distribucion de probabilidaddes

7/24/2019 Distribucion de Probabilidaddes

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DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD


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NDICE

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.........................................................3

CLCULO DE PROBABILIDADES.....................................................................................3Conceptos generales............................................................................................................3

DISTRIBUCIONES DISCRETAS..........................................................................................4Distri!ci"n Uni#or$e %iscreta &a'(................................................................................... 4Distri!ci"n Bino$ial &n'p(.................................................................................................)Distri!ci"n *ipergeo$+trica &N'R'n(.................................................................................,Distri!ci"n -eo$+trica &p(................................................................................................ Distri!ci"n Bino$ial negati/a &r'p(................................................................................... 0Distri!ci"n Poisson &la$%a(...........................................................................................12

DISTRIBUCIONES CONTINUAS.......................................................................................1Distri!ci"n Uni#or$e &a'(...............................................................................................1Distri!ci"n Nor$al &!' Sig$a(.....................................................................................14Distri!ci"n Lognor$al &!' Sig$a(............................................................................... 1,

Distri!ci"n Log5stica &a' (.............................................................................................. 1Distri!ci"n Beta &p'6(.......................................................................................................10Distri!ci"n -a$$a &a'p(..................................................................................................17Distri!ci"n E8ponencial &la$%a(................................................................................... 1Distri!ci"n 9i:c!a%ra%o &n(.............................................................................................. Distri!ci"n t %e St!%ent &n(..............................................................................................3Distri!ci"n ; %e Sne%ecor &n'$(......................................................................................4

-ENERACI


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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

CLCULO DE PROBABILIDADES

Conceptos generales

Uno de los objetivos de la estadstica es el conocimiento cuantitativo de unadeterminada parcela de la realidad. Para ello, es necesario construir un modelo deesta realidad particular objeto de estudio, partiendo de la premisa de que loreal es siempre ms complejo y multiforme que cualquier modelo que se puedaconstruir. De todas formas, la formulacin de modelos aceptados por lasinstituciones responsables y por los usuarios, permite obviar la existencia del error odistancia entre la realidad y el modelo.

Los modelos tericos a los que se ace referencia se reducen en mucos casos a !o

incluyenen su formulacin" funciones de probabilidad. La teora de la probabilidad tiene suori#en enel estudio de los jue#os de a$ar, que impulsaron los primeros estudios sobreclculo deprobabilidades en el si#lo %&', aunque no es asta el si#lo %&''' cuando seaborda laprobabilidad desde una perspectiva matemtica con la demostracin de la (leyd)bil de los#randes n*meros+ se#*n la cual, al aumentar el n*mero de pruebas, lafrecuencia de un

suceso tiende a aproximarse a un n*mero jo denominado probabilidad. -steenfoque,denominado enfoque frecuentista, se modela matemticamente en el si#lo %%cuandoolmo#orov formula la teora axiomtica de la probabilidad /. Dica teoradene laprobabilidad como una funcin que asi#na a cada posible resultado de unexperimentoaleatorio un valor no ne#ativo, de forma que se cumpla la propiedad aditiva. Ladenicinaxiomtica establece las re#las que deben cumplir las probabilidades, aunque

no asi#navalores concretos.

Uno de los conceptos ms importantes de la teora de probabilidades es elde variablealeatoria que, intuitivamente, puede denirse como cualquier caractersticamedible quetoma diferentes valores con probabilidades determinadas. 0oda variable aleatoriaposee unadistribucin de probabilidad que describe su comportamiento !vale decir, quedesa#re#a el /a lo lar#o de los valores posibles de la variable". 1i la variable es discreta, esdecir, si tomavalores aislados dentro de un intervalo, su distribucin de probabilidad especicatodos losvalores posibles de la variable junto con la probabilidad de que cada uno ocurra. -nel casocontinuo, es decir, cuando la variable puede tomar cualquier valor de unintervalo, la


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distribucin de probabilidad permite determinar las probabilidadescorrespondientes a consubintervalos de valores. Una forma usual de describir la distribucin deprobabilidad deuna variable aleatoria es mediante la denominada funcin de densidad, en tantoque lo quese conoce como funcin de distribucin representa las probabilidades acumuladas234.

Una de las preocupaciones de los cientcos a sido construir modelos dedistribuciones de probabilidad que pudieran representar el comportamiento tericode diferentes fenmenos aleatorios que aparecan en el mundo real. La

pretensin de modelar lo observable a constituido siempre una necesidadbsica para el cientco emprico, dado que a trav)s de esas construccionestericas, los modelos, poda experimentar sobre aquello que la realidad no lepermita. Por otra parte, un modelo resulta extremadamente *til, siempre quese corresponda con la realidad que pretende representar o predecir, de maneraque pon#ade relieve las propiedades ms importantes del mundo que nos rodea,aunque sea a costa de la simplicacin que implica todo modelo.

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-n la prctica ay unas cuantas leyes de probabilidad tericas, como son, porejemplo, la ley binomial o la de Poisson para variables discretas o la ley normalpara variables continuas, que sirven de modelo para representar las distribucionesempricas ms frecuentes.

6s, por ejemplo, la variable (talla de un reci)n nacido+ puede tener valores entre

74 cm y 85cm, pero no todos los valores tienen la misma probabilidad, porque las msfrecuentes sonlas tallas prximas a los 89 cm. -n este caso la ley normal se adaptasatisfactoriamente a ladistribucin de probabilidad emprica, que se obtendra con una muestra #rande decasos.

-pidat 5./ ofrece, en este mdulo, procedimientos usuales para calcularprobabilidades y susinversas, para un conjunto bastante amplio de funciones de distribucin,

discretas ycontinuas, que son abituales en el proceso de modelacin. Por ejemplo, elconjunto dedistribuciones pertenecientes a la familia exponencial es de uso frecuente enmetodolo#ascomo el anlisis de supervivencia o el :odelo Lineal ;enerali$ado. la probabilidadacumulada astaese punto, o la probabilidad de que la variable tome valores inferiores o i#ualesa x !colai$quierda" y la probabilidad de valores superiores a x !cola dereca". -n el casocontinuo, laprobabilidad de que la variable sea i#ual acualquier punto es i#ual a cero? portanto, noin@uye en las colas el eco de incluir o excluir el punto x. Aay un tercerresultado que elpro#rama presenta slo para las distribuciones continuas sim)tricas !normal,lo#stica y t de1tudent"> la probabilidad de dos colas, es decir, la probabilidad que queda a amboslados delintervalo !3x, x" !x, 3x", se#*n el punto sea positivo o ne#ativo, respectivamente.

6simismo, los resultados de -pidat 5./ incluyen la media y la varian$a de lacorrespondientedistribucin, as como la mediana yBo la moda en el caso de las distribucionescontinuas.

-pidat 5./ tambi)n ofrece la posibilidad de representar, #rcamente, lasfunciones de distribucin y densidad.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Las distribuciones discretas incluidas en el mdulo de (=lculo de probabilidades+ son>


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Uniforme discreta ;eom)trica

Cinomial Cinomial e#ativa

Aiper#eom)trica Poisson

Distribucin Uniforme discreta (a,b)

Describe el comportamiento de una variable discreta que puede tomar n valoresdistintoscon la misma probabilidad cada uno de ellos. Un caso particular de esta

distribucin, que esla que se incluye en este mdulo de -pidat 5./, ocurre cuando los valoresson enterosconsecutivos. -sta distribucin asi#na i#ual probabilidad a todos los valores enterosentre ellmite inferior y el lmite superior que denen el recorrido de la variable. 1i lavariable puedetomar valores entre a y b, debe ocurrir que b sea mayor que a, y la variable tomalos valoresenteros empe$ando por a, aE/, aE2, etc. asta el valor mximo b. Por ejemplo,cuando se

observa el n*mero obtenido tras el lan$amiento de un dado perfecto, los valoresposibles

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si#uen una distribucin uniforme discreta en F/, 2, 5, 7, 8, GH, y la probabilidad decada caraes /BG.

&alores>x> a, aE/, aE2, ..., b, n*meros enteros

Parmetros>

a> mnimo, a enterob> mximo, b entero con a I b

-jercicio

-l temario de un examen para un proceso selectivo contiene 89 temas, de loscuales se ele#ir uno por sorteo. 1i una persona no a estudiado los /8 *ltimostemas J=ul es la probabilidad de que apruebe el examenK

La variable que representa el n*mero del tema seleccionado para el examen

si#ue unadistribucin uniforme con parmetros a/ y b89. La persona aprueba elexamen si le tocaun tema del / al 58? por tanto, la probabilidad que se pide es la cola a la i$quierdade 58. Paraobtener los resultados en -pidat 5./ basta con proporcionarle losparmetros de la

distribucin, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 58.

Mesultados con -pidat 5./

Clculo de probabilidades. Distribuciones discretas

Uniforme discreta (a,b)

a : Mnimo 1

b : Mximo 5

!unto " #5

!robabilidad !r$%&' ,

Cola *+uierda !r$%-&' ,

Cola Derec/a !r$%0' ,#

Media 5,5

arian+a 2,5

La persona tiene una probabilidad de aprobar i#ual a 9,4.

Distribucin Binomial (n,p)

La distribucin binomial es una distribucin discreta muy importante que sur#e enmucas aplicaciones bioestadsticas.

-sta distribucin aparece de forma natural al reali$ar repeticionesindependientes de unexperimento que ten#a respuesta binaria, #eneralmente clasicada como ()xito+ o(fracaso+.

Por ejemplo, esa respuesta puede ser el bito de fumar !sBno", si un pacienteospitali$adodesarrolla o no una infeccin, o si un artculo de un lote es o no defectuoso. Lavariablediscreta que cuenta el n*mero de )xitos en n pruebas independientes de eseexperimento,cada una de ellas con la misma probabilidad de ()xito+ i#ual a p, si#ue unadistribucin


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binomial de parmetros n y p. -ste modelo se aplica a poblaciones nitas de las quese tomaelementos al a$ar con reempla$o, y tambi)n a poblaciones conceptualmenteinnitas, comopor ejemplo las pie$as que produce una mquina, siempre que el proceso deproduccin seaestable !la proporcin de pie$as defectuosas se mantiene constante a lar#opla$o" y sinmemoria !el resultado de cada pie$a no depende de las anteriores".

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Un ejemplo de variable binomial puede ser el n*mero de pacientesin#resados en una unidad ospitalaria que desarrollan una infeccin nosocomial.

Un caso particular se tiene cuando n/, que da lu#ar a la distribucin de Cernoulli.

&alores>x> 9, /, 2, ..., n

Parmetros>n> n*mero de pruebas, n N 9enterop> probabilidad de )xito, 9 I p I/

-jercicio

-n un examen formado por 29 pre#untas, cada una de las cuales se respondedeclarando (verdadero+ o (falso+, el alumno sabe que, istricamente, en el48O de los casos la respuesta correcta es (verdadero+ y decide responder alexamen tirando dos monedas, pone (falso+ si ambas monedas muestran una caray (verdadero+ si al menos ay una cru$. 1e desea saber qu) probabilidad ay deque ten#a al menos /7 aciertos.

Aay que proporcionarle a -pidat 5./ los parmetros de la distribucin y el punto apartir del cual se calcular la probabilidad. -n este caso n29, p9,48 y el punto/7.



3inomial (n,p)

n: 4mero de pruebas

p: !robabilidad de 6xito ,5

!unto " 17

!robabilidad !r$%&' ,1828

Cola *+uierda !r$%-&' ,#22

Cola Derec/a !r$%0' ,81

Media 15,

arian+a #,5

La probabilidad de que el alumno ten#a ms de /7 aciertos se sit*a en 9,G/.

Distribucin Hipergeomtrica (N,R,n)

La distribucin iper#eom)trica suele aparecer en procesos muestrales sinreempla$o, en losque se investi#a la presencia o ausencia de cierta caracterstica. Pi)nsese, porejemplo, en unprocedimiento de control de calidad en una empresa farmac)utica, durante el cualse extraenmuestras de las cpsulas fabricadas y se someten a anlisis para determinar sucomposicin.Durante las pruebas, las cpsulas son destruidas y no pueden ser devueltas allote del queprovienen. -n esta situacin, la variable que cuenta el n*mero de cpsulas que nocumplen


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los criterios de calidad establecidos si#ue una distribucin iper#eom)trica. Portanto, estadistribucin es la equivalente a la binomial, pero cuando el muestreo se ace sinreempla$o.

-sta distribucin se puede ilustrar del modo si#uiente> se tiene una poblacin

nita con

elementos, de los cuales M tienen una determinada caracterstica que sellama ()xito+

G


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!diabetes, obesidad, bito de fumar, etc.". -l n*mero de ()xitos+ en una muestraaleatoria de tamaQo n, extrada sin reempla$o de la poblacin, es unavariable aleatoria con distribucin iper#eom)trica de parmetros , M y n.

=uando el tamaQo de la poblacin es #rande, los muestreos con y sinreempla$o son

equivalentes, por lo que la distribucin iper#eom)trica se aproxima en talcaso a labinomial.

&alores>x> maxF9,n3!3M"H, ..., minFM,nH, donde maxF9,n3!3M"H indica el valor mximo

entre 9 y n3!3M" y minFM,nH indica el valor mnimo entre M y n.

Parmetros>> tamaQo de la poblacin, N9 enteroM> n*mero de )xitos en la poblacin, M9entero n> n*mero de pruebas, nN9 entero

-jercicio

1e sabe que el 4O de los *tiles quir*r#icos enun lote de /99 no cumplen ciertasespecicaciones de calidad. 0omada una muestra al a$ar de /9 unidades sinreempla$o, interesa conocer la probabilidad de que no ms de dos seandefectuosos.

-l n*mero de *tiles defectuosos en el lote es M9,94/994. Para un tamaQo

muestral de n/9, la probabilidad buscada es PFn*mero de defectuosos 2H.Mesultados con -pidat 5./


9ipereom6trica (4,;,n)

4 : n 1

; : 4mero 6xitos en la pob.

n : 4mero de pruebas 1

!unto "

!robabilidad !r$%&' ,1#5

Cola *+uierda !r$%-&' ,??

Cola Derec/a !r$%0' ,2

Media ,

arian+a ,5?12

La probabilidad de que a lo sumo aya dos *tiles defectuosos en el lote esaproximadamente9,RS.

Distribucin Geomtrica (p)

1upn#ase, que se efect*a repetidamente un experimento o prueba, que lasrepeticiones sonindependientes y que se est interesado en la ocurrencia o no de un suceso al quese reerecomo ()xito+, siendo la probabilidad de este suceso p. La distribucin #eom)tricapermitecalcular la probabilidad de que ten#a que reali$arse un n*mero derepeticiones asta


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obtener un )xito por primera ve$. 6s pues, se diferencia de la distribucin binomialen queel n*mero de repeticiones no est predeterminado, sino que es la variablealeatoria que semide y, por otra parte, el conjunto de valores posibles de la variable es ilimitado.

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Para ilustrar el empleo de esta distribucin, se supone que ciertomedicamento operaexitosamente ante la enfermedad para la cual fue concebido en el S9O de loscasos a los quese aplica? la variable aleatoria (intentos fallidos en la aplicacin del medicamento

antes delprimer )xito+ si#ue una distribucin #eom)trica de parmetro p9,S. x> 9, /, 2, ...

Parmetros>p> probabilidad de )xito, 9IpI/

-jercicio

La probabilidad de que cierto examen m)dico d) lu#ar a una reaccin (positiva+ esi#ual a 9,S, Jcul es la probabilidad de que ocurran menos de 8 reacciones(ne#ativas+ antes de la primera positivaK

La variable aleatoria (n*mero de reacciones ne#ativas antes de la primera

positiva+ si#ue una distribucin ;eom)trica con parmetro p9,S.



@eom6trica (p)

p : !robabilidad de 6xito ,2

!unto " 7

!robabilidad !r$%&' ,1#

Cola *+uierda !r$%-&' ,???

Cola Derec/a !r$%0' ,#

Media ,5

arian+a ,#15

La probabilidad de que ocurran menos de 8 reacciones (ne#ativas+ antes de laprimera positiva es casi / !9,RRR4".

Distribucin Binomial negativa (r,p)

Una #enerali$acin obvia de la distribucin #eom)trica aparece si se supone

que un experimento se contin*a asta que un determinado suceso, deprobabilidad p, ocurre por r3)sima ve$. La variable aleatoria que proporciona la probabilidad de que seprodu$can fracasos antes de obtener el r3)simo )xito si#ue una distribucinbinomial ne#ativa de parmetros r y p, C!r,p". La distribucin #eom)tricacorresponde al caso particular en que r/. Un ejemplo es el n*mero delan$amientos fallidos de un dado antes de obtener un G en tres ocasiones, quesi#ue una C!5,/BG".


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S


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-n el caso de que los sucesos ocurran a intervalos re#ulares de tiempo,esta variable proporciona el tiempo total para que ocurran r )xitos, por lo quetambi)n se denomina (distribucin binomial de tiempo de espera+.

La distribucin binomial ne#ativa fue propuesta, ori#inalmente, como una

alternativa a la

distribucin de Poisson para modelar el n*mero de ocurrencias de un sucesocuando losdatos presentan lo que se conoce como variacin extra3Poisson o sobredispersin.-n estassituaciones, la varian$a es mayor que la media, por lo que se incumple lapropiedad quecaracteri$a a una distribucin de Poisson, se#*n la cual la media es i#ual a la

varian$a. Laprimera aplicacin en bioestadstica la reali$ 1tudent !Tilliam 1. ;osset" aprincipios desi#lo cuando propuso esta distribucin para modelar el n*mero de #lbulos rojosen una#ota de san#re. -n este caso, la variabilidad extra se debe al eco de que esasc)lulas noestn uniformemente distribuida en la #ota, es decir, la tasa de intensidad no esomo#)nea.

Por ejemplo, la distribucin binomial ne#ativa es ms adecuada que la dePoisson paramodelar el n*mero de accidentes laborales ocurridos en un determinadolapso. Ladistribucin de Poisson asume que todos los individuos tienen la misma

probabilidad desufrir un accidente y que )sta permanece constante durante el perodo deestudio? sinembar#o, es ms plausible la iptesis de que los individuos tienenprobabilidadesconstantes en el tiempo, pero que varan de unos sujetos a otros? esto es lo que seconoce enla literatura como la propensin a los accidentes !(accident proneness+"S,R. -staiptesis setraduce en una distribucin de Poisson mixta, o de efectos aleatorios, en la que sesupone que

las probabilidades varan entre individuos de acuerdo a una distribucin #ammay estoresulta en una distribucin binomial ne#ativa para el n*mero de accidentes.

&alores>x> 9, /, 2, ...

Parmetros>p> probabilidad de )xito,9IpI/ r> n*mero de )xitos,r9

-jercicio

1e sabe que, en promedio, de cada /99 placas de rayos % que se reali$an, una esdefectuosa. J=ul es el n*mero medio de placas *tiles que se producen entre /9defectuosasK

1i se considera el primer fallo como punto de inicio, ay que considerar la variable(n*mero de placas *tiles antes de R defectuosas+, que si#ue una distribucin


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binomial ne#ativa de parmetros rR y p9,9/.



3inomial neatiAa (r,p)

r : 4mero de 6xitos ?

p : !robabilidad de 6xito ,1

!unto " 1

Media 2?1,

arian+a 2?1,

-ntre /9 placas defectuosas se producen, en promedio, unas SR/ placas *tiles.

R


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Distribucin Poisson (lambda)

La distribucin de Poisson, que debe su nombre al matemtico franc)s 1imen DenisPoisson !/4S/3/S79", ya aba sido introducida en /4/S por 6braam De :oivrecomo una forma lmite de la distribucin binomial que sur#e cuando se observa unevento raro despu)s de un n*mero #rande de repeticiones/9. -n #eneral, la

distribucin de Poisson se puede utili$ar como una aproximacin de la binomial,Cin!n, p", si el n*mero de pruebas n es #rande, pero la probabilidad de )xito p espequeQa? una re#la es que la aproximacin Poisson3binomial es (buena+ si n29 yp9,98 y (muy buena+ si n/99 y p9,9/.

La distribucin de Poisson tambi)n sur#e cuando un evento o suceso (raro+ ocurrealeatoriamente en el espacio o el tiempo. La variable asociada es el n*mero deocurrenciasdel evento en un intervaloo espacio continuo, por tanto, es una variable aleatoriadiscretaque toma valores enteros de 9 en adelante !9, /, 2,...". 6s, el n*mero de pacientes

que lle#an aun consultorio en un lapso dado, el n*mero de llamadas que recibe un servicio deatencin aur#encias durante / ora, el n*mero de c)lulas anormales en una supercieistol#ica o eln*mero de #lbulos blancos en un milmetro c*bico de san#re son ejemplos devariables quesi#uen una distribucin de Poisson. -n #eneral, es una distribucin muyutili$ada endiversas reas de la investi#acin m)dica y, en particular, en epidemiolo#a.

-l concepto de evento (raro+ o poco frecuente debe ser entendido en el sentidode que laprobabilidad de observar eventos decrece rpidamente a medida que aumenta.1upn#ase, por ejemplo, que el n*mero de reacciones adversas tras laadministracin de unfrmaco si#ue una distribucin de Poisson de media lambda2. 1i se administra estefrmacoa /.999 individuos, la probabilidad de que se produ$ca una reaccin adversa!/" es 9,24?los valores de dica probabilidad para 2, 5, 7, 8, G reacciones, respectivamente,

son> 9,24?9,/S? 9,9R? 9,95 y 9,9/. Para /9 o mayor, la probabilidad es virtualmente9. -l rpidodescenso de la probabilidad de que se produ$can reacciones adversas amedida que aumenta puede observarse claramente en el #rco de la funcin de densidadobtenido con-pidat 5./>


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Para que una variable recuento si#a una distribucin de Poisson debencumplirse varias condiciones>

/. -n un intervalo muy pequeQo !p. e. de un milise#undo" la probabilidadde que

ocurra un evento es proporcional al tamaQo del intervalo.

/9


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2. La probabilidad de que ocurran dos o ms eventos en un intervalo muy

pequeQo es

tan reducida que, a efectos prcticos, se puede considerar nula.

5. -l n*mero de ocurrencias en un intervalo pequeQo no depende de lo que

ocurra en

cualquier otro intervalo pequeQo que no se solape con aqu)l.

-stas propiedades pueden resumirse en que el proceso que #enera unadistribucin de Poisson es estable !produce, a lar#o pla$o, un n*mero mediode sucesos constante por unidad de observacin" y no tiene memoria !conocer eln*mero de sucesos en un intervalo no ayuda a predecir el n*mero de sucesos en elsi#uiente".

-l parmetro de la distribucin, lambda, representa el n*mero promedio deeventos esperados por unidad de tiempo o de espacio, por lo que tambi)n se sueleablar de lambda como (la tasa de ocurrencia+ del fenmeno que se observa.

6 veces se usan variables de Poisson con intervalos que no son espaciales nitemporales,sino de otro tipo. Por ejemplo, para medir la frecuencia de una enfermedad se puedecontar,en un perodo dado, el n*mero de enfermos en cierta poblacin, dividida enintervalos de,por ejemplo, /9.999 abitantes. 6l n*mero de personas enfermas en unapoblacin detamaQo prejado, en un instante dado, se le denomina prevalencia de laenfermedad en eseinstante y es una variable que si#ue una distribucin de Poisson.


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probabilidad de que se colapse el servicio de ur#encias del ospitalK Mepresentar lafuncin de densidad de probabilidad.

Para calcular la probabilidad pedida y, adems, representar la funcin dedensidad de probabilidad ay que marcar el cuadro situado en la parte inferiordereca de la pantalla>


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!oisson (lambda)

lambda : Media 7#,

!unto " 5

!robabilidad !r$%&' ,##?

Cola *+uierda !r$%-&' ,285

Cola Derec/a !r$%0' ,1#7#

Media 7#,

arian+a 7#,

La probabilidad de que el servicio colapse est cerca de 9,/5.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Las distribuciones continuas incluidas en el mdulo de (=lculo de probabilidades+ son>

Uniforme ;amma

ormal -xponencial

Lo#normal Vi3cuadrado

Lo#stica t de 1tudent

Ceta W de 1nedecor

Distribucin Uniforme (a,b)

La distribucin uniforme es *til para describir una variable aleatoria conprobabilidadconstante sobre el intervalo Xa,bY en el que est denida. -sta distribucinpresenta una

peculiaridad importante> la probabilidad de un suceso dependerexclusivamente de laamplitud del intervalo considerado y no de su posicin en el campo devariacin de lavariable.


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/2


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=ualquiera sea la distribucin W de cierta variable %, la variable transformadaZW!%" si#ueuna distribucin uniforme en el intervalo X9,/Y. -sta propiedad es fundamentalpor ser labase para la #eneracin de n*meros aleatorios de cualquier distribucin en las

t)cnicas desimulacin.

=ampo de variacin>

a x b

Parmetros>a> mnimo del recorrido

b> mximo delrecorrido

-jercicio

1upn#ase una variable que se distribuye uniformemente entre 5S9 y /.299. Determnese>

/. La probabilidad de que el valor de la variable sea superior a mil.

2. La media y la desviacin estndar de dica variable.

6 -pidat se le proporcionar el lmite superior e inferior del campo devariacin de lavariable X5S9, /.299Y y, adems, el punto a partir del cual se quiere calcular laprobabilidad.

Mesultados con -pidat 5./Clculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Uniforme (a,b)

a : Mnimo #2,

b : Mximo 1,

!unto % 1,


Cola Derec/a !r$%0&' ,7#?

Media ?,

arian+a 58##,####

Mediana ?,

La probabilidad de que la variable sea superior a mil se sit*a en un entorno de 9,27,la media es 4R9 y la desviacin estndar, ra$ cuadrada de la varian$a, esaproximadamente 254.

-jercicio

Un contratista A est? preparan%o !na o#erta sore !n n!e/o pro@ecto %e constr!cci"n. La

o#erta sig!e !na %istri!ci"n !ni#or$e entre )) @ ) $iles %e e!ros. Deter$5nese>

/. La probabilidad de que la oferta sea superior a G9 mil euros.

2. La media y la desviacin estndar de la oferta.

6 -pidat se le proporcionar el lmite superior e inferior del campo de variacinde la variable X88, 48Y y, adems, el punto a partir del cual se quiere calcular laprobabilidad.


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/5


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Clculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Uniforme (a,b)

a : Mnimo 55,

b : Mximo 5,

!unto % 8,


Cola Derec/a !r$%0&' ,5

Media 85,

arian+a ##,####

Mediana 85,

La probabilidad de que la oferta sea superior a G9 mil euros se sit*a en un entorno

de 9,48, y la media es G8.

Distribucin Normal (Mu, Sigma)

La distribucin normal es, sin duda, la distribucin de probabilidad msimportante del=lculo de probabilidades y de la -stadstica. Wue descubierta por De :oivre !/445",comoaproximacin de la distribucin binomial. De todas formas, la importancia de ladistribucinnormal queda totalmente consolidada por ser la distribucin lmite de numerosas

variablesaleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a trav)s de los teoremascentrales dellmite. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universalpresencia de ladistribucin normal en todos los campos de las ciencias empricas> biolo#a,medicina,psicolo#a, fsica, economa, etc. -n particular, mucas medidas de datoscontinuos enmedicina y en biolo#a !talla, presin arterial, etc." se aproximan a la distribucinnormal.

Vunto a lo anterior, no es menos importante el inter)s que supone lasimplicidad de sus caractersticas y de que de ella derivan, entre otras, tresdistribuciones !Vi3cuadrado, t y W" que se mencionarn ms adelante, deimportancia clave en el campo de la contrastacin de iptesis estadsticas.

La distribucin normal queda totalmente denida mediante dos parmetros> lamedia !:u" y la desviacin estndar !1i#ma".

=ampo de variacin>

3I x I

Parmetros>:u> media de la distribucin, 3I :u I 1i#ma> desviacin estndar de la distribucin, 1i#ma N 9

-jercicio

1e supone que el nivel de colesterol de los enfermos de un ospital si#ue una


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distribucin normal con una media de /4R,/ m#BdL y una desviacin estndar de2S,2 m#BdL.

/. =alcule el porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a /GR m#BdL.

/7


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2. J=ul ser el valor del nivel de colesterol a partir del cual se encuentra el /9O de losenfermos del ospital con los niveles ms altosK

5. Mepresente la funcin de densidad.

-n este caso, se tendr que ejecutar -pidat 5./ dos veces> en el primer caso para

calcular una probabilidad, en el se#undo caso el dato de entrada es unaprobabilidad, concretamente la cola de la dereca, lo que permitir obtener elpunto. -n ambas ejecuciones se ofrece, de manera opcional, la funcin dedensidad del nivel de colesterol.

/. Mesultados con -pidat 5./


4ormal (Mu,Bima)

Mu : Media 1?,1

Bima : DesAiaci>n estndar 2,

!unto % 18?,

Cola *+uierda !r$%-&' ,#81

Cola Derec/a !r$%0&' ,8#??

Dos Colas 1!r$%-&' ,

-l porcentaje de enfermos con un nivel de colesterol inferior a /GR m#BdL es 5GO.

2. Mesultados con -pidat 5./


4ormal (Mu,Bima)

Mu : Media 1?,1


Cola *+uierda !r$%-&' ,?


Dos Colas 1!r$%-&' ,

!unto % 15,#?2

6 partir de 2/8,27 m#BdL se encuentran los valores de colesterol del /9O de los

enfermos que tienen los valores ms altos.

/8


28/55

Distribucin Lognormal (Mu, Sigma)

La variable resultante al aplicar la funcin exponencial a una variable que sedistribuye normal con media :u y desviacin estndar 1i#ma, si#ue unadistribucin lo#normal con parmetros :u !escala" y 1i#ma !forma". Dico de otromodo, si una variable % se distribuye normalmente, la variable ln%, si#ue una

distribucin lo#normal.

La distribucin lo#normal es *til para modelar datos de numerosos estudiosm)dicos talescomo el perodo de incubacin de una enfermedad, los ttulos de anticuerpo a unvirus, eltiempo de supervivencia en pacientes con cncer o 1'D6, el tiempo asta laseroconversinde &'AE, etc.

=ampo de variacin>

9 I x I

Parmetros>:u> parmetro de escala, 3I :u I1i#ma> parmetro de forma, 1i#maN 9

-jercicio

1upn#ase que la supervivencia, en aQos, lue#o de una intervencin quir*r#ica!tiempo que pasa asta que ocurre la muerte del enfermo" en una cierta poblacin

si#ue una distribucin lo#normal de parmetro de escala 2,52 y de forma9,29. =alc*lese la probabilidad de supervivencia a los /2 aQos, la medianade supervivencia y represente la funcin de distribucin de la variable.



Eonormal (Mu,Bima)

Mu : Fscala ,#

Bima : Gorma ,

!unto % 1,

Cola *+uierda !r$%-&' ,?5Cola Derec/a !r$%0&' ,72

Media 1,#21

arian+a 7,#?2

Mediana 1,15

Moda ?,8

La probabilidad de supervivencia a los /2 aQos se sit*a prximo a 9,29.

La funcin de distribucin de la supervivencia a la intervencin quir*r#ica sepresenta a continuacin>


29/55

/G


30/55

Distribucin Logstica (a, b)

La distribucin lo#stica se utili$a en el estudio del crecimiento temporal devariables, enparticular, demo#rcas. -n biolo#a se a aplicado, por ejemplo, paramodelar elcrecimiento de c)lulas de levadura, y para representar curvas de dosis3respuesta enbioensayos.

La ms conocida y #enerali$ada aplicacin de la distribucin lo#stica en =iencias dela 1aludse fundamenta en la si#uiente propiedad> si U es una variable uniformementedistribuida en

el intervalo X9,/Y, entonces lavariable

U = ln si#ue una distribucin lo#stica. -sta

1 U transformacin, denominada lo#it, se utili$a para modelar datos de respuestabinaria, especialmente en el contexto de la re#resin lo#stica.

=ampo de variacin>

3I x I

Parmetros>a> parmetro de posicin, 3I aI b> parmetro de escala, b N 9

-jercicio

-l crecimiento relativo anual !O" de la poblacin de un determinado pas si#ue una

distribucin lo#stica de parmetro de posicin / y de escala 2. =alcular laprobabilidad deque el crecimiento en un aQo determinado sea superior al 8O y representar lafuncin dedensidad.


31/55

/4


32/55



Eostica (a,b)

a : !osici>n 1,

b : Fscala ,

!unto % 5,


Cola Derec/a !r$%0&' ,11?

Dos Colas 1!r$%-&' ,#27

Media 1,

arian+a 1#,15?5

Mediana 1,

Moda 1,

La probabilidad de que la poblacin ten#a un crecimiento superior al 8O es delorden de9,/2.

Distribucin Beta (p,q)

La distribucin beta es posible para una variable aleatoria continua que toma

valores en el intervalo X9,/Y, lo que la ace muy apropiada para modelar

proporciones. -n la inferencia bayesiana, por ejemplo, es muy utili$adacomo distribucin a priori cuando las observaciones tienen una distribucinbinomial.

Uno de los principales recursos de esta distribucin es el ajuste a una #ranvariedad dedistribuciones empricas, pues adopta formas muy diversas dependiendo de culessean losvalores de los parmetros de forma p y q, mediante los que viene denida ladistribucin.

Un caso particular de la distribucin beta es la distribucin uniforme en X9,/Y,

que se corresponde con una beta de parmetros p/ y q/, denotada Ceta!/,/".

=ampo de variacin>

9x /

Parmetros>p> parmetro de forma, p N9


33/55

q> parmetro de forma, q N9

/S


34/55

-jercicio

-n el presupuesto familiar, la porcin que se dedica a salud si#ue una distribucin Ceta!2,2".

/. J=ul es la probabilidad de que se #aste ms del 28O del presupuesto familiar en

saludK

2. J=ul ser el porcentaje medio que las familias dedican a la compra de productos yservicios de saludK



3eta (p,)

p : Gorma ,

: Gorma ,

!unto % ,5

Cola *+uierda !r$%-&' ,158#

Cola Derec/a !r$%0&' ,27#2

Media ,5

arian+a ,5

Moda ,5

0eniendo en cuenta la distribucin beta, la probabilidad de que se #aste ms dela cuarta parte del presupuesto en salud ser 9,S7 y el porcentaje medio que lasfamilias dedican a la compra de productos y servicios de salud ser el 89O.

Distribucin Gamma (a,p)La distribucin #amma se puede caracteri$ar del modo si#uiente> si se estinteresado en laocurrencia de un evento #enerado por un proceso de Poisson de media lambda, lavariableque mide el tiempo transcurrido asta obtener n ocurrencias del eventosi#ue unadistribucin #amma con parmetros a nlambda !escala" y pn !forma". 1edenota

;amma!a,p".

Por ejemplo, la distribucin #amma aparece cuando se reali$a el estudio de laduracin de elementos fsicos !tiempo de vida".

-sta distribucin presenta como propiedad interesante la (falta de memoria+. Poresta ra$n,es muy utili$ada en las teoras de la abilidad, mantenimiento y fenmenos deespera !porejemplo en una consulta m)dica (tiempo que transcurre asta la lle#ada delse#undopaciente+".

=ampo de variacin>

9 I x I Parmetros>

a> parmetro de escala, aN 9p> parmetro de forma, p N9


35/55

/R


36/55

-jercicio /

-l n*mero de pacientes que lle#an a la consulta de un m)dico si#ue una

distribucin de Poisson de media 5 pacientes por ora. =alcular la probabilidad deque transcurra menos de una ora asta la lle#ada del se#undo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria (tiempo que transcurre asta lalle#ada del se#undo paciente+ si#ue una distribucin ;amma !G, 2".



@amma (a,p)

a : Fscala 8,

p : Gorma ,

!unto % 1,

Cola *+uierda !r$%-&' ,?28


Media ,####

arian+a ,558

Moda ,188

La probabilidad de que transcurra menos de una ora asta que lle#ue el se#undopacientees 9,RS.

-jercicio 2

1uponiendo que el tiempo de supervivencia, en aQos, de pacientes que sonsometidos a una cierta intervencin quir*r#ica en un ospital si#ue una distribucin;amma con parmetros a9,S/ y p4,S/, calc*lese>

/. -l tiempo medio de supervivencia.

2. Los aQos a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 9,/.



@amma (a,p)

a : Fscala ,21

p : Gorma ,21



!unto % 17,7?

Media ?,87

arian+a 11,?#

Moda 2,77

-l tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, /9 aQos.

29


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Distribucin Exponencial (lambda)

La distribucin exponencial es el equivalente continuo de la distribucin #eom)tricadiscreta. -sta ley de distribucin describe procesos en los que interesa saber eltiempo asta que ocurre determinado evento? en particular, se utili$a para modelartiempos de supervivencia. Un ejemplo es el tiempo que tarda una partcula

radiactiva en desinte#rarse. -l conocimiento de la ley que si#ue este evento seutili$a, por ejemplo, para la datacin de fsiles o cualquier materia or#nicamediante la t)cnica del carbono /7.

Una caracterstica importante de esta distribucin es la propiedad conocida como(falta dememoria+. -sto si#nica, por ejemplo, que la probabilidad de que un individuo de

edad tsobreviva x aQos ms, asta la edad xEt, es la misma que tiene un reci)n nacido desobrevivirasta la edad x. Dico de manera ms #eneral, el tiempo transcurrido desde

cualquierinstante dado t9asta que ocurre el evento, no depende de lo que aya ocurrido

antes delinstante t9.

La distribucin exponencial se puede caracteri$ar como la distribucin deltiempo entresucesos consecutivos #enerados por un proceso de Poisson? por ejemplo, eltiempo quetranscurre entre dos eridas #raves sufridas por una persona. La media de ladistribucin dePoisson, lambda, que representa la tasa de ocurrencia del evento por unidad detiempo, es elparmetro de la distribucin exponencial, y su inversa es el valor medio de ladistribucin.

0ambi)n se puede ver como un caso particular de la distribucin #amma!a,p", conalambda yp/.

-l uso de la distribucin exponencial a sido limitado en bioestadstica,debido a lapropiedad de falta de memoria que la ace demasiado restrictiva para lamayora de losproblemas.

=ampo de variacin>

9 I x I

Parmetros>lambda> tasa, lambda N 9

-jercicio

1e a comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos si#ue unadistribucin exponencial con media de /G aQos. J=ul es la probabilidad de que auna persona a la que se le a implantado este marcapasos se le debareimplantar otro antes de 29 aQosK 1i el marcapasos lleva funcionandocorrectamente 8 aQos en un paciente, Jcul es la probabilidad de que aya quecambiarlo antes de 28 aQosK

La variable aleatoria (tiempo de vida del marcapasos+ si#ue una distribucinexponencial de parmetro lambda/B/G9,9G28


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Fxponencial (lambda)

lambda :


39/55

La probabilidad de que se le ten#a que implantar otro marcapasos antes de los29 aQos se sit*a en un entorno a 9,4/.

0eniendo en cuenta la propiedad de (falta de memoria+ de la exponencial, laprobabilidad de tener que cambiar antes de 28 aQos un marcapasos que llevafuncionando 8 es i#ual a la probabilidad de cambio a los 29 aQos, es decir,

P!%I28B%N8" P!%I29" 9,4/.

Distribucin Ji-cuadrado (n)

Un caso especial, muy importante, de la distribucin ;amma se obtiene cuandoa/B2 ypnB2. La distribucin resultante se conoce con el nombre de Vi3cuadrado con n#rados delibertad. -s la distribucin que si#ue la suma de los cuadrados de n variablesindependientes

!9,/".La Vi3cuadrado es una distribucin fundamental en inferencia estadstica y enlos tests estadsticos de bondad de ajuste. 1e emplea, entre mucas otrasaplicaciones, para determinar los lmites de conan$a de la varian$a de unapoblacin normal, para contrastar la iptesis de omo#eneidad o deindependencia en una tabla de contin#encia y para pruebas de bondad deajuste.

La distribucin Vi3cuadrado queda totalmente denida mediante sus #rados de

libertad n. =ampo de variacin>

9x I

Parmetros>n> #rados de libertad, nN9

-jercicio

=onsidere la distribucin Vi3cuadrado con 2 #rados de libertad.

/. J[u) proporcin del rea bajo la curva se ubica a la dereca de R,2/K

2. J[u) valor de la variable asla el /9O superior de la distribucinK



Hicuadrado (n)

n : @rados de libertad

!unto % ?,1



-l /O del rea bajo la curva se ubica a la dereca de R,2/.



Hicuadrado (n)

n : @rados de libertad



!unto % 7,85


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22


41/55

-l valor 7,G982 divide a la distribucin en dos partes> el R9O de )sta queda a lai$quierda de dico punto y el /9O a la dereca.

Distribucin t de Student (n)

La distribucin t de 1tudent se construye como un cociente entre una normal y lara$ de una Vi3cuadrado independientes. -sta distribucin desempeQa unpapel importante en la inferencia estadstica asociada a la teora de muestraspequeQas. 1e usa abitualmente en el contraste de iptesis para la media deuna poblacin, o para comparar las medias de dos poblaciones, y viene denidapor sus #rados de libertad n.

6 medida que aumentan los #rados de libertad, la distribucin t de 1tudent seaproxima a una normal de media 9 y varian$a / !normal estndar".

=ampo de variacin>3I x I

Parmetros>n> #rados de libertad, nN9

-jercicio

La distribucin t de 1tudent se aproxima a la normal a medida que aumentan los#rados de libertad.

/. =alcular, para una distribucin !9,/", el punto que deja a la dereca

una cola deprobabilidad 9,98.

. =alcular, para una distribucin t de 1tudent, la probabilidad de que lavariable tome

un valor a la dereca de ese punto. 0omar como #rados de libertadsucesivamente n

/9 y n 899.

Para el primer apartado ay que seleccionar en la lista de distribuciones lanormal de parmetros :u9 y 1i#ma/.

/. Mesultados con -pidat 5./Clculo de probabilidades. Distribuciones continuas

4ormal (Mu,Bima)

Mu : Media ,




Dos Colas 1!r$%-&' ,1

!unto % 1,877?

Media ,

arian+a 1,

-n el se#undo apartado se ejecutar dos veces -pidat 5./> la primera ve$ con unadistribucin t de 1tudent con /9 #rados de libertad y la se#unda ve$ con 899#rados de libertad.


42/55

25


43/55



t de Btudent (n)

n : @rados de libertad 1

!unto % 1,877?

Cola *+uierda !r$%-&' ,?#75


Dos Colas 1!r$%-&' ,1#1


t de Btudent (n)

n : @rados de libertad 5

!unto % 1,877?

Cola *+uierda !r$%-&' ,?7?

Cola Derec/a !r$%0&' ,5#

Dos Colas 1!r$%-&' ,18

1e aprecia claramente que, al aumentar los #rados de libertad de la t de1tudent, la probabilidad se acerca a la calculada con la distribucin ormal.

Distribucin F de Snedecor (n,m)

9 x I

Parmetros>n> #rados de libertad del numerador, nN9m> #rados de libertad del denominador, mN9

-jercicio

-n un laboratorio se efectuaron ciertas mediciones y se comprob quese#uan una distribucin W con /9 #rados de libertad en el numerador y /2#rados de libertad en el denominador.

/. =alcule el valor que deja a la dereca el 8O del rea bajo la curva de

densidad. 2. J=ul es la probabilidad de que la medicin sea superior a

7,59K

5. Mepresente la funcin de distribucin y de densidad de las medidas.


44/55

27


45/55



G de Bnedecor (n,m)

n : @rados libertad del num. 1,

m : @rados libertad del denom. 1,



!unto % ,5#7

-l valor que deja a la dereca una probabilidad de 9,98 es 2,48.



G de Bnedecor (n,m)

n : @rados libertad del num. 1,

m : @rados libertad del denom. 1,

!unto % 7,#



Media 1,

arian+a ,

Moda ,825

La probabilidad que deja a la dereca 7,59 es 9,9/.

5. Las funciones de densidad y distribucin de las medidas efectuadas sepresentan a continuacin>

28


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GENERACIN DE DISTRIBUCIONES

Conceptos generales

-pidat 5./ ofrece procedimientos para #enerar muestras de variablesaleatorias que se ajusten a determinadas distribuciones, tanto continuascomo discretas. 6dems de las distribuciones disponibles en el submdulo de(=lculo de probabilidades+, en el presente se incluyen la multinomial, en lasdiscretas, y la normal bivariante, en las continuas.

-ste submdulo puede ser *til para reali$ar ejercicios de simulacin!principalmente en estudios de investi#acin" y, adems, para calcularprobabilidades asociadas a variables obtenidas a partir de otras cuyasdistribuciones sean conocidas, aun cuando la variable resultante ten#adistribucin desconocida.

-l empleo de la simulacin para vericar un resultado terico es, oy en da, unaprctica re#ular, #racias al desarrollo de los ordenadores que permiten obtener,rpida y fcilmente, n*meros aleatorios de cualquier distribucin. -sto a supuestouna aut)ntica revolucin en el campo de la estadstica y, en particular, en losm)todos bayesianos.

:s que n*meros aleatorios estrictamente, los al#oritmos de simulacin #eneran loque se a denominado como n*meros pseudo3aleatorios a trav)s de frmulasrecursivas que parten de un valor inicial llamado semilla. -xisten diferentesm)todos de #eneracin que permiten obtener una secuencia de n*merosaleatorios para una distribucin dada, pero la mayora de estos m)todos sebasan en la #eneracin de observaciones independientes de unadistribucin uniforme en X9,/Y. -l #enerador con#ruencial, propuesto por Lemer//, esuno de los ms utili$ados para obtener n*meros aleatorios uniformes. Unarecomendacin muy extendida en la literatura es la de combinar varios#eneradores de n*meros aleatorios para obtener un #enerador con mejorescaractersticas.

Los m)todos de simulacin se denominan, de modo #eneral, t)cnicas de :onte=arlo. -stos m)todos se utili$an en la resolucin de diferentes problemas en los quela solucin analtica exacta es difcil de obtener o consume muco tiempo. -n esoscasos, se busca una solucin aproximada mediante la simulacin. -l t)rmino:onte =arlo no ace referencia a un al#oritmo concreto de simulacin, sino ms

bien al eco de que se a aplicado un m)todo de ese tipo. Una aplicacin de estast)cnicas se da, por ejemplo, en el campo de la inferencia. -l procedimiento se puededescribir, de modo #eneral, como si#ue> se ajusta un modelo a los datos empricos yse utili$a este modelo ajustado para simular muestras aleatorias que, a su ve$, seusan para estimar los parmetros de la distribucin terica. -steprocedimiento #eneral se denomina bootstrap param)trico.

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Las distribuciones discretas incluidas en el submdulo de (;eneracin de

distribuciones+son>

Uniforme discreta ;eom)trica

Cinomial Cinomial e#ativa

:ultinomial Poisson


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48/55

=on excepcin de la multinomial, todas fueron descritas en el submduloprecedente !(=lculo de probabilidades+", de modo que aora slo se explicardica distribucin.

Distribucin Multinomial

;enerali$a la distribucin binomial al caso en que la poblacin se divida enmN2 #rupos mutuamente exclusivos y exaustivos.

1e supone un proceso estable y sin memoria que #enera elementos que puedenclasicarse en m clases distintas. 1upn#ase que se toma una muestra de nelementos y se denen m variables aleatorias %in*mero de elementos de la clase i!i/, ..., m", entonces el vector de m3variables es una variable aleatoria m3dimensional que si#ue una distribucinmultinomial de parmetros n, p/, ..., pm, donde pi!i/, ..., m" es la probabilidad de laclase i.

&)ase un ejemplo> de acuerdo con la teora de la #en)tica, un cierto cruce de

conejillo de indias resultar en una descendencia roja, ne#ra y blanca en larelacin S>7>7. 1i se tienen S descendientes, el vector de variables !%/, %2, %5"donde>

%/ \ de descendientes rojos

%2 \ de descendientes

ne#ros

%5 \ de descendientes

blancos

si#ue una distribucin multinomial con parmetros nS? p/ SB/G 9,8? p2 7B/G 9,28 y p5 7B/G 9,28.

Una situacin muy com*n en la prctica se da cuando se conoce el tamaQo demuestra n y se quieren estimar las probabilidades pi a partir de los valoresobservados. Pero tambi)n ay situaciones en las que se debe estimar el tamaQo demuestra n, adems de las probabilidades pi. -sto ocurre, por ejemplo, en elm)todo de captura3recaptura, que fue desarrollado por $olo#os para estimarpoblaciones animales y que a sido aplicado a poblaciones umanas en estudiosepidemiol#icos.

&alores>

xi 9, /, 2, ... !i /, ..., m"

Parmetros>n> n*mero de pruebas, nN9enterom> n*mero de clases, mN9entero

m

pi> probabilidad de la clase i, 9IpiI/ !i/, ..., m", donde pi = 1.i=1

DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Las distribuciones continuas incluidas en el mdulo de (;eneracin de distribuciones+ son>

Uniforme ;amma

ormal -xponencial


49/55

ormal bivariante Vi3cuadrado

Lo#normal t de 1tudent

Lo#stica W de 1nedecor

Ceta

24


50/55

=on excepcin de la normal bivariante, todas fueron descritas en el submduloprecedente !(=lculo de probabilidades+", de modo que aora slo se explicardica distribucin.

Distribucin Normal bivarianteWue introducida por ;auss a principios del si#lo %'% en su estudio de errores demedida en las observaciones astronmicas y de clculo de rbitas de cuerposcelestes. =omo modelo de distribucin terico continuo, se adapta con #ranaproximacin a fenmenos reales en diversos campos de las ciencias sociales y laastronoma.

De i#ual modo que la distribucin normal univariante est especicada por sumedia, :u, ysu varian$a, 1i#ma, la funcin de densidad de la variable aleatoria normalbivariante %!%/, %2", est determinada por el vector de medias :u!:u/, :u2",

el vector de desviaciones 1i#ma!1i#ma/, 1i#ma2" y el coeciente de correlacin Moentre las variables %/y %2.

1i las variables aleatorias %/y %2son independientes, el coeciente de correlacinlineal es nulo y por tanto Mo9.

=ampo de variacin>

3I x/I 3I x2I

Parmetros>:u!:u/, :u2"> vector de medias, 3I :u/I , 3I :u2I 1i#ma!1i#ma/, 1i#ma2"> vector de desviaciones, 1i#ma/ N9,1i#ma2N9 Mo> coeciente de correlacin, 3/Mo /

6qu, a diferencia de los restantes mdulos, no se pondrn ejemplos pues notiene mayor sentido, ya que la estructura de las aplicaciones siempre es lamisma. o obstante, para ilustrar la solucin de un problema prctico porva de la simulacin, se considera el si#uiente ejercicio en el que se aplica ladistribucin normal bivariante.

-jercicio

1upon#a que la distribucin de la variable peso de una poblacin de jvenessi#ue unadistribucin normal de media G8 # y desviacin estndar /8 #. 1upon#a,adems, quela variable altura en dica poblacin si#ue una distribucin normal de media/,GS m ydesviacin estndar 9,29 m. La correlacin entre las dos variables es alta, de un9,48. =onestos datos estimar el porcentaje de obesos en la poblacin teniendo encuenta que laobesidad est denida por un ndice de masa corporal !':=pesoBtalla 2"superior a 59

#Bm2

.Para calcular el porcentaje ay que simular los valores de la variable ':=,pues no se dispone de la distribucin terica. Los pasos a se#uir sern lossi#uientes>

/. 1imular /.999 valores de la distribucin normal bivariante con los si#uientesparmetros> media y desviacin estndar del peso, media y desviacinestndar de la talla, y el coeciente de correlacin entre la talla y el peso.
http://es.geocities.com/riotorto/tabl/tabl_normal/tabl_normal.htmhttp://es.geocities.com/riotorto/tabl/tabl_normal/tabl_normal.htm


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@eneraci>n de distribuciones. Distribuciones continuas

4ormal biAar. (Mu,Bima,;o)

Mu : ector de medias

85, 1,82

Bima : ector de desAiaciones estndar

15, ,

;o : Coeficiente de correlaci>n

,5

ector de medias

85, 1,82

Matri+ de dispersi>n

5, ,5

,5 ,7

n

,5 1,17

2,27?? 1,25?7

5?,275 1,78

81,72# 1,2

I

=on los /.999 valores simulados se obtiene un porcentaje de sujetos con un ':=superior a 59 #Bm2del RO.

otas> =ada ve$ que se reali$a una nueva simulacin se obtienen

valoresdiferentes, aunque se manten#a la misma distribucin, el valor

de susparmetros y el tamaQo de la muestra.

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distribucion de probabilidaddes

Documents