ETN - 501 FÍSICA DEL ESTADO SOLIDO

Nombre: Américo Alvarez

Surci

Docente: Ing. Teodoro Buch

30 De Noviembre De 2011

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

1.- INTRODUCCION

Christian Doppler fue un matemático austríaco que vivió entre 1803 y

1853. A Doppler se le conoce por el principio que propuso en el año

1842, en su trabajo “En relación con las luces coloridas de estrellas

dobles”. Este principio es conocido como Efecto Doppler. La hipótesis

de Doppler establecía que el tono de los sonidos cambiaba si la fuente

del sonido se movía.

Consideremos el caso de las ondas en la superficie del agua:

supongamos que en el centro de un estanque hay un bicho moviendo

sus patas periódicamente. Si las ondas se originan en un punto, se

moverán desde ese punto en todas direcciones. Como cada

perturbación viaja por el mismo medio, todas las ondas viajarán a la

misma velocidad y el patrón producido por el movimiento del bicho

sería un conjunto de círculos concéntricos como se muestra en la

figura. Estos círculos alcanzarán los bordes del estanque a la misma velocidad. Un observador en

el punto A (a la izquierda) observaría la llegada de las perturbaciones con la misma frecuencia que

otro B (a la derecha). De hecho, la frecuencia a la cual las perturbaciones llegarían al borde sería la

misma que la frecuencia a la cual el bicho las produce. Si el bicho produjera, por ejemplo, 2

perturbaciones por segundo, entonces cada observador detectaría 2

perturbaciones por segundo.

Ahora supongamos que el bicho estuviera moviéndose hacia la

derecha a lo largo del estanque produciendo también 2

perturbaciones por segundo. Dado que el bicho se desplaza hacia la

derecha, cada perturbación se origina en una posición más cercana

a B y más lejana a A. En consecuencia, cada perturbación deberá

recorrer una distancia menor para llegar a B y tardará menos en hacerlo. Por lo tanto, el

observador B registrará una frecuencia de llegada de las perturbaciones mayor que la frecuencia a

la cual son producidas. Por otro lado, cada perturbación deberá recorrer una distancia mayor para

alcanzar el punto A. Por esta razón, el observador A registrará una frecuencia menor. El efecto

neto del movimiento del bicho (fuente de las ondas) es que el observador hacia el cual se dirige

observe una frecuencia mayor que 2 por segundo y el observador del cual se aleja perciba una

frecuencia menor que 2 por segundo.

2.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS SONORAS

Las ondas sonoras son ondas mecánicas, se propagan en el espacio utilizando cierta propiedad del

medio, y su velocidad depende de la elasticidad del material. En el caso del aire, esta propiedad

será la presión. Es decir, que las ondas sonoras se propagan en el aire mediante variaciones de la

presión. La velocidad de las ondas sonoras en presión constante, y a 20°C se la acepta como de

unos 340 m/s.

2.1 Efecto Doppler Movimiento De La Fuente.- Consideraremos al observador en reposo respecto

del medio, solo la fuente de señal sonora se moverá.

vv

ffs

so

1

1 (1)

donde: of = Frecuencia observada

sf = Frecuencia de la fuente

sv = Velocidad de la fuente

v = Velocidad del Sonido

= + si la fuente se acerca y - si la fuente se aleja

2.2 Efecto Doppler Movimiento Del Observador.- Tenemos ahora una fuente sonora estacionaria

y un observador que se mueve respecto a la fuente.

vvff o

so 1 (2)

Donde: of = Frecuencia observada

sf = Frecuencia de la fuente

ov = Velocidad del observador

v = Velocidad del Sonido

= + si el observador se acerca y - si el observador se aleja

2.3 Efecto Doppler movimiento combinado.- Aplicando el principio de superposición a a las

ecuaciones (1) y (2) tendremos:

vvvv

ffs

o

so

1

1 (3)

3.- EFECTO DOPPLER EN LAS ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

En el caso de las ondas electromagnéticas, no

existe un medio en el cual estas se propaguen,

ergo no puede hacerse diferenciación respecto

de quién se mueve con respecto al medio, y el

efecto se produce por la velocidad relativa

fuente-observador. Si estas ondas

electromagnéticas pertenecen a un espectro de

luz visible, observaremos un corrimiento de ese

espectro hacia el azul (aumento de frecuencia)

si nos acercamos a la fuente, y un corrimiento

hacia el rojo (disminución de frecuencia) si nos

alejamos.

Esto se conoce como desplazamiento relativo

Doppler o Doppler shift.

3.1 Análisis con Física Clásica.- Según la mecánica clásica, si el observador se acerca a una fuente

de ondas electromagnéticas, verá a las ondas venir con velocidad vc , y si la fuente se acerca al

observador, las ondas se desplazarán con velocidad vc , por lo que siempre tendremos ondas

esféricas concéntricas, contrariamente al gráfico de Doppler shift. Tenemos entonces que,

considerando que un observador se acerca con velocidad relativa v a una fuente que emite ondas

electromagnéticas con frecuencia sf , observará una señal de frecuencia:

cvff

ccvfvfvcvcf sssso

Teniendo en consecuencia

cvff so 1 (4)

Donde : cvfff sso

cv

fff

ff

s

so

(5)

Evidentemente, esto expresa que el observador ve a las ondas electromagnéticas viajar más

rápido que la luz

c

ffvc , lo cual, según hemos visto en la teoría de la relatividad, no

es posible. Sin embargo, a velocidades fuente-observador no muy elevadas, es decir, a velocidades

no relativistas, es posible utilizar esta versión simplificada.

La ecuación (4) y (5), se consideran si no hay una compresión de ondas como en la figura del

doppler-shift. Ahora bien, si suponemos que hay una compresión de los frentes de ondas y que la

velocidad c es una constante tendremos una ecuación similar a la ecuación (1)

vv

ffs

so

1

1

cambiando las variables tendremos que:

cv

ff so

1

1 (6)

En un periodo unitario la onda recorre:

cv

cv

fvc

o 1 entonces teniendo la

diferencia de longitudes de ondas

cv

o

cvo

(7)

Esta ultima formula es ampliamente utilizada para aproximaciones de astronomía y algunas otras

aplicaciones.

4. EFECTO DOPPLER RELATIVISTA

En relatividad, las ondas electromagnéticas viajan con velocidad c para todo observador, e

independientemente del movimiento de éste o de la fuente. Esto nos lleva a hacer el planteo del

efecto Doppler relativista desde ambos puntos de vista: el de la fuente, y el del observador.

Veremos que a pesar de desarrollar ecuaciones distintas, ambas resultan equivalentes con una

mayor consistencia matemática aún, que lo desarrollado para la mecánica clásica

4.1 Visto Desde El Observador.- Consideremos una fuente que emite ondas de frecuencia sf y que

se mueve con velocidad v hacia un receptor "en reposo" (al menos para su sistema de referencia).

En su unidad de tiempo propio, la fuente emite N ondas, tal que: ss tfN Si la fuente se mueve

hacia el receptor, la primera onda recorrerá una distancia rtc y la fuente recorrerá una

distancia rtv en el tiempo rt medido en el sistema del receptor.

La longitud de onda observada en el sistema del receptor será entonces:

s

r

s

r

ss

rrro t

tcv

tt

cvc

tfvct

Ntvtc

1

Siendo

s

r

tt entonces quedaría de la forma:

cv

o 1 (8)

Entonces la frecuencia observada será

cv

ccfo

o

1

1

1

1

cv

ff so (9)

Si la fuente se aleja entonces cambiamos el signo menos por más.

4.2 Visto Desde La Fuente.- Hagamos ahora el cálculo en el sistema de referencia de la fuente.

Ésta se halla ahora "en reposo" y el observador se mueve con velocidad v . En el intervalo de

tiempo st , medido en el sistema de la fuente, el receptor encuentra todas las ondas situadas a la

distancia stv , además de las situadas a la distancia stc , El número de ondas que encuentra es

ss tvtcN

, similar a como viéramos para el caso de las ondas sonoras, sólo que el

observador sigue viendo a las ondas viajar a velocidad c, porque hace su medición en un intervalo

de tiempo diferente.

En este caso, el observador es quien mide el tiempo propio, que es el intervalo de tiempo que

transcurre entre que cruza a cada una de las ondas, luego rs tt .

La frecuencia y longitud de onda observadas en el receptor serán entonces:

r

ss

r

rs

ro tc

fvctt

tvtct

Nf

cvff so 1 (10)

cvf

co

o

1

(11)

Si el observador se aleja invertimos el signo

4.3 Efecto Doppler Relativista.- Las fórmulas deducidas parecen llevar a una incongruencia.

Según la teoría de relatividad especial, su postulado establece que, es indiscernible el movimiento

relativo, es decir, no interesa quién se mueva respecto de quién el movimiento relativo será el

mismo; pero desarrollamos fórmulas que parecen expresar lo contrario (formulas 8 y 11; 9 y 10),

ya que resultan ecuaciones diferentes si partimos del movimiento de la fuente o del observador.

Sin embargo, desarrollando la expresión de “ ” y operando matemáticamente, se llega a que

ambas ecuaciones expresan lo mismo, consistentemente con nuestros principios relativistas.

Ejemplo: Verificación, sea la ecuación (9) demostrar que es la misma que la ecuación (10)

Recordamos que:

2

2

1

1

cv

1

1

1

cv

ff so ; Ecuación (9)

cv

cv

cv

f

cv

cvcv

f

cvcv

cvcv

fcv

cv

ff sssso

1

11

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cvff so 1 ; Ecuación (10)

Entonces demostramos que estas ecuaciones 9 y 10 son equivalentes.

Ahora presentaremos la formula que representa el efecto Doppler relativista (ya sea con

movimiento de observador, movimiento de fuente emisora o ambos), está dada por:

푓 = 푓 ( ⁄ )( ⁄ )

(12)

Que es la que se encuentra en libros de física moderna, y que es fácilmente deducible ya sea con la

ecuación 9 o 10.

5.- APLICACIONES

El efecto Doppler resulta de suma utilidad para realizar mediciones de velocidad, sobre todo en

casos en los que no es posible utilizar métodos directos como la medición por tiempo de

desplazamiento en una longitud conocida.

5.1 Radares para medición de velocidad.- Son los conocidos radares que utiliza la policía en las

rutas de alta velocidad. El principio de funcionamiento consiste en enviar una señal de

microondas, altamente direccional, contra el auto que se acerca. Dado que hay dos trayectos, el de

ida y el de vuelta, y que la velocidad del automóvil más rápido es más de 1.000.000 de veces más

chica que la velocidad de propagación de las microondas.

Podemos usar la forma aproximada (ecuación 5):cv

ff 2

se pone 2 por lo dicho antes 2

trayectos: el de ida y el de vuelta.

Entonces tendremos que: s

so

fffc

ffcv

22teniendo como datos, la frecuencia de emisión de

microondas sf , además de la frecuencia de rebote por la trayectoria de regreso.

5.2 Medición De Velocidades En Astronomía.- En astronomía, resulta imposible medir la

velocidad de las estrellas o galaxias lejanas. Sin embargo, observando el corrimiento relativo

Doppler de los espectros característicos de elementos conocidos, podemos calcular indirectamente

esta velocidad.

En astronomía es un fenómeno denominado corrimiento al rojo y al azul.

Que el corrimiento sea hacia el rojo o hacia el azul nos da una idea de si la estrella se acerca o se

aleja de nosotros, dado que el rojo es el color de frecuencia más baja (descenso de frecuencia) y el

azul el de frecuencia más alta (aumento de frecuencia), es decir, las estrellas que se alejan de

nosotros presentarán un corrimiento al rojo proporcional a la velocidad de escape: cv

(ecuación 7) de donde calculamos

cv , para velocidades no relativistas. La ecuación

relativista para el cálculo de la velocidad es entonces: 22

22

o

ov Donde o corresponde a la

longitud de onda observada proveniente del espectro de absorción de la estrella, y es la

longitud de onda conocida, observada en un espectro de emisión en laboratorio.

5.3 Constante de Hubble, Expansión y Edad del Universo.- El efecto Doppler en astronomía es

una herramienta esencial, ya que éste suministra información para investigar el movimiento y la

composición química de las estrellas lejanas.

Para entender cómo el efecto Doppler nos da esta información, considere los siguientes hechos:

i. Los átomos emiten y absorben luz en cantidades discretas de energía

ii. Cuando la luz emitida por una estrella pasa por sus capas de gas más externas, las ondas

de determinadas longitudes de onda son absorbidas por estos átomos.

iii. En el espectro de la luz emitido por la estrella aparecen estas líneas de absorción como

bandas oscuras.

iv. Cuando una estrella se aleja de nosotros o se acerca, el efecto Doppler cambia las

longitudes de onda percibidas, haciendo que las líneas en los espectros cambien de lugar

La gráfica muestra un ejemplo del espectro de absorción de la luz de una estrella. Las dos líneas

negras corresponden a luz que fue absorbida por átomos en la atmósfera de la estrella. El primer

espectro corresponde a una estrella en reposo relativo a nosotros que observamos desde la Tierra.

El segundo espectro corresponde a una estrella que se aleja de nosotros. Note como las líneas del

espectro se corren hacia el rojo. Finalmente, el último espectro corresponde a una estrella que se

acerca a nosotros. Note como las líneas del espectro se corren hacia el violeta.

Una de las principales observaciones astronomías que hemos de tener en cuenta es la del

corrimiento al rojo de la luz observada en las galaxias lejanas, que se debe al alejamiento de las

galaxias de nosotros, se trata de la expansión del Universo.

Hubble dedujo para esta expansión la ecuación:

Donde v= velocidad de separación, d= distancia de separación, H= constante de proporcionalidad

de Hubble. Aun ahora se trata de obtener un dato preciso de la constante de hubble, el último dato

obtenido por Florian Beutler el 25 de Julio de 2011 nos da una valor de Η = 67.0 ± 3.2∙

Dado que la expansión determina la edad del Universo y la constante de Hubble mide la rapidez

con que el Universo se está expandiendo 푣 = Η푑 se observa claramente que:

τ =1Η

El tiempo de Hubble que mide el tiempo transcurrido desde el instante en que ocurrió el Big Bang,

hasta la época actual y que se puede interpretar como la edad del Universo. Así, y de acuerdo con

el valor numérico de H tendremos que

τ ≅1

67.0 kms ∙ Mpc

=s ∙ Mpc

67.0 km

Siendo,1 푚푒푔푎푝푎푟푠푒푐 = 3.085 × 10 km y 1 푠푒푔푢푛푑표 = 0.32 × 10 años

τ ≅0.32 × 10 ∙ 3.085 × 10

67.0

τ ≅ 14734 × 10 푎ñ표푠

En otras palabras, la edad actual del Universo es igual a catorce mil setecientos treinta y

cuatro millones de años, aproximadamente.

6.- BIBLIOGRAFIA

EFECTO DOPPLER RELATIVISTA - Heber Gabriel Pico Jimenez

CORRIMIENTO AL ROJO EN RELATIVIDAD ESPECIAL - Hugo A. fernandez

RELATIVISTIC DOPPLER EFFECT AND THE PRINCIPLE OF RELATIVITY - W. Engelhardt

- http://redshift.vif.com

- http://www.cosmologia.relatividad.org/

- http://www.relatividad.org/