3

AÑO

División algebraica I

(Método de Horner)

División por Horner:

División no algebraica de polinomios

Esta división exige condiciones especiales:

a. Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento

de los polinomios ascendentemente.

- Dividir (2x2 - 3x + 3) entre (4x3 - x + 1)

Resolución: Por Horner

b. El cociente obtenido posee infinitos términos. c. El resto se hace tender a cero. d. Dicha división es válida para ciertos intervalos de la

variable.

1 3 -3

1 3

0

2 0

0 -12

0 0

0 .............

0

- Dividir 1 entre (1 - x)

- 4

3 0 2

2

-10

0 -8

.............

Resolución: Por Horner 2x2 3x 3

4x3 x 1

3 2x2

10x3

.....

1 1 0 0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

0 .............

1 .............

1

Es la operación que tiene como objetivo calcular una expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R),

1

1 x

1 x x2 x3

....;

| x | < 1

conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d). Esquema clásico

- Dividir 1 entre (1 - 4x + 4x2)

Resolución: Por Horner

D d Se conoce : D y d

R q

Por conocer: q y R

1 1 0

4 4

-4

1 4

0 0

-4

16 -16

48

12 32

0 -48

.............

............. .............

Se cumple: D = dq + R

Propiedades

menos el grado del divisor.

1

1 4x 4x2

1 4x 12x2 32x3

...;

| x | 1 2

q° = D° - d° 2. El grado máximo del resto es el grado del divisor

disminuido en uno.

R°MÁX.

= dº - 1 ; RºMÁX. Grado máximo del resto

2 6 5 -26 33 -22 6

3

-1

9 -3

21 -7

-12

4

21 -7

3 7 -4 7 3 -1

2 10 - 4 8 6 - 5 11

2 10 - 20 - 4 6 - 12

- 6 12

- 12 24

3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra

forma una identidad.

D = d.q + R D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

Problemas resueltos 1. Dividir:

4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio

idénticamente nulo.

R(x) 0

10x5 4x 4

8x 3 6x 2

5x 11

2x 2 2x 4

Solución: Aplicando Horner:

D(x) x8 + x4 + 2x - 3

5º

q° = 8 - 5 = 3

MÁX.

5 3 - 3

- 6 - 5 35

División entre polinomios

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga esa forma).

Método de Horner

Para este método sólo se utilizan coeficientes,

empleando el siguiente esquema:

con

Coef. del cociente Coef. del resto

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.

Se tiene:

qº = 3 ; RºMÁX.

= 1

q = 5x3 + 3x2 - 3x - 6

R(x) = - 5x + 35 2. Dividir:

12x 4 14x 3

15x 2 6x 4

su mismo signo

d D I V I D E N D O

i

4x 2

2x 1

v Con

i Colocando los coeficientes:

cambiado s

o

r Observación:

C O C I E N T E

RESTO

4 12

2

-1

3

2

-14 15 -6 4

6 -3

-4 2

4 -2

-2 2 0 +2

- Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes.

* Cociente: 3x

* Resto: 0x + 2 - 2x + 2

En el caso del divisor la letra “d” simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado. Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes.

- La línea que separa el cociente del resto se traza de

acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor.

3. Efectuar la división:

6x5 5x 4

26x 3 33x 2

22x 6

2x 2 3x 1

* Cociente: 3x3 + 7x2 - 4x + 7

* Resto: 3x - 1

2 2 3 -4 -A -B

1

6

1 6

2

12

2 12

1 2 2 (14 - A) (12 - B)

1 1 -4 6 - m - 2 n+3

-2

-1

-2 -1

12

6

-34 -17

1 -6 17 (-m - 30) (n - 14)

B - 1 = 0

A - 6 = 0 B = 1 A = 6

4. Calcular "A + B", si la división es exacta. Resolución:

Resolución:

2x 4 3x 3

4x 2 Ax B

2x 2 x 6

Al invertir los coeficientes, la división seguirá siendo

exacta.

1 1 1 3 B A

-2 -2 -3

-3 2 3 -4 -6

1 -1 2 (B - 1) (A - 6)

Como la división es exacta (R = 0), entonces:

* Si la división es exacta:

Residuo = 0; entonces:

14 - A = 0 A = 14 12 - B = 0 B = 12

Rpta.: A + B = 26

A + B = 7

Problemas para la clase

Rpta.: 7

5. Dividir y hallar "m + n", si la división:

x 4 4x3

6x2 (m 2)x n 3

x2 2x 1

deja como resto: -27x - 11

Bloque I 1. Hallar el cociente de la siguiente división:

x 3 5x 2

6x 7

x 2 3x 2

Resolución: a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1

d) 2x - 3 e) 2x + 3 2. Al efectuar la siguiente división:

4x 4 4x 3

5x 2 9x 6

2x 2 3x 5

Igualando los restos:

Indicar el cociente. a) x2 + x - 1 b) x2 - 1 c) 2x2 + x - 1

2

-27x - 11 (-m - 30)x + (n -14) d) x + 11 e) 2x + 2x - 1

-27 = -m - 30 m = -3 -11 = n - 14 n = 3

Rpta.: m + n = 0

6. Calcular "A + B", en la división exacta:

Ax 4 Bx 3

3x 2 x 1

3x 2 2x 1

3. Hallar el residuo de la siguiente división:

3x5 2x 4

5x 2 4x 1

x 3 x 2

1

a) x2 + 3x + 1 b) x2 + 3x c) x2 - 3x d) x2 + 5x e) x2 - 5x + 1

4. Al dividir:

6x 6 13x 5

7x 4 11x 2

8x 5

2x 3 3x 2

5x 1

señalar el cociente.

a) 3x3 + 2x2 + x + 2 b) x3 + 2x2 + x + 2 c) x3 + x2 + x + 1 d) x3 - 2x2 + 3x - 2 e) 8x2 + x + 3

* Del problema anterior:

5. Señalar el residuo :

a) 22 b) 18 c) 17

d) 25 e) 28 12.En la siguiente división exacta:

2m4 4m3

am2 5m b

m2 m 2

a) x2 + 2x + 2 b) 3x3 + 2x2 + x + 2 c) 8x2 + x + 3 d) x2 - x + 1

e) 2 6. El coeficiente del término lineal del cociente es:

calcular "a + b"

a) 2 b) 13 c) 9 d) 8 e) 19

13.Determinar "a + b"; si la división:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 0 e) 4

3x4

5x3

ax b

7. La suma de coeficientes del cociente:

a) 4 b) 7 c) 6 d) 5 e) 8

8. Hallar el residuo de la siguiente división:

y3 5y2

7y 5

y2 2y 3

a) y + 5 b) y2 + 3 c) y + 3 d) -10y + 14 e) 10y + 14

9. Hallar el residuo de la división:

z4 3z3

2z2 z 5

z2 3z 1

x2 x 1

deja como residuo: 5x + 7

a) 28 b) 24 c) 20 d) 16 e) 12

14.En la siguiente división:

2x 4 7x 3

16x 2 Ax B

2x 2 3x 4

deja como resto: 2x + 30. Hallar "A . B"

a) 1 b) 20 c) 1/2 d) 1/3 e) 30

15.Hallar el residuo luego de dividir:

a) z2 + 1 b) -2 c) 4z d) -6 e) 4z - 6

8x 6

9x 4

2x 2 4

10.Hallar "A + B", si la siguiente división:

x 4 3x 3

2x 2 Ax B

x 2 3x 2

x 2 2

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60

16.Determinar "m + n", para que la división:

es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3

6x 4

16x 3

25x 2

mx n

d) 4 e) 5 Bloque II

sea exacta.

3x 2 2x 1

11.Calcular "m + n + p" si la división:

6y5 17y 4

7y 3 my 2

ny p

3y 3 4y 2

5y 7

a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21

es exacta.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

a) 21 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

17. Determine "p - q", si la división: 22.Hallar el valor de "m . n" si la división:

x 4 mx n

6x 4 8x 2

px q

3x 2 3x 7

(x 1)2

; es exacta

es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

18.Calcule "A + B", si la división:

12x 4 12x 3

13x 2 Ax B

2x 2 3x 5

deja como resto: 4x + 5.

a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11

23.Determine "r + s" de manera que el polinomio

P(x) = x3 + rx + s; sea divisible por: x2 - 2x + 1

a) -1 b) -2 c) -5 d) 5 e) 1

24.Hallar "a + b", en la siguiente división exacta:

ax 4

bx 3 3x 2

x 1

3x 2 2x 1

a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49

19.Calcular "A + B - C", si la división:

8x 5 4x 3

Ax 2 Bx C

2x 3 x 2

3

deja como resto: 5x2 + 11x + 7

25.Hallar el resto al dividir:

6x 4

4yx3 4x 2 y2

2y 4 4xy3

3x 3 x 2 y xy2

y3

a) x2 + y2 b) 2x2 + xy c) -x2

2

d) 2x + y e) 0 20.Si al dividir:

4x 4 6x3

2x2 ax b

x2 2x 2

26.Hallar el cociente luego de dividir:

12x 4

14x 3 y 15x 2 y 2 4y 4

4x 2 2yx y 2

a) 3x2 + 2y2 b) 3x2 - 2xy + 2y2

c) 3x2 + 2xy + 4y2 d) 3x2 + xy - y2

deja un resto: -25x + 21. Hallar "a - b"

a) -2 b) 0 c) 2 d) 1 e) -1

Bloque III

e) 3x2 + 2xy + y2

27. Hallar el valor de "a + b + c", si el resto de la división

indicada siguiente:

ax 5 bx 4

cx 3 5x 3

21.La siguiente división:

2x 3 x 2

x 2 ; es: 7x2 + 8x - 3

x 4 (m 3)x 2

n 3

x 2 x 1

; es exacta. Hallar (m + n)

28.Si en la siguiente división:

5x 3 6x 4

1

a) -1 b) 1 c) 2 d) -2 e) 8

x 3x 2 2

se obtiene un resto de la forma: mx + n - 3. Calcular "m - n"

a) -1 b) -2 c) -3 d) 4 e) 3

(x)

29.En el esquema de Horner mostrado:

1 3 a 1 b c

m 9 d

2 e f g h

n -2 p 4 -3

Determinar el valor de:

Autoevaluación

1. Dividir, hallar el cociente:

x5 x 4

2x 3 2x 2

x 2

x 4 2

a) x b) x + 1 c) x - 1 d) 2x - 3 e) x + 3

2. Hallar el resto en:

3 a b c m

n p 2

2x 4

3x 3

8x 2

1 4x

a) 1 b) -1 c) 3

2

a) 2x2

x 2 (x 1)

+ 5x - 1 b) x - 1 c) 1

d) 4 e) 5

d) 0 e) 2

30.En la división siguiente:

2x 5 3x 4

bx 3 6bx 2

x a

3. Hallar el resto en:

5x 3 6x 4

1 2

x 2 x b

x 3x 2

Se sabe que el resto es "2x + 3", además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15, calcular "a.b"

a) 4 b) 9 c) 7 d) 2 e) 8

a) x + 1 b) x - 1 c) 1 d) x + 3 e) x - 2

4. Hallar "m + n", si el residuo de dividir:

3x5 mx 3

nx 2 x 2

x 2 3

es: 5x - 10

a) 11 b) 5 c) 1 d) 7 e) 4

5. Sea: Q = ax2 + bx + c; el cociente de la división de:

(2x4 + 3x3 - 8x2 + 1 - 4x) entre (x2 - x - 1)

Calcular: (a - b + c)2

a) -4 b) 16 c) 4 d) 12 e) 25

Claves

1. b

2. d

3. a

4. a

5. b

AÑO

3x - 1 = 0 3 5 - 17 8 7

1/3 1 2 - 5 1

3 6 - 15 3 8 3

1

2

- 5

1

x - 2 = 0 3 - 2 7 - 11 5 1

2 6 8 30 38 86 Resto

3 4 15 19 43 87

División algebraica II

(Método de Ruffini - Teorema

del Resto)

Método de Ruffini Ejemplo:

Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b; a 0

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes,

cumpliendo el siguiente esquema:

Dividir:

Solución:

3x 4

5x3 17x2

8x 7

3x 1

N D I V I D E N D O

C O C I E N T E R

Por Ruffini:

Valor de “x” al igualar el divisor a cero.

Ejemplo:

Dividir:

3x5

2x 4 7x3

11x2 5x 1

Como:

qº = 4 - 1

Coeficientes del cociente

Solución

Por Ruffini:

Como:

x 2

Coeficientes del cociente

q = x3 + 2x2 - 5x + 1

R = 8

Teorema del Resto

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma : ax + b y en algunos casos especiales. Regla:

Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea

qº = 5 - 1 = 4

q = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43

R = 87

Observación:

Si en el divisor : ax + b, a 1, luego de dividir por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.

Ejemplo: Calcular el resto en:

x5

3x 5

x 2

Solución:

T. Resto: x - 2 = 0 x = 2

R = 25 + 3(2) - 5 R = 33

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Problemas resueltos 1. Dividir y dar el cociente y residuo.

Bloque I

Problemas para la clase

5x 4 16x3

8x 2

x 3

Solución: Colocando los coeficientes:

1. Señalar el residuo en la siguiente división:

(x3 + 3x2 - 7x - 5) entre (x - 1)

a) -5 b) -7 c) 8

d) -8 e) -9

5 16

-3 -15

5 1

3 2

0 -8 2

-3 9 -3

-3 1 -1

2. Efectuar la división:

2x 4 7x2

5x 3

x 2

dar el residuo.

* Cociente: 5x + x

* Residuo: -1 2. Dividir:

- 3x + 1

a) 9 b) -9 c) 8 d) 7 e) -8

3. Dada la división:

5x 4 x3

7x2 9

Solución:

6x 4 4x3

x2 10x 2

3x 1

hallar el residuo.

x 1

6 -4

-1/3 -2

6 -6 3

1 10 2

2 -1 -3

3 9 -1

4. Hallar el cociente en la división

4x3 4x

2 3x 9

2 -2 1 3 -1 2x 1

* Cociente: 2x3 - 2x2 + x + 3

* Resto: -1 3. Calcular el resto:

(x 3)7 (x 2

x 7)8 x 2

x 2

Solución:

* Aplicando el Teorema del Resto.

x + 2 = 0 x = -2

* Reemplazando en el dividendo:

(-2 + 3)7 + [(-2)2 - (-2) - 7]8 - (-2) - 2 = R

(1)7 + [-1]8 + 2 - 2 = R

2 = R

a) 2x2 - 3x + 3 b) 4x2 - 6x + 6

c) x2 - x + 1 d) x2 + x - 1

e) 2x2 + 3x + 3 5. En el siguiente esquema de Ruffini:

4 ? 6 ? 8

? -4 ? -15 ?

? ? ? ? 16

hallar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

6. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:

8x 4 18x 3

ax 2 bx c

2x 3

son números consecutivos y el residuo es -8 ; calcular

"a + b + c"

a) 16 b) 8 c) 20 d) 22 e) 23

7. Hallar el resto en la siguiente división: 13.Al dividir:

x 3 3x 15

x 2

6x 4 4x3

x2 10x 2a

3x 1

a) 5 b) -5 c) 0

d) 1 e) -1 8. Calcular el resto en:

obtengo como resto -1: hallar "a".

3

(x 2)8 (x 1)4

16

x 1

a) b) 1 c) -1 2

d) 5

e) 5

2 2

a) 0 b) 2 c) 32 d) 16 e) 1

9. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente

división:

14.En la división:

2x 4 3x 3

2ax 2 3a

x 1

x(x 2 1) 3x 2 (x 1) 2

x 2

a) -8 b) -7 c) 8 d) 6 e) -4

10.Calcular el resto en:

(x 1)2n (x 1)n

3

x 2

además "n" es impar.

a) -1 b) 1 c) -2 d) 2 e) 0

Bloque II

11.Hallar "a" en la división exacta:

5x 4 16x 3

8x a

x 3

a) 4 b) -4 c) 3 d) -3 e) -2

12.Hallar el resto en:

(x 4)80 (x 4)60

1

x 5

a) 1 b) 3 c) 2 d) -1 e) 0

el resto es dos, hallar "a".

a) 3 b) 2 c) 1 d) -2 e) -1

15.Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división:

2x5 4x3

2x 5

x 3

a) 50 b) -60 c) -66 d) 66 e) -50

16.Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en:

x5 x 3

x

x 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 2 e) -2

17. Hallar el resto, en:

2x 9 3x6

x3 1

x3 1

a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2

18.Hallar el residuo, en:

3x15 6x10

3

x5 1

a) 5 b) 4 c) 10 d) 6 e) 8

a) 2x b) 2x - 12 c) 2x + 5 d) 2x + 12 e) 2x + 7

a) 7 b) -2 c) 2 d) 4 e) 16

4

19.Hallar el resto de la división: 25.Hallar el resto en:

(x 1)35 7(x 1)28

3(x 1)17 3

x 2 2x 2

y 8 y 4

1

y2 y 1

20.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se

obtiene al dividir:

a) 1 b) 0 c) 8

d) 7 e) 16 26.Hallar el resto en:

4x 80 2x 79

x b

x 1

a) 165 b) 162 c) 163 d) 164 e) 161

Bloque III

21.Hallar el resto de la división:

x3

(x 1)(x 2)

(x 5)(x 4)(x 3)(x 2)...(x 1)(x 2)

x 1

a) 1 b) 2 c) 0 d) 16 e) 18

27. Hallar el resto en:

(x 3)(x 7)90 7

x 6

a) 7x + 5 b) 76x + 2 c) 7x + 6

d) 6x - 1 e) 3x - 1 22.En la división:

28.Hallar el resto en:

x 60 x 80

x 90

x 20 4

x n1 (n 2)x n 1

x 1

el término independiente del cociente es -10, ¿de qué grado es el dividendo?

a) 13 b) 9 c) 7

d) 3 e) 8 23.Dado el polinomio:

x10 1

a) 2 b) 4 c) 10 d) 8 e) 6

29.Hallar el resto:

27x 425 81x 424

5x 19

x 3

a) -2 b) 3 c) -4 d) 1 e) 0

F(x) ( 3 2)x 4 (1 2 3)x 3

2 6 (4 2 6)x 2

Hallar su valor numérico en: x

a) 1 b) 5 c)

3 2

3 2

30.En la siguiente división:

(2x 40 n)x 5

; x 1

determinar el resto, para que la suma de coeficientes d) 6 e) 5 6 del cociente sea 93.

24. Hallar el resto en:

(1 x)

1 x 2

x 1; -1

a) 2 b) -6 c) 18

d) 16 e) 24

a) 8x b) 8x + 8 c) 8x - 6 d) 8x + 11 e) 16

Autoevaluación

1. Dividir:

3x 4 5x 2

x 2

4. Dividir:

27x 4 6x2

x 15

3x 1

hallar el residuo.

a) 12 b) 24 c) 60 d) 28 e) -16

dar el término independiente del cociente.

a) -3 b) -1 c) 0 d) 9 e) 1

2. Dividir:

3x5 10x2

12x x3 15

x 3

5. Hallar el resto en:

425

424

hallar el resto. 8x 16x

x 2

5x 19

a) 26 b) 223 c) 663

d) 441 e) 645 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir.

a) 29 b) 9 c) -9 d) -29 e) 2

2y 4 14y 2y3

5

y 3

a) 16 b) 24 c) 58 d) 169 e) 170

Claves

1. c

2. c

3. c

4. c

5. a