unidad 7 - cinemática relativista 2015

48
TEORÍA DE LOS CAMPOS INGENIERÍA ELÉCTRICA U U U N N N I I I D D D A A A D D D V V V I I I I I I R R R E E E L L L A A A T T T I I I V V V I I I D D D A A A D D D E E E S S S P P P E E E C C C I I I A A A L L L C C C I I I N N N E E E M M M Á Á Á T T T I I I C C C A A A R R R E E E L L L A A A T T T I I I V V V I I I S S S T T T A A A PROFESOR TITULAR: MSc. Ing. Edgardo Cámara AYUDANTE: Ing. Ulises Manassero

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De la materia : Teoria de los Campos

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  • TEORA DE LOS CAMPOS INGENIERA ELCTRICA

    UUUNNNIIIDDDAAADDD VVVIIIIII

    RRREEELLLAAATTTIIIVVVIIIDDDAAADDD EEESSSPPPEEECCCIIIAAALLL

    CCCIIINNNEEEMMMTTTIIICCCAAA RRREEELLLAAATTTIIIVVVIIISSSTTTAAA

    PROFESOR TITULAR: MSc. Ing. Edgardo Cmara

    AYUDANTE: Ing. Ulises Manassero

  • Unidad VII Relatividad Especial 2 de 48

    Teora de Los Campos Ingeniera Elctrica

    U.T.N. Facultad Regional Santa Fe

    1 RELATIVIDAD NEWTONIANA.

    Las relaciones entre las coordenadas de posicin de un punto en

    dos sistemas de referencia (S y S), uno de los cuales se mueve en

    traslacin uniforme con respecto al otro, son muy sencillas.

    Designando x, y, z a las coordenadas de un punto referidas al

    sistema S; se debe especificar adems el tiempo t para que queden

    establecidas las coordenadas de un suceso: x, y, z, t.

    Son ejemplos de sucesos a escala macroscpica: el choque de dos

    cuerpos, el estallido de un explosivo, el paso de la aguja de un reloj por

    un lugar determinado del cuadrante, etc. Son ejemplos a escala

    microscpica: el choque de dos partculas, la absorcin de un fotn, la

    emisin de una partcula , la desintegracin de un neutrn, etc.

    Con respecto al sistema S las coordenadas del mismo suceso se

    designarn x, y, z, t.

    Para simplificar las ecuaciones es conveniente elegir las

    direcciones de los ejes x y x coincidentes con la direccin del

    movimiento y de modo tal que en el instante inicial (t=0) coincidan los

    orgenes de los dos sistemas (00) y los ejes cartesianos de ambos

    (figura VII.1).

    Figura VII.1: Relatividad Newtoniana

    Llamando v a la velocidad constante de traslacin de S en el

    sentido y direccin de x, las ecuaciones de transformacin resultan,

    sencillamente:

  • Unidad VII Relatividad Especial 3 de 48

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    U.T.N. Facultad Regional Santa Fe

    tvxx '

    yy ' Transformacin de Gal ileo

    zz '

    tt '

    tvxx '

    'yy Transformacin de Gal ileo Inversa

    'zz

    'tt

    Donde se ha hecho hincapi en algo que estaba aceptado

    implcitamente en la Fsica Clsica: que el tiempo transcurre por igual

    para los observadores fijos en S o en S (t=t). Estas ecuaciones ya eran

    conocidas por Galileo y el conjunto, que permite transformar x, y, z, t en

    x, y, z, t, l leva su nombre.

    Derivando las ecuaciones de transformacin de Galileo, con

    respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones de transformacin de

    velocidades que pueden sintetizarse en una nica ecuacin vectorial.

    En t = t:

    vdt

    dx

    dt

    dx

    dt

    dx

    '

    '

    ' vVV xx '

    dt

    dy

    dt

    dy

    '

    ' yy VV ' vVV

    '

    dt

    dz

    dt

    dz

    '

    ' zz VV '

    Con una nueva derivacin se obtienen las ecuaciones de

    transformacin de aceleraciones:

    2

    2

    2

    2

    '

    '

    dt

    xd

    dt

    xd xx aa '

    2

    2

    2

    2

    '

    '

    dt

    yd

    dt

    yd yy aa ' aa

    '

    2

    2

    2

    2

    '

    '

    dt

    zd

    dt

    zd zz aa '

    Ahora supngase adems que S sea un sistema inercial, es decir

    uno en el cual se cumplen las leyes de la dinmica newtoniana (o

    simplemente un sistema no acelerado). En tal caso S tambin es un

    sistema inercial, dado que se mueve a una velocidad constante respecto

    a S.

  • Unidad VII Relatividad Especial 4 de 48

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    Puesto que en la Mecnica Clsica se considera constante a la

    masa de una partcula (m=m), independientemente de la velocidad con

    que sea observada, puede escribirse:

    amF '' amF

    Donde F

    y 'F

    son las fuerzas resultantes sobre la partcula de

    masa (m), determinadas por observadores en reposo en S y S,

    respectivamente.

    Se concluye que: 'FF

    Las leyes de la Mecnica Clsica se cumplen en todos los

    sistemas inerciales para los cuales se puede aplicar la transformacin de

    Galileo. Se dice que esas leyes son invariantes para dicha

    transformacin.

    Recordemos los principios de conservacin en la Mecnica Clsica:

    Conservacin de masa (en sistemas cerrados)

    Conservacin de cantidad de movimiento, o de momento (cuando la

    resultante de las fuerzas exteriores es nula).

    Conservacin de la cantidad de movimiento angular, o momento

    angular (cuando el momento resultante de las fuerzas exteriores es

    nulo).

    Conservacin de la energa (considerando todas las formas

    conocidas).

    Estos principios de conservacin se cumplen en todos los sistemas

    inerciales. En consecuencia, ningn experimento de carcter

    mecnico realizado en el marco de un sistema inercial puede

    indicar el movimiento absoluto , es decir con respecto a un sistema de

    referencia privilegiado. Solo se puede determinar la velocidad relativa de

    un sistema respecto a otro pero carece de sentido hablar de movimiento

    absoluto. Este hecho se conoce como relatividad newtoniana.

    En electromagnetismo la situacin era diferente. Sus leyes,

    resumidas en las ecuaciones de Maxwell, se cumpl ian en un sistema de

    referencia especial: el ter. As se designaba en el siglo pasado a un

    medio hipottico que llenaba todo el espacio y que era asiento de las

    perturbaciones de los campos E y B

    . El vaco absoluto no exista. Las

    ondas electromagnticas se interpretaban como vibraciones mecnicas

    del ter.

    Una de las consecuencias de las ecuaciones de Maxwell es que los

    campos electromagnticos pueden propagarse en ausencia de materia, a

    velocidad:

    s

    mc 8

    00

    1099792458,21

  • Unidad VII Relatividad Especial 5 de 48

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    Si son vibraciones del ter sta ser la velocidad medida por un

    observador en reposo respecto a l. En cambio, otro observador en

    movimiento a velocidad v

    determinara para una onda electromagntica

    una velocidad vc

    . Habra posibil idad de poner de manifiesto, por medio

    de experimentos electromagnticos, la existencia de un sistema inercial

    privilegiado, el ter, con respecto al cual se podra determinar el

    movimiento absoluto.

    Esto es debido a que las ecuaciones de Maxwell (la ecuacin de

    una onda electromagntica, es consecuencia de ellas) no conservan su

    forma ante una transformacin galileana, es decir, no quedan invariantes

    (el valor de c no es invariante). El principio de relatividad newtoniano no

    se aplica al electromagnetismo.

    OPCIONAL: REFERENCIAS HISTRICAS.

    Ante esta situacin planteada en las leyes de la fsica, quedaban

    las siguientes opciones:

    1. Aceptar que existe un principio de relatividad para la mecnica,

    pero no para el electromagnetismo. La transformacin galileana es

    correcta pero no deja invariante las leyes electrodinmicas; es posible

    localizar experimentalmente el sistema del ter en el cul se cumplen las

    ecuaciones de Maxwell.

    2. Suponer que existe un principio de relatividad nico, para la

    mecnica y el electromagnetismo, siendo vlida la transformacin

    galileana. Esta transformacin deja invariante las leyes de la mecnica,

    pero no las leyes clsicas del electromagnetismo; por lo tanto, estas

    ltimas deban ser corregidas.

    3. Suponer que existe un principio de relatividad nico, para la

    mecnica y el electromagnetismo, siendo vlidas l as ecuaciones de

    Maxwell. Por lo tanto, deban deducirse nuevas ecuaciones de

    transformacin distintas de las galileanas de modo que dej aran

    invariantes las ecuaciones de Maxwell, y por consiguiente, que dejen

    invariante la velocidad de la luz (en general, de las ondas

    electromagnticas en el vaco). En consecuencia, deban corregirse las

    leyes de la mecnica, de modo que resulten invariantes ante la nueva

    transformacin.

    Este ltimo camino es el que finalmente se sigui pese a la gran

    resistencia de algunos fsicos que no se resignaban a abandonar las leyes

    de Newton.

    2 EXPERIMENTO DE MICHELSON Y MORLEY.

    2.1 FUNCIONAMIENTO DEL INTERFERMETRO DE MICHELSON.

    A fines del siglo XIX, se disearon y discutieron varios

    experimentos de naturaleza electromagntica destinados a revelar el

    sistema de referencia absoluto del ter. A los fsicos de entonces les

  • Unidad VII Relatividad Especial 6 de 48

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    pareca ms lgico aceptar la existencia de un medio en el cual se

    propagasen las ondas electromagnticas rechazando la existencia del

    vaco absoluto, a pesar de que ese medio (el ter) deba tener

    propiedades inslitas, tales como densidad casi nula, viscosidad

    despreciable, y sin embargo, alta rigidez.

    Debido al valor tan alto de la velocidad de la luz (6 rdenes de

    magnitud mayor que la velocidad del sonido en el aire), los experimentos

    para poner de manifiesto el movimiento con respecto al ter implicaban

    lograr velocidades grandes. Se pens pues, aprovechar el movimiento de

    la Tierra en su traslacin alrededor del Sol (v=30 [km/s]). La relacin

    v/c resulta entonces aproximadamente 10 -4.

    Los experimentos de ptica realizados exactos hasta el primer

    orden de la relacin v/c no acusaban el movimiento absoluto de la Tierra.

    Se aceptaba que una prueba que no dejase dudas deba poner de

    manifiesto efectos de segundo orden

    8

    2

    2

    10c

    v, es decir, variacin de

    una parte en 100 millones. Solo experimentos de interferencia luminosa

    podran realizarse con tal precisin.

    Albert Michelson (1852 1931), (figura VII.2) fue quin invent el

    interfermetro ptico de dos brazos, conocido por su nombre. En 1881

    realiz sus primeras experiencias con dicho instrumento tratando de

    localizar el movimiento con respecto al ter. Posteriormente, en 1887,

    trabajando con Edward Morley (figura VII.3) realiz experiencias ms

    precisas que llevaron a abandonar la teora del ter y sentaron las bases

    para corregir las leyes de la Mecnica Clsica.

    Figura VII.2. Albert Michelson Figura VII.3. Edward Morley

    De all la importancia de estos trabajos conocidos como

    Experimento de Michelson-Morley. En 1907 Michelson fue honrado con

    el premio Nbel de fsica por la invencin del interfermetro ptico y las

    investigaciones metrolgicas con dicho instrumento.

  • Unidad VII Relatividad Especial 7 de 48

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    2 l2

    1

    l1

    Espejo E1

    Velocidad del viento del ter

    Espejo semiplateado Anteojo

    Observador

    Espejo E2

    Velocidad de desplazamiento del laboratorio

    Fuente de luz monocromtica

    Figura VII.4. Interfermetro de Michelson

    En la figura VII.4 se esquematiza el interfermetro de Michelson .

    Una fuente de luz monocromtica enva un rayo de luz hacia un espejo

    semiplateado inclinado 45. En este espejo, un 50 % de la superficie se

    comporta como espejo (esta plateado), reflejando la luz y el otro 50 %

    deja pasar la luz como un vidrio comn. Las zonas plateadas y las otras

    se distribuyen en franjas contiguas. As, la reflexin parcial en el espejo

    divide el rayo luminoso en dos rayos de igual intensidad. Uno de ellos

    sigue la direccin original recorriendo el brazo 1 del interfermetro. El

    otro se refleja en direccin normal recorriendo el brazo 2. Ambos rayos

    se reflejan en los espejos E1 y E2, respectivamente, con incidencia

    normal, y vuelven sobre su camino.

    Al l legar nuevamente a la placa inclinada, una parte del rayo 1 se

    refleja y se dirige a un anteojo ptico (telescopio) que emplea el

    observador. Tambin una parte de la energa del rayo 2 sigue ese camino

    despus de atravesar la placa semiplateada y continuar en la misma

    direccin.

    Si los caminos pticos l1 y l2 fuesen exactamente iguales, las dos

    ondas luminosas deben llegar en fase al observador y se refuerzan

    (interferencia constructiva) mostrando un campo i luminado. En el caso

    de que el espejo E1 se corra alargando l1 en un cuarto de longitud de

    onda, el camino ptico del rayo 1 vara (se alarga) en /2 y los dos rayos

    llegan al observador en oposicin de fase mostrando un campo oscuro.

    Otro desplazamiento de /4 del espejo E1 vuelve a producir un campo de

    observacin iluminado, pues nuevamente estn las ondas en fase. Cada

    desplazamiento /2 de uno de los espejos, en la direccin del brazo

    correspondiente restituye la iluminacin observada al valor original.

    Pero en realidad los espejos no estaban exactamente normales lo

    cual equival a a intercalar una delgada cua de aire al haz de rayos

    v

  • Unidad VII Relatividad Especial 8 de 48

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    paralelos que se refleja en uno de ellos. Como consecuenc ia el campo de

    observacin no aparece uniformemente iluminado sino que presenta un

    patrn de interferencias consistente en franjas claras y oscuras

    paralelas. Los desplazamientos pueden medirse con exactitud debido a

    un retculo en el plano focal del ocular del telescopio. Medidas

    cuidadosamente repetidas y con el auxilio de un micrmetro ocular,

    permiten apreciar corrimientos tan pequeos como 1/100 de franja, lo

    que representa apreciar desplazamientos del espejo mvil del orden de

    /200 (3x10 -9[m]) (figura VII.5).

    Figura VII.5. Observacin de las ondas de luz incidentes en el telescopio del

    interfermetro

    El interfermetro se mont en el laboratorio de modo que uno de

    los brazos (el brazo 1 en la figura VII.4) coincidiese en ese momento con

    la direccin del movimiento de traslacin de la Tierra a velocidad v. Si el

    ter no es arrastrado por la Tierra, el rayo 1 recorre la longitud l1 una

    vez contra la corriente del ter y otra vez a favor de la corriente del

    ter.

    La velocidad de la luz vale c con respecto al ter, de modo que el

    tiempo empleado por el rayo 1 en ir y volver es:

    2

    2

    1

    22122111

    1

    1

    122

    c

    vc

    l

    vc

    cl

    vc

    vcvcl

    vc

    l

    vc

    lt

    2

    11

    1

    12

    c

    lt (VII.1) donde

    410c

    v

    Se ha despreciado aqu el movimiento del laboratorio debido al

    movimiento de rotacin del planeta, pues es un orden menor que v (en el

    ecuador no alcanza a 0,5 [km/s]).

  • Unidad VII Relatividad Especial 9 de 48

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    En la figura VII.6 se muestra la trayectoria del rayo 2 para un

    observador en reposo con respecto al ter.

    l2

    v.t2

    E2

    Figura VII.6. Trayectoria del rayo 2

    El rayo va hacia el espejo E2 a velocidad c, siguiendo un camino

    inclinado y al reflejarse vuelve a encontrar la placa semiplateada que

    mientras tanto se ha desplazado una distancia 2tv .

    Por consiguiente, el tiempo para ir y volver, del rayo 2, resulta:

    c

    tvl

    t

    2

    22

    2

    2

    22

    Observado desde el ter, donde la velocidad de la luz es c.

    Operando para despejar t2:

    22222

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2 44 lvcttvltc

    2

    2

    22

    22

    1

    122

    c

    vc

    l

    vc

    lt

    2

    22

    1

    12

    c

    lt

    (VII.2)

    La diferencia entre los tiempos empleados para los dos rayos es:

    2

    1

    2

    212

    11

    2

    ll

    cttt

    Si ahora se hace girar el interfermetro 90, de modo que sea la

    direccin del brazo 2 la que coincida con la direccin del viento del

    ter, se invierten las situaciones de los dos brazos:

    2

    11

    1

    12'

    c

    lt

    2

    22

    1

    12'

    c

    lt

  • Unidad VII Relatividad Especial 10 de 48

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    La diferencia entre los tiempos resulta ahora:

    2

    1

    2

    212

    11

    2'''

    ll

    cttt

    El interfermetro puede poner de manifiesto la diferencia tt ' ,

    producida por la rotacin del instrumento:

    22

    12

    2

    1

    2

    2

    2

    1

    2

    2

    1

    1

    1

    12

    11

    2

    11

    2'

    c

    llll

    c

    ll

    ctt

    Puesto que 12 pueden hacerse las aproximaciones:

    2

    21

    1

    1

    y 2

    2 2

    11

    1

    1

    Resulta as:

    2

    2

    2

    111

    2'

    2

    122212 c

    ll

    c

    lltt

    2

    2

    12'c

    v

    c

    lltt

    (VII.3)

    Si la diferencia entre los intervalos de tiempos es igual a un

    perodo de oscilacin de la onda, el desplazamiento del patrn de

    interferencia es de una franja. Por lo tanto, el nmero de franjas N que

    se corren frente al retculo es:

    2

    2

    12'

    c

    v

    Tc

    ll

    T

    ttN

    2

    2

    12

    c

    vllN

    (VII.4)

    Donde: Tc

    En la experiencia de Michelson y Morley se haban logrado brazos

    de interfermetro muy largos ( ][1121 mll ), haciendo recorrer a los rayos

    un camino en zig zag, en cada brazo, reflejndose en espejos. P ara una

    fuente de luz de 5900[A] (luz de sodio) deba observarse un

    corrimiento de:

    franjasN 37,0101059,0

    22 246

    Es decir, menos de media franja, pero perfectamente medible dada

    la sensibil idad del instrumento. Para evitar vibraciones y variaciones de

    las longitudes de los brazos al girar el pesado interfermetro, se mont

    el instrumento sobre un bloque de granito que flotaba en una cuba con

    mercurio. A pesar de las medic iones cuidadosas realizadas repetidamente

    a lo largo del da (para tener en cuenta el desplazamiento debido a la

    rotacin de la Tierra) y en distintas estaciones del ao (para tener en

  • Unidad VII Relatividad Especial 11 de 48

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    cuenta un posible movimiento de todo e l sistema solar), no se pudo

    detectar el desplazamiento esperado.

    El resultado nulo (N=0) de la experiencia de Michelson y Morley

    parece eliminar totalmente la posibil idad de la existencia de un sistema

    de referencia absoluto (el sistema del ter). Una prueba tan contundente

    necesitaba ser confirmada y es por ello que durante ms de 50 aos los

    fsicos repitieron el experimento con variaciones que les permitieron

    asegurar mayor precisin. Incluso experimentos llevados a cabo en 1958

    util izando microondas demostraron que si estaba presente el viento del

    ter, este deba ser menor de un milsimo de la velocidad orbital de la

    Tierra.

    OPCIONAL (2.2 a 2.4): REFERENCIAS HISTRICAS.

    No obstante, para salvar el ter y explicar el resultado nulo de

    estas experiencias otros cientficos sugirieron varias hiptesis

    adicionales, todas las cuales pueden reunirse en tres grupos:

    1. Hiptesis de contraccin de Fitzgerald-Lorentz.

    2. Hiptesis del arrastre del ter.

    3. Hiptesis de la emisin.

    2.2 HIPTESIS DE CONTRACCIN DE FITZGERALD-LORENTZ.

    Sugerida por Fitzgerald en 1882 fue despus ampliada por Lorentz.

    Explicaba el resultado nulo de la experiencia de Michelson y Morley

    postulando que todos los cuerpos se contraen en la direccin del

    movimiento absoluto (respecto al ter), por un factor:

    2

    1

    c

    v

    As, si l1* y l2* representan los brazos del interfermetro en el

    caso de estar en reposo respecto al ter, cuando el brazo 1 coincide con

    la direccin del movimiento:

    2

    11 1* ll y *22 ll

    Entonces resulta:

    2

    12

    2

    1

    2

    2

    1

    **2

    1

    *

    1

    *2

    ll

    c

    ll

    ct

    Despus de rotar 90 el instrumento:

    2

    22 1* ll y *11 ll

    Resultando:

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    2

    12

    2

    1

    2

    2

    1

    **2

    1

    *

    1

    *2'

    ll

    c

    ll

    ct

    Por lo tanto 0' tt y no deba observarse ningn corrimiento de

    las franjas de interferencia.

    Lorentz explicaba la contraccin con una complicada teora

    electrnica de la materia, que tambin predeca otros resultados que no

    pudieron confirmarse.

    Adems, realizando la experiencia con un interfermetro de brazos

    desiguales deba esperarse an un corrimiento del patrn de

    interferencia al variar la velocidad v con respecto al ter, por efecto de

    la rotacin de la Tierra (cada 12 horas), o por desplazamiento del

    sistema solar (a lo largo del ao). Estos efectos no fueron nunca

    observados.

    2.3 HIPTESIS DEL ARRASTRE DEL TER.

    Propone que el ter es arrastrado por los cuerpos en movimiento,

    de modo que el experimento de Michelson-Morley estaba realizndose

    siempre en presencia de un ter local quieto con respecto al observador.

    De all el resultado negativo.

    Dos efectos contradicen la hiptesis del arrastre del ter:

    aberracin estelar y coeficiente del arrastre de Fresnel.

    La aberracin estelar era explicada por el movimiento de

    traslacin de la Tierra orbitando alrededor del Sol. As la direccin en la

    que se observa una estrella con respecto a coordenadas astronmicas

    vara a lo largo del ao al componerse la velocidad c

    de la luz con la

    velocidad v

    del ter. En el transcurso de un ao la direcc in en la que

    se recibe la luz de una estrella describe un cono cuya semiabertura es

    alrededor de 20 segundos de arco. Si el ter fuese arrastrado por la

    Tierra no debera observarse ninguna aberracin.

    El otro efecto est relacionado con la propagacin de las ondas

    electromagnticas en medios en movimiento. Los experimentos llevados

    a cabo por Fizeau en 1851, por Michelson y Morley en 1886, y por otros,

    no concuerdan con la teora de que el medio en movimiento arrastre al

    ter.

    2.4 HIPTESIS DE LA EMISIN.

    Entre los intentos hechos por mantener la hiptesis del ter

    modificando las leyes del electromagnetismo, a fin de explicar el

    resultado de Michelson y Morley, merecen destacarse aquellos que

    suponen que la velocidad de la luz en el ter no es invariante sino que

    depende de la velocidad de la fuente de emisin.

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    Estas teoras basadas en la emisin de la luz fueron refutadas por

    dos tipos de observaciones bien confirmadas: la observacin de las

    estrellas dobles y la experiencia de Michelson y Morley empleando un a

    fuente de luz exterior a la Tierra.

    Las estrellas dobles constituyen un sistema de dos cuerpos

    mantenidos prximos por la atraccin gravitatoria, mientras giran

    alrededor del centro de masa del conjunto. Si la velocidad de la luz que

    nos envan dependiese de la velocidad de la estrella, en algn momento,

    la luz de una de ellas nos llegara antes que la luz de su compaera, y el

    fenmeno no parecera obedecer a las leyes de la Mecnica Celeste.

    Otra forma de poner a prueba esta hiptesis es usar una fuente de

    luz extraterrestre. En 1924 se repitieron las experiencias con el

    interfermetro empleando la luz del sol como fuente luminosa y tambin

    la luz de una estrella. No se verific ningn cambio en el patrn de

    interferencia.

    3 TEORA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL.

    La teora de la relatividad emitida en 1905 por Albert Einstein

    (1879-1955, figura VII.7) fue denominada luego Teora de la Relatividad

    Especial, para distinguirla de la Teora General

    de la Relatividad enunciada por el mismo

    cientfico en 1915, que es ms completa y

    considera la distorsin del espacio que produce

    la presencia de la materia debido a los efectos

    gravitatorios.

    Supone la existencia de un principio de

    relatividad nico para las leyes de la Mecnica

    y del Electromagnetismo y admite que las

    leyes conocidas para los fenmenos

    electromagnticos, resumidas en las

    ecuaciones de Maxwell, son correctas.

    Fig. VII.7. Albert Einstein

    Una de las consecuencias del Electromagnetismo es que las

    perturbaciones de los campos E y B

    pueden transmitirse en el vaco a

    una velocidad dada por

    00

    1

    c , conocida como velocidad de la luz en

    el vaco, aunque es una constante para todo tipo de onda

    electromagntica.

    Dado que la transformacin de Galileo no deja invariante la

    estructura de las ecuaciones de Maxwell, se proponen otras ecuaciones

    de transformacin entre sistemas inerciales que mantienen invariantes

    estas leyes y por lo tanto el valor de la velocidad de la luz en el vaco.

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    Esto produce resultados que difieren generalmente de los que se

    obtenan en la Cinemtica Clsica. Denominaremos a este estudio

    Cinemtica Relativista.

    Adems, debido a que las leyes de la mecnica no quedan

    invariantes con las nuevas transformaciones relativistas, se deben

    modificar las leyes referentes a los efectos dinmicos para que el

    principio de la relatividad se aplique tambin en Mecnica.

    Denominaremos a esta segunda parte Dinmica relativista.

    La teora Especial de la Relatividad puede enunciarse con dos

    postulados generales:

    Postulado 1: todas las leyes de la fsica son invariantes para

    observadores ubicados en diferentes sistemas inerciales.

    Postulado 2: la velocidad de la luz en el vaco es invariante

    para todos los observadores en sistemas inerciales,

    independientemente del movimiento de la fuente emisora.

    El primer postulado implica que debe abandonarse la hiptesis de

    la existencia del ter pues no existe ningn sistema de referencia

    privilegiado.

    Ningn experimento de carcter mecnico, electromagntico,

    ptico, termodinmico, qumico o atmico puede poner de manifiesto el

    movimiento absoluto.

    El segundo postulado es una consecuencia de admitir la validez de

    las ecuaciones de Maxwell que en el vaco dan para los campos E y B

    la

    relacin: 2

    2

    00

    2

    t

    uu

    (ecuacin de la onda), es decir, la existencia

    de ondas electromagnticas con una velocidad nica:

    00

    1

    c

    El cumplimiento de estos postulados se logra admitiendo que el

    tiempo no transcurre por igual para diferentes observadores inerciales y

    revisando el concepto de simultaneidad de dos sucesos.

    4 CONCEPTO DE SIMULTANEIDAD.

    En un sistema inercial puede establecerse una escala de tiempos

    t ubicando relojes idnticos quietos en el sistema de referencia, en

    diferentes lugares del espacio, sincronizados con seales luminosas entre

    los distintos puntos, teniendo en cuenta el tiempo para llevar la seal a

    la velocidad invariante c.

    En otro sistema inercial la escala de tiempos t ser diferente y las

    nuevas ecuaciones de transformacin para las coordenadas de un suceso

    x y z t deben contemplar la variacin de esta cuarta coordenada.

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    En la Fsica Clsica se admite una escala temporal nica (t=t) y el

    concepto de simultaneidad de dos sucesos A y B surge claramente.

    Los dos sucesos son simultneos cuando ocurren en el mismo

    tiempo (tA=tB) y en tal caso son tambin simultneos para los

    observadores ubicados en otros sistemas inerciales.

    Pero en la Fsica Relativista donde cada sistema inercial tiene su

    propia escala de tiempos el concepto de simultaneidad adquiere carcter

    relativo.

    Dos sucesos que ocurren en el mismo lugar (x A=xB; yA=yB; zA=zB)

    son simultneos si ocurren en el mismo tiempo (t A=tB), es decir,

    coinciden las cuatro coordenadas x, y, z, t de los dos eventos.

    Pero si los sucesos A y B acaecen en lugares diferentes pueden ser

    simultneos para un observador inercial (tA=tB) y estar desfasados en el

    tiempo para otro observador inercial (t A tB ). La simultaneidad es

    relativa.

    Un ejemplo puede aclarar estas ideas. Un observador en reposo en

    un sistema inercial puede asegurar que dos sucesos A y B, ocurridos en

    lugares diferentes, son simultneos con el siguiente mtodo: Al

    producirse cada suceso se emite una seal luminosa en cada punto A y B,

    en direccin al otro (f igura VII.8). Si ambas seales llegan en el mismo

    momento al punto medio O del segmento AB diremos que los sucesos A y

    B fueron simultneos (tA=tB).

    BAO

    Figura VII.8. Seales de los sucesos A y B

    Ahora consideremos dos reglas: una fija en el sistema inercial S y

    la otra fija en el sistema inercial S que se desplaza a la velocidad v

    respecto al primero (figura VII.9).

    A

    A

    B

    B

    v

    O

    O

    S

    S

    A

    A

    B

    B

    O

    O

    S

    S

    A

    A

    B

    B

    O

    O

    S

    S

    Figura VII.9. Sistemas inerciales de los sucesos A y B

    Los destellos luminosos en AA y en

    BB son simultneos para S

    La onda de B llega primera a O. Para S

    el suceso B fue antes que A. tB

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    En los puntos AA y BB se producen dos destellos luminosos y

    se espera la llegada de las luces a los puntos medios O y O de ambas

    reglas.

    Cuando, para el observador en S, coinciden simultneamente las

    marcas A y B de su regla con las marcas A y B de la regla mvil, se

    emiten dos destellos en direccin al punto medio O.

    La onda luminosa procedente de B alcanza al punto medio O de la

    regla mvil antes que la onda originada en A. El observador en S deduce

    que los sucesos no fueron simultneos sino que el destello en B ocurri

    antes que el destello en A (tB

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    5 ECUACIONES DE TRANSFORMACIN RELATIVISTA.

    Denominaremos x, y, z, t a las coordenadas de un suceso referidas

    al sistema inercial S y x, y, z, t a las coordenadas del mismo suceso

    en el sistema S que se mueve a velocidad constante v

    con respecto al

    anterior (figura VII.11).

    y

    x

    z

    S

    z

    y

    x

    S

    V

    O

    O

    Figura VII.11. Simultaneidad de los sucesos en el sistema inercial S

    Elegiremos las direcciones de los ejes x y x coincidentes con los

    de v

    y adems se ubicaran los orgenes de las ternas O y O, de manera

    tal que coincidan para t=0. Para este suceso particular (OO) tambin

    se eligir t=0.

    Es decir: cuando t=0 y t=0 O coincide con O

    Buscaremos las ecuaciones que permiten calcular las coordenadas

    x, y, z, t en funcin de las coordenadas, x, y, z, t.

    Para un observador en el sistema S el punto O se aleja a

    velocidad v

    . Para un observador en S el punto O se aleja a velocidad -

    v

    .

    Las ecuaciones de transformacin inversa que permiten calcular

    las coordenadas de un suceso en S a partir de sus coordenadas en S

    deben tener la misma forma, obtenindose a partir de las ecuaciones de

    transformacin directa intercambiando x x, t t y cambiando v por

    v.

    Por lo tanto deben ser ecuaciones lineales para que la

    transformacin inversa tambin lo sea. Escribiremos:

    tazayaxax 14131211'

    tazayaxay 24232221'

    tazayaxaz 34333231'

    tazayaxat 44434241'

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    A bajas velocidades debe coincidir con la transformacin de Galileo

    porque la Mecnica Clsica da resultados coincidentes con las

    observaciones mientras se estudien los movimientos de cuerpos a

    velocidades pequeas comparadas con c.

    Si v=0 144332211 aaaa y 0ija (ij)

    Por razones de simetra muchos de estos coeficientes deben ser

    nulos.

    Por ejemplo: todos los sucesos que simultneamente para S

    ocurren en un plano normal al eje x deben aparecer para S en un plano

    normal al eje x. Esto significa que 012 a y 013 a

    La escala de tiempos en S difiere de la escala de tiempos en S,

    pero la relacin entre t y t no debe depender de las coordenadas y o z,

    lo que significa 042 a y 043 a .

    No debemos esperar que la coordenada y cambie si variamos x, z

    o t. Por ello: 021 a , 023 a y 024 a . Entonces resulta 22' ay y, por lo cual

    debemos aceptar que 122 a si tenemos la misma medida en S y S.

    Por un razonamiento similar se concluye que: 0343231 aaa y que

    133 a .

    Resumiendo: taxax 1411'

    yy '

    zz '

    taxat 4441'

    El origen de coordenada O est en reposo en S y se mueve con

    velocidad constante para S. Para todos los sucesos ocurridos en O: x=0

    y x=v.t.

    Entonces: tatvaO 1411 (para O)

    Debe cumplirse: vaa 1114

    Eliminando 14a en el sistema de ecuaciones, resulta:

    tvxax 11'

    taxat 4441'

    Ahora haremos intervenir el segundo principio de la teora: la

    constancia de la velocidad de la luz en el vaco c, para todos los

    observadores inerciales.

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    En el instante inicial (t=0) un rayo luminoso parte de 0

    (coincidente con O) y despus de un recorrido recto en el vaco llega al

    punto P, en el instante t (figura VII.12).

    y

    x

    z

    S

    z

    y

    x

    S

    V

    O

    O

    P (x,y,z)

    (x,y,z)

    r

    r

    Figura VII.12. Simultaneidad de los sucesos en el sistema inercial S

    El suceso llegada al punto P tiene para el observador en S las

    coordenadas x, y, z, t. Para l, el trayecto seguido por la luz est

    indicado por el vector r

    : 2222 zyxr

    Para un observador en S la direccin del rayo de luz est indicada

    por el vector 'r

    : 2222 '''' zyxr

    Y las coordenadas del suceso de llegada son x, y, z, t.

    Pero, para ambos observadores la velocidad de la luz es c:

    tcr '' tcr

    Para S: 22222 tczyx (VII.5)

    Para S: 22222 '''' tczyx (VII.6)

    Reemplazando las ecuaciones de transformacin en VII.6:

    2444122222

    11 taxaczytvxa

    Desarrollando:

    222

    44

    2

    4441

    222

    41

    22222

    11

    2

    11

    22

    11 22 ctactxaaxcazytvatvxaxa

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    Restando a esta igualdad la ecuacin VII.5, agrupando los

    trminos que tienen los factores x2, x.t y t2 y extrayndolos como

    factores comunes, se obtiene:

    0221 4422221124441221124122112 accvataacvatxacax

    Para que esta igualdad se verifique con cualquiera de los valores

    de x y de t, deben ser nulos los parntesis:

    012

    41

    22

    11 aca

    0444122

    11 aacva

    0442222

    11 accva

    Las incgnitas son los coeficientes 11a , 41a y 44a . Aunque no es un

    sistema de ecuaciones lineales es posible calcular los coeficientes

    resolvindolas (ver apndice VII.1) y se obtiene:

    24411

    1

    1

    aa

    Donde para simplificar se ha designado como a la razn v/c.

    2241

    1

    1

    c

    va

    Por lo tanto, las ecuaciones de transformacin relativista resultan:

    21'

    tvxx yy ' zz '

    2

    2

    1'

    xc

    vt

    t (VII.7)

    Estas son las ecuaciones de Transformacin directa.

    Podemos observar que cuando

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    Tabla VII.1. Ecuaciones de Transformacin Relativista, vl idas para v paralela

    al eje x.

    Transformacin Directa Transformacin Inversa

    21'

    tvxx

    21

    ''

    tvxx

    yy ' 'yy

    zz ' 'zz

    2

    2

    1'

    xc

    vt

    t 2

    2

    1

    ''

    xc

    vt

    t

    Estas relaciones son conocidas como Ecuaciones de Transformacin

    de Lorentz, siendo Poincar quin les dio originalmente el nombre.

    Hendrick Lorentz (1853 1928, figura VII.13), fsico terico

    dans, se dedic al desarrollo del electromagnetismo desde el punto al

    cual haba llegado Maxwell. Desarroll una teora electrnica que

    contribuy a explicar el efecto Zeeman, compartiendo con este fsico el

    premio Nbel de fsica en 1902. Sus trabajos sobre los fenmenos

    pticos en medios en movimiento sirvieron de base

    a la teora de la relatividad. En 1895 introdujo la

    idea del tiempo local y en 1903 desarroll las

    ecuaciones de transformacin que llevan su nombre,

    para preservar la forma de las leyes del

    electromagnetismo.

    Sin embargo, daba a las ecuaciones un

    significado distinto al que les dio Einstein,

    considerando a v como la velocidad con respecto a

    un sistema de ter absoluto.

    Fig. VII.13. Hendrick Lorentz

    6 ALGUNAS CONSECUENCIAS DE LAS ECUACIONES DE

    TRANSFORMACIN DE LORENTZ.

    6.1 VELOCIDAD DE LA LUZ COMO VELOCIDAD LMITE.

    Las ecuaciones de Lorentz carecen de significado fsico si >1, es

    decir si v>c, pues se obtienen valores complejos al hacerse negativo el

    radicando de 21 .

    Esto significa que nunca podremos observar desde un sistema

    inercial S a otro observador en S movindose ms rpido que la luz.

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    El valor de c aparece como lmite de las velocidades que se pueden

    observar en los cuerpos, y este lmite es el mismo en todos los sistemas

    inerciales.

    Ms adelante, en Dinmica Relativista, veremos que cuando se

    pretende acelerar una partcula hasta alcanzar la vel ocidad de la luz,

    aparece una imposibilidad fsica pues la energa cintica crece tendiendo

    a infinito cuando v tiende a c.

    6.2 CONTRACCIN FITZGERALD-LORENTZ.

    Consideraremos una varil la en reposo sobre el eje x del sistema

    S. Las coordenadas x1 y x2 permiten obtener la longitud de ella para

    S :

    ''' 12 xxx

    Un observador en el sistema S mide la longitud de la varil la que

    para l se mueve a velocidad v. Para eso lee simultneamente las

    coordenadas x1 y x2 de los extremos y calcula:

    12 xxx

    Empleando la primera ecuacin de Lorentz:

    2

    11

    2

    2212

    11'''

    tvxtvxxxx

    Pero, como las lecturas de x1 y x2 han sido hechas

    simultneamente para S: t2=t1. Entonces:

    22

    12

    11'

    xxxx

    21' xx

    La longitud de la varil la medida desde S se contrae por un factor

    21 con respecto a la longitud medida desde S donde est en reposo.

    Las dimensiones en sentidos transversales a v

    no varan debido a que

    y=y, z=z.

    Cada observador que mida la var il la en movimiento obtiene una

    longitud distinta, siempre menor que la longitud en el sistema donde el

    cuerpo est en reposo que se llama longitud en reposo o longitud

    propia.

    0' Lx longitud en reposo

    Lx longitud en movimiento

    2

    0 1 LL (VII.9)

    Este fenmeno es conocido como contraccin de Fitzgerald -

    Lorentz, pues ambos cientficos propusieron esta frmula para explicar

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    los resultados de las experiencias de Michelson y Morley , como un

    acortamiento de uno de los brazos del interfermetro.

    6.2.1 EJEMPLO VII.1.

    Un avin se mueve a 2160 [km/h] (supersnico). Si la longitud en

    reposo es 20 [m], en cunto aparece contrado cuando desde tierra se

    lo observa en movimiento?

    Resolucin:

    s

    m

    s

    m

    h

    kmv 600

    3600

    1021602160

    3

    6

    81000,2

    /103

    /600

    sm

    sm

    c

    v

    122 104

    Usaremos la aproximacin: 22

    2

    111

    22

    11111

    2

    0

    2

    0

    2

    00

    LLLLLL

    4,0100,41000,220 1112 mmL

    Vemos as que an a velocidades altas en el mundo macroscpico,

    la contraccin relativista resulta inapreciable debido al bajo valor de y

    ms an de 2.

    6.3 DILATACIN DEL TIEMPO.

    Consideremos el intervalo de tiempo medido por el observador en

    S entre dos sucesos que se producen en el mismo lugar (x 1 =x2 ), como

    ser el intervalo t medido por un reloj en reposo en S, o la vida de una

    partcula subatmica observada en reposo (desde que se forma hasta su

    posterior desintegracin).

    Para otro observador en el sistema S los dos sucesos ocurren en

    lugares diferentes, y el tiempo que mide t resulta diferente.

    ''' 12 ttt 12 ttt

    Con las ecuaciones de transformacin inversa de Lorentz se

    obtiene:

    2

    121

    2

    222

    12

    1

    ''

    1

    ''

    xc

    vtxc

    vtttt

    Pero como x2 =x1 pues para S los dos sucesos ocurren en el

    mismo lugar: 22

    12

    1

    '

    1

    ''

    tttt

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    Cada observador en un sistema inercial distinto que mida el

    tiempo t obtendr valores diferentes segn su velocidad respecto a S

    (donde x2 =x1 ). Llamando:

    0' tt Tiempo propio (en reposo)

    2

    0

    1

    tt (VII.10) Dilatacin del tiempo

    El observador en S que estudie la marcha de un reloj que se

    mueve a velocidad v, encuentra que la rapidez de funcionamiento del

    reloj ha disminuido en un factor 21 y se atrasa con respecto a los

    relojes en S. Lo mismo sucede con todos los fenmenos que se observen

    desde S. Ver al observado r en S respirando ms lentamente, con un

    ritmo cardaco menor, y envejeciendo ms despacio.

    6.3.1 EJEMPLO VII.2.

    Las partculas (muones) se forman en la atmsfera como

    productos secundarios, a algunos kilmetros sobre el nivel del mar. Su

    vida media propia vale s60 102,2 .

    Calcular la vida media medida desde la Tierra para muones que

    vienen a velocidad 0,99 c.

    Resolucin:

    99,0c

    v 00 t (vida propia)

    t (vida medida en movimiento)

    sst

    t

    6,151056,109,7

    141,099,011

    5

    00

    2

    0

    2

    0

    Al multiplicarse por 7 la vida media de las partculas que se

    mueven a casi la velocidad de la luz, las observaremos recorrer una

    distancia media de 4,6 [km] antes de desintegrarse.

    7 TRANSFORMACIN RELATIVISTA DE VELOCIDADES.

    Si una partcula se mueve con velocidad V

    con respecto a un

    sistema inercial S, sus componentes son:

    dt

    dxVx

    dt

    dyVy

    dt

    dzVz

    Para un observador del sistema S, tambin inercial, la partcula

    tiene una velocidad 'V

    cuyas componentes son:

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    '

    ''

    dt

    dxVx

    '

    ''

    dt

    dyVy

    '

    ''

    dt

    dzVz

    Pero, en la transformacin de Lorentz:

    21'

    dtvdxdx dydy ' dzdz '

    2

    2

    1'

    dxc

    vdtdt

    Reemplazando:

    dxc

    vdt

    dtvdx

    dt

    dxVx

    2

    '

    ''

    x

    xx

    Vc

    v

    vVV

    21

    ' (VII.11)

    dxc

    vdt

    dy

    dt

    dyVy

    2

    21

    '

    ''

    x

    y

    y

    Vc

    v

    VV

    2

    2

    1

    1'

    (VII.12)

    dxc

    vdt

    dz

    dt

    dzVz

    2

    21

    '

    ''

    x

    z

    z

    Vc

    v

    VV

    2

    2

    1

    1'

    (VII.13)

    Estas son las ecuaciones relativistas de transformacin de

    velocidades. Para obtener la transformacin inversa puede seguirse el

    mismo procedimiento que con la transformacin inversa de Lorentz. Ms

    sencillo es intercambiar las coordenadas 'xx , 'yy , 'zz , 'tt y

    cambiar el signo de v.

    En la tabla siguiente se dan las ecuaciones de ambas

    transformaciones.

    Tabla VII.2. Ecuaciones de Transformacin de Velocidades, vl idas para v

    paralela al eje x.

    Transformacin Directa Transformacin Inversa

    x

    xx

    Vc

    v

    vVV

    21

    '

    '1

    '

    2 x

    xx

    Vc

    v

    vVV

    x

    y

    y

    Vc

    v

    VV

    2

    2

    1

    1'

    '1

    1'

    2

    2

    x

    y

    y

    Vc

    v

    VV

    x

    z

    z

    Vc

    v

    VV

    2

    2

    1

    1'

    '1

    1'

    2

    2

    x

    z

    z

    Vc

    v

    VV

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    Puede observarse que cuando y las razones Vx/c Vx /c son

    pequeas, las ecuaciones se convierten en las de la Transformacin de

    Galileo.

    Para una partcula que se mueva en direccin paralela al eje x

    (Vy =Vz =0):

    '1

    '

    2 x

    xx

    Vc

    v

    vVV

    Se observa la diferencia con la suma de velocidades de la

    transformacin de Galileo:

    vVV xx '

    Supngase que se trate de un rayo de luz que se observa en el

    sistema S con velocidad Vx =c.

    Para un observador en S: c

    c

    v

    c

    vc

    cc

    v

    vcVx

    1

    1

    12

    La velocidad en S no es c+v sino que sigue siendo c (invariante).

    Si adems el sistema S se mueve a velocidad c con respecto a S:

    cVx ' cv cc

    cc

    c

    ccVx

    2

    2

    12

    Nunca se supera el valor lmite que es c.

    Con respecto a las componentes transversales (V y, V z) de la

    velocidad de un cuerpo observado desde S, stas estn relacionadas

    tanto con las componentes transversales (V y , V z ) como con la

    componente paralela (V x ) de la velocidad en S:

    '1

    1'

    2

    2

    x

    y

    y

    Vc

    v

    VV

    '1

    1'

    2

    2

    x

    z

    z

    Vc

    v

    VV

    Ninguno de los observadores es propio. Si elegimos un sistema S

    en el cual Vx =0, es decir donde el cuerpo se mueva en un plano normal

    a x, las componentes transversales en S resultan:

    21' yy VV 21' zz VV

    Pero, si no hay contraccin de longitud en el sentido transversal,

    cul es la razn del factor 21 ?

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    Debemos recordar que la velocidad se define en funcin de las

    magnitudes espacio y tiempo y aunque no haya contraccin transv ersal

    del espacio, el efecto de la dilatacin del tiempo persiste.

    7.1 EJEMPLO VII.3.

    Una nave espacial de ciencia ficcin se nueve a 0,5 c con respecto

    a la Tierra. Otra nave espacial se mueve tambin a 0,5 c respecto a la

    Tierra, pero en direccin opuesta.

    Calcular la velocidad de una de las naves observada desde la otra.

    Resolucin:

    Ubicaremos el sistema S en Tierra y el sistema S en la primera

    nave (figura VII.14). Desde ambos sistemas se observa la nave 2.

    1

    S

    S

    2

    Figura VII.14. Representacin grfica del probl ema

    ?'xV cv 5,0 cVx 5,0

    Calculando Vx :

    c

    ccc

    Vc

    v

    vVV

    x

    xx

    8,0

    25,015,05,01

    5,05,0

    1

    '

    2

    La segunda nave se acerca a la primera a velocidad relativa del

    80% de c. Si se hubiera ubicado el sistema S en la nave 2 y el sistema S

    en la nave 1, los tripulantes de ambas naves observan un punto sobre la

    Tierra:

    cVx 5,0' ?v cVx 5,0

    Despejando v de:

    '1

    '

    2 x

    xx

    Vc

    v

    vVV

    Se obtiene:

    cccc

    Vc

    V

    VVv

    x

    x

    xx

    8,0

    25,015,05,01

    5,05,0

    '1

    '

    2

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    La nave 1 (sistema S) se acerca a la nave 2 (sistema S) a

    velocidad 0,8 c.

    8 EFECTO DOPPLER RELATIVISTA.

    Johann Doppler (1803-1853) (figura VII.15) fue quien primero

    explic este fenmeno (el efecto que lleva su

    nombre), en relacin con el sonido.

    Las ondas del sonido viajan en el aire a una

    velocidad c=340 [m/s] (a 0 [C]), prcticamente

    independiente de la frecuencia 0 . Si el observador o

    la fuente sonora se mueven en el aire con

    componente de velocidad v, segn la direccin entre

    ambos, el observador percibe una frecuencia

    diferente de aquella conque fue emitido ( 0 )

    Fig. VII.15. Johann Doppler

    Deben considerarse dos casos l igeramente diferentes:

    Primer caso: el observador se aleja a velocidad v de la fuente

    de sonido que est en reposo con respecto al aire (figura

    VII.16). Llamamos c en este caso a la velocidad de la onda.

    c

    v101

    Figura VII.16. Observador alejndose de la fuente de sonido

    Segundo caso: la fuente de sonido se aleja a velocidad v del

    observador que permanece en reposo en el aire (figura

    VII.17).

    )1(

    102

    c

    v

    Figura VII.17. Fuente de sonido alejndose del observador en reposo

    En ambos casos las frecuencias percibidas ( 1 y 2 ) son menores

    que la frecuencia propia ( 0 ).

    Desarrollando la expresin de 2 en series de potencias de v/c:

    FO

    FO

    v

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    ..........1

    2

    2

    02c

    v

    c

    v

    Puede observarse que cuando v/c

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    La fuente luminosa se aleja del observador a velocidad v en

    direccin de la visual, emitiendo una onda en el sentido x.

    La ecuacin de la onda referida al sistema S puede escribirse:

    '''''','' txksenatx

    Donde: 02'2' 0

    2

    '

    2'

    k c

    k 00

    '

    '

    Empleando las ecuaciones de Transformacin de Lorentz

    tendremos la onda referida al s istema S:

    22

    2

    2

    2

    2 1

    ''

    1

    ''

    1'

    1',

    vktc

    vkxsena

    xc

    vttvxksenatx

    La expresin que multiplica a t da la frecuencia angular de la

    onda observada desde S, es decir la frecuencia percibida por el

    observador:

    222 1

    1

    '1

    '

    '1

    '1

    ''

    c

    vv

    k

    vk (pues c

    k

    '

    ')

    Expresndolas con las frecuencias: 2 02'

    Resulta: 2

    0

    1

    1

    c

    v

    c

    v

    (VII.14) Efecto Doppler Relativista

    Si la frmula se desarrolla en series de potencias de v/c se

    obtiene:

    ..........

    2

    11

    2

    2

    0c

    v

    c

    v

    Que difiere en trminos de segundo orden con las frmulas de 1 y

    2 (ondas en medios materiales). Es sencillo demostrar que es la

    media geomtrica de 1 y 2 ( 212 ).

    Otras expresiones equivalentes para el efecto Doppler relat ivista

    son:

    c

    v

    c

    v

    1

    1

    2

    0 (VII.15)

    c

    vc

    v

    1

    1

    0

    (VII.16) vc

    vc

    0

    (VII.17)

    La relacin entre /c y 00 / c (longitud de onda propia) se

    obtiene reemplazando:

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    2

    0

    1

    1

    c

    v

    c

    v

    cc

    c

    v

    c

    v

    1

    1

    2

    0

    (VII.18)

    Cuando v/c

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    SS

    O F

    x

    x

    y

    v

    y

    Figura VII.19. Movimiento de la fuente emisora de las ondas

    electromagnticas

    Este efecto Doppler transverso, es puramente relativista y tiene

    una interpretacin sencilla en la dilatacin del tiempo. La fuente en

    movimiento acta como un reloj que marca el comps de las os cilaciones

    electromagnticas. Observada desde S su marcha parece retrasarse por

    un factor 21 y por lo tanto el nmero de oscilaciones en la unidad de

    tiempo se ve reducido por este factor.

    8.1 EJEMPLO VII.4.

    Una galaxia se aleja de nosotros a una velocidad 0,1.c. Calcular el

    desplazamiento de la longitud de onda por efecto Doppler para la lnea

    del hidrgeno 0=6563[] y el corrimiento al rojo. Es buena

    aproximacin la frmula que tiene en cuenta solamente las variaciones

    de primer orden?.

    Resolucin:

    1,0c

    v

    ][7256

    1,01

    1,016563

    1

    122

    0

    ][6930 106,06563

    693

    0

    La frmula aproximada da: 1,00

    c

    v

    65665631,00

    c

    v

    La diferencia es apreciable.

    8.2 EJEMPLO VII.5.

    Una sonda espacial que se mueve a 40 [km/s] con respecto a la

    Tierra emite hacia ella una seal electromagntica de frecuencia propia

    20,0 [MHz].

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    Calcular la variacin de frecuencia medida desde la Tierra:

    A) Cuando la nave se aleja.

    B) Cuando la nave se desplaza en sentido normal a la visual.

    Resolucin:

    A) 48

    3

    1033,1]/[1000,3

    ]/[1040

    sm

    sm

    1

    Puede emplearse la frmula aproximada:

    1

    1

    10

    2

    0

    ][1067,21033,1100,201 3460000 Hz

    B) Queda solo el efecto Doppler Transversal:

    211

    2

    0

    2

    0

    ][177,0

    2

    1033,1100,20

    221

    246

    2

    0

    2

    000 Hz

    9 LA PARADOJA DE LOS GEMELOS.

    Mucho se ha escrito sobre esta aparente contradiccin, conocida

    tambin como la paradoja de los relojes.

    Si se dispone que un reloj sea llevado en un viaje durante un

    tiempo, para luego regresarlo al lugar de partida, para compararlo con

    otro reloj que permaneci en reposo, se encontrar que el tiempo de

    viaje que marca el reloj mvil es menor que el tiempo indicado por el

    reloj en reposo, debido a la dilatacin relativista del tiempo.

    De manera similar imaginemos dos organismos vivos, casi

    idnticos, como ser dos hermanos gemelos, los cuales viviendo en la

    Tierra envejeceran a un mismo ritmo. Pero uno de los gemelos

    permanece en la Tierra y el otro hace un viaje espacial a velocidades

    cercanas a c. Cuando el segundo regrese y ambos hermanos se

    reencuentren observarn que para el viajero transcurri poco tiempo

    mientras que su gemelo ha envejecido ms.

    La paradoja se presenta al aplicar el principio de equivalencia de

    los sistemas inerciales, entre quin permanece en la Tierra y quin viaja

    a velocidad constante.

    El gemelo que viaj puede pensar que estuvo en reposo en el

    Universo mientras que su hermano con la Tierra se alej para luego

    regresar.

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    Entonces, en el reencuentro, el hermano que viaj con la Tierra

    lucira ms joven que el que subi a la nave espacial, en contradiccin

    con el resultado del razonamiento anterior.

    Cul de los gemelos envejeci ms que el otro? Dnde reside el

    error que condujo a esta paradoja?

    El tiempo transcurrido para los observadores es diferente. Si

    l lamamos t al que se registra en Tierra, para el viajero que se mova

    siempre a velocidad v el tiempo t ser tal que:

    21

    '

    tt Di latacin del tiempo

    El signo de la velocidad (negativo en el viaje de regreso) no

    influye.

    Pero no es posible hacer un razonamiento similar considerando en

    reposo al observador de la nave, porque para l habr inevitablemente

    aceleraciones (visto desde el sistema inercial de la Tierra), tanto al

    partir, como en los momentos en que desacelera, se detiene e invierte el

    movimiento (acelerando), y finalmente al detenerse nuevamente en la

    Tierra. Un sistema de referencia viajando con el no es inercial. El

    principio de equivalencia entre los dos sistemas no puede aplicarse.

    No hay contradiccin. La paradoja desaparece.

    10 APNDICES.

    10.1 APNDICE VII.1: DETERMINACIN DE LOS COEFICIENTES DE

    LA TRANSFORMACIN DE LORENTZ.

    Se trata de despejar las incgnitas a11, a41 y a44 del sistema de

    ecuaciones:

    012

    41

    22

    11 aca (1)

    0444122

    11 aacva (2)

    02

    44

    2222

    11 accva (3)

    Puede reducirse a un sistema de dos ecuaciones con dos

    incgnitas, el iminando a11 entre las ecuaciones (3) y (1), y entre

    ecuaciones (3) y (2).

    Ecuacin (3) 02

    44

    2222

    11 accva

    Ecuacin (1) multiplicada por v 2 02

    41

    22222

    11 avcvva

    Restando miembro a miembro: 02

    41

    2222

    44

    22 avcvacc

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    Llamando c

    v , este resultado se reescribe:

    012

    41

    222

    44 ava (4)

    De manera similar:

    Ecuacin (3) 02

    44

    2222

    11 accva

    Ecuacin (2) multiplicada por v: 04441222

    11 aavcva

    Restando miembro a miembro: 0444122

    44

    22 aavcacc

    Que reescribiremos: 01 44412

    44 aava (5)

    Ha quedado un sistema de dos ecuaciones:

    012

    41

    222

    44 ava (4)

    01 44412

    44 aava (5)

    Para resolverlo despejamos a41 de la ecuacin (5):

    44

    2

    4441

    1

    av

    aa

    (6)

    Y lo reemplazamos en (4): 01

    1

    2

    44

    2

    44222

    44

    av

    ava

    Multiplicando por 2

    44a y desarrollando el cuadrado:

    0214

    44

    2

    44

    2

    44

    24

    44

    2

    44 aaaaa

    Es decir:

    012

    44

    22

    44 aa o 11 22

    44 a

    Por lo tanto:

    244

    1

    1

    a

    Empleando este resultado en la ecuacin (6) se obtiene el valor de

    a41:

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    44

    2

    4441

    1

    1

    1

    1

    1

    11

    1

    1

    1

    1

    11

    1

    vvv

    av

    aa

    Por lo tanto:

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    2244

    1

    1

    c

    va

    Por ltimo, reemplazando esta resultado en la ecuacin (1):

    01

    110

    1

    11

    2

    22

    1124

    222

    11

    ac

    vca

    Despejando: 22

    22

    2

    22

    111

    1

    1

    1

    11

    a

    2

    2

    111

    1

    a

    10.2 APNDICE VII.2: TRANSFORMACIN RELATIVISTA INVERSA.

    La transformacin directa puede escribirse:

    tvxx' (1)

    x

    c

    vtt

    2' (2)

    Donde: 21

    1

    Para despejar x y t puede operarse resolviendo el sistema de dos

    ecuaciones con dos incgnitas:

    'xtvx

    '2

    ttxc

    v

    El determinante del sistema vale:

    222222

    1

    c

    vv

    2222 1''

    1

    ''

    1

    '''

    '

    tvxtvxtvxt

    vx

    x

    2

    2

    2

    2

    22

    22

    1

    '/'

    1

    '/'

    1

    '''

    '

    xcvtxcvt

    xc

    vtt

    c

    vx

    t

    Que constituyen las ecuaciones de la Transformacin inversa de

    Lorentz.

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    10.3 APNDICE VII.3: EFECTO DOPPLER RELATIVISTA CUANDO LA

    VELOCIDAD DE ALEJAMIENTO FORMA UN NGULO CON LA VISUAL.

    Para el observador en S el ngulo de la direccin de avance de la

    onda con el eje x es (figura VII.21)

    Figura VII.21. Avance de la onda

    Para el observador en S el ngulo de la direccin de avance de la

    onda con el eje x es '' .

    En general: '

    Debemos trabajar con la ecuacin de la onda cuando la direccin

    de propagacin no coincide con la del eje x.

    Para un observador en S, cuando la onda se propaga en la

    direccin l (figura VII.22), la ecuacin es: tlksenatxu ,

    Donde: ysenxl cos tysenkxksenatyxu cos,,

    Figura VII.22. Avance de la onda

    Con referencia a la figura VII.21:

    S S

    F

    x

    x

    y

    v

    y

    '

    x

    y l

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    coscos sensen

    tysenkxksenatyxu cos,,

    Donde: 2

    2k c

    k

    Empleando las ecuaciones de la Transformacin de Lorentz inversa

    tendremos la onda referida al s istema S:

    2

    2

    2 1

    '/''

    1

    ''cos',',''

    xcvtysenk

    tvxksenatyxu

    '

    1

    cos''

    1

    /cos',',''

    22

    2

    tvk

    ysenkxcvk

    senatyxu

    La expresin que multiplica a t da la frecuencia angular de la

    onda observada desde S, es decir la frecuencia propia 0:

    2220

    1

    cos1

    1

    cos1

    1

    cos'

    c

    vv

    k

    vk

    Expresndolas con las frecuencias: 2 02'

    20

    1

    cos1

    cos1

    1 2

    0

    11 BIBLIOGRAFA.

    Robert Resnik, Conceptos de relatividad y teora cuntica, Editorial Limusa, Mxico

    (1977).

    Young, Hugh D. y Freedman Roger, Fsica universitaria con Fsica moderna, Vol.II,

    Ed. Pearson Educacin, Mxico, 2009.

    R. Serway y J. Jewett, Fsica para ciencias e ingeniera Vol.II, Ed. Thomson,

    Mxico, 2005.

    Arthur Beiser, Conceptos de fsica moderna, Ediciones del Castillo, Madrid (1963).

    Charles Kittel, Walter Knight, Malvin Ruderman, Mecnica Berkeley Physics Course-

    Volumen1, Editorial Revert, S.A., Barcelona, 1968.

    W. Gettys, F. Keller y M. Skove, Fsica clsica y moderna, Mc. Graw Hill, Espaa,

    1996.

    Marcelo Alonso y Edward Finn, Fsica Volumen I Mecnica, fondo Educativo

    Interamericano, Mxico, 1970.

  • Unidad VII Relatividad Especial 39 de 48

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    Albert Einstein, El significado de la relatividad, Espasa Calpe Argentina, Buenos

    Aires, 1948

    Albert Einstein y Leopold Infeld, La fsica, aventura del pensamiento, Editorial

    Losada, S.A., Buenos Aires, 1939

    12 PROBLEMAS RESUELTOS.

    7.1- En el experimento de Michelson y Morley se util iz un inter fermetro

    con brazos de 11 [m] y luz de sodio (5900 []).

    A) Qu desplazamiento de las franjas de interferencia se esperaba

    medir debido al movimiento orbital de la Tierra (v=30 [km/s])?.

    B) Calcular el tiempo que emplea la luz en ir y volver por uno de los

    brazos. C) El experimento deba revelar un desplazamiento mnimo de

    0,01 franjas. Qu velocidad lmite podra apreciarse?

    Resolucin:

    Recordando algunas frmulas que pueden ser tiles:

    2111

    11

    12

    c

    l

    vc

    l

    vc

    lt 2

    22

    1

    12

    c

    lt

    2

    1

    2

    212

    11

    2

    ll

    cttt

    2 l2

    1

    l1

    Espejo E1

    v

    Espejo

    semiplateado Anteojo

    Observador

    Espejo E2

    Fuente de luz

    Monocromtica

    Figura VII.23. Experimento de Michelson y Morley

    a)

    8

    10

    221 101105900

    22

    llN franjasN 37,0

    b)

    nsc

    lt 3,73

    1

    122

    11

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    c) 510

    1063,122

    10590001,001,0

    N

    55 1031063,1cvc

    v smv /109,4 3

    7.2- En el experimento del problema anterior, cul sera la diferencia

    de tiempo para las dos ondas luminosas que viajan a lo largo de los

    brazos?

    Resolucin:

    2222

    1

    2

    212

    11

    12

    11

    2

    l

    c

    ll

    cttt

    99999999,0

    10510333,7

    1

    11

    103

    112 982

    2

    8

    t st

    161067,3

    7.3- Calcular los factores 21 y 21

    1

    para

    =0,10/0,30/0,60/0,80/0,90/0,95/0,98/0,99 y hacer un grfico de ambos

    en funcin de .

    Resolucin:

    21 211

    0,100 0,995 1,005

    0,300 0,954 1,048

    0,600 0,800 1,250

    0,800 0,600 1,667

    0,900 0,436 2,294

    0,950 0,312 3,203

    0,980 0,199 5,025

    0,990 0,141 7,089

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    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    0,1 0,3 0,6 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99

    Fig. VII.24. Factores en funcin de -La escala del eje de abscisas no es l ineal

    7.4- A qu velocidad debe viajar un cohete para que su longitud se

    contraiga solo 0,1% de su longitud en reposo?

    Resolucin:

    0000 999,0001,01001,0 LLLLL

    04,0999,011999,0 220

    L

    L

    810304,0cvc

    v

    smv /1034,1 7

    7.5- Calcular la contraccin de Lorentz del dimetro de la Tierra para un

    observador estacionario en el Sistema Solar (radio terrestre: 6370

    [km]).

    Respuesta: cmD 37,6

    7.6- Una regla de 1,00 [m] se mueve en la direccin de su longitud con

    velocidad 0,8.c respecto al observador. Cunto tiempo tarda en pasar

    frente a l?

    64,018,0

    00,11 2

    0

    0

    c

    mt

    v

    L

    v

    Lt

    Respuesta: st 9105,2

    7.7- Una varil la en reposo en el sistema S, forma un ngulo de 30 con

    el eje x. Para un observador en el sistema S forma un ngulo de 45 con

    el eje x. Calcular la velocidad de S con respecto a S.

    Resolucin:

    21

    211

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    L L0

    X x0

    Y0

    3045

    Figura VII.25. Desplazamiento de una vari l la

    3

    111

    3

    1

    )45(

    )30(..)45();30( 22

    0

    0

    0

    0 tg

    tg

    x

    xmamdividiendotg

    x

    y

    x

    ytg

    x

    y

    82,0 ccv 82,0

    7.8- El volumen de un recipiente, medido por un observador respecto al

    cual est en reposo es 1000 [cm 3]. Con qu velocidad se debe mover

    otro observador para que mida un volumen de 800 [cm 3]?

    Resolucin:

    y

    x

    z

    S

    z0

    y0

    x0

    v

    O

    Figura VII.26. Variacin del volumen de un recipiente

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    0000 zyxV 00 zyxV 2

    0 1 xx

    2

    0000

    00

    0

    1800,0 x

    x

    zyx

    zyx

    V

    V cv 600,0

    7.9- El tiempo de vida media propia de las partculas (muones) es

    2,2x10 -6 [s]. Calcular la vida media que se observa cuando se desplazan

    a velocidad 0,95.c.

    Resolucin:

    2

    6

    2

    0

    95,01

    102,2

    1

    tt

    st 6101,7

    7.10- Un avin se mueve con respecto a la Tierra a una velocidad de 600

    [m/s]. Observado desde un laboratorio en Tierra, cunto tiempo debe

    transcurrir para que un reloj del avin atrase 1 ,00 [s]?

    Resolucin:

    2

    6

    2

    6

    02

    06

    0

    2

    111

    1000,1

    1

    11

    1000,1

    11000,1

    t

    ttt

    Como 22

    1

    1

    2

    111

    6

    8102

    103

    600

    c

    v

    26

    6

    0

    1022

    1

    1000,1t diast 8,5

    7.11- Los mesones (piones) tienen una vida media de 1,8x10 -8 [s]. Un

    haz de piones sale de un acelerador con velocidad 0,8.c. Qu distancia

    recorren los piones, en promedio, hasta desintegrarse?

    Resolucin:

    st

    t 88

    2

    0 10364,01

    108,1

    1

    88 1031038,0tvx md 2,7

    7.12- Un mun (vida media 2,2x10 -6 [s]) se forma en la atmsfera a una

    altura de 7000 [m] y viaja verticalmente hacia la Tierra a velocidad

    0,998.c. Alcanzar a llegar a nivel del mar?

    Resolucin:

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    s

    tt 5

    2

    6

    2

    0 105,3998,01

    102,2

    1

    mtvx 458 100,1105,3100,3998,0

    Probablemente s, pues mm 7000100,1 4

    7.13- Un astronauta dispone de un plazo de 25 aos (para l deben

    transcurrir los 25 aos), para ir hasta una estrella situada a 10 aos luz

    y regresar a la Tierra. Cul debe ser su velocidad de mdulo constante?

    Resolucin:

    2

    22

    2

    0

    2

    0 18,018,05,12

    1101

    c

    vcc

    cvtvLL

    22222

    2

    222

    2

    222 64,064,064,064,064,064,0164,0 cvvvc

    c

    vcc

    c

    vcv

    cv 62,0

    7.14- Un rayo de luz en el vaco tiene la direccin del eje z para un

    observador en el sistema S. Calcular las componentes de la velocidad en

    el sistema S (a velocidad v) y comprobar que el mdulo sigue valiendo

    c.

    Resolucin:

    0' yy VV 0xV

    cVz

    22 11'c

    vccVz

    21

    '

    c

    Vv

    vVV

    x

    xx

    vVx '

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    Figura VII.27. Rayo de luz en el vaco en los sistemas S y S

    2

    222222 1'''

    c

    vcvVVV zyx

    2222 ''' cVVV zyx

    7.15- A partir de las ecuaciones de transformacin de velocidades,

    deducir las ecuaciones de la trans formacin inversa de velocidades,

    despejando Vx, Vy, V z.

    7.16- Un cohete viaja hacia la derecha con velocidad 0,5.c y otro cohete

    hacia la izquierda con velocidad 0,5.c, ambas con respecto a un

    observador en la Tierra. Cul es la velocidad de un cohete medida desde

    el otro?. Resolver el problema ubicando el sistema S en el segundo

    cohete y el sistema S en la Tierra.

    Resolucin:

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    Figura VII.28. Desplazamiento de cohetes

    cvcVV xx 5,0;5,0'?;

    22

    5,05,01

    5,05,0

    '1

    '

    c

    cc

    cc

    c

    Vv

    vVV

    x

    xx

    cVx 8,0

    7.17- Una partcula se mueve con velocidad 0,6.c que forma un ngulo

    de 30 con el eje x, para un observador O. Calcular el mdulo de la

    velocidad de la partcula para un observador O que viaja con velocidad

    -0,6.c a lo largo del eje x, y el ngulo con el eje x.

    Resolucin:

    Figura VII.29. Desplazamiento de una partcula en los sistemas S y S

    ccVx 52,0cos6,0 c

    c

    cc

    cc

    c

    Vv

    vVV

    x

    x

    x

    8,0

    6,052,01

    6,052,0

    1

    '

    22

    csencVy 30,06,0 c

    c

    cc

    c

    Vv

    VV

    x

    y

    y

    2,0

    6,052,01

    )6,0(130,0

    '1

    1'

    2

    2

    2

    2

    Tierra

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    0'0 zz VV

    22222 )182,0()854,0('''' ccVVVv zyx cv 9,0'

    854,0

    182,0arctg

    V

    Varctg

    x

    y 12

    7.18- Un ncleo radioactivo que se mueve a velocidad 0,5.c con respecto

    al laboratorio, emite una partcula con velocidad 0,9.c en direccin

    normal al movimiento, medida por un observador que viaja con el ncleo.

    Cul es la velocidad de la partcula para un observador en el sistema de

    coordenadas del laboratorio?

    Resolucin:

    Figura VII.30. Desplazamiento de un ncleo radiactivo

    0'xV cc

    c

    Vv

    VV

    x

    y

    y

    8,0)5,0(190,0

    '1

    1'2

    2

    2

    0zV c

    c

    c

    c

    c

    Vv

    vVV

    x

    xx

    5,0

    05,01

    5,00

    '1

    '

    22

    22222

    )8,0()5,0( ccVVVV zyx cV 9,0

    5,0

    779,0arctg

    V

    Varctg

    x

    y 57

    0,9 c

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    7.19- Una galaxia se aleja de la Tierra a una velocidad de 1500 [km/s].

    Calcular el corrimiento para la longitud de onda de la lnea D2 del

    sodio (0=5890 [])

    Resolucin:

    108

    6

    0

    0

    105890103

    105,1

    c

    v

    c

    v

    5,29

    7.20- La lnea caracterstica del hidrgeno de 6563 [] se observa

    corrida 950 [] cuando proviene de una galaxia que se est alejando.

    Calcular la velocidad de alejamiento.

    Resolucin:

    ccvc

    v

    6563

    950

    00

    cv 134,0

    7.21- Un automvil se acerca a un radar detector de velocidad a 108

    [km/h]. El radar opera a una frecuencia de 20 [GHz]. Qu cambio de

    frecuencia se observa en la onda reflejada?.

    Resolucin:

    Hzp 9790202

    0 1020101102012

    111

    1

    1

    kHzHzHzp 0,2102010111020 2790

    FIN DEL DOCUMENTO