clasificacion problemas resueltos

”Sirviendo al Pueblo con la Educación” …Lo que todos deben saber……Geometría……Quispe Juaregui……Alfredo …

F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o F o r m u l a r i o

Problemas resueltosLínea rectaEs una sucesión ilimitada de puntos los cualessiguen una misma dirección.

A B

Notación: AB

Se lee: línea recta "AB"

a

Notación: a

Se lee: línea recta "a"

* Observaciones

- Líneas rectas secantes:

a

b

Punto común

- Líneas rectas paralelas:

mn

m n//

- Rayo:

AO

Notación: OASe lee: Rayo OA.

- Segmento de recta:

BA

Notación: ABSe lee: Segmento de recta "AB".

DEFINICIÓN. Es una línea recta comprendidaentre dos puntos, incluyendo a éstos. Secaracteriza por tener longitud, la cual es unnúmero real positivo.

AXIOMAS, TEOREMAS Y POSTULADOS.

1. AXIOMA“El todo es igual a la suma de sus partes”

A B Cba

AB = a + b

2. POSTULADO“ Si un segmento se divide en dos partes, una

parte es igual al todo menos la otra parte”

A B Cb

a

AB = a – b

3. POSTULADO DEL PUNTO MEDIO:

“ Todo segmento tiene un único punto medio elcual está a igual distancia de los extremos”.

A BM

Punto medio

AM = MB

SECCIÓN ÁUREA: La sección áurea es lamedia geométrica entre el segmento menor y elsegmento total que se determina al tomar unpunto interior en un segmento dado.

A B C

a

x a-x

)(2 xaax 2

5aax

AB es la sección áurea de AC

2

)15( ACAB

Donde:2

15 es llamado número áureo.

Línea quebrada o poligonal

Línea curva

Línea mixta

Problemas resueltosEs la figura geométrica formada por dosrayos que tienen el mismo origen llamadovértice.

A

BO

Región interiordel ángulo AOB

ELEMENTOSLados: OA y OB

Vértice: O

Notación

Ángulo AOB: AOB ó BOA

Medida del ángulo AOB: m AOB

m AOB =

BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Es aquel rayo ubicado en el interior del ángulo,

cuyo origen es el vértice de dicho ángulo y que

forma con sus lados, ángulos de igual medida.

O

A

B

P

En la figura: OP

Bisectriz del ángulo AOB

O :OP Biseca al AOBEntonces:

º POBMAOPm

CLASIFICACION

I. POR LA MEDIDA ANGULAR

ÁNGULO NULO

θ = 0º

ÁNGULO AGUDOCuando su medida es mayor que 0° y menorque 90°.

θº0º< θ < 90º

ÁNGULO RECTOCuando su medida es igual a 90°.

o

θ=90º

θ

ÁNGULO OBTUSOCuando su medida es mayor que 90° y menorque 180°.

O

θ90º <θ<180º

ÁNGULO CONVEXO 0º < θ <180º

ÁNGULO LLANO O LINEALCuando su medida es igual a 180°.

θ=180º

ÁNGULO DE UNA VUELTA

1V= 360ºÁNGULO CÓNCAVO O NO CONVEXO

180º < θ <360º



II. POR LA POSICIÓN DE SUS LADOS

Ángulos consecutivos

o

4 ángulosconsecutivos

A

B

C

D

EO

En la figura los ángulos: AOB, BOC, COD y

DOE son consecutivos.

Entonces:

AOEm

- Ángulos consecutivos en un mismosemiplanoLos ángulos AOB, BOC, COD y DOE sonconsecutivos.

A

C

O

B

D

E

+ + + =180°

Ángulos coplanares alrededor del vértice

° + ° + ° + ° = 360°

A

B

C

D

O

Ángulos opuestos por el vértice

Un ángulo se denomina opuesto por el vértice

de otro, si los lados de éste, son las

prolongaciones del otro.

A

Bθ

o

A`

B`

Ángulos adyacentesSon dos ángulos que tienen el mismo vértice yademás están situados a distinto lado de unlado común.

oθ

x

A B

C

X

Lado común

O

A B

C

AOB y BOC son adyacentes

Ángulos adyacentes complementarios:

Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas

suman 90°

A

M

BO

90º

Ángulos Adyacentes suplementarios:

Son dos ángulos adyacentes cuyas medidas

suman 180°. A estos también se le denomina

“PAR LINEAL”.

A B

C

O

180º

III. SEGÚN SU RELACIÓN

1. Ángulos complementarios: Es cuando

las medidas de dos ángulos suman 90°

A B P

RQO

90º

Complemento: (C): Es lo que le falta a un

ángulo para ser igual a 90°.

C (90º ) Se lee: El complemento de es

º90 .

2. Ángulos Suplementarios: Es cuando

las medidas de los dos ángulos suman 180°

O QA

B P

R

180º

Suplemento (S): Es lo que le falta a un ángulo

para ser igual a 180°.

S (180º )

Se lee: El suplemento de es º180 .

º90...

...

"")..12(

)(

""..2

)(

Cvecesk

Cvecesk

CCCC

CCCC

º180...

...

"")..12(

)(

""..2

)(

Svecesk

Svecesk

SSSS

SSSS

Ángulo Complemento Suplemento

50°48°72°x°

2 °

40°42°18°

90° - x°90° - 2 °

130°132°108°

180° - x°180° - 2 °

Problemas resueltosDEFINICIÓNSe denomina así a dos rectas ubicadas en unmismo plano y que no se intersecan.

1L

2L

NOTACIÓN: L1 L2Se lee: la recta L1 es paralela a la recta L2

ANGULOS DETERMINADOS POR DOS

RECTAS PARALELAS L1 L2 Y UNA

SECANTE LS A AMBASAl trazar una recta secante o transversal a dosrectas paralelas, se forman ocho ángulos cuyasmedidas guardan ciertas relaciones.

Veamos

L S

L 2

L 1

1

11

122

22

I. ÁNGULOS EN ALTERNOS INTERNOS

(Sus medidas son iguales) L1 L2

L1

L2

L1

L2

II. ÁNGULOS CORRESPONDIENTES

(Ambos tienen igual medida) L1 L2



L1

L2

L1

L2

III. ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS

(sus medidas suman 180°) L1 L2

L1

L2

180°

Propiedades

1. Si: L1 // L2

Demostración:

L1

L1

L2

L2

x

x

x = +

x = +

Demostración:

L1

L1

L2

L2

x

x

x = +

x = +

2. TEOREMA DE SARRUS: Si 21 // LL

Demostración:

L1

L1

L2

L2

+ + = a° + b° + c°

a° + b° + c° = + +

a°

a

b°

b

c°

c

n

m

p- cc

b - ( - c)- c

a -

entre: n // ma - + b - ( - c) =

Trazando: n // m // p // L // L21

3. Si: L // L21

L1

L2

+ + + ...... + = 180°

Demostración:

+ + + ...... + = 180°

En el triángulo sombreado:

+ +

+

L1

L2

Problemas resueltosTriángulo RectilíneoEs el que se forma al unir tres puntos nocolineales con segmentos de recta.

B

A C

ac

b

Lados: ACBCAB ,,

Vértices: A, B, CTriángulo ABC: ABCMedida de los lados: a, b, c

DefiniciónSon aquellas figuras cerradas formadas

por la intersección de tres rectas que se cortande dos en dos.

A

c

b

a

C

B

Regióninterior

°

°

°

Elementos:

Vértices : A, B, C

Lados : AB, BC, AC

Ángulos

Perímetro: 2p = BC + AC + AB 2p = a + b + c

Internos ó<A, <B, <C

Externos ó, , ° ° °

Notación: ABC

A

c

b

a

C

B

Regióninterior

°

°

°

Elementos:

Vértices : A, B, C

Lados : AB, BC, AC

Ángulos

Perímetro: 2p = BC + AC + AB 2p = a + b + c

Internos ó<A, <B, <C

Externos ó, , ° ° °

Notación: ABC

A

B

C

Puntos interiores

Puntos exteriores relativos al lado AC.

* Se denomina región triangular a la reuniónde los puntos del triángulo y los puntosinteriores.

A

B

C

Puntos interiores

Puntos exteriores relativos al lado AC.

* Se denomina región triangular a la reuniónde los puntos del triángulo y los puntosinteriores.

PROPIEDADES FUNDAMENTALESx

y

z

β

α θ

c a

b

x + y + z = 360º, ángulos exteriores

º180 , ángulos interiores

x ; y ; z

2p = a + b + c, perímetro

2

cbap

semiperímetro

Clasificación de los triángulos

1. DE ACUERDO A LA LONGITUD DE SUSLADOS

a. EscalenoTodos sus lados son de diferente medida.

a b

c

a b c

ABC esescaleno : a b c

b. IsóscelesTiene dos lados iguales y dos ángulos iguales

A C

B

base

AB = BC

ba:IsóscelesesABC

c. EquiláteroTodos sus lados son iguales y sus ángulosinteriores miden 60º.

A C

B

60º 60º

60ºAB = BC = AC

Todo triángulo Equilátero es Isósceles, perono todo triángulo Isósceles es Equilátero.

2. DE ACUERDO A LAS MEDIDAS DE SUSÁNGULOSa. Triángulos oblicuángulos:

- Triángulo acutángulo

Todos sus ángulos interiores son agudos.



0º < , , < 90º

2 2 2ABC esacutángulo a b c

- Triángulo obtusánguloTiene un ángulo interior obtuso

90º < < 180º

2 2 2ABC esobtusángulo , obtuso en c a b c

b. Triángulo rectánguloUn ángulo interior mide 90º.

A B

C

b a

c

Donde: AC : Cateto

BC : Cateto

AC : Hipotenusa

2 2 2ABC esrectángulo,recto en c a b c

RESUMEN:POR SUS LADOS

60º

60º 60º

a a

a

aa

α α

ac

b

equiláteroisósceles

escaleno

POR SUS ÁNGULOSacutánguloRectángulo obtusángulo

α

β α

α >90º

º90,, α = 90º

Triángulos Oblicuángulos

Observaciones:* Se denomina triángulo oblicuángulo aaquel que es acutángulo u obtusángulo.

* Triángulo curvilíneo * Triángulo mixtilíneo

* Triángulo curvilíneo * Triángulo mixtilíneo

Propiedades fundamentales de lostriángulos

1. Suma de ángulos internos es igual a 180º

Demostración:

A

B

C

L1

L2

Por "B" una paralela a AC

en "B":

+ + = 180°

+ + = 180°

2. Suma de ángulos externos es igual a 360º

Demostración:

En el ABC:

+ + = 360°

180°- 180°-

180°-

A C

B

180° - + 180° - + 180° - = 180°

360° = + +

3. Propiedad del ángulo exterior

Demostración:

x

x = +

Por "B" una paralela a AC

x

L1

A

B

C

por alternos internos:

x = +

L2

4. Propiedad de la existencia triangular opropiedad de la desigualdad triangular: Entodo triángulo debe cumplirse que, un ladocualquiera debe ser mayor que ladiferencia de los otros dos y a la vezmenor que la suma de esos otros dos.Siendo: a < b < cEntonces:

a b

c

b - c < a < b + c

a - c < b < a + c

a - b < c < a + b

Corolario 1

“O” es punto cualquiera que pertenece a la

región interior del triángulo ABC:

C

BAl m

n

oab

c

a b cP2

P2nmlP

ac

b

ac

b

Si: < 90°

a < b + c

2 2

Si: > 90°

a > b + c

2 2

DEMUESTRE CADA UNA DE LASPROPIEDADES ADICIONALES

x

y

z

2p x y z p

x

y

z

b a

c

:Si a b c x y z a b

5. Cuadrilátero cóncavoo no convexoDemostración:

x x

x = + +

En el triángulo sombreado:

x = + +

+

6. Cuadrilátero cualquiera

a

b

cd

+ + + = 360°

+ + + = 360°

a + + c = 180°b + + d = 180°

a + b + + + c + d = 360°

(+)

Demostración:

a

b

cd

+ + + = 360°

+ + + = 360°

a + + c = 180°b + + d = 180°

a + b + + + c + d = 360°

(+)

Demostración:

7.

2

a2 = 60°

= 30°

2aD

E

C

PROPIEDADES ADICIONALES

x

β

θ

α

x

α

β

θ

2

x

α

x

xαθ



SEGMENTOS Y LÍNEAS NOTABLES EN ELTRIÁNGULO

CEVIANAEs aquel segmento que tiene por extremos unvértice del triángulo y un punto cualquiera dellado opuesto o de su respectiva prolongación.En todo triángulo se pueden trazar infinitascevianas.

Ceviana interiorCeviana exterior

Punto de intersección de las cevianas se llamaCEVACENTRO

MEDIANAEs aquel segmento que tiene por extremos unvértice del triángulo y el punto medio del ladoopuesto a dicho vértice

Mediana

A m M B

C

m

Donde:

•Si: CM es mediana relativa a AB y M espunto medio de AB .

Importante:El punto de intersección de las medianas de untriángulo se denomina "Baricentro" y forma encada mediana segmentos proporcionales de 2 a1.

A C

P N

B

G

M

"G": Baricentro o Gravicentro

AG = 2GN BG = 2GM CG = 2PG

A C

B

MA

G

C

B

M

a

2a N

baricentro

ALTURAEs aquel segmento perpendicular trazado de unvértice del triángulo hacia al lado opuesto ohacia su respectiva prolongación

altura

MA B

H

C

Donde:

• CM es altura relativa a AB

• AH es altura relativa a BH , ACB esobtusángulo ( >90°).

OO: ORTOCENTRO:Punto de corte de lasalturas

En un triángulo obtusángulo:

O: ORTOCENTRO

MEDIATRIZEs la recta perpendicular a un lado cualquieradel triángulo en su punto medio

A BM

L1

P

Q

R

L2

A M C

B L3

L es mediatrizde AB

AM = MB

1

L es mediatrizde PQ

PR = RQ

2

L es mediatrizdel lado AC

AM = MC

3

CC: CIRCUNCENTRO:Punto de corte de lasmediatrices

A

B

C

Mediatriz del lado BC.

A BM

L1

P

Q

R

L2

A M C

B L3

L es mediatrizde AB

AM = MB

1

L es mediatrizde PQ

PR = RQ

2

L es mediatrizdel lado AC

AM = MC

3

BISECTRIZ INTERIOREs la ceviana interior trazado desde un vérticedel triángulo que biseca o divide en partesiguales al ángulo interior. En todo triángulo sepueden trazar tres bisectrices interiores y seisexteriores.

Bisectrizinterior

α α

A M B N

C

Donde:

• CM : Bisectriz inferior relativa a AB .

• CN : Bisectriz exterior relativa a AB .

I

αα

ββ

I: INCENTRO: Punto decorte de las bisectricesinteriores

BISECTRIZ EXTERIOREs la ceviana exterior trazado desde un vérticedel triángulo que divide en partes iguales alángulo exterior

Bisectrizinterior

αα

Bisectrizexterior

E: EXCENTRO:Punto de corte de lasbisectrices exteriores

α α

E

Observación: Todo triángulo tiene 3excentros

A

B

C

rAC

rBCrAB

PROPIEDADES CON ÁNGULOSDETERMINADOS POR LINEAS NOTABLESNOTA: En todo isósceles 0 equilátero la alturarelativa a la base es también mediana, bisectriz y

mediatriz

AlturaMedianaBisectrizMediatriz

α αB

H

BH

NOTA: En todo equilátero los puntos notablescoinciden en un único punto

OrtocentroIncentroBaricentroCircuncentro

En todo triángulo rectángulo la medianarelativa hacia la hipotenusa trazada desde elv’ertice del ‘angulo recto es la mitad de esta

B

A B C

2

ACBM

B

M3a 3a

2a a

Ortocentro

Baricentro Circuncentro



PROPIEDADES:

ββ

x2

º90x

α α

x

2º90

x

α α

aa

x2

x

x

αβMHA

B

C

BH: AlturaBM: Bisectriz

2

x

Demostración:

A

B

C

Ix

x

n

n

+ + n = x

+ + x = 180°

(1)

(2).....

.....

x = 90° + n2

(1) - (2) :

n - x = x - 180°

x = 90° +

I Incentro

n2

Demostración:

A

A

B

B

C

C

E

E

x

x

n

180° - n

ABC:

2 + 2 + 180° - n = 360° ... (1)

+ + x = 180° ... (2)

2 + 2 + 2x = 360° ... (3)

AEC:

(1) - (3) :180° - n - 2x = 0

x = 90° - n2

E Excentro

x = 90° - n2

Demostración:

ABC:

E Excentro

A

A

C

C

B

B

E

E

n

n

x

x

2 + n = 2 ..... (1)

+ x = ..... (2)

2 + 2x = 2 ..... (3)

(1) - (3) : n - 2x = 0

x = n2

EAC:

x = n2

Demostración:

A

B

CH D

x

- x + A = 90° ..... (1)

x + + C = 90° ..... (2)

(1) - (2) :

x = A - C2

A - C - x - x = 0 x = A - C2

B

HA

- x

B

H C

+ x

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

I. TEOREMA DE PITÁGORAS

En todo triángulo la suma de los

cuadrados de las longitudes de sus

catetos es igual al cuadrado de la

longitud de la hipotenusa.B

C Ab

c

a

Si a + b = c22 2 + = 90°

II. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES

Denominamos así a aquellos triángulos

rectángulos en los cuales conociendo las

medidas de sus ángulos internos

(denominados ángulos notables) se

establece una determinada relación

entre las longitudes de sus lados y

viceversa.

A. Triángulo Rectángulo Notable: (45º–

45º)

a

a45°

a 2

a

a 2a

45º

45º

60º

n

n 3

2n

30ºa

a2

2

2

a

45

45

B. Triángulo Rectángulo Notable: (30°–60°)

a 2a

30°a 3

60°

C. Triángulo Rectángulo Notable: (15°–75°)

1)

2–6a 2+6aa

15°75°4a

2)

75°2a

15°

3+ 1a

3 –1a

D. Triángulo Rectángulo Notable:

(22°30’–67°30’) Ó ( 45º22º 30 '

2 )

22°30’

a222a

2 + 1a

67°30’

E. Triángulo Rectángulo Notable: (36°–54°)

54°

36°

4a52–10a

5 + 1a

F. Triángulo Rectángulo Notable: (18°–72°)

72°

18°

4a5 + 1a

52+10a

III. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES APROXIMADOS

A. Triángulo Rectángulo Notable: (37°–

53°)

53°3a

5a4a

B. Triángulo Rectángulo Notable: (14°–

76°)

76°

14°4a

a 17a

C. Triángulo Rectángulo Notable: (16°–

74°)

74°

16°

25a

24a

7a

D. Triángulo Rectángulo Notable: (8°–82°)



82°

8°7a

a2a5

E. Triángulo Rectángulo Notable: (20°–70°)

70°

20°11a

4a 137a

F. Triángulo Rectángulo Notable: (40°–50°)

5a

40°6a

61a50°

G. Triángulo Rectángulo Notable: (18°30’–

71°30’) Ó37º

18º 30 '2

a

3a18°30’

10a

3a

4a

37º

53º

5a

2b

b 5b

53º2

3k

k 10k

37º2

H. Triángulo Rectángulo Notable: (26°30’–

63°30’) Ó53º

26º 30 '2

63°30’

26°30’2a

a5a

3a

4a

37º

53º

5a

2b

b 5b

53º2

3k

k 10k

37º2

TRIÁNGULOS PITAGÓRICOSA todo triángulo rectángulo cuyos lados tienenmedidas expresadas en números enteros, se lellamará TRIÁNGULO PITAGÓRIGO

FORMA GENERAL:

22 ba 2ab

22 ba

baZba ,

FORMAS PARTICULARES

12 n

n2

12 n2

12 n

2

12 n

n

n:par n:impar

Algunos triángulos pitagóricos son: 3 , 4 y 5 5, 12 y 13 7, 24 y 25 9, 40 y 41 11, 60 y 61 13, 84 y 85 8,15 y 17 20, 21 y 29 cateto, cateto e hipotenusa ……………………..

Demostración:

*

a a 5

2a53°/2

*

a a 10

3a37°/2

2 = 53°

2 = 37°

=

=

53°2

37°2

3n

5n37°

4n

53°

5n

4n 5n

3n53°

37°

5n

Demostración:

A

B

CH75°

h

15°

h = AC4

DEMOSTRACIÓN

A

B

CH75°

h

15°

* Se traza la mediana BM

BM = (Propiedad)

2a

30°M

2a 2a

15°

* Luego rectángulo BHM (30° y 60°)

AC2

BH = BM2

...... (1)

......................... (2)

de (1) y (2):BH =

AC22

Luego: BH = AC4

Problemas resueltosDos triángulos son congruentes o iguales setienen la misma forma (ángulosrespectivamente de igual medida) y el mismotamaño (lados respectivamente de iguallongitud).

Símbolo de congruencia

β

α θA

B

C

a

b

cβ

α θA’

B’

C’

a

b

c

ABC A’B’C’∆ ≅ ∆

CONDICIONES PARA LA CONGRUENCIA DEDOS TRIANGULOS

1) Lado – Ángulo – Lado (LAL)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen un lado, un ángulo y un ladorespectivamente de igual medida.

β

A’

B’

C’

acβ

R

Q

P

a c

ABC RQP∆ ≅ ∆

2) Ángulo – Lado – Ángulo (ALA)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen un ángulo, un lado y un ángulorespectivamente de igual medida.

βαA

B

C

α

P

Q

b

ABC QPR∆ ≅ ∆

βR

3) Lado – Lado – Lado (LLL)Dos triángulos serán congruentes cuandotienen sus tres lados respectivamente de igualmedida.

C

B

A

c a

ABC RQP∆ ≅ ∆

b P

Q

R

ca

b

ojo) Ángulo mayor – Lado – Lado (ALL)

α αa

b

a

b

NOTA(1):para que dos triángulossean congruentes bastaráque tengan treselementos de igualmedida respectivamente;donde al menos uno deello es un lado.

NOTA(2)Dos triángulosrectángulos soncongruentes si tienendos pares de elementosiguales, aparte delángulo recto.

APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA

1. TEOREMA DE LA BISECTRIZCualquier punto de la bisectriz de un ánguloequidista de los lados de dicho ángulo; además,se forma en cada lado segmentos de igualmedida.

O

A

B

LP

Q

R

L es bisectriz del ángulo AOB

PQ = PROQ = OR

2. TEOREMA DE LA MEDIATRIZCualquier punto de la mediatriz de un segmentoequidista de los extremos de dicho segmentoformándose un triángulo isósceles.



A M B

PL

L es mediatriz de AB.

AP = BPAPB: Isósceles

3. TEOREMA DE LA BASE MEDIASi por el punto medio de un lado de un triángulotrazamos una paralela a un segundo lado, dichaparalela cortará al tercer lado en su puntomedio, además, el segmento de paralela que sedetermina es la mitad del lado al cual esparalelo.

L1

A C

B

M N

Si: L // ACAM = BM

1

BN = NC

MN = AC2

4. TEOREMA DE LA MEDIANA RELATIVA ALA HIPOTENUSA

En un triángulo rectángulo, la mediana relativaa la hipotenusa es la mitad de la hipotenusaformándose dos triángulos isósceles.

A M C

B

Si: BM es mediana

BM = AC2

BMC; AMB: 's isósceles

NOTA:

b

2b

5. Propiedad del triángulo isósceles: Sitrazamos la altura en la base de untriángulo isósceles, dicha altura serátambién mediana, bisectriz y mediatriz.

B

A CH

Si: AB = BC

BH:Altura; Mediana;Bisectriz; Mediatriz

b. La suma de las distancias EP y EQ ,nos da la altura AH .

A C

BE Punto cualquiera

de la base AC

Q

E

P

H

NOTITA:En todo triángulo una mediana estácomprendida entre la semisuma y lasemidiferencia de los lados adyacentes a ella.

A

22

cam

ca

B

C

acm

M

Problemas resueltosCRITERIO UNO: TRAZO DE LA CEVIANACuando se observa un triángulo que tengaángulos interiores en la relación de 1 a 2, de lasiguiente forma:

2

2 2

Se traza una cevianainterna tal que forme unángulo igual al mayor enla misma base deltriángulo

2

Se traza una cevianaexterna tal que forme unángulo igual al menor enla misma base deltriángulo

PROBLEMACalcular el valor de “x”A) 10ºB) 20ºC) 30ºD) 40ºE) 25º

º20º40

x

CRITERIO DOS: COMPLETANDO A UNTRIÁNGULO ISÓSCELESCuando se observe en un triángulo unabisectriz interior, se buscará completarlo a untriángulo isósceles

. Altura

. Mediana

. Bisectriz Interior

. Mediatriz


A

B C

D

X

35o

25o25o

30o

CRITERIO TRES: COMPLETANDO A UNTRIÁNGULO EQUILÁTEROCuando se observa en un triángulo un ángulode 30º y como éste valor es la mitad de 60º, sebuscará formar externamente un triánguloequilátero.

Seobserva

30o

2

30o

2

30o

Rectamediatriz

Se forma triángulo equiláteroexternamente

30o30o

Rectamediatriz

En un triángulo equilátero


30o

2

CRITERIO CUATRO: PROPIEDAD DE LABISECTRIZCuando se observa en una figura de lasiguiente forma se realizara el siguiente trazo.

2



NOTA:Se observa la siguiente figura:

º90

2

Se obtiene, luego se observa dos triángulosisósceles

º90

2

º90

º90

Problemas resueltos

Es la figura geométrica, que se forma al unirconsecutivamente tres o más puntos nocolineales, mediante segmentos de recta, de unmismo plano.

A

B C

D

EF

P Q

e1

i1

i2

e2

e3Vértices

Lados

Ángulos interiores

Ángulos externos

Diagonal

Diagonal media

Perímetro

: A, B, C, ...

: AB, BC, CD, ...

: i , i , ...

: e , e , e , ...

: BD, FC, ...

: PQ, ...

: AB + BC + CD + ...

1 2

1 2 3

ELEMENTOS

A

B C

D

EF

P Q

e1

i1

i2

e2

e3Vértices

Lados

Ángulos interiores

Ángulos externos

Diagonal

Diagonal media

Perímetro

: A, B, C, ...

: AB, BC, CD, ...

: i , i , ...

: e , e , e , ...

: BD, FC, ...

: PQ, ...

: AB + BC + CD + ...

1 2

1 2 3

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

A. Por la Región que Limitan

1. Polígono Convexo

Dado dos puntos cualesquiera P y Q que

pertenezcan a la región poligonal; al unirlos

mediante un segmento; si este pertenece en su

totalidad a la región poligonal, se dice que el

polígono es convexo.C

B

AE

DP

Q

Región PoligonalPolígono

2. Polígono No Convexo o Cóncavo

Dado dos puntos cualesquiera P Q que

pertenezcan a la región poligonal; al unirlos

mediante un segmento; si este no pertenece en

su totalidad a la región poligonal, se dice que el

polígono es no convexo.

PolígonoB

A

E

D

CP

QRegión Poligonal

POLÍGONOCONVEXO

POLÍGONOCÓNCAVO

B) SEGÚN EL NÚMEROS DE LADOS

3 Lados4 Lados5 Lados6 Lados7 Lados8 Lados9 Lados10 Lados11 Lados12 Lados15 Lados20 Lados

TriánguloCuadriláteroPentágonoExágonoHeptágonoOctógonoNonágono o EneágonoDecágonoEndecágonoDodecágonoPentadecágonoIcoságono

N° de Lados Nombre

NOTITA:Polígono de 23 ladosPolígono de 40 ladosPolígono de 300 lados……Polígono de más lados: circunferencia

C) POR LAS MEDIDAS DE SUS LADOS YÁNGULOS

C.1. POLÍGONO EQUILÁTERO

Lados del polígono son de igual medida,pueden ser convexo o cóncavo.

A

B

C

DE

a a

aa

aPolígono Convexo

A C

DE

aB

a a

a

aPolígono no Convexo

a

a

a

aa

aee

e

e

e

ee

e e

C.2. POLÍGONOS EQUIÁNGULOCuyos ángulos son de igual medida,siempre son convexos.

A

B C

D

EF

60º

60º

60º

αα

α

α α

i i

i

e

C.3. POLÍGONO REGULAR

Es aquel polígono equiángulo y

equilátero a la vez.

A

F a E

a

D

CB a

a a

a

a

a

60°O

a/2a/2

L

0: Centro del polígono ABCDEF regular.

0: Punto de concurrencia de lasmediatrices de los lados del polígono.

60º

60º

60º

108º

a

a

a

a 108º108º

108º 108º

Todo polígono Regular pueden ser inscritas ycircunscritas a dos circunferencias que tienen elmismo centro.

e

c

O

i

O centroc ángulo centrale ángulo exteriori ángulo interior

TEOREMAS EN UN POLÍGONO CONVEXO

DE “n” LADOS

Donde: n = Número de lados = número de

vértices = número de ángulos internos.

1. Teorema 1

Si en un polígono de “n” lados se trazan todas

las diagonales desde un vértice el polígono

queda dividido en (n–2) triángulos.

# de triángulos = n – 2

2. Teorema 2

Si desde uno de los lados se trazan segmentos

hacia todos los vértices, el polígono de “n”

lados queda dividido en (n–1) triángulos.

# de triángulos = n – 1



3. Teorema 3

Si un punto de la región interior, se une

mediante segmentos de recta con todos los

vértices del polígono de “n” lados se obtiene “n”

triángulos.

# de triángulos = n

4. Teorema 4: (Suma de las medidas de los

ángulos internos)

En todo polígono de “n” lados esta suma es:

1

2

3

4

5

S s internos = 180° (n – 2)

5. Teorema 5: (Medida de un ángulo interiorde un polígono equiángulo)

180° (n – 2)1 interior =n


ángulos externos)

En todo polígono convexo, la suma de todos los

ángulos externos (uno por vértice) es 360°.

2

1

6

5

4

3

externo

S s externos = 360°

7. Teorema 7: (Medida de un ángulo exterior

de un polígono equiángulo)

360°1 exterior =n


ángulos centrales de un polígono regular)

O

C

S s centrales = 360°

360°1 central =n

9. Teorema 9: (Número de Diagonales desde

1 vértice)

En todo polígono de “n” lados el número total

de diagonales que se pueden trazar desde un

vértice es:

roN d = n – 3

10. Teorema 10: (Número Total de

Diagonales)

En todo polígono de “n” lados el número total

de diagonales es:

ro n n – 3N D =

2

11. Teorema 11

(Número de Diagonales medias desde el

punto medio de un lado)

Una diagonal media es un segmento que une

los puntos medio de dos lados cualquiera.

romN d = n – 1

12. Teorema 12

(Número total de diagonales medias)

En un polígono de “n” lados el número total de

diagonales medias es:

rom

n n – 1N D =

2

13. Teorema 13

(Número de Diagonales desde cada vértice

consecutivo)

ro

mo

N de Orden del vértice N d1° vértice n – 32° " n – 33° " n – 44° " n – 5

k " n – (k+ 1)

Antepenúltimo " 1Penú

ltimo " 0Ultimo " 0

Fórmula:

ro(n,k)

1N D n k – (k 1)(k 2) ; k n2

n = número de lados

k = número de vértices consecutivos

Nro D(n,k) = número de

diagonales desde “k” vértices consecutivos en

un polígono de “n” lados.

14. Teorema 14

(Número de Diagonales medias desde cada

lado consecutivo)

rom

mo

N de Orden del lado N d1° lado n –12° " n – 23° " n – 3

k " n – k

Penúltimo " 1Ultimo " 0

Fórmula:

ro(n,k)

1N DM n k – k(k 1); k n2

n = número de lados

k= número de lados consecutivos

Nro DM(n,k) = número de diagonales mediasdesde “k” lados consecutivos en un polígono de“n” lados.

RESUMEN:PROPIEDADES1. EN TODO POLÍGONO SE CUMPLE:Si “n” es el número de lados de un polígono.

º360º360

)2(º1802

)3(º

3º

ººº

..

int..

...

int.

centralesenteriores

erioresdiagonal

detotal

vérticesolounde

trazadasdiagonales

erioresladosvértices

ss

s

s

SS

nSnn

N

nN

nNNN

2. EN TODO POLÍGONO REGULAR SECUMPLE:

nm

nm

n

nm

centralexterior

erior

º3601

º3061

)2(º1801 int

OBSERVACIONES

1. Desde“v” vértices consecutivos se puedetrazar:

2

)2)(1(.º

vvvnN diagonales

2. Para polígonos estrellados se cumple:

La suma de las medidas de los ángulos de laspuntas es:

º720)4(º180 .ˆ exterioresp SnS

Si la estrella es regular:



n

nm

)4(º1801

3. Polígono cruzado

4. Polígono AlabeadoCuando sus lados están contenidos endiferentes planos(cuadrilátero alabeadoABCD)

A

B

DC

Problemas resueltosEs aquel polígono de cuatro lados, que puedenser convexos y no convexos.

Aº

BºCº

DºConvexo

Aº+ Bº+ Cº+ Dº = 360º

º

xºº

º

No Convexo

xº = º + º + º

A

B C

D

B

A

D

C

DIAGONALES

A D

C

B

A C

D

B

x°

Notación:

Cuadrilátero ABCD: ABCD y ABCDDiagonales AC y BD

Propiedad

A

BC

D

= 360º+ + +

> 180º

CONVEXOS CÓNCAVOS

> 180º

CONVEXOS CÓNCAVOS

CLASIFICACIÓN DE CUADRILÁTEROS

SEGÚN EL PARALELISMO DE SUS LADOS

1. PARALELOGRAMO

Es el cuadrilátero cuyos lados opuestos son

paralelos. En todo paralelogramo se cumple

que los lados opuestos son congruentes, los

ángulos opuestos son congruentes y las

diagonales se bisecan.

A E

CB

b

b

h2Altura

Alturah1

a

D

F

O

am

nm

n

Características:•AB // CD;AB CD a y BC // AD;BC AD b

•m A m C y m B m D

•AO OC m y BO OD n

•180º

Clasificación de Paralelogramos

A.Romboide: Es el paralelogramo que no es

equilátero ni rectángulo. Ejemplo:

A D

B Cb

b

aa

a b

B C

AD

AO = OCBO = OD

*

a

bn

m a+ b = n+ m

*

A

B C

DO

B C

AD

AO = OCBO = OD

*

a

bn

m a+ b = n+ m

*

A

B C

DO

B. Rectángulo: Denominado también

“cuadrilongo”. Es el paralelogramo equiángulo.

A Db

B C

m m

m m

•Las diagonales son congruentes.

NOTA:

Para todo punto interior de un rectángulo se

cumple:

bba

a

x

y

2 2 2 2a b x y

C. Rombo: Es el paralelogramo equilátero

A D

CB

a a

a

a

O

n

n

m

m

D. Cuadrado: Es el paralelogramo que es

equiángulo y equilátero a la vez.

B C

A Da

a

aa O

45°

m m

m m

•Sus diagonales son congruentes y se bisecan

perpendicularmente.

2. TRAPECIO

Es aquel cuadrilátero que tiene sólo dos

lados paralelos.

A H D

CB

M N h

m

m

n

n

Características

• BasesBC y AD(BC // AD)

• Lados no paralelos:AB y CD

• Altura: BH (BH h)

• Mediana: MN(MN // BC // AD)

CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS

A. Trapecio Escaleno: Es el trapecio cuyos

lados no paralelos son diferentes.

A D

CB

m n

B. Trapecio Isósceles: Es el trapecio cuyos

lados no paralelos son congruentes.



A D

CB

m m

A D

CB

m mP

• En la figura:AC = BD; AP = DP BP = CP

C. Trapecio Rectángulo: Es aquel trapecio

que tiene uno de sus lados no paralelos

perpendi-cular a sus bases.

• En la figura: AB BC y AB AD

• CD > AB

TEOREMA 1

En todo trapecio, la mediana es paralela a

sus bases y su longitud es igual a la

semisuma de la longitud de sus bases.

A D

CB b

a

xNM

m

m

n

n

• En la figura: BC // AD

MN es mediana del trapecio

MN // BC y MN // AD

a bx2

TEOREMA 2

En todo trapecio el segmento que une los

puntos medios de sus diagonales es

paralelo a sus bases y su longitud es igual a

la semidiferencia de la longitud de sus

bases.

A D

CB

P Qy

a

b

• En la figura: BC // AD

• P y Q son puntos medios de AC y BD

PQ // BC y PQ // AD

a – by2

TEOREMA

En todo cuadrilátero al unir en forma

consecutiva, los puntos medios de sus lados

se determina un paralelogramo.

A D

C

BN

ML

S

Si: M, N, L y S son puntos mediosMNLS: Paralelogramo

• En la figura:

El perímetro del paralelogramo MNLS es

igual a la suma de las longitudes de las

diagonales del cuadrilátero ABCD.

(MNLS)2P AC BD

En un trapecio

x

a

b

I

II

Triángulo I y II son semejantes I II

x ab

logParale ramo

RESUMEN:

CLASIFICACIÓN

PPARALELOGRAMOS: Sus lados opuestosson paralelos e iguales.

a

a

a

a aa

b

b

45º45º

CUADRADO RECTÁNGULO

a a

a a

n n

m

m

ROMBO

αα

ββ

ROMBOIDE

aa

b

b

º180

PARALELOGRAMOS

RectánguloCuadrado Rombo

Romboide

Altura del paralelogramo

h1, h2 = alturas

A

B C

D

h1

h2

TRAPECIOS: Tiene solo dos lados opuestosparalelos llamadas bases y los otros se llamanlados laterales. La distancia entre las bases sellama altura.

b

B

b

B

b

B

hh

Escaleno Rectángulo Isósceles

h

Donde:B: base mayorb: base menorh: altura

= 180º+ +

Base menor

Base mayor

A

B C

D

Altura del trapecio: Es la distancia entre lasbases.

h = altura

A

B

h

C

DH

TRAPEZOIDESEs aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos noson paralelos, a su vez se clasifican en:

Trapezoide simétrico.- Es aquel trapezoide enel cual una de sus diagonales bisecaperpendicularmente a la otra.AC: eje de simetría.Propiedades:· El eje de simetría biseca ángulos

opuestos.· BC = CD y AB = AD

A

B

C

D

a

a bc

bc

Trapezoide Asimétrico.- Es el trapezoidepropiamente dicho, es decir no tiene ningunacaracterística en especial o simetría.

A

BC

D

Propiedades:

2

bax

x

ββ

ba

2

bax

x

ββ

b

a

01. Demostrar:2

bax

en:

x

ββ

ba

02. Demostrar:2

bax

en:

x

ββ

b

a

03. Demostrar: 2º120 x en:

2θθ

X

04. Demostrar: º120x en:



2θθ

X

OBSERVACIONES: Si las diagonales de un trapecio son

congruentes, entonces se trata de untrapecio isósceles

Si las diagonales de un cuadrilátero sebisecan, entonces el cuadrilátero es unparalelogramo.

En todo paralelogramo, las diagonales sebisecan

En todo rombo y en todo cuadrado, susdiagonales se cortan perpendicularmente

En el rombo y en el cuadrado sus lados soncongruentes.

Si un par de lados opuestos de uncuadrilátero son paralelos y congruentes.Entonces el cuadrilátero es unparalelogramo.

Definición.- Es la figura geométrica planacuyos puntos equidistan de un punto fijollamado centro. La distancia del centro acualquier punto de la circunferencia se llamaradio.

Circunferencia (solo es la línea)

O: centroR: RadioO

R

Longitud de la circunferencia ( cL )

RLc 2

2cL

R

CÍRCULO.- Es aquella superficie planadeterminada por la unión de una circunferenciay su región interior.

Circulo (región)(área interna)

O

Área del círculo (S)2RScírculo

LÍNEAS ASOCIADAS A LACIRCUNFERENCIA

A B

M N

P

H

T

L1

O

L2

En la figura, se tiene la circunferencia de centroO y radio R.

Diámetro (cuerda máxima) : AB (AB= 2R)

Cuerda : MN Arco :

Flecha o sagita : PH Recta tangente : L1

Recta secante : L2

Punto de tangencia : “T”

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

A) Si “T” es punto de tangencia, entonces:

OTL

L1

O T

B) Si A y B son puntos de tangencia, entonces:

OθθP

A

B

PA = PB

También. Si “O” es centro, OP es bisectriz deAPBTangentes comunes

A

B

DC

AB = CD

C) Si AB = CD , entonces.

a

B

A C

D

Ob AB = CD

D) Tangentes comunes interiores

A

C B

D

AB = CD

E) Si A, B y C son puntos de tangencia.

x = 90º

xA C

B

F) Si “M” es punto medio de AB.

θr

R

BA

θ = 90º

G) En circunferencias concéntricas:

A CB

EF

G

D

AB =BC

DE = FG

H) En circunferencias concéntricas:

A

DC

B

AB = CD

Posiciones relativas entre doscircunferencias

Circunferencias tangentes exteriores

RP

AL

B

CD

O r

OP = R + r

Tangentes comunes exteriores:

AB = CD

Tangente común interior:

L OP- Circunferencias tangentes interiores

r O

RP

L

Tangente común exterior:

L OP OP = R - r

- Circunferencias secantesA

B

CD

R

PO

M

N

r

Tangentes comunes exteriores:

AB = CD R - r < OP < R + r

MN OP

- Circunferencias concéntricas

Or

R

Dos circunferencias que tienen el mismocentro.

BC



- Circunferencias ortogonales

R

O

R rrP

L2

L1

1L tangente

2L tangente

OP = R + r22 2

TEOREMA DE PONCELET

En todo triángulo rectángulo, para unacircunferencia inscrita se cumple:

C A

B

r

c

a

b

a + b = 2r + c

r: Inradio

DEMOSTRACIÓN

A

B C

bT

Q

P

r

r

c - r

a - r

r a - r

c - r

a

c I

Del gráfico:c - r + a - r = bc + a = b + 2r

TEOREMA DE PITOT

En todo cuadrilátero circunscrito a unacircunferencia, se cumple que dos ladosapuestos suman igual que los otros dos.

A

a + b = x + y

B C

D

ba

x

y

DEMOSTRACIÓN

A DN

B C

TP

q

mm n

n

p

pq

Q

Del gráfico:AB = m + q ... (I)CD = n + p ... (II)

(I) + (II):AB + CD = m + n + q + pAB + CD = BC + AD

Teorema de Steiner

A

B

C

D

AB - CD = AD - BC

Observaciones

* Q y F puntos de tangenciap semi-perímetro del triángulo ABC.

2cbap

pAFAQ

A

B

Cp

F

Q

ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

ÁNGULO CENTRAL

O

A

B

x

βx = β

ÁNGULO INSCRITOA

B

x

β

2

x

ÁNGULO SEMI – INSCRITOA

B

β

2

x

x

θ

θ

ÁNGULO EXTERIOR

P

A

B

α β

x

2

x

P

A

C Bx

αβ

2

x

xP

A

B

D C

βα

2

x

ÁNGULO INTERIOR

x

A

B C

D 2

xα

β

ÁNGULO EXINSCRITO

x

A

C B

β

α

2

x

PROPIEDADES ADICIONALESDe un ángulo exterior

x

yx + y = 180º

Si “T” es punto de tangencia

x

β

x = β

A

T

B

En toda circunferencia se cumple ( AB :diámetro)

xx =90º

OA B

xa

b

2

bax

CUADRILATEROS INSCRIPTIBLES

DEFINICIONEs aquel cuadrilátero convexo que puedeinscribirse en una circunferencia; es decir, quesus vértices pueden ser ubicados en unamisma circunferencia.Si el cuadrilátero cumple con cualquiera de laspropiedades del cuadrilátero inscrito, seráinscriptible.

A

BC

D

CONDICIONES PARA QUE UNCUADRILÁTERO SEA INSCRIPTIBLE

Propiedad 001Los ángulos opuestos son suplementarios.

x

y

x + y = 180º

Propiedad 002Un ángulo interior es congruente al opuestoexterior.

x

y

x = y

Propiedad 003Las diagonales con los lados opuestos formanángulos congruentes.

x = y

x y



Ejemplos:

1. Si: , entonces este cuadriláteroes inscriptible

2. En este caso observamos dos ángulos quemiden 90º, entonces se cumple que:

.

3. En este otro caso, dos ángulos opuestosson rectos, entonces el cuadrilátero esinscriptible.

Ejemplo: Los siguientes cuadriláteros soninscriptibles.

100º

80º 50º

50º

40º

40º

CONÓCETE,ACÉPTATE…SUPÉRATE

1. Ortocentro.- Se llama así al punto deintersección de las tres alturas de untriángulo. El ortocentro está ubicado en:

* El interior de un triángulo si éste esacutángulo.

O

O ortocentro

* El vértice del ángulo recto si es untriángulo rectángulo.

O

O ortocentro

* El exterior de un triángulo si éste esobtusángulo.

O

O ortocentro

2. Circuncentro.- Se llama así a laintersección de las tres mediatrices de untriángulo. El circuncentro es el centro de lacircunferencia circunscrita.

* Si el triángulo es acutángulo, elcircuncentro estará ubicado en elinterior del triángulo.

RC

C circuncentroR circunradio

* Si el triángulo es rectángulo, elcircuncentro estará ubicado en elpunto medio de la hipotenusa.

CR


* Si el triángulo es obtusángulo, elcircuncentro estará ubicado en elexterior del triángulo.

RC


3. Baricentro.- Se llama así a laintersección de las tres medianas de untriángulo. El baricentro divide a cadamediana en dos segmentos que están enla relación de dos a uno.

A

B

C

G

2a

c a2b

2cb

G baricentro o gravicentro

4. Incentro.- Se llama así al punto deintersección de las tres bisectricesinteriores. El incentro es el centro de lacircunferencia inscrita.

I

r

I incentror inradio

5. Excentro.- Se llama así al punto deintersección de dos bisectrices exteriores yuna bisectriz interior. El excentro es elcentro de la circunferencia exinscrita.

A

B

C

E

r

E excentro relativo al lado BC.r exradio relativo al lado BC.

TEOREMA DE THALES. Si dos o más rectasparalelas son intersecadas por dos o másrectas secantes, se forman segmentos demedidas proporcionales.Si L1//L2//L3. Entonces:

a

b

m

n

nm

ba

n

m

b

a

1L

2L

3L

CASOS PARTICULARESUna recta secante a un triángulo y paralela a unlado, determina en otros dos lados a susprolongaciones segmentos proporcionales.

CA

B

y

x a

b

LL

a

bm

n

b

a

y

x

m

b

n

a

EN EL TRAPECIO

L

A D

B C

a

b

m

n

n

b

m

a

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR

a b

m nA

B

CN

α α

n

m

b

a

erior

trizbiBN

int

sec:



TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR

c

nA EC

B

α

n

m

a

c

α

a

m

exterior

trizbiBE sec:

TEOREMA DE MENELAO

a

cAEC

B

zyxcba .... y

z

LSi : recta secante a dos lados

pero no paralela al tercer lado secumple:L

xb

TEOREMA DE LA CEVIANA (CEVA)

Si: CEyBDAF .., son las

cevianas concurrentes se cumple:

z

a

x b

y

cA

E

B

F

CD

zyxcba ....

TEOREMA DEL INCENTRO

c a

A

B

CN

α α

b

ca

IN

BI

ABCdel

incentroISi

.::

I

bTEOREMA DEL INCENTRO TEOREMA DE CEVA

xy

a+bc

a b

c

abc = mnpb

ay

x

cp

m

n

CA

B

x

y

N

Ic a

b

Teorema del excentro.

θθ

E

AB

C

a

c

x

y

D

b

Dos triángulos son semejantes si tienen sustres ángulos congruentes y las longitudes desus lados homólogos respectivamenteproporcionales.

ac

b q

pr

A

B

C P

Q

Rα

ββ

α ~

ABC ~ PQR kr

c

q

b

p

a

k: constante de proporcionalidad o razónde semejanza

• Criterios de Semejanza

1er. Caso: Dos triángulos son semejantes sitienen al menos dos ángulos respectivamentede igual medida.

2do. Caso: Si tienen dos lados respectivamenteproporcionales y el ángulo comprendido entredichos lados de igual medida.

a

b

a.k

b.k

3er. Caso: Si tienen sus tres ladosrespectivamente proporcionales.

a c

b

a.k c.k

b.k

Lados Homólogos: Se denominan así a loslados que se oponen a ángulos congruentes, entriángulos semejantes.

A

C

B

H

c

ab M

T

N

h

t

mn

DABC ~ DMNTam

bn

= ct

= Hh

= = K K Razón de semejanza

Propiedad.En todo triángulo se cumple que el producto dedos lados es igual al diámetro de lacircunferencia circunscrita multiplicado por laaltura relativa al tercer lado.

ab

h

R

a.b = 2Rh

Una recta secante a un triángulo paralela a unode sus lados, determina un triángulo parcialsemejante al triángulo dado.

A

B

C

P Q

En el gráfico, si: PQ // AC se cumple: ABC

PBQ.

Dado el trapecio. DemostrarbB

bBPQ

.2

b

B

P Q

Calcular la paralela “x” a las bases del trapecio,sabiendo que lo divide en 2 trapecios parcialessemejantes entre sí.

b

B

X

Rta: bBX .

Observación: En dos triángulos semejantessus lados homólogos son proporcionales asícomo sus elementos homólogos: (alturas,bisectrices, medianas, inradios, etc).

~

b

ca

A

B

C

h r1

dp

qP

Q

D

r2H

k....rr

Hh

dc

qb

pa

2

1

TEOREMAS

1.

A

B

C

D

P

Q

ab

x

Si : AB // PQ // CD

abxa b

Corolario:

abx

abxa b

2.

A

B C

D

P QO

a

b



En el trapecio: BC // PQ // AD

2PQ PO= OQaba b

3. Cálculo de la medida del lado de un cuadrado

inscrito en un triángulo, si uno de los lados del

cuadrado descansa en la base del triángulo.

A

B

Cb

hx

x

.b hxb h

OBSERVACIÓN

b

h x

x b . hx =b + h

4.

A

B

CD ba

x

Si : BD : ceviana y m BAC m DBC

2x ab

5.

A B

MN

P

Q

a b

x

Si: A y B son puntos de tangencia yP AB

x ab

6. En todo triángulo el producto de las medidas

de dos lados es igual al producto de las

medidas del diámetro de la circunferencia

circunscrita y la altura relativa al tercer lado.

A

B

C

c ah

R

R: Circunradio2R hac

OBSERVACIÓN:

A

B

Cc ah

RH

ac 2R h

7.

P

QM

TA B

ab

x

Si: T es punto de tangencia, PQ es secante.

x ab

OBSERVACIÓN

P

QM

TA B

abx

Si: T es punto de tangencia

x ab

Tamaños del Sol y de la LunaAl observar los eclipses de Luna

Aristarco pudo comprobar que el cono desombra proyectado por la Tierra, cuando loatraviesa la Luna, es de unas dos veces eltamaño del diámetro lunar. Si llamamos RS, RTy RL a los radios del Sol, la Tierra y la Lunarespectivamente, y DS y DL a las distanciasTierra-Sol y Tierra-Luna:

Sol

Tierra

A

E

Rs LunaDL

CB

R T

DDs

PROYECCIÓN ORTOGONAL.La proyección ortogonal de un punto sobre unarecta es el pie de la perpendicular trazada delpunto a la recta.

A BE

HM N

C

F

Proyectante.

Recta deProyección.

Luego: A, proyección de A

NM proyección de BC

FH proyección de DE

RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO RECTÁNGULO

A

C

BH

hb a

nm

c

nca .2 mcb .2 nmh .2

chba .. 222

111

hba

Donde:a y b : Catetos

c : Hipotenusah : Alturam : proyección de ACn : proyección de BC

TEOREMA DE PITÁGORASEn todo triángulo rectángulo la suma de loscuadrados de los catetos es igual al cuadradode la hipotenusa:

222 cba

a b

c

DEMOSTRACIÓN

a b

c

m n

º90

º90

B

C

AH

BHC ~ ABCa

m

c

a luego:

mca .2 ..(1)

AHC ~ ABCb

n

c

b luego:

ncb .2 ..(2)

Sumando (1) y (2) miembro a miembro:

).(22 nmcba Donde: m+n =c

Finalmente 222 cba dlq2RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

B

C

AH

a hb

c

m n

Catetos : BC = aAC = b

Hipotenusa : AB = c

Altura : CH = h

Proy : BH = mAB

BC

Proy : HA = nAB

AC

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

B

C

AH

a hb

c

m n

Catetos : BC = aAC = b

Hipotenusa : AB = c

Altura : CH = h

Proy : BH = mAB

BC

Proy : HA = nAB

AC

* Propiedad: es tangente común a lascircunferencias tangentes exteriores deradios "R" y "r".

RO

O1

r

AB

AB = 2 Rr

Demostración:



R-rR Por el Teorema de Pitágoras:

(R + r) = d + (R - r)2 2 2

(R + r) - (R - r) = d2 2 2

4Rr = d2

r

d

O O1r

r

AB

R - rR + r

d

d = 2 Rr

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULO

NATURALEZA DE UN TRIÁNGULOAprendemos a reconocer si un triángulo esacutángulo, obtusángulo y rectángulo,conociendo las medidas de sus lados.

El es acutángulo (ángulos interiores<90º)

c a

b

222

222

222

bac

cab

cba

El es obtusángulo(uno de los ángulos >90º)

ac

b

Si:

El es rectángulo

ac

b

Si:

RELACIONES MÉTRICAS EN ELTRIÁNGULO OBLICUÁNGULO

TEOREMA DE EUCLIDES

b a

A B

C

mc

a = b + c - 2c . m

b

a

m c

a = b + c + 2c . m2 2 2

Primer caso ( < 90°) Segundo caso ( > 90°)

De aquí se deduce la Ley de Cosenos.

b a

c

a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2

2 2 2

A B

C

A B

C

TEOREMA DE EUCLIDES

b a

A B

C

mc

a = b + c - 2c . m

b

a

m c

a = b + c + 2c . m2 2 2



b a

c

a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2

2 2 2

A B

C

A B

C

TEOREMA DE EUCLIDES

b a

A B

C

mc

a = b + c - 2c . m

b

a

m c

a = b + c + 2c . m2 2 2



b a

c

a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2

2 2 2

A B

C

A B

C

TEOREMA DE EUCLIDES

b a

A B

C

mc

a = b + c - 2c . m

b

a

m c

a = b + c + 2c . m2 2 2



b a

c

a = b + c - 2bc . Cos 2 2 2

2 2 2

A B

C

A B

C

Primer teorema de euclides. ( en un triánguloacutángulo)

Segundo teorema de euclides ( en untriángulo obtusángulo)

TEOREMA DE HERON

b a

c

h

Si: P: semiperímetro2

cbaP

))()((.2

cpbpappc

h

Área del triángulo:

))()(( cpbpappS

b c

A A

B BC Ca

Teorema de la Mediana Teorema de Herón

m b ch

a

222

2 cb2a

m2 )cp)(bp)(ap(p.

a2h

)troSemiperíme(2

cbap

a

a

b

b

A AB B

C

D

C

B AF

CF: Ceviana

c

= =

C

Pmm

m

n

n

Teorema de la bisectriz interior

Teorema de Stewart

Teorema de la bisectriz exterior

x

x

b

x

n

a

2 2ab - nm nm - ab

b ba a

x

2c = a m + b2 2n - nmcx

x

m mn n

a

a

b

b

A AB B

C

D

C

B AF

CF: Ceviana

c

= =

C

Pmm

m

n

n


Teorema de Stewart


x

x

b

x

n

a

2 2ab - nm nm - ab

b ba a

x

2c = a m + b2 2n - nmcx

x

m mn n

a

a

b

b

A AB B

C

D

C

B AF

CF: Ceviana

c

= =

C

Pmm

m

n

n


Teorema de Stewart


x

x

b

x

n

a

2 2ab - nm nm - ab

b ba a

x

2c = a m + b2 2n - nmcx

x

m mn n

RELACIONES MÉTRICAS EN LACIRCUNFERENCIA

Teorema de las CuerdasSi en una circunferencia se trazan dos cuerdasque se intersectan en un punto "P"; entonceslos productos de los segmentos logrados encada cuerda son iguales.

AD

BCP

AP.PB = CP.PD

AD

BCP

AP.PB = CP.PDDemostración:

AD

BCP

b

a

m

2

n APC PDB

an = m

b

a.b = m.n

Teorema de las SecantesSi desde un punto exterior a una circunferenciase trazan dos secantes; los productos de una deellas y su parte externa son iguales.

BA

P

C

D

PB.PA = PD.PC

Demostración:

BA

P

C

D

m

n

a

b

°

°

°°

* DBAC es inscrito:m D = m CAPm B = m ACP

* APC ~ BPD

bm

an

b.n = a.m

Teorema de la Tangente

Si de un punto exterior a una circunferencia setraza una tangente y una secante; la tangentees media proporcional entre la secante y suparte externa.

A

P

T

B

PT2 = PB . PA

Demostración:

A

P

T

B

a

b

n

°

° °

°

2

TPA ~ BTP

an

ba

a2 = b.n

Teorema de PtolomeoEn todo cuadrilátero inscrito ó inscriptible elproducto de las diagonales es igual a la sumade productos de los lados opuestos.

Si: ABCD es inscrito ó inscriptible.

AD

CB

a

d

c

b

Se cumple: AC. BD = a.c + b.d



Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes

E A

B F

N

C

B

F

E

A

EN . NF = AN . NB AC . AB = AF . AE

Teorema de la tangente Teorema de Ptolomeo

E

A B

F

AB = BF . BE x . y = a . c + b . d2

b

y x

ca

d

RESUMEN:TEOREMA DE LAS CUERDAS

a

bx

ya.b = x.y

TEOREMA DE LA TANGENTEx

b

a

=a.b

TEOREMA DE LAS SECANTESa

by

x

x. y = a.b

PROPIEDADES.En un semicírculo, se tiene:

h

nm

= m.n

cm

x = m.c

x

R

Rx=

AB =

Rr

A B

Tangente comúnexterna

CircunferenciasTangentes

AB = Rr2R

r

A B

CircunferenciasSecantes

Circunferenciasortogonales

222 rRd R r

d

RAYOS ISOGONALES

Son aquellos que, partiendo del mismo

vértice de un ángulo forman ángulos congruentes

con los lados del mismo.

Ejemplo:

. OM

y ON

son rayos isogonales con

respecto a los lados OA

OB

y delAOB .

A

M

N

B

O

TEOREMA DE LAS ISOGONALES

1er Caso:

En la figura si CM y CN son segmentos

isogonales con respecto a los lados CB

y CA

del

BCA tales que: M BA y Na la

circunferencia circunscrita, entonces se cumple que:

m na b

C

AB M

N

a b m n

Demostración:

• Por ser inscritos que se oponen al mismo

B N arco

• BCM ACN CM BC=AC CN

m ab n

a b m n

Corolario 1:

Cuando en un se traza una bisectriz interior.

a b

C

ABM

N

Se cumple que:

CM CNa b

2do Caso:

En la figura si CM y CN son segmentos

isogonales con respecto a los lados CB

y CA

tales que:

. M a la circunferencia circunscrita

Na la prolongación de BA , entonces secumple que:

m

na b

C

AB

M

N

a b m n

Demostración:

• Se deduce que CMB CAN

• BCM ACN CM BCAC CN

m ab n

a . b = m . n

Corolario 2:

Cuando en un se traza una bisectriz exterior.

xa b

C

AB

M

N

y

Se cumple que:

a b x y

TEOREMA DEL PRODUCTO DE 2 LADOS

En todo , el producto de las longitudes de

dos lados es igual a la altura intermedia, por el

diámetro de la circunferencia circunscrita.

ha b

C

AB H

R

2Ra b h

Demostración:

ha b

C

AB H

R

R

D

O

• BCH DCA porque los inscritos B

y D son congruentes

• Por el Teorema de las isogonales.

2Ra b h

TEOREMA DEL CUADRADO DE LA

BISECTRIZ INTERIOR

En todoABC, si CD es una bisectriz

interior de longitud “x” se cumple que:

a b

C

AB Dm n

2x a b m n

Demostración:

a b

C

AB Dm n

E

• Por el corolario 1 del Teorema de las

isogonales:

ab = (CD)(CE)

ab = x(x + DE)

ab = x2+ x DE .................. (I)

• Por el Teorema de cuerdas:



xDE = mn ................ (II)

(II) en (I) ab= x2

+ mn

2x a b m n

TEOREMA DEL CUADRADO DE LA

BISECTRIZ EXTERIOR

En todo ABC, si CD es una bisectriz

exterior de longitud “x” se cumple que:

ab

AB D

mn

C

x

2x m n a b

Demostración:

xa b

C

AB

E

D

y

n

m

• Por el corolario 2 del Teorema de las

isogonales:

ab = xy

• Por el Teorema de las secantes:

mn = (x + y) . x

2

2m n x x ym n x a b

2x m n a b

TEOREMA DE PTOLOMEO

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el

producto de las longitudes de las diagonales es igual

a la suma del producto de las longitudes de los lados

opuestos.

DA

BC

a

b

c

d

x y a c b d

TEOREMA DE VIETTE

En todo cuadrilátero inscrito o inscriptible, el

cociente de las longitudes de las diagonales es igual

al cociente de la suma del producto de las longitudes

de los lados que concurren en los extremos de cada

diagonal.

DA

B

C

a

b

c

d x b c a dy a b c d

TEOREMA DE CHADU

Si el triángulo ABC es equilatero y “P” es un

punto cualquiera del arco .

CA

PB

PC PA PB

PROPIEDAD

1 Si el cuadrilátero ABCD es inscriptible,

entonces:

DA

B

C

P

PB PC PA PD

2

r

RT

PQ

x

Si: P, Q y T son puntos de tangencia

2 Rx r

3

PQ

M

N

Si: P y Q son puntos de tangencia

PQ MN

Es todo polígono convexo, que tienen sus ladosy ángulos iguales.

Todo polígono regular es equilátero yequiángulo

Todo polígono regular es inscriptible ycircunscriptible.

Es decir puede ser inscrito y circunscrito a doscircunferencias concéntricas.

o

R ap

Polígono regular(hexágono)

A

B

C

OR

R

Hl n

l nº

º

º

“o”: Centro del polígono regular es el centrocomún de las circunferencias

R: Radio del polígono regular; es el radio de lacircunferencia circunscrita.(Circunradio)

ap : Apotema del polígono regular, es el radio dela circunferencia inscrita.

Arco o central : 360ºº

n

POLÍGONOS REGULARES IMPORTANTES

TRIÁNGULO EQUILÁTERO

3R3 l

= mAB = 120°

A B

OR

60°

3l

C

3R

30°

En AOB:

2

3l

60°

º= 120°

B

A C

120° 120°

120°

O

Rl3 l3

Hap3

ap3 = r =2

R 23 3

4

RAREA

CUADRADO

A D

90°ORl4

H

ap4

90°

90°

90°

l4

l4

B C

ap4 = r = 2

2

R

2R4 l

= mAB = 90°

AB

OR

4l

C En el AOB:

R

D4l

= 90° 4l

º

22AREA R



HEXÁGONO

R6 l

= mAB = 60°A

B

O 60°

C

En el AOB:

R

D

6l

R

E

F

º = 60°

A F

OR

l6H

ap6

60°C D

l6l660° 60°

60°

l6

B E

ap6 = r =3

2

R

2

33 2RAREA

OCTÓGONO REGULAR

A

B

O 45°

En el AOB:

8lR

R

22R

R2R2

45RCos2RR

8

22222

8

2228

l

l

l

° = mAB = 45°

CÁLCULO DEL APOTEMA (Ap)

A

B

O

En el AOB:

R

R

Apotema

22212

4

2n2R42

4

2n22

nR4Ap

Ap

RAp

l

l

l

l n2nl -

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA YEXTREMA RAZÓN

A C Bx

l

(AC> CB)

Por definición :

2)15(

2

x

)x(x

l

ll

entonces, la solución es :

* AC (o sea "x") es la sección áurea de AB .

* 5 1

2

se le denomina número áureo.

POLÍGONOSREGULARES

Triángulo

Cuadrado

Hexágono

Pentágono

Octógono

Decágono

DodecágonoRegular

120°

90°

60°

72°

45°

36°

30°

3R3 l

2R4 l

R6 l

52102R

5 l

22R8 l

2/)15(R10 l

32R12 l

Arco o < central) Lado

R : circunradio

Si x es la sección áurea de AB.

2/)15(x lA Bx

l

LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA (Lc)

La longitud de una circunferencia es igual a sudiámetro multiplicado por pi ( )

R Ro

D

.DLc

D: diámetro

D

Lc

.....658979323843141592653Aproximado: 31416 su inverso

...31830988,01

7

22 1023

clasificacion problemas resueltos

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