CINEMÁTICA
CONCEPTO DE CINEMÁTICA: es el estudio del movimiento sin atender a las
causas que lo producen
CONCEPTO DE MOVIMIENTO: el movimiento es el cambio de posición, de un
cuerpo, con el tiempo (este cuerpo que se mueve recibirá el nombre de móvil). El
movimiento es relativo, es decir puede haber movimiento respecto a un sistema de
referencia y puede no haberlo respecto a otro.
Ejemplos:
una persona en la Tierra no detecta el movimiento de la Tierra, pero una
persona en la Luna sí apreciaría el movimiento de la Tierra
una persona sube al tren y deja la maleta en el asiento de al lado. Para esta
persona la maleta no se mueve, pero para otra persona situada fuera del tren
la maleta sí se mueve (cada vez está más lejos)
SISTEMA DE REFERENCIA: analizados los ejemplos anteriores queda claro que
hay que indicar respecto a qué hay movimiento. El lugar donde se encuentra el
observador que mide la posición del móvil se conoce como Sistema de Referencia, y en
dicho lugar situamos nuestros ejes de coordenadas
TRAYECTORIA: es la línea seguida por un móvil en su movimiento. Se obtiene por
la unión de las distintas posiciones que toma un móvil
POSICIÓN (�⃗�): es un vector que nos indica la posición de un móvil en un determinado
instante. Tiene su origen en el centro del sistema de referencia y su extremo en el punto
de la trayectoria que corresponde a dicho instante
DESPLAZAMIENTO (Δ�⃗�): es un vector que viene dado por la diferencia entre la
posición final de un móvil y la inicial. Cómo tal vector puede ser negativo o positivo. El
desplazamiento entre 2 puntos será un vector que tiene su origen en el primer punto y su
extremo en el segundo punto
2 1
Δ r⃗ = r⃗2 – r⃗1
Aplicando la suma de vectores, obtenemos:
r⃗1 + Δ r⃗ = r⃗2
Y despejando sacamos que el desplazamiento
es igual a la diferencia de los vectores de
posición:
Δ r⃗ = r⃗2 – r⃗1
1
ESPACIO RECORRIDO (DISTANCIA RECORRIDA (Δs): es un escalar (queda
definido únicamente con un número y su unidad) que mide la longitud recorrida sobre la
trayectoria
EJERCICIO: La posición de una partícula viene dada por el siguiente vector posición:
r⃗ = 2 t i⃗ + (4 t – 1) j⃗
Determina:
a) La posición a los 2 segundos
b) Ecuación de la trayectoria
c) Desplazamiento entre 1 y 3 segundos
Solución:
a) r⃗ = 2·2 i⃗ + (4·2 – 1) j⃗ = 4 i⃗ + 7 j⃗
b) r⃗ = 2 t i⃗ + (4 t – 1) j⃗
c)
VELOCIDAD MEDIA (�⃗⃗�M): la velocidad media entre dos puntos es un vector que
mide el desplazamiento producido por unidad de tiempo
EJERCICIO: el movimiento de una partícula en una dimensión viene determinado por
la ecuación: x = t2 - t – 2. Calcula:
a) posición inicial
b) velocidad media entre 2 y 3 segundos
Solución:
r⃗3 = 6 i⃗ + 11 j⃗
r⃗1 = 2 i⃗ + 3 j⃗
Δ r = √42 + 82 = 8,9 m
v⃗⃗M = Δ r⃗⃗
Δ t
Si la trayectoria es rectilínea,
el desplazamiento coincide
con el espacio recorrido en
valor absoluto, aunque no
necesariamente en signo
x = 2t t = x/2
y = 4t – 1 y = 4 · x/2 – 1 = 2 x – 1
ecuación de la trayectoria: y = 2 x – 1
Δ r⃗ = r⃗3 - r⃗1 = 4 i⃗ + 8 j⃗
2
a) t = 0 x = - 2 m
b) r3 = 9 – 3 – 2 = 4 m
r2 = 4 – 2 – 2 = 0 m
Δ r = 4 – 0 = 4 m
EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación:
r⃗ = 3 t i⃗ + (2 t2 + 3) j⃗. Calcula velocidad media entre 0 y 3 segundos
Solución:
CELERIDAD (RAPIDEZ) MEDIA: es un escalar que mide el espacio recorrido por
unidad de tiempo
VELOCIDAD INSTANTÁNEA (�⃗⃗�): es la velocidad media entre dos puntos tan
próximos que el tiempo transcurrido prácticamente es cero
Si tenemos la ecuación de la posición en función de sus componentes:
r⃗ = rx i⃗ + ry j⃗ + rz k⃗⃗
Vx = d x
d t
Vy = d y
d t v⃗⃗ = vx i⃗ + vy j⃗ + vz k⃗⃗
Vz = d z
d t
EJERCICIO: en el ejercicio anterior (r⃗ = 3 t i⃗ + (2 t2 + 3) j⃗) determina la velocidad a
los 3 segundos
υM = Δ s
Δ t
limΔ t→0
Δ r⃗
Δ t
v⃗⃗ = = d r⃗⃗
d t La velocidad instantánea es la derivada del
vector posición respecto al tiempo
vM = Δ r
Δ t =
4 𝑚
(3−2)𝑠 = 4 m/s
r⃗3 = 9 i⃗ + 21 j⃗
r⃗0 = 3 j⃗
v⃗⃗m = Δ r⃗⃗
Δ t =
9 i⃗ + 18 j⃗
3−0 = 3 i⃗ + 6 j⃗
vm = √32 + 62 = 6,7 m/s
Δ r⃗ = r⃗3 - r⃗0 = 9 i⃗ + 18 j⃗
3
v⃗⃗ = d r⃗⃗
d t = 3 i⃗ + 4 t j⃗ = 3 i⃗ + 12 j⃗
v = √32 + 122 = 12,4 m/s
CELERIDAD INSTANTÁNEA (�⃗⃗�): sería la derivada del espacio recorrido respecto al
tiempo
ACELERACIÓN MEDIA: es la variación que experimenta la velocidad de un móvil
en la unidad de tiempo
EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación:
r⃗ = 3 t2 i⃗ + 2 t j⃗. Determina la aceleración media entre 1 y 4 segundos
Solución:
ACELERACIÓN INSTANTÁNEA: es la aceleración en un instante. Al igual que en
el caso de la velocidad se calcula como una aceleración media entre dos puntos tan
próximos que el tiempo transcurrido prácticamente sea cero, y no haya dado tiempo,
apenas, a variar su velocidad
EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación:
r⃗ = 3 t2 i⃗ + 2 t j⃗. Determina la aceleración a los 4 segundos
r⃗ = 3 t2 i⃗ + 2 t j⃗
v⃗⃗ = d r⃗⃗
d t = 6 t i⃗ + 2 j⃗
a⃗⃗ = 6 i⃗ la aceleración es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s2
COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN: La aceleración viene
dada por la derivada de la velocidad respecto al tiempo
a⃗⃗M = Δ v⃗⃗⃗
Δ t
limΔ t→0
Δ v⃗⃗
Δ t
a⃗⃗ = = d v⃗⃗⃗
d t
v⃗⃗ = d r⃗⃗
d t = 6 t i⃗ + 2 j⃗
v⃗⃗4 = 24 i⃗ + 2 j⃗
v⃗⃗1 = 6 i⃗ + 2 j⃗
a⃗⃗m = Δ v⃗⃗⃗
Δ t =
18 i⃗
3 = 6 i⃗
√32 + 62
Δv⃗⃗ = 18 i⃗
4
a⃗⃗ = d v⃗⃗⃗
d t
La derivada de la velocidad viene dada por la variación de la velocidad cuando la
variación del tiempo es prácticamente cero. La velocidad puede variar de dos maneras:
variación del módulo de la velocidad da lugar a la aceleración tangencial
que es un vector tangente a la trayectoria en cada punto (lleva la misma
dirección que la velocidad)
𝑎t = d v
d t
variación de la dirección y/o sentido de la velocidad da lugar a la
aceleración normal (también llamada centrípeta) que es un vector con la
dirección del radio de la curva, dirigida hacia el centro de la curva. Es decir
perpendicular a la aceleración tangencial
an = ac = v2
R
La aceleración en función de sus componentes quedaría de la siguiente forma:
�⃗⃗� = �⃗⃗�t + �⃗⃗�n = at �⃗⃗� + an �⃗⃗⃗�
EJERCICIO: el movimiento de una partícula en una dimensión viene determinado por
la ecuación: r = t2 - 4t + 1, siendo el radio de la curva 4 m. Calcula la aceleración
tangencial, la aceleración normal y la aceleración global cuando el tiempo es 1 segundo:
Solución:
r = t2 - 4t + 1
v = 2 t - 4
at = 2 m/s2
v1 = 2·1 – 4 = - 2 m/s
an = (−2)2
4 = 1 m/s
2
a2 = at
2 + an
2; a
2 = 2
2 + 1
2; a
2 = 4 + 1; a = √𝟓 = 2,23 m/s
2
EJERCICIO: el vector posición de una partícula queda determinado por la ecuación:
r⃗ = 3 t2 i⃗ + 2 t j⃗. Determina todas las aceleraciones a los 2 s, siendo el radio 30 m:
r⃗ = 3 t2 i⃗ + 2 t j⃗
5
v⃗⃗ = d r⃗⃗
d t = 6 t i⃗ + 2 j⃗
�⃗⃗� = 6 �⃗� la aceleración es constante y no depende del tiempo a = 6 m/s2
v⃗⃗ = 6 t i⃗ + 2 j⃗ = 6·2 i⃗ + 2 j⃗ = 12 i⃗ + 2 j⃗; v = √122 + 22 = √148 = 12,2 m/s
an = (v)2
R=
(12,2)2
30 = 4,9 m/s
2
a2 = at
2 + an
2; 6
2 = at
2 + 4,9
2; 36 = at
2 + 24; at = √𝟏𝟐 = 3,5 m/s
2
TIPOS DE MOVIMIENTO
UNIFORME
RECTILÍNEO
UNIFORMEMENTE ACELERADO
MOVIMIENTO
UNIFORME
CIRCULAR
UNIFORMEMENTE ACELERADO
6
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
En este movimiento no hay ninguna aceleración:
La trayectoria es una línea recta, por tanto no existe aceleración normal (ya que
el radio de una línea recta es ∞ y la an = v2
R = 0)
La velocidad es constante (uniforme) y por ello no existe aceleración tangencial,
ya que no varía el módulo de la velocidad (es constante)
Al ser la velocidad constante, no tiene sentido hablar de velocidad inicial, final y
media ya que todas deben tomar el mismo valor; de lo contrario no sería constante
r⃗1 – r⃗0 = v⃗⃗ · t
�⃗�1 = �⃗�0 + �⃗⃗� · t
(ecuación del movimiento rectilíneo uniforme)
Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme:
La ecuación matemática de la recta es: y = a + b x (donde a es la ordenada en el
origen y b es la pendiente de la recta) que comparada con la ecuación del movimiento
rectilíneo uniforme r = r0 + v t , obtenemos que r0 (posición inicial) es la ordenada
en el origen y que v (velocidad) es la pendiente de la recta v = tg α
v⃗⃗M = Δ r⃗⃗
Δ t =
r⃗⃗1 – r⃗⃗0
t = v⃗⃗
r
t
V = 0
Está parado
r
t
V > 0
Se aleja del
observador
r0
r
t
r0 V < 0
Se acerca al
observador
v
r
t
V es constante α α
7
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
En este movimiento la trayectoria es una línea recta, por tanto no existe aceleración
normal (ya que el radio de una línea recta es ∞ y la an =
𝐯𝟐
𝐑 = 0). Sin embargo sí existe
aceleración tangencial porque varía el módulo de la velocidad. Uniformemente
acelerado quiere decir que la aceleración es constante durante todo el movimiento
a⃗⃗ = a⃗⃗t + a⃗⃗n;
Como an = 0 entonces �⃗⃗� = �⃗⃗�t por tanto ya que la aceleración total es igual a la
tangencial solo hablaremos de la aceleración total �⃗⃗�
Al ser la aceleración constante, aceleración media es la aceleración en cualquier
instante y podemos tomar la ecuación de la aceleración media
Despejando obtenemos la primera ecuación del movimiento
�⃗⃗� = �⃗⃗�0 + �⃗⃗� · t (1)
r⃗ – r⃗0 = v⃗⃗m t = (v⃗⃗0 + v⃗⃗)/2 · t = (v⃗⃗0 + v⃗⃗0 + a⃗⃗ t)/2 · t = v⃗⃗0 t + a⃗⃗ t2/2
𝐫 ⃗⃗⃗ = �⃗�0 + �⃗⃗�0 t + 𝟏
𝟐 �⃗⃗� t
2 (2)
Despejando t en la ecuación (1) y sustituyendo en la ecuación (2) llegamos a una
nueva ecuación (3)
v2 = v0
2 + 2 �⃗⃗� Δ�⃗� (3)
Gráficas del movimiento rectilíneo uniforme:
a⃗⃗ = Δ v⃗⃗⃗
Δ t =
v⃗⃗⃗ – v⃗⃗⃗0
t
v⃗⃗M = Δ r⃗⃗
Δ t =
r⃗⃗ – r⃗⃗0
t
v = tg α
aceleración
negativa
v
t
V constante
Movimiento
Uniforme
v = tg α
aceleración positiva
r
t
r
t
α
8
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS
Entendemos por composición de movimientos cuando existen dos o más movimientos.
Tenemos dos posibilidades:
COMPOSICIÓN DE 2 MOVIMIENTOS CON LA MISMA
DIRECCIÓN: en este caso, si tenemos 2 movimientos con velocidades de
la misma dirección y sentido se suman ambas velocidades y si se trata de 2
movimientos con velocidades de igual dirección y sentidos opuestos se
restan las velocidades.
COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS PERPENDICULARES: en este
caso nos podemos encontrar con 3 posibilidades:
o Composición de movimientos rectilíneos y uniformes: sería el caso
de una barca que atraviesa un río perpendicularmente a la orilla con
velocidad constante siendo arrastrado por una corriente horizontal,
también, constante:
Hay 2 movimientos uniformes:
Uno horizontal:
Uno vertical:
La trayectoria seguida sería una recta, la hipotenusa del triángulo que
forman ambas velocidades:
rx = vx · t; t = rx/vx
ry = vy · t = vy · rx/vx
ry = vy/vx · rx que es la ecuación
de la trayectoria (ecuación de una recta y = k · x)
Vy
Vx y
Eje Y ry = vy · t
Eje X rx = vx · t
Vx
Vy
9
Su posición en cualquier instante se obtiene por:
r⃗ = rx i⃗ + ry j⃗
Y cuando llegue a la orilla opuesta será:
r⃗ = x i⃗ + y j⃗
La velocidad se calcula así:
v⃗⃗ = vx i⃗ + vy j⃗
o Composición de movimientos uno uniforme y otro
uniformemente acelerado: sería el caso de los movimientos
llamados “lanzamiento horizontal” o “lanzamiento oblicuo”.
Lanzamiento horizontal: se lanza un objeto, desde cierta
altura, horizontalmente. El objeto llevará un movimiento
uniforme horizontal y un movimiento uniformemente
acelerado vertical, a causa de la gravedad:
Hay 2 movimientos:
Uno horizontal, uniforme:
Uno vertical, uniformemente acelerado (siendo a = - 9,8 m/s2)
La trayectoria (despejando t en rx y sustituyendo en ry) sería una
parábola:
rx = vx · t; t = rx/vx
ry = vy · t = r0 + vy · rx/vx + 1/2 a · (rx/vx)2
ry = r0 + vy/vx · rx + 1/2 a/vx2 · rx
2
y
vx
vx
Vy
x
Eje X rx = vx · t
ry = r0 + v0y · t + 1/2 a · t2
vy = v0y + a · t Eje Y
10
que es la ecuación de una parábola (y = a + b·x + cx2)
Su posición en cualquier instante se obtiene por:
�⃗� = rx �⃗� + ry �⃗�
La velocidad se calcula así:
�⃗⃗� = vx �⃗� + vy �⃗�
Cuando llegue al suelo la altura (ry) es 0. Con este dato
calculamos el tiempo y sustituyendo en rx obtenemos el alcance
(x).
ry = r0 + v0y · t + 1/2 a · t2
= 0
se resuelve la ecuación de 2º grado y sustituimos en:
rx = x = vx · t
Lanzamiento oblicuo: se lanza un objeto, desde el suelo con
cierto ángulo sobre la horizontal. El objeto llevará un
movimiento uniforme horizontal y un movimiento
uniformemente acelerado vertical, a causa de la gravedad:
En primer lugar hay que descomponer la velocidad en una componente
horizontal v0x que permanecerá constante todo el tiempo y otra
componente vertical v0y que irá variando, pasando de positiva (cuando
sube) a negativa (cuando baje):
v0x = v0 cos α
v0y = v0 sen α
Hay 2 movimientos:
Uno horizontal, uniforme:
Eje X rx = v0x · t; rx = vo cos α · t
α Ymax
Xmax
V0x
V0x
11
Uno vertical, uniformemente acelerado (siendo a = - 9,8 m/s2)
La trayectoria (se calcula despejando t en rx y sustituyendo en ry) sería
una parábola. Su posición en cualquier instante se obtiene por:
�⃗� = rx �⃗� + ry �⃗�
La velocidad se calcula así:
�⃗⃗� = vx �⃗� + vy �⃗�
Altura máxima (ymax): para calcular la altura máxima alcanzada,
sustituimos en la ecuación de la velocidad en el eje y, la velocidad (vy)
por cero, obtenemos el tiempo y sustituyendo en la ecuación de ry
calculamos su valor que será la altura máxima.
vy = v0 sen α + a · t = 0; t = − v0sen α
a
ry = ymax = r0 + v0 sen α · t + 1/2 a · t2 =
= r0 + v0 sen α·(− v0sen α
a) + 1/2 a·(
− v0sen α
a)
2
Alcance máximo (xmax): se produce cuando llega al suelo. En este
momento la posición vertical (altura) es cero. De la ecuación de ry
cambiando este valor por cero, calculamos el tiempo que sustituido en la
ecuación de rx nos permite obtener el alcance máximo
ry = 0 = r0 + v0 sen α · t + 1/2 a · t2
se resuelve la ecuación de 2º grado y se sustituye en
rx = xmax = vo cos α · t
ry = r0 + v0 sen α · t + 1/2 a · t2
vy = v0 sen α + a · t Eje Y
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MOVIMIENTO CIRCULAR
En el movimiento circular la trayectoria es una circunferencia o parte de ella (curva),
por tanto se produce un cambio en la dirección de la velocidad lo que da lugar a una
aceleración, llamada normal o centrípeta.
an = ac = 𝐯𝟐
𝐑
Equivalencia entre las magnitudes lineales (movimiento rectilíneo) y angulares
(movimiento circular):
RECTILÍNEO CIRCULAR
s (r) espacio (m) θ espacio angular (rad)
v velocidad (m/s) ω velocidad angular (rad/s)
at (a) aceleración (tangencial) (m/s2) α aceleración angular (rad/s
2)
an (ac) aceleración normal o centrípeta (m/s2)
Radián:
Es el ángulo central de una circunferencia al que le corresponde una longitud de arco
igual a la de su radio.
El ángulo es 1 radián (θ =1 rad) cuando S = R y de
aquí sale la fórmula que relaciona el espacio lineal
y el angular:
θ = 𝑆
𝑅 ; despejando:
El radián es adimensional, ya que el arco S (m) entre el radio R (m), nos deja sin
unidad, pero no habiendo otra unidad se pondrá radián para saber que nos referimos a
un espacio angular
¿Cómo pasar de vueltas (revoluciones) a radianes?
R
θ
S
S = θ · R
θ = S (m)
R (m)
13
La longitud de la circunferencia es 2πR (360º). Aplicamos la fórmula anterior para 1
vuelta
θ = 𝑆
𝑅; θ =
2πR
𝑅 = 2π; esto quiere decir que 1 vuelta = 2π radianes
Periodo: es el tiempo que tarda un móvil en dar 1 vuelta (oscilación) completa. Se
representa por la letra T y se mide en segundos (s).
Frecuencia: es el número de vueltas (oscilaciones) que da un móvil en la unidad de
tiempo (1 s). Se representa por la letra ν y se mide en Hercios (Hz) que realmente
corresponde a s-1
.
El periodo es la inversa de la frecuencia y viceversa: T = 1/ν
Velocidad angular: es el espacio angular descrito por el móvil en la unidad de tiempo.
Se mide en rad/s, pero se suele dar en rpm ó rps.
Ejemplo: El motor de un coche gira a 300 rpm (revoluciones por minuto),
calcula los radianes/s que son:
300 rpm = 300 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜 ·
2π rad
1 𝑣 ·
1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜
60 𝑠 =
600 𝜋 𝑟𝑎𝑑
60 𝑠 = 10 π rad/s
ω = 𝚫 𝛉
𝚫 𝐭
Relación entre velocidad angular y periodo o frecuencia:
La velocidad angular es la variación del espacio angular por unidad de tiempo: ω = Δ θ
Δ t
Si tomamos 1 vuelta; el espacio angular sería 2 π radianes, mientras que el tiempo que
tarda en dar 1 vuelta se llama periodo
ω = 𝟐 𝛑
𝑻 (en función del periodo) ω = 2 π ν (en función de la frecuencia)
Aceleración centrípeta: es la aceleración que se origina al existir un cambio en la
dirección de la velocidad
ac = 𝐯𝟐
𝐑
ac = v2
R=
(ω·R)2
R = ω2 · R aC = 𝛚𝟐 · R
Relación entre magnitudes lineales y angulares:
v
v
S = θ · R
14
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME:
ω = constante θ = θ0 + ω t recuerda la del movimiento
rectilíneo uniforme r = r0 + v t
En todas las fórmulas excepto en una (S = θ · R) aparece la velocidad angular.
Entonces para resolver los ejercicios la clave está en obtener la velocidad angular en
rad/s y después utilizar la fórmula correspondiente, según el siguiente esquema:
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO:
La aceleración angular es constante, pero la velocidad varía. Las ecuaciones que
tenemos son muy similares a las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado:
θ = θ0 + ω0 t + ½ α t2 (r = r0 + v0 t + ½ a t
2)
v = ω · R
a = α · R
W
ω = 𝟐 𝛑
𝑻 ω = 2 π ν
v = ω R an = ω2 R
θ = θ0 + ω t
15
ω = ω0 + α t (v = v0 + a t)
ω2 = ω0
2 + 2 α (Δ θ) (v
2 = v0
2 + 2 a Δr)
En todas las fórmulas excepto en dos (S = θ · R y a = α · R) aparece la velocidad
angular, tal y como indica el siguiente esquema:
ω = 𝟐 𝛑
𝑻 ω = 2 π ν
v = ω R an = ω2 R
θ = θ0 + ω0 t + ½ α t2
W
ω2 = ω0
2 + 2 α (Δ θ) ω = ω0 + α t