distancia entre puntos_413
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Graficar y unir con una línea cada par de puntos en el plano:
a) A ( 2 ; 4 ) y B(-1 ; 3 )
b) C( 3 ; -1 ) y D(-4 ; -4 )
c) E( -3 ; -1 ) y F( 0 ; -3 )
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Graficar y unir con una línea cada par de puntos en el plano:
a) A( 4 ; -1 ) y B(-1 ; 0 )
b) C( -4 ; 0 ) y D(-0,5 ; 1 )
c) E( -0,2 ; 3 ) y F( 0,5 ; -0,5 )
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
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Distancia entre dos puntos:
Se define así:
Sean P1 y P2 dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego la distancia entre ellos está dado
por:
( ) ( )2 2= x - x + y - yp1p2 2 1 2 1d
Ej.: Determinar la distancia entre los punto P1 ( 2 ; 7 ) y P2 (-1 ; 3 )
( ) ( )
( ) ( )
=p1p2
=p1p2
=p1p2
= p1p2
2 2 -1 - 2 + 3 - 7
2 2 - 3 + - 4
16 + 9
d
d
d
d 5
Aplicando la fórmula, nos queda:
Nota: Si la raíz no es un número exacto, entonces dejarlo expresado.
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Distancia entre dos puntos:
Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego calcular la distancia entre ellos:
a) A( 4 ; -1 ) y B(-1 ; 2 )
b) C( 3 ; 0 ) y D( 5 ; 2 )
c) E( -3 ; 2 ) y F( -4 ; 5 )
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Respuesta:
a)
b)
c)
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Distancia entre dos puntos:
Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego calcular la distancia entre ellos:
a) A( 4 ; -1 ) y B( 3 ; - 2 )
b) C( -4 ; 0 ) y D( -1 ; -3 )
c) E( -2 ; 2 ) y F( 0 ; 0 )
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Respuesta:
a)
b)
c)
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Punto Medio:
Se define así:
Sean 1 1 1 2 2 2P (x ; y ) y P (x ; y ) dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego el
punto medio entre ellos MP , se encuentra geométricamente en medio de la recta que los une
y está dado por:
= M
x y 1 2 1 2; 2 2
Px y
+ +
Ej.: Determinar el punto entre los punto 1 2P (3 ; 5) y P ( 7 ; 1)
1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
X
Y
(3 ,5 )
(7 ,1 )
( )
3 7 5 1P = ; M 2 2
P = ; 3M 5
Aplicando la fórmula, nos queda:
+ +
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Punto Medio:
Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar el punto medio entre
ellos:
1 2
1 2
1 2
1 2
a) P (2 ; 3) y P ( 2 ; -1)
b) P (4 ; -1) y P ( -2 ; -3)
c) P (-3 ; 0) y P ( 1 ; 2)
d) P (-4 ; 3) y P ( 2 ; -4)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Respuesta:
a)
b)
c)
d)
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Punto Medio:
Graficar en el plano los siguientes pares de puntos y luego encontrar el
punto medio entre ellos:
a) A(-4 ; 3) y B( 8 ; -3)
b) A(7 ; -2) y B( -4 ; 2)
c) A(-7 ; 5) y B( 3 ; -1)
d) A(-5 ; -3) y B( 6 ; 1)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Respuesta:
a)
b)
c)
d)
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Aplicaciones:
1) Determinar el perímetro de la figura determinada por lo puntos:
A(-1 ; 0) ; B( 2 ; 4) y C( 2 ; 6)
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
x
y
Respuesta:
AB
BC
CA
d
d
d
Perímetro=
Nota: El perímetro de cualquier figura plana, se obtiene sumando la longitud de sus lados.
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Aplicaciones:
1) Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos:
1 2 3P ( 1 ; 1) , P ( 4 ; 5) y P ( 1 ; 5)
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
x
y
Respuesta:
p1p2
p2p3
p3p1
d
d
d
Perímetro=
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Aplicaciones:
1) Determinar el perímetro de la figura definida por los puntos:
A(-4 ; -3) , B( 4 ; -3) , C( 4 ; 2) y D( -4 ; 8)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Sugerencia: Se debe calcular la distancia entre
A y B , B y C; C y D y A y D; luego sumarlas.
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Pendiente entre dos puntos:
Se define así:
Sean 1 1 1 2 2 2P (x ; y ) y P (x ; y ) dos puntos ubicado en plano cartesiano, luego la
pendiente entre ellos la llamaremos " "m y está definida por:
2 1
2 1
y y
x xm =
−−
Ej. 1: Determinar la pendiente entre los puntos P (2 ; 2) y P ( 4 ; 8)1 2
Reemplazando en la fórmula, se tiene:
8 2
4 2 m = −
−
Luego 3m =
Ej. 2: Determinar la pendiente entre los puntos P ( 1 ; 4) y P ( 5 ; 7)1 2
Reemplazando en la fórmula, se tiene:
7 4
5 1 m = −
−
Luego 3
4m =
Ej. 3: Determinar la pendiente entre los puntos P ( 4 ; -3) y P ( 6 ; -11)1 2
Reemplazando en la fórmula, se tiene:
11 3
6 4 m = − − −
−
Luego 4m = −
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Pendiente entre dos puntos:
1) Graficar en el plano cartesiano y unir con una línea recta los siguientes puntos, luego
calcular su pendiente:
a) P ( 6 ; 3) y P ( 8 ; -7)1 2
b) P (-5 ; -2) y P ( -4 ; 7)1 2
c) P (-3 ; 0) y P ( 1 ; 4)1 2
d) P (-4 ; -6) y P ( 3 ; 1)1 2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-6-5-4-3-2-1
1234567
x
y
Las pendientes son:
a)
b)
c)
d)
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Determinar punto faltante:
Dados los puntos, determinar el componente faltante de modo que coincida con el punto
medio.
2
1) Sea P ( 6 ; 3) y P ( X ; 5) tengan como punto medio a P ( 4 ; 4)M1 2
¿ Cuánto vale X ?
2) Sea P ( 10 ; -1) y P ( X ; 1) tengan como punto medio a P ( 5 ; 0)M1 2
¿ Cuánto vale X ?
3) Sea P (1
)
)
4 ; y y P ( 6 ; -2) tengan como punto medio a P ( 5 ; 8)M2
¿ Cuánto vale Y ?
4) Sea P ( X ; -5 y P ( 3 ; -3) tengan como punto medio a P ( 6 ; 8)M1 2
¿ Cuánto vale X ?
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Pendiente entre dos puntos:
1) Dibujar el cuadrilátero definido por los puntos a continuación:
A( -2 ; 0) ; B( 4 ; 0) ; C( 7 ; 4) y D( 1 ; 4) . Luego obtener:
a) Perímetro del cuadrilátero.
b) Punto medio de los 4 lados.
c) Medidas de las diagonales.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
1
2
3
4
5
x
y
Respuesta:
a)
b)
c)
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Pendiente entre dos puntos:
1) Dibujar el triángulo definido por los puntos:
A( 2 ; -4) ; B( -4 ; 4) y C( -4 ; -4) . Luego obtener:
a) Perímetro del triángulo.
b) Puntos medios.
c) Longitud de sus medianas.
-4 -3 -2 -1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Respuesta:
a)
b)
c)
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Ecuación de la recta en su forma particular:
y = mx +c
¿ Cómo graficarla ?
Ej.: y = 2x + 1 Para esto podemos usar una tabla de valores la que se
indica a continuación:
Forma de determinar los puntos:
1) Se escogen 2 valores de “x” ( arbitrarios)
2) Se reemplazan en la función
3) Con el valor de “y” obtenido, se obtiene el par ordenado
correspondiente al punto que se debe graficar
¿ cómo se reemplazar ?
Si x = 0 y = 2 0 + 1 luego y = 1
Si x = 1 y = 2 1 + 1 luego y = 3
⋅
⋅
x Y = 2x +1
0 1
1 3
Luego tenemos los puntos P1(0 ; 1) y P2(1 ; 3)
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
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Ecuación de la recta: Graficar
1) y = 3x + 1
Si x = 0 y = 3 0 + 1⋅ luego y =
Si x = 1 y = 3 1 + 1⋅ luego y =
x Y = 3x +1
0
1
Luego tenemos los puntos P1(0; ) y P2(1; )
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
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Ecuación de la recta: Graficar
1) y = x + 3
x Y = x + 3
0
1
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
x
y
2) y = 2x + 4
x Y = 2x + 4
-1
0
-3 -2 -1 1 2
1
2
3
4
x
y
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Ecuación de la recta: Graficar
1) y – 3x = – 3
x Y = 3x - 3
0
1
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
x
y
2) y –2x + 4 = 0
x Y = 2x -4
0
1
-1 1 2
-4
-3
-2
-1
1x
y
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Ecuación de la recta: Graficar
1) Graficar las rectas a) y b) en el mismo plano:
a) y = -x + 3
x Y = -x + 3
0
1
b) y - 3 = -2x
x Y = -2x + 3
0
1
-1 1 2-1
1
2
3
4
x
y
2) Graficar las rectas a) y b) en el mismo plano:
a) y = 2x +1
x Y =
0
1
b) y –2x = 3
x Y =
0
1
-1 1 2-1
1
2
3
4
5
x
y
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Ecuación de la recta: Graficar
1) Graficar las rectas a) y b) en el mismo plano:
a) y = -x
x Y =
0
1
b) y = -2x
x Y =
0
1
c) y = 2
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
x
y
1) Graficar las rectas a) y b) en el mismo plano:
a) y = 3
b) x = - 2
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
x
y
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Ecuación de la recta:
La Ecuación General de la recta se define de la siguiente forma:
Ax + By + C = 0
De la forma General también se puede llegar a la forma particular. Veamos algunos ejemplos.
Ax + By + C = 0
A CDespejando: y = - x -
B B
Escribir en forma particular:
1) - 5x + 5y + 20 = 0
2) 10x + 2y + 8 = 0
3) 15x + 3y - 21 = 0
4) -12x + 4y + 24 = 0
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma particular:
- 20x + 5y + 25 = 0
5y = 20x - 25y =
1) 10x + 10y + 100 = 0
2) -26x + 13y - 39 = 0
3) -8x - 4y - 12 = 0
4) -18x - 9y - 81 = 0
5) -22x - 11y - 44 = 0
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma particular:
1) 20x + 4y + 18 = 0
2) 3x + 10y + 10 = 0
3) 11x + 3y - 39 = 0
4) -8x - 6y - 12 = 0
5) -16x - 4y - 22 = 0
6) -2x - 8y - 10 = 0
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma particular:
1) 5x + 5y = 20
2) -6x + 8y = 4
3) 11x + 3y - 39 = 0
4) -6x - 2y = 10
5) -3x - 3y = 9
6) -4x + 2y = 8
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma particular:
1) 2( x + 4y + 9 ) = 0
2) 4( 2x + 3y + 3) = 0
3) 5( 4x + 5y - 2 ) = 0
4) 6( -8x - 3y - 3 ) = 0
5) 5( 6x - 3y - 8 ) = 0
6) 7( -2x - y - 4 ) = 0
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma particular:
1) 4( 2x + y ) = 9
2) 4( 4x + 2y ) = -5
3) -2( 3x + 15y ) = 8
4) 9( -3x - 8y ) = -10
5) 4( 4x - 8y ) = -4
6) -6( 4x - 2y ) = -1
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma general:
y = 3x + 9
-3x + y - 9 = 0
1) y = 10x - 7
2) y = -3x + 19
3) y = 8x + 6
4) y = 4x + 2
5) y = -5x - 4
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma general:
2 y = x + 1
5
2y - x - 1 = 0 / 5
5
5y - 2x - 5 = 0
x1) y = - 11
2
22) y = - x + 1
3
43) y = x + 2
5
44) y = x + 1
7
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Ecuación de la recta:
Escribir en forma general:
y =
3y = 2x + 1
3y - 2x - 1 = 0
1) y =
2) y =
3) y =
4) y =
2x + 1 / 3
3
x + 4
2
6 - 3x
2
2x + 9
3
5x + 2
6
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Ecuación de la recta:
Pertenencia de un punto a una recta.
1 1
Se dice que un punto P( x ; y ) pertenece a una recta "L" cuándo al 1 1
reemplazar en la ecuación general ó particular, esta se satisface, es decir,
Ax y + C = 0 se cumple.
1) 6x + 2y + 2 = 0
+ B
P( 2 ; -6 )
2) x + 3y + 6 = 0 P( 3 ; -3 )
3) -2x + y +1 = 0 P( 2 ; 6 )
4) 5x - 2y + 2 = 0 P( 0 ; 1 )
5) 6x + 2y +1 = 0 P( 3 ; 0 )
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Ecuación de la recta:
Probar si los puntos indicados, pertenecen a la recta dada.
1) y = 3x + 9 P( 3 ; 2)
2) y = 3x - 7 P( 2 ; -1)
3) y = -2x + 1 P( 0 ; 1)
4) y = 3x + 2 P( -1 ; 0)
5) y = 4x + 10 P( -3 ; -2)
6) y = -5x - 4 P( 0 ; 1)