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Distribución de PoissonDistribución de PoissonPor: Luz E. Acevedo
Maribel Román Lorraine Gonzalez
STAT 555
Prof. Roberto Díaz
La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
La Distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta
que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la
probabilidad que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
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La Distribución de PoissonLa Distribución de Poisson
La distribución de Poisson se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es,
aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3,... veces durante un periodo definido de tiempo o en un área determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia
del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución de Poisson incluyen:
La Distribución de PoissonLa Distribución de Poisson
El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.
El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.
El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.
El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.
El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de radiación.
UtilidadUtilidad
La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.
Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.
Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de exitos p es pequeña.
Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
Ejemplos de la Ejemplos de la utilidadutilidad
La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.
La distribución de Poisson se emplea para describir procesos con un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta.
Propiedades de unPropiedades de un proceso de Poissonproceso de Poisson
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el segmento o tamaño de muestra n es constante.
2. El evento debe considerarse un suceso raro.
3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros eventos.
Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la
construcción de la distribución de Poisson.
La La distribución de Poissondistribución de Poisson
• La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.
• La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
• Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10
La función La función PP(x(x=k)=k)
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad
A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.
Ejemplo1 de la funciEjemplo1 de la funciónónF (xF (x=k=k) )
La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0.02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes?
Como la probabilidad p es menor que 0.1, y el producto n * p es menor que 10 (300 * 0.02 = 6), entonces, aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
Al realizar el cómputo tenemos que P(x = 3) = 0.0892
Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8.9%.
Ejemplo 2 de la funciEjemplo 2 de la funciónónF(xF(x=k=k) )
La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0.012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos?
En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0.1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson:
El resultado es P (x = 5) = 0.04602
Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4.6%.
TablaTablass de probabilidad de de probabilidad de PoissonPoisson
Utilizando la tabla de probabilidad de Poisson se pueden resolver los ejemplos anteriores.
Para esto, usted debe saber los valores X y λ.
X es el número de éxitos que buscamos. Este es el valor K.
λ es el número promedio de ocurrencias por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Se consigue multiplicando a p por el segmento dado n.
Del ejemplo 1: λ = 0.02 * 300 = 6
Del ejemplo 2: λ = 0.012 * 800 = 9.6
La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 240.00
0.03
0.05
0.08
0.10
0.13
0.15
0.18
0.20
Distribución de Poisson
x
P(x
)
La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Y la varianza también es igual al parámetro de la distribución:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Por lo tanto, la desviación standard es:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
La Distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas consecuencias son
muy importantes para el Control Estadístico de Procesos.
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Supongamos que se tienen m variables aleatorias de Poisson:
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VariableParámetro
x1 1
x2 2
x3 3
...xm m
La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Si w es una combinación lineal de tales variables:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Entonces w es una variable aleatoria de Poisson con parámetro:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Esto es muy importante porque podemos imaginar el producto fabricado por un
proceso (Una licuadora, una computadora, un televisor, etc.) como
una superficie en la que se pueden producir múltiples defectos, y donde el número de cada tipo de defecto es una
variable aleatoria de Poisson.
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Entonces, la propiedad mencionada nos permite tratar la suma de todos
los tipos de defectos como una variable aleatoria de Poisson. Esto se utiliza para el control del Número de
Defectos en un producto.
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Supongamos ahora que tenemos un gran lote de artefactos, por ejemplo
licuadoras. Tomamos una muestra de m = 5 unidades y medimos el número
total de defectos en las 5 unidades.
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Si obtuvimos x1, x2, x3, ... xm defectos en cada unidad, el número total de defectos será:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
El número promedio de defectos por unidad será:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
y es una variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, ..., etc. ¿Cuál es la varianza de y?
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
La varianza de xi es cualquiera que sea el subindice i, porque todas las xi
tienen la misma distribución:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Por lo tanto:
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La Distribución de La Distribución de PoissonPoisson
Este es un importante resultado que se utilizará para calcular la varianza
en los Graficos U.
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Referencias
Recopilado el 25 de mayo 2012 de Guerriero V.. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics». J. Mod. Math. Fr.
Recopilado el 10 de junio 2012 de htt://www.itch.edu.mx/academic
/industrial/sabaticorita/_private/05Distr%20Poisson.htm
Recopilado el 10 de junio 2012 de www1.uprh.edu/.../La%20distribucion%20Poisson