Economa EstaticaMatematicas Para el Analisis Economico

Ejercicios

Joel Jovani Turco Quinto1

Junio 2015

1Universidad Continental. Este documento es una version preliminar. Cualquiersugerencia por favor escribir a joel.turco@bcrp.gob.pe

ii

Indice general

I Algebra Lineal 1

1. Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones 3

1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Otros temas de algebra lineal 7

2.1. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II Calculo de varias variables 9

3. Funciones de varias variables 11

3.1. Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

iii

iv INDICE GENERAL

Parte I

Algebra Lineal

1

Captulo 1

Vectores, Matrices ySistemas de Ecuaciones

1.1. Vectores

1. Sean x y y vectores que pertenecen a Rn. Demostrar los siguientes resul-tados:

a) xy xy = 0 b) cos = xyxy

2. Explique a que se refiere que m vectores de Rn son linealmente indepen-dientes.

1.2. Matrices

1. Calcule el rango de las siguientes matrices, interprete su resultado y digasi son de rango completo.

a)

(1 24 8

)

b)

1 2 12 1 31 3 1

c)

2 0 1 00 1 1 54 5 3 2

d)

1 0 1 0 12 1 3 4 12 1 2 0 1

2. Calcule los siguientes determinantes, i) usando Laplace y ii) convirtiendo

en una matriz triangular superior con operaciones elementales de filas.

3

4CAPITULO 1. VECTORES, MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

(Pista: algunos determinantes no es necesario resolverlos, en otros casossi. Solo tiene que recordar algunas reglas de determinantes, para ello puederevisar Sydsaeter (1996), pag. 346)

a) || =

4 0 1 7 12 500 3 0 101 1 2 1 52 48/9 2 0 1

b) || =

1 0 1 0 12 500 3 0 103 1 2 0 52 48/9 2 0 110 1 8/19 0 2

c) |A| =

1 2 14 1 68 3 1

d) |A| =

1 4 82 1 31 6 1

e) |B| =

1 4 82 1 31 6 1

f ) |C| =

1 4 82 1 32 12 2

g) |D| =

1 4 82 12 22 1 3

h) || =

1 8 41 8 45 3 4

i) || =

1 8 44 32 165 3 4

j ) || =

1 2 1

4 + (1) 1 + (2) 6 + (1)8 3 1

k) || =

1 2 14 1 68 3 1

l) || =

9 3 21 8 13 2 5

m) || =

2 3 41 0 11 2 7

n) ||

3. Calcular la inversa de las siguientes matrices, usando i) A1 = 1|A|adj(A)y ii) Gauss-Jordan. (Pista: utilice, en algunos casos, las propiedades de lainversa, puede revisar Sydsaeter (1996), pag. 357)

a) =

4 0 1 7 12 500 3 0 101 1 2 1 52 48/9 2 0 1

b) =

4 0 1 72 500 3 01 1 2 12 48/9 2 0

c) =

1 2 14 1 68 3 1

d) =

2 3 41 0 11 2 7

e) =

1 4 82 1 31 6 1

f ) = 10. = 10.

1 2 14 1 68 3 1

g) =

1.3. SISTEMAS DE ECUACIONES 5

1.3. Sistemas de Ecuaciones

1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, con i) Cramer, ii) inversionde matrices y iii) Gauss-Jordan. (Pista: Recuerde que primero debemosverificar si |A| 6= 0, es decir si es singular o no, todo ello para verificar sitienen soluciones unicas, infinitas, o si no tienen solucion. Revisar Chiang(2006),pag. 106)

a)x1 + 2x2 = 2x1 + 9x2 = 0

b)x1 + 2x2 x3 = 52x1 x2 + x3 = 6x1 x2 3x3 = 3

c)x2 + 2x3 x1 = 5

x2 50x3 = 1x1 x2 3x3 = 0

d)x1 + 2x2 x3 = 02x1 x2 + x3 = 0x1 x2 3x3 = 0

e)x1 + 2x2 x3 = 0

2x1 + 4x2 2x3 = 0x1 x2 3x3 = 0

f )x1 + 2x2 x3 = 1

2x1 + 4x2 2x3 = 04x1 + 8x2 4x3 = 4

g)

x1 + 2x2 x3 + x4 = 12x1 2x3 x4 = 0x1 + x2 4x3 = 1

x1 2x3 x4 + x2 = 1

6CAPITULO 1. VECTORES, MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Captulo 2

Otros temas de algebralineal

2.1. Valores y vectores propios

1. Sea A una matriz cuadrada de nxn. Sabemos que existe algun R yalgun v Rn que cumple el siguiente resultado

Av = v

a) Demuestre el teorema de la descomposicion espectral y la diagonali-zacion para cualquier matriz cuadrada A.

b) Demuestre el teorema de la descomposicion espectral y la diagonaliza-cion para una matriz simetrica A. (Pista. Siga los pasos desarrolladosen clases)

2. Determine los valores y vectores propios de las siguientes matrices, hallan-do explcitamente la matriz T .

a)

(1 0 1 0 12 1 3 4 1

)b)

(2 11 2

)

c)

1 1 01 1 00 0 2

d)

1 3 43 1 04 0 1

e)

(1 32 1

)f )

(0 12 2

)g)

(1 32 6

)h)

(1 32 11

)i)

(4 11 2

)7

8 CAPITULO 2. OTROS TEMAS DE ALGEBRA LINEAL

j )

1 0 02 7 12 1 7

k)

0 1 11 0 11 1 0

l)

1 0 02 7 12 1 7

2.2. Formas cuadraticas

1. Determinar si las siguientes matrices son definidas (o semidefinidas) posi-tivas, negativas o no definidas. Utilice el metodo de, i) valores propios yii) menores principales.

a)

1 0 0 10 7 1 01 1 0 0

b)

1 4 12 7 12 1 7

c)

(3 00 0

)

d)

0 0 73 2 21 10 3

e)

8 1 01 4 20 2 2

f )

5 0 70 2 27 2 3

Parte II

Calculo de varias variables

9

Captulo 3

Funciones de variasvariables

3.1. Dominios

1. Hallar los dominios de las siguientes funciones y dibujar esos conjuntos enel plano xy. (Pista. Revisar Sydsaeter (1996), pag. 393-394)

a) f(x, y) =x 1 +y

b) f(x, y) = 2(x2+y24)1/2 +

9 (x2 + y2)

c) f(x, y) = x2+y3

yx+2

d) f(x, y) =

2 (x2 + y2)e) f(x, y) =

(4 x2 y2)(x2 + y2 1)

f ) f(x, y) = ln(x+ y)

g) f(x, y) =x2 y2 +

x2 + y2 1

h) f(x, y) =y x2

x y

Buena suerte estimados pulpines.

11

I lgebra LinealVectores, Matrices y Sistemas de EcuacionesVectoresMatricesSistemas de Ecuaciones

Otros temas de lgebra linealValores y vectores propiosFormas cuadrticas

II Clculo de varias variablesFunciones de varias variablesDominios