Download - Movimiento Unidimensional (Cinemática)
Universidad Autónoma de Zacatecas
Unidad Académica PreparatoriaMaterial Didáctico
CinemáticaUnidimensional
YBidimensional
Curso de Física IBloque II: Identifica las diferencias entre los diferentes tipos de movimiento que existen en la Naturaleza
Unidad de Trabajo 4: Movimiento en una DimensiónObjetivo de Unidad:Identificara los conceptos cinemáticas, como la posición, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, mediante la observación de las características de los patrones de movimiento.
4.1.- Introducción (Cinemática, Modelo de Partícula)4.2.- Conceptos cinemáticos
Sistema de ReferenciaTrayectoriaPosición, Distancia y DesplazamientoVelocidad y RapidezAceleración
4.3- Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)Gráficas x-t, v-t,
4.4.-Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado o Acelerado (M.R.U.V.) Gráficas v-t, a-tEcuaciones del MRUVCaída Libre
sm
fx
ix
ix
fx
4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)
sm
fx
ix
ix
fx
1) Si lanzamos una mirada a nuestro alrededor, nos percataremos de que vivimos en un mundo en constante movimiento.
2) http://wwwmisguiasdematematicas.blogspot.mx/p/5-caida-libre.html
4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)
sm
fx
ix
ix
fx
La Mecánica es la rama de la física clásica que estudia el movimiento y el equilibrio (reposo) de los cuerpos sólidos y fluidos. La mecánica se divide en Cinemática, Dinámica y Estática
Los conceptos de movimiento y reposo tienen un carácter relativo, es decir, que requieren de un sistema de referencia. “Un mismo objeto puede estar en movimiento respecto a un segundo objeto y a la vez en reposo respecto a un tercer objeto”
4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)
sm
En física se dice que un cuerpo esta en movimiento con respecto a otro cuando su posición respecto a este cuerpo cambia con el transcurso del tiempo.
Pero si la posición de un cuerpo con respecto a otro no cambia al transcurrir el tiempo decimos que ese cuerpo se encuentra en reposo
4.1. Introducción( Cinemática, Movimiento, Concepto de partícula)
sm
La Cinemática es una de las ramas de la mecánica, que estudia las diferentes clases de movimiento (translacional, rotacional y vibracional), sin atender las causas que lo producen.
Concepto de Partícula:En el estudio del movimiento de un cuerpo puede ser variado y complejo, por las dimensiones o por su manera de moverse, para evitar estas complicaciones se considera a los cuerpos como partículas. Una partícula es un cuerpo de dimensiones muy pequeñas, se podría considerar un punto en el espacio.
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática1 ) Un Sistema de Referencia: es cualquier cuerpo (objeto) o punto que se seleccione para describir la posición o el movimiento de otros cuerpos. Se recomienda el plano de coordenadas cartesianas por su facilidad.En un sistema de referencia se recomienda que los ejes positivos se orienten en la dirección del movimiento del objeto.
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática2 ) El concepto de Trayectoria.- es la línea que describe un objeto
durante su movimiento.
sm
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática3 ) La Posición de un objeto - Para definir la posición de un objeto o
partícula, se elige un sistema de coordenadas cartesianas, de tal modo que uno de sus ejes coincida con la trayectoria del objeto; así la posición inicial (Xi ó X0) de éste queda definida por la distancia que existe entre el objeto y el Origen. La mayoría de las veces la posición inicial del objeto coincide con el origen del sistema de coordenadas.
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática4) La distancia (d).- Es una magnitud escalar, y se define como la medida
(en unidades de longitud) de la trayectoria.
sm
)1(...321 nTotal ddddd
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.2. Conceptos de la Cinemática
sm
5) El desplazamiento ( Δx ).- Nos indica el cambio de posición que sufre un objeto, surge de la unión (mediante una flecha) de la posición inicial ( X i )a la posición final (Xf). Es una magnitud vectorial y sus unidades son de longitud, se representa por medio de un vector. Matemáticamente se representa:
http://www.educaplus.org/play-292-Distancia-y-desplazamiento.html
)2()( if xxx
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.)Es una de los movimientos mas simples, este movimiento se presenta cuando un objeto que viaja en trayectoria recta, mantiene su velocidad constante.
Características de un móvil con este tipo de movimiento MRU:1) Su velocidad es constante; Indica que si el valor de la velocidad de un móvil es de 80km/h, durante todo el recorrido tendrá esta valor sin cambiar.
2) El objeto o móvil en movimiento, recorre distancias iguales en tiempos iguales; si un móvil recorre 90 km en una hora, recorrerá otros 90 km en la siguiente hora.
3) La velocidad y el desplazamiento tienen la misma dirección y sentido. Hacia donde se dirige el móvil, se dirige su velocidad.
4) La magnitud del desplazamiento, no siempre coincide con la distancia recorrida.
5) La magnitud de la velocidad no siempre coincide con la rapidez.
xi xf
dT
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U. Conceptos de la Cinemática6) La velocidad ( v ).- Cuando se habla de velocidad se refiere a la
rapidez del cuerpo, su dirección y el sentido en que se mueve. La velocidad se define como el desplazamiento o el cambio de posición (Δx) que experimenta un cuerpo en función del tiempo (Δt), además es una magnitud vectorial. Sus unidades en el S.I. son: Matemáticamente se expresa:
sm
)3(
if
if
tt
xx
tx
v
Donde:v es la velocidad en (m/s)Δx (xf – xi) es el desplazamiento e ó el cambio de posición (m)Δt (tf – fi) es el cambio en el r r tiempo (s)
sm
tx
v
vv> 0
v
< 0
= 0
0
x
tX vs t
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U. Conceptos de la Cinemática6.1) La velocidad ( v ).-En una grafica posición-tiempo (X - t), mediante el uso de la ecuación de la
pendiente de una línea recta, es posible obtener el modulo y dirección de este vector de velocidad. Sus unidades en el S.I. son (m/s).α ˃ ˂Φ
1. Cuando la línea tangente forma un ángulo (Φ) menor a 90°, entonces v > 0 , es decir positiva
2. Cuando la línea tangente tiene un ángulo mayor de 90° y menor de 180°, entonces v < 0 , es decir negativa.
3. Cuando la línea tangente es horizontal, es decir, que no tiene inclinación, entonces,
Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentido del vector velocidad
fx ix>
<fx ixfx
v = 0
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U. Conceptos de la Cinemática7) La velocidad media ( vm ).-Es importante mencionar que la velocidad media se presenta cuando en un
intervalo de tiempo, la velocidad varía. Por tanto, ésta se obtiene dividiendo el módulo del desplazamiento ( Δx ) entre el tiempo empleado en lograrlo.
sm
)4(
if
if
m tt
xx
t
xv
)5(2
fip
vvv
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U. Conceptos de la Cinemática8) La rapidez (v).- Es el modulo o magnitud del vector velocidad, se define
como la distancia total recorrida por el móvil, dividida por el tiempo empleado en recorrerla. Sus unidades en el (S.I.) son m/s y matemáticamente se expresa:
sm
)6(td
v
Donde: v es la rapidez (m/s)d es la distancia total recorrida por el móvil (m)t es el tiempo empleado para recorrer la distancia (s)
sm
td
v
Ejemplo: Con los datos del desplazamiento de un móvil en función del tiempo, se obtuvo la siguiente gráfica de (X vs t)
A0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
1020304050
-10-20-30
x(cm)
B
C
D E
F
GX vs t
4.3.1 M.R.U. Graficas (X vs t) y (V vs t)
http://www.educaplus.org/play-125-MRU-Gr%C3%A1fica-e-t.html
Movimiento con velocidad media y velocidad contante
Para comprender estas situaciones en donde se presentan varias velocidades, resolvemos el siguiente modelo ilustrativo:
A0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
t(s)
10
20
30
40
50
-10
-20
-30
x(cm)
B
C
D E
F
G
X vs t
Análisis del gráfico (X vs t)
1. En x = 0, t = 0 inicia el movimiento2. Entre t=0 y t=2s la velocidad es variable, por lo
que debemos obtener su velocidad media en ese intervalo, es decir:
3. En el intervalo de t=2s a t=5s, la velocidad permanece constante ya que la línea es recta. Por tanto, obtenemos la pendiente para obtener la velocidad, es decir:
4. En el intervalo de t=5s a t=6s, la pendiente es hacia abajo y obtenemos la velocidad para ese intervalo, es decir, el objeto se regreso:
sm
ssmm
ttt
xv
if
if
m
xx10
02020
20
sm
sm
ssmm
ttxx
vif
if 10330
25)20(50
52
sm
sm
ssmm
ttxx
vif
if 20120
56)50(30
65
4.3.1 (M.R.U.) Graficas (X vs t)
A-B
B-C
C-D
xi
xf
tfti
Continuación del ejemplo…5. En el intervalo de t=6s a t=8s el móvil permanece en
reposo, es decir, no existe pendiente en la línea recta y es por esto que es horizontal. Por consiguiente, aplicamos la ecuación de la pendiente y resulta que:
6. En el intervalo de t=8s a t=10s, el móvil regresa al origen con cierta velocidad que obtenemos con la aplicación de la ecuación de la pendiente y resulta:
7. En el intervalo de t=10s a t=12s, el móvil registra la velocidad que se obtiene con la ecuación de la pendiente en los siguientes términos:
sm
sm
ssmm
ttxx
vif
if 020
68)30(30
86
sm
sm
ssmm
ttxx
vif
if 15230
810)30(0
108
sm
sm
ssmm
ttxx
vif
if 10220
1012020
1210
4.3.1. (M.R.U.) Grafica (X vs t)
D-E
E-F
F-G
Movimiento con velocidad media y velocidad contante
xi-xf
tfti
Continuación del ejemplo…
Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)
A-B 0-2
B-C 2-5
C-D 5-6
D-E 6-8
E-F 8-10
F-G 10-12
10
10
-20
0
-15
-10
4.3.1 (M.R.U.) Grafica (X vs t)8. El desplazamiento del móvil en todo el
movimiento es de -20 cm a la izquierda.
9. La rapidez del móvil del recorrido total.
10.La velocidad media del móvil del recorrido total
11.Con la información de las velocidades obtenida planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de V vs t
xi
xf
mmmxxx if 0.2000.00.20
sm
sm
ss
mm
tt
xx
t
xv
if
if
m 67.10.120.20
00.00.12
00.00.20
smv
smmmmm
v
tddddd
td
v T
0.10
0.120.200.300.200.300.20
54321
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
V(cm/s)
10
-15
-10
-20
A
AA A
1
23 4
V vs t
A1
A2A3
A4
Vcte
Vcte
Vcte
Vcte
V=0
- La suma algebraica de las áreas A1, A2, A3 y A4 representan el desplazamiento, es decir:
mmmmmx
entodesplazamixAxAxAxAAtotal20)20()30()20(50
)()()()( 44332211
Obtenemos el área (A1) que representa un desplazamiento positivo. Aplicamos la ecuación del área de un rectángulo, sólo que adecuamos los datos :
11 50510 xmssm
tvhbA
Obtenemos el área (A2), (A3) y (A4) que representa un desplazamientos negativos(el objeto va hacia la izquierda o se regreso). Aplicamos la ecuación del área de un rectángulo, sólo que adecuamos los datos :
22 20120 xmssm
tvhbA
33 30215 xmssm
tvhbA
44 20210 xmssm
tvhbA
Analizamos el gráfico V vs t y resulta:
Intervalo de tiempo en (s) Velocidad en (m/s)
A-B 0-2
B-C 2-5
C-D 5-6
D-E 6-8
E-F 8-10
F-G 10-12
10
10
-20
0
-15-10
4.3.1. (M.R.U.) Grafica (V vs t)http://www.educaplus.org/play-126-MRU-Gr%C3%A1fica-v-t.html
4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.Movimientos a velocidad contante
10. Con la información de las aceleraciones obtenida, planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de a vs t
x
t
x vs t
La pendiente de la línearecta, representa a la
velocidad delMovimiento.
td
v
tt
xx
t
xv
tt
xx
tx
v
xxx
T
if
if
if
if
if
xf
xi
tf tf
V vs t
v
Línea rectaque representa a la
velocidad constante
Área = Desplazamientotvxx
xA
if
TT
ftit
v (m/s)
t (s)
4.3.2. Ecuaciones del M. R. U.Movimientos a velocidad contante
Ejemplo conceptual:
Un atleta nada la distancia de 50.0 m en una piscina en 20.0 s y recorre la misma distancia de regreso hasta la posición de salida en 22.0 s. Determine: a) su distancia total recorrida, b) su velocidad media en la primera mitad del recorrido, c) la velocidad media en la segunda mitad del recorrido, d) la velocidad y la rapidez media en todo el recorrido e) el desplazamiento total.
SoluciónEjemplo conceptual:
Datos Formula (s) Sustitución (es) Operación (es) Resultado (s)
xi = 0.00 mti = 0.00 s
xΔ 1 = 50.0 mt1 = 20.0 s
xΔ 2 = 50.0 mt2 = 22.0 sxf = 0.00 mtf = 42.0 sa) dT = ?b) Vm1 = ?c) Vm2 = ?d) VmT = ?e) v = ?f) Δx = ?
Para el a) la ec. 1
Para el b) ,c) y d) la ec. 4.
Para el e) la ec. 6
Para el f) la ec 2
Para el a)
Para el b), c) y d)
Para e) y f)
a) La distancia total recorrida por el nadador fueron 100m…
b) La velocidad media del nadador en el recorrido de ida fueron 2.50 metros por cada segundo transcurrido.c) La velocidad media del nadador en el recorrido de regreso fueron 2.27 metros por cada segundo transcurrido…d) La velocidad media del nadador en el recorrido de ida y de regreso fueron 0.00 metros por cada segundo transcurrido.e) La rapidez del nadador en todo el recorrido es de 2.38 metros por cada segundo transcurridof) El desplazamiento o cambio de posición que tubo el nadador fue 0.00m ya que termino donde comenzó
nT dddd ...21
if
if
m tt
xx
t
xv
td
v
)( if xxx
mmdT 0.500.50
s
mmvm 00.00.20
00.00.501
s
mmvm 00.00.22
00.00.502
s
mmvmT 00.00.42
00.000.0
sm
v0.42
100
)00.000.0( mmx
mmmdT 1000.500.50
sm
sm
vm 50.20.200.50
1
sm
sm
vm 27.20.220.50
1
sm
sm
vm 00.00.4200.0
1
sm
sm
v 38.20.42
100
mmmx 00.0)00.000.0(
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
4.4. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado ó Acelerado. (M.R.U.V.)
En este tipo de movimiento se presenta cuando el objeto se mueve en trayectoria recta pero la magnitud de la velocidad aumenta o disminuye, (la velocidad deja de ser constante), los cambios de la magnitud de la velocidad son los mismos para intervalos de tiempo iguales, a esto se le llama una aceleración constante Δ.
if
if
tt
vva
tv
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U.V Conceptos Cinemáticos9) La aceleración ( a ).- Es la razón del cambio de la velocidad con respecto
al tiempo, la aceleración al ser una razón de cambio, es una medida de que tan aprisa o lento cambia la velocidad de un cuerpo en un determinado tiempo. Es una magnitud vectorial, que tiene la misma dirección que su velocidad, y dirigida en el mismo sentido sí acelera, pero dirigida en sentido contrario si desacelera o frena. Sus unidades en el S.I. son (m/s2). Su expresión matemática es:
)7(
t
vva
if
tv
Donde:a es la aceleración en (m/s2)Δv es el cambio de la velocidad que sufre el cuerpo (m/s)Δt es el cambio en el tiempo (s)
2
1
1sm
ssm
ssm
tv
a
frenado
acelerado
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U.V. Conceptos Cinemáticos9.1) La aceleración ( a ).- En una grafica velocidad-tiempo (V - t), mediante el
uso de la ecuación de la pendiente de una línea recta, es posible obtener el modulo y dirección de este vector de aceleración. Sus unidades en el S.I. son (m/s2)
fv
iva
a> 0
a
< 0
= 0
0
V
tV vs t
iv
iv fvfv
- Cuando la línea tangente forma un ángulo ( Φ ) menor a 90°, entonces a > 0 , es decir positiva
- Cuando la línea tangente tiene un ángulo ( Φ )
mayor de 90° y menor de 180°, entonces a < 0 , es decir negativa.
- Cuando la línea tangente es horizontal, es decir, que no tiene inclinación, entonces,
a = 0
Estas consideraciones establecen la Dirección y Sentidodel vector aceleración
>iv fv>
iv fv
10) La velocidad instantánea es la que registra un objeto en movimiento en un instante dado, es decir:
El módulo o magnitud de la velocidad instantánea es la que registra el instrumento conocido como velocímetro, que realmente debiera nominarse como rapidímetro ya que mide la rapidez del objeto en movimiento en cada instante.
11)El concepto de aceleración en un instante dado se obtiene con la expresión siguiente:
dtdx
txx
tx
v if
ttinst
00limlim
2
2
00limlim
dtxd
dtvd
tvv
tv
a if
ttinst
Cinemática Unidimensional y Bidimensional
M.R.U. Conceptos de la Cinemática
Ejemplo: Con los datos de los cambios de velocidad de un móvil en función del tiempo, se obtuvo la siguiente gráfica de V vs t
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)B
C D
E
F
V vs t
4.4.1. (M.R.U.V.) Graficas (V vs t) (a vs t)
13
http://www.educaplus.org/play-124-MRUA-Gr%C3%A1fica-v-t.html
Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
Para comprender estas situaciones en donde se presenta el cambio de velocidades, resolvemos el siguiente modelo ilustrativo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)B
C D
E
F
V vs t
Análisis del gráfico V vs t
1. En v = 5m/s y t = 0s, inicia el movimiento2. Entre t = 0 y t = 5s la velocidad cambia, por lo
que debemos aplicar la ec. de la aceleración en ese intervalo de tiempo, es decir:
3. En el intervalo de t = 5s a t = 7s, aplicamos la ecuación para obtener la aceleración para ese intervalo, la pendiente es hacia abajo, es decir, desacelera:
(el signo negativo quiere decir que esta desacelerando (frenando)
250
50
00.400.5
0.20
00.000.5
)00.5(0.25
sm
ss
ma
sss
ms
m
ttvv
tv
aif
if
275
75
00.500.2
0.10
00.500.7
)0.25(0.15
sm
ss
ma
sss
ms
m
ttivv
aif
f
4.4.1 (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)
13
A-B
B-C
vi
vf
tfti
Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)B
C D
E
F
V vs t
Análisis del gráfico V vs t 4. En el intervalo de t = 7s a t = 9s, la velocidad
permanece constante ya que la línea es recta. Por lo tanto:
5. En el intervalo de t = 9s a t = 11, la pendiente es hacia abajo, el objeto va frenando. Por lo tanto:
6. En el intervalo de t = 11s a t = 13s, la pendiente es hacia abajo pero del nivel de origen, quiere decir, que el objeto se regreso y va acelerando, solo que se dirige a la izquierda
297
97
00.02
00.0
00.700.9
)0.15(0.15
sm
ss
ma
sss
ms
m
ttivv
aif
f
4.4.1. (M.R.U.V.) Grafica (V vs t)
13
ti
vi- vf
Continuación de ejemplo
C-D
2119
119
50.72
0.15
00.700.9
)0.15(00.0
sm
ss
ma
sss
ms
m
ttivv
aif
f
tf
D-E
21311
1311
0.50.2
10
1113
0.010
sm
ss
ma
sss
ms
m
ttivv
aif
f
E-F
Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
Continuación de ejemplo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)B
C D
E
F
V vs t
7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que representan desplazamientos positivos, visualizando rectángulos y triángulos, para su facilidad. Obtenemos:
8. El área bajo el grafico esta por debajo de la línea del origen, quiere decir que se regreso, por lo tanto representa un desplazamiento negativo.
9.
mms
msA
mms
msA
mms
msvthbA
msmsvtA
msmsvthbA
15230
2
)15)(0.2(
10220
2
)10)(0.2(
502
1002
)20)(0.5(
22
60)15)(0.4(
25)0.5)(0.5(
5
3
2
4
1
mms
msvthbA 10
2
20
2
)10)(0.2(
226
4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)
13
vi
vf
- La suma algebraica de las áreas A1, A2, A3, A4, A5 y A6 representan el desplazamiento total, es decir:
A1
A2
A3
A4A5
A6
mmmmmmmx
entodesplazamixAAAAAAAreas
90)10(1560105025654321
Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
Continuación de ejemplo:
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12t(s)
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
V(m/s)B
C D
E
F
V vs t
10. Con la información de las aceleraciones obtenida, planteamos la siguiente tabla que nos permitirá construir un gráfico de a vs t
4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (V vs t)
13
Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)
A-B 0-5
B-C 5-7
C-D 7-9
D-E 9-11
E-F 11-13
4.0
-5.0
-0.0
-7.5
-5.0
Δ v,
a (+
) (ac
eler
ando
)
vcte, a (0)
Δv, a (-)
(frenando)
Δv, a (-)
Δ v, a (-)
(acelerando)
Movimiento con velocidad variable, aceleración constante
Continuación de ejemplo:
11. Analizamos el grafico (a vs t)
4.4.1. (M.R.U.V.) Gráfica (a vs t)
Intervalo de tiempo en (s) aceleración en (m/s2)
A-B 0-5
B-C 5-7
C-D 7-9
D-E 9-11
E-F 11-13
4.0
-5.0
0.0
-7.5
-5.0
a cte
a cte
a cte
a cte
a =0
El área bajo la grafica representa la magnitud del cambio de la velocidad
A1
A2A3
A4
sm
smsA
hbAs
ms
ms
mvvv
vA
ifBA
BA
20)0.4)(0.5(
200.525
21
1
1
sm
smsA
hbAs
ms
ms
mvvv
vA
ifCB
CB
10)0.5)(0.2(
102515
22
2
2
4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.) Movimientos con aceleraciones constantes
7. Analizamos las áreas bajo el grafico, que representan desplazamientos positivos, visualizando rectángulos y triángulos, para su facilidad. Obtenemos:
t (s)
v
tf = t
0
v
fv
if
if
ttvv
tv
a
La pendiente de laLínea recta es la
Aceleración constante)8(
)7(0
tavv
tavvtvv
a
if
if
f
Área bajo elGráfico es el
desplazamiento
V vs tti = 0
112
102
2
)2
()(
)2
()(
92
22
2
2
0
ifif
iif
i
f
if
p
xxavv
tatvxx
tatvx
tatvtx
hbhbx
tvvxx
tvx
http://www.educaplus.org/play-238-Graficas-del-movimiento.html
http://www.educaplus.org/play-299-Laboratorio-virtual-de-cinem%C3%A1tica.html
4.4.2. Ecuaciones del (M.R.U.V.) Movimientos con aceleraciones constantes
Ejemplo Conceptual.
Un avión de propulsión a chorro aterriza con una velocidad de 100 m/s y puede acelerar a una razón máxima de -5.00 m/s2 hasta que llegue al reposo, a) ¿En cuánto tiempo alcanza el reposos?, b) ¿Puede aterrizar este avión en el aeropuerto de una pequeña isla tropical donde la pista tiene 0.800 km de largo?
Solución deEjemplo Conceptual.
Datos Formula (s) Sustitución (es)
Operación (es) Resultado (s)
vi = 100 m/sa = -5.00 m/s2
vf = 0.00 m/sa) t = ?b)Δx = ? SíΔx1 = 0.800
km
Para el a) la ec. 7
Se despeja la variable de tiempo.
Para el b) la ec. 11
Despejamos la variable de desplazamiento
Para el a)
Para el b)
Para el a)
Para el b)
a) El tiempo que el avión requiere para llegar al reposos después de aterrizar y frenar constantemente, es de 20 segundos….
b) La distancia que el avión necesita para llegar al reposo después de aterrizar es de 1000m, por lo tanto en la pista de la pequeña isla tropical que es de 0.800 km, NO, es posible aterrizar
t
vva
if
a
vvt
vvta
if
if
ifif
if
xxavv
xavv
2
222
22 2
22
00.52
10000.0
sm
sm
sm
x
200.5
10000.0
sm
sm
sm
t
xavv
xavv
xavv
if
if
if
2
2
2
22
22
22
s
sms
mt
sm
sm
sm
t
0.2000.5
100
00.5
10000.0
2
2
m
sms
mx
sm
sm
sm
x
10000.10
10000
00.52
10000.0
2
2
2
2
22
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
1. Caída Libre y Tiro VerticalTe has puesto a pensar el ¿Por qué los cuerpos al lanzarlos hacia arriba regresan al
suelo?¿Por qué los objetos en la Tierra no flotan como en el espacio?¿Qué objeto cae mas rápido en tocar el suelo, una manzana o una sandia, sí se
dejan caer desde la misma altura y al mismo tiempo?
En la antigüedad, la caída libre de los cuerpo era n tema de interés. Aristóteles afirmaba que los cuerpo caían debido a que su lugar natural era el suelo
y que hacían todo lo posible por llegar a él y que los objetos caían a la Tierra por que anhelaban (enamorados) estar unida a ella. También afirmaba que los cuerpos más pesados caen más rápido que los cuerpos mas ligeros.
http://www.educaplus.org/play-302-Gr%C3%A1ficas-de-la-ca%C3%ADda-libre.html
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
1. Caída Libre y Tiro VerticalDurante siglos duraron las ideas de Aristóteles, hasta que en 1590:Galileo Galilei explico demostrando matemáticamente el movimiento de caída libre
de los cuerpos, afirmando que todos los cuerpos, grandes o pequeños, ligeros o pesados, en ausencia de fricción (debido a la resistencia del aire), caen a la Tierra con la misma velocidad y con una aceleración constante cuando se sueltan desde la misma altura.
Galileo identifico que el movimiento en caída libre de los cuerpos es debido a la aceleración de la gravedad (g), identificándolo como un movimiento rectilíneo uniformemente variado, (M.R.U.V.) vertical con aceleración constante, motivo por el cual la magnitud de la velocidad aumenta en forma constante, mientras la aceleración de la gravedad (g) permanece fija.
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
1. Caída Libre y Tiro VerticalAl hacer la medición de la aceleración de la gravedad (g) en distintos lugares de la
Tierra se ha encontrado que ésta no es igual en todas partes, pues hay pequeñas diferencias debido a la altitud y la región, para fines practicas la magnitud aceptada en el S.I. es de 9.81 m/s2, en el S. Ingles es de 32 ft/s2, su dirección es vertical con sentido hacia abajo (centro de la Tierra), su sentido es hacia los negativos.
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
1. Caída Libre y Tiro VerticalComo es un M.R.U.V., sus ecuaciones son parecidas solo que cambia en algunos
aspectos,En el eje “x” En el eje de la “y”
)8(
)7(0
tavv
tavvtvv
a
if
if
f
112
2
102
2
92
22
22
2
2
0
ifif
if
iif
i
f
if
p
xxavv
xavv
tatvxx
tatvx
tvvxx
tvx)14(
)13(
)12(
0
0
tgvv
tgvv
gvv
t
tvv
g
if
if
f
f
172
2
162
2
152
22
22
2
2
0
ifif
if
iif
i
f
if
p
yygvv
ygvv
tgtvyy
tgtvy
tvvyy
tvy
)2.13(2
)1.13(0
subidadeVuelo
subida
tt
gv
t
yx
ga
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)Caída Libre
Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo, determina la velocidad y la altura en cada segundo, analizaremos el movimiento
1. Datos Iniciales
2. De la formula 14 calculamos la velocidad que lleva a un segundo.
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
if
81.9
)81.9()0.0(
)0.1)(81.9()0.0(
)14(
)0.1(
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.1(
?...?
?...?
?....?
81.9
0.0
0.0
0.0
)0.3()0.3(
)0.2()0.2(
)0.1()0.1(
2
ss
ss
ss
i
i
i
yv
yv
yvs
mg
mys
mv
st
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Caída Libre Ejemplo: En un acantilado un muchacho deja caer una roca, desde el reposo,
encuentra la velocidad en cada segundo y su altura, analizaremos el movimiento3. Con la formula 16, calculamos el
desplazamiento vertical
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
tgtvyy
tgtvy
sf
sf
sf
sf
ssisisf
iif
i
91.4
)91.4()0.0(
2
)0.1)(81.9()0.0(
2
)0.1)(81.9()0.1)(0.0(
2
)16(2
2
)0.1(
)0.1(
22
)0.1(
22
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.1(
2
2
El signo negativo significa que el objeto va de bajada, y se encuentra por debajo del nivel de lanzamiento (se dirige hacia las negativas)
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Caída Libre Ejemplo: Continuando
4. Con la formulas mencionadas, calculamos las demás velocidades y desplazamientos.
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
ssisisf
6.19
)6.19()0.0(
2
)0.4)(81.9()0.0(
2
)0.2)(81.9()0.2)(0.0(
2
)0.1(
)0.1(
22
)0.1(
22
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.2(
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
6.19
)6.19()0.0(
)0.2)(81.9()0.0(
)0.2(
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.2(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Caída Libre Ejemplo: Continuando
5. La roca seguirá cayendo hasta que choque con la superficie y la velocidad seguirá aumentando constantemente
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
ssisisf
2.44
)2.44()0.0(
2
)0.9)(81.9()0.0(
2
)0.3)(81.9()0.3)(0.0(
2
)0.1(
)0.1(
22
)0.1(
22
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.3(
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
4.29
)4.29()0.0(
)0.3)(81.9()0.0(
)0.3(
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.3(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro VerticalEjemplo: Un muchacho lanza una piedra hacia arriba, con una velocidad de impulso
de 29.4 m/s, determina la velocidad y la altura en cada segundo1. La piedra sale con una velocidad de
impulso de la mano del muchacho.Datos iniciales.
?...?
?...?
?...?
0.0
81.9
0.0
0.0
4.29
)0.3()0.3(
)0.2()0.2(
)0.1()0.1(
2
ss
ss
ss
f
i
i
i
yv
yv
yvs
mv
smg
my
sts
mv
2. Lo primero que debemos saber es el tiempo que tarda en subir para poder calcular hasta que velocidad y altura vamos a calcular.
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro VerticalEjemplo: Continuando
3. De la fórmula 13, deducimos el tiempo de subida de la piedra
sst
tt
s
sms
mt
giv
t
gvv
t
devuelo
subidadevuelo
subida
subida
if
0.6)0.3(2
2
0.3)81.9(
)4.29(
2
3. De la fórmula 14, calculamos la velocidad en cada instante de tiempo
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
if
6.19
)81.9()4.29(
)0.1)(81.9()4.29(
)14(
)0.1(
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.1(
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
ssisisf
iif
5.24
)91.4()4.29(
2
)0.1)(81.9()4.29(
2
)0.1)(81.9()0.1)(4.29(
2
2
)0.1(
)0.1(
22
)0.1(
22
)0.1(
2)0.1(
)0.1()0.0()0.0()0.1(
2
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro VerticalEjemplo: Continuando
4. De la fórmula 16, calculamos el desplazamiento vertical en cada segundo del movimiento
5. De la fórmula 14 y 16, calculamos la velocidad y la altura en cada instante de tiempo
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
sssisisf
2.39
)6.19()8.58(
2
)0.4)(81.9()8.58(
2
)0.2)(81.9()0.2)(4.29(
2
)0.2(
)0.2(
22
)0.2(
22
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.0()0.2(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro VerticalEjemplo: Continuando
6. Continuamos con los calículos de la velocidad y la altura en cada segundo del movimiento
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
8.9
)6.19()4.29(
)0.2)(81.9()4.29(
)0.2(
)0.2(
2)0.2(
)0.2()0.0()0.2(
imasf
sf
sf
sf
sssisisf
hmy
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
max)0.3(
)0.3(
22
)0.3(
22
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.0()0.3(
1.44
)1.44()2.88(
2
)0.9)(81.9()2.88(
2
)0.3)(81.9()0.3)(4.29(
2
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro VerticalEjemplo: Continuando
6. Continuamos con los calículos de la velocidad y la altura en cada segundo del movimiento
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
0.0
)4.29()4.29(
)0.3)(81.9()4.29(
)0.3(
)0.3(
2)0.3(
)0.3()0.0()0.3(
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
sssisisf
2.39
)5.78()6.117(
2
)0.16)(81.9()6.117(
2
)0.4)(81.9()0.4)(4.29(
2
)0.4(
)0.4(
22
)0.4(
22
)0.4(
2)0.4(
)0.4()0.0()0.0()0.4(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: ContinuandoΔ
7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro vertical se convierte en un movimiento de caída libre
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
81.9
)2.39()4.29(
)0.4)(81.9()4.29(
)0.4(
)0.4(
2)0.4(
)0.4()0.0()0.4(
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
sssisisf
4.24
)6.122()147(
2
)0.25)(81.9()147(
2
)0.5)(81.9()0.5)(4.29(
2
)0.5(
)0.5(
22
)0.5(
22
)0.5(
2)0.5(
)0.5()0.0()0.0()0.5(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: Continuando
7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro vertical se convierte en un movimiento de caída libre
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
6.19
)1.49()4.29(
)0.5)(81.9()4.29(
)0.5(
)0.5(
2)0.5(
)0.5()0.0()0.5(
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
sssisisf
1.0
)5.176()4.176(
2
)0.36)(81.9()4.176(
2
)0.6)(81.9()0.6)(4.29(
2
)0.6(
)0.6(
22
)0.6(
22
)0.6(
2)0.6(
)0.6()0.0()0.0()0.6(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: Continuando
7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro vertical se convierte en un movimiento de caída libre
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
4.29
)9.58()4.29(
)0.6)(81.9()4.29(
)0.6(
)0.6(
2)0.6(
)0.6()0.0()0.6(
my
mmy
ss
mmy
ss
mss
my
tgtvyy
sf
sf
sf
sf
sssisisf
5.34
)3.240()8.205(
2
)0.49)(81.9()8.205(
2
)0.7)(81.9()0.7)(4.29(
2
)0.6(
)0.6(
22
)0.6(
22
)0.7(
2)0.7(
)0.7()0.0()0.0()0.7(
4.4.3. Movimiento en Caída Libre y Tiro Vertical (movimientos en el eje de las “Y”)
Tiro Vertical y Caída libreEjemplo: Continuando
7. El movimiento de la piedra de ser un Tiro vertical se convierte en un movimiento de caída libre
smv
sm
smv
ss
ms
mv
tgvv
sf
sf
sf
ssisf
3.39
)7.68()4.29(
)0.7)(81.9()4.29(
)0.7(
)0.7(
2)0.7(
)0.7()0.0()0.7(
Cinemática Unidimensional
MovimientoRectilíneoUniformeVariado
MovimientoEn
Caída Libre
MovimientoRectilíneoUniforme
Trayectoria en línea recta y requiere de un Sistema de referencia
Rapidez Constante
t
x vs t
x
Pendientede la línea
recta, representa
a la rapidez delmovimiento
0
if
if
tt
xxv
t
v
v
tt
Línea rectaque representa a laRapidez constante Área = Distancia
tvxx if
v vs t
AceleraciónConstante
if
if
tt
vva
t
v
t
0
v
fv
tavv f
0
La pendiente de laLínea recta es la
Aceleración constante
tvv
a f
0
Área bajo elGráfico es el
desplazamiento
v vs t
0
42
32
22
1
0
2
0
2
2
00
0
0
0
xxavv
tatvxx
tvvxx
tavv
ff
f
f
f
f
Ecuacionesdel
M.R.U.V.
Es debida a la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce a todos los objetos de masa m cercanos a su superficie, y que a la vez
ésta genera un campo uniformemente acelerado
Por tanto, las ecuaciones para la caída libre son las mismas del
MRUV, sólo con algunos cambios en las literales.
82
72
62
5
0
2
0
2
2
00
0
0
0
yygvv
tgtvyy
tvvyy
tgvv
ff
f
f
f
f
28.9sm
g Dirigida al centro
de la Tierra
it ft
ftit
ix
fx