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Economa EstaticaMatematicas Para el Analisis Economico
Ejercicios
Joel Jovani Turco Quinto1
Junio 2015
1Universidad Continental. Este documento es una version preliminar. Cualquiersugerencia por favor escribir a [email protected]
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ii
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Indice general
I Algebra Lineal 1
1. Vectores, Matrices y Sistemas de Ecuaciones 3
1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Sistemas de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Otros temas de algebra lineal 7
2.1. Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II Calculo de varias variables 9
3. Funciones de varias variables 11
3.1. Dominios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
iii
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iv INDICE GENERAL
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Parte I
Algebra Lineal
1
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Captulo 1
Vectores, Matrices ySistemas de Ecuaciones
1.1. Vectores
1. Sean x y y vectores que pertenecen a Rn. Demostrar los siguientes resul-tados:
a) xy xy = 0 b) cos = xyxy
2. Explique a que se refiere que m vectores de Rn son linealmente indepen-dientes.
1.2. Matrices
1. Calcule el rango de las siguientes matrices, interprete su resultado y digasi son de rango completo.
a)
(1 24 8
)
b)
1 2 12 1 31 3 1
c)
2 0 1 00 1 1 54 5 3 2
d)
1 0 1 0 12 1 3 4 12 1 2 0 1
2. Calcule los siguientes determinantes, i) usando Laplace y ii) convirtiendo
en una matriz triangular superior con operaciones elementales de filas.
3
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4CAPITULO 1. VECTORES, MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
(Pista: algunos determinantes no es necesario resolverlos, en otros casossi. Solo tiene que recordar algunas reglas de determinantes, para ello puederevisar Sydsaeter (1996), pag. 346)
a) || =
4 0 1 7 12 500 3 0 101 1 2 1 52 48/9 2 0 1
b) || =
1 0 1 0 12 500 3 0 103 1 2 0 52 48/9 2 0 110 1 8/19 0 2
c) |A| =
1 2 14 1 68 3 1
d) |A| =
1 4 82 1 31 6 1
e) |B| =
1 4 82 1 31 6 1
f ) |C| =
1 4 82 1 32 12 2
g) |D| =
1 4 82 12 22 1 3
h) || =
1 8 41 8 45 3 4
i) || =
1 8 44 32 165 3 4
j ) || =
1 2 1
4 + (1) 1 + (2) 6 + (1)8 3 1
k) || =
1 2 14 1 68 3 1
l) || =
9 3 21 8 13 2 5
m) || =
2 3 41 0 11 2 7
n) ||
3. Calcular la inversa de las siguientes matrices, usando i) A1 = 1|A|adj(A)y ii) Gauss-Jordan. (Pista: utilice, en algunos casos, las propiedades de lainversa, puede revisar Sydsaeter (1996), pag. 357)
a) =
4 0 1 7 12 500 3 0 101 1 2 1 52 48/9 2 0 1
b) =
4 0 1 72 500 3 01 1 2 12 48/9 2 0
c) =
1 2 14 1 68 3 1
d) =
2 3 41 0 11 2 7
e) =
1 4 82 1 31 6 1
f ) = 10. = 10.
1 2 14 1 68 3 1
g) =
-
1.3. SISTEMAS DE ECUACIONES 5
1.3. Sistemas de Ecuaciones
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones, con i) Cramer, ii) inversionde matrices y iii) Gauss-Jordan. (Pista: Recuerde que primero debemosverificar si |A| 6= 0, es decir si es singular o no, todo ello para verificar sitienen soluciones unicas, infinitas, o si no tienen solucion. Revisar Chiang(2006),pag. 106)
a)x1 + 2x2 = 2x1 + 9x2 = 0
b)x1 + 2x2 x3 = 52x1 x2 + x3 = 6x1 x2 3x3 = 3
c)x2 + 2x3 x1 = 5
x2 50x3 = 1x1 x2 3x3 = 0
d)x1 + 2x2 x3 = 02x1 x2 + x3 = 0x1 x2 3x3 = 0
e)x1 + 2x2 x3 = 0
2x1 + 4x2 2x3 = 0x1 x2 3x3 = 0
f )x1 + 2x2 x3 = 1
2x1 + 4x2 2x3 = 04x1 + 8x2 4x3 = 4
g)
x1 + 2x2 x3 + x4 = 12x1 2x3 x4 = 0x1 + x2 4x3 = 1
x1 2x3 x4 + x2 = 1
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6CAPITULO 1. VECTORES, MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
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Captulo 2
Otros temas de algebralineal
2.1. Valores y vectores propios
1. Sea A una matriz cuadrada de nxn. Sabemos que existe algun R yalgun v Rn que cumple el siguiente resultado
Av = v
a) Demuestre el teorema de la descomposicion espectral y la diagonali-zacion para cualquier matriz cuadrada A.
b) Demuestre el teorema de la descomposicion espectral y la diagonaliza-cion para una matriz simetrica A. (Pista. Siga los pasos desarrolladosen clases)
2. Determine los valores y vectores propios de las siguientes matrices, hallan-do explcitamente la matriz T .
a)
(1 0 1 0 12 1 3 4 1
)b)
(2 11 2
)
c)
1 1 01 1 00 0 2
d)
1 3 43 1 04 0 1
e)
(1 32 1
)f )
(0 12 2
)g)
(1 32 6
)h)
(1 32 11
)i)
(4 11 2
)7
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8 CAPITULO 2. OTROS TEMAS DE ALGEBRA LINEAL
j )
1 0 02 7 12 1 7
k)
0 1 11 0 11 1 0
l)
1 0 02 7 12 1 7
2.2. Formas cuadraticas
1. Determinar si las siguientes matrices son definidas (o semidefinidas) posi-tivas, negativas o no definidas. Utilice el metodo de, i) valores propios yii) menores principales.
a)
1 0 0 10 7 1 01 1 0 0
b)
1 4 12 7 12 1 7
c)
(3 00 0
)
d)
0 0 73 2 21 10 3
e)
8 1 01 4 20 2 2
f )
5 0 70 2 27 2 3
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Parte II
Calculo de varias variables
9
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Captulo 3
Funciones de variasvariables
3.1. Dominios
1. Hallar los dominios de las siguientes funciones y dibujar esos conjuntos enel plano xy. (Pista. Revisar Sydsaeter (1996), pag. 393-394)
a) f(x, y) =x 1 +y
b) f(x, y) = 2(x2+y24)1/2 +
9 (x2 + y2)
c) f(x, y) = x2+y3
yx+2
d) f(x, y) =
2 (x2 + y2)e) f(x, y) =
(4 x2 y2)(x2 + y2 1)
f ) f(x, y) = ln(x+ y)
g) f(x, y) =x2 y2 +
x2 + y2 1
h) f(x, y) =y x2
x y
Buena suerte estimados pulpines.
11
I lgebra LinealVectores, Matrices y Sistemas de EcuacionesVectoresMatricesSistemas de Ecuaciones
Otros temas de lgebra linealValores y vectores propiosFormas cuadrticas
II Clculo de varias variablesFunciones de varias variablesDominios