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8/11/2019 Ecuaciones Integrales - H. Falomir.pdf

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CURSO DE M ETODOS DE LA F ISICA MATEM ATICA

AN ALISIS FUNCIONAL

H. FALOMIR

DEPARTAMENTO DE F ISICA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP

NOTAS SOBRE ECUACIONES INTEGRALES

1. Autovalores de operadores compactos

Sea A un operador completamente continuo denido sobre un espacio eucldeoE . En particular, A es acotado, de modo que

(1.1) A x A x , x E .Como no estamos suponiendo que este operador sea simetrico, sus autovalores (si

existen) ser an, en general, numeros complejos. Y los autovectores correspondientesa autovalores distintos no seran, en general, ortogonales entre s.

Supongamos que F = {x1, x2, . . . , x k , . . . } E sea un conjunto de autovectoreslinealmente independientes de A correspondientes a autovalores que en modulosuperan a un n umero positivo ,

(1.2) A xk = k xk , con A |k | > > 0 , k .Mediante el proceso usual de ortonormalizacion de una secuencia podemos ge-

nerar el conjunto ortonormal {e1, e2, . . . , e k , . . . }, donde

(1.3) ek =k

j =1

akj x j , con ek xl , para l < k .

Actualizado el 5 de febrero de 2008.

1


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2 H. Falomir

En esas condiciones, A ek puede escribirse como la suma de dos vectores orto-gonales entre s,

(1.4) A ek =k

j =1

akj j x j = k ek +k 1

j =1

akj ( j k ) x j ,

lo mismo que la diferencia

(1.5) A ek A el = k ek +k 1

j =1

akj ( j k ) x j l

j =1

a lj j x j

si l < k. Entonces,

(1.6)

A ek

A el

2 =

= k ek 2 +k 1 j =1 akj ( j k ) x j

l j =1 a lj j x j

2

k ek 2 = | k |2 > 2 > 0 .Por lo tanto, el conjunto {A e1, A e2, . . . , A e k , . . . } no contiene ninguna secuen-

cia de Cauchy. Entonces, como A es compacto, el conjunto {e1, e2, . . . , e k , . . . }debe tener un n umero nito de elementos, lo que signica que el subespacio linealgenerado por los vectores del conjunto F ,

L{x

1, x

2, . . . , x

k, . . .

}, tiene dimensi on

nita.

En consecuencia, los autovalores no nulos de un operador completamente conti-nuo forman en el plano complejo, a lo sumo, una secuencia numerable que convergeal origen. Ademas, la multiplicidad de cualquier autovalor no nulo es nita.

2. Ecuaciones integrales de n ucleo no sim etrico

Consideremos la ecuaci on integral

(2.1) (t) b

aK (t, s ) (s) ds = f (t) ,

donde K (t, s ) L2 (a, b) (a, b) y f (t) L2(a, b) son funciones conocidas y(t) L 2(a, b) es la incognita.El nucleo de cuadrado sumable K (t, s ) dene un operador integral de Fredholm

completamente continuo,

(2.2) A (t) =

b

aK (t, s ) (s) ds ,

que, en general, sera no simetrico.


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Ecuaciones Integrales 3

Como consecuencia del Teorema de Fubini (que autoriza a cambiar el ordende integraci on cuando una integral doble existe), el operador adjunto A resulta

denido como(2.3) A(t) =

b

aK (s, t ) (s) ds .

La ecuacion integral (2.1) puede ser escrita como

(2.4) (t) A (t) = f (t) ,mientras que el problema equivalente para el operador adjunto sera

(2.5) (t) A (t) = g(t) ,con g(t) L 2(a, b).

La existencia de soluciones no triviales para la problema adjunto homogeneo (esdecir, la existencia de autovectores de A correspondientes al autovalor 1),

(2.6) 1(t) A 1(t) = 0 (t) ,condiciona la existencia de soluciones para la ec. (2.4). En efecto, el productoescalar de 1(t) por ambos miembros de (2.4) da lugar a la ecuaci on

(2.7) (1, f ) = 1, I A = I A 1, = ( 0 , ) = 0 ,que es una contradicci on a menos que la inhomogeneidad f (t) sea ortogonal alsubespacio caracterstico de A correspondiente al autovalor 1 (subespacio de di-mension nita, dado que A es compacto). Si ese no es el caso, no existen solucionespara la ecuacion (2.4).

Por otra parte, la existencia de soluciones no triviales para la ecuaci on ho-mogenea

(2.8) 1(t) A 1(t) = 0(t)(es decir, la existencia de autovectores del operador A correspondientes al auto-valor 1, los que tambien forman un subespacio de dimension nita dado que A escompacto) implica que, de existir una solucion para la ec. (2.4), ella no sea unica.En efecto, en ese caso tambien tenemos que

(2.9) I A (t) + 1(t) = f (t) .Puede demostrarse el siguiente teorema:

Teorema 2.1. Consideremos la ecuaci on homogenea (2.8). Dos casos son posibles:

I) esa ecuaci on tiene solucion unica, 1(t) = 0 (t),


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4 H. Falomir

II) o bien tiene una soluci on no trivial 1(t) = 0(t).En el caso I) la ecuaci on inhomogenea (2.4) tiene soluci on unica

f (t) L 2(a, b), lo mismo que la ec. (2.5) g(t) L 2(a, b).En el caso II), las ecuaciones homogeneas (2.8) y (2.6) tienen el mismo n umero

nito n de soluciones linealmente independientes. La ecuaci on imhomogenea (2.4)tiene solucion si y solo si f (t) es ortogonal a las n soluciones linealmente indepen-dientes de (2.6), y en ese caso no es unica, sino que est a denida a menos de una soluci on arbitraria de (2.8). (Evidentemente, algo similar vale para la ec. (2.5).)

Para el caso de nucleos degenerados la demostraci on es inmediata, puesto quelos operadores A y A aplican todo L2(a, b) en subespacios de dimensi on nita,

y el problema se reduce a mostrar la existencia de soluciones para un sistema deecuaciones algebraicas lineales.

Nucleos de cuadrado sumable arbitrarios pueden ser aproximados en la metricade L2 (a, b) (a, b) por las sumas parciales de sus series de Fourier respecto dealgun sistema ortonormal y completo de funciones. La continuidad completa deestos operadores permite establecer el resultado tambien en este caso (ver, porejemplo, The Theory of Linear Spaces , G. Ye. Shilov).

De este teorema se deduce el siguiente corolario:

Corolario 2.2. (de la alternativa de Fredholm) Si A es un operador integral de Fredholm de n ucleo de cuadrado sumable, entonces se tiene una de las siguientes dos posibilidades excluyentes:

I) la ecuaci on (t) A (t) = f (t) tiene una soluci on f (t) L2(a, b) (en cuyo caso la soluci on es unica),

II) o bien la ecuaci on homogenea 1(t) A 1(t) = 0(t) tiene una soluci on notrivial.

3. Ecuaciones integrales dependientes de un par ametro complejo

Consideremos una familia de ecuaciones integrales que incluyan un parametrocomplejo multiplicando al n ucleo de cuadrado sumable K (t, s ),

(3.1) (t) b

aK (t, s ) (s) ds = I A (t) = f (t) .

Por el corolario de la alternativa de Fredholm sabemos que, para cada C ,puede darse solo una de las siguientes dos posibilidades:

I) la ecuacion (3.1) tiene una soluci on f (t) L 2(a, b) (en cuyo caso es unica),


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II) o bien la ecuacion homogenea

(3.2) I A 1(t) = 0 (t)tiene una soluci on no trivial, que corresponde a un autovector del operador A conautovalor 1 / ,

(3.3) A 1(t) = 1

1(t) .

En el primer caso, es un valor regular de la ecuacion (3.1), mientras que enel segundo caso se dice que es un valor singular de esa ecuacion.

Ya sabemos que los autovalores no nulos de un operador completamente continuoforman, a lo sumo, una secuencia numerable que converge al origen del planocomplejo, y que esta contenida en un crculo de radio A . Si A es un operadorintegral de Fredholm de n ucleo de cuadrado sumable, tenemos ademas que A K (t, s ) = K .

En consecuencia, los valores singulares de la ecuaci on (3.1) forman, a lo sumo,una secuencia numerable que diverge al innito y esta contenida en el exterior deun crculo de radio ( /K ), con 0 < < 1. En particular, existe un entorno de

= 0 libre de valores singulares.Ejemplo:

Consideremos el nucleo(3.4) K (t, s ) =

sin(t) cos(s) , t s ,cos(t) sin(s) , t s ,

con 0 t, s , cuya norma es K = K (t, s ) = / 2, y la ecuacion integral(3.5) (t)

b

a

K (t, s ) (s) ds = f (t) .

Para determinar sus valores singulares tengamos en cuenta que este n ucleo essimetrico y continuo, satisface la ecuacion diferencial

(3.6) 2t K (t, s ) = K (t, s ) , para t = s ,tambien las condiciones de contorno K (0, s) = 0, t K (, s ) = 0, y su derivadaprimera respecto de t tiene una discontinuidad en t = s de altura

(3.7) t K (t, s ) t = s + t K (t, s ) t = s = sin2(s) cos2(s) = 1 .Ademas, el Wroskiano W [sin(t), cos(t)] = 1.


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6 H. Falomir

En esas condiciones, K (t, s ) puede ser considerado como la funcion de Green deloperador de Sturm - Liouville denido como

(3.8) L (t) = (t) (t)sobre el subespacio de las funciones dos veces diferenciables que satisfacen lascondiciones de contorno (0) = 0 y () = 0.

Entonces, el operador integral A de nucleo K (t, s ) tiene las mismas autofuncionesque el operador L, y los autovalores de este coinciden con los valores singulares dela ecuacion integral (3.5):

(3.9)

L k (t) =

k (t)

k (t) = k k (t) , k (0) = 0 , k () = 0

k (t) = sin k + 12 t , con k = k +

12

2

1 , k = 0, 1, 2, . . .Notese que, k , | k | 34 > 1K = 2 , de modo que L es no singular, y existe uncrculo de radio < 34 en el plano complejo de la variable que no contiene valoressingulares.

Como A es simetrico y completamente continuo, tiene un conjunto ortonormaly completo de autovectores, A ek (t) = k ek (t), para k = 0, 1, 2, . . . , donde

(3.10) ek (t) = 1 sin (k + 1 / 2) t , con k =

1k

= 1k + 12

2

1.

Entonces,

(3.11)

I A (t) = f (t) (1 k ) (ek , ) = ( ek , f ) =

1

0sin (k + 1 / 2) t f (t) dt .

Por lo tanto, para todo valor regular = k , k, la solucion de (3.5) existe yes unica f (t) L 2(0, ), y esta dada por

(3.12) (t) = f (t) +

k=0

k (ek , f )(1 k )

sin (k + 1 / 2) t ,

donde la serie en el segundo miembro converge absoluta y uniformemente (dadoque el nucleo K (t, s ) satisface la condici on de Hilbert - Schmidt y la diferencia( (t) f (t)) Rank( A)). En particular, ( (t) f (t)) es continua.

Si, por el contrario, coincide con un valor singular k0, entonces la solucion no

existe a menos que f (t) ek0 (t), en cuyo caso no es unica. En efecto, si (ek0 , f ) = 0


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entonces

(3.13)

(t) = f (t)+

k= k0

k (ek , f )(1 k )

sin (k + 1 / 2) t + c sin (k0 + 1 / 2) t ,

con c C arbitrario. 4. Operador resolvente

Sea C un valor regular de la ecuaci on(4.1) I

A = f ,

donde A es un operador completamente continuo denido sobre un espacio deHilbert E . Entonces (4.1) tiene una soluci on unica f E , de modo que existeuna correspondencia biunvoca entre la soluci on y la inhomogeneidad f .

En esas condiciones existe el inverso de I A , y podemos expresar la solucionde (4.1) como

(4.2) = R f , donde R = I A 1 : E E ,

llamado operador resolvente de A, esta denido sobre todo el espacio de Hilberty su rango es Rank (R ) = E .

El operador R es evidentemente lineal, dado que la ecuaci on (4.1) es lineal. Enefecto, si I A 1,2 = f 1,2 entonces la solucion de(4.3) I A = f 1 + f 2est a dada por

(4.4) R ( f 1 + f 2) = = 1 + 2 = R f 1 + R f 2 .

Mostraremos que el operador R es tambien acotado.Para ello supongamos que R , que solo existe para valores regulares de , sea

no acotado. En ese caso es posible seleccionar una secuencia de vectores unitarios

{f k E , k N} tales que las correspondientes soluciones de (4.1), k = R f k ,tengan normas k cuando k .

Dada la linealidad de la ec. (4.1), para los vectores unitarios ek = k / k tenemos

(4.5) ek = gk + A ek ,

donde, por construcci on, gk = f k / k 0 cuando k .


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Como A es completamente continuo, el conjunto {A ek , k N} contiene unasecuencia fundamental. Descartando los vectores ek cuyas imagenes no pertenezcan

a esa secuencia, podemos suponer que {A ek , k N

} es una secuencia convergenteen el espacio de Hilbert E .En esas condiciones, la secuencia {ek , k N} es convergente en E : existe un

vector no nulo e E tal que(4.6) e = lm

kek , con e = lmk ek = 1 .

Como A es continuo,

(4.7) e = lmk {gk + A ek} = 0 + A e = 0 .

Pero esto indicara que es un valor singular, en contradicci on con la hipotesis dela existencia de R . Por lo tanto, R es necesariamente un operador acotado.

5. Construcci on de R en un entorno del origen

Dado que existe un entorno del origen en el plano complejo de la variable queno contiene valores singulares, el operador resolvente existe para valores de | |sucientemente peque nos. En lo que sigue daremos una expresion explcita para

R en esa region.Consideremos el operador (no lineal) denido sobre E por la relacion

(5.1) B = A + f ,

y evaluemos la distancia entre las imagenes de dos vectores arbitrarios , E ,(5.2) B B = A ( ) | | A .Tomando C tal que(5.3) | | A < 1obtenemos que

(5.4) B B < .Un operador B con estas propiedades se dice contractivo .

Mostraremos que todo operador contractivo tiene un unico punto jo , es decir,un unico vector E que satisface que(5.5) B = .


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En nuestro caso, este vector correspondera a la unica solucion de la ec. (4.1) parauna inhomogeneidad f ,

(5.6) = B = A + f .

Partiendo de un vector arbitrario 0 E , formemos la secuencia(5.7) 0 , 1 = B 0 , 2 = B 1 = B 2 0 , . . . , k = B k 1 = B k 0 , . . .

Veremos que esta es una secuencia de Cauchy.Para ello, primero tomemos la distancia entre dos elementos consecutivos,

(5.8) k+1 k = B k B k 1 k k 1

2 k 1 k 2 k 1 0 ,de donde se deduce que

(5.9)

k+ l k

k + l k+ l 1 + k+ l 1 k+ l 2 + + k+1 k

k+ l 1 + k+ l 2 + + k 1 0 =

= kl 1

j =0

j 1 0 < k

1 1 0 .

Por lo tanto,

(5.10) lmk

k+ l k = 0 , l .Como E es un espacio completo, existe el lmite de esta secuencia,

(5.11) = lmk

k .

Y como B es contractivo, este vector es un punto jo de B. En efecto,

(5.12) B k+1 = B B k k 0cuando k , de modo que, por la unicidad del lmite en E , tenemos(5.13) B = lm

kk = .

Para ver que este punto jo es unico, supongamos que existe otro vector Eque satisface B = . Entonces, si

= 0,

(5.14) = B B 1 ,


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en contradicci on con la eleccion de , ec. (5.3). Por lo tanto, = .

Finalmente, se nalemos que esta construcci on nos permite aproximar la solucionde la ec. (4.1) en el sentido de la distancia en el espacio E . En efecto, tomandoel lmite para l en la ecuacion (5.9) obtenemos para la distancia entre lasolucion y el k-esimo elemento de la secuencia (5.7)

(5.15) k k

1 B 0 0 .

La solucion de la ecuacion (4.1) corresponde al unico punto jo del operadorcontractivo B, que se obtiene como el lmite de la secuencia (5.7) cualquiera quesea el vector inicial 0 que se emplee para generarla.

Si se elige 0 = 0 , entonces

(5.16)

1 = f ,

2 = A f + f ,...

k = k 1l=0

l Al f ,... ,

de modo que la solucion de (4.1) para f E arbitraria corresponde al lmite de laserie

(5.17) =

k=0

k Ak f = lmk

k

l=0

l Al f ,

cuya convergencia est a garantizada para

(5.18)

|

|

A , con 0 < < 1 .

De esta expresi on surge que, en un entorno del origen del plano complejo , eloperador resolvente del operador completamente continuo A es el lmite de unaserie de operadores,

(5.19) R =

k=0

k Ak = lmk

k

l=0

l Al ,

serie que converge en el sentido de la norma y que coincide con el desarrollo formalde I A

1 en serie de potencias de .


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Para vericar la convergencia de esta serie debemos considerar la distancia quemedia entre R y una suma parcial en el espacio normado de los operadores aco-

tados. Para ello, tengamos en cuenta que para todo vector unitario f E

es

(5.20)

R kl=0

l Al f = k+1

k +1

1 f =

k+1

1 ,

donde es la solucion de (4.1) correspondiente a una inhomogeneidad f , k+1 esla (k + 1)-esima aproximaci on a esa solucion, y donde hemos empleado la cotaestablecida en la ec. (5.15). Entonces,

(5.21)

R kl=0 l Al =

= supf E f =1

R kl=0

l Al f k+1

1 0

cuando k , dado que < 1.Podemos vericar que la serie en (5.19) converge efectivamente al inverso de

I A teniendo en cuenta que

(5.22)I A

k 1

l=0

l Al =k 1

l=0

l Al I A =

= I k Ak Icuando k , dado que k Ak O . En efecto,(5.23) k Ak | |k A Ak 1 | |k A k k 0cuando k , pues 0 < < 1.

6. Extensi on anal tica de R

El operador resolvente de un operador completamente continuo existe en casitodo punto del plano complejo de la variable . Es unicamente para los valoressingulares de , que forman (a lo sumo) una secuencia numerable que diverge alinnito, que R no esta denido.

En la Seccion anterior hemos mostrado que la condicion | | A < 1es suciente para que R pueda representarse como el lmite (en el sentido dela distancia en el espacio de Banach de los operadores acotados) de una serie


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de potencias en la variable . En esas condiciones, se puede decir que R es unafunci on analtica de la variable (a valores operadores) en un entorno del origen.

Mostraremos que R es una funcion analtica de en un entorno de todo valorregular.

Sea 0 un valor regular de un operador completamente continuo A. Entonces,R 0 = I 0 A

1 existe y es un operador acotado. Adem as, como los valoressingulares de A son puntos aislados, existe todo un entorno de 0 libre de ellos.

Podemos entonces considerar el operador resolvente en un punto proximo de0,

(6.1)

R = I

A 1 = I

0 A

(

0) A

1 =

= R 0 I ( 0) AR 0 1 = R 0

k=0

( 0)k (AR 0 )k ,

donde la serie en el miembro de la derecha converge en el sentido de la norma delos operadores para

(6.2) | 0 | AR 0 < 1 .Tengase en cuenta que AR 0 es completamente continuo, dado que R 0 es acotadoy A es compacto. En consecuencia, valen para esta serie todas las consideracioneshechas en la Seccion anterior acerca de la convergencia del desarrollo del operadorresolvente en un entorno del origen.

Por lo tanto, R existe como una funcion analtica de la variable (que tomavalores que son operadores sobre E ) en toda una regi on abierta del plano complejo,la que solo excluye a los valores singulares de A (puntos aislados que correspondena las inversas de los autovalores de A).

En particular, si R es conocido en cierta region abierta del plano complejo,este operador puede ser prolongado analticamente desde all, evitando los puntossingulares.

Tambien puede probarse facilmente que el operador resolvente tomado paradistintos valores regulares conmuta.

En efecto, para , valores regulares de A compacto podemos escribir que

(6.3) R R = R I A R R I A R =

= ( )R R .


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Entonces, si = ,(6.4) R R =

R R

= R R .

7. Resolvente de operadores integrales

Consideremos un operador integral de Fredholm de nucleo de cuadrado sumable,

(7.1) A (t) = b

aK (t, s ) (s) ds ,

con

(7.2) K 2 = K (t, s ) 2 = b

a b

a |K (t, s )|2 dtds < .

Dado que A es completamente continuo, y su norma

(7.3) A K ,sabemos que el operador resolvente R es el lmite de una serie de potencias en de la forma

(7.4) R = I +

k=1 k

Ak

,

convergente (en el sentido de la norma de los operadores acotados) en el crculo

|| /K , con 0 < < 1.Mostraremos que en este caso el operador resolvente toma la forma

(7.5) R = I + ,

donde es un operador integral de Fredholm de n ucleo de cuadrado sumable,

que depende del par ametro .

Dado que R en (7.4) esta expresado en terminos de potencias del operador A,primero debemos estudiar la composici on de operadores integrales.

Para ello, consideremos un segundo operador de Fredholm

(7.6) B (t) = b

aL(t, s ) (s) ds ,

con

(7.7) L2 = L(t, s ) 2 = b

a b

a |L(t, s )|2 dtds < .


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Su composicion con A es, por denicion,

(7.8)

AB (t) =

b

a K (t, s )

b

a L(s, r ) (r ) dr ds =

= b

a b

a K (t, s ) L(s, r ) ds (r ) dr ,

donde el cambio en el orden de las integrales est a justicado por el Teorema deFubini, dado que todas las funciones que all aparecen son de cuadrado sumable yla integral doble existe.

En consecuencia, AB es tambien un operador integral cuyo nucleo es

(7.9) M (t, r ) =

b

aK (t, s ) L(s, r ) ds .

Como K (t, s ) y L(s, r ) son funciones de cuadrado sumable de la variable s (paracasi todos los valores de t y de r), el nucleo M (t, r ) puede ser interpretado comoel producto escalar

(7.10) M (t, r ) = K (t, s ) , L(s, r ) .

Por aplicacion de la desigualdad de Cauchy - Schwarz, esto permite escribir

(7.11) |M (t, r )|2 k(t)2 l(r )2 ,donde

(7.12)k(t)2 =

ba |K (t, s )|2 ds

ba k(t)

2 dt = K 2 ,

l(r )2 = b

a |L(s, r )|2 ds b

a l(r )2 dr = L2 .

Por lo tanto, M (t, r ) L 2 (a, b) (a, b) , y su norma(7.13) M 2 =

b

a b

a |M (t, r )|2 dtdr K 2 L2 M K L .

Este resultado permite concluir que las potencias enteras positivas de un opera-dor integral de Fredholm de n ucleo de cuadrado sumable son tambien operadoresintegrales de Fredholm,

(7.14) Ak (t) = b

aK k (t, s ) (s) ds ,

cuyos nucleos, llamados n ucleos iterados , se obtienen recursivamente de la relacion

(7.15) K k+1 (t, s ) = b

aK (t, r ) K k (r, s ) dr , K 1(t, s ) = K (t, s ) ,

son de cuadrado sumable, y su norma satisface

(7.16) K k = K k (t, s ) K K k 1(t, s ) K k .


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En esas condiciones, cada suma parcial de la serie en el miembro de la derechade la ec. (7.4) corresponde a un operador integral de Fredholm,

(7.17) S ,n f (t) =n

k=1

k Ak f (t) = b

aS n (t, s ; ) f (s) ds ,

cuyo nucleo (de cuadrado sumable) esta dado por la suma

(7.18) S n (t, s ; ) =n

k=1

k K k (t, s ) L 2 (a, b) (a, b) .

Ahora bien, la secuencia formada por los n ucleos S n (t, s ; ) es fundamental enL 2 (a, b) (a, b) . En efecto,

(7.19)

S n + m (t, s ; ) S n (t, s ; ) =n + m

k= n +1

k K k (t, s )

n + m

k= n +1| |k K k (t, s )

n + m

k= n +1| |k K k

n + m

k= n +1

k < n +1

1 0

cuando n , m.Por lo tanto, existe el lmite de la serie

(7.20) (t, s ; ) =

k=1

k K k (t, s ) L 2 (a, b) (a, b) ,

que es ademas una funcion analtica de la variable en un entorno del origen.Esta funci on de cuadrado sumable permite denir un nuevo operador integral

de Fredholm,

(7.21) f (t) := b

a(t, s ; ) f (s) ds ,

que resulta ser el lmite de la serie

(7.22) =

k=1

k Ak = lmn

S ,n .

En efecto, dado que tanto como S ,n son operadores integrales de Fredholm,tambien lo es su diferencia, S ,n . Y como la norma de tales operadores est a aco-tada por la norma de sus n ucleos, tenemos que

(7.23) S ,n (t, s ; ) S n (t, s ; ) 0cuando n .


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En consecuencia, la solucion de una ecuacion integral de la forma

(7.24) (t)

b

a

K (t, s ) (s) ds = f (t) ,

donde K (t, s ) y f (t) son funciones de cuadrado sumable dadas, y C satisface| | K < 1, puede escribirse como(7.25) (t) = R f (t) = f (t) +

b

a(t, s ; ) f (s) ds ,

donde (t, s ; ) L 2 (a, b) (a, b) es una funcion analtica de que correspondeal lmite de la serie de n ucleos iterados, ec. (7.20).

Si la serie de nucleos iterados puede ser sumada a una funcion(t, s ; ), holomorfa en un crculo | | K < 1, esta ha de admitir unaprolongaci on analtica (que es unica) a todo el plano complejo de la variable ,la que solo presentar a singularidades aisladas en los valores singulares del nucleoK (t, s ).

Ejemplo:

Consideremos el nucleo K (t, s ) = et + s , con 0 t, s 1. Entonces,(7.26) K 2 = et + s 2 =

1

0

1

0e2( t + s ) dtds =

e2 12

2

,

y los nucleos iterados son

(7.27)

K 2(t, s ) = 1

0 et + r er + s dr = e

2 12 e

t + s ,

K 3(t, s ) = 1

0 et + r K 2(r, s ) dr = e

2 12

2et + s ,

...

K k (t, s ) =

1

0 et + r K k 1(r, s ) dr = e

2 12

k 1et + s ,

...

Por lo tanto, para | | K = | | e2 12 < 1, tenemos

(7.28) (t, s ; ) =

k=1

k K k (t, s ) =

k=1

ke2 1

2

k 1

et + s = et + s

1 e2 12

.

La suma de esta serie es una funci on analtica de que admite una extensionmeromorfa al plano complejo, la que presenta como unica singularidad un polosimple en = 2

e2

1. De ese modo, el operador integral de nucleo et + s tiene un

unico valor singular en ese punto.


17/24


Eso se explica por el hecho de que este operador integral aplica todo L2(0, 1)en el subespacio unidimensional generado por la funci on (t) = et , de modo que

todo autovector correspondiente a un autovalor no nulo debe ser proporcional aesa funcion,

(7.29) A et = 1

0et + s es ds =

e2 12

et =e2 1

2 .

En esas condiciones, si = 2e2 1 la ecuacion integral

(7.30) (t) 1

0et + s (s) ds = f (t)

tiene solucion unica f (t) L 2(0, 1), la que esta dada por

(7.31)

(t) = f (t) +

1 e2 12

1

0et + s f (s) ds =

= f (t) +

(1 )et

et 2 1

0es f (s) ds .

Si, por el contrario, = 2e2 1 , entonces la ecuacion integral s olo tiene solucion

si f (t) et , en cuyo caso no es unica,(7.32) (t) = f (t) + c et , c C(donde hemos tenido en cuenta las propiedades de los nucleos simetricos - verNotas sobre Espacios Eucldeos, ec. (25.12) ). En efecto,

(7.33)f (t) + c et

2et

e2 1 1

0es {f (s) + c es}ds =

= f (t) + c et c et = f (t) .

La condicion | | K < 1 ha sido obtenida como una condicion sucientepara la convergencia de la serie de n ucleos iterados, pero hay situaciones en lasque su radio de convergencia es mayor. Y all donde la serie (7.20) converge, ellase suma al nucleo (t, s ; ).

Un ejemplo de esta situaci on corresponde al caso en que algun nucleo iteradose anule identicamente, K n +1 (t, s ) 0, lo que hace que todos los que le siguen


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18 H. Falomir

tambien sean nulos, K k (t, s ) 0 , k > n . En esas condiciones, la serie en la ec.(7.20) se reduce a un polinomio de grado n en ,

(7.34) (t, s ; ) =n

k=1

k K k (t, s ) ,

que es una funci on entera (analtica en todo el plano complejo). En tal caso, eloperador integral de n ucleo K (t, s ) no tiene valores singulares.

Ejemplo:

Esa situaci on ocurre, en particular, para nucleos degenerados de la forma

(7.35) K (t, s ) =

n

k=1 pk (t) q k (s) , con pk (t) q l(t) , k , l = 1, . . . , n .

En este caso, K 2(t, s ) 0, de modo que (t, s ; ) = K (t, s ).Ese es el caso de

(7.36) K (t, s ) = sin( t 2s) = sin( t)cos(2s) cos(t) sin(2s) .Evidentemente,

(7.37) K 2(t, s ) =

sin(t 2r )sin( r 2s) dr = 0 ,

de modo que

(7.38) (t, s ; ) = sin(t 2s) , C ,y la ecuacion integral

(7.39) (t)

sin(t 2s) (s) ds = f (t) ,

tiene solucion unica f (t) L 2(a, b), dada por(7.40) (t) = f (t) +

sin(t 2s) f (s) ds .

La serie para ( t, s ; ) tambien converge C si las normas de los nucleositerados est an acotadas por constantes de la forma

(7.41) K k (t, s ) c M k

k! .


19/24


En este caso,

(7.42)

n + m

k= n +1

k K k (t, s )

n + m

k= n +1 |

|k K k (t, s )

cn + m

k= n +1

| |k M kk! 0 cuando n , m N .

Entonces, la serie de nucleos iterados

(7.43) (t, s ; ) =

k=1

k K k (t, s ) ,

converge en L2(a, b) para todo complejo , y un nucleo con esas propiedades notiene valores singulares.

Esa situaci on se presenta, en particular, en el caso de operadores integralesde Volterra de nucleo acotado,

(7.44) A (t) = t

aK (t, s ) (s) ds , | K (t, s ) | M .

Se trata de un caso particular de operadores de Fredholm para los cuales el n ucleoK (t, s ) = 0 para s t.

Consideremos el segundo nucleo iterado,

(7.45) K 2(t, s ) = b

aK (t, r ) K (r, s ) dr =

t

sK (t, r ) K (r, s ) dr , t > s ,

0 , t s ,que es tambien un nucleo de Volterra acotado,

(7.46) | K 2(t, s ) | t

s | K (t, r ) K (r, s ) | dr M 2 (t s) M 2 (ba) .

Para el tercer n ucleo iterado tenemos

(7.47) K 3(t, s ) = b

aK (t, r ) K 2(r, s ) dr =

t

sK (t, r ) K 2(r, s ) dr , t > s ,

0 , t s ,que es tambien un nucleo de Volterra acotado por

(7.48)| K 3(t, s ) |

t

s | K (t, r ) K 2(r, s ) | dr

t

sM 3 (r s) dr M 3 (t s)

2

2! M 2 (ba)2

2! .


20/24

20 H. Falomir

En general, tenemos

(7.49)

K k (t, s ) =

b

a

K (t, r ) K k 1(r, s ) dr =

= t

sK (t, r ) K k 1(r, s ) dr , t > s ,

0 , t s ,que es tambien un nucleo de Volterra cuyo m odulo esta acotado por

(7.50)

| K k (t, s ) | t

s | K (t, r ) K k 1(r, s ) | dr

t

sM k

(r s)k 2(k 2)!

dr M k (t s)k 1

(k 1)! M k

(ba)k 1(k 1)!

.

En esas condiciones,

(7.51) K k (t, s ) M (ba)M k 1 (ba)k 1

(k 1)! ,

y la resolvente existe en todo el plano complejo.

El hecho de que los nucleos iterados esten uniformemente acotados (ver ec.

(7.50)) hace que la serie para ( t, s ; ) sea uniformemente convergente para a t, s b y para tomando valores en cualquier regi on acotada del plano complejo,| | ,(7.52)

k=1| k K k (t, s ) |

k=1| |k M k

(ba)k 1(k 1)!

( M ) e M (b a ) .

Esto implica, en particular, que ( t, s ; ) = 0 para t s, de modo que =R I es tambien un operador integral de Volterra.

Por lo tanto, la ecuacion integral

(7.53) (t) t

aK (t, s ) (s) ds = f (t) , con | K (t, s ) | M ,

tiene solucion unica f (t) L 2(a, b) y C , la que esta dada por(7.54) (t) = f (t) +

t

a(t, s ; ) f (s) ds .

Ejemplo:

Consideremos el nucleo de Volterra

(7.55) K (t, s ) = et

2 s 2 , t > s ,0 , t s ,


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donde a t, s b. Entonces,

(7.56) K 2(t, s ) = t

s

et2 r 2 er

2 s 2 dr = ( t

s) et

2 s 2 , t > s ,

0 , t s ,

(7.57) K 3(t, s ) = t

set

2 r 2 (r s) er2 s 2 dr =

(t s)22!

et2 s 2 , t > s ,

0 , t s ,y en general

(7.58) K k (t, s ) = t

set

2 r 2 (r s)k 2(k 2)!

er2 s 2 dr = (t s)k 1

(k 1)! et

2 s 2 , t > s ,

0 , t s .En esas condiciones,

(7.59)

(t, s ; ) =

k=1

k K k (t, s ) =

=

k=1

k (t s)k 1(k 1)!

et2 s 2 = e ( t s ) et

2 s 2 , t > s ,

0 , t s ,donde la serie converge C .

8. M etodo de los determinantes de Fredholm

En el caso general, la serie de los nucleos iterados, ec. (7.20), tiene un radio deconvergencia nito, fuera del cual s olo es posible obtener el nucleo (t, s ; ) porprolongacion analtica de la suma de la serie en un entorno del origen.

En lo que sigue se presenta sin demostraci on una formula debida a Fredholm,que da una expresi on para el nucleo (t, s ; ) para todo valor regular C . Estaformula fue demostrada primero por Fredholm para el caso de nucleos K (t, s ) conti-nuos y acotados (ver, por ejemplo, Methods of Mathematical Physics , R. Couranty D. Hilbert.), y luego extendida al caso de n ucleos de cuadrado sumable arbi-trarios (ver, por ejemplo, Mathematical Analysis , G. Ye. Shilov, y las referenciasall citadas).


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22 H. Falomir

Denamos

(8.1) C 0 := 1 , B0(t, s ) := K (t, s ) ,

e introduzcamos las relaciones de recurrencia

(8.2)

C n := b

aBn 1(s, s ) ds ,

Bn (t, s ) := C n K (t, s ) n b

aK (t, r ) Bn 1(r, s ) dr .

Es facil ver que

(8.3)

Bn (t, s ) =

= b

a. . .

b

a

K (t, s ) K (t, s 1) . . . K (t, s n )K (s1, s) K (s1, s1) . . . K (s1, s n )

... ... . . .

...K (sn , s) K (sn , s1) . . . K (sn , s n )

ds1 . . . dsn ,

lo que le da su nombre al metodo.

Con estos coecientes se denen las series de potencias

(8.4) D(t, s ; ) := K (t, s ) +

n =1

(1)nn! Bn (t, s ) n

y

(8.5) D() := 1 +

n =1

(1)nn!

C n n ,

que convergen en todo el plano complejo de la variable , sumandose a las funcionesenteras D(t, s ; ), llamada menor de Fredholm , y D(), llamada determinantede Fredholm .

En esas condiciones, los ceros de D() coinciden con los valores singulares delnucleo K (t, s ), y el nucleo del operador integral = R I esta dado por elcociente

(8.6) (t, s ; ) = D(t, s ; )

D() .

Entonces, para todo valor regular (para el cual D() = 0) y f (t) L 2(a, b),la ecuacion integral

(8.7) (t) b

aK (t, s ) (s) ds = f (t)


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tiene una unica solucion que puede ser expresada como

(8.8) (t) = f (t) +

b

a

D(t, s ; )

D() f (s) ds .

Ejemplo:

Son raras aquellas situaciones en las que es posible sumar explcitamente lasseries (8.4) y (8.5). Un ejemplo corresponde al caso en que uno de los nucleosBn (t, s ) se anula identicamente, lo que hace que esas series se reduzcan a sumasnitas.

Tomemos el nucleo degenerado K (t, s ) = t es , con 0 t, s 1. Tenemos que

(8.9) C 1 = 1

0 s es

ds = 1 ,y

(8.10) B1(t, s ) = t es 1

0t e r r e s dr = t es t e s = 0 ,

de modo que C n = 0 y Bn (t, s ) 0 para n 2.Por lo tanto,

(8.11)D(t, s ; ) = t es ,

D() = 1 ,lo que implica que el nucleo K (t, s ) = t es tiene un unico valor singular en = 11.Para el n ucleo (t, s ; ) tenemos

(8.12) (t, s ; ) = t es

1 , para = 1 .

Bibliografa:

The Theory of Linear Spaces , G. Ye. Shilov.Mathematical Analysis , G. Ye. Shilov.Elementos de la Teora de Funciones y del An alisis Funcional , A.N. Kol-mogorov y S.V. Fomin

1En efecto, por tratarse de un operador integral de n ucleo degenerado que proyecta todo elespacio L 2 (0, 1) en un subespacio unidimensional, vemos que todo autovector correspondiente

a un autovalor no nulo es proporcional a e(t ) = t. Y teniendo en cuenta la integral en (8.9),concluimos que el autovalor correspondiente es = 1.


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24 H. Falomir

Ecuaciones Integrales , M. Krasnov, A. Kiseliov, G. Macarenko.Methods of Mathematical Physics , R. Courant y D. Hilbert.

Methods of Modern Mathematical Physics , M. Reed y B. Simon.

ecuaciones integrales - h. falomir.pdf

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