ecuación normalizada de luminancia

UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONAL INGENIERA EN ELECTRNICA

CTEDRA DE SISTEMAS DE TELEVISIN

ECUACIN NORMALIZADA DE LUMINANCIA 1 ING. NSTOR PISCIOTTA

1. ECUACIN NORMALIZADA DE LUMINANCIA Y

1.1 Introduccin

En este apartado se desarrollar, paso a paso, la deduccin de la ecuacin normalizada de luminancia, partiendo de un conjunto especfico de primarios RGB y blanco de referencia W. Para ello, se utilizarn las coordenadas cromticas del conjunto RGB-W del sistema NTSC, debido a que estos valores son los que permiten llegar a la ecuacin que se utiliza universalmente. El procedimiento es igualmente aplicable a conjuntos de primarios diferentes. Las coordenadas son las siguientes:

Coordenadas NTSC

========

316,0y31,0x)W(Blanco08,0y14,0x)B(Azul71,0y21,0x)G(Verde33,0y67,0x)R(Rojo

WW

BB

GG

RR

La Figura 1 muestra la ubicacin de los primarios RGB y el blanco de referencia W en el diagrama CIE, de acuerdo a los valores de sus coordenadas. El grfico ha sido realizado a escala.

0,14

0,08

0,33

0,71

0,21

1,00

1,000,67

0,316

0,31

G (545 nm)

B (470 nm)

R (610 nm)W (D6500)

y

x

Figura 1: Ubicacin de los primarios RGB y blanco W

1.2 El problema a resolver

El problema a resolver es relativamente sencillo y consiste en responder a la siguiente pregunta: En qu proporciones deben mezclarse R,G y B para poder obtener una unidad de W?




Para comenzar a responder esta pregunta deben tenerse en cuenta tres propiedades importantes del diagrama CIE:

La mezcla de dos colores A y B da como resultado un color C, cuyas coordenadas cromticas definen un punto que pertenece al segmento comprendido entre las coordenadas de A y B.

Los valores exactos de las coordenadas cromticas del color C dependern de las luminancias de A y B.

El diagrama CIE no proporciona informacin de luminancia. Los valores de luminancia se colocan sobre un eje independiente Y, que es paralelo al eje y del diagrama y se calibra con su propia escala.

Esto significa que para poder definir completamente el vector correspondiente a un determinado color C, deben conocerse por lo menos dos de sus tres coordenadas cromticas (x,y,z) y su valor de luminancia Y. En el diagrama siguiente se muestran los conceptos mencionados.

A

B

y

x

C

xA xC xB

yA

yC

yB

Y

X

XW

y

x

C

xC

yC

Y

X

XW

Y

YC

X

XC a) b)

Figura 2: a) Mezcla de dos colores A y B - b) Vector del color C

Teniendo en cuenta lo anterior, el proceso de encontrar a W por mezcla de los primarios R,G y B se puede resumir como sigue:

1) La mezcla en determinadas proporciones de R y G permitir encontrar un determinado color amarillo Ye.

2) Este color Ye mezclado con una determinada cantidad de B debe producir como resultado el blanco de referencia W.

3) La coordenadas cromticas (xYe ; yYe) del color Ye, quedarn automticamente definidas por la interseccin entre el segmento s comprendido entre las coordenadas (xR ; yR) y (xG ; yG) y la semirrecta s-r que tiene como origen al punto de coordenadas (xB ; yB) y pasa por el punto de coordenadas (xW ; yW).

4) Las coordenadas de Ye permitirn determinar las luminancias necesarias para R y G. Por ende, tambin quedar establecida la luminancia de Ye.

5) El paso final es el clculo de la luminancia de B que permita obtener una determinada cantidad de blanco W. De este modo, habiendo determinado las luminancias de R,G y B e igualando su suma con la luminancia obtenida para W, se tendr la ecuacin buscada.

A continuacin se realizar paso a paso el proceso descripto.




1.3 Coordenadas cromticas del color Ye

La Figura 3 esquematiza los pasos 1), 2) y 3) del proceso recin descripto:

0,14

0,08

0,33

0,71

0,21

1,00

1,000,67

0,316

0,31

G

B

R

W

y

x

YeyYe

xYe

s

s-r

Figura 3: Obtencin de las coordenadas cromticas del amarillo Ye

1.3.1 Determinacin analtica de los puntos pertenecientes al segmento s La expresin analtica que permitir encontrar a todos los puntos del segmento comprendido entre R y G es la ecuacin de la recta que pasa por R y G. Hay varias maneras de hacer esto, una de ellas es la forma vectorial de la ecuacin de la recta:

( ) [ ])y,x()y,x(t)y,x(y,x RRGGRR += Sustituyendo los valores de las coordenadas de R y G:

( ) [ ])33,0;67,0()71,0;21,0(t)33,0;67,0(y,x += El vector direccin de la recta se encuentra resolviendo el corchete:

( ) )38,0;46,0(t)33,0;67,0(y,x += A continuacin se separan las componentes vectoriales de la ecuacin de la recta y se obtiene su forma paramtrica:

+==

t38,033,0yt46,067,0x

Despejando el parmetro t e igualando se tiene:




38,033,0y

46,067,0x =

Despejando y y resolviendo se obtiene:

33,046,067,0x38,0y +

=

883,0x826,0y +=

1.3.2 Determinacin analtica de los puntos pertenecientes a la semirrecta s-r De igual manera, la expresin analtica necesaria para determinar todos los puntos de la semirrecta con origen en B que pasa por W es:

( ) [ ])y,x()y,x(t)y,x(y,x BBWWBB += Sustituyendo los valores de las coordenadas de B y W:

( ) [ ])08,0;14,0()316,0;31,0(t)08,0;14,0(y,x += Resolviendo el corchete, aparece el vector direccin:

( ) )236,0;17,0(t)08,0;14,0(y,x += Separando las componentes vectoriales:

+=+=

t236,008,0yt17,014,0x

Despejando el parmetro t e igualando:

236,008,0y

17,014,0x =


08,017,0

14,0x236,0y +

=

114,0x388,1y =

1.3.3 Determinacin de las coordenadas cromticas de Ye Las coordenadas (xYe ; yYe) quedarn determinadas por la interseccin de las dos rectas obtenidas anteriormente, es decir solucionando el siguiente sistema:

=+=

114,0x388,1y883,0x826,0y

=+=+

114,0yx388,1883,0yx826,0

Despejando variables y trminos independientes y colocando las ecuaciones en forma matricial se tiene:

=

114,0

883,0yx

.1388,11826,0




La solucin de este sistema y por lo tanto las coordenadas buscadas son:

=

51,045,0

yx

ye

ye

1.4 Determinacin de las luminancias necesarias para R y G

Una vez obtenida la direccin del vector del color Ye, a continuacin se deben determinar las luminancias necesarias para R y G. Este paso del procedimiento se ilustra en la Figura 4:

Figura 4: Clculo de las luminancias necesarias para los primarios R y G

Dado que no se conoce ninguno de los tres valores de luminancia (YR, YG, e YYe), para poder resolver el problema ser necesario asignar un valor arbitrario a una cualquiera de ellas. En este caso se opta por hacerlo con el primario R de tal manera que:

33,0yY RR == Debiendo verificarse la suma vectorial dada por la ecuacin:

GRYe YYY += Al conocerse el valor de YR y la direccin de los vectores Ye y G, resultar posible determinar las componentes cromticas YYe y XYe, ya que stas corresponden a la interseccin de las semirrectas s-r1 y s-r2.




1.4.1 Determinacin analtica de los puntos pertenecientes a la semirrecta s-r1 La expresin analtica correspondiente a los puntos de la semirrecta que comienza en el origen, es la ecuacin de la recta que pasa por Ye y el origen (0,0):

( ) [ ])y,x()y,x(t)y,x(y,x 00YeYe00 += Dado que (x0 , y0) es (0 ; 0) la ecuacin de la recta es directamente su vector direccin:

( ) )51,0;45,0(ty,x = Separando las componentes vectoriales:

==

t51,0yt45,0x


51,0y

45,0x =

Y despejando y se obtiene:

x133,1y =

1.4.2 Determinacin analtica de los puntos pertenecientes a la semirrecta s-r2 De igual manera, la expresin analtica necesaria para determinar los puntos de esta semirrecta es la ecuacin de la recta que pasa por R y el punto (YYe ; XYe). Esta recta tiene el mismo vector direccin V1 que el vector G, dado que son paralelos. Por lo tanto:

( ) )y,x(t)y,x(y,x GGRR += Sustituyendo los valores de las coordenadas de R y el vector V1:

( ) )71,0;21,0(t)33,0;67,0(y,x += Separando las componentes vectoriales:

+=+=

t71,033,0yt21,067,0x

Despejando el parmetro t e igualando:

71,033,0y

21,067,0x =


33,021,0

67,0x71,0y +

=

935,1x381,3y =

1.4.3 Determinacin de las componentes cromticas de Ye Las componentes (XYe ; YYe) quedarn determinadas por la interseccin de las dos rectas obtenidas anteriormente, encontrando la solucin al siguiente sistema:

==

935,1x381,3yx133,1y




==

935,1yx381,30yx133,1

Colocando estas ecuaciones en forma matricial se tiene:

=

935,10

yx

.1381,31133,1

La solucin de este sistema y por lo tanto las componentes buscadas son:

=

974,0860,0

YX

ye

ye

1.4.4 Determinacin de la luminancia de G El mdulo del vector G queda automticamente determinado por aplicacin de la regla del paralelogramo a la suma de los vectores R y G, tal como puede verse en la Figura 5:

0,33

0,71

0,21

1,00

1,00

0,67

G

R

y

x

Ye0,51

0,45X

Y

XG

YG

0,86

0,974

A

Figura 5: Clculo de la luminancia de G

El mdulo del vector G es coincidente con la hipotenusa del tringulo rectngulo A cuyos catetos son 0,974 0,33 = 0,644 y 0,86 0,67 = 0,19. Por lo tanto XG = 0,19 e YG = 0,644 (luminancia necesaria para G), verificndose que:

GRYe YYY +=




1.5 Determinacin de las luminancias de B y W

El siguiente paso consiste en plantear las ecuaciones vectoriales que vinculan a las componentes cromticas:

++=++=

BGRW

BGRW

XXXXYYYY

De estas ecuaciones son conocidas las componentes YR, YG, XR y XG. Reemplazando:

++=++=

BW

BW

X190,067,0XY644,033,0Y

+=+=

BW

BW

X860,0XY974,0Y

(1)

En cuanto a las componentes cromticas (XW ; YW) y (XB ; YB), solo se conocen las direcciones de sus vectores asociados. Estas direcciones pueden ser caracterizadas por las correspondientes ecuaciones de las rectas que pasan por el origen, de acuerdo a lo que puede verse en la Figura 6:

1,00

1,00

y

x

W

B

Y

X

YW

Direccin delvector W

XW

0,14

0,08

0,316

0,31

Direccin delvector B

XB

YB

Figura 6: Determinacin de las componentes cromticas de W y B

Para el vector B: ( ) )08,0;14,0(ty,x =




Separando las componentes vectoriales:

==

t08,0yt14,0x


08,0y

14,0x =

Despejando se obtiene:

x571,0y = Cuando x = XB y = YB y por lo tanto:

BB X571,0Y = (2)

Para el vector W:

( ) )316,0;31,0(ty,x = Separando las componentes vectoriales:

==

t316,0yt310,0x


316,0y

310,0x =

Despejando se obtiene:

x019,1y = Cuando x = XW y = YW y por lo tanto:

WW X019,1Y = (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) se tiene:

+=+=

BW

BW

X860,0019,1Y

X571,0974,0Y

=+=

876,0YX019,1974,0YX571,0

WB

WB

Colocando estas ecuaciones en forma matricial se tiene:

=

876,0974,0

YX

.1019,11571,0

W

B

La solucin de este sistema es:

=

098,1218,0

YX

W

B

Reemplazando estos valores en (2) y (3):

124,0YB = 077,1XW =




1.6 Ecuacin normalizada de luminancia Y

El ltimo paso es la formulacin de la ecuacin normalizada de la luminancia Y:

BGRW YYYY ++= A continuacin se procede a verificar la igualdad anterior con los valores calculados:

124,0644,033,0098,1 ++= Si se dividen ambos miembros por 1,098 se obtendrn las proporciones de R, G y B que son necesarias para lograr de 1 unidad de blanco W:

098,1112,0586,030,0

098,1098,1 ++=

112,0586,030,01 ++= Finalmente, redondeando decimales, la ecuacin normalizada de luminancia puede escribirse como:

La Figura 7 muestra la obtencin de W por suma vectorial grfica de R, G y B (sin normalizar).

Figura 7: Obtencin de W por suma vectorial de R, G y B

B11,0G59,0R30,0Y ++=




1.7 Forma alternativa para deducir la ecuacin de luminancia Y

Existe un camino alternativo para deducir la ecuacin normalizada de luminancia, a travs de las expresiones utilizadas en fotometra. Si bien este procedimiento es completamente vlido, tiene el inconveniente de no mostrar de manera explcita su relacin con el diagrama CIE, y por esta razn, se ha decidido presentarlo al final de este apartado. Son muy frecuentes los textos de televisin que presentan todos los detalles del diagrama mencionado por un lado y la ecuacin de luminancia por otro, sin mostrar la relacin entre ambos, por lo cual el estudiante termina preguntndose en donde radica el inters de estudiar el diagrama CIE.

1.7.1 Flujo luminoso y potencia radiada visible o luminosa En el apartado dedicado a fotometra se estudi la relacin que existe entre el flujo luminoso L (medido en lumen) y la potencia P, radiada en una determinada longitud de onda (medida en vatios o tambin vatio-luz):

[ ] [ ]WPV683lmL = Donde V es el rendimiento luminoso a una longitud de onda determinada. Esto quiere decir que 1 vatio de potencia radiada de luz verde de = 555,5 nm produce un flujo luminoso de 683 lmenes. Por lo tanto, si se conocen los valores de V correspondiente a los primarios RGB elegidos para un sistema de TV y se suman sus aportes para producir una determinada cantidad de luz blanca, se podrn determinar las proporciones necesarias de cada uno de los primarios:

[ ] BBGGRRW PV683PV683PV683lm ++= Si W1PPP BGR === , entonces:

[ ] BGRW V683V683V683lm ++= (1) 1.7.2 Coeficientes V para primarios RGB NTSC

Los valores de V para los primarios RGB NTSC pueden extraerse de la curva de rendimiento luminoso:

V

545 nm470 nm 610 nm

0,2

0,5

1

Figura 8: Coeficientes V para los primarios RGB de NTSC




1.7.3 Deduccin de la ecuacin normalizada de luminancia Y Reemplazando en la ecuacin (1) los valores de V obtenidos en la curva de la Figura 8 se tiene:

[ ] 2,0x6831x6835,0x683lmW ++= [ ] [ ] [ ] [ ] )B(lm2,0x683)G(lm1x683)R(lm5,0x683)W(lm1,1161 ++=

[ ] [ ] [ ] [ ] )B(lm117,0)G(lm588,0)R(lm294,0)W(lm1 ++= Nuevamente, redondeando los decimales, se llega a la misma ecuacin normalizada de luminancia obtenida en 1.6:

----o----

B11,0G59,0R30,0Y ++=

ecuación normalizada de luminancia

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