Ecuación de Bernoulli para tenemos un conducto ( de una entrada y una salida ) por donde circula un fluido

ideal e incomprensible con flujo permanente se presenta en la siguiente forma:

constanteg

Vz

p

g

Vz

p

22

12

1

1

2

2

2

2

donde cada uno de los términos de la ecuación , representa una forma de energía denominada energía mecánica

pero expresada en unidad de longitud , es decir , en metros de columna del líquido en movimiento .

p representa la altura de presión estática

z representa la altura de posición

g

V

2

2

representa la altura de velocidad o altura de presión dinámica

Línea de energía en un conducto de sección variable

Haciendo un balance de energía mecánica la línea de energía se mantiene constante ( para un fluido ideal ) y es

descendente ( para un fluido real ) , indicándonos que existe pérdida de energía Hr (en metros ) en el sentido del

flujo , por consiguiente la Ecuación de Bernoulli es modificada como se indica a continuación:

)2

()2

(

2

2

2

2

2

1

1

1

g

Vz

p

g

Vz

p

= Hr

expresión que según el “balance de energía mecánica” nos indica , que la energía que posee el fluido en la

sección 1 menos la energía del fluido adquirida en la sección 2 es igual a la pérdida de energía traducida en

forma de calor . Finalmente, la línea de energía del fluido nunca será ascendente si durante su recorrido por el

conducto no exista una turbo máquina que entregue energía al fluido , como es en el caso de una BOMBA .

g

V

2

2

2

1p

g

V

2

2

1

2p

V1

Z1

Hr

V2

Z2

Línea de referencia

Línea de energía fluido real

Línea de energía fluido ideal

En forma generalizada, la ecuación de Bernoulli tomando en cuenta la energía que se pierde y la energía que

absorbe o entrega el fluido, será la siguiente

)2

()2

(

2

2

2

2

2

1

1

1

g

Vz

pHHH

g

Vz

prTB

carga que entrega el fluido a la turbina ( carga de turbina )

carga que absorbe el fluido por parte del rodete ( carga de bombeo )

Pérdidas de energía en conductos cerrados o tuberías

Al pasar un flujo de fluido por un conducto existirá una oposición a su movimiento llamado generalmente

resistencia hidráulica, la misma que se puede originar por el rozamiento con la pared del conducto (debido a la

rugosidad absoluta del material) o por el rozamiento entre sus partículas del fluido (ocasionadas por la

viscosidad) y, por los cambios de dirección del flujo. La resistencia hidráulica se verá reflejada en la pérdida de

energía Hr , la cual podemos subdividirla en dos categorías : pérdida de superficie llamada también pérdida

primaria Hrp a la que es originada por el rozamiento y en pérdida de forma denominada pérdida secundaria Hrs

a la ocasionada por el cambio de dirección del flujo .

En una instalación hidráulica ( sistema ) donde existan solo tuberías y accesorios ( válvulas , codos , tés ,

ampliaciones , uniones , reducciones , etc. ) la pérdida de energía total será igual a la suma de las pérdidas

señaladas anteriormente , es decir ,

Hr = Hrp + Hrs

Experimentalmente, se ha logrado obtener expresiones matemáticas empíricas que nos permiten determinar las

pérdidas de energía. Así tenemos, la ecuación de Darcy Weisback para las pérdidas primarias:

g

V

d

LH rp

2

2

designando a , como el factor de fricción que en forma general es una función del número de Reynolds Re y de

la relación entre la rugosidad absoluta y el diámetro interior del conducto d , o sea d

. Para conductos de otra

forma geométrica diferente a la circular, el diámetro que se utiliza en vez de d es el diámetro hidráulico DH, a

saber;

DH = 4 RH

designando a RH , como el radio hidráulico representado por:

mojadoperímetro

ltransversaAreaRH

expresión que puede ser utilizada a menos que no exista otra información en la bibliografía especializada .

El factor de fricción = f (Re, d

), se puede obtener con la ayuda de un nomograma llamado DIAGRAMA DE

MOODY, sobre el cual están graficadas las curvas de variación del factor de fricción para los siguientes casos

específicos:

= f ( Re ) para la zona de flujo laminar ( Re < 2000 ) y cualquier rugosidad de tubería

= f ( Re , d

) para la zona de flujo turbulento

= f (d

) para la zona de flujo totalmente turbulento

o bien , se puede emplear las ecuaciones empíricas correspondientes a las curvas que están trazadas en dicho

diagrama , dentro de las cuales podemos escribir a

eR

64 Sí , Re 2000

o con la Ecuación de Fanno:

2

9.0

eR

74.5

7.3

dlog

25.0

Sí , 5x103 Re 10 8 y 26 10

d10

Los conductos dependiendo de su material y del fluido que pase por él , su rugosidad absoluta y por ende su

sección transversal sufrirán alteraciones en sus medidas con el tiempo de funcionamiento dependiendo del grado

de contaminación y viscosidad del fluido . Razón por la cual, el factor de fricción obtenido con las expresiones

anteriores o con el diagrama de Moody , debe ser multiplicado por factores que tomen en cuenta la edad de la

tubería .

De la misma manera que la pérdida de energía primaria, experimentalmente se ha logrado encontrar una

expresión que nos permita determinar la pérdida de energía secundaria, a saber:

g

VKH rs

2

2

donde K, representa el coeficiente de pérdida secundaria y su valor depende del accesorio ( ya sea del sistema

de acople , diámetro , en algunos casos del número de Reynolds , etc. ) que se esté utilizando , existiendo por lo

tanto para su cuantificación ; tablas , ábacos , fórmulas , etc.

Otra manera de encontrar la pérdida de energía secundaria, es a través de la longitud equivalente Le y

físicamente podemos interpretarla como la longitud de tubería que entrega una pérdida de energía igual a la que

provoca el accesorio. Igualando estos conceptos, se obtendrá

KdLe

valor que se puede encontrar tabulado o través de gráficos dependiendo del accesorio .

En consecuencia, la pérdida de energía total según Darcy Weisbach puede tomar la forma siguiente

g

V

d

LLH

e

r2

2 en función de longitudes equivalentes

g

V

d

KLH r

2

2 en función de coeficientes de pérdidas en accesorios

y cuando existan equipos como ; los intercambiadores de calor , filtros , etc. y dispositivos medidores de flujo en

la instalación ( tales como las toberas , diafragmas , caudalímetros , etc. ) también ellos presentarán resistencia al

flujo y deberán ser interpretados como una pérdida de carga y tomados en cuenta adicionalmente a la pérdida de

energía total .

Cálculo de λ en régimen laminar (tuberías lisas y rugosas)

En régimen laminar λ no es función de la rugosidad y se calcula con la ecuación.

eR

64 Cuando Re ≤ 2000

O con la ecuación de Fanno: Si 5 * 103 ≤ Re ≤ 108 y 10-6 ≤ ε / D ≤ 10-2

2

9.0

74.5

7.3log

25.0

e

r

R

R

(1.10)

Hay otras ecuaciones para el cálculo del coeficiente de fricción λ desarrolladas para los diversos flujos y

materiales empleados como los de la tabla siguiente:

Coeficiente λ para cálculo de perdidas primarias en tuberías comerciales.

Tuberías Régimen Fórmula Autor

Lisas y rugosas

Laminar eR

64

Paiseulle

Lisas y rugosas

Turbulento

5 * 103 ≤ Re ≤ 108

10-6 ≤ ε / D ≤ 10-2

2

9.0

74.5

7.3log

25.0

e

r

R

R

Fanno

Lisas

Turbulento

Re ≤ 100000 4/1

316.0

eR

Blasius

Lisas

Turbulento

(Zona de transición) 8.0log2

110

eR

Karman - Prandtl

(primera ecuación)

Rugosas

Turbulento

eR

D 51.2

7.3

/log

110

Colebrook

Rugosas

74.1log2

110

D

Karman - Prandtl

(primera ecuación)

Diagrama de Moody

Está construido en papel doblemente logarítmico.

Es la representación gráfica de dos ecuaciones.

La ecuación de Poiseuille λ = 64 / Re. Esta ecuación en papel logarítmico es una recta. La prolongación dibujada

a trazos es la zona crítica. En esa zona solo se utilizara la recta de Poiseuille si consta que la corriente sigue

siendo puramente laminar. De lo contrario λ puede caer en cualquier punto (según el valor de Re) de la zona

sombreada. La zona crítica es una zona de incertidumbre.

La ecuación de Colebrook – White

eR

D 51.2

7.3

/log

110 . En esta ecuación λ = f(Re, ε / D) o sea

λ es función de dos variables. Dicha función se representa en el diagrama de Moody por una familia de curvas,

una para cada valor del parámetro ε / D. Estas curvas para números bajos de Reynolds coinciden con la ecuación

de Blasius.

4/1

316.0

eR y la primera ecuación de Karmán – Prandil 8.0log2

110

eR , es decir, son asintóticas

a una u otra ecuación y se van separando de ellas para números crecientes de Reynolds. Esto se representa en el

esquema simplificado siguiente del diagrama mismo de Moody.

Elaboración de las curvas en el diagrama de Moody.

Es un diagrama adimensional utilizable con cualquier sistema coherente de unidades.

Incorpora una curva de trazos, que separa la zona de transición de la zona de completa turbulencia, es decir la

zona en λ = f(Re, ε / D) de aquella en que λ = f(ε / D. Esta curva de trazos es convencional en realidad las

curvas son como ya se ha dicho, sintomáticas.

Coeficiente de rugosidad absoluta, ε para tuberías comerciales.

Los valores de la tabla anterior son un tanto imprecisos, por lo cual el valor de λ obtenido, que puede tener un

error de 5% en tuberías lisas, puede, llegar a 10% en tuberías rugosas. De ordinario no se necesita más

precisión. En muchos problemas puede obtener una primera aproximación haciendo λ = 11.02 a 0,03. En un tubo

rectilíneo la influencia del cambio de sección se hace sentir hasta un recorrido igual a 10 veces el diámetro (60

veces si el flujo es laminar). El cálculo de λ es pues menos preciso aún si la tubería es corta.

La variación de la rugosidad con el tiempo es aún más imprecisa. Puede utilizarse la fórmula de Colebrook.

ε = ε0 + αt

Donde: ε0 = Rugosidad absoluta del material.

Procedimiento para el cálculo de las pérdidas primarias Hrp.

El procedimiento siguiente vale cuando la incógnita del problema es Hrp. Cálculo de Hrp por el diagrama de

Moody conocidos Q, L, D, v, ε.

Según el material de la tubería se toma ε de la tabla 1.2 de la rugosidad absoluta.

Se calcula la rugosidad relativa ε / D.

Se calcula Re= v*D / υ.

Se lee en λ el diagrama de Moody.

Tipo de tubería Rugosidad absoluta ε

mm pies

Vidrio, cobre, o latón estirado < 0,001 (o lisa) < 0,0000033(0 lisa)

Latón industrial 0,025 0.000082

Acero laminado nuevo 0,05 0,00016

Acero laminado oxidado 0,15 a 0,25 0,0005 a 0,00082

Acero laminado con incrustaciones 1,5 a 3 0,005 a 0.0098"

Acero asfaltado 0,015 0.00005

Acero roblonado 0,03 a 0,1 0,000098 a 0,00033

Acero soldado, oxidado 0,4 0.00131

Hierro galvanizado 0,15 a 0,20 0,0005 a 0.00066

Fundición corriente nueva 0,25 0.00082

Fundición corriente oxidada 1,a 1,5 0.0033 a 0.005

Fundición asfaltada 0,1 0.00033

Cemento alisado 0,3 a 0,8 0.00098 a 0.0026

Cemento bruto Hasta 3 Hasta 0.0098

Acero roblonado 0,9 a 9 0.003 a 0.03

Duela de madera 0,183a O,9 0.0006 a .003

Este valor de λ se lleva a la ecuación de Darcy - Weisbach y se calcula hf

Curvas de fricción

Al poner en función del caudal, la pérdida de energía total en una instalación ( sistema ) se demuestra que varía

con la capacidad Q al cuadrado y al graficarla Hr vs Q nos dará la curva de fricción del sistema , tal como se

indica en la figura siguiente.

Curva de fricción de un sistema

Existen sistemas donde los conductos se conectan en serie (uno a continuación de otro) donde su pérdida de

energía total y capacidad será

Hr = Hr1 + Hr2

o Hr = (K1 + K2)Q2

Donde; 2

1

2

1

AgD

LK

Q = Q1 + Q2

en forma gráfica , se indican las curvas de fricción respectivas en la siguiente figura.

(a) Conductos en serie (b) Curvas de fricción

Curvas de fricción para conductos en serie

También , los conductos pueden encontrarse instalados en paralelo en donde un flujo es subdividido y de nuevo

vuelven a juntarse en otro punto o cuando el flujo subdividido va a depósitos que contengan una misma presión

en la superficie libre del líquido y ubicados a una misma posición vertical , tal como se indica en la figura 36 .

Q

Q

Q

L1 L2

d1 d2

Hr1

Hr2 Hr

Hr

Curva de fricción

Hr

Q

( a ) Conductos en paralelo ( b ) Curvas de fricción

Conexión de conductos en paralelo y curvas de fricción respectivas

La pérdida de energía y la capacidad se expresará de la siguiente manera

Hr = Hr1 = Hr2 = Hr3

o Hri = Ki Qi2

donde; Ki tiene la misma representación matemática que la ecuación 2

1

2

1

AgD

LK

21

321

)111

( QKKK

H totalr

Q = Q1 + Q2 + Q3

Un caso muy particular de la aplicación de la curva de fricción es cuando se toma en cuenta para trazar la curva

de carga Hs del sistema y para entender su expresión matemática en función de que parámetros hidráulicos lo

relaciona, nos valemos de la figura 37, donde al aplicar un balance de energía mecánica

2

22

1

2

2

12

12

2

1

2 A

Q

d

LL

gg

VVzz

ppH e

s

Q Q

Q1

Q2

Q3

Q Q1 Q2

Hr2

Hr3 Hr

Q

Hr1

Hr

Curva de resistencia del sistema de bombeo

expresión que manifiesta , que la carga del sistema que tiene que vencer la bomba a través de la carga de bombeo

HB , es igual a la carga de presión reinante en la superficie libre del líquido de los recipientes , más la carga de

posición de los recipientes ( diferencia de niveles ) , más la carga de velocidad del líquido y más la carga de

pérdida de energía ocasionada por las tuberías y los diferentes accesorios . La suma de los dos primeros términos

de la carga del sistema es comúnmente denominada carga estática del sistema.

Cuando los recipientes están abiertos a la atmósfera, las presiones sobre el nivel del líquido de ambos recipientes

será la presión atmosférica y las velocidades de los niveles se puede asumir despreciables. Por lo tanto, la carga

de presión y carga de velocidad serán cero, quedándonos la carga del sistema en forma más simplificada de la

siguiente manera

2

2

122

1

A

Q

d

LL

gzzH e

s

expresión que al graficar conjuntamente con la carga de bombeo versus la capacidad que nos entrega los

fabricantes , se interceptarán en el punto f de la siguiente figura. Este punto nos señala la capacidad y carga de

bombeo de funcionamiento que estará entregando la bomba en el sistema , a su vez con este punto se puede

determinar la eficiencia de bombeo y compararla con el valor de máxima eficiencia que puede entregar la bomba

y así determinar si en la instalación está una turbo máquina con potencia subutilizada .

Curva de resistencia del sistema

( carga del sistema )

Carga estática del sistema

Q

HS

Hr

Curvas de carga bombeo y carga del sistema ( instalación )

Generalmente, la curva de la carga de bombeo tiene la expresión matemática: HB = a + bQ + CQ2 , donde a, b y

c son constantes que se obtienen de la curva de la bomba entregada por el fabricante.

Curva de resistencia del sistema

( carga del sistema )

Carga estática del sistema

Q

HS

Hr

f

Curva de carga de bombeo

Qf

Hf

HB

Curva de bombeo

En la práctica, la carga real que entrega una bomba denominada como carga de bombeo HB es diferente a la

carga ideal de Euler He por cuanto existen pérdidas hidráulicas dentro de la misma y además en una bomba

existen también pérdidas mecánicas por el rozamiento de elementos mecánicos que rotan y las pérdidas

volumétricas por la recirculación de flujo. Todas estas pérdidas se ven reflejadas en un término llamado

eficiencia de la bomba B la cual es el resultado de multiplicar las eficiencias: hidráulica h , mecánica m y

volumétrica v , es decir ,

B = hm v

en consecuencia , podemos diferenciar entre potencia hidráulica Ph que adquirió el flujo al pasar por los álabes y

la potencia que se debe entregar al eje de la bomba Peje . Matemáticamente queda:

Ph = QHB

Es importante señalar que los fabricantes de bombas dinámicas , entregan datos hidráulicos experimentales ya

sea a través de tablas o mediante curvas de rendimiento ; a saber : carga de bombeo ( HB – vs - Q ) , eficiencia de

bombeo ( B – vs - Q ) y potencia al eje ( Peje – vs - Q ) como se indican en la tabla IV o en la figura 29

respectivamente.

Valores de capacidad , carga y eficiencia de una bomba centrífuga

Q

(gpm)

HB

(p)

Peje *10 (Hp) B

(%)

0 52.806 8.158 0

19 9.559 27.520

38 51.239 11.544 45.320

57 49.469 14.032 56.167

76 44.00 15.00 60

83.6 40.501 15.386 58.903

0

10

20

30

40

50

60

70

0 50 100

Carga ( p

),

Pote

ncia

( H

P )

efi

cien

cia

(%

)

Caudal (gpm)

Curvas de rendimiento de una bomba

centrífuga

eficiencia

carga

potencia