ejemplo introducciona a la in vestigacion de operaciones frederick s

7/23/2019 Ejemplo Introducciona a la in Vestigacion de Operaciones Frederick s

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EJEMPLO INTRODUCCIONA A LA IN VESTIGACION DE OPERACIONESFREDERICK S. HILLIER

GERALD J.LIEBERMAN 9NA EDICION

Reciclado de desechos slidos

La SAVE-IT COMPANY opera un centro de reciclado ue reco!e cuatro tiposde "aterial de desecho slido # los trata para a"al!a"arlos en un productoue pueda lan$arse al "ercado% El trata"iento # el a"al!a"ado son dosprocesos di&erentes% Se pueden o'tener tres !rados di&erentes de esteproducto ()ea la pri"era colu"na de la ta'la *%+,. se!/n la "e$cla de"ateriales ue se use% Aunue e0iste al!una 1e0i'ilidad para esta "e$claen cada !rado. los est2ndares de calidad especi3can una cantidad "4ni"a #

una "20i"a de la proporcin de los "ateriales per"itidos en ese !rado% (Laproporcin es el peso del "aterial e0presado co"o un porcenta5e del pesototal del producto de ese !rado% Para los dos !rados "2s altos se especi3caun porcenta5e 35o de uno de los "ateriales% Estas especi3caciones sepresentan en la ta'la *%+, 5unto con el costo de a"al!a"ado # el precio de)enta de cada !rado%

El centro de reciclado reco!e los "ateriales de desecho slido de ciertas&uentes ha'ituales por lo ue casi sie"pre puede "antener una tasa deproduccin esta'le para tratarlos% En la ta'la

*%+6 se "uestran las cantidades disponi'les para la recoleccin #

trata"iento se"anal. al i!ual ue el costo del proceso de cada tipo de"aterial%

La Sa)e-It Co% es propiedad de 7reen Earth. una or!ani$acin dedicada aasuntos ecol!icos. por lo ue las !anancias se usan para apo#ar lasacti)idades de 7reen Earth% Esta or!ani$acin ha lo!rado contri'uciones #apo#os por la cantidad de *8 888 dlares se"anales. ue de'en usarse slopara cu'rir el costo del trata"iento co"pleto de los desechos slidos% Elconse5o directi)o de 7reen Earth ha !irado instrucciones a la ad"inistracinde Sa)e-It para ue di)ida este dinero entre los "ateriales. de "anera talue se recolecte # se trate al "enos la "itad de la cantidad disponi'le de

cada tipo de "aterial% Estas restricciones adicionales se enu"eran en lata'la *%+6%

TABLA 3.17 Datos ! "os #at!$%a"!s ! !s!&'os s("%os ! Sa)!*"t Co.

Mat!L%+$as ,o$

s!#a-aCosto !"

t$ata#%!-to

R!st$%&&%o-!s a%&%o-a"!s

+9*:

* 8889 888: 888+ 888

*%88,%88:%88;%88

+%


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Con las restricciones especificadas en las tablas 3.16 y 3.17, la administracin desea

determi- nar la cantidad que debe producir de cada gradoy la mezcla exacta de materiales

que usar paracada uno, de manera que se maximice la ganancia semanal neta ingresos

totales por !entas menoscosto total del amalgamado, independiente del costo del

tratamiento fi"o de 3# ### dlares por semana que ser cubierto por donaciones.

Fo$#1"a&%(- &o#o 1- ,$o+"!#a ! ,$o2$a#a&%(- "%-!a".$ntes de intentar construir un modelo de programacin lineal debe tenerse muc%o

cuidado en la definicin apropiada de las !ariables de decisin. &i bien muc%as !eces

esta definicin es ob!ia, otras es la parte medularde la formulacin. 'espu(s de

identificar con claridad cul es la informacin que sir!e y la formams con!eniente de

mane"arla mediante las !ariables de decisin, se pueden establecer la funcin ob"eti!o y las

restricciones sobre los !alores de estas !ariables de decisin.

)n este problema espec*fico, las decisiones que deben tomarse estn bien definidas, pero

!alela pena pensar un poco en la manera de mane"ar la informacin a tra!(s de ellas. +&e

recomienda intentar %acerlo y !er si primero se obtiene el siguiente con"unto inapropiado

de !ariables dedecisin.

Como un con"unto de decisiones se refiere a la cantidad de cada grado de producto que se

debe fabricar, parecer*a natural definir un con"unto de !ariables de decisin acorde.

&iguiendo tentati!amente esta l*nea de pensamiento se define

yi5 n-mero de libras del producto de grado iproducidas por semana +i 5 A,B,

C.

)l otro con"unto de decisiones es la mezcla de materiales de cada grado de producto. )sta

mecla seidentifica por la proporcin de cada material en el producto, lo que sugiere

definir el otro con"untode !ariables de decisin como

&in embargo, en la tabla 3.17 se proporcionan los costos del tratamiento y la disponibilidad

de los materiales por cantidad +libras y no enproporciones, y es esta informacin en

cantidades la quese necesita registrar en algunas de las restricciones. /ara el material j +j 5

1, 0, 3, ,

Cantidad en libras de materialj usado por semana 5 zAjyA > zBjyB > zCjyC .

/or e"emplo, como la tabla 3.17 indica que se dispone de 3 ### libras del material 1 por

semana,una restriccin del modelo ser*a

zAjyA >zBjyB >zCjyC ? 3 ###.

'esafortunadamente, (sta no es una restriccin leg*tima de programacin lineal. 2aexpresin dellado iquierdo no es una funcin lineal porque incluye la multiplicacin de

!ariables. /or lo tanto,no se puede construir un modelo de programacin lineal con estas

!ariables de decisin.

/or suerte, existe otra manera de definirlas que se a"usta al formato de programacin

lineal. +)s posible identificar alguna manera de %acerlo4 )ste ob"eti!o se logra con slo

sustituir cadaproducto de las !ariables de decisin anteriores por una sola !ariable. )n

otras palabras se define

xij @ zijyi +para i @ A,B, C5j @ 1, 0, 3,

@ nmero total de libras del materialj asignadas al producto grado ipor semana,


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y despu(s se definenxijcomo las !ariables de decisin. $l combinar lasx

ijen diferentes

formas sellega a las siguientes cantidades necesarias en el modelo +para i 5 A,B, C5j

5 1, 0, 3, .

)l %ec%o de que esta ltima expresin sea una funcin no lineal no causa complicaciones.

/ore"emplo, considere la primera especificacin para el producto gradoA en la tabla 3.16

+la proporcin de material 1 no debe exceder de 3#. )sta limitacin conduce a la

restriccin no lineal

&in embargo, al multiplicar ambos lados de esta desigualdad por el denominador se llega a

larestriccin equivalente

xA1? #.3xA1>xA0>xA3>xA ,

de manera que

#.7xA1

-

#.3xA0

-

#.3xA3

-

#.3xA? #,

es una restriccin leg*tima de programacin lineal.

Con este a"uste a las tres cantidades dadas se determinan directamente todas las

restricciones funcionales del modelo. 2a funcin ob"eti!o se basa en la meta de la

administracin de maximiarla ganancia semanal total ingresos totales por !entas menos

costo total del amalgamado quese obtiene por los tres grados de productos. )n

consecuencia, la ganancia por libra de cada grado de producto se obtiene mediante la resta

del costo del amalgamado que se presenta en la terceracolumna de la tabla 3.16 del precio

de !enta que aparece en la cuarta columna. )stas diferenciasproporcionan los coeficientes

de la funcin ob"eti!o.

/or lo tanto, el modelo completo de programacin lineal es

su5eta a las si!uientes restriccionesA

+% )specificaciones de mecla +segunda columna de la tabla 3.16


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9% 'isponibilidad de materiales +segunda columna de la tabla 3.17

*% 8estricciones sobre las cantidades tratadas +lado derec%o de la tabla 3.17

:% 8estriccin sobre el costo del tratamiento +lado derec%o de la tabla 3.17

;% 8estricciones de no negati!idad

Esta &or"ulacin co"pleta el "odelo. e0cepto ue lasrestricciones de las especi3caciones dela "e$cla necesitanreescri'irse en la &or"a adecuada para un "odelo depro!ra"acin lineal contodas las )aria'les en el lado i$uierdo #co"'inar los tBr"inosA

La ta'la *%+C "uestra una solucin pti"a para este "odelo. #despuBs estos )alores dexij seusan para calcular otras cantidades

de interBs dadas en la "is"a ta'la% El )alor pti"o de la &uncino'5eti)o ue se o'tiene esZ 5 *; +8D%,; (o sea. una !ananciase"anal total de =*; +8D%,;-%


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