ANALISIS VECTORIALSISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
SUMA VECTORIAL
POSICION VECTORIAL
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
DR. VICTOR HUGO CAIZA R.FISICA
RESTA VECTORIAL
VECTORES EN EL ESPACIO
x
y
SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
RECTANGULARES POLARES GEOGRAFICAS
X
θ
r
N
S
EO
MENU PRINCIPAL
Ay)(Ax;A
)(A;A
Rumbo) (A;A
ϴ
VECTORDEFINICION FISICA.- vector es una magnitud vectorial que tiene modulo dirección y sentido y se representa con una letra mayúscula y en la parte superior una flechita.
DEFINICION GEOMETRICA.-
y
ϴ
x
DEFINICION MATEMATICA.-
)j Ay i (AxA
DESCOMPOSICION DE UN VECTOR EN EL PLANO
ϴ
CosA Ax
SenA Ay
222 AyAxA
Ax
Ay Tg
Ax
Ay
x
y
A
AxCos
A
AyCos
α
β
A
Componentes del vector
Modulo del vector
Angulo del vector
Cosenos Directores
A
FORMAS DE EXPRESAR UN VECTOR
EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y ÁNGULO (POLARES)
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS RECTANGULARES
EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS GEOGRAFICAS
EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO
θ),(A A
Ay), (AxA
)j Ay i (AxA
Rumbo),(A A
AuA.A
EJERCICIO Nº 11)Expresar el vector . En:a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.
)º01,122;43,9(
º99,575
8
43,9)8()5(
);()
1
22
cmA
tg
cmA
AAa
)85() jiAb
)º01,32;43,9() ONcmAc
jicm
cmjiu
A
Au
jicmAd
A
A
85,053,043,9
)85(
)85,053,0(43,9)
cm)8;5(A
DATOSAx=-5cmAy= 8cm
57,99º
Expresar el vector en: a) Coordenadas geográficas. b) Coordenadas Rectangulares. c) Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.
EJERCICIO Nº 2
)º30;12(
);()
ENcmA
RumboAAa
cmA
cmSencmAy
cmCoscmAx
AyAxAb
)39,10;6(
39,10º60.12
6º60.12
);()
cmjiA
jAyiAxAc
)39,106(
)()
)º60;12( cmA
DATOSA=12cmθ=60º
60º
N
S
EO
jicm
cmjiu
A
Au
jicmAd
A
A
865,05,012
)39,106(
)865,05,0(12)
EJERCICIO Nº 3Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Coordenadas Rectangulares c)Función de su vector base. d) Función de su módulo y unitario.
)º295;10(
);()
mA
AAa
)06,9;23,4(
);()
A
AyAxAb
)º25;10( ESmB
EJERCICIO Nº 4Expresar el vector En: a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y unitario.
)º87,216;5(
);()
cmC
CCa
cmjiCb )34()
)º13,53;5() OScmCc
º87,216
º13,53
.)3;4( cmC
N
S
O
jicm
cmjiu
C
Cu
jicmCd
A
C
6,08,05
)34(
)6,08,0(5)
SUMA VECTORIAL
MÉTODO DEL PARALELOGRAMOy
x
)(5cm;330ºB
E)N40º(4cm;A
MÉTODO DEL POLIGONOy
x
)cmj0,56i(6,90R
)cmj2,50i(4,33B
)cmj3,06i(2,57A
MÉTODO ANALITICOBAR
)64º(6,92cm;4,R
R
RA
A B
B
),33º(6,92cm;85R
EJEMPLO 1
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
)(4cm;120ºD
4)cm (3;C
)cmj7,46 i (R
)cmj3,46 i(-2D
)cmj4 i3 (C
)82,37º 7,53cm; (R
C
D
R
EJEMPLO 2
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
E) 50º N (6m;C
1)m- (-5;B
)120º (8m;A
)mj9,79 i4,4- (R
)mj3,86i(4,60C
)mj- i5- (B
)mj6,93 i4- (A
)m114,20º (10,73m;R
A
B
C
R
R
BA
AB
C
ACTIVIDAD EN CLASE
CBA:REALIZAR
2)cm- (6;C
O)N15º(5cm;B
)20º (4cm;A
METODO PARALELOGRAMO
METODO ANALITICO
)cmj4,19 i8,47 (R
)cmj2 - i6 (C
)cmj4,82 i1,29- (B
)cmj1,37 i3,76 (A
)26,32º (9,45cm;R
A
B
C
R
PROBLEMADeterminar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno de la figura. Solución: ( N.
F2=72N
F1=45N
25º
30º
MENU PRINCIPAL
) 55º (72N;F
)25º (45N;F
2
1
) j 78 i(82,08 R
) j58,98i(41,30F
)j19,02 i(40,78F
2
1
) 43,54º (113,23N; R
35º
F2=80N
RESTA VECTORIAL
METODO PARALELOGRAMO
EJEMPLO
METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
)Kmj2,06i(10,5D
)Kmj6,06i(3,5B
)Kmj4 i7 (A
)120º (7Km;B
4)Km 7; (A
)B(-AB-A
)349º (10,70Km;D
A
B
D
B- D
PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
jkAyikAxAk
)jAyik(AxAk
x
A
Dado el vector y el vector Hallar: a) b)
)(18kgf;71ºA
)kgfj6i(-14B
B2A3
B5A2
)kgf j63,06 i10,42- (B2A3
)kgf j12 i28- ( )j6 i2(-14B2
)kgfj51,06i(17,58)j17,02i3(5,86A3
)kgfj4,02i(81,72B5A2
x
A
EJEMPLO 1
PRODUCTO ESCALAR
MENU PRINCIPAL
x
y
BBB
BB
μμAA
μA.Cosθ.AA.B
B.ACosθ
Ay.ByAx.BxB.AAB.CosθB.A
B.A de proyeccion c)La .By A por formado angulo b)El .B.A producto a)El
Calcular E);N20º(18Km;B (12;9)Km;A
: vectoressiguientes los Dado
EJEMPLO
2226.11KmB.A
(9)(16,91) 12)(6,16)B.A
1)Km(6,16;16,9B )(18km;70ºB
12;9)Km (Aa)
(
33,13ºθ
0.837415Km.18Km226.11km
Cosθ
A.BB.A
b)Cos θ
2
)kmj11,80i(4.30A
)18
j16,91i6,16(,13º15km.Cos33A
uA.Cosθ.Ac)
B
B
BB
A
B
PRODUCTO VECTORIAL
MENU PRINCIPAL
y
x
z
ϴ
CBA
AB
C
kAy.Bx)Ax.BykByBx
AyAxBA
(
k A.B.SenθBA
MENU PRINCIPAL
EJEMPLO
vectores. dos los por ocomprendid angulo c)El
vectores dos los por formada area b)El
;BAa)
:Hallar )Km; j24 i(-18BO); 32º S (40Km;A :vectores los Dado
x
y
2
)92,33)(18()24)(20,21(2418
92,3320,21
(
kmk1119,36-BA
kkBA
kAy.Bx)Ax.BykByBx
AyAxBAa)
2
2
1119,36km
Area
k1119,36-Area
BA amoParalelogr b)Area
km
68,88º
(0,9328)Senθ 1
3040
1119,36-Sen
A.B
BAc)Sen
A
B
68,88º
VECTOR POSICION
MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t, elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, trazamos el vector , que une el origen del sistema de referencia con el punto A.
TRAYECTORIA
jrirr yxA
Ar
VECTOR POSICION RELATIVA
MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa.
TRAYECTORIA
jrirr
jrirr
yxB
yxA
22
11
Ar
Br
A(x1,y1)
B(x2,y2)
BAA/B rrr
A(4, -5)
B(-8, 3)
x
y
MENU PRINCIPAL
j3i8r
j5i4r
B
A
EJEMPLO 1
ji
812
A/B
B
A
BAA/B
r
j3i8r-
j5i4r
rrr
42,14
)8(12 22
A/B
A/B
r
r
Sea A(4, -5) y B(-8,3)Determinar:a)La posicion de A con respecto a Bb) La distancia entre A y B.
Ar
Br
A/Br
Una Persona camina 550 m. hacia el este de un centro médico y luego 250m. Al S 30° E. Determinar: a) La posición final de la persona, b) La distancia de la persona al centro médico c) La dirección de la posición final.
) (250m;300ºr
)0º (550m;r
2
1
)mj216,51i(675r
m) j216,51-i(125r
)mj0 i(550r
f
2
1
m87,708fb)r
E 72,22º c)S
N
S
EO1r
2r
fr
EJEMPLO 1
) ES30º(250m;r
E) (550m;r
2
1
N
S
EO
La Pieza dental Nº 21 esta a 35mm ; N27ºO. De la pieza nº 27 y la pieza dental Nº 14 esta a 26mm ; S48ºO. de la pieza dental Nº21. DeterminarLa posición vectorial de la pieza dental Nº 14 con respecto a la Nº 27
EJEMPLO 2
Nº 21 A(35mm ; N27ºO) de la nº 27 Nº 14 B(26mm ; S48ºO) de la nº21.Determinar la posición vectorial de la Nº 14 con respecto a la Nº 27
N
S
EO 27
21
14
jir
81,1320,352114
Un Turista sale del Hotel donde se hospeda, camina 100 m. hacia el este y 75m. N20ºE. Seguidamente sale el guía 50m. Al N 60ºO y 200m N 50° E. Determinar la distancia del Guía al Turista.
ACTIVIDAD EN CLASE
)48,7070,25( ji
) EN20º(75m;r
)j0i(100E) (100m;r
T2
T1N
S
E
O
T1r
T2r
G1r
G2r
) EN50º(200m;r
O)N60º (50m;r
G2
G1
G2G1G rrr
Sol. 84,57m
ji
48,7070,125
T
T2T1T
r
rrr
G2G1G rrr
GTT/G rrr
Dados los puntos A (1, 4); B (-5, 2) y C (-4, -3), determinar: a) Los vectores posición de cada punto, b) El perímetro del triángulo ABC, c) El área del triangulo. d)Los ángulos del triángulo ABC.
A
B
C
j2i5r
j4ir
B
A
Ar
Br
A/Br
ji
26
A/B
B
A
BAA/B
r
j2i5r-
j4ir
rrr
33,6
26 22
A/B
A/B
r
r
1.- Determinar la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre el perno A
F1=55 N
F2=40 N
35º
30º ) 35º (40N;F
)65º (55N;F
2
1
Un avión recorre 2500km. hacia el Oeste de su base y luego 1500km. al N 30° O. Determinar: a) La posición final del avión, b) La distancia del avión a la base c) La dirección de la posición final.
O1r
2r
fr
O)N68,21º(3500km;r
)8,21º(3500km;15r
9,04)km(-3250;129r
f
f
f
base la de Oc)N68,21º
b)3500km