76 LA TRANSFORMADA 1!\J"VERSA DE LAPLACE [CAP. 2

1 - e-2:rrs 133. (a) Demo;trar quf! la funcin f(s) :::: --.-- es cero para infinitos valores complejos des. Cules son es-

tos valores? (b) Hallar la transformarla inversa de Laplacc de f(s).

RP.~p. (a) s .:::: i, 2i, 3i, ... (b) F(t) ~ {~

134. Calcular .('-t {In ( 8 + ~:_ + 1)} .

135. Demostrar que i 2 u(S- u3)l/3 du :::: '

Resp. 1- Jo(f)

o F(t) 'U(t- 211")

136. Sea F(t) = t2 para todos los valores irracionales de t, y F( t) = t para todos los valores racionales de t. (a) De-mostrar que J:. IF(t)l = 2.~a. " > O. (b) Discutir el significado del resultado de la parte (a) en relacin con la unicidad de la transformada inversa de Laplace.

137. Muestre cmo el mtodo de las fleries puede usarse para calcular (a) ..c- 1 11/ (s2 + 1}1, (b) .e- 1 1ln (1 + ljs)l, (e) .e-1 ita n-I nr~ll.

138. HaHar .e-1 {e-35- 2Vi }. Res p.

139. Demostrar que i "' u sen tu d ---u o 1 + u2

1 ~~=~ e-lw-:n 'U(t- 3) vl'- ap

~ e-t, t >O.

140. Si F(t)::::: t-112, t >O y G(t) f t-1/2 o< t < 1 lo 1' demostrar que

OO. Demostrar que

145. (a)

.e-t if(s)(l- p-~T)i- F(t)siO T.

{

1 ', Demostrar que .e- 1 -,-- >

8 + 1 J (b) Discuti1 la relacin del resultado en (al y el del problema 127 .

CAP. 2] LA TRAN~lfo'ORMADA INVERSA DE LAPLACE

146. El desarrollo de Heaviside puede aplicarse a la funcin f( s) = lJ h cosh .~)?Explicar.

147. Demostrar que f,. J 0(z2) dx '

148. Demostrar que

149. Demostrar que

1/4V..

t3 t5 (3 !)2 + (5 !)2

150. Calcular .(-1 {--'-} Resp. t-tn..; - et fce ( v'F) l+Vi

151. Demostrar que

,, {7!)2 + . -.

.. (6!)2 + ...

111 (-l)"(t-n)"

~ ' n=O n. donde [t] denota el mayor entero menor o igual a t.

152. Demostrar que .e-l { ~ J 0 (.:a)} ,, 1 - (11)3 + (2!)3

i \

" + ~ (3 !)3

77

Captulo 3

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

La transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuacin di-ferencial de segundo orden

d2Y dY dt' + "Tt + (3Y = F(t) o sea Y" + aY' + (3Y = F(t) (1}

donde a y {3 son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de fron-tera

Y(O) = A, Y'(O) = B (2)

donde A y B son constantes dadas. Tomando la transformada de La place a cada lado de ( 1) y usando (2), obtenemos una ecuacin algebraica para determinar J:.. !Y(t)l =y(.~)- La solucin requerida se obtiene al calcular la transformada inversa de Laplace de y(s). Este mtodo se. puede extender fcilmente a ecuaciones diferenciales de orden superior. Vanse los problemas 1-8.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTESIVARIABLES

La transformada de Laplace puede utilizarse tambin para resolver algunos tipos de ecua-ciones diferenciales ordinarias cuyos coeficientes son variables. Una ecuacin especial en la cual el mtodo resulta particularmente til es aquella en la cual cada uno de sus trminos es de la forma tm Y'''(l) (.3) cuya transformada de Laplace es

(4)

Vanse los teoremas 1-10 de la pgina 4 y 1-12 de la pgina 5.

Para los detalles de la solucin vanse los problemas 9-11.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS SIMULTANEAS

La transformada de Laplace puede usarse tambin para resolver dos o ms ecuaciones diferenciales simultneas. El procedimiento es esencialmente el mismo que el descrito an-teriormente. Vanse los problemas 12 y 13.

78

CAP. 3] APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

APLICACIONES A LA MECANICA Po&icin de

( equilibrio

79

Supongamos que una masa m est adhe-rida a un resorte flexible fijado a un punto O, y la cual tiene la libertad de desplazarse sobre un plano PQ sin rozamiento [vase la Fig. 3-1]. Si X(t ), o X simplemente, denota el desplaza-miento instantneo de m, en el tiempo t, desde su posicin de equilibrio o de reposo, entonces actuar sobre m una fuerza recuperadora -kX, donde k es una constante que depende del re-sorte, llamada la constante del resorte. Esto se deduce de la ley de Hooke la cual establece ex-perimentalmente que la fuerza recuperadora que acta sobre un resorte es proporcional al alargami~nto o extensin del resorte desde su posicin de equilibrio. De acuerdo con la ley newtoniana que establece que la fuerza neta que acta sobre m es igual a la masa por la acelera-cin, la ecuacin del movimiento es

~Q 0 1

tc:t)l 1 1 1 ..__X '

~ ""Q (b)

Fig. 3-1

d'X m dt' ~ -kX o mX"+kX ~O (5)

Si, adicionalmente, existe una fuerza amortiguadora proporcional a la velocidad instan-tnea de m, la ecuacin del movimiento es

d'X mdff =

dX -kX- l-dt

o mX" + {JX' + kX = O

donde la constante de proporcionalidad {3 se llama la cahstante de amortiguacin.

(6]

Puede haber otra modificacin cuando acta sobre m una fuerza externa dada 1'(t) que depende del tiempo. En tal caso la ecuacin del movimiento ser

d'X m dt' -kX - fl ~7 + J'(t) o mX" + JX' + kx ~ J'(!) ?

El desplazamiento X (t) puede conocerse utilizando la transformada de Laplace par re-solver las ecuaciones (5), (6), o (7) bajo las correspondientes condiciones fisicas ini/iales. Vanse los problemas 14, 15, 27 y 28.

APLICACIONES A LOS CffiCUITOS ELECTRICOS Un circuito elctrico simple (Fig. 3-2) consta

de los siguientes elementos de circuito conectados en serie con un interruptor o llave K:

l. Un generador o batera que produce una fuerza electromotriz o f.e.m. E (voltios).

2. Una resistencia R (ohmios).

3. Un inductor que tiene una inductancia L (henrys).

4. l t,n condensador con capacitancia C (faradios).

Los .1lementos de un circuito se representan simb-licamente como en la Fig. 3-2.

R

1

L

1

80 APLICACIO.NRS A LAS ECUACIONES DIFER::

CAP. 3] APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 81

Ntese la analoga entre las ecuaciones (7) y (8). Parece que la masa m corresponde a la inductancia L, el desplazamiento X corresponde a la carga Q, el factor de amortiguacin {3 a la resistencia R, la con:o;tante del resorte k al recproco de la capacitancia 1/ C, y la fuerza J' a la fuerza electromotriz E. En la prctica estas analogas son de gran utilidad.

APLICACIONES A LAS VIGAS

Supongamos que una viga cuyos extre-mos estn x = O y x = l coincide con el eje x (Fig. 3-4). Supongamos que hay una carga vertical W(x) por unidad de longitud que ac-ta transversalmente sobre la viga. Entonces el eje de la viga tiene una de flexin transver-sal Y(x) en el punto x. la cual satisface la ecuacin tliferencial

d'Y W(ac) dx' - -El~ 0

82 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

Problemas resueltos

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

l. Resolver Y"+ Y~ t, Y(O) ~ 1, Y'(O) ~ -2. Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial y utilizando las condicio-

nes dadas, tendremos

.C {Y") + .C {Y} .e {t), s2y - B Y(O) Y'(O) +y 1

~ ~ ..-

- + 2 + y 1 ~ .. Entonces .e {Y} 1 + s-2 y s2(s2 + 1) s2 + 1

1 1 ' 2 ~ ..- s2 + 1 + 2 + 1 s2 + 1 + 3 ~ .. s2 + i s2+ 1

y y ~ -1 { 1 + 8 .t:. 82 s2+1 s2! t} ~ t+cost- 3 sen t Comprobacin: Y = t + cos t - 3 sen t, Y' = 1 - sen t ~ 3 cos t, Y" "" - cos t + 3 sen t. Entonces Y" + Y= t, Y(O) = 1, Y' (O) = -2, luego la funcin encontrada es la solucin requerida.

Existe otro mtodo, usando la integral de la convolucin, en el problema 7; en tal caso se hace a = 1,

F(t) =t.

2. Resolver Y"- 3Y' + 2Y ~ 4e", Y(O) ~ -3, Y'(O) ~ 5 .

Tenemos que

de manera que Y

.C {Y") - 3 .C {Y') + 2 .C {Y) ~ 4 .C {"}

{o' - s Y(O) - Y'(O)} - 3{'1/ - Y(O)} + 2y /=

{s2y+3s-5} ~ S{sy+3} +y/ ::::o~ 4 ~ :::::: s-2 (a2- 3s + 2)11 + 3s - 14

~

CAP. 3) APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 83

3. Resolver Y'' + 2Y' + 5Y ~ e- sen t, Y(O) ~ O, Y '(O) ~ l.

Tenemos que ,e{Y") + 2-({Y') + 5-({Y} .t:.{e-tsent}

{s2y - s Y(O) - Y'(O)) + 2{sy - Y(O)) + 5y 1 (s+1)2+1

{s2y - a(O)- 1} + 2{ay- 0} + 5y s2+2s+2

(s2+2a+5)y- 1

y 1 1 s2 + 2s + 5 + (s2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5)

s2+2s+3 (s2 + 2a + 2)(82 + 2a + 5)

Entonces {por el problema 28, Pg. 60)

y -{ a2+2s+3 l .C. (8 2 + 2s + 2)(s2 + 2s + 5) J

1 ae-t(sent + sen2t)

4. Resolver Y"'- 3Y" + 3Y'- Y~ t'e', Y(O) = 1, Y'(O) = O, Y"(O) = -2.

Tenemos que .({Y"') - 3 .({Y") + 3 .e {Y') - ,e {Y}

{s'y- ' Y(O) - s Y'(O) - Y"(O)) - 3{s2y - s Y(O) - Y'(O)} + 3{sy- Y(O)) y -

As, (s3- 3s2 + 3a - l)y - s2 + 3a -

y

s2-2a+l-s + __ 2_ (8 1)3 (a- 1)6

(s-1)2- (s-1) -1 + 2 (s t):J (s- 1)6

y

5. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial del problema 4. En este caso las condiciones iniciales son arbitrarias. Si suponemos que Y{O) =A, Y'(O) = B, Y"(O) = C, en-

contramos, como en el problema 4, que

(s3y-As2-Bs-C)- 3(s2y-Aa-B) + 3(sy-A) y

o sea que y As2 + (B- 3A)s + 3A - 38 + C + 2 (s 1)3 (s- 1)6

)

84 APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES [CAP. 3

Como A, By C son arbitrarias, tambin lo es el polinomio del numeradur del miembro derecho de la igualdad. De esta manera podemos escribir

c1 c2 c3 + _. _2_ (s- 1):

CAP. 3) APLICACIONES A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 85

Entonces, usando el teorema de la convolucin,

y r s-2} .e-lls2+a2 + _, { /() } .(' 82+a2 cos at - 2 sen at + F(t) ~nat eos at -

2 senat + '.f' - F(u) sen a(t-