ecuaciones integrales lineales - … · j.darío sánchez h ecuaciones integrales lineales 3 §1....

ECUACIONES INTEGRALES LINEALES

José Darío Sánchez Hernández Bogotá -Colombia. Abril- 2008

[email protected]@tutopia.com

[email protected]

Una vez más pongo en el ciberespacio, para compartir con misamigos cibernautas mis notas de clase, con las cuales creofirmemente que cumplo con mi propósito de llevarles asignaturasque contribuyan en la formación del matemático virtual y con elcontenido estoy siendo fiel a mi propósito inicial, de unaprendizaje por medios virtuales.

CONTENIDO

PROLOGO§1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES 1.1. Ecuaciones integrales de primera especie. 1.2. Ecuación de Abel. 1.3. Ecuación integral de segunda especie. 1.4. Problema que lleva a ecuaciones integrales. 1.5. Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales. 1.6. Ejercicios.

§2. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES. 2.1. Método de los determinantes de Fredholm. 2.2. Núcleos iterados. 2.3. Ejercicios.

§3. TEORIA CUANTITATIVA. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO. 3.1. Ecuaciones de Fredholm. 3.2. Ecuaciones de Hammerstein. 3.3. Raíces características y funciones propias. 3.4. Ejercicios.

§4. TEORIA CUALITATIVA PARA LAS FUNCIONES INTEGRALES. 4.1. Conceptos Fundamentales. 4.2. Operadores integrales de Fredholm. 4.3. Ecuaciones de núcleo simétrico. §.5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM

J.Darío Sánchez H Ecuaciones Integrales Lineales 2

5.1. Caso de las ecuaciones integrales. 5.2. Teoremas de Fredholm. Caso de los núcleos degenerados. 5.3. Teoremas de Fredholm para ecuaciones de núcleo no degenerado. 5.4. Demostración de los Teoremas de Fredholm. 5.5. Ejercicios. BIBLIOGRAFIA.

P R Ó L O G O

Al igual que el estudio de la geometría, en nuestro país el estudio de lasecuaciones integrales presenta un gran desinterés dentro de nuestromedio matemático, no obstante su notable aplicación especialmente en elestudio de las ecuaciones diferenciales parciales.

Alguna vez el Dr. Yu Takeuchi me invitó a estudiar algunosplanteamientos sobre el problema de Dirichlet; entonces sentí unasensación que me llevaba a una ampliación sobre la teoría de integracióny en especial sobre las ecuaciones integrales y me dije; en los distintoscoloquios en los cuales he participado nunca mencionan esta gigantescarama del análisis funcional, ésta es la razón que me lleva a presentar enun coloquio estas notas de clase, con el ánimo de extender lo que yahabía hecho en otros coloquios, relativa a las ecuaciones diferenciales yen la misma dirección divulgativa.

Quiero enfocar estas notas como una herramienta para trabajar endirección a los operadores de Fredholm y en particular mostrar la famosaAlternativa de Fredholm, tópico del cual tengo algunos resultadosgeneralizados hacia operadores monótonos y de los cuales ya he hechoalgunas notas divulgativas en el Boletín de Matemáticas del año 1987.

Estas notas constan de 5 parágrafos; el primero está dedicado a lapresentación de la teoría, con su motivación historica; los dos parágrafossiguientes los dedico al estudio cuantitativo de las ecuaciones integraleslineales y los dos últimos a la parte cualitativa de la teoría, finalizandocon un breve estudio de los operadores integrales, punto de contacto conel análisis espectral.

Para el lenguaje he usado la palabra degenerado en lugar de separable yno degenerado en lugar de inseparable, pues históricamente Fredholmusaba este lenguaje.


§1. INTRODUCCIÓN Y PRELIMINARES.

Dada una función continua a tramos y de orden exponencial ,0 Ba bentonces podemos hablar de su transformada de Laplace la cual estádada por

P 0 œ / 0 > .> œ J =a b a b a b'!

_ =>

Ahora bien, si conocemos la transformada de Laplace de una funciónJ =a by deseamos recuperar la función, la hallamos mediante la transformadainversa de Laplace, usando la fórmula de inversión

.0 B œ / J = .=a b a b'<3_

<3_ =B

En el caso de transformada de Fourier para la función está dada por0 Ba b 0 B œa b ‘"

# _

_

1' '

_

_ 3A B@0 @ / .@ .Aa b a b

la cual puede escribirse en la forma

0 B œ - A / .Aa b a b"# _

_ 3ABÈ 1'

donde

.- A œ 0 @ / .@a b a b"# _

_ 3A@È 1'

llamada transformada inversa de Fourier de y nos brinda una0 Ba bmanera de recuperar a la función dada.

Estas fórmulas de inversión son exactamente ecuaciones integrales, ycomo en el álgebra, la resolución de una ecuación es un proceso deinversión. Por otra parte la fórmula integral de Poisson, muy conocida alestudiar el potencial, dada por

? <ß œ T > ? "ß > .>a b a b a b) )'_

_<

donde

T > œ<a b " "<# "#< ><1 cos #


es una de las ecuaciones integrales más conocidas.

1.1. Ecuaciones integrales de primera especie.

Una ecuación de la forma

'+

,O Bß > > .> œ 0 B "Þ"Þ"a b a b a b a b9

es llamada . Las funcionesEcuación integral lineal de primera especieO Bß > ß 0 B + ,a b a b son conocidas, lo mismo que los límites y son númerosdados. El objeto del problema es la determinación de la funcióndesconocida la cual debe tener por dominio al intervalo cerrado .9a b> Ò+ß ,ÓLa función es universalmente conocida como el de laO Bß >a b núcleoecuación integral.

Un caso especial se presenta cuando el límite superior es la variableindependiente y el límite inferior es cero, en ese caso la integralB +

'!

BO Bß > > .> œ 0 B ß 0 ! œ ! "Þ"Þ#a b a b a b a b a b9

es conocida como ecuación .integral de Volterra

En el caso de esta ecuación de Volterra se obtienen hechos interesantessuponiendo que y , son funciones continuas enO Bß > ß ß 0 B 0 Ba b a b a b`O Bß>

`Ba b w

una región y derivando la ecuación deH œ ÖÐBß >Ñ Î ! Ÿ B Ÿ +ß ! Ÿ > Ÿ B×

Volterra con respecto a , se obtieneB

O Bß B B > .> œ 0 B "Þ"Þ$a b a b a b a b a b9 9'!

B w`O Bß>`Ba b

Nótese que cualquier solución de la ecuación es solución de9a b a bB "Þ"Þ#su ecuación derivada y también se tiene la validez de la recíproca,a b"Þ"Þ$esto es, cualquier solución continua en de la ecuación9a bB ! Ÿ B Ÿ +a b a b"Þ"Þ$ "Þ"Þ# satisface también a la ecuación de Volterra .

Esta nota nos brinda un método para la determinación de la solución 9a bBde la ecuación de Volterra , y a modo de ejemplo consideremos laa b"Þ"Þ#ecuación integral siguiente:

.'!

B B>/ > .> œ B9a b sin

Las funciones son continuas y derivables,0 B œ Bß O Bß > œ /a b a bsin B>

teniéndose las condiciones deseadas.


Derivando ambos miembros con respecto a , se obtieneB

/ B BB9a b '!

B ` /` B

B>

9a b> .> œ Bcos

de donde

9 9a b a bB / > .> œ B'!

B B> cos

Aplicando la transformada de Laplace se tiene

P B Pa ba b Š ‹9 '!

B B>/ > .> œ P B9a b a bcos

P B P / P B œa b a b a ba b a b9 9B ="=#

P B P B œa b a ba b a b9 9" ==" "=#

P B œ Ê P B œa b a ba b a bˆ ‰9 9="" = ="=" = " = "# #

9a b ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰B œ P œ P P œ B B" " "=" = "= " = " = "# # # cos sin

1.2. Ecuación de Abel.

Presentamos el planteamiento histórico de esta ecuación. Una partículapuntual se mueve bajo la acción de la fuerza de la gravedad y describeuna curva suave en un plano vertical. Se pide determinar esta curva demodo que la partícula puntual que comienza su movimiento sin velocidadinicial en un punto de la curva cuya ordenada es , luego alcance el ejeB 0al cabo de un tiempo , donde es una función dada.> œ 0 B 0 B" "a b a b La velocidad del punto en movimiento está dada por

@ œ #1 B È a b( "sin

donde es el ángulo de inclinación de la tangente respecto al eje ." 0


Entonces tenemos

..>( œ #1 B È a b( "sin

De aquí que

..> œ .

#1 B

(

( "È a bsin

Integrando desde hasta y denotando con! B

9 (a b œ "sin"

Se obtiene la ecuación de Abel .'

!

B

"9 ( (

(a bÈ .B œ #1 0 BÈ a b

Designando con , se obtiene definitivamente0 B œ #1 0 Ba b a bÈ "

'!

B 9 ( ((

a bÈ .B œ 0 Ba b

donde es la función incógnita, y es una función dada. Hallando9a b a bB 0 B9 (a b se puede escribir la ecuación de la curva deseada.

En efecto,

9 ( ( 9 "a b a bœ Ê œ"sin"

Ahora,


. œ œ0. .(" "

F " "tan tan

wa b

de donde

0 F "œ œ' F " ""

wa b .tan "a b

y por consiguiente, la curva buscada se determina por la ecuaciónparamétrica

œ a ba b0 F "( F "œœ

"

De este modo, el problema de Abel se reduce a la resolución de unaecuación integral del tipo

. 0 B œ O Bß > > .>a b a b a b'!

B9

1.3. Ecuaciones integrales de segunda especie.

La ecuación integral

9 9a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B'+

,

donde y son funciones dadas y es la función que0 B O Bß > Ba b a b a b9

debemos encontrar, las variables y recorren aquí un intervalo prefijadoB >Ò+ß ,Ó ; es llamada .ecuación integral de segunda especie

La particularidad de la ecuación es la9 9a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B'+

,

linealidad, en el sentido de que la función incógnita entra en ella de9a bBmodo lineal. Sin embargo, muchos problemas conducen a la necesidad deconsiderar también ecuaciones integrales no lineales como es el caso dela integral

9 9a b a b a ba bB œ O Bß > 1 > ß > .>'+

,

conocida como ecuación de Hammertein, donde como de costumbre yO1 son funciones dadas. No obstante ello, nos limitaremos en lo sucesivoa las ecuaciones integrales lineales.


Algunas ecuaciones integrales fueron estudiadas ya al principio del sigloXIX. Por ejemplo, Abel consideró en 1823 la ecuación que lleva ahora sunombre

0 B œ .> ! "ß 0 ! œ !a b a ba b'!

B 9a ba b>B> ! !

donde es una función dada y es la función incógnita, la teoría general0 9de ecuaciones integrales lineales fue elaborada sólo en el límite de lossiglos XIX y XX en las obras fundamentales de Volterra, de Fredholm yde Hilbert.

Justamente la ecuación

9 9a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B'+

,

es llamada de segunda especie, mientras que laEcuación de Fredholmecuación

'+

,O Bß > > .> 0 > œ !a b a b a b9

(donde la función incógnita figura solo bajo el signo integral) se llamaecuación de Fredholm de primera especie.

La ecuación de Abel mencionada anteriormente pertence a las asíllamadas , ya mencionadas en § . La ecuación deEcuaciones de Volterra "

Volterra puede ser considerada como una ecuación de Fredholm en la quela función verifica la condiciónO

" para "O Bß > œ ! > Ba bSin embargo, conviene destacar las ecuaciones de tipo Volterra como unaclase especial ya que ellas poseen una serie de propiedades que no tienenlugar para ecuaciones arbitrarias de Fredholm. Si en las ecuaciones

9 9a b a b a b a bB œ O =ß > > .> 0 B'+

,

'+

,O Bß > > .> 0 B œ !a b a b a b9

ó

'+

BO Bß > > .> œ 0 Ba b a b a b9


la función es igual a cero, entonces estas ecuaciones se llaman0 Ba bhomogéneas no homogénea. En el caso contrario la ecuación se llama .

1.4. Problemas que llevan a ecuaciones integradas.

A. . Consideremos una cuerda, esto es Equilibrio de una cuerda cargadaun hilo material de longitud que flexiona libremente, pero ofrece una6ßresistencia a la dilatación, proporcional a la magnitud de ésta.Manteniendo fijos los extremos de la cuerda en los puntos yB œ !

B œ 6 .

Entonces en la posición de equilibrio, la cuerda coincide con el segmento! B 6 B B œdel eje . Supongamos ahora, que en el punto se ha0

aplicado una fuerza vertical . Bajo el efecto de esta fuerza la cuerdaT œ T0tomaría evidentemente la forma quebrada indicada en la figura.Busquemos la magnitud de la flecha de la cuerda (máxima elongación$de resistencia de la cuerda) en el punto de su posición de equilibrio0bajo la acción de la fuerza aplicada en este punto. Si la magnitud de laT0fuerza es pequeña en comparación con la tensión de la cuerda sinT X0 !

carga, podemos aceptar que la tensión de la cuerda cargada sigue siendoX!. Entonces, de la condición de equilibrio de la cuerda encontramos laigualdad siguiente:

de donde, .X X œ T œ! !$ $0 0

0 0

6 X 6T 6

0 $ 0a b!

Sea ahora la flecha de la cuerda en el punto bajo la acción de la? B Ba bfuerza . Tenemos dondeT ? B œ T K Bß0 0a b a b0

para

para K Bß œ

! Ÿ B Ÿ

Ÿ B Ÿ 6a b

ÚÛÜ0

0

0

B 6X 66BX 6

a ba b

0

0!

!

En particular, de estas fórmulas se ve inmediatamente queK Bß œ K ß Ba b a b0 0 .

Supongamos ahora que sobre la cuerda actúa una fuerza distribuidacontinuamente a lo largo de la cuerda con densidad . Si esta fuerzaT a b0es pequeña, la deformación otra vez dependerá linealmente de la fuerza


entre y ; es aproximadamente y la forma de la cuerda0 0 ?0 0 ? 0 T Ð Ña bcargada de este modo, por el principio de superposición, será descritamediante la función

? B œ K Bß T . "Þ%Þ"a b a b a b a b'!

60 0 0

Luego, si está dada la carga que actúa sobre la cuerda la fórmula a b"Þ%Þ"permite encontrar la forma que toma la cuerda bajo la acción de la carga.

Consideremos ahora el problema recíproco. Hallar la distribución de lacarga bajo la cual la cuerda toma la forma prefijada . ParaT ? Ba bencontrar la función a partir de la función dada obtenemos unaT ? Ba becuación que coincide, salvo notaciones, con la ecuación

'+

,O Bß > > .> 0 B œ !a b a b a b9

es decir, una ecuación de Fredholm de primera especie.

B. . Supongamos ahora queOscilaciones libres y forzadas de una cuerdala cuerda no se encuentra en reposo y realiza ciertas oscilaciones. Sea? Bß > >a b la posición en el momento de aquel punto de la cuerda cuyaabscisa es y sea la densidad lineal de la cuerda. Entonces, sobre unB 3

elemento de la cuerda de longitud actúa una fuerza de inercia igual a.B

.B T œ ` ? Bß> ` ? ß>

`> `>

# #

# #a b a b

3 0 3 , de donde .a b 0

Tomando y sustituyendo se recibe quea b a b"Þ%Þ" T 0

? Bß > œ K Bß . "Þ%Þ#a b a b a b'!

60 3 0

` ? ß>`>

#

#a b0

Supongamos que la cuerda realiza oscilaciones armónicas de unafrecuencia prefijada y de una amplitud que depende de . En otrasA ? B Ba bpalabras, sea

.? Bß > œ ? B A>a b a b sin

Introduciendo esta expresión en y dividiendo ambos miembros dea b"Þ%Þ#la igualdad por , obtenemos la siguente ecuación integral para :sinA> ?

.? B œ A K Bß ? .a b a b a b3 0 0 0#!

6'Si la cuerda no oscila libremente sino bajo la acción de la fuerza exterior,se realizan oscilaciones forzadas, es fácil comprobar que la


correspondente ecuación de las oscilaciones armónicas de la cuerda es dela forma

? B œ A K Bß ? . 0 Ba b a b a b a b3 0 0 0#!

6'es decir, se representa una ecuación no homogénea de Fredholm desegunda especie.

1.5. Reducción de ecuaciones diferenciales a ecuaciones integrales.

La solución de una u otra ecuación diferencial conviene reducirla envarios casos, a la solución de una ecuación integral. Por ejemplo lademostración de la existencia y unicidad de la solución del problema deCauchy

œ a ba bC œ 0 Bß CC B œ C

w

! !

por el método de Piccard se reduce a la ecuación integral no linealsiguiente

.C œ C 0 ß C .! B

B'!

a b0 0

Las ecuaciones de orden superior en principio, también pueden serreducidas a una ecuación integral. Consideremos, por ejemplo laecuación de segundo orden . Tomando en particularC 0 B C œ !ww a b0 B œ Ba b a b3 5 3# , donde es constante, podemos transformarla en laforma

C C œ B C "Þ&Þ"ww #3 5a b a bComo se sabe, la solución de la ecuación puede serC C œ 1 Bww #3 a brepresentada en la forma

.C B œ B + B 1 .a b a b a b a bcos sin3 3 0 0 0"+

B

3'

Luego, la solución de ecuación se reduce a la solución de laa b"Þ&Þ"ecuación integral

.C B B C . œ B +a b a b a b a b a b"+

B

3' 5 0 3 0 0 0 3sin cos


1.6. EJERCICIOS.

Resolver las siguientes ecuaciones integrales de primera especie,reduciéndolas previamente a ecuaciones integrales de segunda especie:

"Þ $ > .> œ B '!

B B>9a b#Þ + > .> œ 0 B ß 0 ! œ ! '

!

B B>9a b a b a b$Þ " B > > .> œ '

!

B # # B#a b a b9#

%Þ # B > > œ B '!

B # # #a b a b9

&Þ B > > .> œ / " .'!

B B Î#sina b a b9#

'Þ C C œ B C Demuestre que la solución de la ecuación esww #3 5a b .C B B C . œ B +a b a b a b a b a b"

!

B

3' 5 0 3 0 0 0 3sin cos

§2. TEORIA CUANTITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES.

Dedicamos este parágrafo a indicar metodologias conducentes a ladeterminación de la solución de ecuaciones integrales según la formaque tenga su núcleo y esto lo iniciamos considerando técnicas dadas porFredholm, las cuales consisten en transformar las ecuaciones integrales aecuaciones del algebra lineal.

2.1. Método de los determinantes de Fredholm.

La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie

9 - 9a b a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B #Þ"Þ"'+

,

viene dada por la fórmula de inversión siguiente:

9 - -a b a b a b a bB œ 0 B V Bß >à 0 > .>'+

,

a b#Þ"Þ#

donde la función es llamada de laV Bß >àa b- resolvente de Fredholmecuación y viene dada por la igualdada b#Þ#Þ"


V Bß >à œ #Þ#Þ$a b a b-H Bß>àHa ba b--

con la condición de que . Aquí y son series deH Á ! H Bß >à Ha b a b a b- - -

potencias de :-

H Bß >à œ O Bß > F Bß > #Þ#Þ%a b a b a b a b!- -8œ"

_"8x 8

8a b8

H œ " G #Þ#Þ&a b a b!- -8œ"

_"8x 8

8a b8

cuyos coeficientes se determinan por las fórmulas

-

F Bß > œ â .> â.> #Þ

8 @/-/=

O Bß > O Bß > â O Bß >O > ß > O > ß > â O > ß >

ã ã ä ãO > ß > O > ß > â O > ß >

8 " 8+ +

, ,

" 8

" " " " 8

8 8 " 8 8

a b a bðñòâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a b a b a ba b a b a ba b a b a b

' ' #Þ'

siendo F Bß > œ O Bß >!a b a b

G œ â .> â.> #Þ#Þ(

O > ß > O > ß > â O > ß >O > ß > O > ß > â O > ß >

ã ã ä ãO > ß > O > ß > â O > ß >

8 " 8+ +

, ,

" " " # " 8

# " # # # 8

8 " 8 # 8 8

' 'â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

a b a b a ba b a b a ba b a b a b

a b

La función se llama y H Bß >à Ha b a b- -menor de Fredholm determinantede Fredholm. En el caso en que el núcleo sea acotado o que laO Bß >a bintegral tenga un valor finito, las series y ' ' a b a b a b+ +

, , #O Bß > .B .> #Þ#Þ% #Þ#Þ&

serán convergentes para todos los valores de y, por lo tanto, serán-funciones analíticas enteras de . La resolvente-

V Bß >à œa b- H Bß>àHa ba b--

es una función analítica de , a excepción de los valores de , que- -anulan la función . Los últimos son polos de la resolvente .H V Bß >àa b a b- -

EJEMPLO. Hallar, mediante los determinantes de Fredholm, la resolventedel núcleo .O Bß > œ B/ à + œ !ß , œ "a b >

Solución: Tenemos . A continuaciónF Bß > œ B/!>a b


F Bß > œ .> œ !B/ B/

> / > /" !

" > >

" "> >a b º º' "

"

F Bß > œ .> .> œ !B/ B/ B/

> / > / > /

> / > / > /# " #! !

" "

> > >

" " "> > >

# > # #> >

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â' ' " #

" #

" #

puesto que los determinantes bajo el signo integral son iguales a cero. Esevidente que también todas las ulteriores . Hallamos losF Bß > œ !8a bcoeficientes :G8

G œ O > ß > .> œ > / .> œ "" " " " " "! !

" " >' 'a b "

G œ .> .> œ !> / > /

> / > /# " #! !

" " " "> >

# #> >

' ' º º" #

" #

Es evidente también que todos los siguientes . Según las fórmulasG œ !8a b a b#Þ#Þ% #Þ#Þ& y en nuestro caso tenemos

.H Bß >à œ O Bß > œ B/ à H œ " a b a b a b- - ->

De este modo,

.V Bß >à œ œa b- H Bß>àH "

B/a ba b-- -

>

Apliquemos el resultado obtenido a la solución de la ecuación integral

.9 - 9 -a b a b a b a bB B/ > .> œ 0 B Á "'!

" >

Según la fórmula a b#Þ#Þ#

.9 -a b a b a bB œ 0 B 0 > .>'!

" B/"

>

-

En particular, para se obtiene0 B œ /a b B

9a bB œ / BB -

-"

El cálculo de los coeficientes y de las ecuaciones y F Bß > G #Þ#Þ% #Þ#Þ&8 8a b a b a bpor las fórmulas y es prácticamente posible sólo en casosa b a b#Þ#Þ' #Þ#Þ(muy raros, pero de estas fórmulas se obtienen las siguientes relacionesde recurrencia


F Bß > œ G O Bß > 8 O Bß = F =ß > .= #Þ#Þ)8 8 8"+

,a b a b a b a b a b' G œ F =ß = .= #Þ#Þ*8 8"+

,' a b a bSabiendo que los coeficientes y por las fórmulasG œ " F Bß > œ O Bß >! !a b a ba b a b a b a b#Þ#Þ* #Þ#Þ) G ß F Bß > ß G ß F Bß > ß G ßy se hallan sucesivamente etc." " # # $

EJEMPLO. Hallar aplicando las fórmulas y , la resolvente dela b a b#Þ#Þ) #Þ#Þ*núcleo donde .O Bß > œ B #> ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ "a bSolución: Tenemos . Aplicando la fórmula seG œ "ß F Bß > œ B #> #Þ#Þ*! !a b a bhalla

.G œ = .= œ " !

" "#

' a bPor la fórmula se obtienea b#Þ#Þ)

.F Bß > œ B #= = #> .= œ B > #B> " !

" #$a b a ba bB#>

#'

Ahora tenemos

G œ #= #= .= œ# !

" # # "$ $

' ˆ ‰ F œ B #> # B #= = > #=> .= œ !#

" #$ $!

"a b a bˆ ‰' G œ G œ â œ !ß F Bß > œ F Bß > œ â œ !$ % $ %a b a bPor consiguiente:

H œ " G œ " G œ " a b !- - - - - -8œ"

#"8x # # '8 "

8 # #G " "a b8 #

H Bß >à œ O Bß > F Bß > œ B #> F Bß >a b a b a b a b a b!- - -8œ"

""8x 8 "

8a b8

.œ B #> B > #B> ˆ ‰#$ -

La resolvente del núcleo dado será

V Bß >à œ œa b- H Bß>àH

B#> B>#B>

"

a ba b ˆ ‰--

-

- -

#$

" "# '

#


2.2. Núcleos iteradosÞ

Sea dada la ecuación integral de Fredholm

9 - 9a b a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B #Þ#Þ"'+

,

Como en el caso de las ecuaciones diferenciales ordinarias, la ecuaciónintegral puede resolverse por el método de las aproximacionesa b#Þ#Þ"sucesivas. Para esto, hagamos

9 < -a b a b a b a b!B œ 0 B B #Þ#Þ#8œ"

_

88

donde se determina mediante las fórmulas<8a bB <" +

,a b a b a bB œ O Bß > 0 > .>' < <# " #+ +

, ,a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> œ O Bß > 0 > .>' ' < <$ # $+ +

, ,a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> œ O Bß > 0 > .>' ' Aquí

O Bß > œ O Bß D O Dß > .D# "+

,a b a b a b' O Bß > œ O Bß D O Dß > .D$ #+

,a b a b a b'y en general

O Bß > œ O Bß D O Dß > .D #Þ#Þ$8 8"+

,a b a b a b a b'8 œ #ß $ßá O Bß > œ O Bß > O Bß > siendo . Las funciones , que se" 8a b a b a bdeterminan mediante las fórmulas , se llaman .a b#Þ#Þ$ nucleos iteradosPara éstas, es válida la fórmula

O Bß > œ O Bß = O =ß > .= #Þ#Þ%8 7 87+

,a b a b a b a b'donde es un número natural cualquiera, menor que .7 8


La resolvente de la ecuación integral se determina a partir de losa b#Þ#Þ"núcleos iterados por la fórmula

V Bß >à œ O Bß > #Þ#Þ&a b a b a b!- -8œ"

_

88"

La serie del segundo miembro se llama .Serie de Neumann del núcleoEsta converge para

donde . l l F œ O Bß > .B .> #Þ#Þ'- "F + +

, ,#É a b a b' '

La solución de la ecuación de Fredholm de segunda especie sea b#Þ#Þ"expresa por la fórmula de inversión

9 - -a b a b a b a b a bB œ 0 B V Bß >à 0 > .> #Þ#Þ('+

,

La cota es esencial para la convergencia de la serie . Sina b a b#Þ#Þ' #Þ#Þ&embargo, la solución de la ecuación puede también existir paraa b#Þ#Þ"valores de tales que . Veamos un ejemplo, consideremos- -l l "

F

9 - 9a b a b a bB > .> œ " #Þ#Þ)'!

"

Aquí y, por lo tantoO Bß > œ "a b .F œ O Bß > .B .> œ .B.> œ "# #

! ! ! !

" " " "' ' ' 'a bDe este modo, la condición da que la serie converge paraa b a b#Þ#Þ' #Þ#Þ&l l " #Þ#Þ)- . Resolviendo la ecuación como ecuación con núcleoa bdegenerado o separable (ver §3), se obtiene , dondea b" G œ "-

G œ > .> œ "'!

"9 -a b . Esta ecuación no es soluble para , lo que significa que

para la ecuación integral no tiene solución. De aquí se deduce- œ " #Þ#Þ)a bque en un círculo de radio mayor que la unidad las aproximacionessucesivas para la ecuación no pueden converger. Sin embargo,a b#Þ#Þ)para , la ecuación es soluble. En efecto, si , la ecuaciónl l " #Þ#Þ) Á "- -a b9a bB œ "

"- es solución de la ecuación dada, lo cual es fácilmentecomprobable por verificación directa.

Dados dos núcleos, y , diremos que ellos son ,O Bß > P Bß >a b a b ortogonalessi se cumplen las dos condiciones siguientes:

' '+ +

, ,O Bß D P Dß > .D œ !ß P Bß D O Dß > .D œ ! #Þ#Þ*a b a b a b a b a b


para cualesquiera valores admisibles de y de .B >

EJEMPLO. Los núcleos y , son ortogonales enO Bß > œ B> P Bß > œ B >a b a b # #

Ò "ß "Ó.

En efecto,

' '" "

" "# # # $a ba bBD D > .D œ B> D .D œ !

' '" "

" "# # # $a ba bB D D> .D œ B > D .D œ !

Existen núcleos que son ortogonales a sí mismos. Para tales núcleosO Bß > œ ! O Bß ># #a b a b, donde es el segundo núcleo iterado. En este casoevidentemente, todos los núcleos iterados subsiguientes son tambiéniguales a cero, y la resolvente coincide con el núcleo .O Bß >a bEJEMPLO. . O Bß > œ B #> à ! Ÿ > Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ #a b a bsin 1 1

Tenemos

' '! !

# #"#

1 1sin sin cos cosa b a b a b a bB #D D #> .D œ Ò B #> $D B #> D Ó .D

.œ B #> $D B #> D œ !" "# $

Dœ#

Dœ! ‘a b a b ¹sin sin

1

De este modo, en este caso la resolvente del núcleo es igual al propionúcleo

,V Bß >à œ B #>a b a b- sin

de manera que la serie de Neumann está formada por un soloa b#Þ#Þ&término y evidentemente, converge para cualquier .-

Los núcleos iterados pueden expresarse directamente del núcleoO Bß >8a bdado por la fórmulaO Bß >a b O Bß > œ â O Bß = O = ß = áO = ß > .= .= á.= #Þ#Þ"!8 " " # 8" " # 8"+ + +

, , ,a b a b a b a b a b' ' '


Todos los núcleos iterados , a partir de serán funcionesO Bß > O Bß >8 #a b a bcontinuas en el cuadrado , , si el número inicial + Ÿ B Ÿ , + Ÿ > Ÿ , O Bß >a bes de cuadrado sumable en dicho cuadrado.

Damos algunos ejemplos para la determinación de núcleos iterados.

EJEMPLO 1. Hallar los núcleos iterados para si .O Bß > œ B > + œ !ß , œ "a bSolución. Aplicando la fórmula se halla sucesivamentea b#Þ#Þ#

O Bß > œ B >ß O Bß > œ B = = > .= œ B> " # !

" "$a b a b a ba b' B>

#

O Bß > œ B = => .= œ $ !

" "$a b a bŠ ‹' => B>

# "#

O Bß > œ B = .= œ O Bß > œ B> % #!

" " " ""# "# $a b a b a b’ “ Š ‹' => B>

"# #

O Bß > œ B = => .= œ O Bß > œ& $" " ""# $ "#!

"a b a b a bŠ ‹' => B># "##

O Bß > œ B = = > .= œ œ B> '" " ""# "# $!

"a b a ba b Š ‹# #' O Bß>

"# #B>#

#a b

De aquí se deduce que los núcleos iterados tienen la forma

a b a b a b" 8 œ #5 " O Bß > œ B > para #5"a b""#

5

5"

a b Š ‹# 8 œ #5 O œ B> para #5"$

a b""#

B>#

5"

5"

donde 5 œ "ß #ß $ßá

EJEMPLO 2. Hallar los núcleos iterados y siO Bß > O Bß > + œ !ß , œ "" #a b a by si

si O Bß > œB >ß ! Ÿ B >B >ß > B Ÿ "

a b œSolución. Tenemos que O Bß > œ O Bß >"a b a b O Bß > œ O Bß = O =ß > .=# !

"a b a b a b'donde


O Bß = œ O =ß > œ

B =ß ! Ÿ B = = >ß ! Ÿ = >B = ß = B Ÿ " = >ß > = Ÿ "

a b a bœ œComo el núcleo dado no es simétrico, al hallar O Bß > O Bß >a b a b#

consideramos dos casos: y .a b a b" B > # B >

a b" B > Sea . Entonces

O Bß > œ M M M# " # $a b

donde M œ B = = > .= œ " !

B B B >' #

' a ba b $ #

M œ B = = > .= œ B> B ># B

> &> &B $ $' ' # #

# #' a ba b $ $

M œ B = = > .= œ B> $ >

" > B> B > "' # # # $

' a ba b $ #

Sumando estas integrales, se obtiene

O Bß > œ > B B > #B> B> B >#$ $ # ## B> "

$ # $a b a ba b# B > Sea . Entonces

O BÞ> œ M M M# " # $a b

donde M œ B = = > .= œ B> " !

> $ &># '

#' a ba b $

M œ B = = > .= œ # >

B B > B > B>' ' # #

' a ba b $ $ # #

.M œ B = = > .= œ B B > B> $ B

" & $ B> "' # # $

$ #' a ba b


Sumando estas integrales, obtenemos

.O Bß > œ B > B > #B> B> ß B >## B> "$ # $

$ $ # #a b a bDe este modo, el segundo núcleo iterado tiene la forma

O Bß > œ B > B > #B> B> ß ! B >

B > B > #B> B> ß > B Ÿ "#

# B> "$ # $

$ $ # #

# B> "$ # $

$ $ # #a b Análogamente se hallan los núcleos iterados restantes O Bß >8a ba b8 œ $ß %ßá .

Citemos ahora un ejemplo de construcción de la resolvente de unaecuación integral mediante los núcleos iterados. Consideramos laecuación integral

9 - 9a b a b a bB B> > .> œ 0 B'!

"

a b#Þ#Þ""

Aquí sucesivamente se halla:O Bß > œ B>à + œ !ß , œ "a b

O Bß > œ B>

O Bß > œ BD D> .D œ

O Bß > œ BD D> .D œ

âââââ

O Bß > œ

"

# !

" B>$

$" B>$ $!

"

8B>

$

a ba b a ba ba b a ba b

a b

''#

8"

Según la fórmula para la resultante se tienea b#Þ#Þ&

V Bß >à œ O Bß > œ B> œa b a b! !ˆ ‰- -8œ" 8œ"

_ _

88"

$

8"- $B>$-

donde .l l $-

En virtud de la fórmula , la solución de la ecuación integral a b a b#Þ#Þ( #Þ#Þ""se escribe en la forma

9 -a b a bB œ 0 B .>'!

" $B>$-

En particular, para se obtiene donde .0 B œ B B œ Á $a b a b9 -$B$-


Si y son dos núcleos ortogonales, la resolvente ,Q Bß > R Bß > V Bß >àa b a b a b-correspondiente al núcleo es igual a la suma deO Bß > œ Q Bß > R Bß >a b a b a blas resolventes y que corresponden a cada núcleo.V Bß >à V Bß >à" #a b a b- -

EJEMPLO. Hallar la resolvente del núcleo

.O Bß > œ B> B > ß + œ "ß , œ "a b # #

Solución. Como ha sido demostrado anteriormente, los núcleosQ Bß > œ B> R Bß > œ B > Ò "ß "Óa b a b y son ortogonales en . Por esto, la# #

resolvente del núcleo es igual a la suma de las resolventes de losO Bß >a bnúcleos y . Aplicando resultados conocidos se hallaQ Bß > R Bß >a b a b V Bß >à œ V Bß >à V Bß >à œ O Q Ra b a b a b- - - $B> &B >

$# &#- -

# #

donde .l l - $#

La propiedad que acabamos de indicar se puede generalizar a cualquiernúmero finito de núcleos.

Si los núcleos son ortogonales dos a dos ,Q Bß > ßQ Bß > ßá ßQ Bß >a b a b a b" # 8a b a b a bla resolvente que corresponde a su suma

O Bß > œ Q Bß > #Þ#Þ"#a b a b a b!7œ"

87a b

es igual a la suma de las resolventes correspondientes a cada sumando.

Llamaremos -ésima del núcleo a la magnitud8 O Bß >traza a b E œ O Bß B .B 8 œ "ß #ßá #Þ#Þ"$8 8+

,' a b a b a bdonde es el -ésimo núcleo iterado para el núcleo .O Bß > 8 O Bß >8a b a bPara el determinante de Fredholm, tiene lugar la siguiente fórmula:Ha b- H

H

wa ba b-- œ E #Þ#Þ"%! a b8œ"

_

88"-


El radio de convergencia de la serie de potencias es igual al menora b#Þ#Þ"%módulo de las raíces características ver § .Ð $Þ$Ñ

2.3. EJERCICIOS

En los siguientes núcleos aplicando los determinantes de Fredholm, hallelas resolventes.

" O Bß > œ #B >à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ ". a b#Þ O Bß > œ B > B> à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " a b # #

$Þ O Bß > œ B >ß ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ # a b sin cos 1 1

%Þ O Bß > œ B >à ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ # .a b sin sin 1 1

Aplicando las fórmulas y halle las resolventes de losa b a b#Þ#Þ) #Þ#Þ*siguientes núcleos:

&Þ O Bß > œ B > "à " Ÿ B Ÿ "ß " Ÿ > Ÿ " a b'Þ O Bß > œ " $B>à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " a b(Þ O Bß > œ %B> B à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " a b #

)Þ O Bß > œ / à ! Ÿ B Ÿ "ß ! Ÿ > Ÿ " a b B>

*Þ O Bß > œ B > à ! Ÿ B Ÿ # ß ! Ÿ > Ÿ # a b a bsin 1 1

"!Þ O Bß > œ B >à " Ÿ B Ÿ "ß " Ÿ > Ÿ " . a b sinh

Aplicando la resolvente, resolver las siguientes ecuaciones integrales:

""Þ B B > > .> œ " 9 - 9a b a b a b'!

#1sin

"#Þ B 9 -a b '

!

" B'a b a b#B > > .> œ9

"$Þ B 9a b '

!

#1sin cos cosB > > .> œ #B9a b

"%Þ B 9a b '

!

" B> B/ > .> œ /9a b "&Þ B 9 -a b '

!

" #a b a b%B> B > .> œ B9 .


Hallar los núcleos iterados de los núcleos indicados a continuación paralos valores de y dados:+ ,

"'Þ O Bß > œ B >à + œ "ß , œ " a b"(Þ O Bß > œ B > à + œ !ß , œ 8 œ #ß $ a b a b a bsin 1

#

")Þ O Bß > œ B > à + œ "ß , œ " 8 œ #ß $ a b a b a b#

"*Þ O Bß > œ B/ à + œ !ß , œ " a b >

#!Þ O Bß > œ B >à + œ ß , œ a b sin 1 1

#"Þ O Bß > œ / >à + œ !ß , œ a b Bcos 1

En los problemas siguientes, halle O Bß >#a b##Þ O Bß > œ / à + œ !ß , œ " a b lB>l

#$Þ O Bß > œ / à + œ "ß , œ " a b lBl>

Usando núcleos iterados construir la resolvente de los siguientes núcleos:

#%Þ O Bß > œ / à + œ !ß , œ " a b B>

#&Þ O Bß > œ B >à + œ !ß , œ a b sin cos 1#

#'Þ O Bß > œ B/ à + œ "ß , œ " a b >

#(Þ O Bß > œ " B " > à + œ "ß , œ ! a b a ba b#)Þ O Bß > œ B > à + œ "ß , œ " a b # #

#*Þ O Bß > œ B>à + œ "ß , œ " a b$!Þ O Bß > œ B > #B #> + œ !ß , œ # ; a b sin cos cos sin 1

$"Þ O Bß > œ " #B " #> " à + œ !ß , œ " . a b a ba b? ?f


§3. TEORÍA CUANTITATIVA. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO DEGENERADO

3.1. Ecuaciones de Fredholm.

El núcleo de la ecuación integral de Fredholm de segunda especieO Bß >a bse llama , si éste es la suma de un número finitodegenerado o separablede productos de una función sólo de por una función sólo de , esB >decir, si él tiene la forma

O Bß > œ + B , > $Þ"Þ"a b a b a b a b!5œ"

8

5 5

las funciones y son funciones continuas del+ B , > 5 œ "ß #ßá ß 85 5a b a b a bespacio y linealmente independientes. La ecuación integral conP Ò+ß ,Ó#a bnúcleo degenerado a b$Þ"Þ"

9 - 9a b a b a b a b a b a b!B + B , > > .> œ 0 B $Þ"Þ#'+

,” •5œ"

8

5 5

se resuelve del siguiente modo: Escribamos del siguiente modoa b$Þ"Þ#

9 - 9a b a b a b a b a b a b!B œ 0 B + B , > > .> $Þ"Þ$5œ"

8

5 5+

,'e introduzcamos las notaciones siguientes

'+

,5 5, > > .> œ - 5 œ "ß #ßá ß 8 $Þ"Þ%a b a b a b a b9

Entonces toman ahora la formaa b$Þ"Þ$

9 -a b a b a b a b!B œ 0 B - + B $Þ"Þ&5œ"

8

5 5

donde son constantes desconocidas (puesto que la función no es- B5 9a bconocida).

De este modo, la solución de una ecuación integral con núcleodegenerado se reduce a hallar las constantes .- 5 œ "ß #ßá ß 85 a bSustituyendo la expresión en la ecuación integral , y despuesa b a b$Þ"Þ& $Þ"Þ#de sencillas transformaciones, se obtiene


.! !œ a b a b a b a b” •7œ"

8 8

7 7 5 5 7+

,

5œ"

- , > 0 > - + > .> + B œ !' -

En virtud de la independencia lineal de las funciones + B7a ba b7 œ "ß #ßá ß 8 ; de aquí se deduce que

- , > 0 > - + > .> œ !7 7 5 5+

,

5œ"

8' a b a b a b” •!-

o bien

.- - + > , > .> œ , > 0 > .> 7 œ "ß #ßá ß 87 5 5 7 75œ"

8

+ +

, ,- ! a b a b a b a b a b' '

Introduciendo, para simplificar la escritura, las notaciones

,+ œ + > , > .>ß 0 œ , > 0 > .>57 5 7 7 7+ +

, ,' 'a b a b a b a basí se obtiene el siguiente sistema

- + - œ 0 7 œ "ß #ßá ß 87 57 5 75œ"

8

- ! a bo, en forma desarrollada:

a b a ba b

a b" + - + - â + - œ 0

+ - " + - â + - œ 0ââââââââââ

+ - + - â " + - œ 0

$Þ"Þ'

- - -- - -

- - -

"" " "# # "8 8 "

#" " ## # #8 8 #

8" " 8# # 88 8 8

Para hallar las incógnitas tenemos un sistema lineal de ecuaciones- 85

algebraicas con incógnitas. El determinante de este sistema es igual a8

? -

- - -- - -

- - -

a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

œ $Þ"Þ(

" + + â + + " + â +

ã ã ä ã + + â " +

"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

Si , el sistema tiene solución única que se? -a b a bÁ ! $Þ"Þ' - ß - ßá ß -" # 8

obtienen por las fórmulas de Crammer.


- œ5"

? -a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â" + â + 0 + â + + â + 0 + â +

ã ä ã ã ã ä ã + â + 0 + â " +

- - - -- - - -

- - - -

"" "5" " "5" "8

#" #5" # #5" #8

8" 85" 8 85" 88 a b5œ"ß#ßáß8

a b$Þ"Þ)

La solución de la ecuación integral será la función determinadaa b a b$Þ"Þ# B9

por la igualdad

9 -a b a b a b!B œ 0 B - + B5œ"

8

5 5

donde los coeficientes se determinan por las fórmulas- 5 œ "ß #ßá ß 85 a ba b$Þ"Þ) .

OBSERVACIÓN. El sistema se puede obtener, si ambos miembros dea b$Þ"Þ'la igualdad se multiplican sucesivamente por ya b a b a b a b$Þ"Þ& + B ß + B ßá ß + B" # 8

se integra desde hasta , o bien, si se sustituye la expresión para+ , $Þ"Þ&a b9a b a bB $Þ"Þ% B > es la igualdad cambiando por .

EJEMPLO. Resolver la ecuación integral

9 - 9a b a b a b a bB B > > B B > > .> œ B $Þ"Þ*'

#1

1cos sin cos sin

Solución: Escribamos la ecuación en la siguiente forma:

9 - 9 - 9 - 9a b a b a b a bB œ B > > .> B > > .> B > > .> B' ' '

#1 1 1

1 1 1cos sin cos sin

Introduzcamos las notaciones:

- œ > > .>à - œ > > .>à - œ > > .> $Þ"Þ"!" # $ #' ' '

1 1 1

1 1 19 9 9a b a b a b a bcos sin

donde son constantes desconocidas por determinar. Entonces la- ß - ß -" # $

ecuación toma la formaa b$Þ"Þ*

9 - - -a b a bB œ - B - B - B B $Þ"Þ""" # $sin cos

Sustituyendo la expresión en las igualdades , se obtienea b a b$Þ"Þ"" $Þ"Þ"!

- œ - > - > - > > > .>

- œ - > - > - > > > .>

- œ - > - > - > > > .>

" " # $

# " # $#

$ " # $

'''1

1

1

1

1

1

a ba b

a b- - -

- - -

- - -

sin cos cossin cos

sin cos sin

o bien


- " > > .> - > > .> - > .> œ > > .>

- > .> - " > . .> - > > .> œ > .>

-

" # $ #

" # $ $ # # $

"

Š ‹Š ‹

- - -

- - -

-

' ' ' '' ' ' '

'1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1

1

cos sin cos cos cos

sin cos

> > .> - > .> - " > > .> œ > > .>sin sin cos sin sin# $ #- -' ' '

1 1 1

1 1 1Š ‹Calculando las integrales que figuran en estas ecuaciones, se obtiene elsistema de ecuaciones algebraicas para hallar las incógnitas - ß - ß -" # $

- - œ !- - % œ !

# - - - œ #$Þ"Þ"#

" $

# $

" # $

-1- 1

1- -1 1a b

El determinante del sistema es

? - 1 - 1 - 1 -1-1-

1- 1-a b a b

â ââ ââ ââ ââ ââ âœ œ " # % œ " # Á !" ! ! " %

# "

# # # # # #

El sistema tiene solución única; dada pora b$Þ"Þ"#

- œ à - œ à - œ" # $# ) #

"# "# "#-1 -1 1- 1 - 1 - 1

# #

# # # # # #

sustituyendo los valores hallados y en se obtiene la- ß - - $Þ"Þ"" # $ a bsolución de la ecuación integral dada:

.9 -1 -1a b a bB œ B % B B B#"#

-1- 1# # sin cos

3.2. Ecuación de Hammerstein

Muchos problemas de la física se reducen a ecuaciones integrales nolineales de Hammerstein.

La forma canónica de la (ver §1, 1.3) es:ecuación de Hammerstein

9 9a b a b a b a ba bB œ O Bß > 0 >ß > .> $Þ#Þ"'+

,

donde son funciones dadas; es la función incógnita.O Bß > ß 0 >ß ? Ba b a b a b9

También las ecuaciones de la forma


+ 9 9 <a b a b a b a b a ba bB œ O Bß > 0 >ß > .> B $Þ#Þ"'+

, w

donde es una función conocida, pueden reducirse con facilidad a la<a bBecuación del tipo de modo que la diferencia entre las ecuacionesa b$Þ#Þ"homogéneas y no homogéneas (de importancia en el caso lineal) en elcaso no lineal no tiene casi ningún valor. La función la llamaremosO Bß >a bcomo siempre .núcleo de la ecuación a b$Þ#Þ"

Sea un núcleo degenerado, es decirO Bß >a b . O Bß > œ + B , > $Þ#Þ#a b a b a b a b!

3œ"

7

3 3

En este caso, la ecuación toma la formaa b$Þ#Þ"

9 9a b a b a b a b a b! a bB œ + B , > 0 >ß > .> $Þ#Þ$3œ"

7

3 3+

,'Hagamos

- œ , > 0 >ß > .> 3 œ "ß #ßá ß7 $Þ#Þ%3 3+

,' a b a b a b a ba b9

donde son constantes desconocidas por ahora. Entonces en virtud de-3a b$Þ#Þ$ tendremos

9a b a b a b!B œ - + B $Þ#Þ&3œ"

7

3 3

Sustituyendo en las ecuaciones la expresión para , sea b a b a b$Þ#Þ% $Þ#Þ& B9

obtienen magnitudes desconocidas :7 - ß - ßá ß -" # 7

- œ - ß - ßá ß - 3 œ "ß #ßá ß7 $Þ#Þ'3 3 " # 7< a b a b a bEn el caso en que sea un polinomio con respecto a , es decir0 >ß ? ?a b 0 >ß ? œ : > : > ? â : > ? $Þ#Þ(a b a b a b a b a b! " 8

8

donde son, por ejemplo, funciones continuas de en el: > ß : > ßá ß : >! " 8a b a b a bsegmento , el sistema se transforma en un sistema deÒ+ß ,Ó $Þ#Þ'a becuaciones algebraicas con respecto a . Si existe una solución- ß - ßá ß -" # 7

del sistema , es decir, si existen númerosa b$Þ#Þ'


,- ß - ßá ß -" #! ! !

7

tales que, al ser sustituídos en el sistema , reducen sus ecuacionesa b$Þ#Þ'a identidades, entonces existe una solución de la ecuación integral ,a b$Þ#Þ$que se determina por la igualdad :a b$Þ#Þ&

.9a b a b!B œ - + B3œ"

7

3!

3

Es evidente que el número de soluciones (en general, complejas) de laecuación integral es igual al número de soluciones del sistemaa b$Þ#Þ$a b$Þ#Þ' .

EJEMPLO. Resolver la ecuación integral

es un parámetro 9 - 9 -a b a b a b a bB œ B> > .> $Þ#Þ)'!

" #

Solución: Hagamos

- œ > > .> $Þ#Þ*'!

" #9 a b a bEntonces

9 -a b a bB œ - B $Þ#Þ"!

Sustituyendo por el segundo miembro de en la relación9a b a bB $Þ#Þ"!a b$Þ#Þ* , se tendrá

- œ > - > .>'!

" # # #-

de donde

. - œ - $Þ#Þ""-#

%# a b

La ecuación tiene dos soluciones:a b$Þ#Þ""

.- œ !ß - œ" #%-#

Por lo tanto, la ecuación integral tiene también dos soluciones paraa b$Þ#Þ)cualquier - Á !

9 9" #%a b a bB œ !ß B œ BÞ-


Existen ecuaciones integrales no lineales simples que no tienensoluciones reales.

Veamos por ejemplo, la ecuación

9 9a b a b a ba bB œ / " > .> $Þ#Þ"#"# !

" B> Î# #' a b

hagamos

- œ / " > .> $Þ#Þ"$"# !

" #' ># a b a ba b9

Entonces

. 9a b a bB œ -/ $Þ#Þ"%B#

Para determinar la constante se obtienen las ecuaciones-

- œ / " - / .>

- " - $- $ / " œ !$Þ#Þ"&

"# !

" >Î# # >

$Î# #

' a bˆ ‰ Š ‹ a b"

#

No es difícil comprobar que la ecuación no tiene raíces reales ya b$Þ#Þ"&que, por lo tanto, la ecuación integral no tiene soluciones reales.a b$Þ#Þ"#

Por otro lado, consideremos la ecuación

9 9a b a b a b a b a bŠ ‹B œ + B + > > .> $Þ#Þ"''!

"sin 9a ba b>+ >

para todo .Ð+ > ! > − Ò!ß "ÓÑa bPara la determinación de la constante se obtiene la ecuación-

" œ + > .> - $Þ#Þ"('!

" #a b a bsin

Si , entonces la ecuación y, por consiguiente,'!

" #+ > .> " $Þ#Þ"(a b a btambién la ecuación integral inicial , tiene un número infinito dea b$Þ#Þ"'soluciones reales.

? ?f


3.3. Raíces características y funciones propias.

La ecuación integral homogénea de Fredholm de segunda especie

9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ ! $Þ$Þ"'+

,

tiene siempre la solución trivial , que se llama solución .9a bB œ ! nula

Los valores del parárametro , para los cuales esta ecuación tiene-soluciones no nulas , se llaman de la9a bB œ !Î raíces característicasecuación , o del núcleo , y cada solución no nula de estaa b a b$Þ$Þ" O Bß >ecuación se llama , correspondiente a la raízfunción propiacaracterística .-

El número no es raíz característica, puesto que para en- -œ ! œ ! $Þ$Þ"a bse sigue que .9a bB œ !

Si el núcleo es continuo en la región o deO Bß > œ ÖÐBß >ÑÎ+ Ÿ Bß > Ÿ ,×a b H

cuadrado sumable en , y además los números y son finitos, entoncesH + ,a cada raíz característica le corresponde un número finito de funciones-propias linealmente independientes; el número de estas funciones sedenomina de la raíz característica. Distintas raíces característicasrangopueden tener diferente rango.

Para las ecuaciones con o núcleos degenerado separable

9 - 9a b a b a b a b a b” •!B + B , > > .> œ ! $Þ$Þ#'+

,

5œ"

8

5 5

las raíces características son las raíces de la ecuación algebraica

? -

- - -- - -

- - -

a b a bâ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

œ œ ! $Þ$Þ$

" + + â + + " + â +

ã ã ä ã + + â " +

"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

cuya potencia es . Aquí es el determinante del sistema lineal: Ÿ 8 ? -a bhomogéneo


a b a ba b

a b" + - + - â + - œ !

+ - " + - â + - œ !ââââââââ

+ - + - â " + œ !

$Þ$Þ%

- - -- - -

- - -

"" " "# # "8 8

#" " ## # #8 8

8" " 8# # 88

donde las magnitudes y tienen el mismo sentido+ - 5ß7 œ "ß #ßá ß 875 7 a bque en el parágrafo precedente ver §3,3.1 .Ð Ñ

Si la ecuación tiene raíces , la ecuación integral a b a b a b$Þ$Þ$ : " Ÿ : Ÿ 8 $Þ$Þ#posee raíces características; a característica : 7 œ "ß #ßá ß :cada raíz -7 a ble corresponde una solución no nula.

- ß - ßá ß -

- ß - ßá ß -âââââââ

- ß - ßá ß -

" #" " "

8 "

" ## # #

8 #

" #: : :

8 :

a b a b a ba b a b a b

a b a b a b

Ä

Ä

Ä

-

-

-

del sistema . Las soluciones no nulas de la ecuación integrala b a b$Þ$Þ% $Þ$Þ#correspondientes a estas soluciones, es decir, las funciones propias,tendrían la forma

.9 9 9" 5 # 5 : 55œ" 5œ" 5œ"

8 8 8

5 5 5" # :a b a b a b a b a b a b! ! !B œ - + B ß B œ - + B ßá ß B œ - + Ba b a b a b

La ecuación integral con núcleo degenerado tiene a lo más raíces 8características y funciones propias correspondientes a estas.

En el caso de un núcleo arbitrario (no degenerado o inseparable), lasraíces características son ceros del determinante de Fredholm , esHa b-decir, polos de la resolvente . De aquí se deduce, en particularV Bß >àa b-que la ecuación de Volterra

9 - 9a b a b a bB O Bß > > .> œ !'!

B

donde , no tiene raíces características (para estaO Bß > − Pa b a b# H

H œ / E œ O Bß > .>a b a b- E" !

B"- , siendo ).'

OBSERVACIÓN. Las funciones propias se determinan salvo un factorconstante es decir, si es una función propia que corresponde a cierta9a bBraíz característica , entonces , donde es una constante arbitraria,- 9- B -a bserá también una función propia correspondiente a la misma raízcaracterística .-


EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de laecuación integral

9 - 9a b a b a b a bB B #> $B > > .> œ ! $Þ$Þ&'!

# $1cos cos cos cos

Solución: Se tiene

9 - 9 - 9a b a b a bB œ B #> > .> $B > > .>cos cos cos cos# $! !

' '1 1

Introduciendo las notaciones

- œ > #> .>ß - œ > > .>" #! !$' '1 1

9 9a b a bcos cos

tenemos

9 - -a b a bB œ - B - $B $Þ$Þ'" ##cos cos

Sustituyendo en se obtiene un sistema lineal de ecuacionesa b a b$Þ$Þ' $Þ$Þ&homogéneas:

- " > #> .> - $> #> .> œ !

- > .> - " > $> .> œ !$Þ$Þ(

" #! !#

" #! !& $

Š ‹Š ‹ a b- -

- -

' '' '

1 1

1 1

cos cos cos cos

cos cos cos

Pero como

' '' '! !

#%

! !& $

)

1 11

1 1 1

cos cos cos coscos cos cos

> #> .> œ ß $> #> .> œ !

> .> œ !ß > $> .> œ

El sistema toma la formaa b$Þ$Þ(

ˆ ‰ˆ ‰ a b" - œ !

" - œ !$Þ$Þ)

-1

-1% "

) #

La ecuación para hallar las raíces características será

» »" !

! " œ !

-1

-1%

)

Las raíces características son , .- -" #% )œ œ1 1


Para , el sistema toma la forma-"%œ $Þ$Þ)1

a b ! - œ !

- œ !"

"# #

de donde , es constante arbitraria. La función propia será- œ ! -# "

9 - - 9" " " "# #a b a bB œ - B - œ " B œ Bcos cos, o bien, haciendo , se obtiene .

Para , el sistema toma la forma-#)œ $Þ$ß )1

a b a b " - œ !

! - œ !"

#

de donde , es arbitraria y, por consiguiente, la función propia será- œ ! -" #

9 - - 9# # # #a b a bB œ - $B - œ " B œ $Bcos cos, o bien haciendo , se obtiene .

De este modo, las raíces característericas son:

, - -" #% )œ œ1 1

las funciones propias correspondientes a estas son: 9"#a bB œ Bßcos

9#a bB œ $Bcos .

Una ecuación integral homogénea de Fredholm puede no tener raícescaracterísticas y funciones propias, o bien no tener raíces característicasreales y funciones propias.

EJEMPLO. La ecuación integral homogénea

9 - 9a b a b a bB $B # > > .> œ !'!

"

no tiene raíces características y funciones propias. En efecto, tenemos

.9 - 9a b a b a bB œ $B # > > .>'!

"

Haciendo

- œ > > .> $Þ$Þ*'!

"9a b a b

se obtiene


. 9 -a b a b a bB œ - $B # $Þ$Þ"!

Sustituyendo en obtenemosa b a b$Þ$Þ"! $Þ$Þ*

’ “a b a b" $> #> .> - œ ! $Þ$Þ""-'!

" #

Pero, como la ecuación da y, por'!

" #a b a b$> #> .> œ ! $Þ$Þ"" - œ !

consiguiente .9a bB œ !

De este modo, la ecuación homogénea dada tiene sólo la solución nula9 -a bB œ ! para un cualquiera; por lo tanto, ésta no posee raícescaracterísticas y funciones propias.

EJEMPLO. la ecuación no tiene raíces9 9a b a bŠ ‹È ÈB B> >B > .> œ !'!

"

características reales y funciones propias.

Tenemos que donde9 - -a b ÈB œ - B - B" #

.- œ > > .>ß - œ > > .>" #! !

" "' '9 9a b a bÈHaciendo la sustitución en y se tiene9 - -" #

- œ > - > - > .>ß - œ > - > - > .>" " # # " #! !

" "' 'Š ‹ Š ‹È È È- - - -

de donde

- œ - > .> - > .>ß - œ - > .> - > .>" " # # " #! ! ! !

" " " "#- - - -' ' ' '$ $# #

obteniéndose el sistema de ecuaciones algebraicas

.

ˆ ‰̂ ‰ a b" - - œ !

- " - œ !$Þ$Þ"#

#& $" #

# &" ##

-

-

-

-

El determinante del sistema es

.? --

-a b » »œ œ "

"

"

#& $

# &#

-

--#

"&!


Para real, éste no se anula, por lo que se obtiene y ,- a b$Þ$Þ"# - œ ! - œ !" #

por lo tanto, para todas las reales, la ecuación dada tiene sólo la-solución trivial: . De esta manera, la ecuación dada9a bB œ !

9 - 9a b a bŠ ‹È ÈB B> >B > .> œ !'!

" no posee raíces características reales yfunciones propias.

Si el -ésimo núcleo iterado del núcleo es simétrico,8 O Bß > O Bß >8a b a bentonces se puede afirmar que tiene por lo menos una raízO Bß >a bcaracterística (real o compleja), y que las potencias -ésimas de todas las8raíces características son números reales. En particular, para un núcleoantisimétrico , todas las raíces características sonO Bß > œ O >ß Ba b a bimaginarias puras: , donde .- " "œ 3 − d

El núcleo de una ecuación integral se llama , si se cumpleO Bß >a b simétricala condición .O Bß > œ O >ß B + Ÿ Bß > Ÿ ,a b a b a bPara la ecuación integral de Fredholm

9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ ! $Þ$Þ"$'+

,

con núcleo simétrico tienen lugar los teoremas siguientes que sonO Bß >a banálogos del análisis espectral:

TEOREMA 1. La ecuación tiene por lo menos una9 -a bB '+

,O Bß > > .> œ !a b a b9

raíz característica real.

TEOREMA 2. A cada raíz característica le corresponde un número finito- ;de funciones linealmente independiente de la ecuación9 -a bB '

+

,O Bß > > .> œ !a b a b9 siendo

sup ; Ÿ F-# #

donde

F œ O Bß > .B .># #+ +

, ,' ' a bEl número se llama o multiplicidad de la raíz característica.; rango


TEOREMA 3. , , Cada par de funciones propias que corresponde a9"a bB 9#a bBraíces características diferentes son ortogonales es decir- -" #Á , ,'+

," #9 9a b a bB B .B œ !.

TEOREMA 4. En cada intervalo finito del eje hay un número finito de-raíces características. La cota superior para el número de raíces7características situadas en el intervalo se determina por la 6 6-desigualdad

.7 6 F# #

En el caso en donde el núcleo de la ecuación sea la funciónO Bß > $Þ$Þ"$a b a bde Green de cierto problema homogéneo de Sturm-Lioville, ladeterminación de las raíces características y las funciones propias sereducen a la solución de dicho problema.

EJEMPLO. Hallar las raíces características y las funciones propias de laecuación homogénea

9 - 9a b a b a bB O Bß > > .> œ !'!

1

donde

.O Bß > œB >ß ! Ÿ B Ÿ >> B ß > Ÿ B Ÿ

a b œ cos sincos sin 1

Solución. Escribamos la ecuación dada en la forma

9 - 9 - 9a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> O Bß > > .>' '! !

B 1

o bien

9 - 9 - 9a b a b a b a bB œ B > > .> B > > .B $Þ$Þ"%sin cos cos sin' '! B

B 1

con el fin de obtener el problema de Sturm-Liouville derivamos ambosmiembros de , se hallaa b$Þ$Þ"%

,9 - 9 - 9

- 9 - 9

w!

B

B

a b a b a ba b a b

B œ B > > .> B B B

B > > .> B B B

cos cos sin cossin sin sin cos

'' 1

o sea


. 9 - 9 - 9w! B

Ba b a b a b a bB œ B > > .> B > > .> $Þ$Þ"&cos cos sin sin' ' 1

Derivando una vez más, se obtiene

9 - 9 - 9 - 9 - 9

-9 - 9 - 9

ww # #! B

B

! B

B

a b a b a b a b a ba b a b a b’ “

B œ B > > .> B B B > > .> B B

œ B B > > .> B > > .> Þ

sin cos cos cos sin sin

sin cos cos sin

' '' '

1

1

La expresión entre corchetes es igual a , de forma que9a bB .9 -9 9wwa b a b a bB œ B B

De este modo la ecuación integral dada se reduce al siguiente problemade frontera:

9 - 9wwa b a b a b a bB " B œ ! $Þ$Þ"'

9 1 9a b a b a bœ ! ! œ ! $Þ$Þ"(w

Aquí son posibles los tres casos siguientes:

a b" ó, .- - " œ !ß œ "

La ecuación toma la forma su solución general seráa b a b$Þ$Þ"' B œ !9ww

9a b a bB œ - B - $Þ$Þ"(" #. Usando las condiciones de frontera , paradeterminar las constantes y obtenemos el sistema- -" #

- - œ !- œ !

" #

"

1

el cual tiene la única solución y por consiguiente la ecuación- œ !ß - œ !" #

integral tiene sólo la solución trivial .9a bB œ !

a b# , ó, .- - " ! "

La solución general de la ecuación tiene la formaa b$Þ$Þ"'

.9 - -a b È ÈB œ - "B - "B" #cosh sinh

Para determinar los valores de y , las condiciones de frontera dan el- -" #

sistema


.

- " - " œ !- œ !

" #

#

cosh sinh1 - 1 -È È

Éste tiene la solución única . La ecuación integral tiene la- œ !ß - œ !" #

solución trivial . De este modo, para la ecuación integral9 -a bB œ ! "

no posee raíces características y, por lo tanto, tampoco tiene funcionespropias.

a b$ , ó sea . La solución general de la ecuación - - " ! " $Þ$Þ"'a bserá

.9 - -a b È ÈB œ - " B - " B" #cos sin

De aquí hallamos que

.9 - - -w" #a b È È ÈŠ ‹B œ " - " B - " Bsin cos

En este caso, para la determinación de y , las condiciones de- -" #

fronteras dan el sistemaa b$Þ$Þ"(

- " - " œ !

" - œ !$Þ$Þ")" #

#

cos sin1 - 1 -

-

È ÈÈ a bel determinante de este sistema es

? -1 - 1 -

-a b » »È ÈÈœ

" "

! "

cos sin

Igualando a cero, obtenemos la ecuación para la determinación de lasraíces características

» »È ÈÈ a bcos sin1 - 1 -

-

" "

! " œ ! $Þ$Þ"*

o sea . Por hipótesis , por lo tantoÈ È È" " œ ! " Á !- 1 - -coscos1 - 1 - 1 ™È È" " œ 8 8 −. De aquí se halla que , donde . Todas1

#

las raíces de la ecuación vienen dadas por la fórmulaa b$Þ$Þ"*

.-8"#

#œ " 8 ˆ ‰

Para valores de , el sistema toma la forma- -œ $Þ$Þ")8 a b


- † ! - " œ !- œ !

" #8

#

a bÉste tiene un conjunto infinito de soluciones no nulas

- œ -ß - œ !" #

donde es una constante arbitraria. Esto significa que también la-ecuación integral original tiene un conjunto infinito de soluciones de laforma

9a b ˆ ‰B œ - 8 Bcos "#

las cuales son funciones propias de dicha ecuación.

De este modo, las raíces características y las funciones propias de laecuación dada, serán

, - 98 8" "# #

#œ " 8 B œ 8 Bˆ ‰ ˆ ‰a b cos

donde es un entero cualquiera.8

3.4. EJERCICIOS.

Resolver las siguientes ecuaciones integrales con núcleos degenerados:

" B % B > .> œ #B . 9 9 1a b a b'!

Î# #1sin

#Þ B 9a b '"

" B/ > .> œ Barcsin 9a b tan

$Þ B 9 -a b ' Î%

Î%

1

1 tan cot> > .> œ B9a b%Þ B 9 -a b '

!

"cos lna b a b; > > .> œ "9

&Þ B 9 -a b '!

"arccos > > .> œ9a b "

"BÈ #

'Þ B 9 -a b '!

" ">

:ˆ ‰ a b a bln 9 > .> œ " : "


Resolver las siguientes ecuaciones integrales:

(Þ B œ # B> > .> 9 9a b a b'!

" $

) B œ B> B > > .>. 9 9a b a b a b'"

" # # #

*Þ B œ B > > .> 9 9a b a b'"

" # # $

"!Þ B œ .> 9a b '"

" B>" >9#a b

""Þ B œ " > .>Þ 9 9a b a ba b'

!

" #

"#Þ B œ + B + > " > .>Demostrar que la ecuación integral 9 9a b a b a ba ba b"

# !

" #'Ð+ B ! B − Ò!ß "ÓÑ + B .B "a b a b para todo no tiene soluciones reales, si .'

!

" #

Hallar las raíces características y las funciones propias de las siguientesecuaciones integrales homogéneas con nucleo degenerado:

"$Þ B B > .> œ ! 9 - 9a b a b'!

Î% #1sin

"%Þ B B > > .> œ ! 9 - 9a b a b'!

#1sin cos

"&Þ B B > > .> œ ! 9 - 9a b a b'!

#1sin sin

"'Þ B B > > .> œ ! 9 - 9a b a b a b'!

1cos

"(Þ B &B> %B > > .> œ ! 9 - 9a b a b a b'"

" $ #

")Þ B &B> %B > $B> > .> œ ! 9 - 9a b a b a b'"

" $ #

"*Þ B B > > B > .> œ ! 9 - 9a b a b a b'"

"cosh cosh

Hallar las raíces características y las funciones propias de las ecuacionesintegrales homogéneas, si sus núcleos tienen la forma

#!Þ O Bß > œB > " ß ! Ÿ B Ÿ >> B " ß > Ÿ B Ÿ "

a b œ a ba b


#"Þ O Bß > œB " > # ß ! Ÿ B Ÿ >> " B # ß > Ÿ B Ÿ "

a b œ a ba ba ba b##Þ O Bß > œ

B >ß ! Ÿ B Ÿ >> Bß > Ÿ B Ÿ

a b œ sin cossin cos 1

#$Þ O Bß > œB > " ß Ÿ B Ÿ >> B " ß > Ÿ B Ÿ

a b œ a ba bsin sinsin sin

11

#%Þ O Bß > œ / Bß ! Ÿ B Ÿ >

/ >ß > Ÿ B Ÿ " .a b œ >

>

sinhsinh

#&Þ O Bß >Demostrar que, si es núcleo simétrico, entonces el segundoa bnúcleo iterado tiene sólo raíces características positivas.O Bß >#a b§4. TEORÍA CUALITATIVA PARA LAS ECUACIONES INTEGRALES

4.1. Conceptos Fundamentales

Se llama ecuación integral lineal de Fredholm de segunda especie a unaecuación del tipo

9 - 9a b a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B %Þ"Þ"'+

,

donde es la función incógnita; y son funciones9a b a b a bB O Bß > 0 Bconocidas; y son variables reales, que varían en un intervalo ; esB > Ò+ß ,Ó -

un factor numérico.

La función se denomina , se suponeO Bß >a b núcleo de la ecuación integralque está definida en la región cuadrada

y,H œ Ö Bß > Î + Ÿ B Ÿ ,ß + Ÿ B Ÿ ,×a ben el plano , y es continua en , o bien sus discontinuidades sona bBß > H

tales que la integral doble tiene un valor finito.' ' a b+ +, , #lO Bß > l .B .>

Si , la ecuación se llama no homogénea; si en cambio0 B œ ! %Þ"Þ"Îa b a b0 ! œ ! %Þ"Þ"a b a b la ecuación toma la forma

9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ ! %Þ"Þ#'+

,

y se denomina homogénea.


Los límites de integración y en las ecuaciones y pueden+ , %Þ"Þ" %Þ"Þ#a b a bser finitos o infinitos.

Se llama de las ecuaciones y a cualquier funciónsolución a b a b%Þ"Þ" %Þ"Þ#9a bB que, al ser sustituida en dicha ecuación, la reduce a identidades conrespecto a , esto se pudo observar en la parte cuantitativa de losB − Ð+ß ,Ñparágrafos y .# $

4.2. Operador integral de Fredholm.

En este numeral estudiaremos las ecuaciones de Fredholm de segundaespecie, esto es, las ecuaciones del tipo

9 9a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B %Þ#Þ$'+

,

Respecto a la función , llamada como se ha dicho en muchísimasOocasiones de esta ecuación, la supondremos que es medible ynúcleoverifica la condición

' '+ +

, , #lO Bß > l .B .> _ %Þ#Þ%a b a bEl término independiente de esta ecuación es una función dada de0 Ba bP Ò+ß ,Ó P Ò+ß ,Ó# #a b a b y es la función incógnita perteneciente también a .9

Pongamos en correspondencia a la ecuación con el operadora b%Þ#Þ$E À P Ò+ß ,Ó P Ò+ß ,Ó# #a b a b , definido del modo siguiente:⎯→

donde E œ E B œ O Bß > > .> œ B %Þ#Þ&9 < 9 9 <a ba b a b a b a b a b'+

,

El estudio de la ecuación se reduce, por supuesto, al estudio de lasa b%Þ#Þ$propiedades de este operador llamado operador de Fredholm deEnúcleo . Se sabe del análisis funcional que un operador entre espaciosOde Hilbert es si transforma conjuntos débilmentetotalmente continuocompactos en conjuntos relativamente compactos según la topologíafuerte, pero esto es completamente equivalente a demostrar que eloperador transforma toda sucesión débilmente convergente en unasucesión fuertemente convergente (entendiendo fuertemente como latopología definida por la norma del espacio). Tenemos a continuación elsiguiente resultado fundamental en la teoría cualitativa de las ecuacionesintegrales.


TEOREMA 1. La igualdad , donde es una<a b a bB œ O Bß >'+

,O Bß > > .>a b a b9

función de cuadrado integrable, es decir en el espacio unP Ò+ß ,Ó#a boperador lineal totalmente continuo , cuya norma satisface laEdesigualdad

l l a b a bÉE lO Bß > l .B .> %Þ#Þ'' '+ +

, ,#

Demostración: Observemos, ante todo, que la integral '+

, #lO Bß > l .>a bexiste, debido al teorema de Fubini y a la condición (vea ela b%Þ#Þ%numeral 74 del fascículo de resultados de mi trabajo [6] sobre teoría deIntegración en el ciberespacio) para casi todo . En otras palabras B O Bß >a bpertenece como función de a para casi todo . Como el> P Ò+ß ,Ó B#a bproducto de dos funciones de cuadrado sumable es sumable, la integralque figura en el miembro derecho de existe para casi todo , esa b%Þ#Þ& Bdecir la función está definida en casi todos los puntos. Probemos que<< − P Ò+ß ,Ó#a b, en virtud de la desigualdad de Cauchy tenemos para casitodo B

|

.

< 9 9

9

# # #+ + +

, , ,#

#+

, #

a b a b a b a b a b¹ ¹l l a b

B l œ O Bß > > .> Ÿ lO Bß > l .> l > l .>

œ lO Bß > l .>

' ' ''

Integrando respecto a y sustituyendo la integral iterada de porB lO Bß > l#a buna integral doble obtenemos la desigualdad

l l a b l l a bE œ l B l .B Ÿ lO Bß > l .B .>9 < 9# #+ + +

, , ,# #' ' 'que además de probar la integrabilidad de se demuestra lal B l<#a bestimativa para la norma del operador . Resta probar que ela b%Þ#Þ' Eoperador es totalmenmte continuo. Sea un sistema ortogonalE Ö ×<8

completo de . Entonces todos los productos del tipo P Ò+ß ,Ó B ># 7 8a b a b a b< <

forman un sistema completo en el espacio y porP Ò+ß ,Ó ‚ Ò+ß ,Ó#a bconsiguiente

O Bß > œ + B >a b a b a b!!7 8

78 7 8< <

Demostremos ahora

O Bß > œ + B >R 78 7 87œ" 8œ"

R Ra b a b a b! ! < <


y sea el operador correspondiente al núcleo . Este operador esE OR R

totalmente continuo ya que transforma todo el espacio en unP Ò+ß ,Ó#a bsubespacio de dimensión finita (los operadores de este tipo han sidollamados degenerados o separables). En efecto, si se tiene9 − P Ò+ß ,Ó#a b

E œ O Bß > > .> œ + B > > .>

R

œ B + ,

R R 78 7 8+ +

, ,

7œ" 8œ"

R

7œ" 8œ"

R R

8 78 8

9 9 < 9 <

<

' 'a b a b a b a b a b! !! !a b

donde

, œ > > .>8 8+

,' 9 <a b a bes decir, todo elemento es transformado por el operador9 − P Ò+ß ,Ó E# Ra ben un elemento del subespacio de dimensión finita generado por losvectores .< < <" # Rß ßá ß

Ahora bien, como es la suma parcial de la serie de Fourier de laOR

función , tenemosO

para .' '+ +

, ,R

#a ba b a bO Bß > O Bß > .B .> ! R _Ä Ä

Aplicando la estimativa al operador encontramos de aquía b%Þ#Þ' E ERl lEE ! R _R Ä Ä para .

Empleando ahora un teorema que afirma que el límite de una sucesiónconvergente de operadores totalmente continuos es un operadortotalmente continuo, obtenemos la continuidad total del operador . ElEteorema queda probado.

OBSERVACIONES.1) Al demostrar el teorema 1 hemos probado que todo operador deFredholm puede ser representado como límite (en el sentido de laconvergencia según la norma) de una sucesión de operadores integralesdegenerados (ver § No . ).$ $ "

2) Sean y dos operadores del tipo y sean y sus núcleosE E %Þ#Þ& O O" # " #a bcorrespondientes. Si los operadores y son iguales, es decirE E" #

E œ E − P Ò+ß ,Ó O Bß > œ O Bß >" # # " #9 9 9 para todo , entonces casi en todosa b a b a blos puntos. Veamos esta afirmación, si

E E œ O Bß > O Bß > > .> œ !" # " #+

,9 9 9' a b a ba b a b


para todo , entonces para casi todo se tiene9 − P Ò+ß ,Ó B − Ò+ß ,Ó#a b '

+

," #

#lO Bß > O Bß > l .> œ !a b a bes decir

' '+ +

, ," #

#lO Bß > O Bß > l .B .> œ !a b a bde donde se desprende nuestra afirmación. Luego podemos decir que lacorrespondencia entre los operadores integrales y los núcleos esbiunívoca.

En la teoría cualitativa de las ecuaciones integrales, una vez establecido eloperador asociado, inmediatamente se establecen los operadoresconjugados los cuales permiten la solución de ecuaciones medianteprocedimientos de inversión.

TEOREMA 2. Sea un operador de Fredholm con núcleo . EntoncesE O Bß >a bel operador conjugado se define por el núcleo E‡ conjugado .O Bß >a bDemostración. Empleando el teorema de Fubini, tenemos

,

a b a b a b a b a b a b a bš ›š › š ›a b a b a b a b a b a ba b

E0ß 1 œ O Bß > 0 > .> 1 B .B œ O Bß > 0 > 1 B .> .B

œ O Bß > 1 B .B 0 > .> œ 0 > O Bß > 1 B .B .>

œ 0ßE 1

' ' ' '' ' ' '+ + + +

, , , ,

+ + + +

, , , ,

‡

de donde

,E 1 œ O Bß > 1 B .B‡+

,' a b a by de aquí se deduce la afirmación del teorema.

En particular, un operador de tipo esE B œ O Bß > > .>< 9a b a b a b'+

,

autoconjugado en , es decir, si y sólo si .P Ò+ß ,Ó E œ E O Bß > œ O >ß B#‡a b a b a b

En el caso en que se considere el espacio de Hilbert real (y, por lo tanto,núcleos reales ) la condición de autoconjugación está dada por laOigualdad

.O Bß > œ O >ß Ba b a b


OBSERVACIÓN. Hemos considerado operadores integrales que actúan en elespacio . No obstante, todo lo expuesto se extiende sinP Ò+ß ,Ó#a bmodificaciones al caso en que se considere, en lugar del segmento ,Ò+ß ,Óun espacio cualquiera provisto de medida.

4.3. Ecuaciones de núcleo simétrico.

Consideremos una ecuación integral de Fredholm de segunda especie

9 9a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B %Þ$Þ"'+

,

cuyo núcleo verifica las condiciones

a b a ba b a b a b3 lO Bß > l .B .> _

33 O Bß > œ O Bß >

' '+ +

, , #

Estas ecuaciones serán llamadas de núcleo . En virtud de lossimétricoteoremas 1 y 2 del numeral anterior, el operador de Fredholm%Þ#

correspondiente E œ O Bß > > .> Ð%Þ$Þ#Ñ9 9'

+

, a b a bes totalmente continuo y autoconjugado. Luego es válido para él, elteorema de Hilbert-Schmidt que dice: Para cualquier operador lineal Eautoconjugado y totalmente continuo en un espacio de Hilbert existeLßun sistema ortonormal de vectores propios correspondientes aÖ ×98

valores propios tal que cada elemento se puede escribir deÖ × − L- 08

manera única en la forma

donde .0 9 0 0œ - E œ !!5

5 5w w

Aplicando este teorema a la solución de la ecuación , como lo quea b%Þ$Þ"importa no es la forma integral del operador sino el hecho de quea b%Þ$Þ#este operador es totalmente continuo y autoconjugado, es natural escribirla ecuación en la formaa b%Þ$Þ"

. 9 9œ E 0 %Þ$Þ$a bDe acuerdo con el teorema de Hilbert-Schmidt existe para el operador Eun sistema ortogonal de funciones propias correspondientes a losÖ ×98

valores propios para los cuales tenemosÖ ×-8


0 œ , 0 E0 œ ! %Þ$Þ%! a b a b8

8 8w w<

y busquemos la solución de la ecuación en la forma9 a b%Þ$Þ$

9 ; < 9 9œ E œ ! %Þ$Þ&! a b a b8

8 8w w

Introduciendo los desarrollos y en , obtenemosÐ%Þ$Þ%Ñ %Þ$Þ& %Þ$Þ$a b a b .! ! !

8 8 88 8 8 8 8 8 8

w w; < 9 ; - < < œ , 0

Esta igualdad se cumple si y sólo si

, y, 0 œ " œ , 8 œ "ß #ßáw w8 8 89 ; -a b a b

es decir, cuando

para para .

0 œ

œ Á "

, œ ! œ "

w w

8 8

8 8

9

; -

-

,"

8

8-

La última igualdad es una condición necesaria y suficiente para que laecuación tenga solución.a b%Þ$Þ$

Teniéndose así el siguiente resultado:

Si no es valor propio del operador , la ecuación tiene una" E 9 9œ E 0

solución y sólo una cualquiera que sea ; en cambio, si es valor propio0 "

del operador , la ecuación tiene solución si y sólo si, elE œ E 09 9término independiente es ortogonal a todas las funciones propias del0operador correspondiente al valor propio si esta última condición seE "; cumple la ecuación tiene un conjunto infinito de soluciones.9 9œ E 0

§5. ALTERNATIVA DE FREDHOLM.

5.1. Caso de las ecuaciones integrales.

De la última afirmación del §4 se sigue: los teoremas de Fredholm tratan,de hecho, sobre la posibilidad de invertir el operador y significaE Mque es, o bien un punto regular del operador o bien un valor- œ " E


propio de multiplidad finita. Por supuesto todo lo que se afirma en estosteoremas sigue siendo válido también para operadores , dondeE M-- Á ! !. Luego todo punto distinto de del espectro de un operadortotalmente continuo es un valor propio suyo de multiplicidad finita.Además como se sabe el conjunto de estos valores propios es a lo sumonumerable. Recordemos de paso, que el punto siempre pertenece al!

espectro de un operador totalmente continuo en un espacio de dimensióninfinita; pero en general, no es necesariamente un valor propio. Losoperadores totalmente continuos para los cuales es el punto del! únicoespectro, son llamados , u operadores abstractos.operadores de Volterra

Los teoremas de Fredholm fueron originalmente presentados paraecuaciones integrales y bajo este aspecto los presentamos acontinuación; sus demostraciones no las damos, pues, las daremosdespués cuando presentemos estos mismos teoremas para operadorestotalmente continuos.

TEOREMA 1. ( ) Altermativa de Fredholm O bien la ecuación integral nohomogénea de segunda especie

9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B'+

,

tiene una única solución para cualquier función o la ecuación , 0 Ba bhomogénea correspondiente

9 - 9a b a b a bB O Bß > > .> œ !'+

,

tiene por lo menos una solución no trivial.

TEOREMA 2. Si para la ecuación tiene lugar el9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B'+

,

primer caso de la alternativa, éste tiene lugar también para la ecuaciónconjugada

< - <a b a b a b a bB O >ß B > .> œ 1 B'+

,

La ecuación integral homogénea y su9 -a bB '+

,O Bß > > .> œ !a b a b9

ecuación conjugada

< - <a b a b a bB O >ß B > .> œ !'+

,

tienen el mismo número finito de soluciones linealmente independientes.


TEOREMA 3. La condición necesaria y suficiente para la existencia de unasolución de la ecuación no homogénea9a bB

9 - 9a b a b a b a bB O Bß > > .> œ 0 B'+

,

es que

'+

,0 B D B .B œ !a b a b

donde es cualquier solución de la ecuación homogénea D Ba b .9 - 9a b a b a bB O Bß > > .> œ !'

+

,

Es justamente el Teorema 3 el que nos permite calcular soluciones de lasecuaciones integrales mediante las funciones propias en el §3.

5.2. Teoremas de Fredholm. .Caso de los núcleos degenerados

Pasamos ahora a estudiar las ecuaciones de Fredholm de segunda especiecon núcleos que verifican la condición

' '+ +

, , #lO Bß > l.B .> _a b(lo cual garantiza la continuidad total del operador correspondiente) peroque no son simétricos, supongamos primero que se considera la ecuación

9 9a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B &Þ#Þ"'+

,

cuyo núcleo es degenerado, es decir, de la forma

O Bß > œ T B U > &Þ#Þ#a b a b a b a b!3œ"

8

3 3

donde son funciones de . El operador con núcleo T ß U P Ò+ß ,Ó &Þ#Þ#3 3 #a b a btransforma toda función en la suma9 − P Ò+ß ,Ó#a b ! a b a b

3œ"

8

3 3+

,T B U > .>'

es decir, es un elemento del subespacio de dimensión finita generado porlas funciones .T ß 3 œ "ß #ßá ß 83


Notemos que en la expresión las funciones , pueden sera b&Þ#Þ# T ß T ßá T" # 8

consideradas linealmente independientes. En efecto, si esto no fuese asípodríamos, expresar cada una de las funciones como combinaciónT3

lineal de las funciones independientes y representar este mismo núcleoO Bß > T B U Ð>Ñ

µ µa b a b como suma de un número menor de sumandos de tipo 4 4

de manera que las funciones sean linealmente independientes.Tµ4

Busquemos, pues, la solución de la ecuación con núcleoa b&Þ#Þ"degenerado en el que las funciones son linealmentea b&Þ#Þ# T ß T ßá ßT" # 8

independientes. Tomando en la ecuación en lugar de laa b a b&Þ#Þ" O Bß >suma correspondiente, obtenemos

9a b a b a b a b a b!B œ T B U > .> 0 B &Þ#Þ$3œ"

8

3 3+

,'Denotando por , podemos escribir; œ U > > .>3 3+

,' a b a b9

.9a b a b a b!B œ ; T B 0 B3œ"

8

3 3

Tomando en la ecuación esta expresión para , obtenemosa b&Þ#Þ" 9

.! ! !a b a b a b a b a b a b a b– —3œ" 3œ" 4œ"

8 8 8

3 3 3 3 4 4+

,; T B 0 B œ T B U > ; T > 0 > .> 0 B'

Haciendo (ver §3 No.3.1)

, ' '+ +

, ,3 4 34 3 3U > T > .> œ + U > 0 > .> œ ,a b a b a b a b

La igualdad anterior resulta

.! ! !a b a b– —3œ" 3œ" 4œ"

8 8 8

3 3 3 34 4 3; T B œ T B + ; ,

Como las funciones son, por hipótesis, linealmente independientes,T3

esta igualdad implica la igualdad de los respectivos coeficientes de T B3a b ; œ + ; , 3 œ "ß #ßá ß 8 &Þ#Þ%3 34 4 3

4œ"

8! a b


Hemos obtenido para los coeficientes un sistema de ecuaciones;3lineales. Resolviéndolo, obtenemos la función deseada

9a b a b a b!B œ ; T B 0 B3œ"

8

3 3

esta función satisface la ecuación integral ya que todos losa b&Þ#Þ"razonamientos, mediante los cuales hemos pasado de la ecuación a b&Þ#Þ"al sistema , pueden ser reemplazados en orden contrario. Luego,a b&Þ#Þ% lasolución de una ecuación integral de núcleo degenerado se reduce a lasolución del correspondiente sistema de ecuaciones linealesa b&Þ#Þ%algebraicas.

Para sistemas de ecuaciones lineales son conocidas las condiciones deexistencia y de unicidad de la solución, los teoremas de Fredholm seenunciarán así:

M . Un sistema de ecuaciones lineales algebraicas (XB œ C X œ + ßa b35

B œ B ß B ßá ß B ß C œ C ß C ßá ß C Ca b a b" # 8 " # 8 ) tiene solución si y sólo si el vector es ortogonal a toda solución del sistema homogéneo conjugado

.X D œ ! X œ +‡ ‡34a ba b

MM . Si el determinante de una matriz es diferente de cero, la ecuaciónXXB œ C C tiene solución única para cualquier . En cambio, si eldeterminante de la matriz es igual a cero, la ecuación tieneX XB œ !

solución no nula.

MMM Þ X X Como la matriz y la matriz conjugada son del mismo rango,‡

los sistemas homogéneos y tienen el mismo número deXB œ ! X D œ !‡

soluciones linealmente independientes.

Debido a la relación que, como hemos visto, existe entre ecuacionesintegrales de núcleo degenerado y sistemas de ecuaciones algebraicaslineales, estas proposiciones pueden ser consideradas como teoremasreferentes a las soluciones y, de hecho, estos mismos teoremas tienenlugar también para ecuaciones de núcleo arbitrario (no degenerados). Sinembargo, puesto que para operadores integrales con núcleos nodegenerados no tienen sentido conceptos como " " y " "rango determinantede una matriz, los teoremas correspondientes deben ser enunciados demanera que en ellos no figuren estos conceptos.


5.3. Teoremas de Fredholm para ecuaciones integrales de núcleo no degenerado.

Volvamos a considerar la ecuación

9 9a b a b a b a b a bB œ O Bß > > .> 0 B &Þ$Þ"'+

,

suponiendo ahora que su núcleo verifica sólo la condición

,' '+ +

, , #lO Bß > l .B .> _a b(esta desigualdad garantiza la continuidad total del operadorcorrespondiente) , es decir, no suponemos ahora el núcleo ni degeneradoni simétrico. Nos interesan las condiciones en las que la ecuación a b&Þ$Þ"tiene solución y las propiedades de sus soluciones. Además, paranosotros será esencial sólo la propiedad de continuidad total deloperador correspondiente a la ecuación y no su forma integral. Pora b&Þ$Þ"lo tanto, realizaremos todas las consideraciones sucesivas, para laecuación con operadores

9 9œ E 0 &Þ$Þ#a bdonde es un operador arbitrario totalmente continuo definido en unEespacio de Hilbert .L

Tomando (donde es el operador unidad), escribamos laX œ M E Mecuación en la forma9 9œ E 0

X œ 0Þ &Þ$Þ$9 a bAdemás de esta ecuación, consideraremos la ecuación homogénea

X œ ! &Þ$Þ%9! a by las ecuaciones conjugadas

X œ 1 &Þ$Þ&‡< a b X œ ! &Þ$Þ'‡

!< a ba bX œ M E‡ ‡ . La relación que existe entre las soluciones de estas cuatroecuaciones viene expresada en los siguientes teoremas de Fredholm.


M . La ecuación no homogénea tiene solución para aquellas yX œ 0 09sólo para aquellas que son ortogonales a todas solución de la ecuaciónhomogénea conjugada X œ !‡

!< .

MM Þ ( ).Alternativa de Fredholm O bien la ecuación tiene unaX œ 09

solución y sólo una, cualquiera sea , o bien la ecuación homogénea0 − LX œ !9! tiene solución no nula.

MMM . Las ecuaciones homogéneas de y tienen el mismoX œ 0 X œ 19 <‡

número, además finito, de soluciones linealmente independientes.

Antes de pasar a demostrar estos teoremas, observemos que son válidos(en virtud de lo dicho en el §4. No.3) para ecuaciones con núcleosimétrico. Además como y coinciden en este caso, el Teorema E E MMM‡

resulta trivial.

Por otro lado, si es un operador integral degenerado, las ecuacionesEcorrespondientes se reducen, como hemos visto a sistemas deecuaciones lineales algebraicas; los teoremas de Fredholm se convierten,evidentemente, en este caso a los teoremas sobre sistemas lineales quehemos enunciado en el punto anterior y que hemos estudiado en laalternativa de Roche-Frobenius (ver [7]).

Aprovechando que todo operador integral es límite de una sucesiónconvergente de operadores degenerados, podríamos demostrar losteoremas de Fredholm mediante el correspondiente paso al límite (denúcleos degenerados a núcleos no degenerados). Sin embargo,escogemos otro camino y daremos una demostración de estos teoremasque no está relacionada con la consideración de ecuaciones con núcleodegenerado.

5.4 Demostración de los Teoremas de Fredholm.

Sea el conjunto de los ceros de un operador linealR F F À L La b ⎯→continuo (el núcleo de ) , es decir, el conjunto de aquellos paraF B − Llos cuales . Es conocido que es un subespacio lineal cerrado.FB œ ! R Fa bSea el recorrido del operador , como esV F œ ÖC œ FBÎB − L× F V Fa b a bsabido es un subespacio vectorial o variedad lineal pero en general no escerrado.

Sea un operador lineal continuo, consideremos el operadorE À L L⎯→X œ M E V X V X y sea su recorrido, en este caso se tiene que esa b a bcerrado, esto lo veremos en el siguiente Lema 1.


La demostración de los teoremas de Fredholm sigue los siguientes lemas:

LEMA 1. .El subespacio es cerradoV Xa bDemostración. Sea una sucesión tal que . PorC − V X C œ C8 8

8Ä_a b lim

hipótesis, existen vectores tales queB − L8

C œ XB œ B EB &Þ%Þ"8 8 8 8 a bPodemos suponer sin perder generalidad que estos vectores sonortogonales al núcleo . Además podemos aceptar que es unaR X Ba b l l8sucesión acotada, pues de lo contrario tendríamos que , yl lB _8 Ädividiendo por deduciremos de quel l a bB &Þ%Þ"8

B BB B8 8

8 8l l l lE !Ä

Pero como el operador es totalmente continuo podríamos encontrarE

una subsucesión convergente. Por lo tanto, también š ›E B BB B8 8

8 8l l l lconvergerá, digamos a un vector . Es claro que y esD − L D œ " X D œ !l l a bdecir . Hemos supuesto sin embargo que los vectores sonD − R X Ba b 8

orgogonales a ; luego también debe ser ortogonal a , esto esR X D R Xa b a bimposible puesto que si y entonces y D ¼ R X D − R X ØDß DÙ œ ! D œ "a b a b l luna clara contradicción.

Esta contradicción nos permite suponer que es una sucesiónl lB8

acotada. Al mismo tiempo la sucesión puede suponerse en esteÖEB ×8caso convergente, entonces como , se sigue que laC œ XB œ B EB8 8 8 8

sucesión es también convergente. Si es el límite de esta sucesión,ÖC × B8

se desprende que . El lema queda demostrado.C œ XB œ XBlim8Ä_

8

LEMA 2. El espacio es la suma directa ortogonal de los subespaciosLcerrados y , es decirR X V Xa b a b‡ R X ŠV X œ L &Þ%Þ#a b a b a b‡

y por analógia

R X ŠV X œ L &Þ%Þ$a b a b a b‡

Demostración. Sabemos que y son subespacios cerrados.R X V Xa b a b‡Además son ortogonales ya que, si se tiene2 − R Xa b


para todo .a b a b2ß X B œ X2ß B œ ! B − L‡

Falta por demostrar que no existe ningún vector no nulo ortogonalsimultáneamente a y . Pero, si el vector es ortogonal aV X R X Da b a b‡

V X B − L XDß B œ Dß X B œ !a b a b a b‡ ‡entonces para cualquier tenemos esdecir . En esta forma el lema queda demostrado.D − R Xa bDel Lema 2 se desprende inmediatamente el primer teorema deFredholm. En efecto, si y sólo si , es decir existe un 0 ¼ R X 0 − V Xa b a b‡ 9

tal que .X œ 09

Pongamos ahora para cada entero, de manera que enL œ V X 55 5ˆ ‰particular . Está claro que los subespacios forman una cadenaL œ V X" a bde subespacios encajados.

L ª L ª L ª â &Þ%Þ%" # a by en virtud del Lema 1, todos estos subespacios son cerrados. AdemásX L œ Lˆ ‰5 5".

LEMA 3. . Existe un tal que para todo4 L œ L5" 5 5 4

Demostración. Si no existiera tal , es evidente que todos los son4 L5

distintos. En este caso podemos construir una sucesión ortogonal talÖB ×5que y son ortogonales a . Sea , entoncesB − L L 6 55

5 5"

EB EB œ B B XB XB6 5 5 6 5 6a by por lo tanto ya que .l lEB EB " B XB XB − L6 5 6 5 6

5"

Luego, de la sucesión no se puede extraer ninguna subsucesiónÖEB Ó5convergente, lo que contradice a la continuidad total del operador .ECon esto queda demostrado el lema.

LEMA 4. .Si se tieneR X œ Ö!× V X œ La b a bDemostración. Si , entonces el operador es uno a uno; deR X œ Ö!× Xa bmanera que suponiendo , la cadena no sería estacionariaV X Á L &Þ%Þ%a b a b(o sea constaría de infinitud de subespacios) y esto contradice el lema 3.Luego .V X œ La b


Análogamente, , si se tiene .V X œ L R X œ Ö!×a b a b‡ ‡

LEMA 5. . Si , se tieneV X œ La b R X œ Ö!×a bDemostración. Como , tenemos en virtud del Lema 2,V X œ La bR X œ Ö!× V X œ La b a b‡ ‡; pero entonces, en virtud del Lema 4, y porconsiguiente del lema 2 se sigue .R X œ Ö!×a bLos lemas 4 y 5 constituyen en conjunto el contenido del segundoteorema (la alternativa) de Fredholm. Con esto queda demostrado elTeorema II.

Demostremos finalmente, el tercer teorema de Fredholm.

Supongamos que el subespacio es de dimensión infinita. Entonces,R Xa bexiste en este subespacio un sistema ortonormal infinito . AdemásÖB ×5EB œ B 5 Á " EB EB œ #5 5 5 6 de manera que para tenemos . Pero, estol l Èsignifica que de la sucesión no se puede extraer ningunaÖEB ×5subsucesión convergente, lo que contradice a la continuidad total deloperador .E

Sea la dimensión de y sea la dimensión de . Supongamos. /R X R Xa b a b‡que . Sea una base ortonormal en y sea. / 9 9 9 Ö ß ßá ß × R X" # . a b< < <" #

‡ß ßá ß R X/ una base ortonormal de . Tomemosa b .WB œ XB Bß!a b

4œ"4 4

.

9 <

Como el operador se obtiene del operador agregándole un operadorW Xdegenerado, todos los resultados demostrados más arriba para eloperador son válidos también para el operador .X W

Probemos que la ecuación tienen solamente solución trivial. EnWB œ !

efecto; supongamos que

XB Bß œ ! &Þ%Þ&!a b a b4œ"

4 4

.

9 <

Como los vectores son ortogonales en virtud del Lema 2, a todos los<4

vectores del tipo , de se deduce que y paraXB &Þ%ß & XB œ ! Bß œ !a b a b94

" Ÿ 4 Ÿ ..


Luego, el vector debe ser, por un lado, una combinación lineal de losBvectores y, por otro lado, debe ser ortogonal a ellos. Por consiguiente94 B œ ! WB œ !. De modo que la ecuación tiene solamente la solución trivial.Existe entonces, de acuerdo con el teorema , un vector tal queMM C

.XC Cß œ!a b4œ"

4 4 "

.

.9 < <

Está claro que multiplicando esta igualdad escalarmente por ,<."

obtenemos en el lado izquierdo y en el lado derecho. Esta! "

contradicción ha surgido por que hemos supuesto . Luego ,. / . / por lo tanto . El Teorema queda demostrado completamente.. /œ MMM

OBSERVACIÓN. Hemos demostrado los teoremas de Fredholm paraecuaciones del tipo , donde es un operador totalmente9 9œ E 0 Econtinuo en un espacio de Hilbert . Estos teoremas pueden serLextendidos sin modificaciones sustanciales al caso de un espacio deBanach arbitrario . En este caso es claro que la ecuación conjugada„< < „œ E 1‡ ‡será una ecuación en el espacio , la condición deortogonalidad debe comprenderse en el sentido de que todaa b0ß œ !<!

función del subespacio de soluciones de la ecuación seR § E œ !‡ ‡ ‡!„ <

anula en el elemento , etc.0 − „

Una exposición de los teoremas de Fredholm para el caso de ecuacionesen espacios de Banach se puede ver en artículos como los de L. A.Lusternik y otros, y en las notas de clase de Luis Ortega sobre elementosde Análisis Funcional.

5. 5. E J E R C I C I O S

1. Consideremos en un segmento ( o un intervalo ) una ecuación integralde Fredholm de segunda especie con núcleo continuo. Demuestre paraesta ecuación los teoremas de Fredholm en el espacio de funcionescontinuas. Este es el caso, el papel de "ecuaciones conjugadas" lodesempeña la ecuación integral de núcleo transpuesto y la ortogonalidadse comprende en el sentido de .P#

2. Sean y raíces características distintas constantes del núcleo- -" #

O Bß >a b. Pruebe que las funciones propias de las ecuaciones

9 - 9

< - <

a b a b a ba b a b a bB O Bß > > .> œ !

B O Bß > > .> œ !

" +

,

# +

,

''


son acotadas y que .a b9 <ß œ !

3. Pruebe que el operador integral

X œ9 '+

, E Bß> > .>lB>l l lB=ll

a b a b9ln "!

donde , , , es completamente continuo.lE Bß > l Ÿ G œ -98=>+8 ! , + "a b !

4. Pruebe que un operador completamente continuo transforma cualquierconjunto acotado en un conjunto compacto.

5. Sea un operador acotado y supongamos que la ecuación E E œ 0 B9 a bes soluble. Pruebe que las ecuaciones y sonE œ 0 E E œ E 09 9‡ ‡

equivalentes.

6. Sea un operador acotado cualquiera. Pruebe que los operadores E EE‡

y son simétricos.E E‡

7. Sea un operador completamente continuo. Pruebe que lasXecuaciones y tienen una y la misma raíz9 - 9 < - <œ X X œ XX‡ ‡

caracteristica constante.

? ?f

BIBLIOGRAFIA

[1] V. Volterra, Theory of functionals and of integral and Integro- differential equations. Dover Publications, INC. New York (1959).

[2] W.V.Lovitt, . Dover Publications, INC. NewLinear Integral Equations York (1950).

[3] S.G.Mikhlin, . Hindustan Publishong Corp.Linear Integral Equations (India) Delhi (1960).

[4] S.G.Mikhlin, Integral Equations and their applications to Certain Problems in Mechanic Mathematical Physics and Technology, . The MacMillan Company, New York (1964).

[5] I.G.Petrovskii. .Lectures on the Theory of Integral Equations Graylock Press Rochester, New York (1957)


[6] J.D.Sánchez H, . Curso paraTeoría de la Medida e Integración cibernautas 2004.

[7] J.D.Sánchez H, . Aportes paraAlternativa de Rouche-Frobenius cibernautas junio del 2006.

? ?f

Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en el aprendizaje de lasEcuaciones Integrales

Quiero agradecer a mi hijo Juan Armando quien ha sido un animadorpermanente de este proyecto de aprendizaje en matemática y que sin élhabría sido imposible realizarlo. También a mi esposa Nohora y aEsperanza, quienes leyeron los originales y cuidaron del buen manejo dellenguaje español.

Exitos y bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentariofavor hacerlo llegar a: [email protected],[email protected]@yahoo.com Copyright© Darío Sánchez Hernández

ecuaciones integrales lineales - … · j.darío sánchez h ecuaciones integrales lineales 3 §1....

Documents