Procesamiento Digital de
Senales
Ing. Biomedica, Ing. Electronica
e Ing. en Telecomunicaciones
Capitulo II
Senales y Sistemas en
Tiempo Discreto
D.U. Campos-Delgado
Facultad de Ciencias
UASLP
Enero-Junio/2019
1
CONTENIDO
Senales en Tiempo Discreto
Sistemas en Tiempo Discreto
Analisis de Sistemas Discretos Lineales e
Invariantes en el Tiempo (LIT)
Sistemas en Tiempo Discreto Descritos por
Ecuaciones en Diferencias
Implementacion de Sistemas Discretos
Correlacion de Senales en Tiempo Discreto
2
Senales en Tiempo Discreto
• Senales Elementales en Tiempo Discreto
⇒ Impulso unitario
δ[n] =
{
1 n = 00 n 6= 0
De tal manera, que para cualquiera senal dis-
creta x[n] se cumple
x[n] =∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k]
⇒ Escalon unitario
u[n] =
{
1 n ≥ 00 n < 0
⇒ Rampa unitaria
ur[n] =
{
n n ≥ 00 n < 0
3
−10 −5 0 5 10 150
0.5
1
δ [n
]
−10 −5 0 5 10 150
0.5
1
u[n
]
−10 −5 0 5 10 150
5
10
15
ur[n
]
n
⇒ Senal exponencial
x[n] = αn ∀n ∈ Z
Si α ∈ R entonces x[n] ∈ R para cada instante
n, donde para |α| < 1 la senal decrece mono-
tonicamente hacia cero, y en caso contrario
|α| > 1 crecera.
Ademas si α < 0 entonces x[n] tendra un patron
alternante.
0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x[n
]
0<α<1
n0 5 10 15 20
0
20
40
60
80
100
x[n
]
α > 1
n
0 5 10 15 20−1
−0.5
0
0.5
1
x[n
]
−1<α<0
n0 5 10 15 20
−100
−50
0
50
100
x[n
]
α < −1
n
Si α ∈ C entonces α = rejθ (2 parametros) y
en consecuencia
x[n] = rnejnθ = rn (cosnθ + j sennθ)
= rn cosnθ︸ ︷︷ ︸
xR[n]
+j rn sennθ︸ ︷︷ ︸
xI[n]
o
|x[n]| = rn & ∠x[n] = nθ
Observar que si r < 1 la senal x[n] converge a
cero conforme n crece, y si r > 1 la senal crece
indefinidamente, aunque con un perfil oscilato-
rio.
0 5 10 15 20−1
−0.5
0
0.5
1
xR
[n]
|α|<1
n
0 5 10 15 20−0.5
0
0.5
1
xI[n
]
|α|<1
n
0 5 10 15 20−20
−15
−10
−5
0
5
10
xR
[n]
|α|>1
n
0 5 10 15 20−10
−5
0
5
10
15
xI[n
]
|α|>1
n
• Clasificacion de las Senales Discretas
⇒ Senales de Energıa o Potencia Finita: para
una senal discreta, se define su energıa
E ,∞∑
n=−∞
|x[n]|2
Si E < ∞, entonces x[n] se le denomina de
senal de energıa.
Definir la potencia promedio de x[n]
P , lımN→∞
1
2N +1
N∑
n=−N
|x[n]|2
Si P < ∞, entonces x[n] se le denomina de
senal de potencia.
Observar que si para una senal x[n] se cumple
E < ∞, entonces P = 0, es decir todo senal de
energıa es tambien una senal de potencia!!.
⇒ Senales de Periodicas o Aperiodicas: una
senal x[n] es periodica si ∃N > 0 tal que satis-
face
x[n+N ] = x[n] ∀n ∈ Z
Si ∄N > 0 con esta propiedad, entonces x[n] se
le llama aperiodica.
Observar que toda senal periodica es una senal
de potencia !!
⇒ Senales de Simetricas (Pares) o Antisimetri-
cas (Impares): una senal real discreta x[n] se
le llama simetrica (par) si cumple
x[n] = x[−n] ∀n ∈ Z
y se le llama antisimetrica (impar) si
x[n] = −x[−n] ∀n ∈ Z
Toda senal discreta x[n] puede representarse
como una suma de una senal par xe[n] y otra
impar xo[n]:
xe[n] =1
2(x[n] + x[−n])
xo[n] =1
2(x[n]− x[−n])
∴ x[n] = xe[n] + xo[n]
−20 −10 0 10 20−0.5
0
0.5
1
x[n
]
Señal de Enegría
n−20 −10 0 10 20
−1
0
1
y[n
]
Señal de Potencia y Periódica
n
−20 −10 0 10 20−0.5
0
0.5
1
xe[n
]
Señal Par
n−20 −10 0 10 20
−1
0
1
ye[n
]
Señal Par
n
−20 −10 0 10 20−0.5
0
0.5
xo[n
]
Señal Impar
n−20 −10 0 10 20
−1
0
1
yo[n
]
Señal Impar
n
• Procesamiento de Senales Discretas
⇒ Operacion de Retardo: la senal se desplaza
en el tiempo por k unidades, es decir si k > 0
se tiene un retraso y si k < 0 un adelanto.
TDk(x[n]) , x[n− k] k > 0
⇒ Operacion de Reflejo o Dobles: la senal se
refleja con respecto al origen, es decir
FD(x[n]) , x[−n]
Por lo que se observa que
TDk(FD(x[n])) = TDk(x[−n]) = x[−n+ k]
6=
FD(TDk(x[n])) = FD(x[n− k]) = x[−n− k].
es decir la operaciones no son conmutativas !!
Sistemas en Tiempo Discreto
• Descripcion Entrada-Salida: expresion ma-
tematica que explicitamente define la relacion
entre las senales de entrada x[n] y salida y[n]
de un sistema → y[n] = T(x[n]).
Ejemplos:
1. y[n] = x[n− 1],
2. y[n] = 13(x[n+1] + x[n] + x[n− 1]),
3. y[n] = y[n− 1] + x[n],
4. y[n] =∑n
k=−∞ x[n].
4
• Representacion de Diagrama de Bloques:
descripcion grafica de las operaciones basicas
(suma, escalamiento, multiplicacion, retraso y
adelanto unitarios) entre senales discretas.
Ejemplo: dibujar el diagrama de bloques de la
siguiente ecuacion en diferencias
y[n]−1
4y[n− 1] =
1
2x[n] +
1
2x[n− 1]
donde y[n] representa la salida y x[n] la entra-
da.
Solucion: el sistema puede escribirse como
y[n] = 0.25y[n− 1] + 0.5(x[n] + x[n− 1])
por lo que se obtiene
• Clasificacion de Sistemas en Tiempo Dis-
creto
⇒ Estaticos (Sin Memoria): si la salida en cual-
quier instante n depende solo de la entrada en
ese mismo instante, pero no del pasado ni del
futuro.
Ejemplo:
y[n] = a x[n] donde a ∈ R,
y[n] = n x[n] + b x3[n] donde b ∈ R,
y[n] = sat(x[n]) donde sat(·) es la funcion
saturacion.
⇒ Dinamico: si la salida en cualquier instante
n depende de muestras de la entrada en un
intervalo [n−N, n] (N ≥ 0).
Si 0 < N < ∞, el sistema se la llama de memo-
ria finita, y si N = ∞, el sistema tiene memoria
infinita.
Ejemplo:
y[n] = x[n] + 3x[n− 1],
y[n] =∑n
k=0 x[n− k]
⇒ Invariantes en el Tiempo: si la caracteriza-
cion entrada/salida del sistema no cambia con
el tiempo, es decir si y[n] = T(x[n]), T es in-
variante en el tiempo, y[n− k] = T(x[n− k]).
En cualquier otro caso, T es variante en el
tiempo.
Ejemplo:
y[n] = T(x[n]) = x[n]−x[n−1] → invariante
en el tiempo,
y[n] = n x[n] → variante en el tiempo.
⇒ Lineal y No-lineal: un sistema T es lineal, si
y solo si, cumple
T{a1x1[n]+a2x2[n]} = a1T{x1[n]}+a2T{x2[n]}
para cualquier par de senales discretas x1[n] y
x2[n], y a1, a2 ∈ R. Si T no cumple esta condi-
cion es no-lineal.
Ejemplo:
y[n] = T(x[n]) = n x[n] → lineal,
y[n] = (x[n])2 → no-lineal
y[n] =∑n
k=0 h[n− k]x[k] → lineal.
⇒ Causal y No-causal: un sistema se llama cau-
sal, si la salida en cualquier instante n depende
solo de la entrada presente y pasadas, pero no
depende de entradas futuras.
En cualquier otro caso, el sistema se llama no-
causal.
Ejemplo:
y[n] = x[n]− x[n− 1] → causal,
y[n] = x[n2] → no-causal.
⇒ Estable e Inestable: un sistema se llama es-
table de entrada-acotada y salida-acotada (BI-
BO), si y solo si, para cualquier entrada acota-
da produce una salida acotada, es decir ∃Mx,My >
0 tal que ∀n ∈ Z
|x[n]| ≤ Mx < ∞ ⇔ |y[n]| ≤ My < ∞
En cualquier otro caso, el sistema se llama BI-
BO inestable.
Ejemplo:
y[n] = 1N
∑nk=n−N x[k] → estable,
y[n] = (y[n− 1])2 + x[n] → inestable.
Sistemas Discretos LIT
• Asumir que la senal de entrada x[n] se repre-
senta por
x[n] =∑
k
ckxk[n]
donde {xk[n]} son senales elementales y {ck}
son constantes.
Asumir que la respuesta para la senales ele-
mentales xk[n] es yk[n], es decir
yk[n] = T(xk[n])
y T representa un sistema lineal e invarian-
te en el tiempo (LIT) sin condiciones iniciales
(y[k] = 0 con k < 0).
⇒ T{ckxk[n]} = ckyk[n]
Por lo que
y[n] = T(x[n]) = T
∑
k
ckxk[n]
=︸︷︷︸LIT
∑
k
ckT{xk[n]} =∑
k
ckyk[n]
5
Seleccionar a las senales elementales
xk[n] = δ[n− k]
y recordar que
x[n] =∞∑
k=−∞
x[k]︸ ︷︷ ︸ck
δ[n− k].
Definir a y[n, k] , h[n, k] = T{δ[n − k]}, que
representa la salida del sistema en impulsos re-
trasados en tiempo.
Por lo que la salida puede expresarse como
y[n] = T{x[n]} = T
∞∑
k=−∞
x[k]δ[n− k]
=︸︷︷︸LIT
∞∑
k=−∞
x[k]T(δ[n− k])︸ ︷︷ ︸
h[n,k]
=∞∑
k=−∞
x[k]h[n, k] =∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k]
ya que T es LIT, y en conclusion se obtiene la
convolucion
y[n] =∞∑
k=−∞
x[k]h[n− k] = h[n] ∗ x[n]
• Propiedades de la convolucion
Ley Conmutativa:
x[n] ∗ h[n] = h[n] ∗ x[n]
Ley Asociativa
{x[n] ∗ h1[n]} ⋆ h2[n] = x[n] ∗ {h1[n] ∗ h2[n]}
Ley Distributiva
x[n]∗{h1[n]+h2[n]} = x[n]∗h1[n]+x[n]∗h2[n]
Recordar las formulas de las series geometricas
N∑
k=0
rk =1− rN+1
1− r∞∑
k=0
rk =1
1− r|r| < 1
Ejemplo: asumir que la respuesta al impulso de
un sistema LIT esta dada por
h[n] = anu[n] |a| < 1
y considerar una entrada escalon x[n] = u[n],
calcular la salida correspondiente.
Solucion: al aplicar la formula de la convolu-
cion se obtiene
y[n] =∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
=∞∑
k=−∞
aku[k]u[n− k]
=∞∑
k=0
aku[n− k]
=n∑
k=0
ak
∴ y[n]=1− an+1
1− a∀n ∈ Z
−5 0 5 10 15 20 250
0.5
1
n
x[n
]
−5 0 5 10 15 20 250
2
4
6
n
y[n
]
a=0.8
−5 0 5 10 15 20 250
0.5
1
n
y[n
]
a=−0.8
�
• Por otro lado, recordar que un sistema es
causal si su salida no depende de entradas fu-
turas ⇒ Un sistema LIT es causal, si y solo
si, su respuesta al impulso es cero para ındices
negativos de tiempo.
h[n] = 0 ∀n < 0
Este resultado se puede demostrar al observar
que ∀no ∈ Z
y[no] =∞∑
k=−∞
h[k]x[no − k]
= {h[0]x[no] + h[1]x[no − 1] + h[2]x[no − 2] + · · · }
+ {h[−1]x[no +1] + h[−2]x[no +2] + · · · }︸ ︷︷ ︸
=0
y[no] =∞∑
k=0
h[k]x[no − k]
• A partir del concepto de estabilidad BIBO,se tiene que un sistema LIT es estable si surespuesta al impulso es sumable en su valorabsoluto, esto es
∞∑
k=−∞
|h[k]| < ∞
Lo cual puede verificarse al considerar unaestrada x[n] acotada, es decir ∃Mx > 0 tal que
|x[n]| < Mx ∀n ∈ Z
enseguida de la definicion de convolucion
|y[n]| =
∣∣∣∣∣∣
∞∑
k=−∞
h[k]x[n− k]
∣∣∣∣∣∣
≤∞∑
k=−∞
|h[k]||x[n− k]|︸ ︷︷ ︸
≤Mx
≤ Mx
∞∑
k=−∞
|h[k]|
︸ ︷︷ ︸
<∞
Ejemplo: considerar la siguiente respuesta alimpulso de un sistema LIT
h[n] =
{
an n ≥ 0bn n < 0
encontrar las condiciones en a y b para cumplir
estabilidad.
Solucion: primeramente observar que el siste-
ma LIT es no-causal, y enseguida
∞∑
k=−∞
|h[k]| =∞∑
k=0
|ak|+−1∑
k=−∞
|bk|
=∞∑
k=0
|a|k +∞∑
k=0
1
|b|k− 1
Por lo que para garantizar que la respuesta al
impulso sea sumable, se requiere |a| < 1 y |b| >
1. �
• Un sistema LIT se denomina
⇒ FIR o de repuesta al impulso finita si ∃M > 0
tal que h[n] = 0 para todo n < 0 y n ≥ M .
⇒ IIR o de respuesta al impulso infinita si h[n] 6=
0 para todo n > 0.
−5 0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
h[n
]
FIR
−5 0 5 10 15 20 25 30−1
−0.5
0
0.5
1
n
h[n
]
IIR
Ecuaciones en Diferencias
• Cualquier sistema LIT puede ser descrito por
su respuesta al impulso h[n].
Sin embargo, si h[n] es IIR entonces se necesita
el numero infinito de muestras de la entrada
x[n] para calcular la salida y[n].
∴ Para un sistema IIR no es practico utilizar la
convolucion para evaluar la salida ⇒ se puede
utilizar una representacion de una ecuacion en
diferencias o ecuacion recursiva.
Ejemplo:
(1) y[n] =n
n+1y[n− 1] +
1
n+1x[n]
(2) y[n] = ay[n− 1] + bx[n] a, b ∈ Z.
Aunque un sistema causal FIR siempre sera no
recursivo.
6
• Para motivar esta representacion, considerar
la siguiente ecuacion en diferencias
y[n] = ay[n− 1] + x[n] y[−1] 6= 0
calcular la salida para n ≥ 0
y[0] = ay[−1] + x[0]
y[1] = ay[0] + x[1] = a2y[−1] + ax[0] + x[1]
y[2] = ay[1] + x[2] = a3y[−1] + a2x[0] + ax[1] + x[2]...
y[n] = an+1y[−1]︸ ︷︷ ︸
yh[k]
+n∑
k=0
akx[n− k]
︸ ︷︷ ︸
yp[k]
De manera que yh[k] representa la repuesta na-
tural u homogenea, y yp[k] la respuesta forzada
o particular que denota una convolucion con
respuesta al impulso
h[n] =
{
0 n < 0an n ≥ 0
En general, para una ecuacion en diferencias
N∑
k=0
aky[n− k] =M∑
k=0
bkx[n− k] a0 = 1
∴ y[n] = −N∑
k=1
aky[n− k] +M∑
k=0
bkx[n− k]
si {ak} y {bk} son coeficientes constantes, el
sistema asociado con la ecuacion en diferencias
es LIT !!
• Dado una ecuacion en diferencias con coefi-
cientes constantes, ¿como obtener y[n] n ≥ 0
dados x[n] y un conjunto de condiciones inicia-
les?
Considerar que la salida y[n] tiene 2 compo-
nentes
y[n] = yh[n] + yp[n]
• Para calcular la parte homogenea considerar
que x[n] = 0 n ≥ 0
N∑
k=0
akyh[n− k] = 0
y asumir que la solucion tiene una forma expo-
nencial yh[n] = λn
N∑
k=0
akλn−k = 0 ⇒ Polinomio Caracterıstico
Tomar a {λ1, . . . , λN} como las raıces del po-
linomio, y se construye la salida homogenea
como una combinacion lineal de las formas ex-
ponenciales
yh[n] = C1λn1 + . . .+ CNλnN
Finalmente los coeficientes {Ci} se calculan
con base a N condiciones iniciales.
• La salida particular yp[n] debe satisfacer
N∑
k=0
akyp[n− k] =M∑
k=0
bkx[n− k] a0 = 1
y se considera que yp[n] toma la forma par-
ticular de la entrada x[n], es decir si x[n] es
exponencial entonces yp[n] tiene un patron ex-
ponencial, o si x[n] es sinusoidal entonces yp[n]
tiene un perfil sinusoidal.
Ejemplo: determinar la solucion homogenea de
la siguiente ecuacion en diferencias
y[n]−3y[n−1]−4y[n−2] = 0 y[−2] = 0, y[−1] = 5
Solucion: al proponer yh[n] = λn y sustuir se
obtiene
λn − 3λn−1 − 4λn−2 = 0
⇒ λ2 − 3λ− 4 = (λ− 4)(λ+1) = 0
con raıces λ1 = 4 y λ2 = −1, por lo que la
solucion homogenea tiene la forma
yh[n] = C1(4)n + C2(−1)n
Al evaluar en las condiciones iniciales
yh[−2] = C1(4)−2 + C2(−1)−2 = 0
yh[−1] = C1(4)−1 + C2(−1)−1 = 5
se tiene que C1 = 16 y C2 = −1, y por lo que
yh[n] = 16(4)n−(−1)n = (4)n+2+(−1)n+1 n ≥ 0
�
• En el caso de que x[n] = δ[n] (x[n] = 0 para
todo n > 0), por lo que
yp[n] = 0
Por lo que la respuesta del sistema para un
impulso consiste en la solucion de la ecuacion
homogenea, donde los coeficientes {Ci} se cal-
culan a partir de las condiciones iniciales aso-
ciadas con el impulso de entrada y asumien-
do que el sistema esta inicialmente en reposo
(y[−n] = 0 n ≥ 0).
Ejemplo: determinar la respuesta al impulso
h[n] para la ecuacion en diferencias
y[n]− 3y[n− 1]− 4y[n− 2] = x[n] + 2x[n− 1]
Solucion: de un ejemplo anterior se habia cal-
culado la respuesta homogenea, por lo que
yh[n] = C1(4)n + C2(−1)n n ≥ 0
Las condiciones iniciales asociadas con el im-
pulso son
y[0] = 3 y[−1]︸ ︷︷ ︸
=0
+4 y[−2]︸ ︷︷ ︸
=0
+x[0]︸ ︷︷ ︸
=1
+2x[−1]︸ ︷︷ ︸
=0
= 1
y[1] = 3 y[0]︸ ︷︷ ︸
=1
+4 y[−1]︸ ︷︷ ︸
=0
+x[1]︸ ︷︷ ︸
=0
+2x[0]︸ ︷︷ ︸
=1
= 5
Por lo que se debe cumplir
y[0] = C1 + C2 = 1
y[1] = 4C1 − C2 = 5
⇒ C1 = 6/5 y C2 = −1/5, y en consecuencia
h[n] =
(6
54n −
1
5(−1)n
)
u[n].
�
• Ya que la solucion homogenea tiene la si-
guiente estructura
yh[n] =N∑
k=1
Ckλnk
donde {λk} son la raıces del polinomio carac-
terıstico y {Ck} son constantes, la respuesta al
impulso de un sistema LIT causal tendrıa la
forma
h[n] =
N∑
k=1
Ckλnk
u[n]
y en consecuencia
∞∑
n=−∞
|h[n]| =∞∑
n=0
∣∣∣∣∣∣
N∑
k=1
Ckλnk
∣∣∣∣∣∣
≤∞∑
n=0
N∑
k=1
|Ckλnk |
≤N∑
k=1
|Ck|∞∑
n=0
|λk|n
Es decir si las raıces cumplen |λk| < 1 ∀k en-
tonces se satisface
∞∑
n=0
|λk|n < ∞
∴∞∑
n=−∞
|h[n]| < ∞
y se garantizarıa estabilidad BIBO !!
Un sistema LIT causal es estable BIBO, si
y solo si, todas las raıces del polinomio ca-
racterıstico tienen magnitud menor a uno
(se encuentran dentro del circulo unitario
en el plano complejo).
Implementacion Discreta
• La implementacion es otro parametro para
un sistema discreto asociado con costos, limi-
taciones de hardware, de tamano y precision.
• Considerar un sistema de primer orden IIR
y[n] = −a1y[n− 1] + b0x[n] + b1x[n− 1]
que puede implementarse en diagrama de blo-
ques en 2 formas: (a) forma directa I y forma
directa II.
7
• Forma Directa I: se puede interpretar como
2 sistemas LIT en cascada.
• Forma Directa II: requiere menos memoria.
• Para una ecuacion en diferencias general
y[n] = −N∑
k=1
aky[n− k] +M∑
k=0
bkx[n− k]
se tendrıan las siguientes implementaciones pa-
ra ambas formas, donde se asume que N ≥ M .
• Mientras tanto, un sistema LIT FIR puede
expresarse por un sistema no-recursivo:
y[n] = b0x[n]+ · · ·+bMx[n−M ] =M∑
k=0
bkx[n−k]
Correlacion de Senales Discretas
• Correlacion: medida del nivel de similitud en-
tre 2 senales, y con aplicaciones en radares, so-
nares, comunicaciones digitales, geologıa, etc.
En el caso de un radar, considerar que la senal
transmitida es x[n] y la senal recibida es y[n]
que se puede modelar como
y[n] = Ax[n− α] + w[n] ∀n ∈ Z
donde A representa la atenuacion por el me-
dio de propagacion, α el retraso asociado al
recorrido de la senal, y w[n] es ruido normal.
8
Objetivos: (a) Detectar si existe un objeto en
la lınea de vista, en caso de no existir ⇒ y[n] =
w[n]; (b) Calcular la distancia al objeto (deter-
minar el valor de α) ⇒ correlacionar las senales
x[n] y y[n] !
• Se definen entonces las siguientes funciones
que generan nuevas senales discretas
⇒ Correlacion cruzada
rxy[n] =∞∑
k=−∞
x[k]y[k − n] n ∈ Z
=∞∑
k=−∞
x[k + n]y[k]= x[n] ∗ y[−n]
y observar que
ryx[n] =∞∑
k=−∞
y[k]x[k − n] =∞∑
k=−∞
y[k + n]x[k]
∴ rxy[n] = ryx[−n]
En consecuencia, rxy y ryx proveerıan la mis-
ma informacion acerca de las similitudes entre
ambas senales x[n] y y[n].
⇒ Auto-correlacion
rxx[n] =∞∑
k=−∞
x[k]x[k − n] n ∈ Z
=∞∑
k=−∞
x[k + n]x[k]= x[n] ∗ x[−n]
⇒ Propiedades de la Correlacion Cruzada y
Auto-correlacion:
(a) |rxy[n]| ≤√
rxx[0]ryy[0] =√
ExEy ∀n ∈ Z
(b) |rxx[n]| ≤ rxx[0] = Ex
(c) rxy[n] = ryx[−n] y rxx[n] = rxx[−n]
⇒ Auto-correlacion y correlacion cruzada nor-
malizada
ρxx[n] =rxx[n]
rxx[0]∀n ∈ Z
ρxy[n] =rxy[n]
√
rxx[0]ryy[0]
y como resultado
|ρxx[n]| ≤ 1 & |ρxy[n]| ≤ 1 ∀n ∈ Z
Ejemplo: calcular la auto-correlacion de la senal
x[n] = anu[n] 0 < a < 1
Solucion: aplicando directamente la formula
para n ≥ 0:
rxx[n] =∞∑
k=−∞
x[k]x[k − n] =∞∑
k=0
akak−nu[k − n]
=∞∑
k=n
akak−n = a−n∞∑
k=n
a2k
= a−n
∞∑
k=0
a2k −n−1∑
k=0
a2k
= a−n
{
1
1− a2−
1− a2n
1− a2
}
∴ rxx[n] =a−na2n
1− a2=
an
1− a2
Pero para n < 0
rxx[n] =∞∑
k=0
akak−nu[k − n]
=∞∑
k=0
akak−n = a−n∞∑
k=0
a2k
∴ rxx[n] =a−n
1− a2
Por lo tanto, al considerar las soluciones para
n ≥ 0 y n < 0 se obtiene que
rxx[n] =a|n|
1− a20 < a < 1
donde rxx[0] =1
1−a2= Ex. �
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[n
]
a=0.8
−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
n
r xx[n
]
• Finalmente, si las senales x[n] y y[n] provie-
nen de la entrada y salida de un sistema LIT,
es decir
y[n] = h[n] ∗ x[n]
donde h[n] es la respuesta al impulso, y en con-
secuencia
ryx[n] = y[n] ∗ x[−n]
= (h[n] ∗ x[n]) ∗ x[−n]
= h[n] ∗ rxx[n]
Ademas
ryy[n] = y[n] ∗ y[−n]
= (h[n] ∗ x[n]) ∗ (h[−n] ∗ x[−n])
= (h[n] ∗ h[−n]) ∗ (x[n] ∗ x[−n])
∴ ryy[n]= rhh[n] ∗ rxx[n]
donde rhh[n] la auto-correlacion de la respuesta
al impulso existe si el sistema LIT es estable, y
la energıa de la salida Ey puede calcularse por
Ey = ryy[0] =∞∑
k=−∞
rhh[k]rxx[k]
es decir en funcion de la auto-correlaciones de
h[n] y x[n].
Tarea # 2
Problema del Libro de Texto (Tratamiento Di-
gital de Senales, Proakis y Manolakis, 4a Edi-
cion, Prentice-Hall):
2.7 (a), (d), (g) (j) (pag. 116)
2.19 (pag. 119)
2.21 (a), (b) (pag. 120)
2.30 (pag. 121)
2.39 (pag. 123)
2.48 (a), (b) (pag. 124)
2.51 (a)-(e) (pag. 125).
9
2.65 (pag. 128)
2.66 (pag. 129).