo. &n elemento vital en esta consideración es un proyecto de

una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. )i el -onse#o

9rovincial aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 6,>6 de que la

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Capítulo 1: ProbabilidadescompaRía construya el -entro -omercial en tanto que si la autopista no es aprobada, la posibilidad

es de sólo 6,6. basándose en la información disponible, el presidente de la compaRía estima que

hay una probabilidad de 6,36 que la autopista sea aprobada.

a' P-uál es la probabilidad que la compaRía construya el centro comercialK

b' Dado que el centro comercial fue construido. P-uál es la probabilidad deque la autopista haya sido aprobadaK

2. &n aparato especial

para medir el contenido alcohólico en la sangre de una persona arro#ó el

siguiente resultado% de 266 voluntarios, 16 estaban borrachos Bel nivel de

alcohol en la sangre era de 6,66+2 o más'. $os mismos 266 voluntarios se

sometieron a una prueba sanguínea inmediatamente despu!s, encontrándose =6 personas con

un nivel de 6,66+2 o más. Despu!s se determinó que +=6 personas resultaron estar borrachos en

ambas pruebas. PJu! porcenta#e de personas resultaron estar ebrios sin que lo indicara el

aparatoK. )upóngase que una persona realmente estuviera borracha y que pasara la prueba en el

aparato. )egún la información dada anteriormente. P-uál es la probabilidad que la prueba

resultara positivaK

3. El gerente de comercialiación de una

compaRía fabricante de #uguetes está planeando introducir un nuevo #uguete en el mercado. En el

pasado, 16L de los #uguetes introducidos por la compaRía han tenido !xito y 36L no lo han

tenido. ;ntes de que se comercialice el #uguete, se lleva a cabo un estudio de mercado y se

compila un informe, ya sea favorable o desfavorable. ;nteriormente, =6L de los #uguetes exitosos

recibieron informes favorables y 06L de los #uguetes no exitosos

tambi!n recibieron informes favorables.

a' )uponga que el estudio de mercado da un informe favorable

sobre un nuevo #uguete. P-uál es la probabilidad de que el

nuevo #uguete tenga !xitoK

b' PJu! proporción de los #uguetes nuevos reciben informes favorables de estudios de

mercadoK .

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Wilder Alvarado Castillo ;: (4odas las amas de casa escogen uno de los dos primeros supermercados*

F :*Dos escogen el supermercado _amt, dos El -entro y dos escogen El )uper*

- : Dos escogen El -entro, y las otras diferentes supermercados.

>. De la siguiente igualdad, hallar el evento `B ` & ; 'U & B ` & ;U ' U : F

06. &na instalación consiste en dos calderos y

un motor. )ea el vento ;% (el motor está en buenas condiciones*C sea F S %*el S"!simo cladero está

en buenas condiciones* BS :+,' Cy sea - %*la instalación puede funcionar, si el motor y al menos

uno de los calderos est!n en buenas condiciones*. Exprese el evento - y -U en t!rminos de ; y FS

0+. &n supervisor de personal visita = oficinas

diferentes durante el día. ; fin de impedir que los empleados sepan cuando los inspeccionará,

varía el orden de las visitas. PDe cuántas maneras puede hacerloK

0. PDe cuántas formas se pueden ordenar ++

alumnos en una fila, de tal forma que tres de ellos en particular, no queden #untosK

00. &n grupo de 06 alumnos van a via#ar a un

congreso en el ómnibus de la &59?[, el cual posee 12 asientos B+6 filas de 1 asientos cada una

con un pasillo en el medio, y al final 2 asientos #untos'. PDe cuantas formas se pueden ubicar

todos los alumnos%

a' en los 12 asientos del ómnibusK

b' )i deciden no ocupar los últimos 2 asientosK

c' )i via#an cinco amigos que deciden via#ar #untos en los últimos asientosK

d' )i ocupan los 6 asientos que poseen ventanillaK

e' )i +6 de los pasa#eros están enfermos y deben via#ar en los asientos del pasilloK

01. 9atricia tiene += amigos. PDe cuántas

maneras puede invitarlos a una cena a 3 de ellos%a' )i entre los amigos hay dos matrimonios y cada pare#a asisten #untos a cualquier reuniónK

b' )i entre los amigos hay que no pueden estar en la misma reunión, porque están enfadadosK

02. &n dado está cargado de tal forma que los

números pares tienen la misma probabilidad de salir, los números impares tienen la misma

probabilidad de salir, y cada número par tiene probabilidad doble de salir que la de un número

impar. Determinar la probabilidad que%

a' )alga un número par.

b' )alga un número mayor que 1

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03. de una bara#a de 2 cartas se extraen

aleatoriamente 2 cartas. Pcuál es la probabilidad de que 0 sean del mismo palo y los otros dos de

palos diferentesK

0. En un estudio de mercado para lanar

nuevos productos, se determina que la probabilidad de que una persona consuma el producto ; es

6,26, que consuma el producto F es 6,0

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espuestas a los Ejercicios

+' Ω : DDD, DD5DD, DD5D5, DD55D, DD555, D5DDD, D5DD5,

D5D5D, D5D55, D55DD, D555D, D5555, 5DDD, 5DD5D, 5DD55, 5D5DD, 5D5D5,5D55D, 5D555, 55DDD, 55D55, 555DD, 555D5, 5555D, 55555 / nBΩ' : 2

' a' B;∩ FU∩ -U ' & B;U ∩ F ∩ -U ' & B;U ∩ FU ∩ - '

b' B; ∩ FU∩ -U ' &B;U ∩ F ∩ -U ' &B;U ∩ FU ∩ - ' &B; ∩ F ∩ -U ' &B; ∩ FU∩ - ' & B;U∩ F ∩ - ' &

B;∩ F ∩ - '

c' B;U∩ F ∩ - ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B; ∩ F ∩ -U '

d' B;∩ F ∩ -U ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B;U ∩ F ∩ - ' & B; ∩ F ∩ - '

e' B; & F & - '

f' B;U∩ FU∩ -U '

g' B;U∩ F ∩ - ' & B; ∩ FU ∩ - ' & B; ∩ F ∩ -U '

h' B;U∩ FU∩ -U ' & B; ∩ FU∩ -U ' & B;U∩ F ∩ -U ' & B;U∩ FU ∩ - ' & B;

∩ F ∩ -U ' & B;∩ FU ∩ - ' & B;U ∩ F ∩ - '

3) F+ % menos del +6L F % menos del =L y de +6L a más

a' )on mutuamente excluyentes porque ninguno de los dos pares de eventos Ai y Aj ,

contienen la misma tasa de desempleo Bpredicha'

b' )on colectivamente exhaustivos porque todas las predicciones posibles están comprendidas

en esos cinco eventos.

c' ; ∩ F0 % El desempleo predicho fue de =L al +6L mientras el desempleo real fue del 3L al

=L

;0 ∩ ;1 %El desempleo fue predicho como 1L a menos de =L.

;i ∩ F # % $a predicción es correcta.

;i ∩ F # Bi G#'%El desempleo real fue más alto que lo predicho.

4) )ean las oportunidades de inversión% 1, 2, 3, 4, 5 -

El espacio muestral estará formado por - 2 : +6 elementos

Ω : 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 3 . 1 5 . 2 3 . 2 4 . 2 5 . 3 4 . 3 5 . 4 5 -

5) a' clásica b' sub#etiva c' frecuencia relativa d' clásica e'

sub#etiva

f' sub#etiva

6) ; : (que un estudiante tenga una tar#eta de cr!dito bancaria*

F : ( que un estudiante tenga una tar#eta de cr!dito o una de cr!dito de via#es y entretenimiento*

;U : (que un estudiante no tenga una tar#eta de cr!dito bancaria*

7) a' 6.62 b' 6,601 c' 6,62> d' + e' si

8) a' 6,< b' 6,+ c' 6,> d' 6,+ e' 6,>&) a' 6,> b' 6,=

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3

Capítulo 1: Probabilidades10) a' ; y F son mutuamente excluyentes, pero ;, F y - no son colectivamente

exhaustivos b' ;, F y - son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivo.

11) a' 6,2+ b' 6,1>

12) 6,3<

13) a' 6,6= b' 6,6>+1' a' 6,3 b' 6,1 c' 6,0 d' 6,02 e' 6,< f' 6,2

+2' a.+' 6,1 a.' 6,' a' 6,>3+2 b' 6,+20=

6' a' 6,21 b' 6,36 c' 6,

ejercicios 15-04-2016

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