ECUACIONES BASICAS

Crisostomo Peralta

Estudiantes de ingeniería química, Facultad de Ingeniería, Universidad del Atlántico

Docente de mecánica de fluidos, Universidad del Atlántico

RESUMEN

Durante este laboratorio se observó el comportamiento de un fluido en un sistema tipo tanque-Orificio abierto a la atmosfera, dentro de este se pudo apreciar un tubo con orificios alrededor, orificios de los cuales escapaba agua, partiendo de este hecho, El procedimiento consistió: en variar la frecuencia y la velocidad de salida del líquido a través de un dispositivo, hasta que así se lograra detener este a determinada altura, lo cual quería decir que el Caudal de entrada era igual al de salida, se realizó dicho procedimiento hasta con diez diferentes frecuencias, lo que variaba la altura, luego de cada procedimiento se recolectaba determinado volumen de agua en una probeta en un tiempo determinado para obtener el caudal por medio de cálculos. Esto se realizó para un orificio de salida de ocho milímetros y también de cinco milímetros de diámetro.

INTRODUCCIÓNEsta experiencia tiene como objetivo poner en práctica conceptos básicos de la mecánica de fluidos se usaran ecuaciones como la de continuidad, de Bernoulli y el teorema de Torricelli con el fin de comparar lo que sucede con Estas ecuaciones Teóricamente y experimentalmente.

MARCO TEORICO

Ecuación de continuidad

Cuando un fluido fluye por un conducto de diámetro variable, su velocidad cambia debido a que la sección transversal varía de una sección del conducto a otra.

En todo fluido incompresible, con flujo estacionario (en régimen laminar), la velocidad de un punto cualquiera de un conducto es inversamente proporcional a la superficie, en ese punto, de la sección transversal de la misma.

La ecuación de continuidad no es más que un caso particular del principio de conservación de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción.

Dado que el caudal es el producto de la superficie de una sección del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubería se debe cumplir que:

Q̇1=Q̇2→S1v1=S2 v2

Que es la ecuación de continuidad y donde:

S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto.

v es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubería.

Se puede concluir que puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la sección disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporción y viceversa.

En la imagen de la derecha puedes ver como la sección se reduce de A1 a A2. Teniendo en cuenta la ecuación anterior:

v2=v1A1A2

Es decir la velocidad en el estrechamiento aumenta de forma proporcional a lo que se reduce la

sección.

LA ECUACIÓN DE BERNOULLILa ecuación de Bernoulli es una relación aproximada entre la presión, la velocidad y la elevación, y es válida en regiones de flujo estacionario e incompresible en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables. Pese a su simplicidad la ecuación de Bernoulli demostró que es un instrumento muy potente en mecánica de fluidos.La aproximación clave en la deducción de la ecuación de Bernoulli es que los efectos viscosos son despreciablemente pequeños en comparación con los efectos de inercia, gravitacionales y de la presión. Puesto que todos los fluidos tienen viscosidad (no existe un “fluido no viscoso”), esta aproximación no puede ser válida para todo un campo de flujo de interés práctico. En otras palabras, no se puede aplicar la ecuación de Bernoulli en todas partes en un flujo, sin importar qué pequeña sea la viscosidad del fluido. Sin embargo, resulta que la aproximación es razonable en ciertas regiones de muchos flujos prácticos.

Deducción de la ecuación de Bernoulli

Figura 1. (Fuerzas que actúan sobre una partícula de fluido a lo largo de una línea de corriente).

Cuando se aplica la segunda ley de Newton (la cual se menciona como la relación de conservación del momento lineal en la mecánica de fluidos) en la dirección s, sobre una partícula en movimiento A lo largo de una línea de corriente da:

∑ F s=¿mas ¿ (Ecuación 1)

En regiones del flujo en donde las fuerzas netas de fricción son despreciables, las fuerzas significativas que actúan en la dirección s son la presión (que actúa

sobre ambos lados) y la componente del peso de la partícula en la dirección s (Fig. 1). Por lo tanto, la ecuación 1 queda:

PdA−(P+dP )dA−W sin θ=mVdVdS

(Ecuación 2)

Donde θ es el ángulo entre la normal a la línea de corriente y el eje vertical z en ese punto, m =ρV= ρdAds es la masa, W =mg=ρgdA ds es el peso de la

partícula de fluido y sin θ=dzds

. Se sustituye:

−dPdA− ρgdA dsdzds

=ρ dAds VdVds

(Ecuación 3)

Cuando se cancela dA de cada término y se simplifica,

−dP−ρgdz=ρVdV

Se nota que V dV=12d (V 2 ) y si divide cada termino entres ρ da

dPρ

+ 12d (V 2)+gdz=0

flujoestacionario :∫ dPρ

+V2

2+gz=constante (a lo largodeuna linea)

Ya que los dos últimos términos son diferenciales exactas. En el caso del flujo incompresible, el primer término también se convierte en una diferencial exacta y su integración da:

Pρ+V

2

2+gz=(Constantea lolargo deuna linea)

Ésta es la famosa ecuación de Bernoulli, la cual es de uso común en mecánica de fluidos para el flujo estacionario e incompresible, a lo largo de una línea de corriente, en las regiones no viscosas del flujo. El valor de la constante puede evaluarse en cualquier punto de la línea de corriente en donde se conozcan la presión, densidad, velocidad y elevación. La ecuación de Bernoulli también puede escribirse entre dos puntos cualesquiera sobre la misma línea de corriente como:

flujoestacionario e incomprensible :P1ρ

+V 12

2+gz1=

P2ρ

+V 22

2+g z2

La ecuación de Bernoulli se obtiene a partir de la conservación de la cantidad de movimiento para una partícula de fluido que se desplaza a lo largo de una línea de corriente.

Teorema de Torricelli

Es una aplicación del teorema de Bernoulli lo podemos deducir de la siguiente forma:

P1ρ

+V 12

2+g z1=

P2ρ

+V 22

2+g z2

Dividimos toda la ecuación de Bernoulli entre la gravedad (g)

P1ρ g

+V 12

2g+z1=

P2ρ g

+V 22

2g+z2

Se toma un tanque abierto a la atmosfera con un orificio donde escapa el fluido entonces se tiene que:

V 1≅ 0

z2=0

P1=P2

→V 2=√ 2g z1 (Teorema de Torricelli)

Referencias Bibliográficas

Definición de Ecuación de continuidad fue tomada de la siguiente dirección: http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio/4750/4918/html/22_ecuacin_de_continuidad.html

Mecánica de Fluidos fundamentos y aplicaciones Yunus A. Cengel Jhon M. Cimbala. Pág. 186-189