ecuaciones diferenciales de coeficientes variables

7/29/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES VARIABLES

1/60

260

CAPTULO 5

ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTESVARIABLES

5.1. INTRODUCCIN.

Una ecuacin diferencial lineal de coeficientes variables presenta la forma general:

)()()()()(...)()( 012

2

1

1 xfxyxaDxaDxaDxaDxan

n

n

n =+++++

De acuerdo con lo estudiado previamente, la solucin general de la ecuacin diferencial

es de la forma:

)()(....)()()( 2211 xyxyCxyCxyCxy pnn ++++=

En la expresin anterior se tiene que: { }nyyy ,....,, 21 es un conjunto fundamental desoluciones de la homognea asociada mientras que py es una solucin particular de la

no homognea.

Para el caso de coeficientes constantes es relativamente simple determinar la solucingeneral sin embargo, para coeficientes variables la situacin puede ser bastante

complicada. Algunas ecuaciones diferenciales tienen un tratamiento similar al de las de

coeficientes constantes, tal es el caso de la ecuacin diferencial de Euler. Para los otroscasos se ver que el mtodo adecuado de solucin es el de las series de potencias.

5.2. LA ECUACIN DIFERENCIAL DE EULER.

La ecuacin diferencial de Euler de orden n presenta la forma general:

)()(... 0122

2

11

1 xfxyaxDaDxaDxaDxann

n

nn

n =+++++

La homognea asociada admite soluciones de la forma ;y x C = . As las cosas, al

reemplazar idnticamente en la homognea resulta una ecuacin polinmica conocidacomo ecuacin caracterstica, as:

0)1(

...))2()....(2)(1())1()....(2)(1()(

012

1

=++

+++= aaa

nanaP nn

Resolviendo la ecuacin resulta un conjunto fundamental de soluciones de la

homognea.En cuanto a la solucin particular se aplica el mtodo de variacin de parmetros,

previamente desarrollado.Para facilitar la comprensin del mtodo se iniciar con la ecuacin diferencial de Euler

de segundo orden.


2/60

261

La ecuacin diferencial de Euler de segundo orden.

La ecuacin diferencial de Euler de segundo orden presenta la forma general:

tesconsqpxrxxqyxpxyxyx tan:,)()()(')(''22 =++

El intervalo de validez de la solucin de la homognea es { }0/ = xRxI . Paradeterminar el conjunto fundamental de soluciones de la homognea se supone que

admite soluciones de la forma xy = , con lo que resulta la ecuacin caracterstica:

0)1( =++ qp

Al resolver la ecuacin se pueden presentar los siguientes casos:

1. Las races son reales y distintas. En este caso, el conjunto fundamental de soluciones

de la homognea es:{ } }21 ,, 21 xxyy =

2. Las races son reales e iguales == 21 . En este caso, el conjunto fundamental desoluciones de la homognea es:

{ } xxxyy ln,, 21 =

La segunda solucin se obtiene por el mtodo de reduccin de orden.

3. Las races son complejas conjugadas j=21

, . Puede demostrarse que un

conjunto fundamental de soluciones es:

{ } { }xxxsenxyy lncos(,ln(, 21 =

Ejemplo 5.1.

Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en el intervalo: 0>x

32 4)()(')(''2 xxyxxyxyx =+

Solucin.Primero que todo se escribe la ecuacin caracterstica, as:

01)1(2 =+

La ecuacin se puede escribir en forma factorizada, as:

0)1)(12( =

En consecuencia, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ } }xxyy ,, 21 =


3/60

262

Para determinar la solucin particular se escribe la ecuacin diferencial dada en su

forma normalizada, as:

xxyx

xyx

xy 2)(2

1)('

2

1)(''

2=+

Por el mtodo de variacin de parmetros, la solucin particular es de la forma:

2211 uyuyyp +=

La aplicacin del mtodo nos conduce a:

=

xu

u

x

xx

2

0

'

'

2

11

2

1

El Wronskiano del sistema es:

2)(

xxW =

Aplicando la regla de Cramer, se tiene:

xxuxuxux

xuxuxxux

2

2

2

3

2

2

2

2

111

5

44'2'

2

24'2'2

===

===

Resolviendo las operaciones se encuentra que la solucin particular es:

3

5

6xyp =

Por tanto, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

3

215

6)( xxCxCxy ++=

La ecuacin diferencial de Euler de tercer orden.

La forma general de la ecuacin de Euler de tercer orden es:

tesconssqpxrxxsyxqxyxypxxyx tan:,,)()()(')('')(''' 323 =+++

La ecuacin caracterstica de la homognea asociada es:

0)1()2)(1( =+++ sqp

Al resolver la ecuacin caracterstica se pueden presentar los siguientes casos:


4/60

263

1. Las tres races son reales y diferentes:1 2 3, ,

En este caso, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ } { }321 ,,,, 321 xxxyyy =

2. Las tres races son reales, pero dos de ellas son iguales:1 2 3, = =


{ } xxxxyyy ln,,,, 31321 =

3. Las tres races son reales e iguales: === 321


{ } { }xxxxxyyy 2321 ln,ln,,, 3=

4. Dos races son complejas conjugadas y la otra es real:1 2 3, ,j j = + =


{ } ( ) ( )}xxxsenxxyyy lncos,ln,,, 1321 =

Ejemplo 5.2.

Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en el intervalo: 0>x

23 )(4)('2)(''' xxyxxyxyx =+

Solucin.Primero que todo se escribe la ecuacin caracterstica, as:

042)2)(1( =+

La ecuacin se puede escribir en forma factorizada, as:

0)2)(1( 2 =+

En consecuencia, un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

{ } { }xxxxyyy ln,,,, 221321 =

Para determinar la solucin particular se escribe la ecuacin diferencial dada en su

forma normalizada, as:

1

32)(

4)('

2)(''' =+ xxyxyxy

Por el mtodo de variacin de parmetros, la solucin particular es de la forma:


5/60

264

332211 uyuyuyyp ++=

La aplicacin del mtodo nos conduce a:

=

+

+

1

3

2

1

3

2

221

0

0

'

'

'

3)ln(222

)ln(22

)ln(

xu

u

u

xx

xxxxx

xxxx

El Wronskiano del sistema es 9)( =xW . Aplicando la regla de Cramer, se tiene:

)ln(3

1

3

1'3'9

)ln(

9

1)(ln

6

1

9

1)ln(

3

1')ln(3'9

279''9

3

1

3

1

3

2

2

11

2

11

2

3

1

2

1

2

1

xuxuxu

xxuxxxuxxxu

xu

xuxu

===

===

===

Resolviendo las operaciones se encuentra que la solucin particular es:

)ln(9

1

27

1)(ln

6

1)ln(

3

1)ln()ln(

9

1)(ln

6

1

27

22222223

1 xxxxxyxxxxxxx

xy pp +=+

+=

Por tanto, dado que los dos ltimos trminos de la particular hallada son linealmente

dependientes con la complementaria, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

)(ln6

1)ln()( 2223

2

2

1

1 xxxxCxCxCxy +++=

Ejemplo 5.3.

Encuentre un conjunto fundamental de soluciones para cada una de las siguientes

ecuaciones diferenciales:

1. 0'''2 =+ yxyyx

2. 0'''2 =++ yxyyx

3. 0'''2 =+ yxyyx

4. 02'3''2 =++ yxyyx

5. 08'''3''' 23 =++ yxyyxyx

Solucin.1. La ecuacin caracterstica es:

0)1)(1(0101)1( 2 =+==+

El conjunto fundamental de soluciones es:


6/60

265

{ } { }121 ,, = xxyy

2. La ecuacin caracterstica es:

1,0101)1( 212 j==+=++


{ } { })cos(ln),(ln, 21 xxsenyy =


0)1)(1(01201)1( 2 ==+=+


{ } { }xxxyy ln,, 21 =


11,022023)1( 212 j==++=++


{ } { })cos(ln),(ln,11

21 xxxsenxyy

=


08332308)1(3)2)(1( 223 =+++=++

Simplificando, se tiene:

31,20)42)(2(08 32123 j===++=


{ } { }xxxsenxxyyy ln3cos(,ln3(,,, 112321 =

Ecuaciones diferenciales reducibles a Euler.

Algunas ecuaciones diferenciales se pueden reducir a ecuaciones de Euler mediante un

cambio de la variable dependiente, tal es el caso de la ecuacin diferencial:

)()()(')()('')( 2 xfxdyxybaxcxybax =++++

Con base en lo estudiado previamente, el intervalo de validez de la solucin es:


7/60

266

{ }0/ += baxRxI

Para convertirla en una ecuacin diferencial de Euler se hace el cambio de variable:

baxz +=

Con el cambio de la variable independiente se aplica la regla de la cadena para obtener:

)('')('''

)(''

)(')(')('

2 zyaxydx

dz

dz

dyxy

zayxydx

dz

dz

dyxy

==

==

As las cosas, la ecuacin diferencial para la nueva variable es:

=++

a

bzfzdyzcazyzyza )()(')(''22

Ejemplo 5.4.

Encuentra la solucin general de la ecuacin diferencial:

22)(4)(')12(2)('')12( 2 +=+++ xxyxyxxyx

Solucin.Al efectuar el cambio de variable resulta la ecuacin diferencial:

4

1)()(')(''1)(4)('4)(''4 22

+=++=+

zzyzzyzyzzzyzzyzyz

La ecuacin caracterstica es:

0)1)(1(0101)1( 2 =+==+

Un conjunto fundamental de soluciones de la homognea es:

},{},{ 121= zzyy

En cuanto a la solucin particular, resulta 21

1 uzzuyp+= , dnde:

+=

22

1

2

1

4

10

'

'

1z

zu

u

z

zz

El estudiante puede verificar que la solucin particular es:


8/60

267

4

1ln

8

1)( = zzzyp

Retornando a la variable original se tiene que la solucin general de la ecuacin

diferencial es:

2

1

4

1)12ln()12(8

1)12()12()( 121 >++++++= xxxxCxCxy

Se sugiere al estudiante que resuelva los siguientes ejercicios propuestos.

EJERCICIOS 5.2.


ecuaciones diferenciales:

1. 04'''2

=+ yxyyx 2. 04'''2

=++ yxyyx 3. 04'3''2 =+ yxyyx 4. 010'3''2 =++ yxyyx

5. 0'''3''' 23 =++ xyyxyx 6. 0'''3''' 23 =++ xyyxyx

7. 0'''2''' 23 =++ yxyyxyx 8. 05'5''6''' 23 =++ yxyyxyx

9. 08')32(8'')32( 2 =++ yyxyx 10. 08')32(10'')32( 2 =++++ yyxyx

Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial.

11. 0)1('0)1(4'''2 ===+ yyxyxyyx

12. 0)1('0)1(4'3''22

===+ yyxyxyyx 13. 0)1('0)1(4''' 32 ===++ yyxyxyyx

14. 1)1('0)1(0'''3''' 23 ===++ yyxyyxyx

15. 1)1(''0)1('0)1(0'''3''' 23 ====++ yyyxyyxyx

Encuentre la solucin general para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

16. xyyxyx 28')32(8'')32( 2 =++

17. 22 '''3''' xyxyyx =++

18.323

'''2''' xyxyyxyx =++ 19. 223 5'5''6''' xyxyyxyx =++

20. )ln('''3'''2 xxyxyyx =++

5.3. SERIES DE POTENCIAS.

Consideremos una funcin de variable real: )(xfy = tal que la funcin y todas sus

derivadas son continuas en un intervalo RI y sea Ix 0 . Una serie infinita de

potencias, conocida tambin como serie de Taylor, centrada en el punto, es una

expresin de la forma:


9/60

268

+==

=

+==1

0

0

0

0

0 )()()()(Nk

k

k

N

k

k

k

k

k

k xxcxxcxxcxs

La serie, en su forma expandida, es:

...)()(...)()()( 10102

02010 ++++++=+

+N

N

N

N xxcxxcxxcxxccxs

Concepto de convergencia.

Se dice que una serie de potencias: )(xs converge a una funcin: )(xf en un entorno

del punto: 0x s se verifica que )()( xsxf . El intervalo de convergencia de la serie

viene dado por:

}/{ 0


10/60

269

Evaluando en el punto 0xx = , resulta:

!

)(....

!3

)(

!2

)()()( 00

3

30

2

20100n

xfDc

xfDc

xfDcxDfcxfc

n

n =====

Criterio de la razn.

El criterio de la razn, que es el cociente entre dos trminos consecutivos de la serie,

permite determinar el intervalo de convergencia de una serie, as:

1)(

)(

0

1

01 x .Para resolver la ecuacin diferencial partimos de las series correspondientes a la funcin

y sus dos primeras derivadas, as:

=

+

=

+

=

+ ++=+==0

2

0

1

0

)1)(('')('k

k

k

k

k

k

k

k

k xckkyxckyxcy

Sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial, resulta:

0)()1)((0

1

0

1

0

1 +++++

=

++

=

+

=

+

k

k

k

k

k

k

k

k

k xcxckxckk

Sacando x de factor comn y agrupando las dos primeras sumatorias, se tiene:

[ ] 0)()1)((0

1

0

1

+++++

=

+

=

k

k

k

k

k

k xcxckkkx

Puesto que 0x , la expresin anterior se puede escribir en la forma:

0)(0

1

0

12 ++

=

+

=

k

k

k

k

k

k xcxck

Se hacen los cambios de variable:

En la primera sumatoria: 1= kn En la segunda sumatoria: 1+= kn

Con los cambios, resulta:

0)1(1

1

1

1

2 +++

=

=+

n

n

n

n

n

n xcxcn

Al desarrollar los dos primeros trminos de la primera sumatoria resulta:

[ ] 0)1()1(1

11

20

1

21

0

2 ++++++

=

+ n

n

nn xccnxcxc


31/60

290

De la expresin anterior se concluye que, si 00 c , la ecuacin indicial es: 02 = y

por tanto las races son iguales a cero. Como puede verse 01 =c . La ecuacin derecurrencia, para el valor hallado de viene dada por:

,....4,3,2,1)1( 2

11 =+=

+ nncc nn

Asignando valores, resulta:

....642

0424

02

00222

06522

0

2

2432

0210

==

=====c

cccc

ccc

ccc

Se obtiene una solucin de la forma:

+

+= ....642422

1)(222

6

22

4

2

2

0

xxxcxy

La otra solucin se puede determinar por el mtodo de reduccin de orden.

Ejemplo 5.17.

Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial, indicando el intervalo

de convergencia:

0)()('2)('' =++ xxyxyxxy

Solucin.Por simple inspeccin, se tiene que 22 )(2)(1)(/2)( xxqxxxpxqxxp ==== .

Con base en lo estudiado, el punto: 00 =x es la nica singularidad de la ecuacin

diferencial y, adems, es un punto singular regular. En consecuencia, la ecuacin

diferencial admite, al menos, una solucin de la forma de Frobenius en el intervalo

0>x . Para resolver la ecuacin diferencial partimos de las series correspondientes a lafuncin y sus dos primeras derivadas, as:

=

+

=

+

=

+ ++=+==0

2

0

1

0

)1)(('')('k

k

k

k

k

k

k

k

k xckkyxckyxcy

Sustituyendo idnticamente en la ecuacin diferencial, resulta:

0)(2)1)((0

1

0

1

0

1 +++++

=

++

=

+

=

+

k

k

k

k

k

k

k

k

k xcxckxckk

Sacando x de factor comn y agrupando las dos primeras sumatorias, se tiene:

[ ] 0)(2)1)((0

1

0

1

+++++

=

+

=

k

k

k

k

k

k xcxckkkx


32/60

291

Puesto que 0x , la expresin anterior se puede escribir en la forma:

0)1)((0

1

0

1 ++++

=

+

=

k

k

k

k

k

k xcxckk

Se hacen los cambios de variable:

En la primera sumatoria: 1= kn En la segunda sumatoria: 1+= kn

Con los cambios, resulta:

0)2)(1(1

1

1

1 +++++

=

=+

n

n

n

n

n

n xcxcnn

Al desarrollar los dos primeros trminos de la primera sumatoria resulta:

[ ] 0)2)(1()2)(1()1(1

11

0

1

1

0 ++++++++++

=+

n

n

nn xccnnxcxc

De la expresin anterior se concluye que, si 00 c , la ecuacin indicial es: 0)1( =+

y por tanto las races son 10 21 == . Como puede verse, cuando se toma la menor

de las races resulta que 01 c . La ecuacin de recurrencia, para el valor tomado de viene dada por:

,....4,3,2,1

)1(

11 =

+

= + nnn

cc nn

Asignando valores, resulta:

....!6!520!412!6!2

00 0613

502

41

30

210

cc

ccc

ccc

cc

cccc =======

Se obtiene la solucin:

+++

++= ....

!7!5!3....

!6!4!21)(

753

1

642

0

1 xxxxcxxx

cxxy

Con base en lo estudiado previamente, se tiene:

0)()cos(

)( 10 >+= xx

xsenc

xcxy

Como puede verse, la menor de las races de la ecuacin indicial nos proporciona dos

soluciones linealmente independientes.


33/60

292

Mtodo para calcular una segunda solucin.

a) Las races de la ecuacin indicial son iguales.

Cuando las races de la ecuacin indicial son iguales, la otra solucin se determina por

el mtodo de reduccin de orden, as:

dxy

eyy

dxxp

=

2

1

)(

12

La aplicacin de la frmula conlleva un trabajo operativo bastante arduo, sobre todo

cuando la solucin conocida no es una funcin elemental. A continuacin se muestra

una alternativa que facilita los clculos.

Se parte de la ecuacin diferencial modificada, as:

0)()()(')()(''2 =++ xyxQxyxxPxyx

[ ] 0)()()(22 =++ xyxQDxxPDx

Usando la notacin )()()( 22 xQDxxPDxDL ++= , resulta: 0)()( =xyDL

Se supone una solucin de la forma:

=

=0

)(),(k

k

k xcxxy y se sustituye idnticamente

en la ecuacin diferencial, con lo que se obtiene:

[ ] [ ]

0.....

!2

)0('')0('')]0(')1)(0('[)]0()2)(0()1)(2[(

)]0(')0('[)]0()1)(0()1[()0()0()1(

2

012

1

010

+

+++++++++++

+++++++++

+

+

xcQP

cQPcQP

xcQPcQPxcQP

La expresin anterior se puede escribir en la forma:

0...)()(

....])()1()2([])()1([)(

1

2

02112

1

0110

+

++++

+++++++++

+

=

++

nn

m

mnmn xcmngcnf

xcgcgcfxcgcfxcf

Cuando las races de la ecuacin caracterstica son iguales, es decir 21 = , se tiene que2

1)()( =f . En este caso todos los coeficientes de la combinacin lineal soniguales a cero, excepto el primero, con lo cual la ecuacin diferencial modificada es:

[ ] xcxyxQDxxPDx 02122 )(),()()( =++

Equivalentemente, se tiene:

xcxyDL

0

2

1

)(),()( =


34/60

293

Derivando parcialmente con respecto a , se tiene:

[ ]

xcxxcxyDL 012

10

2

1 )(2)ln()()(),()( +=

=

La expresin anterior es equivalente a la siguiente:

[ ]

xcxxyDL 012

1 )(2)ln()(),()( +=

Evaluando en el valor conocido para , resulta:

0),()(1

==

xyDL

Lo anterior significa que la funcin:1

),(

=

xy tambin es solucin de la

ecuacin diferencial. Es importante precisar que: ),( xy viene dada por:

=

=0

)(),(k

k

k xcxxy

A partir de la expresin anterior resulta:

)ln(),()('),(0

xxyxcxxyk

k

k

+=

=

En conclusin, las dos soluciones de la ecuacin diferencial son:

),(),( 1211 xyyxyy

==

En la prctica se supone que la segunda solucin es de la forma:

)ln(10

2 xCyxbxyk

k

k +=

=

La constante: C se escoge convenientemente.

b) Las races de la ecuacin diferencial difieren en un entero.

Cuando las races difieren en un entero, la mayor de ellas proporciona una solucin.

La otra solucin puede determinarse por un procedimiento similar al desarrollado

previamente. Omitiendo los detalles, la segunda solucin presenta la forma:

)ln(10

22 xCyxbxy

k

kk +=

=


35/60

294

Ejemplo 5.18.

Encuentre una segunda solucin para la ecuacin diferencial del ejemplo 5.16.

Solucin.

Se repite la ecuacin diferencial, as:

0)()(')('' =++ xxyxyxxy

Tal como se procedi en el ejemplo, una de las soluciones es:

.....642422

1222

6

22

4

2

2

1 +

+=

xxxy

En cuanto a la segunda solucin, se deriva dos veces y se sustituye en la ecuacin

diferencial, as:

=

=

=

+

++

=

+

+=+=

0

2

11

2

1

0

1

11

21

0

2

)1()ln('''2

''

)ln('')ln(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

xbkkxyx

y

x

yCy

xkbxyx

yCyxCyxbxy

Al sustituir en la ecuacin diferencial, resulta:

0)ln(

)ln(')1()ln('''2

1

0

1

0

1

11

0

1

111

+

++

+++

++

=

+

=

=

xCxyxb

xkbxyx

yCxbkkxxyy

x

yC

k

k

k

k

k

k

k

k

k

La expresin anterior se puede escribir en le forma:

[ ] 0)1('2''')ln(0

1

0

1

0

1

1111 ++++++

=

+

=

=

k

k

k

k

k

k

k

k

k xbxkbxbkkCyxyyxyxC

Ahora, puesto que el primer trmino de la expresin anterior es idnticamente nulo, se

tiene:

'2 10

1

0

12 Cyxbxbkk

k

k

k

k

k +

=

+

=

En la primera sumatoria se hace el cambio: 1= kn En la segunda sumatoria se hace el cambio: 1+= kn Con los cambios resulta:

+

+++

=

=+ ...

64242212)1(

222

6

22

4

2

2

1

1

1

1

2 xxx

dx

dCxbxbn

n

n

n

n

n

n

Al expandir los dos primeros trminos de la primera sumatoria, se tiene:


36/60

295

[ ]

+

+++++

=+

...642

6

42

4

2

202)1(0

222

5

22

3

21

11

20

1

1

0

xxxCxbbnxbxb

n

n

nn

De la identidad anterior se sigue que 00 10 = bb . Por otro lado, si se hace 12 =C ,

resulta:

[ ]

+

++

=+ ...

642

6

42

4

2

2)1(

222

5

22

3

21

11

2 xxxxbbnn

n

nn

A continuacin se determinan algunas de las constantes:

230427650

15

04

642561

481

161

2561

162561

161163

0092

48

1

2

141

06

5

002424

313

0202

bbn

bn

bbbbbbn

bbbn

bbbbn

==

==

+=

===+=

==+=

==+=

En consecuencia, la segunda solucin es:

...230427650

1

64256

1

48

1)ln(

2

1 604020012 +

+

++

++= x

bx

bx

bbxyy

++++++= ...

23046441...

27650

1

256

1

8

1)ln(

2

1 642

0

642

12

xxxbxxxxyy

Puesto que la serie que acompaa a la constante 0b es la primera solucin, resulta:

...27650

1

256

1

8

1)ln(

2

1 64212 +++= xxxxyy

Ejemplo 5.19.

Encuentre la solucin general de la siguiente ecuacin diferencial en un entorno de

00 =x , indicando el intervalo de convergencia.

( ) 0)(6)('2)(''2 =+ xyxyxyxx

Solucin.

Por simple inspeccin, se tiene)1(

6)(

)1(

2)(

xxxq

xxxp

=

= . Se sigue que:


37/60

296

xxqxxQ

xxxpxP

==

==

1

6)()(

1

2)()( 2

En consecuencia, 00 =x es un punto singular regular y la singularidad ms cercana es

11=x . Por tanto, el intervalo de validez es:

{ }10/


38/60

297

Con base en lo anterior, una solucin de la ecuacin diferencial es: 31 xy =

En cuanto a la menor de las races 0= , la ecuacin de recurrencia es:

,....2,1,0)2)(1(

)2)(3(1

=+

+

=+ ncnn

nn

c nn

Como puede verse, la constante: 3c no se puede determinar y por tanto es necesario

hallar la segunda solucin por otro mtodo, as:

a) Por reduccin de orden.

( )dx

xxxy

xxxpdx

x

exy

dxxp

=

=

=

24

3

26

)(

3

21

1

)1(

2)(

Despus de efectuar las operaciones, resulta:

x

xxx

x

xxy

+

=1

33

1

1ln4

323

2

Dividiendo por cuatro y desarrollando en series de potencias, se tiene:

....12

7

4

3

4

5

4

3

4

1

12

1)ln( 654232 ++++= xxxxxxxy

b) Usando el otro mtodo, con 0= se tiene: x

)ln()ln( 3

0

21

0

2 xCxxbyxCyxbxyk

k

k

k

k

k +=+=

=

=

Tomando las dos primeras derivadas, resulta:

[ ] [ ]

=

=

++=++=0

2

0

122

2 )1()ln(65'')ln(3'k

k

k

k

k

k xbkkxxxCyxkbxxxCy

Al sustituir en la ecuacin diferencial, resulta:

[ ] 062)1()1(530

1

0

1

00

132 ++

=

+

=

=

=

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xbxkbxbkkxbkkxxC


[ ]3200

1 53)2)(3()3( xxCxbkkxbkk

k

k

k

k

k

k +

=

=


39/60

298

Se hacen los cambios adecuados, se tiene:

[ ]3201

1 53)2)(3()2)(1( xxCxbnnxbnnn

n

n

n

n

n ++

=

=+

[ ] [ ]32

0

110 53)2)(3()2)(1(0 xxCxbnnbnnxbn

nnn +++

=+

De la identidad anterior se sigue que 00 b . Por otro lado, si se hace 1=C , resulta:

[ ] 320

1 53)2)(3()2)(1( xxxbnnbnnn

n

nn +++

=+

A continuacin se determinan algunas de las constantes:

En consecuencia, la segunda solucin es:

....12

7

4

3

4

5

4

393)ln( 65432000

3

2 +++++++= xxxxxbxbbxxy

( ) ....12

7

4

3

4

5

4

3931)ln( 654320

3

2 +++++++= xxxxxxbxxy

Observe que s: 3/10 =b se tiene la misma solucin hallada por el primer mtodo.

EJERCICIOS 5.5.


ecuaciones diferenciales, indicando el intervalo de validez.

1. 0)()('2)('' =+ xxyxyxxy 2. 0)()(')(''2 =+ xxyxyxxy

3. 0)()(')1()('' =+ xyxyxxxy 4. 0)(4)(')('' 2 =+ xyxxyxxy

5. ( ) 0)(4)(')('' 22 =++ xyxxxyxyx 6. 0)(6)(')('')2( 2 =+ xxyxyxyxx 7. 0)()('2)('')1( =++ xxyxyxyxx 8. 0)()14()('4)(''4

22=++ xyxxxyxyx

12

7

9

7014185

4

3

5

306104

4

5543

4

3342

93062130620

5656

4545

44

33

01212

0101

====

====

===

===

===+===+=

bbbbn

bbbbn

bbn

bbn

bbbbbnbbbbn


40/60

299

9. 0)()(')()('' 22 =++ xyxyxxxyx 10. 0)()(')21()(''2 =+ xyxyxxxy 11. 0)(2)('2)('')1( =+ xyxyxyxx 12. 0)()(')2()('' =++ xyxyxxxy

13. 0)(4)(')('' 3 =+ xyxxyxxy 14. 0)()(')()(''2 22 =++ xyxyxxxyx

15. 0)()2()(')32()(''2 22 =+++ xyxxyxxxyx

Mediante el cambio de variable xz /1= , encuentre la solucin general para lassiguientes ecuaciones diferenciales:

16. 0)(4)(')('' 3 =+ xyxxyxxy

17. 0)()12()('10)(''4 23 =+++ xyxxyxxyx

18. 0)()('2)('' 34 =++ xyxyxxyx

19. 0)()(')1(2)('' 24 =+++ xyxyxxxyx

20. Suponga soluciones de la forma:

=

+=0n

n

nxcy para resolver la ecuacin

diferencial: 0)(2)(')(''2 = xyxyxyx

5.6. ECUACIONES DIFERENCIALES NOTABLES.

En diversas aplicaciones de ingeniera y ciencias resultan ecuaciones diferenciales de

coeficientes variables que merecen un tratamiento especial. Cabe mencionar: la

ecuacin diferencial de Legendre, la ecuacin diferencial de Bessel y otras de no menos

importancia.

La ecuacin diferencial de Legendre.

La ecuacin diferencial de Legendre presenta la forma general:

=++ Rpxyppxxyxyx 0)()1()('2)('')1( 2

Puede verse que la ecuacin diferencial admite soluciones de la forma de Maclaurin en

el intervalo { }11/


41/60

300

En la segunda sumatoria: kn = Con los cambios resulta:

0))(1()1)(2(02

2 ++++

=

=+

n

n

n

n

n

n xcpnpnxcnn

De la identidad anterior se sigue que:

,...2,1,0;)2)(1(

))(1(00 210 =++

++= + nc

nn

pnpnccc nn

Asignando algunos valores a n se tiene:

113

002

!3

)2)(1(

32

)2)(1(1

!2

)1)(0(

21

)1)(0(0

cpp

cpp

cn

cpp

cpp

cn

+=

+

==

+=

+==

135

024

!5

)4)(2)(3)(1(

45

)4)(3(3

!4

)3)(1)(2)(0(

34

)3)(2(2

cpppp

cpp

cn

cpppp

cpp

cn

++=

+==

++=

+==

157

046

!7)6)(4)(2)(5)(3)(1(

67)6)(5(5

!6

)5)(3)(1)(4)(2)(0(

56

)5)(4(4

cppppppcppcn

cpppppp

cpp

cn

+++=+==

+++=

+==

La solucin de la ecuacin diferencial es:

+

+++

++

+

+

+++

++=

....!5

)4)(2)(3)(1(

!3

)2)(1(

....!4

)3)(1)(2)(0(

!2

)1)(0(1)(

53

1

42

0

xpppp

xpp

xc

xpppp

xpp

cxy

Como era de esperarse, aparecen dos soluciones linealmente independientes.

Un caso de particular inters es aquel en el que el parmetro p es un entero no negativo,

es decir ,...3,2,1,0== nnp . . En este caso la ecuacin diferencial de Legendre seescribe en la forma:

,...3,2,1,00)()1()('2)('')1( 2 ==++ nxynnxxyxyx

Las dos soluciones de la ecuacin diferencial vienen dadas por:


42/60

301

....!5

)4)(2)(3)(1(

!3

)2)(1()(

...!4

)3)(1)(2)(0(

!2

)1)(0(1)(

53

2

42

1

+++

++

+=

+++

++

+=

xnnnn

xnn

xxy

xnnnn

xnn

xy

Como puede verse, una de las soluciones es un polinomio de grado n , conocido como

polinomio de Legendre de grado n , mientras que la otra solucin es una serie infinita.

A continuacin se ilustran algunos casos particulares:

...5

4361

3

53

....21

2

52312

...106

11

...753

10

642

2

3

1

753

2

2

1

642

21

753

21

+++===

===

===

++===

xxxy

xxyn

xxxxyxyn

xxxyxyn

xxxxyyn

Los polinomios normalizados de Legendre corresponden a normalizaciones de los

obtenidos previamente de tal manera que pasen por el punto )1,1( . La siguiente es una

tabla de los polinomios normalizados de Legendre:

1)(0 0 == xPn

xxPn == )(11

)13(2

1)(2 22 == xxPn

)25(2

1)(3 33 xxxPn ==

)33035(8

1)(4 244 +== xxxPn

)157063(8

1)(5 355 xxxxPn +==

)5105315231(16

1)(6 246

6

+== xxxxPn

La figura 5.2 ilustra la grfica de los polinomios de Legendre de grados: 1, 2 y 3.

Los polinomios de Legendre se pueden obtener a partir de la siguiente frmula,

conocida como frmula de Rodrigue.

n

n

n

nnx

dx

d

nxP )1(

!2

1)( 2 =

La siguiente frmula de recurrencia se puede usar para determinar los polinomios de

Legendre a partir de xxPyxP == )(1)(10 .


43/60

302

,....4,3,2,1;)(1

)(1

12)( 11 =+

+

+= + nxP

n

nxxP

n

nxP nnn

Puede demostrarse que:

12

)()(

)(11

+

=+

n

xPxP

dxxPnn

n

Figura 5.2.

Los polinomios de Legendre presentan ciertas propiedades, entre las que son dignas de

destacar, las siguientes:

1. Un polinomio de Legendre es estrictamente par o estrictamente impar.2. Los polinomios pares pasan por los puntos: )1,1( y )1,1( 3. Los polinomios impares pasan por los puntos: )1,1( y )1,1( 4. Todas las races de los polinomios de grado mayor o igual que uno son reales y

estn en el intervalo: 11


44/60

303

Lo anterior significa que una funcin seccionalmente continua no se puede expresar en

trminos de series de potencias de Taylor. Veremos a continuacin que una funcin

seccionalmente continua en el intervalo: 11


45/60


46/60

305

,...3,2,1,0;)1)(2(

)(200 210 =++

= + nc

nn

pnccc nn

Al evaluar algunos de los trminos de la serie, resultan dos soluciones que forman un

conjunto fundamental, as:

...!7

)5)(3)(0(2

!5

)3)(1(2

!3

)1(2

...!6

)4)(2)(0(2

!4

)2)(0(2

!2

)0(21

73

52

3

2

63

42

2

1

+

+

+

+=

+

+

+

+=

xppp

xpp

xp

xy

xppp

xpp

xp

y

Cuando ,...3,2,1,0== nnp , la ecuacin diferencial es: 0)(2)('2)('' =+ xnyxxyxy En este caso una de las soluciones es un polinomio de grado: n conocido como

polinomio de Hermite, mientras que la otra es una serie infinita, as:

...!7

)5)(3)(1(2

!5

)3)(1(2

!3

)1(2

...!6

)4)(2)(0(2

!4

)2)(0(2

!2

)0(21

73

52

3

2

63

42

2

1

+

+

+

+=

+

+

+

+=

xnnn

xnn

xn

xy

xnnn

xnn

xn

y

A continuacin se muestran algunos casos particulares:

...302

313

23

..210303

12

...306

11

...42103

10

642

2

3

1

753

2

2

1

642

21

753

21

++===

+===

===

++++===

xxxy

xxyn

xxxxyxyn

xxxyxyn

xxxxyyn

Los polinomios normalizados de Hermite son los siguientes:

12072048064)(

12016032)(124816)(

128)(24)(2)(1)(

246

6

35

5

24

4

33

2210

+=

+=+=====

xxxxH

xxxxHxxxH

xxxHxxHxxHxH

Los polinomios de Hermite se pueden obtener directamente de la siguiente frmula,

conocida como frmula de Rodrigue.

22

)1()( xn

nxn

n edx

dexH =

A partir de los polinomios de Hermite xxHyxH 2)(1)( 10 == , se pueden

determinar los otros polinomios de Hermite, mediante la siguiente frmula derecurrencia:


47/60

306

)(2)(2)( 11 xnHxxHxH nnn + =

Los polinomios de Hermite son ortogonales con respecto a la funcin de peso2xe , as:

=

= mnsinmnsidxxHxHe nmn

x

!20)()(

2

Las figuras 5.4 y 5.5 ilustran las grficas de los polinomios de Hermite de grados: 1,2, 3

y 4.

Figura 5.4 Figura 5.5

Puede verse que todas las races son reales.

Ejemplo 5.21.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial de Hermite de primer orden.

0)(4)('2)('' =+ xyxxyxy

Solucin.Tal como se acaba de ver, una solucin es xy =1 . La segunda solucin se puededeterminar de dos maneras, as:

1. Haciendo uso de los resultados previos:

...306

164

2

2 =xx

xy

2. Por el mtodo de reduccin de orden.

=

=

=

dxx

exdx

x

exdx

y

eyy

xxdxdxxp

22

2

2

1

)(

12

2

La serie correspondiente a2xe es: .....

621

6422 ++++=

xxxex

Con base en lo anterior, la segunda solucin es:

dxxxx

xy

++++= ...

6211

42

22


48/60

307

Efectuando las operaciones, resulta la misma solucin anterior con signo contrario.

La ecuacin diferencial de Chebyshev.

La forma general de la ecuacin diferencial de Chebyshev es la siguiente:

=+ Rpxypxxyxyx 0)()(')('')1( 22

Puesto que 00 =x es un punto ordinario de la ecuacin diferencial y dado que las

singularidades ms cercanas son 1=x , se garantizan dos soluciones linealmenteindependientes en el intervalo }1/{


49/60

308

Particularmente, cuando ,..2,1,0== np , una de las soluciones es un polinomio degrado n , as:

...!5

)43)(41(

!3

)41(8814

...!6

)34)(32(1

!4

)32(3

!2

31

2

33

...!5

)23)(21(

!3

)21(212

...!6

)14)(12(1!4

)12(1!2111

...!7

531

!5

31

!2

110

52222

322

2

42

1

622222

4222

22

2

3

1

52222

322

2

2

1

6

22222

4

222

2

2

21

7222

522

22

21

+

+

+=+==

+

+

+

+===

+

+

+===

++++===

+

+

+

+===

xxxyxxyp

xxxyxxyp

xxxyxyp

xxxyxyp

xxxxyyp

La solucin polinmica recibe el nombre de polinomio de polinomio de Chebyshev degrado n.

A continuacin se ilustran algunos de los polinomios normalizados de Chebyshev.

1184832)(52016)(

188)(

34)(

12)(

)(

1)(

246

6

35

5

24

4

3

3

2

2

1

0

+=+=

+=

=

=

=

=

xxxxCxxxxC

xxxC

xxxC

xxC

xxC

xC

Los polinomios normalizados de Chebyshev se pueden determinar a partir de la

frmula:

[ ][ ]

>

=

1)(coshcosh

1)(coscos)(

1

1

xsixn

xsixnxCn

La siguiente frmula de recurrencia permite hallar cualquier polinomio de Chebyshev a

partir de xxCyxC == )(1)(10 .

,....3,2,1)()(2)( 11 == + nxCxxCxC nnn

Los polinomios de Chebyshev son ortogonales en el intervalo: 11


50/60

309

Al igual que los polinomios de Legendre, los polinomios de Chebyshev se pueden usar

para desarrollar funciones seccionalmente continuas en el intervalo 11


51/60

310

Como puede verse, el punto: 00 =x es un punto singular regular de la ecuacin

diferencial y, en consecuencia, admite al menos una solucin de la forma de Frobenius,

as

=

+=0k

k

kxcy . Derivando dos veces y sustituyendo en la ecuacin diferencial, se

tiene:0)()()1)((

000

1

0

1 ++++++

=

+

=

+

=

+

=

+

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k xpcxckxckxckk

Agrupando sumatorias y sacando como factor comn x , resulta:

Figura 5.6. Figura 5.7.

0)()(00

12 ++

=

=

k

k

k

k

k

k xcpkxck

Procediendo a realizar los correspondientes cambios de variable, se tiene:

0)()1(01

12

+++

=

=+

n

nn

n

nn xcpnxcn

De la expresin anterior se sigue que:

[ ] 0)()1(0

1

21

0

2 +++

=+

n

n

nn xcpncnxc

Para soluciones diferentes de la trivial se toma 00 c , con lo que resulta: 021 ==

y, por tanto, se tiene una solucin, as:

== 01

n

n

nxcy

En la expresin anterior se tiene que: ,...3,2,1,0;)1(

0210

=+

= + nc

n

pncc nn

Evaluando algunos trminos y haciendo 10 =c , resulta:

( ) ( ) ( ) ( )...

!4

)3)(2)(1(

!3

)2)(1(

!2

)1(

!11 4

2

3

2

2

221+

+

+

+

+= x

ppppx

pppx

ppx

py

La otra solucin se puede determinar por el procedimiento desarrollado en la seccin

anterior o por reduccin de orden.Particularmente, cuando ,..3,2,1,0== np ,


52/60

311

La solucin hallada es un polinomio de grado n, as:

( ) ( ) ( ) ( )...

!4

)3)(2)(1(

!3

)2)(1(

!2

)1(

!11 4

2

3

2

2

221+

+

+

+

+= x

nnnnx

nnnx

nnx

ny

Algunos casos particulares son los siguientes polinomios conocidos como polinomios

de Laguerre.

432

1

32

1

2

1

11

24

1

3

23414

6

1

2

3313

2

1212

1110

xxxxyn

xxxynxxyn

xynyn

++==

+==+==

====

A continuacin se presentan algunos polinomios normalizados de Laguerre.

24967216)(

6189)(24)(

1)(1)(

234

4

23

3

2

2

10

++=

++=+=

+==

xxxxxL

xxxxLxxxL

xxLxL

Los polinomios de Laguerre se pueden derivar de la siguiente frmula, conocida como

frmula de Rodrigue.

xn

n

nx

n exdx

dexL =)(

La siguiente frmula de recurrencia sirve para determinar los diferentes polinomios de

Laguerre a partir de )()( 10 xLyxL .

,...3,2,1)()()12()( 12

1 =+= + nxLnxLxnxL nnn


Las figuras 5.8 y 5.9 ilustran las grficas de los polinomios de Laguerre de grados: 1,2,

3 y 4. Puede verificarse que, cualquiera que sea el grado, las todas las races son reales

positivas.

Los Polinomios normalizados de Laguerre son ortogonales en el intervalo: 0>x conrespecto a la funcin de peso xkex , as:


53/60

312

( )

=

=

mnsikn

n

mnsi

dxxLxLexk

m

k

n

xk

)!(

!

0

)()(3

0

Ejemplo 5.23.Usando el mtodo de reduccin de orden, determine la segunda solucin de la ecuacin

diferencial de Laguerre de primer orden.

0)(')1()('' =++ yxyxxxy

Solucin.La primera solucin es: 11 = xy

En cuanto a la segunda solucin, tenemos:

( )( )

( )

=

=

=

dxxx

exdx

x

exdx

y

eyy

xdx

x

xdxxp

22

1

2

1

)(

12)1(

11

1

Efectuando las operaciones resulta:

...216000240028836

34

)ln()1(65432

2 ++++++=xxxx

xx

xxy

La ecuacin diferencial de Bessel.

La ecuacin diferencial de Bessel presenta la forma general:

=++ Rpxypxxxyxyx 0)()()(')('' 222

Por simple inspeccin se ve que 00 =x es un punto singular regular de la ecuacin

diferencial y, en consecuencia, se garantiza al menos una solucin de la forma:

=

+=nn

n

nxcxy)(

La solucin ser vlida en el intervalo: 0>x

A sustituir idnticamente en la ecuacin diferencial resulta:

0)()1)(( 22 +++++

=

+

=

++

=

+

=

+

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

n xcpxcxcnxcnn

Agrupando sumatorias y sacando como factor comn x resulta:


54/60

313

[ ] 0)( 222 ++

=

+

= nn

n

n

nn

n

n xcxcpn

A continuacin se hacen los cambios de variable adecuados, con lo que se tiene:

[ ] 0)(2

2

0

22 ++

=

= k

k

k

k

k

k xcxcpk

Equivalentemente se puede escribir:

0))((2

2

0

++++

=

= k

k

k

k

k

k xcxcpkpk

De la expresin anterior resulta:

[ ] 0))(()1)(1())((2

2

1

1

0

0 ++++++++++

=

k

k

kk xccpkpkxcppxcpp

Para obtener soluciones no triviales se impone la condicin 00 c , con lo que resulta la

ecuacin indicial 0))(( =+ pp , cuyas soluciones son pp == 21 . Deacuerdo con lo estudiado en la seccin anterior, una de las soluciones es:

=

=0

1 )(k

k

k

p xpcxy

Por otro lado se tiene:

,...4,3,2;)2(21

02

21 =+

=+

= kc

pkk

cc

pc k

kk

De lo anterior se sigue que: ....000 531 === ccc y, adicionalmente resulta:

0642

46

04232

4

02

02

)3)(2)(1(!32

1

)2(32

1

)26(6

)2)(1(!221

)2(21

)24(4

)1(2

1

)22(2

cppp

cpp

cc

cpp

cpp

cc

cpp

cc

+++

=

+

=

+

=

++=+=+=

+

=

+=

Puede verse que el trmino genrico es:

022 ))...(3)(2)(1(!2

)1(c

kppppkc

k

k

k ++++

=

Con base en lo anterior, la primera solucin es:


55/60

314

+

+++

+++

+= ...

)3)(2)(1(!32)2)(1(!22)1(!121

46

6

4

4

2

2

01ppp

x

pp

x

p

xxcy p

La solucin se puede escribir de la siguiente manera:

= ++

+=

02

2

01)1(!2

)1()1(

kk

kkp

kpk

xpxcy

En la expresin anterior se define la funcin gamma, as:

)1()1)(2)...(2)(1)(()1( ++++++=++ pppkpkpkpkp

Finalmente, s se hace)1(2

10 +=

pc

p, resulta:

pk

k

k x

kpk

py

+

=

++

+=

2

0

12)1(!

)1()1(

La serie encontrada recibe el nombre de funcin de Bessel de primera especie de orden

p y se denota como:pk

k

k

p

x

kpkxJ

+

=

++

=

2

0 2)1(!

)1()(

En cuanto a la segunda solucin, es decir, para p=2 , se tiene:

,...4,3,2;)2(21

02

21 =

=

= kc

pkk

cc

pc k

kk

Tal como puede verse, s: 2/1=p la constante 1c es diferente de cero y enconsecuencia resultan dos soluciones linealmente independientes. Para cualquier otro

valorp la constante 1c es cero.

Analizando la ecuacin de recurrencia se concluye que s ,...3,2,1,0=p , es imposiblehallar una segunda solucin. En otro caso puede verse que una segunda solucin es:

pk

k

k

p

x

kpkxJy

=

++

==

2

0

22)1(!

)1()(

En conclusin, dada la ecuacin diferencial de Bessel de orden p, s ...4,3,2,1,0p , lasolucin de la ecuacin es:

)()()( 21 xJCxJCxy pp +=

Cuando ...4,3,2,1,0== np , la segunda solucin se puede determinar por el mtodo de

reduccin de orden, as:


56/60

315

,...3,2,1,0)(

)(22

=

= n

xxJ

dxxJy

n

n

Para efectos de hallar la segunda solucin se puede proceder segn lo estudiado en la

seccin anterior.Cuando ,..3,2,1,0== np , la funcin gamma se convierte en la funcin factorial, de talmanera que !)1( nn =+ . En tal caso, se tiene:

nk

k

k

n

x

nkkxJ

+

=

+

=

2

0 2)!(!

)1()(

Las figuras 5.10 y 5.11 muestran las grficas de las funciones de Bessel de orden cero y

orden uno.

Las funciones de Bessel de la primera especie presentan algunas propiedadesinteresantes, entre las que cabe mencionar las siguientes:

1. [ ] )()( 1 xJxxJxdx

dp

p

p

p

= 2. [ ] )()( 1 xJxxJxdx

dp

p

p

p

+ =

3. )()()(' 1 xpJxxJxxJ ppp = 4. )()()(' 1 xxJxpJxxJ ppp +=

5. )()()('2 11 xJxJxJ ppp + = 6. )()(2

)( 11 xJxJx

pxJ ppp + =


La funcin gamma.

La funcin gamma es una generalizacin de la funcin factorial y se define de lasiguiente manera:

+ = Rpdxxep px01)(

Cuando Np , el clculo de la funcin gamma se realiza usando tcnicas numricas yusando la siguiente frmula de recurrencia:

)()1( ppp =+

Cuando Nnp = , se tiene )!1()( = nn . Justamente, del resultado anterior se sigueque: 1!0 =


57/60

316

La funcin gamma se puede definir para valores negativos no enteros de p, as:

,...3,2,1)1(

)( +

= pp

pp

Puede demostrarse que: = )2/1(La figura 5.12 muestra la grfica de la funcin gamma en el intervalo 0 4p< . Puede

verse que se presentan asntotas en ,...4,3,2,1,0 =p , mientras que la funcin escontinua para: 0>n

Ejemplo 5.24.

Demuestre que:

,....3,2,1

2

)!12()2/1( =

=+ n

nn

n

Solucin.Se procede por induccin matemtica incompleta, as:

n

nn

2

)!12()2/3(

.

.

2

7531)2/1(

2

1

2

3

2

5

2

7)2/9()2/14(

2

531)2/1(

2

1

2

3

2

5)2/7()2/13(

2

31)2/1(

2

1

2

3)2/5()2/12(

2

1)2/1(

2

1)2/11(

4

3

2

=+

===+

===+

===+

==+

Ejemplo 5.25.

Demuestre la propiedad:

)()1()( xJxJ nn

n =

Solucin.Se parte de la funcin de Bessel de orden -n, as:

=

=

0

2

2)!(!

)1()(

k

nkk

n

x

nkkxJ

A continuacin se hace el cambio de variable nkj = , con lo que resulta:


58/60

317

=

++

+

=

nj

njnj

n

x

jnjxJ

2

2!)!(

)1()(


=

+

=

++

+

+

+

=

0

21 2

2!)!(

)1()1(

2!)!(

)1()(

j

njjn

nj

njnj

n

x

jnj

x

jnjxJ

Teniendo en cuenta que el factorial de un nmero negativo tiende a , la primerasumatoria tiende a cero y, en consecuencia queda demostrada la propiedad.

Ejemplo 5.26.

Demuestre la propiedad:

[ ] )()( 1 xJxxJxdxd nn

nn

=

Solucin.Se parte de la definicin de la funcin de Bessel de orden n, as:

[ ]

[ ]

[ ] )(2)!1(!

)1(

)!1(!2

)1()(

)!1)((!2

)()1(

)!1)((!2

)(2)1()(

)!(!2

)1(

2)!(!

)1()(

1

12

0012

122

0

12

122

0

2

122

02

)(22

0

xJxx

nkkx

nkk

xxJx

dx

dnknkk

xnk

nknkk

xnkxJx

dx

d

nkk

x

dx

dx

nkkx

dx

dxJx

dx

d

n

n

nk

k

kn

kk

nk

n

n

k

k

nk

k

k

nk

n

n

kk

nkknk

k

kn

n

n

+

=

=

+

=

+

=

+

=

++

=

=

+

=

+

=

++

+=

++

+=

+

=

+

=

Figura 5.12.

El resultado puede hacerse extensivo al caso de orden ,...3,2,1,0p , es decir, lapropiedad en forma general es:

[ ] )()( 1 xJxxJxdx

dp

p

n

p

=

De manera similar se puede demostrar la segunda propiedad.

Ejemplo 5.27.


59/60

318

Demuestre la propiedad: )()()(' 1 xpJxxJxxJ ppp =

Solucin.Se parte de la primera propiedad, as:

[ ] )()()(')( 11 xJxxJpxxJxxJxdx

dp

p

p

p

p

p

n

p

=+=

Multiplicando por px se tiene:

)()()(')()()(' 111 xpJxxJxxJxJxJpxxJ pppppp ==+

De manera similar se demuestra la cuarta propiedad.

EJERCICIOS 5.6.

Encuentre la solucin general para las ecuaciones diferenciales 1-10

1. 0)(6)('2)('')1( 2 =+ xyxxyxyx

2. 0)(4

3)('2)('')1( 2 =+ xyxxyxyx

3. 0)(4)('2)('' =+ xyxxyxy 4. 0)()('2)('' =+ xyxxyxy

5. 0)(4)(')('')1( 2 =+ xyxxyxyx

6. 0)(41)(')('')1( 2 =+ xyxxyxyx

7. 02)(')1()('' =++ yxyxxxy

8. 02

1)(')1()('' =++ yxyxxxy

9. 0)()4()(')('' 22 =++ xyxxxyxyx

10. 0)()25.0()(')('' 22 =++ xyxxxyxyx

11. Use los polinomios normalizados de Legendre para aproximar la siguiente funcin

en el intervalo 11 x . Represente grficamente la funcin original en un mismogrfico con la aproximacin.

xxf = 1)(

12. Demuestre las siguientes propiedades:

4. )()()(' 1 xxJxpJxxJ ppp +=

5. )()()('2 11 xJxJxJ ppp + =

6. )()(2

)( 11 xJxJx

pxJ ppp + =


60/60

319

13. Usando la propiedad de recurrencia del ejercicio anterior, exprese )(3 xJ en trminos

de )(0 xJ y )(1 xJ .

14. Evale las siguientes integrales:

a. dxxxJ )(0 b. dxxJx )(12 c. dxxJx )(14 d. dxxxJ )(2

0

15. Considere la ecuacin diferencial 0)()()(')('')1( 2222 =++ xypxxxyxyx ,conocida como ecuacin paramtrica de Bessel con parmetro . Demuestre que la

funcin: )( xJn es una solucin de la ecuacin diferencial:

16. Use el resultado del ejemplo 5.24 y la frmula de la funcin de Bessel para

demuestre que:

a. )(2

)(2/1 xsenx

xJ

= b. )cos(2)(2/1 xx

xJ

=

17. Usando los resultados del ejercicio anterior y la propiedad 6, exprese )(2/3 xJ y

)(2/5 xJ en trminos de )(2/1 xJ y )(2/1 xJ

ecuaciones diferenciales de coeficientes variables

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