edo ok

Rosario Diómedes Delgado Vásquez E.D.O. de Primer orden Marilyn Delgado Bernuí

7

1. Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias de Primer Orden

Durante el siglo XIII la teoría

de las ecuaciones diferenciales

ordinarias se había desarrollado ya

considerablemente, pero el problema

más difícil de la resolución de

ecuaciones en derivadas parciales era

entonces un campo abierto para los

pioneros. El problema de la

integración de ecuaciones

diferenciales, en su inicio, se

presentaba como parte de un problema

más general: el problema inverso del

análisis infinitesimal. Además cada

una de las ecuaciones estaba

justificada por la existencia de un

problema concreto, no existiendo a

principio del siglo una teoría

general, con lo que la vía utilizada,

fue la de resolver clases de

ecuaciones lo más amplias posibles.

Los primeros intentos de

resolución se centraron en las

ecuaciones diferenciales lineales,

advirtiéndose resultados notables ya

que en los años 20 con los trabajos de

Ricatti, Bernoulli y Leibniz.

En el año 1743 Euler publicó el método de resolución de una ecuación

diferencial lineal homogénea lineal de cualquier orden, mediante la

sustitución y=ekx o similares. D’Alembert encontró en 1766 que la

solución general de una ecuación no homogénea lineal, es igual a la suma

de cierta solución particular y la solución general de la correspondiente

ecuación homogénea.

Junto a las ecuaciones diferenciales ordinarias, fueron encontradas

las soluciones de ciertas ecuaciones en derivadas parciales, llevadas a

cabo especialmente por Euler y D’Alambert. Así, las ecuaciones

diferenciales en derivadas parciales de segundo orden surgieron

preferentemente en el curso de resolución de problemas físicos, entre los

que cabe señalar el problema de la cuerda, que conduce a la ecuación

resuelta por Euler.

Fue a finales de los 70 cuando Lagrange estableció la forma de

obtener soluciones singulares, así como la interpretación de las mismas

como la familia de envolventes de las curvas integrales. El estudio de

estas familias de curvas integrales y la solución de problemas sobre la

bésqueda de trayectorias envolventes e isogonales dio lugar a la aparición

de una nueva rama de la geometría: La geometría diferencial.

CONTENIDOS

1.1 Definición y terminología de Ecuaciones

Diferenciales.

1.2 Ecuaciones Diferenciales de Primer

Orden: Separación de variables

1.3 Transformación de variables.

1.4 Ecuaciones exactas, Factor integrante.

1.5 Ecuaciones lineales de primer orden

1.6 Método numérico: Euler


8

NOTA HISTORICA LEONART EULER

Nació el 15 de Abril d 1707 en Basilea, Suiza, y falleció el 18 de

Setiembre de 1783 en St. Petersburg, Rusia.

Fue hijo de un clérigo, que vivía en los alrededores de Basilia. Su

talento natural para las matemáticas se evidenció pronto por el afán y la

facilidad que dominaba los elementos, bajo la tutela de su padre.

A una edad temprana fue enviado a la Universidad de Basilia, donde

atrajo la atención de Jean Bernoulli. Inspirado por un maestro así, maduró

rápidamente, a los 17 años de edad, cuando se graduó de Doctor, provocó

grandes aplausos con un discurso probatorio, el tema del cual era una

comparación entre los sistemas cartesiano y newtoniano.

Su padre deseaba que ingresara en el sagrado ministerio, y orientó a

su hijo hacia el estudio de la teología. Pero, al contrario del padre de

Bernoulli, abandonó sus ideas cuando vio que el talento de su hijo iba en

otra dirección. Fue autorizado a reanudar sus estudios favoritos y, a la

edad de 19 años, envió dos disertaciones a la Academia de Paris, una sobre

arboladura de barcos, y la otra sobre la filosofía del sonido. Estos

ensayos marcan el comienzo de su espléndida carrera.

Por esa época decidió dejar su país nativo, a consecuencia de una

aguda decepción, al no lograr un profesorado vacante en Basilia. Así.

Euler partió en 1727, año de la muerte de Newton, a San Petersburgo, para

reunirse con sus amigos, los jóvenes Bernoulli, que le habían precedido

algunos años antes.

En el camino hacia Rusia, se enteró de que Nicolas Bernoulli había

caído victima del duro clima nórdico; y el mismo día que puso pie sobre

el suelo Ruso murió la emperatriz Catalina, acontecimiento que amenazó con

la disolución de la Academia, cuya fundación ella había dirigido. Euler,

desanimado, estuvo apunto de abandonar toda esperanza de una carrera

intelectual y alistarse en la marina rusa. Pero, felizmente para las

matemáticas, Euler obtuvo la cátedra de filosofía natural en 1730, cuando

tuvo lugar un cambio en el sesgo de los asuntos públicos. En 1733 sucedió

a su amigo Daniel Bernoulli que deseaba retirarse, y el mismo año se casó

con Mademoiselle Gsell, una dama suiza, hija de un pintor que había sido

llevado a Rusia por Pedro el Grande.

Dos años más tarde, Euler dio una muestra de su talento , cuando

efectuó en tres días la resolución de un problema que la Academia

necesitaba urgentemente, pese a que se le juzgaba insoluble. A los 30 años

fue honrado por la Academia de Paris, recibiendo un nombramiento.

En el verano de 1741, el rey Federico el Grande invitó a Euler a

residir en Berlin. Esta invitación fue aceptada, y Euler vivió en Alemania

hasta 1766. Cuando acababa de llegar, recibió una carta real, escrita

desde el campamento de Reinchenbach, y poco después fue presentado a la

reina madre, que siempre había tenido un gran interés en conversar con

hombres ilustres.

En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta

la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las

llamas, descubrió al hombre ciego, y lo salvó llevándolo sobre sus

hombros. Si bien se perdieron sus libros y el mobiliario, se salvaron sus

preciosos escritos. Euler continuó su extenso trabajo durante 12 años,

hasta el día de su muerte, a los 76 años de edad.


9

1.1. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Objetivos

1. Reconocer y diferenciar las E.D.O. de las E.D.P.

2. Clasificar las E.D.O. de acuerdo al

orden y de acuerdo a su linealidad.. 3. Analizar la existencia y unicidad de

las soluciones de las E.D.O de primer orden.

Definición 1 Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función

desconocida de una o más variables.

Si la función desconocida depende solo de una variable la ecuación se

llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida

depende de más de una variable la ecuación se llama ecuación en derivadas

parciales.

Ejemplo 1. Las ecuaciones: 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 4𝑥 + 2𝑦,

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 +𝑑𝑦

𝑑𝑥3𝑦= 0

son ecuaciones diferenciales ordinarias, donde “𝑦” es la función

desconocida de una sola variable 𝑥.

Las ecuaciones

𝜕2𝑉

𝜕𝑥2 + 3𝜕2

𝜕𝑦2 = 𝑉, 𝜕𝑃

𝜕𝑥+

𝜕𝑃

𝜕𝑦−

𝜕2𝑃

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑃

son ecuaciones en derivadas parciales, donde 𝑉 y 𝑃 son las funciones

desconocidas en dos variables “𝑥” y “𝑦”.

Definición 2 Orden de una Ecuación Diferencial

El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta

que aparece en la ecuación.

Ejemplo 2. La ecuación diferencial ordinaria tsenxdt

dx

dt

xd234

2

2

,es de segundo

orden.

Ejemplo 3. La ecuación diferencial ordinaria )3(4

4

xxdx

yd, es de cuarto

orden.

Ejemplo 4. La ecuación diferencial ordinaria 02

4

2

2

y

dx

dy

dx

yd, es de segundo

orden.


10

Ejemplo 5. La ecuación en derivadas parciales t

u

t

u

x

ux

5

2

2

3

3

, es de tercer

orden.

Definición 3 ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL DE ORDEN n

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es una ecuación que puede

representarse en la forma:

)()(')()()( 1)1(

1)(

0 xFyxayxayxayxa nnnn .

Donde F(x) y los coeficientes )(,),(),( 10 xaxaxa n son funciones dadas de x y

)(0 xa no es idéntica a cero.

Las ecuaciones que no pueden ser escritas en la forma mencionada se

llaman ecuaciones diferenciales NO LINEALES.

Si F(x)=0, entonces la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria lineal

homogénea asociada.

Si a0(x) no se anula en ningún punto de <a,b>, se dice que la

ecuación es normal

Ejemplo 6. Las siguientes ecuaciones diferenciales

senxydx

dyx 4 , es lineal de primer orden no homogénea

032

2

6

6

dx

dy

dx

yd

dx

yd, es lineal de sexto orden homogénea.

Definición 4 SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una solución de una ecuación diferencial es cualquier función que satisface

la ecuación, esto es, la reduce a una identidad.

Ejemplo 7. La ecuación diferencial ydx

dy3 , tiene por solución a la función

y=xe3.

Al reemplazar en la E.D.O., se obtiene )(33 33 xx ee

Ejemplo 8. La ecuación diferencial 022

2

ydx

dy

dx

yd, tiene por solución a la

función xx ececy 221 , donde c1 y c2 son constantes arbitrarias.

Al reemplazar en la E.D.O., se obtiene

0)224()2( 2222111 xx eccceccc


11

Definición 5 Solución general y particular

Una ecuación diferencial de orden n tiene una solución que involucra n

constantes arbitrarias y se denomina solución general.

Una solución particular obtenida de esta solución general al seleccionar

los valores particulares de las constantes arbitrarias.

Ejemplo 9. La solución general de la E.D.O. xydx

dy es y=K 2

2x

e , donde K es

cualquier número real. En cambio una solución particular es yp=2 2

2x

e .

2

Solución general de y’=xy Una solución particular

Definición 6 Problema de valor inicial

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a

una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida

y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente.

Tales condiciones se llaman condiciones de frontera.

Ejemplo 10. El siguiente problema

1)0(

1)0(

02

2

dx

dy

y

ydx

yd

es un problema de valor inicial.


12

Teorema 1 Existencia y unicidad de una solución

Dado el problema de valor inicial

00 )(

),,(

yxy

yxfdx

dy

1. f(x,y) es real, finita, simple valorada, y continua en todos los puntos de una región R del plano XY.

2. y

yxf

),( es real, finita, simple valorada, y continua en R.

Entonces existe una y sólo una solución y=g(x) en R, talque y(x0)=y0.

Ejemplo 11. Aplicar el teorema de existencia para el problema de valor inicial

6)1(

32

y

xyxdx

dy

Solución

Como f(x,y)=32

xyx y 23xy

y

f

son continuas en todo el plano XY,

entonces el problema de valor inicial posee una solución única en un

intervalo con centro en x=1.

Ejemplo 12. Aplicar el teorema de existencia para el problema de valor inicial

0)2(

3 3/2

y

ydx

dy

Solución

Como f(x,y)=3/2

y es continua en cualquier rectángulo que contiene a

(2,0) en cambio 3/12

y

y

f no es continua en todo en ningún rectángulo

que contiene (2,0), entonces el teorema de existencia y unicidad no se

puede aplicar para determinar si el problema de valor inicial tiene o no

solución única.


13

PRÁCTICA 1.1

1. De las siguientes ecuaciones, cuales son E.D.O. y cuales E.D.P.

a) yxy

z

x

z

b) 0 xy

dx

dy c) senxxy

dx

dy

d) yy

zxy

x

z

2

2

e) dx

dyxy

dx

yd

2

2

2

f) λλ

tP

t

P

2. Determinar el orden de cada una de las E.D.O.

a) 2

2

y

dx

dy

dx

dy b) 4

4

4

xydx

dy

dx

yd c) xxy

dx

dytan2

d) 03

3

dx

dyx

dx

yd e) 0

25

2

2

y

dx

dy

dx

yd f) 0

3 xy

dx

dy

3. Cual de las E.D.O. del ejercicio (2) son lineales y cuales no lo son.

4. Demuestre que y=x2 es una solución explícita de ydx

dyx 2

5. Demuestre que y=ex-x es solución explícita de

1)21( 222 xexeydx

dy xx

6. Demuestre que 032 xy es una solución implícita de ydx

dy

2

1

7. Demuestre que 133 senxxyxy es una solución implícita de

xsenxx

ysenxxx

dx

dy

3

1cos

en el intervalo <0, /2>

8. Demuestre que la ecuación diferencial 0422

y

dx

dy no tiene

solución alguna de valor real.

9. Determine para que valores de m la función g(x)=mx

e es solución de la

ecuación dada: 0562

2

ydx

dy

dx

yd

10. Determine para que valores de m la función g(x)=m

x es solución de la

ecuación dada: 02

22 y

dx

dyx

dx

ydx

Determine si el teorema de existencia y unicidad implica que el

problema de valor inicial dado tiene solución única:

11. 22yx

dx

dy , y(0)=4

12. y

x

dx

dy , y(1)=0


14

NOTA HISTORICA JEAN LE ROND D’ALEMBERT

Nació el 17 de Noviembre de 1717 en Paris Francia y falleció el 29

de Octubre de 1783 en Paris, Francia.

En 1741 fue admitido en la Academia de ciencias de Paris, donde

trabajó por el resto de su vida. Fue amigo de Voltaire.

Ayudó a resolver la controversia en física sobre la conservación de

la energía cinética mejorando la definición de Newton de la fuerza en su

“Tratado de Dinámica” (1742), que articula el principio de mecánica de

D’Alambert. En el año 1744 aplicó los resultados obtenidos en el

equilibrio y movimientos de fluidos.

Fue pionero en el estudio de ecuaciones diferenciales y pionero en

el uso de ellas en la física.

Fue uno de los primeros en comprender la importancia de las

funciones y en este artículo definió la derivada de la función como el

límite de los cocientes de los incrementos. En realidad escribió la mayor

parte de los artículos matemáticos en su trabajo, volumen 28.

D’Alambert fue el que más se acercó a una definición precisa de

límite y de derivada. Más en realidad toda duda se desvanecía ante el

éxito de sus aplicaciones, de manera que el cálculo infinitesimal, más que

una rama de la matemática, se convertía en una especie de doncella de la

ciencia natural, en un auxiliar muy valioso, pero auxiliar al fin de las

ramas de la física.

D’Alambert también estudió hidrodinámica, mecánica de los cuerpos,

problemas de astronomía y circulación atmosférica.

D’Alambert rechazó un grán número de ofertas en su vida. Rechazó una

oferta de Frederick II para ir a Prusia como presidente de la Academia de

Berlín. También rechazó una invitación de Catherine II para ir a Rusia

como tutor de su hijo.


15

INFORME 1.1 Fecha de Revisión: / / / C F

1) 2)

3) 4)

5) 6)


16

7) 8)

9) 10)

11) 12)


17

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

Objetivos 1. Recocer y resolver E.D.O

separables.

2. Resolver E.D.O. por transformación de variables.

1.2.1 Campos de Direcciones


18

1.2.2 Variables Separables

Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales que se pueden

resolver utilizando integración son las ecuaciones separables.

Definición 1 ECUACION SEPARABLE

Si el segundo miembro de la ecuación

),( yxfdx

dy

se puede expresar como una función que depende solamente de x,

multiplicada por una función que depende solamente de “y”; entonces la

ecuación diferencial es separable.

METODO PARA RESOLVER ECUACIONES SEPARABLES

Para resolver la ecuación

)()( xgdx

dyyh

se multiplica por dx para obtener

dxxgdyyh )()(

Luego se integra ambos miembros:

dxxgdyyh )()(

CxGyH )()(

la última ecuación es la solución implícita buscada.

Ejemplo 1. a) Encuentre la solución general de y

x

dx

dy

2

12

y

b) Determine la solución particular para la cual y = 4

cuando x = -3.

Solución (a) Separando las variables podemos escribir la ecuación dada en la forma.

(x2 + 1)dx + (y - 2)dy = 0

Integrando nos lleva a la solución general requerida

cdyxdxx 212

esto es, cyy

xx

223

23


19

(b) Colocando x = -3, y = 4 en la solución general, da c = -12. La solución

particular requerida es

12223

23

yy

xx

Ejemplo 2. Resolver yxydx

dyx

22

Solución

Multiplicando por dx a la E.D.O. obtenemos:

xdy – ydx = 2x2 y dx o (2x2y + y)dx – xdy = 0

Dividiendo por xy, resulta 012 2

y

dydx

x

x

Integrando obtenemos

c

y

dydx

x

x 12 2

Así que

cyxx lnln2

Soluciones de yxydx

dyx

22

Ejemplo 3. Resolver 0)( ysenxdx

dy

Solución

Equivalentemente la E.D.O. se escribe: dxsenxy

dy)( .

Integrando obtenemos: lny = cosx + c

De donde: y = ec + cosx = xc

eecos

= K ecosx.


20

Soluciones de 0)( ysenxdx

dy


21

1.3. TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES

Objetivos

3. Recocer y resolver E.D.O separables.

4. Resolver E.D.O. por transformación

de variables.

Puesto que una ecuación diferencial cuyas variables son separables

es muy fácil de resolver, una pregunta relativamente obvia que podría

formularse es la siguiente:

Pregunta: ¿Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales cuyas

variables no son separables que de alguna manera se puedan cambiar y

transformar en ecuaciones cuyas variables sean separables?.

La respuesta es si, estas son: las ecuaciones homogéneas, ecuaciones de

la forma )( byaxGdx

dy y las ecuaciones con coeficientes lineales.

1.3.1 Ecuaciones Homogéneas

Definición 1 ECUACION HOMOGENEA

La ecuación ),( yxfdx

dy , es homogénea si f(x,y) se puede expresar como una

función del cociente y/x solamente.

Ejemplo 1. Resuelva x

xy

dx

dy

Solución

Como f(x,y)=x

xy= 1x

y, entonces es homogénea.

Haciendo v=x

y, entonces v

dx

dvx

dx

dy

Reemplazando en la ecuación diferencial, obtenemos:

1 vvdx

dvx

xdx

dv 1 v=-lnx + c y=-xlnx+cx

Soluciones de x

xy

dx

dy


22

Ejemplo 5. Resuelva 2

22

x

xyxy

dx

dy

Solución

Como f(x,y)= 1

2

2

22

x

y

x

y

x

xyxy, entonces es homogénea.

Haciendo v=x

y, entonces v

dx

dvx

dx

dy


12 vvvdx

dvx

x

dx

v

dv

12

arctanv = lnx +c

y=xtan(lnx+c)

Ejemplo 6. Resuelva xy

xy

dx

dy

4

22

Solución

Como f(x,y)=

122

4

1

44

x

y

x

y

xy

xy, entonces es homogénea.

Haciendo v=x

y, entonces v

dx

dvx

dx

dy


v

vvdx

dvx

4

1

4

1

x

dx

v

vdv

13

42

3v2 +1= xc 3

2

x

y+1=xc

Ejemplo 7. Resolver yx

yx

dx

dy

Solución

Podemos escribir la ecuación como xy

xy

dx

dy

/1

/1

En el cual el lado derecho es una función de y/x, así que la ecuación es

homogénea. Haciendo y = vx, tenemos:

2

2

21

)1(

1

21

1

1

vv

dvv

x

dx

v

vv

dx

dvx

v

vv

dx

dyx


23

Así, 222

12

2)21(ln,)21ln(1ln cvvxócvvx

de modo que x2(1 – 2v – v2)= c. Reemplazando v por y/x, y simplificando,

encontramos x2 – 2xy – y2 = c.

Ejemplo 8. Resolver x

yye

dx

dyxy

/

Solución

El lado derecho puede escribirse como (y/x)ey/x + (y/x), una función de

y/x, de modo que la ecuación es homogénea. Haciendo y = vx obtenemos

x

dx

v

dveovve

dx

dvxv

vv

donde cxv

duev

ln

1.3.2 Ecuaciones de la forma )( byaxGdx

dy

En este caso hacer la sustitución z = ax + by

Ejemplo 9. Resolver 1)2(1 yxxydx

dy

Solución

Haciendo z= x – y, dx

dy

dx

dz1 y luego reemplazando en la ecuación

diferencial, obtenemos:

1)2(11 zzdx

dz

dxdz

z

z

12

22

dxdzz

z

12

22

de donde

cxz 1)2(ln2

1 2 cxyx 1)2(ln

2

1 2

Ejemplo 10. Resolver yxdx

dy 2

Solución

Haciendo z= 2x – y, dx

dy

dx

dz 2 y luego reemplazando en la ecuación

diferencial, obtenemos:


24

zdx

dz2 z

dx

dz 2 dx

z

dz

2 dx

z

dz

2

de donde ln(2-z) = x + c ln(2 – 2x + y) = x + c

1.3.3 Transformaciones Especiales

Como un ejemplo de una transformación especial sugerida por la forma

de una ecuación diferencial dada. Considerando el siguiente

Ejemplo 11. Resolver yxy '

Solución

La ecuación no es separable. Sin embargo la presencia de x + y sugiere

que pudiéramos tratar de cambiar la variable dependiente de y a u dado por

x + y = u2 (1)

Donde hemos usado u2 en lugar de u para evitar las raíces cuadradas. De

(1) tenemos:

12)( 2 dx

duuxu

dx

d

dx

dyy

Así la ecuación se convierte en: udx

duu 12 (2)

Podemos escribir esto en forma separable como

dxu

uduOdx

u

duu

1

2

1

2

Desarrollando la integración en el lado izquierdo, tenemos

)uln(udu

udu

u

u

u

duu122

1

112

1

112

1

2

Así que la solución general de (2) es 2u – 2 ln(u + 1) = x + c

Remplazando u por yx obtenemos ahora la solución general requerida de

la ecuación dada.

cxyxyx )1(ln22

1.3.4 Ecuaciones con Coeficientes Lineales

0() 222111 dycybxadxcybxa

Si 1221 baba , hacer una traslación de ejes en la forma:

x = u + h, y = v + k


25

Ejemplo 12. Resolver (-3x + y + 6)dx + (x + y + 2)dy = 0

Solución

Como 1221 baba , y usando la traslación de ejes x = u + h, y = v + k,

se obtiene el sistema algebraico:

-3h + k + 6 = 0

h + k + 2 = 0

De donde h = 1, k = -3. Por consiguiente x = u + 1, y = v – 3

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

u

v

u

v

du

dv

1

3

la cual es homogénea.

Haciendo el cambio z = u

v,

du

dzuz

du

dv y reemplazando en la ecuación

homogénea, obtenemos

udz

zz

z 1

32

12

du

De donde u

dzzz

z 1

32

12

du cuzz ln32ln

2

1 2

z2 + 2z – 3 = ku-2 (u/v)2 +2(u/v) – 3 = ku-2

2

2

131

32

1

3

)x(k

x

y

x

y

Ejemplo 13. Resolver (x - y + 1)dx + (2x + y)dy = 0

Solución

Como 1221 baba , y usando la traslación de ejes x = u + h, y = v + k,

se obtiene el sistema algebraico:

h - k + 1 = 0

2h + k = 0

De donde h = -1/3, k = 2/3. Por consiguiente x = u – 1/3, y = v + 2/3

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:

u

v

u

v

du

dv

2

1

la cual es homogénea.


26

Haciendo el cambio z = u

v,

du

dzuz

du

dv y reemplazando en la ecuación

homogénea, obtenemos

udz

zz

z 1

1

22

du

La cual es una E.D. de variable separable y cuya solución es fácil de

obtenerla.


27

PRÁCTICA 1.3

SEPARACIÓN DE VARIABLES.

1. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios, sujetos a las

condiciones donde se dan

a) ;y

x

dx

dy y(1)=2.

b) 3x(y2 + 1)dx + y(x2 + 2)dy = 0

c) 2ydx + e-3x dy = 0

d) 0)1(;4

2

yy

xyx

dx

dy

e) 12

243 2

y

xx

dx

dy, y(0)=-1

f) 054 22 xdxdyyxy

2. La pendiente de una familia de curvas en cualquier punto (x,y) está

dada por yxy

xyx

dx

dy

2

2

2

3

, halle la ecuación del miembro de la familia que

pasa por (2,1).

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Resolver:

3. 0222 xydydxyx

4. 022 dyxdxxyy

5. xy

yxxy

dx

dy222

6. 03 1322 dyyxxydxyx

7. x

xyy

dx

dy 1ln(ln

8. x

yxyx

dx

dy

)/sec(

9. yx

dx

dy 3332 , y(2)=4

10. senxydx

dy)1( 2 , y(0)=3


28

ECUACIONES DE LA FORMA )( byaxGdx

dy

Resolver

11. 1 yxdx

dy

12. 22 yxdx

dy

13. 25 yxdx

dy

14. yxdx

dy

1

15.

21

yxdx

dy

16. )( yxsendx

dy

17. yxe

dx

dy

18. )ln( yxdx

dy

19. )2( yxCosdx

dy

20. )3tan( yxdx

dy

ECUACIONES CON COEFICIENTES LINEALES

Resolver

21. (-3x+y-1)dx + (x+y+3)dy = 0

22. (x+y-1)dx +(y-x-5)dy = 0

23. (2x + y +4)dx + (x – 2y –2)dy = 0

24. (2x – y)dx + (4x + y –3)dy = 0

25. (x+y+1)dx + (x-y+4)dy = 0

26. (3x-4y+1)dx + dy = 0


29


1) 2)

3) 4)

5) 6)


30

7) 8)

9) 10)

11) 12)


31

13) 14)

15) 16)

17) 18)


32

19) 20)

21) 22)

23)

24)


33

1.4. ECUACIONES EXACTAS, FACTOR INTEGRANTE

Objetivos

1. Identificar y resolver las E.D.

exactas.

2. Determinar los factores integrantes

para E.D. que no son exactas y transformarlas en E.D. exactas.

1.4.1 Ecuaciones Exactas

Definición 1 FORMA DIFERENCIAL EXACTA

Se dice que la forma diferencial

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

es exacta en un rectángulo R, si existe una función 𝐹(𝑥, 𝑦) tal que

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑦

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 𝑁(𝑥, 𝑦)

para todo (𝑥, 𝑦) en R. Esto es, la diferenciable 𝐹(𝑥, 𝑦) satisface

𝑑𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

Entonces la ecuación

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Se llama ecuación exacta.

Ejemplo1.La ecuación diferencial 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 es exacta, ya que existe

𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦, tal que 𝑑𝐹 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0. Cuya solución se obtiene integrando

ambos miembros de la última ecuación. Por lo tanto la solución implícita

es 𝑥𝑦 = 𝑐.

Ejemplo 2. Demuestre que la ecuación (𝑦 − 3𝑥2)𝑑𝑥 + (𝑥 − 1)𝑑𝑦 = 0 es exacta y luego

encuentre sus soluciones.

Solución

La ecuación es equivalente a: (𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦) − 3𝑥2𝑑𝑥 − 𝑑𝑦 = 0.

Podemos escribirlo como: 𝑑(𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦) = 0.

Por lo tanto 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦 satisface: 𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥= 𝑦 − 3𝑥2 = 𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝐹(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦= 𝑥 − 1 = 𝑁(𝑥, 𝑦)

Por lo tanto la ecuación diferencial es exacta, con solución: 𝑥𝑦 − 𝑥3 − 𝑦 = 𝐶.


34

Teorema 1 CRITERIO DE EXACTITUD

Suponga que las primeras derivadas parciales de 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) son

continuas en un rectángulo R. Entonces,

𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Es una ecuación exacta en R si y sólo si

𝜕𝑀(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥

para todo (𝑥, 𝑦) en R.

Demostración

]Suponga que 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 es exacta. Entonces existe una función

F(x,y) que satisface

),(),( yxMyxx

F

y ),(),( yxNyx

y

F

Usando estas ecuaciones:

),(),(2

yxxy

Fyx

y

M

y ),(),(

2

yxyx

Fyx

x

N

Puesto que las primeras derivadas parciales de M y N son continuas en R,

lo mismo es cierto para las derivadas parciales mixtas de segundo orden de

F. Del cálculo recordamos que la continuidad de dichas derivadas parciales

implica que son iguales. Por tanto,

),(),(2

yxxy

Fyx

y

M

=

x

Nyx

yx

F

),(

2

en R. En consecuencia, si Mdx+Ndy =0 es exacta entonces se satisface

),(),( yxx

Nyx

y

M

para todo (x,y) en R.

] Suponga que ),(),( yxx

Nyx

y

M

para todo (x,y) en R.

Definamos F(x,y)= )(),( ygdxyxM

)('),(),( ygdxyxM

yyx

y

F

de donde g’(y)=

dxyxM

yyx

y

F),(),( =

dxyxM

yyxN ),(),( .

Integrando se obtiene g(y). Por tanto, es posible determinar la función

F(x,y) a partir de las funciones M y N.

Ejemplo 3. Resuelva 2xy dx + (x2 + cos y)dy = 0


35

Solución

Aquí M = 2xy, N = x2 + cos y x

Nx

y

M

2

Y la ecuación es exacta. Así F existe tal que

yxy

Fxy

x

Fcos,2 2

Integrando la primera ecuación con respecto a x da

F= x2y + f(y),

sustituyendo en la segunda ecuación, encontramos

x2 + f’(y) = x2 + cos y, f’(y) = cos y, f(y) = sen y

De donde F = x2y + seny, y la solución general requerida es x2y + seny =

c.

Ejemplo 4. Resuelva y’ = (xy2 - 1)/(1 – x2y), dado que y=1 donde x=0

Solución Escribiendo la ecuación como (xy2 - 1)dx + (x2y - 1)dy = 0. Tenemos

M = xy2 – 1, N = x2y – 1, xyx

N

y

M2

Y la ecuación es exacta. Así, de x

F

= M y

y

F

= N.

Integrando la primera ecuación con respecto a x da

F= 2

22yx

–x + f(y),

sustituyendo en la segunda ecuación, obtenemos

x2y + f’(y) = x2y –1

de donde f(y)=-y

Reemplazando yxyx

F 2

22

, y la solución general es: 2

22yx

-x-y=c.

Como y=1 cuando x=0, tenemos finalmente 12

1 22 yxyx .

Ejemplo 5. Resuelva 2xydx + (x2 + cosy)dy = 0 por “agrupación de

términos”

Solución

La ecuación es exacta. Si agrupamos los términos como sigue:

(2xy dx + x2dy) + cos ydy = 0


36

Entonces d(x2y) + d(sen y) = 0 o d(x2y + sen y) = 0

Así, la solución de la ecuación es

x2y + sen y = c

Ejemplo 6. Resuelva y’=(x2y - 1)/(1 – x2y) por “agrupación de términos”

Solución La ecuación escrita (xy2 - 1)dx + (x2y - 1)dy = 0 es exacta y agrupando

se obtiene

(xy2dx + x2ydy) – dx – dy = 0

O 02

22

dydy

yxd esto es 0

2

22

yx

yxd

De donde la solución de la ecuación diferencial es:

cyxyx

2

22

Ejemplo 7. Resuelva xy2 + x + yx2y’=0

Solución

Aquí xxyx

F

2 , xyy

F 2

F= ydyx2

= xyx

(2

22

φ ) de donde )('2xxy

x

Fφ

= xy2 + x.

Como xx )('φ , 2

)(2

xx φ , entonces F =

22

222xyx

. Y la solución de E.D.F.es

x2 y2 + x2 = c

1.4.2 Factor Integrante


37

Definición 2 FACTOR INTEGRANTE

Si la ecuación

M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 (1)

No es exacta, pero la ecuación

(x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy =0

que resulta de multiplicar la ecuación (1) por la funció (x,y) es exacta,

entonces (x,y) se llama factor integrante de la ecuación (1).

Ejemplo 8. Demuestre que (x,y)=xy2 es un factor integrante de la

ecuación diferencial: (2y-6x)dx + (3x-4x2y-1)dy =0.

Solución Multiplicando la E.D.O. por el factor integrante, obtenemos:

(2xy3-6x2y2)dx + (3x2y2-4x3y)dy =0

Como M=2xy3-6x2y2 y N=3x2y2-4x3y y ),(126),( 22yx

x

Nyxxyyx

y

M

Luego la nueva E.D.O. es exacta.

F(x,y)= )(2)(62 2332223ygyxyxygdxyxxy

Usando la condición ),(),( yxNyxy

F

yxyxygyxyx322322 43)('43

Así g’(y)=0 y g(y)=0. Entonces F(x,y)= x2y3-2x3y2.

La solución de la E.D. es x2y3-2x3y2 = c

Teorema 2 FACTOR INTEGRANTE


38

a) Si N

x

N

y

M

es continua y depende solamente de x, entonces

(x)=exp

dxN

x

N

y

M

es un factor integrante de la (1)

b) Si M

y

M

x

N

es continua y depende solamente de y, entonces

(y)=exp

dyM

y

M

x

N

es un factor integrante de la (1)

Demostración Por la exactitud de (x,y)M(x,y)dx + (x,y)N(x,y)dy =0, tenemos

),(),(),(),( yxNyxx

yxMyxy

μμ

Aplicando la regla de la derivada de un producto tenemos:

μμμ

y

M

x

N

xN

yM

Si suponemos que = (x), se convierte en

μμ

N

xNxM

dx

d // dx

N

xNxMd

//

μ

μ

De donde (x)= exp

dxN

x

N

y

M

En forma similar si = (y), entonces

(y)=exp

dyM

y

M

x

N

Ejemplo 9. Resuelva (2x2 + y)dx +(x2y – x)dy =0


39

Solución Esta ecuación no es separable, por lo que aplicando el teorema:

xxyx

xy

N

xNyM 2)12(1//2

(x)= exp22

xdxx

Multiplicando a la E.C.D. por el factor integrante, se obtiene una

ecuación exacta

(2 + yx-2)dx +(y-x-1)dy = 0

que tiene solución implícita: 2x – yx-1 + 2

2y

= c

Ejemplo 10. Resuelva ydx + (3 + 3x - y)dy = 0

Solución

Aquí M = y, N = 3 + 3x – y, 3,1

x

N

N

M

De modo que la ecuación no es exacta

Ahora

N

xNyM //

yx

33

31 no es una función solo de x.

Pero M

y

M

x

N

= yy

213

si es una función solo de y, por lo tanto

(y)= 2lnln2/2 2

yeeeyydyy

es un factor integrante.

Multiplicando la E.D. dada por y2, se llega a una ecuación exacta y la

solución es

xy2 + y3 - cy

4

2

Ejemplo 11. Una curva que tiene una pendiente dada por 22

2

yx

xy

dx

dy

pasa

por el punto (2,1). Encuentre su ecuación.


40

Solución

La ecuación diferencial puede escribirse 2xy dx + (y2 – x2)dx = 0

Así M = 2xy N = y2 – x2, xy

M2

x

y

N2

De modo que la ecuación no es exacta.

Ahora

N

xNyM //2222

)2(2

xy

dx

xy

xx

no es una función solo de x.

Pero M

y

M

x

N

=yxy

xx 2

2

22

es una función solo de y. Por lo tanto, su factor

integrante está dado por

(y)= 22/2

yeeyIndyy

Usando el factor integrante, encontramos la solución general

x2 + y2 = cy

Usando la condición inicial, la ecuación requerida es: x2 + y2 = 5y

Ejemplo 12. Resuelva y’ =x – y, y(0)=2

Solución

La ecuación se puede escribir como (x – y)dx – dy =0

Tenemos M(x,y)=x – y, N= -1, 1

y

M , 0

x

N

De modo que la ecuación no es exacta.

Ahora

N

xNyM //1

1

01

es una función solo de x. Por lo tanto, su

factor integrante está dado por

(x)= xdxee

Siguiendo el proceso realizado en los ejercicios anteriores se obtiene

(x – 1)ex – yex = -3

PRÁCTICA 1.4

ECUACIONES EXACTAS


41

Escribe cada ecuación en la forma Mdx + Ndy = 0, prueba la exactitud,

resuelva aquellas ecuaciones que son exactas.

1. 3xdx + 3ydy = 0

2. y’ = yx

yx

3. 2xyy’ = x2 – y2

4. y’ = yx

x

5. yxsen

xyx

dx

dy

cos

6. 1-ør

øsenr

ød

dr

cos2

2

7. ye-x–sen x)dx–(e-x+2y)dy= 0

8. 0)2(2

dyyxIndxx

yx

Resuelva cada ecuación sujeta a las condiciones indicadas

9. 212

2

)(y ;

xy

xy'y

10. 2xydx + (x2 + 1)dy = 0; y(1) = -1

11. 022

)(y;ycosx

senyx'y

12. 42

2

)(y;

ytanxsen

yxseg

dy

dx

FACTOR INTEGRANTE

13. Muestre que yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0 no es exacta en general pero llega a ser exacta al multiplicarla por el factor integrante

1)()(

xygxyfxy .

14. (3x + 2y2)dx + 2xy dy = 0

15. (2x2- y)dx + x sy = 0; y(1) = 1

16. (y2 cosx - y)dx + (x + y2)dy = 0

17. (x + x2sen 2y)dy – 2ydx = 0

18. 2

)0(;cos 2

π

y

ysenyx

ysen

dx

dy

19. (2ysenx – cos2x)dx + cosxdy = 0

Resuelva cada uno de los siguientes ejercicios

20. y

xxsenxx

dx

dy

2

coscos3 2


42

21. 22

yyx

x

dx

dy

22. (3x2+y+3x2y)dx + xdy = 0

23. (2x+2xy2)dx + (x2y+2y+3y3)dy = 0

24. Muestre que si la ecuación Mdx + Ndy = 0 es tal que

)(1

xyFy

M

x

N

yNxM

esto es, una función del producto xy, entonces

un factor integrante es duuFe

)( donde u = xy

NOTA HISTORICA JOSEPH-LOUIS LAGRANGE

Nació el 25 de Enero de 1736 en Turin, Sardinia-Piedmont (Ahora Italia) y falleció el

10 de Abril de 1813 en Paris, Francia.

A los 19 años de edad, obtuvo fama resolviendo el así llamado problema

isoperimétrico, que había desconcertado al mundo matemático durante medio siglo. Comunicó su

demostración en una carta a Euler, el cual se interesó enormemente por la solución, de modo

especial en cuanto concordaba con un resultado que el mismo había hallado. Euler con

admirable tacto y amabilidad respondió a Lagrange, ocultando deliberadamente su propia obra,

de manera que todo el honor recayera sobre su joven amigo. En realidad Lagrange no solo

había resuelto un problema , también había inventado un nuevo método, un nuevo cálculo de

variaciones, que sería el tema central de la obra de su vida. Este cálculo pertenece a la

historia del mínimo esfuerzo, que comenzó en los espejos reflectores de Herón y continuó

cuando Descartes reflexionó sobre la curiosa forma de sus lentes ovales. Lagrange podía

demostrar que los postulados newtonianos de materia movimiento, un tanto modificados, se

adaptaban al principio de economía de la naturaleza. El principio ha conducido a los

resultados más fructíferos de Hamilton y Maxwell, y, actualmente, continúa, en la obra de

Einstein y en las últimas fases de la mecánica ondulatoria.

Lagrange estaba dispuesto a apreciar el trabajo sutil de los demás, pero estaba

igualmente capacitado para descubrir un error. En una temprana memoria sobre las matemáticas

del sonido, señaló defectos, incluso en la obra de Newton. Otros matemáticos le reconocían,

sin envidia, primero como su compañero y más tarde, como el mayor matemático viviente.

Después de varios años del mayor esfuerzo intelectual sucedió a Euler en Berlín. De vez en

cuando estaba gravemente enfermo, debido al exceso de trabajo. En Alemania, el rey Federico,

que siempre le había admirado, pronto comenzó a gustar de sus modales modestos, y le

reprendía por su intemperancia en el estudio, que comenzaba con desquiciar su mente. Las

amonestaciones debieron producirle algún efecto, por que Lagrange cambió sus hábitos, e hizo

cada noche un programa de lo que debería leer al día siguiente, sin exceder nunca la

proporción. Siguió residiendo en Prusia durante 20 años, produciendo obras de alta

distinción, que culminaron en su Mécanique Analytique. Decidió publicarlo en Francia, a

donde fue llevado a salvo por uno de sus amigos.

La publicación de esta obra maestra originó gran interés, que aumentó

considerablemente, en 17787, con la llegada a Paris del célebre autor en persona, que había

dejado Alemania después de la muerte del rey Federico, puesto que ya no encontraba una

atmósfera afín en la corte prusiana. Los matemáticos acudieron en tropel a recibirlo y a

rendirle todos los honores, pero se desanimaron al encontrarlo perturbado, melancólico e

indiferente al ambiente circundante. Aún peor su talento para las matemáticas había

desaparecido. Los años de actividad producían su efecto, y Lagrange estaba desgastado

matemáticamente.



43

1) 2)

3) 4)

5) 6)


44

7) 8)

9) 10)

11) 12)


45

13) 14)

15) 16)

17) 18)


46

19) 20)

21) 22)

23)

24)


47

1.5. ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Objetivos

1. Resolver E.D. lineales de primer orden.

2. Reconocer y resolver ecuaciones de Bernoulli.

3. Reconocer y resolver E.D. de Riccati

1.5.1 La Ecuación de primer orden lineal

Una ecuación diferencial de primer orden lineal es aquella que puede escribirse en la

forma

)()( xQyxPdx

dy

donde )()( xQ y xP son funciones dadas. Es fácil verificar que la

ecuación tiene como factor integrante a Pdxe , puesto que al multiplicar

ambos lados por este factor se obtiene.

PsxPdxPdx

QePyedx

dye

Lo cual es equivalente a: PsxPdx

Qeyedx

d)(

Por integración se obtiene

cdxQeyePdxPdx

de donde

cdxQeey

PdxPdx

Ejemplo 1. Resuelva 505 ydx

dy

Solución

Como P=5, Q=50. Un factor integrante es xdx ee 55 .

Multiplicando por xe5, podemos escribir la ecuación diferencial como

xxxeye

dx

dye 505

que es equivalente a:

xxeye

dx

d 55 50)(

de donde, xxx

ceyoceye555 1010


48

Ejemplo 2. Resuelva 1032

10

t

I

dt

dI, dado que I = 0 cuando t = 0

Solución

Un factor integrante es 5)32ln()32(ln532

10

)32(5

teee

ttdt

t .

Multiplicando por (2t + 3)5 a la ecuación diferencial, nos queda:

555 )32(1032

10)32()32(

t

t

It

dt

dIt

55 )32(10)32( ttIdt

d

de donde 5)32(

)52(6

5

t

ctI

Como I=0 cuando t=0, obtenemos c=-607.75.

Entonces 5)32(

75.607)52(

6

5

ttI

Ejemplo 3. Resuelva 2432 xydx

dyx

Solución

La ecuación es equivalente a: xyxdx

dy2

2

3

Usando la fórmula obtenida para este caso, resulta:

cxdxeeyxdxdx

x 22

3

2

3

cxdxeeyxx

2ln

2

3ln

2

3

cxdxeexx

22/32/3 lnln

cxdxxxy 2

3

2

3

2

cdxxx 2

1

2

3

2

cxxy 2

1

2

3

4


49

1.5.2 La Ecuación de Bernoulli

Se llama una ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se

puede expresar en la forma:

nyxQyxP

dx

dy)()( (1)

donde P(x) y Q(x) son funciones continuas y n un número real

Al dividir la ecuación diferencial de Bernoulli por yn, resulta

)()( 1xQyxP

dx

dyy

nn (2)

Haciendo el cambio:

v = y1-n, dx

dyyn

dx

dv n )1( (3)

Reemplazando (3) en (2) resulta la ecuación lineal de primer orden:

)()(1

1xQvxP

dx

dv

n

cuya solución ya se explico.

Ejemplo 1. Resuelva 393 xyydx

dy

Solución

La ecuación es equivalente a xydx

dyy 93 23

Haciendo

v = y-2, dx

dyy

dx

dv 32

Reemplazando en la ecuación diferencial, resulta la ecuación lineal de

primer orden:

xvdx

dv93

2

1

cuya solución es: v = 3x-2

1+Ce-6x, de donde y-2 = 3x-

2

1+Ce-6x


50

Ejemplo 2. Resuelva x 02 35 xeyxy

dx

dy

Solución

La ecuación es equivalente a xexy

xdx

dyy

423 2

Haciendo

v = y-2, dx

dyy

dx

dv 32


primer orden:

xexv

xdx

dv 424

cuya solución es

cdxexeevx

dxx

dxx 4

44

2

cdxexeevxxx

4lnln 244

)2(4cexv

x

Como v = y-2, entonces la solución de la E.D.O. es

)2(42cexy

x

Ejemplo 3. Resuelva xy’ + y = x4y3

Solución

La ecuación es equivalente a y-3y’ + x

1y-2 = x3

Haciendo

v = y-2, dx

dyy

dx

dv 32


primer orden:

322

xvxdx

dv

cuya solución es v = -x4 + Cx2 y-2 = -x4 + Cx2 .


51

1.5.3 La Ecuación de Riccati

El conde Jacopo Francesco Riccati, nació el 28 de mayo de 1676 en

Venecia, república veneciana(ahora Italia) y murió el 15 de Abril de 1754

en Traviso, república veneciana.

Riccati estudió detalladamente la hidrodinámica sobre la base de la

mecánica newtoniana, a cuya introducción en Italia colaboró. Se le

recuerda por la solución de ecuaciones que llevan su nombre, un tipo de

ecuación diferencial de la forma

)()()( 2xRyxQyxP

dx

dy ,

que se resisten a la mayoría de las técnicas elementales de solución.

Riccati ideó, que si se conoce una solución partícular, digamos u(x),

entonces la sustitución y = u + 1/z, reduce a la ecuación de Riccati a una

ecuación de Bernoulli.

El se relacionó con una gran cantidad de matemáticos Europeos y tenía una

influencia amplia en Daniel Bernoulli, Euler. El también trabajó en los

péndulos cycloida, las leyes de la resistencia en una geometría fluída y

diferenciada.

Ejemplo 1. Resuelva y’-xy2+(2x-1)y = x-1, con solución particular y=1.

Solución

Haciendo el cambio: y = 1 +1/z , dx

dzz

dx

dy 2 , la E.D.O. se transforma en

1)1

1)(12()1

1( 22 x

zx

zx

dx

dzz

efectuando las operaciones algebraicas se obtiene la siguiente ecuación

diferencial lineal de primer orden:

xzdx

dz

cuya solución es z =

cxdxeedxdx

= cxdxee

xx

= xxxxcexcexee

1

Como z= 1

1

y, entonces se llega a la solución:

xcex

y

11

1


52

Ejemplo 2. Resuelva xxydx

dy222 , yp = -x + 1

Solución

Haciendo el cambio: y = -x + 1 + 1/z , dx

dzz

dx

dy 21 , la E.D.O. se

transforma en la ecuación lineal de primer orden

1)22( zxdx

dz

cuya solución se encuentra

cdxeez

dxxdxx )22()22(

como z=1

1

xy, entonces la solución final resulta:

cdxeexy

xxxx

22 22

1

1

Ejemplo 3. Resuelva y’ = xy2 – 2y + 4 – 4x, donde y = 2 es una solución particular.

Solución

Haciendo el cambio y = 2 + 1/z , dx

dzz

dx

dy 2 , la E.D.O. se transforma en

la nueva ecuación de Riccati

-z’ = z(4x + 2) + 8z2 + x, con solución particular z = -4

1

Haciendo el nuevo cambio z = -4

1 + 1/u ,

dx

duu

dx

dz 2 , la E.D.O. en z, se

transforma en

u' + (2 – 4x)u = 8

cuya solución es

u =

Cdxee

dxxdxx8

)42()42(


53

PRÁCTICA 1.5

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN LINEAL Del 1 – 12 hallar la solución general de cada una de las siguientes

ecuaciones

1. xy’+ 4y = 0

2. y’ + 22 xx

y

3. y’ = ex – y

4. y’ + 3y = senx

5. y’ + 2xy = x

6. y’ + 2y = e2x

7. (x-1)y’ + y = x2 - 1

8. (4-x2)y’ + (cosx)y = 0

9. (2x2+1)y’ – xy = 3x

10. 4xy’ – y =lnx +3

11. xsenxdx

dy + (senx + xcosx)y = xex

12. 141

xx

y

dx

dyx

ECUACIONES DE BERNOULLI Del 13 – 21 resolver las siguientes ecuaciones de Bernoulli

13. y’ + 2xy = x2y3

14. y’ + 2

xyx

y

15. y’ – y =x23 y

16. y’ + yxx

y

17. xy’ + xy

xxx

x

y

ln

)ln(

ln 2

18. 3/2)cos1('6

2yxyy

xsen

19. yxyyx )1(2')1( 2

20. (xy2)’ = (xy)3 (x2 + 1)

21. y’ = 223

3

)12(

)43(ln)1(

yxx

yxxxx


54

ECUACIONES DE RICCATI

Del 22 – 29 resolver las siguientes ecuaciones de Riccati

22. 2y(x) yydx

dy ,2 2

23. 1y(x) xyyxdx

dy ,1 2

24. x

2 y(x) yy

xxdx

dy

,

14 2

2

25. xy(x) yyx

xdx

dy ,2

12 22

26. xxxey(x) yyee

dx

dy ,)21( 22

27. tanxy(x) yxyxdx

dy ,tansec 22

28. y’ + xy2 – 2x2y + x3 = x + 1, y(x) x – 1

29. 2y’ – (y/x)2 – 1 = 0, y(x)= x

30. Demostrar que una ecuación de Riccati de coeficientes constantes

02 cbyaydx

dy

tiene una solución de la forma y=m, m constante si y sólo si m es

una raíz de la ecuación cuadrática am2 + bm + c = 0.

Utilizando el resultado del ejercicio 30 resolver las siguientes

ecuaciones diferenciales

31. y’ + y2 + 3y + 2 = 0

32. y’ + y2 – 2y + 1 = 0

33. y’ + 4y2 – 9 = 0

34. 6y’ + 6y2 + y - 1 = 0

35. 2y’ - y2 + 4y - 3 = 0

36. y’ + y2 + y - 12 = 0

37. y’ + y2 + 2y - 8 = 0

38. y’ + y2 + 3y - 18 = 0

39. y’ + y2 - 5y - 50 = 0

40. y’ + y2 + 2y - 15 = 0


55

1.6. APLICACIONES 1

Objetivos





56

1.7. APLICACIONES 2:

Objetivos





57

1.8. MÉTODO NUMÉRICO: EULER

Objetivos




1.7. APLICACIONES DE LAS E.D.O. DE PRIMER ORDEN

Objetivos




edo ok

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