ejemplos de ejercicios de tipos de razonamiento

7/28/2019 Ejemplos de Ejercicios de Tipos de Razonamiento

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Ejemplos de ejercicios de tipos de razonamientoRazonamiento Deductivo

Ejemplos:

3.

Todas las frutas ctricas contienen vitamina C.

La pia es una fruta ctrica;

Por tanto la pia contiene vitamina C.

4.

Toda figura de cuatro lados es un cuadriltero.

El rectngulo es figura de cuatro lados.

Por tanto, el rectngulo es cuadriltero.

5.

Ningn nmero racional es nmero irracional.

Por tanto ningn nmero irracional es nmero racional.

Razonamiento Inductivo

Ejemplo:

6.

El 99% de los venezolanos son catlicos,

Pedro es venezolano,

Es probable que Pedro sea catlico.

7.

Antonio sali un da lluvioso y le dio gripe.

Julio sali un da lluvioso y le dio gripe.


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Carlos sali un da lluvioso y le dio gripe.

Juan sali un da lluvioso y le dio gripe.

Tipos de razonamiento inductivo

Ana tiene cinco hijos: Pedro, Pablo, Paula, Patricia y Patricio

Pedro es universitario.

Pablo es universitario.

Paula es universitario.

Patricia es universitario.

Patricio es universitario

Por lo tanto, todos los hijos de Ana son universitarios.

Razonamiento Analgico

Jos hace tres meses compr un libro del autor A, y le result bastante bueno en cuanto a contenido. Ho

Jos comprar un libro del mismo autor, porque es posible que tambin sea bueno en contenido.

13. Antonio compr cuatro pares de medias de la misma marca. Ha usado tres pares de ellos, todos han

dado mal resultado. Es probable que el cuarto par d mal resultado.

Razonamientos vlidos y razonamientos no vlidos

Ejemplo 14:

Todos los hombres son venezolanos.

Todos los venezolanos son honestos;

Luego, todos los hombres son honestos.


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PROBLEMAS CON ESTRATEGIASLas estrategias en la resolucin de problemas.

Para resolver problemas, necesitamos desarrollar determinadas estrategias que, en general,

se aplican a un gran nmero de situaciones. Este mecanismo ayuda en el anlisis y en la

solucin de situaciones donde uno o ms elementos desconocidos son buscados.

Es importante que los estudiantes perciban que no existe una nica estrategia, ideal e

infalible de resolucin de problemas. Asimismo, que cada problema amerita una determinada

estrategia y muchos de ellos pueden ser resueltos utilizando varias estrategias.

Algunas de las estrategias que se pueden utilizar son:

-Tanteo y erro r org anizados (mtod os d e ensayo y erro r):

Esta estrategia consiste en elegir soluciones u operaciones al azar y aplicar las condiciones

del problema a esos resultados u operaciones hasta encontrar el objetivo o hasta comprobar

que eso no es posible. Despus de los primeros ensayos ya no se eligen opciones al azar

sino tomando en consideracin los ensayos ya realizados.

- Resolv er un pro blema similar ms sim ple:

Para obtener la solucin de un problema muchas veces es til resolver primero el mismo

problema con datos ms sencillos y, a continuacin, aplicar el mismo mtodo en la solucin

del problema planteado, ms complejo.

- Hacer una f igura, un esquema, un diagrama, una tabla:

En otros problemas se puede llegar fcilmente a la solucin si se realiza un dibujo, esquemao diagrama; es decir, si se halla la representacin adecuada. Esto ocurre porque se piensa

mucho mejor con el apoyo de imgenes que con el de palabras, nmeros o smbolos.


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- Bus car regular idades o un patrn:

Esta estrategia empieza por considerar algunos casos particulares o iniciales y, a partir de

ellos, buscar una solucin general que sirva para todos los casos. Es muy til cuando el

problema presenta secuencias de nmeros o figuras. Lo que se hace, en estos casos, es

usar el razonamiento inductivo para llegar a una generalizacin.

- Trab ajar h aci a atrs:

Esta es una estrategia muy interesante cuando el problema implica un juego con nmeros.

Se empieza a resolverlo con sus datos finales, realizando las operaciones que deshacen las

originales.

- Imaginar el problema resuel to:

En los problemas de construcciones geomtricas es muy til suponer el problema resuelto.

Para ello se traza una figura aproximada a la que se desea. De las relaciones observadas en

esta figura se debe desprender el procedimiento para resolver el problema.

- Utili zar el lgeb ra para exp resar relac ion es:

Para relacionar algebraicamente los datos con las condiciones del problema primero hay que

nombrar con letras cada uno de los nmeros desconocidos y en seguida expresar lascondiciones enunciadas en el problema mediante operaciones, las que deben conducir a

escribir la expresin algebraica que se desea.

4.1.5. Algunos ejemplos de actividades de resolucin de problemas.

A continuacin se desarrollan algunos ejemplos de actividades de resolucin de problemas

utilizando el plan de Plya:


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a) CUYES Y GALLINAS

Juan cra en su chacra solamente cuyes y gallinas. Un da, jugando, le dijo a su hijo:

Contando todas las cabezas de mis animales obtengo 60 y contando todas sus patas

obtengo 188. Cuntos cuyes y cuntas gallinas tengo?

Resolucin:

Paso 1: Comprendiendo el problema.

Tenemos que hallar cuntos cuyes y cuntas gallinas tiene el pap

de Juan.

Se sabe que hay 60 cabezas y 188 patas. Tambin se

sabe que un cuy tiene 4 patas y una gallina 2 patas.

Paso 2: Elaborando un plan.

Plan A: Estrategia: Tanteo y error organizados.

Se intenta hallar la solucin dando valores al azar a la cantidad de cuyes y a partir de ellos

obtener el nmero de gallinas. Para verificar si la respuesta es correcta se calcula el total de

patas con esos valores. Se puede construir una tabla para que el trabajo sea ms ordenado.


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Plan B: Estrategia: Plantear ecuaciones.

Cantidad de cuyes: x

Cantidad de gallinas: y

Cantidad de cabezas: x + y = 60

Cantidad de patas: 4x + 2y = 188

Hemos traducido el problema en un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas: xe y.

Para hallar la solucin del problema, tenemos que resolver este sistema de ecuaciones.

Paso 3: Ejecutando el plan.

Plan A:

En total hay 60 animales.

Todos no pueden ser gallinas porque entonces habra 120 patas.

Tampoco todos pueden ser cuyes porque entonces habra 240 patas.

Debe haber exactamente 188 patas.

Para poder continuar razonando vamos a hacer una tabla:

N de cuyes N de gallinas N de patas

0 60 120

60 0 240

30 30 180

34 26 188

Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.


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Este problema pudo ser resuelto mediante esta estrategia porque se ha trabajado con

nmeros relativamente pequeos. Sin embargo, si se tratase de nmeros mayores y ms

complejos necesitaramos realizar una mayor cantidad de tanteos y podramos no llegar a la

solucin.

Plan B:

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el mtodo de sustitucin:

x + y = 60 1

4x + 2y = 188 2

De (1) se obtiene: x = 60 y 3Sustituyendo el valor de x en 2:

4(60 y) + 2y = 188

240 4y + 2y = 188

240 2y = 188

-2y = 188 240

-2y = - 52

2y = 52

y = 52/2

y = 26

Respuesta: Hay 34 cuyes y 26 gallinas.

Sustituyendo el valor de y en 3: x = 60 yx = 60 26


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Resolviendo el sistema de ecuaciones por el mtodo de reduccin:

1 x + y = 60 4x 4y = 240

2 4x + 2y = 188 4x + 2y = 188

2y = 52

2y = 52

y = 26

Sustituyendo el valor de y en 1 : x + y = 60

x + 26 = 60

Respuesta:Hay 34 cuyes y 26 gallinas.

Plantear ecuaciones es una buena estrategia para resolver problemas con cualquier tipo de

nmeros. Esta estrategia funciona con mucha facilidad para resolver diversos problemas,slo se requiere dominar el lenguaje algebraico.

Paso 4. Hacer la verificacin.

Sustituimos los valores dexe ypara confirmar que se cumplan las igualdades que hallamos

al inicio:

x + y = 60 4x + 2y = 188

34 + 26 = 60 es correcto. 4(34) + 2(26) = 188

136 + 52 = 188 es correcto


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b) CONSTRUYENDO UN MURO

Antonio tiene un terreno grande que quiere dividir en dos partes. Para esto tiene que construir

un muro. En el primer da de construccin us 3 de los adobes que tena; en el segundo da8

us16

de los adobes que tena. Entonces cont los adobes que le quedaban para usar en el

tercer da y eran 55. Cuntos adobes tena cuando comenz a construir el muro?

Resolucin:

Paso 1: Comprende el problema.

- Qu pide el problema?

La cantidad de adobes que tena al comenzar a construir el muro.- Cules son los datos y las condiciones del problema?Antonio tiene cierta cantidad de adobes.

3En el primer da utiliza

8de esa cantidad.

1En el segundo da utiliza

6de esa cantidad.

Le quedan 55 de adobes para el tercer da.

Paso 2: Elabora un plan.


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| http://www2 minedu gob pe/digesutp/formacioninicial/

Plan A: Estrategia: Hacer un esquema.

55

unidad

primer da segundo da tercer da

Observa que la suma de las fracciones que representan al nmero de adobes que se utiliza

cada da es igual a la unidad, la cual representa la cantidad total de adobes que tena para

trabajar los 3 das.

Hallamos la fraccin que representa a los adobes que se utilizan el primer y segundo da,

mediante una suma de fracciones.

Luego hallamos la fraccin que representa a los adobes que se utilizan el tercer da, restando

a la unidad la fraccin anterior. Finalmente, reducimos a la unidad y hacemos el clculo.

Plan B: Estrategia: Utilizar una ecuacin.

Total de adobes: x

3Adobes utilizados en el primer da: x

8

Adobes utilizados en el segundo da:1

x6

Adobes utilizados en el tercer da: 55

El total de adobes es igual a la suma de los adobes utilizados cada da:

3 1x + x + 55 = x

8 6


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Paso 3: Ejecuta el plan.

Plan A:

Fraccin que representa la cantidad de adobes utilizados en el primer y segundo das:

3 1 9 4 13+ = + =

8 6 24 24 24

Fraccin que representa la cantidad de adobes utilizados el tercer da:

13 241 =

24 24

13 11 =

24 24

11Como el nmero de adobes que quedaron para el tercer da es 55, se puede afirmar que:

24

equivalen a 55

1Por lo tanto:

24equivalen a 55 11 = 5

24Finalmente, como 1 =24

24entonces24

equivalen a 5 x 24 = 120

O entonces, completando la unidad, de un modo ms esquemtico:

3 1+ + = 1

8 6

9 4+ +

24 24

? 24=

24 24

9 4+ +

24 24

11 24=

24 24

55 11 = 5 y 5 x 24 = 120

Respuesta: Antonio tena 120 adobes cuando comenz a construir el muro.


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Plan B:

Resolviendo la ecuacin que hallamos en el paso anterior:

3 1x + x + 55 = x

8 6

3x = x +

8

1x + 55

6

3x x

8

1x = 55

6

3

(1 8

1

)x = 55 Propiedad asociativa6

24 9 4(

24 24 24)x = 55 Homogenizando las fracciones

11x = 55

24

11x = 55 24

x = 55.24 Simplificando

11

x = 5 24 x = 120

Respuesta: Antonio tena 120 adobes cuando comenz a construir el muro.

Paso 4. Hacer la verificacin.

Cantidad de adobes utilizados en el primer da:


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2020

3 3de 120 =

8 8120 =

360

8= 45

Cantidad de adobes utilizados el segundo da:

1 1de 120 =

6 6120 =

120

6= 20

Cantidad de adobes utilizados el tercer da: 55

Sumando la cantidad de adobes utilizados cada da: 45 + 20 + 55 = 120

Notas:

a. Reducir a la unidad es una estrategia muy til para solucionar algunos problemas.b. Al sumar fracciones heterogneas se debe homogenizar las fracciones. Puede utilizar

fracciones equivalentes.

c. Fracciones equivalentes a la unidad:2

= 1,2

3= 1, ,

3

24= 1, .

24


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c) DIAGONALES DE UN POLGONO.

Resuelve el siguiente problema:

Cul es el nmero de diagonales de un polgono de 10 lados?

Resolucin:

Paso 1. Comprende el problema.

El problema pide que se determine el nmero de diagonales que tiene un polgono de10 lados.

Paso 2. Elabora un plan.

Podramos dibujar este polgono de 10 lados y contar sus diagonales, pero dibujar unpolgono de 10 lados con sus diagonales es bien difcil.

Estrategia:

Un modo de resolver este problema es utilizando la estrategia resolver un problemams sencillo antes; es decir, estudiar el nmero de diagonales de polgonos conmenor nmero de lados.

Paso 3. Ejecuta el plan.

Observa las figuras:


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2222

+ 2 + 3 + 4

+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

Tringulo Cuadriltero Pentgono Hexgono

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

0 diagonales 2 diagonales 5 diagonales 9 diagonales

Colocamos en una tabla los valores que observamos en las figuras anteriores yanalizamos la tabla para buscar algn patrn que nos ayude a completarla:

N de lados 3 4 5 6 7 8 9 10

N de diagonales

0 2 5 9 ? ? ? ?

Usemos el patrn para completar la tabla:

N de lados 3 4 5 6 7 8 9 10

N dediagonales

0 2 5 9 14 20 27 35

Respuesta: Un polgono de 10 lados debe tener 35 diagonales.


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Paso 4. Generalizando.

Algunas veces un patrn nos puede llevar a encontrar una regla general que puede ser

escrita como una expresin algebraica. Este es un ejemplo de razonamiento inductivo.

El polgono de 3 lados tiene 0 diagonales.

El polgono de 4 lados tiene 2 diagonales.

El polgono de 5 lados tiene 2 + 3 = 5 diagonales.

..

El polgono de 10 lados tiene 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 diagonales.

Extendiendo este patrn:

Para el polgono de 11 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44

Para el polgono de 12 lados: 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54

.

Para el polgono de n lados: 2 + 3 + 4 + 5 + + (n 2) diagonales.

La expresin algebraica 2 + 3 + 4 + 5 + + (n 2) representa el nmero de diagonales deun polgono de n lados.


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2424

Verifica si esta expresin es correcta para calcular el nmero de diagonales que tiene los

de polgonos de 3 a 10 lados. Compara tus resultados con la tabla anterior.

Aplicando esta expresin calcula el nmero de diagonales que debe tener un polgono de

15 lados.

Veamos otro razonamiento, inductivo tambin, para determinar el nmero dediagonales de un polgono de n lados.

Piensa en un polgono de n lados. Ese polgono tendr n vrtices.

Como de cada vrtice salen n 3 diagonales porque de l mismo y los 2 ladoscontiguos no salen diagonales, para calcular el nmero de diagonales que salen de

cada vrtice tenemos que hacer el producto:

n vrtices (n 3)

Tenemos que dividir entre 2 ese resultado porque al hacer el producto estamos

contando 2 veces cada diagonal, pues la diagonal que va de un vrtice al otro y la

que viene de ese vrtice a s mismo es la misma y se est contando 2 veces.

Por tanto la expresin algebraica [n (n 3)] 2 representa el nmero de diagonalesque tiene un polgono de n lados.

Si drepresenta el nmero de diagonales de un polgono podemos escribir:

d = [n (n 3)] 2

Esta ltima igualdad es la frmula que permite calcular el nmero de diagonales que

debe tener un polgono conociendo el nmero de lados que tiene.

Utilizando la frmula anterior calcula el nmero de diagonales que debe tener un

polgono de 10 lados y de uno de 15 lados. Estos polgonos tienen algn nombre

especial?

Notas:

El razonamiento inductivo es usado para hacer una regla despus de ver diversos ejemplos.


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2525

Reconocer un patrn es importante, pero no siempre garantiza que se encuentre la respuesta

correcta del problema.

Una frmula es una ecuacin que muestra la relacin entre ciertas cantidades. Algunas vecesse puede desarrollar una frmula a travs del desarrollo de un patrn.

d) CONTANDO CUADRADOS EN UN TABLERO DE AJEDREZ.

Resuelve el siguiente problema:

Cuntos cuadrados podemos contar en un tablero de ajedrez?

Resolucin:

- Comprendamos el problema.

Este parece ser un problema muy sencillo.

El tablero de ajedrez tiene 8 filas y 8 columnas, entonces se puede decir que el tablero tiene

8 x 8, es decir, 64 cuadrados.

Pero, y si aadimos el cuadrado grande, el del borde del tablero? Seran entonces 65

cuadrados.

Qu nos estarn preguntando en este problema?

Podemos ver otros cuadrados?

Cmo son los otros cuadrados que podemos contar?


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2626

Hay muchos cuadrados como estos:

2x2 3x3 5x5

- Elaboramos un plan.

Si interpretamos de este modo el problema, necesitamos contar:

- el nmero de cuadrado de 1 x 1 que son 64

- el nmero de cuadrado de cuadrados de 2 x 2

- el nmero de cuadrado de cuadrados de 3 x 3

-

- el cuadrado de 8 x 8 que es 1

Vemos, entonces, que este es un problema de conteo. Por lo tanto, tenemos queencontrar una forma sistemtica para poder contar todos esos cuadrados.

La situacin parece muy complicada?


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2727

Una estrategia que puede ser conveniente para resolver este problema es resolverprimero un problema ms simple; esto es, empecemos trabajando con tableros mspequeos.

- Ejecutemos el plan.

1) Comencemos considerando el siguiente tablero:

Tenemos 1 cuadrado 2 x 2 y 4 cuadrados 1 x 1

N total de cuadrados: 1 + 4 = 5 u 12 + 22 = 5

2) Consideremos ahora otro tablero:

Tenemos 1 cuadrado 3 x 3 , 4 cuadrados 2 x 2 y 9 cuadrados 1 x 1

N total de cuadrados: 1 + 4 + 9 = 14 u 12 + 22 + 32 = 14

3) Observemos este otro:

Hay 1 cuadrado de 4 x 4 , 9 de 3 x 3 , de 2 x 2 y 16 de 1 x 1


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2828

Tamao

tableroNmero de

cuadrados

1 x 1 12 = 1

2 x 2 12 + 22 = 5

3 x 3 12 + 22 + 32 = 14

N total de cuadrados: 1 + 4 + 9 + 16 = 30 u 12 + 22 + 32 + 42 = 30

Regresando al problema original.

Ahora resolvamos el problema original

utilizando el razonamiento inductivo.

Para ello sera interesante utilizar una

tabla:


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2929

Hagamos la induccin:

Tamao del tablero Nmero de cuadrados

1 x 1

1 = 1

12 = 1

2 x 2

1 + 4 = 5

12 + 22 = 5

3 x 3

1 + 4 + 9 = 14

12 + 22 + 32 = 14

4 x 4

1 + 4 + 9 + 16 = 30

12 + 22 + 32 + 42 = 30

5 x 5

1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55

..

.

8 x 8

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64= 204

12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 = 204

Respuesta: En un tablero de ajedrez podemos contar 204 cuadrados.

- Generalizando.

Podemos generalizar nuestro resultado para tableros con muchos cuadrados ms, para

cuadrados de n filas y n columnas.


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Tamao

del

cuadrado 1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 6 x 6 7 x 7 8 x 8 n x n

Nmero

de

cuadrados 64 49 36 25 16 9 4 1 (9n)2

El nmero total de cuadrados en el tablero es: 64+49+36+25+16+9+4+1=204

Verifica la forma general que encontramos, comprobando en cada caso.

Qu ocurrira si duplicsemos el tamao del tablero? El nmero de soluciones sera el

doble?

Y si el tablero fuera rectangular?

Atencin:

Todo cuadrado es un rectngulo. Pero no todos losrectngulos son cuadrados.


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e) Problemas propuestos.

La matemtica no es algo mgico

y amenazadoramente extrao, pero

s un cuerpo de conocimiento

naturalmente desarrollado por

personas durante un periodo de 5.000

aos.

Practica las pautas propuestas por Plya organizndote al resolver los siguientes problemas:

1. La tejedo ra cu zquea.Mara, una tejedora cuzquea de chompas, para abaratar sus

productos, decide comprar menos lana de alpaca. Ella decidi crear

una nueva fibra, hilando la lana de alpaca con lana de oveja. Se sabe

que el precio de un kilogramo de lana de alpaca es S/. 100 y de unkilogramo de lana de oveja es S/. 20. Mara quiere que el costo de un

kilo de la nueva fibra sea S/.44. Cuntos kilogramos de lana de

alpaca y cuntos kilogramos de lana de oveja debe comprar para

preparar 50 kilogramos de la nueva fibra?

2. La evaluacin.Luisa respondi 20 preguntas en una evaluacin, algunas acert y otras no. Ella gana 5

puntos por cada respuesta correcta y pierde 2 puntos por cada respuesta incorrecta. Si en

total ella consigui 51 puntos cuntas preguntas acert?

3. El nmero de dos cifras.Pens en un nmero de dos cifras. La suma de esas cifras es 9. Cambiando el orden de

esas cifras se obtiene un nmero 45 unidades menores que el primero. En que nmero

pens?

Atencin:

Un nmero natural de dos cifras puede ser representado por 10x + y, siendoxla cifra de las

decenas e yla de las unidades.

4. Camin o a casa.Jos estaba regresando del colegio a su casa caminando por

la carretera. Despus de recorrer 2/5 del camino par a

recoger un racimo de pltanos que encontr. Luego recorri

1/4 del trecho restante. En ese momento se dio cuenta que

haba olvidado su mochila en el lugar donde encontr el

racimo de pltanos. Volvi, recogi su mochila y recorri 1/2

del total de la carretera, hasta parar para descansar.


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Considerando toda la distancia que recorri, lo que camin Jos es ms que la longitud de

toda la carretera, pero todava no llega a su casa.

a) Qu fraccin de la carretera todava tiene que caminar?b) Qu fraccin representa lo que ya camin ms que la longitud de la carretera?

5. Los corderos.Sonia tiene varios corderos. Regal a su hermano Jos 2/9 de

sus corderos y a su hermano Miguel 1/6 de sus corderos. Ella se

qued con 22 corderos. Cuntos corderos tena antes de hacer

los regalos a sus hermanos?

6. Las com pras.

Rosa Mara gast 2/7 de sus ahorros paracomprar una falda y 3/5 de sus ahorros para comprar un par dezapatos. Si ella tena S/. 140 ahorrados cunto dinero le queda de

sus ahorros?

7. Las pesas. En un establecimiento comercial se acostumbra solamente pesar mercaderas que tienen un

peso entre 1 kg y 40 kg; adems, ese peso siempre es un nmero natural. Ayuda al dueo

del establecimiento determinando cul es el juego de 4 pesas que l necesita tener para

poder pesar sus mercaderas con una balanza de 2 platos.

8. Trapecio s y ms trapecio s.Estudia el siguiente patrn. Escribe una expresin algebraica que represente el permetro de

la figura con n trapezoides.

2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1 11

1 1 2 1 2 1 1 2 1 2

1 trapecio 2 trapecios 3 trapecios 4 trapecios


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Sugerencia para la solucin:Elabora en una tabla como la siguiente para que te ayude a razonar:

N figura 1 2 3 4 5 6 7 n

Permetro 5 8 11 ? ? ? ? ?

9. Ecu acin cu adrtic a.Determina qu relacin hay entre las soluciones de las siguientes ecuaciones:

ax2 + bx + c = 0 y cx2 + bx + a = 0.

10. Nmeros capic as.A los nmeros como 45654, que se leen lo mismo de derecha a izquierda que de izquierda a

derecha, se les llama capicas. Mi amigo Samuel asegura que todos los nmeros capicas

de cuatro cifras son divisibles por 11. Ser eso cierto?

11. Plegado de papel.Se pliega una tira de papel, larga y delgada, 10 veces sucesivas por la mitad. Al desplegarla

cuntos dobleces se ver?

Sugerencia para la solucin:- Coge una tira de papel larga y delgada. Pligala por la mitad. Al desplegarla cuntos

dobleces crees que se ver? Despliega la tira de papel, cuntos dobleces ves? Vuelve a

plegar la tira de papel por la mitad y luego pligala otra vez por la mitad. Al desplegarla

cuntos dobleces crees que se vern? Despliega la tira de papel, cuntos dobleces ves?

- Contina haciendo sucesivos dobleces, siempre por la mitad. Elabora en tu cuaderno una

tabla como la siguiente. En ella vas anotando el nmero de dobleces que observas cada

vez que haces un nuevo doblez.

Nmero de

pliegues0 1 2 3 4 5 6 7

n

Nmero de

dobleces1 2 3 ? ? ? ? ?

?


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- Analiza la tabla que acabas de construir y procura descubrir la relacin que hay entre el

nmero de pliegues y el nmero de dobleces. Escribe la frmula que relaciona el nmero de

pliegues con el nmero de dobleces.

- Verifica la frmula que hallaste, calculando el nmero de dobleces para 3, 4, 5, 6 y 7

pliegues. Compara tus resultados con los resultados de las observaciones que has hecho

para completar la tabla.

- Utiliza esa frmula para calcular el nmero de dobleces que debe haber en la tira de papel

al plegarla 10 veces.

12. Jug ando c on nmeros.Cules son los nmeros naturales que pueden ser obtenidos como la suma de nmeros

naturales consecutivos?

13. Sumas.Calcula la suma de los n primeros nmeros impares.

14. Ejerc itnd on os .Todas las maanas 2 amigos, Julio y Juan, se ejercitan juntos. Ellos siempre hacen el mismo

recorrido, desde el punto A hasta el punto B de una pista con una linda vista. Julio corre la

mitad de la distancia y camina la otra mitad. Juan corre la mitad del tiempo y camina la otra

mitad. Los 2 corren a la misma velocidad y los 2 caminan a la misma velocidad. Determina

cul de los 2 llega primero.

15. Jug ando co n pal i tos de fsforo.En una tarde de domingo Manuel y yo encontramos una caja de

palitos de fsforo y nos pusimos a jugar con ellos.

- Manuel form un tringulo con 3 palitos de fsforo:


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- Entonces yo puse

6 palitos de fsforo

ms e hice un

segundo nivel a la

figura formada por

Manuel.

- Continuamos del mismo modo hasta que tuvimos una figura con 7

niveles. Cuntos palitos de fsforo utilizamos?

Sugerencia para la solucin:

- Para resolver este problema puedes en primer lugar tomar algunospalitos de fsforo y jugar como nosotros.

- En seguida construye una tabla como la siguiente:

N de niveles 1 2 3 4 5 6 7

N de palitos de fsforo 3 9 ? ? ? ? ?

- Conjetura el nmero de palitos de fsforo dela figura con 7 niveles.

- Comprueba tu conjetura contando el nmero de palitos de fsforo

en el nivel 7. Fue correcta?

- Con 165 palitos de fsforo cuntos nivelestendra la figura a construir?

Manuel me dijo que cuando tenga tiempo otra vez va a construir unafigura con 15 niveles.

Cuntos palitos defsforo necesitar entotal?


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De cuntos modos puedes cambiar una moneda de S/. 5utilizando combinaciones de

monedas de S/.0,10; S/. 0,05 y S/.0,01?

Toma un nmero de tres cifras diferentes, por ejemplo 465. Voltalo,

564. Resta el menor del mayor 564 465 = 198. Ahora invierte el

nmero 198 y suma los dos ltimos nmeros obtenidos: 198 + 891 =

1089. Haz lo mismo con otros nmeros de tres cifras. Qu

observas? Justifica el resultado.


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Ejemplos de sucesiones numricas


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Ejemplos de proposiciones simples,compuestas y abiertas

QUE ES UNA PROPOSICION

Es toda oracin o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Sino puede concluir que es verdadero o falso no es proposicin. Es cualquieragrupacin de palabras o smbolos que tengan sentido y de la que en un momentodeterminado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad deuna proposicin es lo que se llama su valor lgico o valor de verdad. Lasproposiciones se denotan con letras minsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.

Ejemplo:

Hoy es lunes. (si es proposicin ya que se puede verificar). Hablo y no hablo. Viene o no viene. Carlos Fuentes es un escritor. (Simple) Sen(x) no es un nmero mayor que 1. (Compuesta) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple) El 14 es factor del 42 y el 7 tambin es factor del 42. (Compuesta) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta) Si x es nmero primo, entonces x impar. (Compuesta) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta) No todos los nmeros primos son impares. (Compuesta)

CLASES DE PROPOSICIONES

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atmicas. Son

aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:

El cielo es azul.


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PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Sonaquellas que estn formadas por dos o ms proposiciones simples unidas por losoperadores lgicos.

Ejemplos:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jvenes o universitarios. Si el mircoles prximo me saco la lotera entonces te regalare un auto.


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Ejemplos de negaciones compuestas~DISYUNCIN:Se representan dos enunciadosseparadas por la expresin o basta con que una seaverdadera para que se cumpla la proposicin (pvq). Susmbolo es: V

EJEMPLOS:

Est lloviendo o es de noche.

Est feliz o est enojado.

Est caminando o est lloviendo.

Hay derivadas o hay integrales.

~CONJUNCIN:Es cuando dos proposiciones simples secombinan mediante la expresin y , la proposicincompuesta resultante se le llama conjuncin (pq). Susmbolo es: , &,

EJEMPLOS:

La puerta est vieja y oxidada.

Hace fro y est nevando.

Est lloviendo y es de noche.

Tiene gasolina y tiene corriente.


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~NEGACIN:Si p es una proposicin fundamental, desta se puede formar otra proposicin, que se lellama Negacin de p, escribiendo: Es falso queantesde p, , cuando es posible, se inserta en p lapalabra No, (p) Su smbolo es: , ~

EJEMPLOS:

No est lloviendo.

La seora no ceno.

Es falso que 52=12.

Es falso que Alemania se encuentra en Europa.

~CONDICIONAL:Es aquella proposicin compleja cuyaconectiva dominante es el condicional, es decir,aquella expresin apofnatica que tiene la forma p q, y que se lee si p, entonces q o bien p escondicin suficiente de q, donde A es el antecedente

y B el consecuente. Su smbolo es:

EJEMPLOS:

Si est dormido entonces est soando.

Si quiere comer entonces tiene hambre.

Si Londres est en Inglaterra entonces Pars est enFrancia.

Si hay gasolina en mi tanque entonces mi automvilfunciona.


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~BICONDICIONAL:Tambin llamado equivalencia oimplicacin doble, es una proposicin de la forma P siy slo si Q, en la cual tanto P como Q son ambasciertas o ambas falsas. Tambin se dice que Q es unacondicin necesaria y suficiente para P, (pq). Susmbolo es:,

EJEMPLOS:

Esta completo si y solo si tienes todas las actividades.

Saldrs si y solo si acabaste tu tarea.

Est lloviendo si y solo si est nublado.

3+2=5 si y solo si 4+4=8


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Ejemplos de valores de verdad deproposiciones compuestas

1. PROPOSICIONES:

Son enunciados que en un contexto determinado o en una teora se pueden calificar comoverdaderas o falsas.Para designar una proposicin se utilizaran las letras minsculas.

p, q , r, s

Ejemplo:

a. p: El pentgono tiene 6 lados.b. q: Colombia tiene dos mares.c. r:Cul es tu nombre?.d. s: l lo hizo!e: t: 3/4 de 12 es 9.f. o: Estoy de acuerdo!Observacin: Las opiniones, preguntas, rdenes y exclamaciones no sonconsideradas proposiciones.

Proposicin SIMPLE:

Es aquella que se forma sin utilizar trminos de enlace.Ejemplo: p: Hoy es juevesq: 7 elevado a la 3=343

Valor de verdad de una proposicin, (V) O (F).

Se pueden calificar como verdaderas o falsas.Ejemplo: -4 es mayor que -3 (F)2**r es la longitud de la circunferencia (V)Hoy llueve en Medelln.Para todas las personas que habitan en Medelln no tiene el mismo valor de verdad.

Ejercicio: Determine el valor de verdad de cada proposicin simple.1. p: Los elefantes vuelan.2. q: Lina tiene 7 annos.3. r: Raz cuadrada de -9 es un nmero real.4. 7 es factor de 84.


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PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LGICOS

Las proposiciones compuestas son aquellas que estn formadas por dos o ms proposicionessimples ligadas por un conector

Es un rectngulo si y slo sitienen 4 ngulos rectos.

Viajamos de da o viajamos de noche. Si el permetro aumenta, entonces el rea se duplica. 8 es un nmero par y 8 es divisible por 2.

Los conectores y, o. entonces, si y slo si, permiten unir dos preposiciones simples.

AXIOMAS:Son proposiciones que son verdaderas por definicin.Ejemplo: El todo es mayor que las partesDos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.El mtodo deductivo permite partir de un conjunto de hiptesis y llegar a una conclusin.En matemticas, la deduccin es un proceso concatenado de la forma:

Si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D hasta llegar a una conclusin.

TEOREMA: Es el conjunto de hiptesis mas la demostracin, hasta llegar a una conclusin.

Ejercicios: Formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples.

Este mes me voy a trabajar. Este mes me muero de hambre.
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Vivo en Lima. Vivo en Madrid. Estudio matemticas. Puedo ensenar matemticas.

POSIBILIDADES LGICAS.

Una proposicin simple p slo tiene dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Dos proposiciones Simples forman una compuesta

Tres proposiciones tendrn 2 elevado a la 3 =8

En general el nmero de proposiciones simples que se tienen es n, entonces el nmero deposibilidades es 2 elevado a la n.

NEGACIN DE UNA PROPOSICIN

La negacin es el conectivo lgico que permite cambiar el valor de verdad de una proposicin.Si p es verdadero (V)Su negacin p es falsa (F)
http://2.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TCJKBgirBcI/AAAAAAAAABU/6pJVLCy6Pyo/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://4.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmjLROz1DI/AAAAAAAAABM/1eMtwX5sRdw/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://1.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmi6826IJI/AAAAAAAAABE/Fi5uQ9EgW3s/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TCJKBgirBcI/AAAAAAAAABU/6pJVLCy6Pyo/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://4.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmjLROz1DI/AAAAAAAAABM/1eMtwX5sRdw/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://1.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmi6826IJI/AAAAAAAAABE/Fi5uQ9EgW3s/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.pnghttp://2.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TCJKBgirBcI/AAAAAAAAABU/6pJVLCy6Pyo/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://4.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmjLROz1DI/AAAAAAAAABM/1eMtwX5sRdw/s1600/Sin+t%C3%ADtulo..pnghttp://1.bp.blogspot.com/_5MBjaUDlp-s/TBmi6826IJI/AAAAAAAAABE/Fi5uQ9EgW3s/s1600/Sin+t%C3%ADtulo.png


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p se lee no p.

Ejemplo: Negar las siguientes proposiciones simples:p: Todos los nmeros primos son pares.q: No todos los tringulos son isceles.

r: -15+18=7

Solucin:p: No todos los nmeros primos son pares.q: Todos los tringulos son isceles.r:-15+18+ 7

Cul es el resultado de (p)?Observacin: Si una proposicin p es verdadera, su negacin es falsa y viceversa.

LA CONJUNCIN (p ^ q) smbolo lgico ^.

La proposicin p ^q es verdadera nicamente si p y q son verdaderas, los dems casos p y q esfalsa.

Ejemlo: Juanita, podrs salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIN

LA DISYUNCINSmbolo gramatical: oSmbolo lgico: v

La disyuncin inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera yes falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.
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TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIN
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ejemplos de ejercicios de tipos de razonamiento

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