Download - CLASIFICACION Problemas resueltos
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
Problemas resueltosLínea rectaEs una sucesión ilimitada de puntos los cualessiguen una misma dirección.
A B
Notación: AB
Se lee: línea recta "AB"
a
Notación: a
Se lee: línea recta "a"
* Observaciones
- Líneas rectas secantes:
a
b
Punto común
- Líneas rectas paralelas:
mn
m n//
- Rayo:
AO
Notación: OASe lee: Rayo OA.
- Segmento de recta:
BA
Notación: ABSe lee: Segmento de recta "AB".
DEFINICIÓN. Es una línea recta comprendidaentre dos puntos, incluyendo a éstos. Secaracteriza por tener longitud, la cual es unnúmero real positivo.
AXIOMAS, TEOREMAS Y POSTULADOS.
1. AXIOMA“El todo es igual a la suma de sus partes”
A B Cba
AB = a + b
2. POSTULADO“ Si un segmento se divide en dos partes, una
parte es igual al todo menos la otra parte”
A B Cb
a
AB = a – b
3. POSTULADO DEL PUNTO MEDIO:
“ Todo segmento tiene un único punto medio elcual está a igual distancia de los extremos”.
A BM
Punto medio
AM = MB
SECCIÓN ÁUREA: La sección áurea es lamedia geométrica entre el segmento menor y elsegmento total que se determina al tomar unpunto interior en un segmento dado.
A B C
a
x a-x
)(2 xaax 2
5aax
AB es la sección áurea de AC
2
)15( ACAB
Donde:2
15 es llamado número áureo.
Línea quebrada o poligonal
Línea curva
Línea mixta
Problemas resueltosEs la figura geométrica formada por dosrayos que tienen el mismo origen llamadovértice.
A
BO
Región interiordel ángulo AOB
ELEMENTOSLados: OA y OB
Vértice: O
Notación
Ángulo AOB: AOB ó BOA
Medida del ángulo AOB: m AOB
m AOB =
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es aquel rayo ubicado en el interior del ángulo,
cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que
forma con sus lados, ángulos de igual medida.
O
A
B
P
En la figura: OP
Bisectriz del ángulo AOB
O :OP Biseca al AOBEntonces:
º POBMAOPm
CLASIFICACION
I. POR LA MEDIDA ANGULAR
ÁNGULO NULO
θ = 0º
ÁNGULO AGUDOCuando su medida es mayor que 0° y menorque 90°.
θº0º< θ < 90º
ÁNGULO RECTOCuando su medida es igual a 90°.
o
θ=90º
θ
ÁNGULO OBTUSOCuando su medida es mayor que 90° y menorque 180°.
O
θ90º <θ<180º
ÁNGULO CONVEXO 0º < θ <180º
ÁNGULO LLANO O LINEALCuando su medida es igual a 180°.
θ=180º
ÁNGULO DE UNA VUELTA
1V= 360ºÁNGULO CÓNCAVO O NO CONVEXO
180º < θ <360º
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
II. POR LA POSICIÓN DE SUS LADOS
Ángulos consecutivos
o
4 ángulosconsecutivos
A
B
C
D
EO
En la figura los ángulos: AOB, BOC, COD y
DOE son consecutivos.
Entonces:
AOEm
- Ángulos consecutivos en un mismosemiplanoLos ángulos AOB, BOC, COD y DOE sonconsecutivos.
A
C
O
B
D
E
+ + + =180°
Ángulos coplanares alrededor del vértice
° + ° + ° + ° = 360°
A
B
C
D
O
Ángulos opuestos por el vértice
Un ángulo se denomina opuesto por el vértice
de otro, si los lados de éste, son las
prolongaciones del otro.
A
Bθ
o
A`
B`
Ángulos adyacentesSon dos ángulos que tienen el mismo vértice yademás están situados a distinto lado de unlado común.
oθ
x
A B
C
X
Lado común
O
A B
C
AOB y BOC son adyacentes
Ángulos adyacentes complementarios:
Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas
suman 90°
A
M
BO
90º
Ángulos Adyacentes suplementarios:
Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas
suman 180°. A estos también se le denomina
“PAR LINEAL”.
A B
C
O
180º
III. SEGÚN SU RELACIÓN
1. Ángulos complementarios: Es cuando
las medidas de dos ángulos suman 90°
A B P
RQO
90º
Complemento: (C): Es lo que le falta a un
ángulo para ser igual a 90°.
C (90º ) Se lee: El complemento de es
º90 .
2. Ángulos Suplementarios: Es cuando
las medidas de los dos ángulos suman 180°
O QA
B P
R
180º
Suplemento (S): Es lo que le falta a un ángulo
para ser igual a 180°.
S (180º )
Se lee: El suplemento de es º180 .
º90...
...
"")..12(
)(
""..2
)(
Cvecesk
Cvecesk
CCCC
CCCC
º180...
...
"")..12(
)(
""..2
)(
Svecesk
Svecesk
SSSS
SSSS
Ángulo Complemento Suplemento
50°48°72°x°
2 °
40°42°18°
90° - x°90° - 2 °
130°132°108°
180° - x°180° - 2 °
Problemas resueltosDEFINICIÓNSe denomina así a dos rectas ubicadas en unmismo plano y que no se intersecan.
1L
2L
NOTACIÓN: L1 L2Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2
ANGULOS DETERMINADOS POR DOS
RECTAS PARALELAS L1 L2 Y UNA
SECANTE LS A AMBASAl trazar una recta secante o transversal a dosrectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyasmedidas guardan ciertas relaciones.
Veamos
L S
L 2
L 1
1
11
122
22
I. ÁNGULOS EN ALTERNOS INTERNOS
(Sus medidas son iguales) L1 L2
L1
L2
L1
L2
II. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES
(Ambos tienen igual medida) L1 L2
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
L1
L2
L1
L2
III. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS
(sus medidas suman 180°) L1 L2
L1
L2
180°
Propiedades
1. Si: L1 // L2
Demostración:
L1
L1
L2
L2
x
x
x = +
x = +
Demostración:
L1
L1
L2
L2
x
x
x = +
x = +
2. TEOREMA DE SARRUS: Si 21 // LL
Demostración:
L1
L1
L2
L2
+ + = a° + b° + c°
a° + b° + c° = + +
a°
a
b°
b
c°
c
n
m
p- cc
b - ( - c)- c
a -
entre: n // ma - + b - ( - c) =
Trazando: n // m // p // L // L21
3. Si: L // L21
L1
L2
+ + + ...... + = 180°
Demostración:
+ + + ...... + = 180°
En el triángulo sombreado:
+ +
+
L1
L2
Problemas resueltosTriángulo RectilíneoEs el que se forma al unir tres puntos nocolineales con segmentos de recta.
B
A C
ac
b
Lados: ACBCAB ,,
Vértices: A, B, CTriángulo ABC: ABCMedida de los lados: a, b, c
DefiniciónSon aquellas figuras cerradas formadas
por la intersección de tres rectas que se cortande dos en dos.
A
c
b
a
C
B
Regióninterior
°
°
°
Elementos:
Vértices : A, B, C
Lados : AB, BC, AC
Ángulos
Perímetro: 2p = BC + AC + AB 2p = a + b + c
Internos ó<A, <B, <C
Externos ó, , ° ° °
Notación: ABC
A
c
b
a
C
B
Regióninterior
°
°
°
Elementos:
Vértices : A, B, C
Lados : AB, BC, AC
Ángulos
Perímetro: 2p = BC + AC + AB 2p = a + b + c
Internos ó<A, <B, <C
Externos ó, , ° ° °
Notación: ABC
A
B
C
Puntos interiores
Puntos exteriores relativos al lado AC.
* Se denomina región triangular a la reuniónde los puntos del triángulo y los puntosinteriores.
A
B
C
Puntos interiores
Puntos exteriores relativos al lado AC.
* Se denomina región triangular a la reuniónde los puntos del triángulo y los puntosinteriores.
PROPIEDADES FUNDAMENTALESx
y
z
β
α θ
c a
b
x + y + z = 360º, ángulos exteriores
º180 , ángulos interiores
x ; y ; z
2p = a + b + c, perímetro
2
cbap
semiperímetro
Clasificación de los triángulos
1. DE ACUERDO A LA LONGITUD DE SUSLADOS
a. EscalenoTodos sus lados son de diferente medida.
a b
c
a b c
ABC esescaleno : a b c
b. IsóscelesTiene dos lados iguales y dos ángulos iguales
A C
B
base
AB = BC
ba:IsóscelesesABC
c. EquiláteroTodos sus lados son iguales y sus ángulosinteriores miden 60º.
A C
B
60º 60º
60ºAB = BC = AC
Todo triángulo Equilátero es Isósceles, perono todo triángulo Isósceles es Equilátero.
2. DE ACUERDO A LAS MEDIDAS DE SUSÁNGULOSa. Triángulos oblicuángulos:
- Triángulo acutángulo
Todos sus ángulos interiores son agudos.
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
0º < , , < 90º
2 2 2ABC esacutángulo a b c
- Triángulo obtusánguloTiene un ángulo interior obtuso
90º < < 180º
2 2 2ABC esobtusángulo , obtuso en c a b c
b. Triángulo rectánguloUn ángulo interior mide 90º.
A B
C
b a
c
Donde: AC : Cateto
BC : Cateto
AC : Hipotenusa
2 2 2ABC esrectángulo,recto en c a b c
RESUMEN:POR SUS LADOS
60º
60º 60º
a a
a
aa
α α
ac
b
equiláteroisósceles
escaleno
POR SUS ÁNGULOSacutánguloRectángulo obtusángulo
α
β α
α >90º
º90,, α = 90º
Triángulos Oblicuángulos
Observaciones:* Se denomina triángulo oblicuángulo aaquel que es acutángulo u obtusángulo.
* Triángulo curvilíneo * Triángulo mixtilíneo
* Triángulo curvilíneo * Triángulo mixtilíneo
Propiedades fundamentales de lostriángulos
1. Suma de ángulos internos es igual a 180º
Demostración:
A
B
C
L1
L2
Por "B" una paralela a AC
en "B":
+ + = 180°
+ + = 180°
2. Suma de ángulos externos es igual a 360º
Demostración:
En el ABC:
+ + = 360°
180°- 180°-
180°-
A C
B
180° - + 180° - + 180° - = 180°
360° = + +
3. Propiedad del ángulo exterior
Demostración:
x
x = +
Por "B" una paralela a AC
x
L1
A
B
C
por alternos internos:
x = +
L2
4. Propiedad de la existencia triangular opropiedad de la desigualdad triangular: Entodo triángulo debe cumplirse que, un ladocualquiera debe ser mayor que ladiferencia de los otros dos y a la vezmenor que la suma de esos otros dos.Siendo: a < b < cEntonces:
a b
c
b - c < a < b + c
a - c < b < a + c
a - b < c < a + b
Corolario 1
“O” es punto cualquiera que pertenece a la
región interior del triángulo ABC:
C
BAl m
n
oab
c
a b cP2
P2nmlP
ac
b
ac
b
Si: < 90°
a < b + c
2 2
Si: > 90°
a > b + c
2 2
DEMUESTRE CADA UNA DE LASPROPIEDADES ADICIONALES
x
y
z
2p x y z p
x
y
z
b a
c
:Si a b c x y z a b
5. Cuadrilátero cóncavoo no convexoDemostración:
x x
x = + +
En el triángulo sombreado:
x = + +
+
6. Cuadrilátero cualquiera
a
b
cd
+ + + = 360°
+ + + = 360°
a + + c = 180°b + + d = 180°
a + b + + + c + d = 360°
(+)
Demostración:
a
b
cd
+ + + = 360°
+ + + = 360°
a + + c = 180°b + + d = 180°
a + b + + + c + d = 360°
(+)
Demostración:
7.
2
a2 = 60°
= 30°
2aD
E
C
PROPIEDADES ADICIONALES
x
β
θ
α
x
α
β
θ
2
x
α
x
xαθ
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
SEGMENTOS Y LÍNEAS NOTABLES EN ELTRIÁNGULO
CEVIANAEs aquel segmento que tiene por extremos unvértice del triángulo y un punto cualquiera dellado opuesto o de su respectiva prolongación.En todo triángulo se pueden trazar infinitascevianas.
Ceviana interiorCeviana exterior
Punto de intersección de las cevianas se llamaCEVACENTRO
MEDIANAEs aquel segmento que tiene por extremos unvértice del triángulo y el punto medio del ladoopuesto a dicho vértice
Mediana
A m M B
C
m
Donde:
•Si: CM es mediana relativa a AB y M espunto medio de AB .
Importante:El punto de intersección de las medianas de untriángulo se denomina "Baricentro" y forma encada mediana segmentos proporcionales de 2 a1.
A C
P N
B
G
M
"G": Baricentro o Gravicentro
AG = 2GN BG = 2GM CG = 2PG
A C
B
MA
G
C
B
M
a
2a N
baricentro
ALTURAEs aquel segmento perpendicular trazado de unvértice del triángulo hacia al lado opuesto ohacia su respectiva prolongación
altura
MA B
H
C
Donde:
• CM es altura relativa a AB
• AH es altura relativa a BH , ACB esobtusángulo ( >90°).
OO: ORTOCENTRO:Punto de corte de lasalturas
En un triángulo obtusángulo:
O: ORTOCENTRO
MEDIATRIZEs la recta perpendicular a un lado cualquieradel triángulo en su punto medio
A BM
L1
P
Q
R
L2
A M C
B L3
L es mediatrizde AB
AM = MB
1
L es mediatrizde PQ
PR = RQ
2
L es mediatrizdel lado AC
AM = MC
3
CC: CIRCUNCENTRO:Punto de corte de lasmediatrices
A
B
C
Mediatriz del lado BC.
A BM
L1
P
Q
R
L2
A M C
B L3
L es mediatrizde AB
AM = MB
1
L es mediatrizde PQ
PR = RQ
2
L es mediatrizdel lado AC
AM = MC
3
BISECTRIZ INTERIOREs la ceviana interior trazado desde un vérticedel triángulo que biseca o divide en partesiguales al ángulo interior. En todo triángulo sepueden trazar tres bisectrices interiores y seisexteriores.
Bisectrizinterior
α α
A M B N
C
Donde:
• CM : Bisectriz inferior relativa a AB .
• CN : Bisectriz exterior relativa a AB .
I
αα
ββ
I: INCENTRO: Punto decorte de las bisectricesinteriores
BISECTRIZ EXTERIOREs la ceviana exterior trazado desde un vérticedel triángulo que divide en partes iguales alángulo exterior
Bisectrizinterior
αα
Bisectrizexterior
E: EXCENTRO:Punto de corte de lasbisectrices exteriores
α α
E
Observación: Todo triángulo tiene 3excentros
A
B
C
rAC
rBCrAB
PROPIEDADES CON ÁNGULOSDETERMINADOS POR LINEAS NOTABLESNOTA: En todo isósceles 0 equilátero la alturarelativa a la base es también mediana, bisectriz y
mediatriz
AlturaMedianaBisectrizMediatriz
α αB
H
BH
NOTA: En todo equilátero los puntos notablescoinciden en un único punto
OrtocentroIncentroBaricentroCircuncentro
En todo triángulo rectángulo la medianarelativa hacia la hipotenusa trazada desde elv’ertice del ‘angulo recto es la mitad de esta
B
A B C
2
ACBM
B
M3a 3a
2a a
Ortocentro
Baricentro Circuncentro
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
PROPIEDADES:
ββ
x2
º90x
α α
x
2º90
x
α α
aa
x2
x
x
αβMHA
B
C
BH: AlturaBM: Bisectriz
2
x
Demostración:
A
B
C
Ix
x
n
n
+ + n = x
+ + x = 180°
(1)
(2).....
.....
x = 90° + n2
(1) - (2) :
n - x = x - 180°
x = 90° +
I Incentro
n2
Demostración:
A
A
B
B
C
C
E
E
x
x
n
180° - n
ABC:
2 + 2 + 180° - n = 360° ... (1)
+ + x = 180° ... (2)
2 + 2 + 2x = 360° ... (3)
AEC:
(1) - (3) :180° - n - 2x = 0
x = 90° - n2
E Excentro
x = 90° - n2
Demostración:
ABC:
E Excentro
A
A
C
C
B
B
E
E
n
n
x
x
2 + n = 2 ..... (1)
+ x = ..... (2)
2 + 2x = 2 ..... (3)
(1) - (3) : n - 2x = 0
x = n2
EAC:
x = n2
Demostración:
A
B
CH D
x
- x + A = 90° ..... (1)
x + + C = 90° ..... (2)
(1) - (2) :
x = A - C2
A - C - x - x = 0 x = A - C2
B
HA
- x
B
H C
+ x
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
I. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo la suma de los
cuadrados de las longitudes de sus
catetos es igual al cuadrado de la
longitud de la hipotenusa.B
C Ab
c
a
Si a + b = c22 2 + = 90°
II. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
Denominamos así a aquellos triángulos
rectángulos en los cuales conociendo las
medidas de sus ángulos internos
(denominados ángulos notables) se
establece una determinada relación
entre las longitudes de sus lados y
viceversa.
A. Triángulo Rectángulo Notable: (45º–
45º)
a
a45°
a 2
a
a 2a
45º
45º
60º
n
n 3
2n
30ºa
a2
2
2
a
45
45
B. Triángulo Rectángulo Notable: (30°–60°)
a 2a
30°a 3
60°
C. Triángulo Rectángulo Notable: (15°–75°)
1)
2–6a 2+6aa
15°75°4a
2)
75°2a
15°
3+ 1a
3 –1a
D. Triángulo Rectángulo Notable:
(22°30’–67°30’) Ó ( 45º22º 30 '
2 )
22°30’
a222a
2 + 1a
67°30’
E. Triángulo Rectángulo Notable: (36°–54°)
54°
36°
4a52–10a
5 + 1a
F. Triángulo Rectángulo Notable: (18°–72°)
72°
18°
4a5 + 1a
52+10a
III. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES APROXIMADOS
A. Triángulo Rectángulo Notable: (37°–
53°)
53°3a
5a4a
B. Triángulo Rectángulo Notable: (14°–
76°)
76°
14°4a
a 17a
C. Triángulo Rectángulo Notable: (16°–
74°)
74°
16°
25a
24a
7a
D. Triángulo Rectángulo Notable: (8°–82°)
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
82°
8°7a
a2a5
E. Triángulo Rectángulo Notable: (20°–70°)
70°
20°11a
4a 137a
F. Triángulo Rectángulo Notable: (40°–50°)
5a
40°6a
61a50°
G. Triángulo Rectángulo Notable: (18°30’–
71°30’) Ó37º
18º 30 '2
a
3a18°30’
10a
3a
4a
37º
53º
5a
2b
b 5b
53º2
3k
k 10k
37º2
H. Triángulo Rectángulo Notable: (26°30’–
63°30’) Ó53º
26º 30 '2
63°30’
26°30’2a
a5a
3a
4a
37º
53º
5a
2b
b 5b
53º2
3k
k 10k
37º2
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOSA todo triángulo rectángulo cuyos lados tienenmedidas expresadas en números enteros, se lellamará TRIÁNGULO PITAGÓRIGO
FORMA GENERAL:
22 ba 2ab
22 ba
baZba ,
FORMAS PARTICULARES
12 n
n2
12 n2
12 n
2
12 n
n
n:par n:impar
Algunos triángulos pitagóricos son: 3 , 4 y 5 5, 12 y 13 7, 24 y 25 9, 40 y 41 11, 60 y 61 13, 84 y 85 8,15 y 17 20, 21 y 29 cateto, cateto e hipotenusa ……………………..
Demostración:
*
a a 5
2a53°/2
*
a a 10
3a37°/2
2 = 53°
2 = 37°
=
=
53°2
37°2
3n
5n37°
4n
53°
5n
4n 5n
3n53°
37°
5n
Demostración:
A
B
CH75°
h
15°
h = AC4
DEMOSTRACIÓN
A
B
CH75°
h
15°
* Se traza la mediana BM
BM = (Propiedad)
2a
30°M
2a 2a
15°
* Luego rectángulo BHM (30° y 60°)
AC2
BH = BM2
...... (1)
......................... (2)
de (1) y (2):BH =
AC22
Luego: BH = AC4
Problemas resueltosDos triángulos son congruentes o iguales setienen la misma forma (ángulosrespectivamente de igual medida) y el mismotamaño (lados respectivamente de iguallongitud).
Símbolo de congruencia
β
α θA
B
C
a
b
cβ
α θA’
B’
C’
a
b
c
ABC A’B’C’∆ ≅ ∆
CONDICIONES PARA LA CONGRUENCIA DEDOS TRIANGULOS
1) Lado – Ángulo – Lado (LAL)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen un lado, un ángulo y un ladorespectivamente de igual medida.
β
A’
B’
C’
acβ
R
Q
P
a c
ABC RQP∆ ≅ ∆
2) Ángulo – Lado – Ángulo (ALA)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen un ángulo, un lado y un ángulorespectivamente de igual medida.
βαA
B
C
α
P
Q
b
ABC QPR∆ ≅ ∆
βR
3) Lado – Lado – Lado (LLL)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen sus tres lados respectivamente de igualmedida.
C
B
A
c a
ABC RQP∆ ≅ ∆
b P
Q
R
ca
b
ojo) Ángulo mayor – Lado – Lado (ALL)
α αa
b
a
b
NOTA(1):para que dos triángulossean congruentes bastaráque tengan treselementos de igualmedida respectivamente;donde al menos uno deello es un lado.
NOTA(2)Dos triángulosrectángulos soncongruentes si tienendos pares de elementosiguales, aparte delángulo recto.
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
1. TEOREMA DE LA BISECTRIZCualquier punto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados de dicho ángulo; además,se forma en cada lado segmentos de igualmedida.
O
A
B
LP
Q
R
L es bisectriz del ángulo AOB
PQ = PROQ = OR
2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZCualquier punto de la mediatriz de un segmentoequidista de los extremos de dicho segmentoformándose un triángulo isósceles.
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
A M B
PL
L es mediatriz de AB.
AP = BPAPB: Isósceles
3. TEOREMA DE LA BASE MEDIASi por el punto medio de un lado de un triángulotrazamos una paralela a un segundo lado, dichaparalela cortará al tercer lado en su puntomedio, además, el segmento de paralela que sedetermina es la mitad del lado al cual esparalelo.
L1
A C
B
M N
Si: L // ACAM = BM
1
BN = NC
MN = AC2
4. TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA ALA HIPOTENUSA
En un triángulo rectángulo, la mediana relativaa la hipotenusa es la mitad de la hipotenusaformándose dos triángulos isósceles.
A M C
B
Si: BM es mediana
BM = AC2
BMC; AMB: 's isósceles
NOTA:
b
2b
5. Propiedad del triángulo isósceles: Sitrazamos la altura en la base de untriángulo isósceles, dicha altura serátambién mediana, bisectriz y mediatriz.
B
A CH
Si: AB = BC
BH:Altura; Mediana;Bisectriz; Mediatriz
b. La suma de las distancias EP y EQ ,nos da la altura AH .
A C
BE Punto cualquiera
de la base AC
Q
E
P
H
NOTITA:En todo triángulo una mediana estácomprendida entre la semisuma y lasemidiferencia de los lados adyacentes a ella.
A
22
cam
ca
B
C
acm
M
Problemas resueltosCRITERIO UNO: TRAZO DE LA CEVIANACuando se observa un triángulo que tengaángulos interiores en la relación de 1 a 2, de lasiguiente forma:
2
2 2
Se traza una cevianainterna tal que forme unángulo igual al mayor enla misma base deltriángulo
2
Se traza una cevianaexterna tal que forme unángulo igual al menor enla misma base deltriángulo
PROBLEMACalcular el valor de “x”A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 40ºE) 25º
º20º40
x
CRITERIO DOS: COMPLETANDO A UNTRIÁNGULO ISÓSCELESCuando se observe en un triángulo unabisectriz interior, se buscará completarlo a untriángulo isósceles
. Altura
. Mediana
. Bisectriz Interior
. Mediatriz
PROBLEMACalcular el valor de “x”A) 100ºB) 90ºC) 95ºD) 70ºE) 60º
A
B C
D
X
35o
25o25o
30o
CRITERIO TRES: COMPLETANDO A UNTRIÁNGULO EQUILÁTEROCuando se observa en un triángulo un ángulode 30º y como éste valor es la mitad de 60º, sebuscará formar externamente un triánguloequilátero.
Seobserva
30o
2
30o
2
30o
Rectamediatriz
Se forma triángulo equiláteroexternamente
30o30o
Rectamediatriz
En un triángulo equilátero
PROBLEMACalcular el valor de “x”A) 10ºB) 15ºC) 12ºD) 18ºE) 20º
30o
2
CRITERIO CUATRO: PROPIEDAD DE LABISECTRIZCuando se observa en una figura de lasiguiente forma se realizara el siguiente trazo.
2
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
NOTA:Se observa la siguiente figura:
º90
2
Se obtiene, luego se observa dos triángulosisósceles
º90
2
º90
º90
Problemas resueltos
Es la figura geométrica, que se forma al unirconsecutivamente tres o más puntos nocolineales, mediante segmentos de recta, de unmismo plano.
A
B C
D
EF
P Q
e1
i1
i2
e2
e3Vértices
Lados
Ángulos interiores
Ángulos externos
Diagonal
Diagonal media
Perímetro
: A, B, C, ...
: AB, BC, CD, ...
: i , i , ...
: e , e , e , ...
: BD, FC, ...
: PQ, ...
: AB + BC + CD + ...
1 2
1 2 3
ELEMENTOS
A
B C
D
EF
P Q
e1
i1
i2
e2
e3Vértices
Lados
Ángulos interiores
Ángulos externos
Diagonal
Diagonal media
Perímetro
: A, B, C, ...
: AB, BC, CD, ...
: i , i , ...
: e , e , e , ...
: BD, FC, ...
: PQ, ...
: AB + BC + CD + ...
1 2
1 2 3
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS
A. Por la Región que Limitan
1. Polígono Convexo
Dado dos puntos cualesquiera P y Q que
pertenezcan a la región poligonal; al unirlos
mediante un segmento; si este pertenece en su
totalidad a la región poligonal, se dice que el
polígono es convexo.C
B
AE
DP
Q
Región PoligonalPolígono
2. Polígono No Convexo o Cóncavo
Dado dos puntos cualesquiera P Q que
pertenezcan a la región poligonal; al unirlos
mediante un segmento; si este no pertenece en
su totalidad a la región poligonal, se dice que el
polígono es no convexo.
PolígonoB
A
E
D
CP
QRegión Poligonal
POLÍGONOCONVEXO
POLÍGONOCÓNCAVO
B) SEGÚN EL NÚMEROS DE LADOS
3 Lados4 Lados5 Lados6 Lados7 Lados8 Lados9 Lados10 Lados11 Lados12 Lados15 Lados20 Lados
TriánguloCuadriláteroPentágonoExágonoHeptágonoOctógonoNonágono o EneágonoDecágonoEndecágonoDodecágonoPentadecágonoIcoságono
N° de Lados Nombre
NOTITA:Polígono de 23 ladosPolígono de 40 ladosPolígono de 300 lados……Polígono de más lados: circunferencia
C) POR LAS MEDIDAS DE SUS LADOS YÁNGULOS
C.1. POLÍGONO EQUILÁTERO
Lados del polígono son de igual medida,pueden ser convexo o cóncavo.
A
B
C
DE
a a
aa
aPolígono Convexo
A C
DE
aB
a a
a
aPolígono no Convexo
a
a
a
aa
aee
e
e
e
ee
e e
C.2. POLÍGONOS EQUIÁNGULOCuyos ángulos son de igual medida,siempre son convexos.
A
B C
D
EF
60º
60º
60º
αα
α
α α
i i
i
e
C.3. POLÍGONO REGULAR
Es aquel polígono equiángulo y
equilátero a la vez.
A
F a E
a
D
CB a
a a
a
a
a
60°O
a/2a/2
L
0: Centro del polígono ABCDEF regular.
0: Punto de concurrencia de lasmediatrices de los lados del polígono.
60º
60º
60º
108º
a
a
a
a 108º108º
108º 108º
Todo polígono Regular pueden ser inscritas ycircunscritas a dos circunferencias que tienen elmismo centro.
e
c
O
i
O centroc ángulo centrale ángulo exteriori ángulo interior
TEOREMAS EN UN POLÍGONO CONVEXO
DE “n” LADOS
Donde: n = Número de lados = número de
vértices = número de ángulos internos.
1. Teorema 1
Si en un polígono de “n” lados se trazan todas
las diagonales desde un vértice el polígono
queda dividido en (n–2) triángulos.
# de triángulos = n – 2
2. Teorema 2
Si desde uno de los lados se trazan segmentos
hacia todos los vértices, el polígono de “n”
lados queda dividido en (n–1) triángulos.
# de triángulos = n – 1
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
3. Teorema 3
Si un punto de la región interior, se une
mediante segmentos de recta con todos los
vértices del polígono de “n” lados se obtiene “n”
triángulos.
# de triángulos = n
4. Teorema 4: (Suma de las medidas de los
ángulos internos)
En todo polígono de “n” lados esta suma es:
1
2
3
4
5
S s internos = 180° (n – 2)
5. Teorema 5: (Medida de un ángulo interiorde un polígono equiángulo)
180° (n – 2)1 interior =n
6. Teorema 6: (Suma de las medidas de los
ángulos externos)
En todo polígono convexo, la suma de todos los
ángulos externos (uno por vértice) es 360°.
2
1
6
5
4
3
externo
S s externos = 360°
7. Teorema 7: (Medida de un ángulo exterior
de un polígono equiángulo)
360°1 exterior =n
8. Teorema 8: (Suma de las medidas de los
ángulos centrales de un polígono regular)
O
C
S s centrales = 360°
360°1 central =n
9. Teorema 9: (Número de Diagonales desde
1 vértice)
En todo polígono de “n” lados el número total
de diagonales que se pueden trazar desde un
vértice es:
roN d = n – 3
10. Teorema 10: (Número Total de
Diagonales)
En todo polígono de “n” lados el número total
de diagonales es:
ro n n – 3N D =
2
11. Teorema 11
(Número de Diagonales medias desde el
punto medio de un lado)
Una diagonal media es un segmento que une
los puntos medio de dos lados cualquiera.
romN d = n – 1
12. Teorema 12
(Número total de diagonales medias)
En un polígono de “n” lados el número total de
diagonales medias es:
rom
n n – 1N D =
2
13. Teorema 13
(Número de Diagonales desde cada vértice
consecutivo)
ro
mo
N de Orden del vértice N d1° vértice n – 32° " n – 33° " n – 44° " n – 5
k " n – (k+ 1)
Antepenúltimo " 1Penú
ltimo " 0Ultimo " 0
Fórmula:
ro(n,k)
1N D n k – (k 1)(k 2) ; k n2
n = número de lados
k = número de vértices consecutivos
Nro D(n,k) = número de
diagonales desde “k” vértices consecutivos en
un polígono de “n” lados.
14. Teorema 14
(Número de Diagonales medias desde cada
lado consecutivo)
rom
mo
N de Orden del lado N d1° lado n –12° " n – 23° " n – 3
k " n – k
Penúltimo " 1Ultimo " 0
Fórmula:
ro(n,k)
1N DM n k – k(k 1); k n2
n = número de lados
k= número de lados consecutivos
Nro DM(n,k) = número de diagonales mediasdesde “k” lados consecutivos en un polígono de“n” lados.
RESUMEN:PROPIEDADES1. EN TODO POLÍGONO SE CUMPLE:Si “n” es el número de lados de un polígono.
º360º360
)2(º1802
)3(º
3º
ººº
..
int..
...
int.
centralesenteriores
erioresdiagonal
detotal
vérticesolounde
trazadasdiagonales
erioresladosvértices
ss
s
s
SS
nSnn
N
nN
nNNN
2. EN TODO POLÍGONO REGULAR SECUMPLE:
nm
nm
n
nm
centralexterior
erior
º3601
º3061
)2(º1801 int
OBSERVACIONES
1. Desde“v” vértices consecutivos se puedetrazar:
2
)2)(1(.º
vvvnN diagonales
2. Para polígonos estrellados se cumple:
La suma de las medidas de los ángulos de laspuntas es:
º720)4(º180 .ˆ exterioresp SnS
Si la estrella es regular:
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
n
nm
)4(º1801
3. Polígono cruzado
4. Polígono AlabeadoCuando sus lados están contenidos endiferentes planos(cuadrilátero alabeadoABCD)
A
B
DC
Problemas resueltosEs aquel polígono de cuatro lados, que puedenser convexos y no convexos.
Aº
BºCº
DºConvexo
Aº+ Bº+ Cº+ Dº = 360º
º
xºº
º
No Convexo
xº = º + º + º
A
B C
D
B
A
D
C
DIAGONALES
A D
C
B
A C
D
B
x°
Notación:
Cuadrilátero ABCD: ABCD y ABCDDiagonales AC y BD
Propiedad
A
BC
D
= 360º+ + +
> 180º
CONVEXOS CÓNCAVOS
> 180º
CONVEXOS CÓNCAVOS
CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS
SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS
1. PARALELOGRAMO
Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son
paralelos. En todo paralelogramo se cumple
que los lados opuestos son congruentes, los
ángulos opuestos son congruentes y las
diagonales se bisecan.
A E
CB
b
b
h2Altura
Alturah1
a
D
F
O
am
nm
n
Características:•AB // CD;AB CD a y BC // AD;BC AD b
•m A m C y m B m D
•AO OC m y BO OD n
•180º
Clasificación de Paralelogramos
A.Romboide: Es el paralelogramo que no es
equilátero ni rectángulo. Ejemplo:
A D
B Cb
b
aa
a b
B C
AD
AO = OCBO = OD
*
a
bn
m a+ b = n+ m
*
A
B C
DO
B C
AD
AO = OCBO = OD
*
a
bn
m a+ b = n+ m
*
A
B C
DO
B. Rectángulo: Denominado también
“cuadrilongo”. Es el paralelogramo equiángulo.
A Db
B C
m m
m m
•Las diagonales son congruentes.
NOTA:
Para todo punto interior de un rectángulo se
cumple:
bba
a
x
y
2 2 2 2a b x y
C. Rombo: Es el paralelogramo equilátero
A D
CB
a a
a
a
O
n
n
m
m
D. Cuadrado: Es el paralelogramo que es
equiángulo y equilátero a la vez.
B C
A Da
a
aa O
45°
m m
m m
•Sus diagonales son congruentes y se bisecan
perpendicularmente.
2. TRAPECIO
Es aquel cuadrilátero que tiene sólo dos
lados paralelos.
A H D
CB
M N h
m
m
n
n
Características
• BasesBC y AD(BC // AD)
• Lados no paralelos:AB y CD
• Altura: BH (BH h)
• Mediana: MN(MN // BC // AD)
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
A. Trapecio Escaleno: Es el trapecio cuyos
lados no paralelos son diferentes.
A D
CB
m n
B. Trapecio Isósceles: Es el trapecio cuyos
lados no paralelos son congruentes.
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
A D
CB
m m
A D
CB
m mP
• En la figura:AC = BD; AP = DP BP = CP
C. Trapecio Rectángulo: Es aquel trapecio
que tiene uno de sus lados no paralelos
perpendi-cular a sus bases.
• En la figura: AB BC y AB AD
• CD > AB
TEOREMA 1
En todo trapecio, la mediana es paralela a
sus bases y su longitud es igual a la
semisuma de la longitud de sus bases.
A D
CB b
a
xNM
m
m
n
n
• En la figura: BC // AD
MN es mediana del trapecio
MN // BC y MN // AD
a bx2
TEOREMA 2
En todo trapecio el segmento que une los
puntos medios de sus diagonales es
paralelo a sus bases y su longitud es igual a
la semidiferencia de la longitud de sus
bases.
A D
CB
P Qy
a
b
• En la figura: BC // AD
• P y Q son puntos medios de AC y BD
PQ // BC y PQ // AD
a – by2
TEOREMA
En todo cuadrilátero al unir en forma
consecutiva, los puntos medios de sus lados
se determina un paralelogramo.
A D
C
BN
ML
S
Si: M, N, L y S son puntos mediosMNLS: Paralelogramo
• En la figura:
El perímetro del paralelogramo MNLS es
igual a la suma de las longitudes de las
diagonales del cuadrilátero ABCD.
(MNLS)2P AC BD
En un trapecio
x
a
b
I
II
Triángulo I y II son semejantes I II
x ab
logParale ramo
RESUMEN:
CLASIFICACIÓN
PPARALELOGRAMOS: Sus lados opuestosson paralelos e iguales.
a
a
a
a aa
b
b
45º45º
CUADRADO RECTÁNGULO
a a
a a
n n
m
m
ROMBO
αα
ββ
ROMBOIDE
aa
b
b
º180
PARALELOGRAMOS
RectánguloCuadrado Rombo
Romboide
Altura del paralelogramo
h1, h2 = alturas
A
B C
D
h1
h2
TRAPECIOS: Tiene solo dos lados opuestosparalelos llamadas bases y los otros se llamanlados laterales. La distancia entre las bases sellama altura.
b
B
b
B
b
B
hh
Escaleno Rectángulo Isósceles
h
Donde:B: base mayorb: base menorh: altura
= 180º+ +
Base menor
Base mayor
A
B C
D
Altura del trapecio: Es la distancia entre lasbases.
h = altura
A
B
h
C
DH
TRAPEZOIDESEs aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos noson paralelos, a su vez se clasifican en:
Trapezoide simétrico.- Es aquel trapezoide enel cual una de sus diagonales bisecaperpendicularmente a la otra.AC: eje de simetría.Propiedades:· El eje de simetría biseca ángulos
opuestos.· BC = CD y AB = AD
A
B
C
D
a
a bc
bc
Trapezoide Asimétrico.- Es el trapezoidepropiamente dicho, es decir no tiene ningunacaracterística en especial o simetría.
A
BC
D
Propiedades:
2
bax
x
ββ
ba
2
bax
x
ββ
b
a
01. Demostrar:2
bax
en:
x
ββ
ba
02. Demostrar:2
bax
en:
x
ββ
b
a
03. Demostrar: 2º120 x en:
2θθ
X
04. Demostrar: º120x en:
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
2θθ
X
OBSERVACIONES: Si las diagonales de un trapecio son
congruentes, entonces se trata de untrapecio isósceles
Si las diagonales de un cuadrilátero sebisecan, entonces el cuadrilátero es unparalelogramo.
En todo paralelogramo, las diagonales sebisecan
En todo rombo y en todo cuadrado, susdiagonales se cortan perpendicularmente
En el rombo y en el cuadrado sus lados soncongruentes.
Si un par de lados opuestos de uncuadrilátero son paralelos y congruentes.Entonces el cuadrilátero es unparalelogramo.
Definición.- Es la figura geométrica planacuyos puntos equidistan de un punto fijollamado centro. La distancia del centro acualquier punto de la circunferencia se llamaradio.
Circunferencia (solo es la línea)
O: centroR: RadioO
R
Longitud de la circunferencia ( cL )
RLc 2
2cL
R
CÍRCULO.- Es aquella superficie planadeterminada por la unión de una circunferenciay su región interior.
Circulo (región)(área interna)
O
Área del círculo (S)2RScírculo
LÍNEAS ASOCIADAS A LACIRCUNFERENCIA
A B
M N
P
H
T
L1
O
L2
En la figura, se tiene la circunferencia de centroO y radio R.
Diámetro (cuerda máxima) : AB (AB= 2R)
Cuerda : MN Arco :
Flecha o sagita : PH Recta tangente : L1
Recta secante : L2
Punto de tangencia : “T”
PROPIEDADES FUNDAMENTALES
A) Si “T” es punto de tangencia, entonces:
OTL
L1
O T
B) Si A y B son puntos de tangencia, entonces:
OθθP
A
B
PA = PB
También. Si “O” es centro, OP es bisectriz deAPBTangentes comunes
A
B
DC
AB = CD
C) Si AB = CD , entonces.
a
B
A C
D
Ob AB = CD
D) Tangentes comunes interiores
A
C B
D
AB = CD
E) Si A, B y C son puntos de tangencia.
x = 90º
xA C
B
F) Si “M” es punto medio de AB.
θr
R
BA
θ = 90º
G) En circunferencias concéntricas:
A CB
EF
G
D
AB =BC
DE = FG
H) En circunferencias concéntricas:
A
DC
B
AB = CD
Posiciones relativas entre doscircunferencias
Circunferencias tangentes exteriores
RP
AL
B
CD
O r
OP = R + r
Tangentes comunes exteriores:
AB = CD
Tangente común interior:
L OP- Circunferencias tangentes interiores
r O
RP
L
Tangente común exterior:
L OP OP = R - r
- Circunferencias secantesA
B
CD
R
PO
M
N
r
Tangentes comunes exteriores:
AB = CD R - r < OP < R + r
MN OP
- Circunferencias concéntricas
Or
R
Dos circunferencias que tienen el mismocentro.
BC
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
- Circunferencias ortogonales
R
O
R rrP
L2
L1
1L tangente
2L tangente
OP = R + r22 2
TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo, para unacircunferencia inscrita se cumple:
C A
B
r
c
a
b
a + b = 2r + c
r: Inradio
DEMOSTRACIÓN
A
B C
bT
Q
P
r
r
c - r
a - r
r a - r
c - r
a
c I
Del gráfico:c - r + a - r = bc + a = b + 2r
TEOREMA DE PITOT
En todo cuadrilátero circunscrito a unacircunferencia, se cumple que dos ladosapuestos suman igual que los otros dos.
A
a + b = x + y
B C
D
ba
x
y
DEMOSTRACIÓN
A DN
B C
TP
q
mm n
n
p
pq
Q
Del gráfico:AB = m + q ... (I)CD = n + p ... (II)
(I) + (II):AB + CD = m + n + q + pAB + CD = BC + AD
Teorema de Steiner
A
B
C
D
AB - CD = AD - BC
Observaciones
* Q y F puntos de tangenciap semi-perímetro del triángulo ABC.
2cbap
pAFAQ
A
B
Cp
F
Q
ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ÁNGULO CENTRAL
O
A
B
x
βx = β
ÁNGULO INSCRITOA
B
x
β
2
x
ÁNGULO SEMI – INSCRITOA
B
β
2
x
x
θ
θ
ÁNGULO EXTERIOR
P
A
B
α β
x
2
x
P
A
C Bx
αβ
2
x
xP
A
B
D C
βα
2
x
ÁNGULO INTERIOR
x
A
B C
D 2
xα
β
ÁNGULO EXINSCRITO
x
A
C B
β
α
2
x
PROPIEDADES ADICIONALESDe un ángulo exterior
x
yx + y = 180º
Si “T” es punto de tangencia
x
β
x = β
A
T
B
En toda circunferencia se cumple ( AB :diámetro)
xx =90º
OA B
xa
b
2
bax
CUADRILATEROS INSCRIPTIBLES
DEFINICIONEs aquel cuadrilátero convexo que puedeinscribirse en una circunferencia; es decir, quesus vértices pueden ser ubicados en unamisma circunferencia.Si el cuadrilátero cumple con cualquiera de laspropiedades del cuadrilátero inscrito, seráinscriptible.
A
BC
D
CONDICIONES PARA QUE UNCUADRILÁTERO SEA INSCRIPTIBLE
Propiedad 001Los ángulos opuestos son suplementarios.
x
y
x + y = 180º
Propiedad 002Un ángulo interior es congruente al opuestoexterior.
x
y
x = y
Propiedad 003Las diagonales con los lados opuestos formanángulos congruentes.
x = y
x y
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
Ejemplos:
1. Si: , entonces este cuadriláteroes inscriptible
2. En este caso observamos dos ángulos quemiden 90º, entonces se cumple que:
.
3. En este otro caso, dos ángulos opuestosson rectos, entonces el cuadrilátero esinscriptible.
Ejemplo: Los siguientes cuadriláteros soninscriptibles.
100º
80º 50º
50º
40º
40º
CONÓCETE,ACÉPTATE…SUPÉRATE
1. Ortocentro.- Se llama así al punto deintersección de las tres alturas de untriángulo. El ortocentro está ubicado en:
* El interior de un triángulo si éste esacutángulo.
O
O ortocentro
* El vértice del ángulo recto si es untriángulo rectángulo.
O
O ortocentro
* El exterior de un triángulo si éste esobtusángulo.
O
O ortocentro
2. Circuncentro.- Se llama así a laintersección de las tres mediatrices de untriángulo. El circuncentro es el centro de lacircunferencia circunscrita.
* Si el triángulo es acutángulo, elcircuncentro estará ubicado en elinterior del triángulo.
RC
C circuncentroR circunradio
* Si el triángulo es rectángulo, elcircuncentro estará ubicado en elpunto medio de la hipotenusa.
CR
C circuncentroR circunradio
* Si el triángulo es obtusángulo, elcircuncentro estará ubicado en elexterior del triángulo.
RC
C circuncentroR circunradio
3. Baricentro.- Se llama así a laintersección de las tres medianas de untriángulo. El baricentro divide a cadamediana en dos segmentos que están enla relación de dos a uno.
A
B
C
G
2a
c a2b
2cb
G baricentro o gravicentro
4. Incentro.- Se llama así al punto deintersección de las tres bisectricesinteriores. El incentro es el centro de lacircunferencia inscrita.
I
r
I incentror inradio
5. Excentro.- Se llama así al punto deintersección de dos bisectrices exteriores yuna bisectriz interior. El excentro es elcentro de la circunferencia exinscrita.
A
B
C
E
r
E excentro relativo al lado BC.r exradio relativo al lado BC.
TEOREMA DE THALES. Si dos o más rectasparalelas son intersecadas por dos o másrectas secantes, se forman segmentos demedidas proporcionales.Si L1//L2//L3. Entonces:
a
b
m
n
nm
ba
n
m
b
a
1L
2L
3L
CASOS PARTICULARESUna recta secante a un triángulo y paralela a unlado, determina en otros dos lados a susprolongaciones segmentos proporcionales.
CA
B
y
x a
b
LL
a
bm
n
b
a
y
x
m
b
n
a
EN EL TRAPECIO
L
A D
B C
a
b
m
n
n
b
m
a
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
a b
m nA
B
CN
α α
n
m
b
a
erior
trizbiBN
int
sec:
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
c
nA EC
B
α
n
m
a
c
α
a
m
exterior
trizbiBE sec:
TEOREMA DE MENELAO
a
cAEC
B
zyxcba .... y
z
LSi : recta secante a dos lados
pero no paralela al tercer lado secumple:L
xb
TEOREMA DE LA CEVIANA (CEVA)
Si: CEyBDAF .., son las
cevianas concurrentes se cumple:
z
a
x b
y
cA
E
B
F
CD
zyxcba ....
TEOREMA DEL INCENTRO
c a
A
B
CN
α α
b
ca
IN
BI
ABCdel
incentroISi
.::
I
bTEOREMA DEL INCENTRO TEOREMA DE CEVA
xy
a+bc
a b
c
abc = mnpb
ay
x
cp
m
n
CA
B
x
y
N
Ic a
b
Teorema del excentro.
θθ
E
AB
C
a
c
x
y
D
b
Dos triángulos son semejantes si tienen sustres ángulos congruentes y las longitudes desus lados homólogos respectivamenteproporcionales.
ac
b q
pr
A
B
C P
Q
Rα
ββ
α ~
ABC ~ PQR kr
c
q
b
p
a
k: constante de proporcionalidad o razónde semejanza
• Criterios de Semejanza
1er. Caso: Dos triángulos son semejantes sitienen al menos dos ángulos respectivamentede igual medida.
2do. Caso: Si tienen dos lados respectivamenteproporcionales y el ángulo comprendido entredichos lados de igual medida.
a
b
a.k
b.k
3er. Caso: Si tienen sus tres ladosrespectivamente proporcionales.
a c
b
a.k c.k
b.k
Lados Homólogos: Se denominan así a loslados que se oponen a ángulos congruentes, entriángulos semejantes.
A
C
B
H
c
ab M
T
N
h
t
mn
DABC ~ DMNTam
bn
= ct
= Hh
= = K K Razón de semejanza
Propiedad.En todo triángulo se cumple que el producto dedos lados es igual al diámetro de lacircunferencia circunscrita multiplicado por laaltura relativa al tercer lado.
ab
h
R
a.b = 2Rh
Una recta secante a un triángulo paralela a unode sus lados, determina un triángulo parcialsemejante al triángulo dado.
A
B
C
P Q
En el gráfico, si: PQ // AC se cumple: ABC
PBQ.
Dado el trapecio. DemostrarbB
bBPQ
.2
b
B
P Q
Calcular la paralela “x” a las bases del trapecio,sabiendo que lo divide en 2 trapecios parcialessemejantes entre sí.
b
B
X
Rta: bBX .
Observación: En dos triángulos semejantessus lados homólogos son proporcionales asícomo sus elementos homólogos: (alturas,bisectrices, medianas, inradios, etc).
~
b
ca
A
B
C
h r1
dp
qP
Q
D
r2H
k....rr
Hh
dc
qb
pa
2
1
TEOREMAS
1.
A
B
C
D
P
Q
ab
x
Si : AB // PQ // CD
abxa b
Corolario:
abx
abxa b
2.
A
B C
D
P QO
a
b
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
En el trapecio: BC // PQ // AD
2PQ PO= OQaba b
3. Cálculo de la medida del lado de un cuadrado
inscrito en un triángulo, si uno de los lados del
cuadrado descansa en la base del triángulo.
A
B
Cb
hx
x
.b hxb h
OBSERVACIÓN
b
h x
x b . hx =b + h
4.
A
B
CD ba
x
Si : BD : ceviana y m BAC m DBC
2x ab
5.
A B
MN
P
Q
a b
x
Si: A y B son puntos de tangencia yP AB
x ab
6. En todo triángulo el producto de las medidas
de dos lados es igual al producto de las
medidas del diámetro de la circunferencia
circunscrita y la altura relativa al tercer lado.
A
B
C
c ah
R
R: Circunradio2R hac
OBSERVACIÓN:
A
B
Cc ah
RH
ac 2R h
7.
P
QM
TA B
ab
x
Si: T es punto de tangencia, PQ es secante.
x ab
OBSERVACIÓN
P
QM
TA B
abx
Si: T es punto de tangencia
x ab
Tamaños del Sol y de la LunaAl observar los eclipses de Luna
Aristarco pudo comprobar que el cono desombra proyectado por la Tierra, cuando loatraviesa la Luna, es de unas dos veces eltamaño del diámetro lunar. Si llamamos RS, RTy RL a los radios del Sol, la Tierra y la Lunarespectivamente, y DS y DL a las distanciasTierra-Sol y Tierra-Luna:
Sol
Tierra
A
E
Rs LunaDL
CB
R T
DDs
PROYECCIÓN ORTOGONAL.La proyección ortogonal de un punto sobre unarecta es el pie de la perpendicular trazada delpunto a la recta.
A BE
HM N
C
F
Proyectante.
Recta deProyección.
Luego: A, proyección de A
NM proyección de BC
FH proyección de DE
RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO RECTÁNGULO
A
C
BH
hb a
nm
c
nca .2 mcb .2 nmh .2
chba .. 222
111
hba
Donde:a y b : Catetos
c : Hipotenusah : Alturam : proyección de ACn : proyección de BC
TEOREMA DE PITÁGORASEn todo triángulo rectángulo la suma de loscuadrados de los catetos es igual al cuadradode la hipotenusa:
222 cba
a b
c
DEMOSTRACIÓN
a b
c
m n
º90
º90
B
C
AH
BHC ~ ABCa
m
c
a luego:
mca .2 ..(1)
AHC ~ ABCb
n
c
b luego:
ncb .2 ..(2)
Sumando (1) y (2) miembro a miembro:
).(22 nmcba Donde: m+n =c
Finalmente 222 cba dlq2RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
C
AH
a hb
c
m n
Catetos : BC = aAC = b
Hipotenusa : AB = c
Altura : CH = h
Proy : BH = mAB
BC
Proy : HA = nAB
AC
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
B
C
AH
a hb
c
m n
Catetos : BC = aAC = b
Hipotenusa : AB = c
Altura : CH = h
Proy : BH = mAB
BC
Proy : HA = nAB
AC
* Propiedad: es tangente común a lascircunferencias tangentes exteriores deradios "R" y "r".
RO
O1
r
AB
AB = 2 Rr
Demostración:
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
R-rR Por el Teorema de Pitágoras:
(R + r) = d + (R - r)2 2 2
(R + r) - (R - r) = d2 2 2
4Rr = d2
r
d
O O1r
r
AB
R - rR + r
d
d = 2 Rr
NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO
NATURALEZA DE UN TRIÁNGULOAprendemos a reconocer si un triángulo esacutángulo, obtusángulo y rectángulo,conociendo las medidas de sus lados.
El es acutángulo (ángulos interiores<90º)
c a
b
222
222
222
bac
cab
cba
El es obtusángulo(uno de los ángulos >90º)
ac
b
Si:
El es rectángulo
ac
b
Si:
RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO OBLICUÁNGULO
TEOREMA DE EUCLIDES
b a
A B
C
mc
a = b + c - 2c . m
b
a
m c
a = b + c + 2c . m2 2 2
Primer caso ( < 90°) Segundo caso ( > 90°)
De aquí se deduce la Ley de Cosenos.
b a
c
a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2
2 2 2
A B
C
A B
C
TEOREMA DE EUCLIDES
b a
A B
C
mc
a = b + c - 2c . m
b
a
m c
a = b + c + 2c . m2 2 2
Primer caso ( < 90°) Segundo caso ( > 90°)
De aquí se deduce la Ley de Cosenos.
b a
c
a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2
2 2 2
A B
C
A B
C
TEOREMA DE EUCLIDES
b a
A B
C
mc
a = b + c - 2c . m
b
a
m c
a = b + c + 2c . m2 2 2
Primer caso ( < 90°) Segundo caso ( > 90°)
De aquí se deduce la Ley de Cosenos.
b a
c
a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2
2 2 2
A B
C
A B
C
TEOREMA DE EUCLIDES
b a
A B
C
mc
a = b + c - 2c . m
b
a
m c
a = b + c + 2c . m2 2 2
Primer caso ( < 90°) Segundo caso ( > 90°)
De aquí se deduce la Ley de Cosenos.
b a
c
a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2
2 2 2
A B
C
A B
C
Primer teorema de euclides. ( en un triánguloacutángulo)
Segundo teorema de euclides ( en untriángulo obtusángulo)
TEOREMA DE HERON
b a
c
h
Si: P: semiperímetro2
cbaP
))()((.2
cpbpappc
h
Área del triángulo:
))()(( cpbpappS
b c
A A
B BC Ca
Teorema de la Mediana Teorema de Herón
m b ch
a
222
2 cb2a
m2 )cp)(bp)(ap(p.
a2h
)troSemiperíme(2
cbap
a
a
b
b
A AB B
C
D
C
B AF
CF: Ceviana
c
= =
C
Pmm
m
n
n
Teorema de la bisectriz interior
Teorema de Stewart
Teorema de la bisectriz exterior
x
x
b
x
n
a
2 2ab - nm nm - ab
b ba a
x
2c = a m + b2 2n - nmcx
x
m mn n
a
a
b
b
A AB B
C
D
C
B AF
CF: Ceviana
c
= =
C
Pmm
m
n
n
Teorema de la bisectriz interior
Teorema de Stewart
Teorema de la bisectriz exterior
x
x
b
x
n
a
2 2ab - nm nm - ab
b ba a
x
2c = a m + b2 2n - nmcx
x
m mn n
a
a
b
b
A AB B
C
D
C
B AF
CF: Ceviana
c
= =
C
Pmm
m
n
n
Teorema de la bisectriz interior
Teorema de Stewart
Teorema de la bisectriz exterior
x
x
b
x
n
a
2 2ab - nm nm - ab
b ba a
x
2c = a m + b2 2n - nmcx
x
m mn n
RELACIONES MÉTRICAS EN LACIRCUNFERENCIA
Teorema de las CuerdasSi en una circunferencia se trazan dos cuerdasque se intersectan en un punto "P"; entonceslos productos de los segmentos logrados encada cuerda son iguales.
AD
BCP
AP.PB = CP.PD
AD
BCP
AP.PB = CP.PDDemostración:
AD
BCP
b
a
m
2
n APC PDB
an = m
b
a.b = m.n
Teorema de las SecantesSi desde un punto exterior a una circunferenciase trazan dos secantes; los productos de una deellas y su parte externa son iguales.
BA
P
C
D
PB.PA = PD.PC
Demostración:
BA
P
C
D
m
n
a
b
°
°
°°
* DBAC es inscrito:m D = m CAPm B = m ACP
* APC ~ BPD
bm
an
b.n = a.m
Teorema de la Tangente
Si de un punto exterior a una circunferencia setraza una tangente y una secante; la tangentees media proporcional entre la secante y suparte externa.
A
P
T
B
PT2 = PB . PA
Demostración:
A
P
T
B
a
b
n
°
° °
°
2
TPA ~ BTP
an
ba
a2 = b.n
Teorema de PtolomeoEn todo cuadrilátero inscrito ó inscriptible elproducto de las diagonales es igual a la sumade productos de los lados opuestos.
Si: ABCD es inscrito ó inscriptible.
AD
CB
a
d
c
b
Se cumple: AC. BD = a.c + b.d
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes
E A
B F
N
C
B
F
E
A
EN . NF = AN . NB AC . AB = AF . AE
Teorema de la tangente Teorema de Ptolomeo
E
A B
F
AB = BF . BE x . y = a . c + b . d2
b
y x
ca
d
RESUMEN:TEOREMA DE LAS CUERDAS
a
bx
ya.b = x.y
TEOREMA DE LA TANGENTEx
b
a
=a.b
TEOREMA DE LAS SECANTESa
by
x
x. y = a.b
PROPIEDADES.En un semicírculo, se tiene:
h
nm
= m.n
cm
x = m.c
x
R
Rx=
AB =
Rr
A B
Tangente comúnexterna
CircunferenciasTangentes
AB = Rr2R
r
A B
CircunferenciasSecantes
Circunferenciasortogonales
222 rRd R r
d
RAYOS ISOGONALES
Son aquellos que, partiendo del mismo
vértice de un ángulo forman ángulos congruentes
con los lados del mismo.
Ejemplo:
. OM
y ON
son rayos isogonales con
respecto a los lados OA
OB
y delAOB .
A
M
N
B
O
TEOREMA DE LAS ISOGONALES
1er Caso:
En la figura si CM y CN son segmentos
isogonales con respecto a los lados CB
y CA
del
BCA tales que: M BA y Na la
circunferencia circunscrita, entonces se cumple que:
m na b
C
AB M
N
a b m n
Demostración:
• Por ser inscritos que se oponen al mismo
B N arco
• BCM ACN CM BC=AC CN
m ab n
a b m n
Corolario 1:
Cuando en un se traza una bisectriz interior.
a b
C
ABM
N
Se cumple que:
CM CNa b
2do Caso:
En la figura si CM y CN son segmentos
isogonales con respecto a los lados CB
y CA
tales que:
. M a la circunferencia circunscrita
Na la prolongación de BA , entonces secumple que:
m
na b
C
AB
M
N
a b m n
Demostración:
• Se deduce que CMB CAN
• BCM ACN CM BCAC CN
m ab n
a . b = m . n
Corolario 2:
Cuando en un se traza una bisectriz exterior.
xa b
C
AB
M
N
y
Se cumple que:
a b x y
TEOREMA DEL PRODUCTO DE 2 LADOS
En todo , el producto de las longitudes de
dos lados es igual a la altura intermedia, por el
diámetro de la circunferencia circunscrita.
ha b
C
AB H
R
2Ra b h
Demostración:
ha b
C
AB H
R
R
D
O
• BCH DCA porque los inscritos B
y D son congruentes
• Por el Teorema de las isogonales.
2Ra b h
TEOREMA DEL CUADRADO DE LA
BISECTRIZ INTERIOR
En todoABC, si CD es una bisectriz
interior de longitud “x” se cumple que:
a b
C
AB Dm n
2x a b m n
Demostración:
a b
C
AB Dm n
E
• Por el corolario 1 del Teorema de las
isogonales:
ab = (CD)(CE)
ab = x(x + DE)
ab = x2+ x DE .................. (I)
• Por el Teorema de cuerdas:
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
xDE = mn ................ (II)
(II) en (I) ab= x2
+ mn
2x a b m n
TEOREMA DEL CUADRADO DE LA
BISECTRIZ EXTERIOR
En todo ABC, si CD es una bisectriz
exterior de longitud “x” se cumple que:
ab
AB D
mn
C
x
2x m n a b
Demostración:
xa b
C
AB
E
D
y
n
m
• Por el corolario 2 del Teorema de las
isogonales:
ab = xy
• Por el Teorema de las secantes:
mn = (x + y) . x
2
2m n x x ym n x a b
2x m n a b
TEOREMA DE PTOLOMEO
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el
producto de las longitudes de las diagonales es igual
a la suma del producto de las longitudes de los lados
opuestos.
DA
BC
a
b
c
d
x y a c b d
TEOREMA DE VIETTE
En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el
cociente de las longitudes de las diagonales es igual
al cociente de la suma del producto de las longitudes
de los lados que concurren en los extremos de cada
diagonal.
DA
B
C
a
b
c
d x b c a dy a b c d
TEOREMA DE CHADU
Si el triángulo ABC es equilatero y “P” es un
punto cualquiera del arco .
CA
PB
PC PA PB
PROPIEDAD
1 Si el cuadrilátero ABCD es inscriptible,
entonces:
DA
B
C
P
PB PC PA PD
2
r
RT
PQ
x
Si: P, Q y T son puntos de tangencia
2 Rx r
3
PQ
M
N
Si: P y Q son puntos de tangencia
PQ MN
Es todo polígono convexo, que tienen sus ladosy ángulos iguales.
Todo polígono regular es equilátero yequiángulo
Todo polígono regular es inscriptible ycircunscriptible.
Es decir puede ser inscrito y circunscrito a doscircunferencias concéntricas.
o
R ap
Polígono regular(hexágono)
A
B
C
OR
R
Hl n
l nº
º
º
“o”: Centro del polígono regular es el centrocomún de las circunferencias
R: Radio del polígono regular; es el radio de lacircunferencia circunscrita.(Circunradio)
ap : Apotema del polígono regular, es el radio dela circunferencia inscrita.
Arco o central : 360ºº
n
POLÍGONOS REGULARES IMPORTANTES
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
3R3 l
= mAB = 120°
A B
OR
60°
3l
C
3R
30°
En AOB:
2
3l
60°
º= 120°
B
A C
120° 120°
120°
O
Rl3 l3
Hap3
ap3 = r =2
R 23 3
4
RAREA
CUADRADO
A D
90°ORl4
H
ap4
90°
90°
90°
l4
l4
B C
ap4 = r = 2
2
R
2R4 l
= mAB = 90°
AB
OR
4l
C En el AOB:
R
D4l
= 90° 4l
º
22AREA R
”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …
F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o
HEXÁGONO
R6 l
= mAB = 60°A
B
O 60°
C
En el AOB:
R
D
6l
R
E
F
º = 60°
A F
OR
l6H
ap6
60°C D
l6l660° 60°
60°
l6
B E
ap6 = r =3
2
R
2
33 2RAREA
OCTÓGONO REGULAR
A
B
O 45°
En el AOB:
8lR
R
22R
R2R2
45RCos2RR
8
22222
8
2228
l
l
l
° = mAB = 45°
CÁLCULO DEL APOTEMA (Ap)
A
B
O
En el AOB:
R
R
Apotema
22212
4
2n2R42
4
2n22
nR4Ap
Ap
RAp
l
l
l
l n2nl -
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA YEXTREMA RAZÓN
A C Bx
l
(AC> CB)
Por definición :
2)15(
2
x
)x(x
l
ll
entonces, la solución es :
* AC (o sea "x") es la sección áurea de AB .
* 5 1
2
se le denomina número áureo.
POLÍGONOSREGULARES
Triángulo
Cuadrado
Hexágono
Pentágono
Octógono
Decágono
DodecágonoRegular
120°
90°
60°
72°
45°
36°
30°
3R3 l
2R4 l
R6 l
52102R
5 l
22R8 l
2/)15(R10 l
32R12 l
Arco o < central) Lado
R : circunradio
Si x es la sección áurea de AB.
2/)15(x lA Bx
l
LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA (Lc)
La longitud de una circunferencia es igual a sudiámetro multiplicado por pi ( )
R Ro
D
.DLc
D: diámetro
D
Lc
.....658979323843141592653Aproximado: 31416 su inverso
...31830988,01
7
22 1023