disposición 37 del boe núm. 3 de 2015ñas.es/paginas/departamentos/programaciones... · pacidad...

BACHILLERATO

Introducción

En Bachillerato, la materia troncal de Matemáticas ayudará a que el alumnado que lacurse siga desarrollando las habilidades de pensamiento matemático iniciado en EducaciónSecundaria Obligatoria, con un aumento progresivo de los niveles de abstracción y de su ca-pacidad de analizar e investigar, interpretar y comunicar matemáticamente diversos fenóme-nos y problemas en distintos contextos, así como de proporcionar soluciones prácticas a losmismos, aplicando el conocimiento matemático, tanto para el enriquecimiento personal delalumnado, como para la valoración del papel de las matemáticas en el progreso de la humani-dad.

La asignatura de Matemáticas contribuye al desarrollo de la capacidad de razonamiento yabstracción, y su estudio favorece la mejora de habilidades como ordenar, clasificar, discrimi-nar, comparar y analizar información, así como describir y explicar fenómenos y resultados,sacando conclusiones y comunicándolas; valorando, gracias al trabajo colaborativo, los dife-rentes enfoques y estrategias que pueden surgir a la hora de enfrentar un problema; y teniendopaciencia y perseverancia en la búsqueda de soluciones, por lo que el alumnado se hace cons-ciente y responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Esta materia propicia la consecución de los objetivos del Bachillerato, al fomentar eltrabajo en equipo y colaborativo, la tolerancia, los hábitos de trabajo y estudio; al desarrollardestrezas básicas para tratar la información mediante medios tecnológicos o no; al facilitar alalumnado las herramientas necesarias para realizar investigaciones y resolver problemas encontextos y situaciones reales, elaborando productos, de carácter oral y escrito, sobre elproceso seguido; y al facilitar la toma de decisiones responsables y el desarrollo de la autoes-tima.

Contribución al desarrollo de las competencias.

Las orientaciones de la Unión Europea insisten en la necesidad de la adquisición de lascompetencias clave por parte de la ciudadanía como condición indispensable para lograr quelos individuos alcancen un pleno desarrollo personal, social y profesional que se ajuste a lasdemandas de un mundo globalizado y haga posible el desarrollo económico, vinculado al co-nocimiento. Además, el aprendizaje por competencias favorece los propios procesos de apren-dizaje y la motivación por aprender, capacitando al alumnado a transferir aquellos conoci-mientos adquiridos a las nuevas instancias que aparezcan en su vida.

Para la adquisición de la Competencia en comunicación lingüística (CL), se fomenta que elalumnado exprese de forma oral o escrita el proceso seguido en una investigación o en la re-solución de un problema; la producción y la transferencia de información en actividadesrelacionadas con la vida cotidiana; la interpretación de mensajes que contengan informacionessobre diversos elementos o relaciones espaciales..., sirviéndose de un lenguaje correcto y conlos términos matemáticos precisos, argumentando la toma de decisiones, y buscando y com-partiendo diferentes enfoques y aprendizajes, por lo que se favorece, de este modo, el espíritucrítico y la escucha activa.

La asignatura de Matemáticas contribuye a la Competencia matemática y competenciasbásicas en ciencia y tecnología (CMCT), en cuanto que plantea investigaciones, estudios esta-dísticos y probabilísticos, representaciones gráficas de datos, medida, análisis y descripciónde formas geométricas que encontramos en el entorno y la vida cotidianos; todo esto, integra-do en situaciones de aprendizaje, que, partiendo de interrogantes motivadores para el

Dpto. de Matemáticas 1 Bachillerato

alumnado, le hagan diseñar, de forma individual, grupal o colaborativa, un plan de trabajopara poder resolver el problema inicial, en donde reflejen el análisis de la información propor-cionada, la búsqueda de información adicional, la clasificación y el análisis de los datos,las posibles estrategias de resolución y la coherencia de las soluciones. El pensamiento mate-mático permitirá que el alumnado pueda ir realizando abstracciones, de forma progresiva,cada vez más complejas, modelizando situaciones reales, operando con expresiones simbóli-cas y elaborando hipótesis sobre situaciones que no puede experimentar, pero que tienen ca-racterísticas similares a otras reales con las que puede sacar conclusiones.

Esta asignatura puede contribuir al desarrollo de la Competencia digital (CD) desdedos puntos de vista: por una parte, desarrolla destrezas relacionadas con la recogida, la clasi-ficación y el análisis de información obtenida de diferentes fuentes (Internet, medios audiovi-suales...), y el uso de diferentes programas informáticos para la comunicación de sus produc-tos escolares; y, por otra parte, se sirve de diferentes herramientas tecnológicas como progra-mas de geometría, hojas de cálculo... para la resolución de problemas y para la adquisición delos aprendizajes descritos en ellos.

Se contribuye a la competencia de Aprender a aprender (AA) por parte de la asignatura deMatemáticas, al fomentar en el alumnado el planteamiento de interrogantes y la búsqueda dediferentes estrategias de resolución de problemas; además, la reflexión sobre el proceso segui-do y su posterior expresión oral o escrita, hace que se profundice sobre qué se ha aprendido,cómo se ha realizado el proceso y cuáles han sido las dificultades encontradas, extrayendoconclusiones para situaciones futuras en contextos semejantes, integrando dichos aprendizajesy aprendiendo de los errores cometidos. El desarrollo y la adquisición de esta competenciaimplican la transferencia de aprendizajes para la realización de trabajos interdisciplinares.

La principal aportación de Matemáticas a las Competencias sociales y cívicas (CSC) se lo-gra mediante el especial empleo del trabajo en equipo a la hora de plantear investigaciones oresolver problemas, entendiéndolo no tanto como trabajo en grupo, sino como trabajo colabo-rativo, donde cada miembro aporta, según sus capacidades y conocimientos, produciéndoseun aprendizaje entre iguales, en el que el alumnado tendrá que llegar a acuerdos, tomar deci-siones de forma conjunta, ser flexible y tolerante, respetar diferentes puntos de vista y valorarcríticamente las soluciones aportadas por los demás.

La asignatura de Matemáticas contribuye a la Competencia en sentido de iniciativa y es-píritu emprendedor (SIEE), puesto que favorece la creatividad a la hora de plantear y resolverproblemas, el sentido crítico, la toma de decisiones, la planificación, la organización y la ges-tión de proyectos, el trabajo cooperativo, el manejo de la incertidumbre..., asumiendo riesgosy retos que le permitan superar las dificultades y aceptando posibles errores.

Contribución a los objetivos de la etapa

La asignatura de Matemáticas contribuye especialmente a la consecución de los objetivosde Bachillerato relacionados con la práctica de la tolerancia, la cooperación y la solidaridadentre las personas; los hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual o en equipo; el trata-miento de la información; el conocimiento científico; la comprensión y la expresión oral y es-crita; y con la apreciación de las creaciones artísticas.

A través de esta asignatura y mediante el trabajo en equipo, se fomentan la tolerancia, lacooperación, la participación, el diálogo y la solidaridad entre las personas, asumiendo cadamiembro sus deberes y ejerciendo sus derechos, valorando y respetando la diferenciade sexos, rechazando la discriminación y cualquier manifestación de violencia contra la mu-jer.


Además, las Matemáticas desarrollan hábitos de trabajo, individual o en equipo, fomentanla perseverancia, la autoestima, la confianza en sí mismo, el sentido crítico, el espíritu em-prendedor y la iniciativa personal a la hora de enfrentar situaciones problemáticas y planificarsu resolución.

Se utilizan criterios de evaluación y contenidos relacionados con la recogida, la interpreta-ción, la transformación y la comunicación de informaciones cuantitativas que aparecen dia-riamente en nuestro entorno, y con el uso de las nuevas tecnologías, tanto para la resoluciónde problemas como para la comunicación del proceso seguido y los resultados obtenidos. Así,en el bloque de aprendizaje de «Estadística y probabilidad», se habla específicamente de laplanificación y la realización de proyectos de recogida y clasificación de datos, realización deexperimentos, elaboración de hipótesis y comunicación de conclusiones.

Los contenidos matemáticos contribuyen directamente a facilitar el acceso del alumnado alos conocimientos científicos y tecnológicos y a comprender los elementos y los procedi-mientos fundamentales de las investigaciones, desarrollando un método lógico y personalpara abordar y resolver problemas, y para plantear trabajos de investigación. En este sentido,se presenta como criterio longitudinal específico en ambas etapas la búsqueda de diferentesmétodos para la resolución de problemas, donde se fomenta la creatividad, las soluciones al-ternativas, la iniciativa, las estrategias personales, el uso de programas informáticos y la rela-ción de la asignatura de Matemáticas con otras asignaturas, ayudando al alumnado a concebirel conocimiento científico como un saber integrado e interdisciplinar, en el que los conteni-dos matemáticos son necesarios para comprender los de otras materias.

También favorecen el desarrollo de la expresión oral y escrita al expresar en un lenguajeapropiado al nivel en que se encuentra el alumnado, el proceso seguido en las investigacionesy sus conclusiones, así como los procedimientos empleados en las actividades que realice, re-flexionando individual, grupal o colaborativamente sobre diferentes estrategias empleadas yla coherencia de las soluciones; aprendiendo de los errores cometidos; e integrando los apren-dizajes y compartiéndolos en contextos diversos.

Por último, la contribución de Matemáticas a la consecución del objetivo de etapa relacio-nado con la apreciación de las creaciones artísticas está ligada a la curiosidad e interés por in-vestigar sobre formas, configuraciones y relaciones geométricas, así como sobre sus propie-dades y relaciones, que ayudan al alumnado a comprender el lenguaje de las diferentes mani-festaciones artísticas y la representación de la realidad, y a estimular la creatividad con la in-tención de valorar las expresiones culturales y patrimoniales de las distintas sociedades.

Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables.

Los criterios de evaluación son el referente para evaluar el aprendizaje del alumnado y suanálisis debe ser el punto de partida para programar y diseñar las diferentes situacionesde aprendizaje. Se han organizado por cursos y aparecen conectados con sus estándares deaprendizaje, y vinculados con los contenidos y con las competencias que ayudan a desarrollar.

En los criterios de evaluación y en los estándares de aprendizaje se muestran los procesosmentales, los contenidos, los contextos y los recursos, y se describen los aprendizajes que elalumnado debe lograr.

En todos los cursos aparecen dos criterios longitudinales que se relacionan con los de-más y que se evalúan a lo largo de cada uno de los cursos: son los criterios de evaluación re-feridos a la resolución de problemas y al uso de las nuevas tecnologías. En ellos su compleji-dad aumenta progresivamente, en función de la dificultad de los problemas que el alumnadotiene que resolver y del contexto en el que usará las herramientas tecnológicas. Así, aunquesus descripciones son prácticamente iguales, al evaluarse de manera conjunta con el resto decriterios varían en cada curso.

Los criterios de evaluación referidos a los números tratan, no solo de la realizacióncorrecta de cálculos numéricos, sino también del tratamiento y la generación de informacio-


nes cuantitativas mediante el empleo de los diferentes tipos de números, sus operaciones, pro-piedades y relaciones.

Los criterios de evaluación relacionados con el álgebra aparecen en todos los cursos. Encada uno de ellos, desde un primer momento y de forma paulatina se utiliza el lenguaje alge-braico. Así, por ejemplo, en 1.º de ESO se emplea para simbolizar relaciones y propiedades;en 2.º de ESO, cuando se usan las ecuaciones como herramientas de resolución de problemasen diferentes contextos y asignaturas; y finalmente en 1º y 2º de Bachillerato cuando se plan-tean ecuaciones y sistemas más complejos, insistiendo, en todos los cursos, en la comproba-ción de las soluciones obtenidas

La geometría también tiene, al menos, un criterio en cada curso. En ellos se plantea el co-nocimiento de las formas geométricas, sus elementos, relaciones y propiedades, para la repre-sentación de la realidad y la comprensión de la misma, en primer lugar, en el plano, y, poste-riormente, en el espacio. Asimismo, el cálculo de áreas, volúmenes, distancias accesibles ono y el estudio del paralelismo y la perpendicularidad están enfocados a la resolución de pro-blemas en contextos reales.

El análisis de las funciones y sus características, así como el estudio de su continuidad yderivabilidad, están enfocados a su descripción, representación y a la extracción de informa-ción de las mismas.

Los criterios de evaluación referidos a la estadística están presentes en todos los cursos,centrándose en la realización de proyectos de recogida, clasificación y análisis de datos; asícomo en la elaboración y la comunicación de las conclusiones que sobre los diferentes pará-metros obtenidos mediante calculadoras u hojas de cálculo se pueden extraer. El análisis críti-co de datos estadísticos que aparecen en los medios de comunicación, la elaboración de pre-dicciones y la fiabilidad de las mismas son también recogidos en estos criterios.

Los contendidos de probabilidad aparecen en segundo curso, realizándose un estudio másprofundo de la dependencia e independencia de sucesos, experimentos simples o compuestosy las distribuciones de probabilidad para modelizar situaciones reales.

Los estándares de aprendizaje evaluables de los criterios de evaluación de la asignatura deMatemáticas especifican, de una manera particular, las metas que el alumnado debe alcanzaren relación con los aprendizajes que componen cada criterio: son observables, medibles yevaluables, y todos ellos aparecen en los enunciados de los criterios o en su explicación. Endefinitiva, nos permiten valorar el nivel de los logros alcanzados por los alumnos y las alum-nas.

Contenidos

Los contenidos se encuentran distribuidos en cinco bloques de aprendizaje relacionadosentre sí:

I. «Procesos, métodos y actitudes en matemáticas»II. «Números y álgebra»III. «Geometría»IV. «Análisis»V. «Estadística y probabilidad».

El primer bloque de aprendizaje centra la actividad matemática en la resolución de proble-mas y el uso de las nuevas tecnologías. Con ello se ha buscado darles una especial relevanciay fomentar el diseño de situaciones de aprendizaje donde quede recogido su trabajo específicoy la evaluación de los criterios correspondientes.

Los contenidos referidos a la resolución de problemas deben trabajarse en todos los blo-ques de forma conjunta con otro tipo de contenidos y no convertirse en una mera realizaciónde ejercicios. La resolución de problemas es la mejor vía para activar capacidades básicas del


alumnado: el planteamiento de nuevos interrogantes, la planificación de investigaciones, laformulación de hipótesis, la comprobación de los resultados... En resumen, a través de la reso-lución de problemas se logra desarrollar en el alumnado una forma personal y una aptitud ma-temática de enfrentarse a los problemas, expresando de forma oral y escrita el proceso seguidoy sus conclusiones.

El uso de las nuevas tecnologías está presente en el primer bloque de aprendizaje, pero setrabaja también en el resto de los bloques, promoviendo la utilización de programas informáti-cos de geometría dinámica, hojas de cálculo, procesadores de texto, simuladores, calculado-ras…, que ayuden al alumnado a la comprensión y resolución de problemas. Con el uso de lasTIC se aumentan, además, las posibilidades de una adecuada presentación de trabajos, investi-gaciones y conclusiones de los mismos, de la creatividad, de la autocorrección o de una co-rrecta toma de decisiones.

En el bloque de aprendizaje II. «Números y álgebra», se tratan los diferentes tipos de nú-meros, no solo como herramientas para la realización de cálculos, sino también comoapoyo y utilidad para la comprensión y la expresión de informaciones cuantitativas del mundoreal, trabajando sus relaciones y buscando la forma de cálculo más adecuada en cada caso y lamanera de expresar los resultados con la precisión requerida en cada ocasión. En cuanto al ál-gebra, se fomenta el uso del lenguaje algebraico para representar simbólicamente regularida-des y como herramienta para el planteamiento y la resolución de problemas mediante ecuacio-nes y sistemas.

Para la resolución de problemas geométricos, tecnológicos y del mundo natural, se trabaja-rán contenidos relacionados con el uso y propiedades de los vectores, la trigonometría y lageometría del plano y del espacio. El uso de programas informáticos de geometría dinámicasupone un apoyo para el afianzamiento y la comprensión de conceptos geométricos, y para lacomprobación de propiedades.

En el bloque de «Análisis», el estudio de las funciones y sus características, así como loslímites, la continuidad, las derivadas y las integrales serán utilizados por el alumnado para ex-traer información de funciones en contextos reales y resolver problemas, comunicando siem-pre sus conclusiones. Aquí el empleo de las nuevas tecnologías permitirá representar y com-parar numerosas funciones y estudiar sus propiedades y características.

Con respecto al quinto bloque de aprendizaje, la Estadística aparece en 1º y la Probabilidaden 2º. Estos contenidos se trabajan desde un punto de vista práctico, no como una serie de cál-culos sistemáticos. Planificar los estudios estadísticos y su realización, así como saber inter-pretar los resultados numéricos obtenidos y elaborar conclusiones son los aprendizajes esta-dísticos que servirán al alumnado para interpretar, de forma crítica, numerosa información.En cuanto a la probabilidad, la realización de experimentos con materiales manipulativos paraasignar probabilidades a sucesos aleatorios debe ser el punto de partida para trabajar estoscontenidos, dotándolos de significado para el alumnado. Es adecuado el uso de la hoja de cál-culo en Estadística para elaborar tablas de frecuencias, calcular parámetros y medidas de posi-ción, obtener representaciones gráficas, etc. También para la simulación de experiencias alea-torias y recuento de los resultados obtenidos.

Orientaciones metodológicas y estrategias didácticas

Los contenidos matemáticos deben aportar a nuestro alumnado herramientas eficaces paraenfrentarse a problemas reales y dotar de significado los cálculos a realizar, por lo que debenser en todo momento aprendizajes funcionales, significativos y orientados a la acción: reali-zación de tareas o situaciones problema, aprendizaje basado en proyectos... Es decir, se debebuscar siempre una finalidad para todo aquello que se realiza en el aula; por eso, el para qué,el cómo y el por qué se realizan los cálculos deben ser tan importantes como la precisión y lacorrección en hacerlos, pues de nada servirá tener las herramientas si no sabemos cómo usar-las y cuáles son más adecuadas según el contexto y la situación.


Es importante la selección y el uso, o la elaboración y el diseño de diferentes materia-les y recursos para el aprendizaje. Estos deben ser, por tanto, lo más variados posible, entrelos que cabría citar: folletos, prensa, Internet, libros, programas informáticos, calculadoras…,que darán lugar a diferentes productos enriqueciendo la evaluación y la práctica diaria en elaula. En este sentido, el empleo de materiales manipulativos y programas informáticos quepermitan visualizar o simular los procesos hará que el alumnado pueda dotar de significa-do los aprendizajes que realiza.

Además, se deben propiciar las prácticas de trabajo grupal y colaborativo. Este último fo-mentará el intercambio de conocimientos y experiencias entre iguales, ampliando las posiblesestrategias y provocando una visión más amplia de los problemas al debatirlos y cuestionarlas soluciones, con la posibilidad de plantear nuevos interrogantes y de aprender de los erro-res.

La planificación de investigaciones o proyectos dentro de situaciones de aprendizaje don-de el alumnado pueda poner en práctica diferentes aprendizajes adquiridos y observar su utili-dad y relación con otras áreas será una buena opción para favorecer el trabajo en equipo, tan-to del alumnado como del profesorado que podrá diseñarlas de forma conjunta e implemen-tarlas en el aula mediante la docencia compartida.

Se debe reflexionar sobre los procesos y exponerlos de forma oral o escrita para ayudar alalumnado a autoevaluarse e integrar los aprendizajes, fomentando la crítica constructiva y lacoevaluación.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CONTENIDOS, COMPETENCIAS CLAVE Y ESTÁNDA-RES DE APRENDIZAJE EVALUABLES EN MATEMÁTICAS I

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resoluciónde problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticoso probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las solucionesobtenidas y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Además, practicarestrategias para planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investiga-ción matemática, a partir de la resolución de un problema y el análisis posterior, lageneralización de propiedades y leyes matemáticas, o la profundización en algúnmomento de la historia de las matemáticas; realizar demostraciones sencillas depropiedades o teoremas y elaborar en cada situación un informe científico oral y es-crito con el rigor y la precisión adecuados, analizar críticamente las soluciones yotros planteamientos aportados por las demás personas, superar bloqueos e insegu-ridades ante situaciones desconocidas, desarrollando actitudes personales relativasal quehacer matemático y reflexionar sobre las decisiones tomadas, valorando sueficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado analiza y comprende el enun-ciado de un problema a resolver, o de una propiedad o teorema sencillo a demostrar(datos, relaciones entre los datos, condiciones, hipótesis, conocimientos matemáticosnecesarios, etc.), si utiliza diferentes estrategias de resolución (ensayo-error, heurísti-cas, estimación, modelización, etc.) y diferentes métodos de demostración (estructura,método, lenguaje y símbolos, pasos clave, etc.); y si reflexiona sobre el proceso segui-do y las soluciones obtenidas. También se trata de confirmar si planifica, de forma in-dividual y en grupo, un proceso de investigación matemática, conoce su estructura(problema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, re-sultados, conclusiones, etc.), reflexiona y saca conclusiones sobre la resolución y laconsecución de objetivos así como si plantea posibles continuaciones de la investiga-ción y establece conexiones entre el problema real y el mundo matemático. Todo ellousando el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y ala situación, desarrollando actitudes personales relativas al quehacer matemático (es-fuerzo, perseverancia, curiosidad e indagación, etc.) y analizando críticamente otrosplanteamientos y soluciones.

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Estándares de aprendizaje evalua-bles relacionados

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11, 12,13,14, 15, 16, 17,18, 19, 20, 21, 22,23, 24, 25, 26, 27,28, 29, 30, 31, 32,33.

Contenidos1. Planificación del proceso de resolución de problemas.2. Desarrollo de estrategias y procedimientos puestos en práctica: ensayo-

error, relación con otros problemas conocidos, modificación de varia-bles, suposición del problema resuelto.

3. Análisis crítico de las soluciones y los resultados obtenidos: coherencia delas soluciones con la situación, revisión sistemática del proceso, otras for-mas de resolución, problemas parecidos, generalizaciones y particulariza-ciones.

4. Iniciación a la demostración en matemáticas: métodos, razonamientos, len-guajes, etc. Métodos de demostración: reducción al absurdo, método de in-ducción, uso de contraejemplos, razonamientos encadenados, etc.

5. Utilización del razonamiento deductivo e inductivo.6. Utilización del lenguaje gráfico, algebraico y otras formas de representa-

ción de argumentos.7. Elaboración y presentación oral y escrita de informes científicos sobre los

resultados, las conclusiones y el proceso seguido en la resolución de unproblema, en un proceso de investigación o en la demostración de un re-sultado matemático.

8. Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la rea-lidad o contextos del mundo de las matemáticas.

9. Práctica de los proceso de matematización y modelización, en contextosde la realidad y en contextos matemáticos.

10. Confianza en las propias capacidades para el desarrollo de actitudes ade-cuadas y afrontamiento de las dificultades propias del trabajo científico.


Estándares de aprendizaje evaluables

1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, conel rigor y la precisión adecuados.

2. Analiza y comprende el enunciado a resolver o demostrar (datos, relaciones entre los datos, condi -ciones, hipótesis, conocimientos matemáticos necesarios, etc.).

3. Valora la información de un enunciado y la relaciona con el número de soluciones del problema.

4. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, valoran-do su utilidad y eficacia.

5. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas.

6. Reflexiona sobre el proceso de resolución de problemas.

7. Utiliza diferentes métodos de demostración en función del contexto matemático.

8. Reflexiona sobre el proceso de demostración (estructura, método, lenguaje y símbolos, pasos clave,etc.).

9. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.

10. Utiliza argumentos, justificaciones, explicaciones y razonamientos explícitos y coherentes.

11. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propie-dad o teorema a demostrar, tanto en la búsqueda de resultados como para la mejora de la eficaciaen la comunicación de las ideas matemáticas.

12. Conoce la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: problema de in-vestigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones, etc.

13. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se de-sarrolla y el problema de investigación planteado.

14. Profundiza en la resolución de algunos problemas, planteando nuevas preguntas, generalizando lasituación o los resultados, etc.

15. Generaliza y demuestra propiedades de contextos matemáticos numéricos, algebraicos, geométri-cos, funcionales, estadísticos o probabilísticos.

16. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de lahumanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; tecnologías y matemáticas, cien-cias experimentales y matemáticas, economía y matemáticas, etc.) y entre contextos matemáticos(numéricos y geométricos, geométricos y funcionales, geométricos y probabilísticos, discretos ycontinuos, finitos e infinitos, etc.).

17. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación.

18. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de in-vestigación.


20. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación.

21. Transmite certeza y seguridad en la comunicación de las ideas, así como dominio del tema de in-vestigación.

22. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de: a) resolu-ción del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posibles con-tinuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace explícitassus impresiones personales sobre la experiencia.

23. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

24. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando elproblema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticosnecesarios.

25. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problemao problemas dentro del campo de las matemáticas.

26. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

27. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitacio-nes de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.


28. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejo-rables, impresiones personales del proceso, etc.

29. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibili -dad para la aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de lafrustración, autoanálisis continuo, autocrítica constante, etc.

30. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al niveleducativo y a la dificultad de la situación.

31. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y bus-car respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

32. Toma decisiones en los procesos de resolución de problemas, de investigación y de matematiza-ción o de modelización valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su senci -llez y utilidad.

33. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando lapotencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situacionesfuturas; etc.

2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizan-do cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráfi-cas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sen-tido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáti-cos o a la resolución de problemas; así como utilizar las tecnologías de la informa-ción y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendizaje, buscando,analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras fuentes, ela-borando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mis-mos y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la interacción.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado selecciona y emplea las he-rramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, y las utilizapara la realización de cálculos numéricos y algebraicos cuando su dificultad impide o noaconseja hacerlos manualmente; y si elabora documentos digitales propios (texto, presen-tación, imagen, vídeo, sonido,…) como resultado del proceso de búsqueda, análisis y se-lección de información relevante y los comparte para su discusión o difusión. Asimis-mo, se pretende evaluar si utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráfi-cas de funciones con expresiones algebraicas complejas, extraer información cualitativay cuantitativa sobre ellas, comprobar los resultados de interpretación de las propiedadesglobales y locales de las funciones en actividades abstractas y problemas contextualiza-dos, organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico, calcular parámetros ygenerar gráficos estadísticos, diseñar representaciones gráficas para explicar el procesoseguido en la solución de problemas, recrear entornos y objetos geométricos para mos-trar, analizar y comprender propiedades geométricas, y estudiar posiciones relativas yrealizar intersecciones entre rectas y cónicas. Todo ello para estructurar y mejorar suproceso de aprendizaje, recogiendo la información de las actividades, utilizando los re-cursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula,analizando puntos fuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas demejora.

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Estándares de aprendizaje evalua-bles relacionados11, 20, 34, 35, 36,37, 38, 39, 40, 55,64, 73, 78.

Contenidos1. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje para:a) la recogida ordenada y la organización de datos;b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos numé-

ricos, funcionales o estadísticos;c) facilitar la comprensión de propiedades geométricas o funcionales y la rea-

lización de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico;d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre situa-

ciones matemáticas diversas;e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos llevados a

cabo y los resultados y conclusiones obtenidos;f) la comunicación y el intercambio, en entornos apropiados, de la informa-

ción y las ideas matemáticas.


Estándares de aprendizaje evaluables11. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propie-

dad o teorema a demostrar, tanto en la búsqueda de resultados como para la mejora de la eficaciaen la comunicación de las ideas matemáticas.

20. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación.

34. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numé-ricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlosmanualmente.

35. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones al-gebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

36. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, me-diante la utilización de medios tecnológicos.

37. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar,analizar y comprender propiedades geométricas.

38. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, video, sonido,…), como resul-tado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tec-nológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

39. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.

40. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizajerecogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su procesoacadémico y estableciendo pautas de mejora.

55. Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones, comprobando los resultados con laayuda de medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextualizados.

64. Utiliza medios tecnológicos adecuados para representar y analizar el comportamiento local y glo-bal de las funciones.

73. Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos en las que hay que seleccio-nar, estudiar posiciones relativas y realizar intersecciones entre rectas y las distintas cónicas estu-diadas.

78. Usa adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista es-tadístico, calcular parámetros y generar gráficos estadísticos.


3. Identificar y utilizar los números reales sus operaciones y propiedades, asícomo representarlos en la recta para recoger, interpretar, transformar eintercambiar información cuantitativa y resolver problemas de la vida coti-diana, eligiendo la forma de cálculo más apropiada en cada caso. asimismovalorar críticamente las soluciones obtenidas, analizar su adecuación al con-texto y expresarlas según la precisión exigida (aproximación, redondeo, nota-ción científica…) determinando el error cometido cuando sea necesario; ade-más, conocer y utilizar los números complejos y sus operaciones para resol-ver ecuaciones de segundo grado, el valor absoluto para calcular distancias yel número e y los logaritmos decimales y neperianos para resolver problemasextraídos de contextos reales.

Este criterio trata de comprobar si el alumnado representa en la recta los núme-ros reales y realiza operaciones entre ellos, con la posible intervención de la nota-ción científica, los logaritmos decimales o neperianos, el valor absoluto...; que lepermitan tratar información cuantitativa de distintas fuentes (prensa escrita, In-ternet…), y resolver problemas reales, eligiendo la forma de cálculo más adecua-da en cada momento (mental, escrita, mediante medios tecnológicos…). Tam-bién se trata de comprobar si el alumnado expresa los resultados obtenidos me-diante la precisión necesaria, calculando y minimizando el error cometido y utili-za los números complejos y sus operaciones así como el número e, y los logarit-mos decimales y neperianos y sus propiedades, como herramientas para resolverproblemas sacados de contextos reales.

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Estándares de aprendizaje evalua-bles relacionados

41, 42, 43, 44, 45,46, 47, 48, 49, 50.

Contenidos

1. Significado y utilización de los números reales para la comprensión dela realidad. Valor absoluto.

2. Uso de desigualdades. Cálculo de distancias en la recta real y repre-sentación de intervalos y entornos.

3. Realización de aproximaciones y cálculo de errores. Uso de la notacióncientífica.

4. Significado de los números complejos como ampliación de los reales yrepresentación en forma binómica, polar y gráfica. Operaciones ele-mentales entre números complejos y aplicación de la fórmula de Moiv-re.

5. Sucesiones numéricas: cálculo del término general, estudio de la mo-notonía y la acotación. El número e.

6. Uso de logaritmos decimales y neperianos.


41. Reconoce los distintos tipos números (reales y complejos) y los utiliza para representar e interpre-tar adecuadamente información cuantitativa.

42. Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y pa-pel, calculadora o herramientas informáticas.

43. Utiliza la notación numérica más adecuada a cada contexto y justifica su idoneidad.

44. Obtiene cotas de error y estimaciones en los cálculos aproximados que realiza valorando y justifi-cando la necesidad de estrategias adecuadas para minimizarlas.

45. Conoce y aplica el concepto de valor absoluto para calcular distancias y manejar desigualdades.

46. Resuelve problemas en los que intervienen números reales y su representación e interpretación enla recta real.

47. Valora los números complejos como ampliación del concepto de números reales y los utiliza paraobtener la solución de ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales sin solución real.

48. Opera con números complejos, y los representa gráficamente, y utiliza la fórmula de Moivre en elcaso de las potencias.


49. Aplica correctamente las propiedades para calcular logaritmos sencillos en función de otros cono-cidos.

50. Resuelve problemas asociados a fenómenos físicos, biológicos o económicos mediante el uso delogaritmos y sus propiedades.

4. Analizar, simbolizar y resolver problemas contextualizados mediante el plan-teamiento y resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones; uti-lizando para ello el lenguaje algebraico, aplicando distintos métodos y analizan-do los resultados obtenidos.

Este criterio trata de comprobar si el alumnado analiza, simboliza y resuelve pro-blemas reales utilizando el lenguaje algebraico como herramienta; y si para elloplantea ecuaciones (algebraicas o no), sistemas de ecuaciones (con no más de tresecuaciones y tres incógnitas y a los que también clasifica), e inecuaciones de pri-mer o segundo grado; aplicando diferentes métodos para resolverlos (gráfico,Gauss…), interpretando y contrastando los resultados obtenidos, valorando otrasposibles soluciones o estrategias de resolución aportadas por las demás personas,aceptando la crítica razonada y describiendo el proceso seguido de forma oral y es-crita.

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Estándares de aprendizaje evaluables relacionados

51, 52.

Contenidos1. Resolución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.2. Planteamiento y resolución de problemas de la vida cotidiana

mediante ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuacionesmediante diferentes métodos. Interpretación gráfica de los re-sultados.

3. Resolución de ecuaciones no algebraicas sencillas.4. Resolución e interpretación de sistemas de ecuaciones lineales

mediante el método de Gauss.

Estándares de aprendizaje evaluables51. Formula algebraicamente las restricciones indicadas en una situación de la vida real, es-

tudia y clasifica un sistema de ecuaciones lineales planteado (como máximo de tres ecua-ciones y tres incógnitas), lo resuelve, mediante el método de Gauss, en los casos que seaposible, y lo aplica para resolver problemas.

52. Resuelve problemas en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones(algebraicas y no algebraicas) e inecuaciones (primer y segundo grado), e interpreta losresultados en el contexto del problema.

5. Identificar y analizar las funciones elementales, dadas a través de enunciados,tablas, gráficas o expresiones algebraicas, que describan una situación real, apartir de sus propiedades locales y globales, y después de un estudio completode sus características para representarlas gráficamente y extraer informaciónpráctica que ayude a interpretar el fenómeno del que se derivan.

Este criterio tiene por objeto comprobar si el alumnado reconoce analítica y gráfica-mente las funciones reales de variable real elementales, interpreta las propiedadesglobales y locales, y extrae información del estudio de funciones, mediante eluso de las técnicas básicas del análisis en contextos reales; todo ello con la finali-dad de representar las funciones gráficamente e interpretar el fenómeno del que sederivan; seleccionando de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio yescalas, y reconociendo e identificando los errores de interpretación derivados deuna mala elección, ayudándose para todo ello de herramientas tecnológicas cuandosea necesario.

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53, 54, 55, 56, 63, 64.

Contenidos

1. Identificación y análisis de las funciones reales de variable realbásicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, raíz,trigonométricas y sus inversas, exponenciales, logarítmicas yfunciones definidas a trozos.

2. Operaciones y composición de funciones, cálculo de la fun-ción inversa y uso de las funciones de oferta y demanda.

3. Representación gráfica de funciones.


53. Reconoce analítica y gráficamente las funciones reales de variable real elementales.

54. Selecciona de manera adecuada y razonada ejes, unidades, dominio y escalas, y reconocee identifica los errores de interpretación derivados de una mala elección.

55. Interpreta las propiedades globales y locales de las funciones, comprobando los resulta-dos con la ayuda de medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextua-lizados.

63. Representa gráficamente funciones, después de un estudio completo de sus característicasmediante las herramientas básicas del análisis.

64. Utiliza medios tecnológicos adecuados para representar y analizar el comportamientolocal y global de las funciones.

6. Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos enel cálculo de límites y el estudio de la continuidad de una función en un punto oun intervalo, para extraer conclusiones en situaciones reales.Este criterio pretende evaluar si el alumnado aplica el concepto de límite y lo utili-za para calcular el límite de una función en un punto, en el infinito y los límites la-terales; realiza las operaciones elementales de cálculo de los mismos; y aplica losprocesos para resolver indeterminaciones. Asimismo, se ha de constatar si deter-mina la continuidad de la función en un punto a partir del estudio de su límite ydel valor de la función, para extraer conclusiones en situaciones reales. También setrata de comprobar si el alumnado conoce las propiedades de las funciones conti-nuas, si realiza un estudio de las discontinuidades y si representa la función en unentorno de los puntos de discontinuidad.

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57, 58, 59.

Contenidos

1. Aplicación del concepto de límite de una función en un puntoy en el infinito para el cálculo de límites, límites laterales y laresolución de indeterminaciones.

2. Estudio de la continuidad y discontinuidades de una función.


57. Comprende el concepto de límite, realiza las operaciones elementales de cálculo de losmismos, y aplica los procesos para resolver indeterminaciones.

58. Determina la continuidad de la función en un punto a partir del estudio de su límite ydel valor de la función, para extraer conclusiones en situaciones reales.

59. Conoce las propiedades de las funciones continuas, y representa la función en unentorno de los puntos de discontinuidad.


7. Utilizar las técnicas de la derivación para calcular la derivada de funcionesy resolver problemas reales mediante la interpretación del significado geométri-co y físico de la derivada.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las técnicas de deri-vación de funciones simples y compuestas para calcular la derivada de una funcióny es capaz de interpretar su significado físico y geométrico para resolver problemasgeométricos, naturales, sociales y tecnológicos; asimismo estudia la derivabilidadde funciones y calcula la recta tangente y normal en un punto e interpreta el resulta-do para resolver problemas contextualizados, ayudándose de calculadoras gráficasy programas informáticos cuando sea necesario.

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60, 61, 62.

Contenidos

1. Cálculo e interpretación geométrica de la derivada deuna función en un punto. Cálculo de la recta tangente ynormal a una función en un punto

2. Determinación de la función derivada.3. Cálculo de derivadas y utilización de la regla de la cadena


60. Calcula la derivada de una función usando los métodos adecuados y la emplea para es-tudiar situaciones reales y resolver problemas.

61. Deriva funciones que son composición de varias funciones elementales mediante laregla de la cadena.

62. Determina el valor de parámetros para que se verifiquen las condiciones de continuidad yderivabilidad de una función en un punto.

8. Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble, mitad, ylas transformaciones, los teoremas del seno y coseno, y las fórmulas trigonomé-tricas para aplicarlas en la resolución de ecuaciones, de triángulos o de proble-mas geométricos del mundo natural, artístico, o tecnológico.

Este criterio se propone evaluar si el alumnado utiliza las razones trigonométricasde un ángulo, su doble y mitad, las del ángulo suma y diferencia de otros dos asícomo los teoremas del seno, coseno y las fórmulas trigonométricas usuales con elfin de resolver ecuaciones y problemas geométricos del mundo natural, artístico, otecnológico.

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65, 66.

Contenidos

1. Uso de los radianes como unidad de medida de un ángulo.

2. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera,de los ángulos suma, diferencia de otros dos, doble y mitad.Utilización de las fórmulas de transformaciones trigonométri-cas.

3. Resolución de triángulos y de ecuaciones trigonométricassencillas mediante la aplicación de teoremas y el uso de las fór-mulas de transformaciones trigonométricas.

4. Resolución de problemas geométricos diversos y contextualiza-dos.



65. Conoce las razones trigonométricas de un ángulo, su doble y mitad, así como las delángulo suma y diferencia de otros dos.

66. Resuelve problemas geométricos del mundo natural, geométrico o tecnológico, utilizandolos teoremas del seno, coseno y tangente y las fórmulas trigonométricas usuales.

9. Utilizar los vectores en el plano, sus operaciones y propiedades, para resolverproblemas geométricos contextualizados, interpretando los resultados; además,identificar y construir las distintas ecuaciones de la recta y los lugares geométri-cos, reconociendo sus características y elementos.

Con este criterio se pretende constatar que el alumnado utiliza el cálculo vectorial(producto escalar, bases ortogonales y ortonormales, ángulos...) para plantear y re-solver problemas geométricos contextualizados en el plano y que identifica y cons-truye las distintas ecuaciones de la recta y los lugares geométricos, reconociendosus características y elementos para solucionar problemas relacionados con inciden-cia, paralelismo, perpendicularidad, ángulos, posiciones relativas y distancias entrepuntos, vectores, rectas y cónicas; analizando e interpretando los resultados, ayu-dándose de programas informáticos cuando sea necesario y expresando de formaoral o escrita el proceso seguido y sus conclusiones.

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67, 68, 69, 70, 71, 72, 73.

Contenidos

1. Operaciones geométricas con vectores libres en el plano.

2. Cálculo del módulo de un vector, del producto escalar y delángulo entre dos vectores.

3. Utilización de bases ortogonales y ortonormales.

4. Resolución de problemas de geometría métrica plana median-te el cálculo de las ecuaciones de la recta., el estudio de lasposiciones relativas de rectas y la medida de distancias y ángu-los.

5. Estudio de lugares geométricos del plano.

6. Reconocimiento y estudio de las características y elementosde las cónicas (circunferencia, elipse, hipérbola y parábola).Cálculo de sus ecuaciones.


67. Emplea con asiduidad las consecuencias de la definición de producto escalar paranormalizar vectores, calcular el coseno de un ángulo, estudiar la ortogonalidad de dos vec-tores o la proyección de un vector sobre otro.

68. Calcula la expresión analítica del producto escalar, del módulo y del coseno delángulo.

69. Calcula distancias, entre puntos y de un punto a una recta, así como ángulos de dosrectas.

70. Obtiene la ecuación de una recta en sus diversas formas, identificando en cada casosus elementos característicos.

71. Reconoce y diferencia analíticamente las posiciones relativas de las rectas.

72. Conoce el significado de lugar geométrico, identificando los lugares más usuales engeometría plana así como sus características.

73. Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos en las que hayque seleccionar, estudiar posiciones relativas y realizar intersecciones entre rectas y lasdistintas cónicas estudiadas.


10. Describir y comparar conjuntos de datos de distribuciones bidimensionales,con variables discretas o continuas, procedentes de contextos relacionados conel mundo científico y obtener los parámetros estadísticos más usuales, mediantelos medios más adecuados (lápiz y papel, calculadora, hoja de cálculo) y valo-rando la dependencia entre las variables. Interpretar la posible relación entredos variables y cuantificar la relación lineal entre ellas mediante el coeficientede correlación, valorando la pertinencia de ajustar una recta de regresión y,en su caso, la conveniencia de realizar predicciones, evaluando la fiabilidad delas mismas en un contexto de resolución de problemas relacionados con fenóme-nos científicos. Además, utilizar el vocabulario adecuado para la descripción desituaciones relacionadas con la estadística, analizando un conjunto de datos o in-terpretando de forma crítica informaciones estadísticas presentes en los mediosde comunicación, la publicidad y otros ámbitos, detectando posibles errores ymanipulaciones tanto en la presentación de los datos como de las conclusiones.

Este criterio pretende evaluar si el alumnado elabora tablas bidimensionales defrecuencias a partir de los datos de un estudio estadístico, con variables discre-tas y continuas, calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en va-riables bidimensionales, y calcula las distribuciones marginales y diferentes distri-buciones condicionadas a partir de una tabla de contingencia, así como sus paráme-tros (media, varianza y desviación típica). Además, se trata de confirmar si elalumnado distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística, es-timando si dos variables son o no estadísticamente dependientes a partir de la re-presentación de la nube de puntos y de sus distribuciones condicionadas y margina-les; cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal mediante el cálculo e in-terpretación del coeficiente de correlación lineal; y calcula las rectas de regresiónde dos variables, obteniendo predicciones a partir de ellas, del coeficiente de deter-minación lineal, y evaluando la fiabilidad de dichas predicciones. Asimismo, se hade averiguar si describe situaciones relacionadas con la estadística utilizando unvocabulario adecuado, emplea medios tecnológicos para organizar y analizar datosdesde el punto de vista estadístico, calcula parámetros y genera gráficos estadísti-cos.

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74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,81, 82, 83.

Contenidos

1. Descripción y comparación de datos de distribuciones bidimen-sionales mediante: el uso de tablas de contingencia, el estudiode la distribución conjunta, de las distribuciones marginales yde las distribuciones condicionadas; y el cálculo de medias ydesviaciones típicas marginales.

2. Estudio de la dependencia e independencia de dos variables es-tadísticas.y representación gráfica de estas mediante una nubede puntos.

3. Análisis de la dependencia lineal de dos variables estadísti-cas. Cálculo de la covarianza y estudio de la correlación me-diante el cálculo e interpretación del coeficiente de correlaciónlineal.

4. Cálculo de las rectas de regresión para la realización de estima-ciones y predicciones estadísticas y análisis de la fiabilidad delas mismas.



74. Elabora tablas bidimensionales de frecuencias a partir de los datos de un estudio es-tadístico, con variables discretas y continuas.

75. Calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en variables bidimensionales.

76. Calcula las distribuciones marginales y diferentes distribuciones condicionadas a partir deuna tabla de contingencia, así como sus parámetros (media, varianza y desviación típica).

77. Decide si dos variables estadísticas son o no dependientes a partir de sus distribucionescondicionadas y marginales.

78. Usa adecuadamente medios tecnológicos para organizar y analizar datos desde elpunto de vista estadístico, calcular parámetros y generar gráficos estadísticos.

79. Distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística y estima si dos va-riables son o no estadísticamente dependientes mediante la representación de la nubede puntos.

80. Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables mediante elcálculo e interpretación del coeficiente de correlación lineal.

81. Calcula las rectas de regresión de dos variables y obtiene predicciones a partir de ellas.

82. Evalúa la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresiónmediante el coeficiente de determinación lineal.

83. Describe situaciones relacionadas con la estadística utilizando un vocabulario adecuado.


MATEMÁTICAS II (L.O.E)

OBJETIVOS

Con las Matemáticas II se pretenden dos objetivos fundamentales:a) Dar una introducción a las Matemáticas Superiores en sus aspectos operativos (cálculo

práctico de derivadas, integrales, resolver sistemas, algo de geometría...).

b) Iniciar al alumno en lo que podríamos llamar “el método matemático” y en las aplica-ciones prácticas de las Matemáticas.

Las dificultades constatadas durante años por los asistentes a la Coordinación hacen que enla práctica el segundo objetivo no se cumpla, y que el primero se alcance escasamente y sólo acosta de reducciones sustanciales de nivel y recortes de contenidos.

Teniendo todo ello en cuenta, se formulan los siguientes propósitos:a) El primero, conseguir que el programa sea explicado en su totalidad, con independen-

cia de la existencia o no de una prueba final. Sabemos que puede hacerse, siempre que el pro-fesorado sea consciente del grado de profundidad que debe imprimir a la enseñanza de la asig-natura.

b) La preparación de la PAU –mientras exista- puede hacerse en función de los nivelespromedio de la enseñanza en los diferentes centros, tal como ya está sucediendo actualmen-te.

CONTENIDOS

Los contenidos de la materia Matemáticas II se encuadran en cuatro bloques:

I. Funciones. Funciones continuas. Funciones derivables.II. Cálculo Diferencial e Integral.

III. Introducción al Álgebra Lineal.IV. Introducción a la Geometría Vectorial del espacio.

Hay acuerdo en que las Matemáticas I deben de haber contemplado los siguientes puntos,y en que hay que partir de esta base:

a) Operaciones con diferentes clases de números (potencias, raíces, logaritmos...).b) Manipulación de expresiones algebraicas básicas (polinomios, expresiones racionales y al-

gunas irracionales...)c) Ecuaciones e inecuaciones lineales y no lineales de primero y segundo grado en una varia-

ble (resolución y discusión).d) Derivadas: Concepto, Tasa de variación media y cálculo de derivadas sencillas. Interpreta-

ción geométrica y física de la derivadaRecta tangente a una función

a) Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas: Resolución y aplicación a problemas

Siguiendo las indicaciones recogidas en la Guía de Matemáticas II de la Subcomisión demateria para la PAU, donde figuran los acuerdos alcanzados en los últimos años y hasta quese establezcan las enseñanzas L.O.M.C.E. los contenidos ha desarrollar son los siguientes:

I. Funciones. Funciones continuas. Funciones derivables.

1. Concepto de función. Funciones reales de variable natural y funciones reales de variable real. Repa-sar las características de las funciones a través de la representación. Repasar los siguientes tipos defunciones: Funciones polinómicas, racionales (con denominador de grado 2 como máximo), loga-


rítmicas, exponenciales, trigonométricas, parte entera, valor absoluto y raíces cuadradas (con radi-cando fácilmente descomponible en factores), así como funciones definidas “a trozos” combinandolas anteriores. Representar los casos f(x)±a, f(x±a), af(x) y f(ax), a partir de f(x). Introducir los con-ceptos con ayuda de muchas representaciones gráficas.

2. Concepto intuitivo e interpretación gráfica del límite de una función con la variable tendiendo a unpunto o con la variable tendiendo a infinito. Límites laterales. Infinitésimos. Cálculos de límitesfuncionales con indeterminaciones del tipo 0/0, ∞ − ∞ , 0 . ∞, / ∞ ∞ y 1∞ con apoyo gráfico, calcu-ladoras, construcción de tablas de valores y técnicas habituales. Definición y cálculo de asíntotashorizontales, verticales y oblicuas.

3. Continuidad de una función en un punto. Continuidad en intervalos abiertos y en intervalos cerra-dos. Tipos de discontinuidades: Evitables, de salto finito, infinitas (de salto o no) y de segunda es-pecie (un solo ejemplo, que podría ser sen(1/x) , en x = 0, o parecido).

4. Tasa de variación media de una función. Concepto de derivada de una función en un punto. Inter-pretaciones geométricas y físicas. Derivadas laterales. Rectas tangente y normal a una curva en unpunto. Reconocer las propiedades de continuidad y derivabilidad de una función a partir de su grá-fica y mostrar gráficamente que “derivable en un punto implica continua en ese punto” y no al re-vés.

II. Cálculo Diferencial e Integral.

5. Concepto de función derivada de otra función. Estudio de la derivabilidad de las funciones delTema 1: Cálculos prácticos y utilización de algunas de las reglas usuales de derivación (suma, pro -ducto, cociente, función compuesta, con un máximo de dos composiciones.). Tabla de funcionesderivadas. Comparar las gráficas de f(x) y de f ’(x).

6. Aplicaciones de la derivada.

6.1. Análisis de la construcción de una gráfica: aplicación de los conceptos de límite, continuidad yderivada a la representación gráfica y al estudio de situaciones susceptibles de ser tratadas mediantefunciones:

• Dominio y continuidad • Estudio de las simetrías f(x) = f(-x) y f(-x) =-f(x). • Puntos de corte. • Asíntotas: Horizontales, verticales y oblicuas. • Monotonía (aplicación de la derivada primera) y extremos. Concepto de extremo relativo de una

función. Condición necesaria (pero no suficiente) para la existencia de extremos en una funciónderivable.

• Curvatura (aplicación de la derivada segunda): Interpretación geométrica. Concavidad y convexi-dad. Puntos de Inflexión. Una función es convexa en a si f”(a)<0, esto es, si la gráfica tiene as-pecto de ∩ en las proximidades del punto (a,f(a)).

6.2. Extracción de Información a partir de una gráfica:

• Extracción de información acerca de f(x), f’(x) y f” (x) por observación de la gráfica de f(x). • Extracción de información acerca de f por observación de la gráfica de f ‘(x):

- Puntos de corte de f ’(x) →Posibles extremos de f (x)

- Regiones de f ’(x) → Monotonía de f (x)

- Puntos de corte de f ’’(x) → Posibles puntos de inflexión

- Regiones de f ’’(x) → Concavidad de f (x)


6.3. Optimización. Se trabajará con problemas relacionados con fenómenos geométricos, tecnológicos,etc… dando la función a optimizar en un contexto real. Evitar problemas geométricos tridimensio-nales.

7. Dada una función derivada, hallar la función de la que procede. Concepto de primitiva: la constantede integración y su interpretación. Lectura y utilización de la tabla de derivadas en uno y otro senti -do.

Cálculo elemental de integrales indefinidas: • Integrales Inmediatas. • Integración por cambios de variables, sencillos y con un solo cambio de variable. • Integración por partes, con no más de dos niveles de integración y evitando las integra-

les cíclicas. • Integrales racionales, trigonométricas e irracionales de funciones explicitadas de la for-

ma siguiente:

8. Concepto de integral definida de una función sobre un intervalo cerrado: origen geométrico del pro-blema. Propiedades algorítmicas de la integral definida (división del intervalo, suma de funcio-nes…). Relación entre la integral definida y el cálculo de primitivas: Regla de Barrow.

Cálculo práctico de áreas sobre los casos simples de funciones tratados anteriormente, limitadas pordos curvas como máximo.

III. Álgebra Lineal.

9. Concepto de matriz. Tipos de matrices. Uso de matrices en contextos reales. Operaciones con matri -ces y propiedades. Transpuesta de una matriz.

10. Concepto de determinante de una matriz cuadrada. Cálculo de determinantes, hasta orden 4x4. Pro-piedades de los determinantes (ilustradas con ejemplos y no demostradas). Regla de Sarrus. Cálcu-lo de determinantes cuyos elementos sean no numéricos aplicando las propiedades. Concepto y cál-culo de la matriz inversa. Adjunta de una matriz. Concepto y cálculo de rango o característica deuna matriz.

11. Sistemas de ecuaciones lineales.

• Concepto de sistema y de solución. Operaciones elementales con las ecuaciones delsistema yconcepto de sistemas equivalentes.

• Clasificación de los sistemas de ecuaciones en función de las soluciones: compatible, incom-patible, determinado e indeterminado.

• Matriz de números asociada a un sistema. Escribir un sistema lineal de modo matricial.

• Ecuaciones y sistemas de ecuaciones cuyas incógnitas son matrices.

• Método de Gauss para sistemas 3x3.


• Método de Cramer para los casos 2x2 y 3x3.

• Teorema de Rouché-Frobenius. Discusión de sistemas, homogéneos o no, con un máximo detres incógnitas y un parámetro.

• Se sugiere introducir y fijar los conceptos usando sistemas de 2x2. Repasar los métodos de re-solución: Igualación, reducción y sustitución. Discutir el significado geométrico mediante po-siciones relativas de rectas en el plano. Realizar ejercicios prácticos extendiendo dichos méto -dos de resolución a sistemas de 3x3, compatibles y determinados.

• Se recomienda trabajar ejercicios y cuestiones de sistemas de ecuaciones hasta orden 4 x 4 yaque en el bloque de geometría se necesitará para resolver las posiciones relativas.

IV. Introducción a la Geometría Vectorial del espacio.

12. Vectores, rectas y planos en el espacio R3.

12.1 Sistema de referencia ortogonal: Origen de coordenadas, ejes de coordenadas, planos de coor -denadas y coordenadas de un punto. Definición de vector asociado a un par de puntos. Basecanónica. Coordenadas de un vector respecto a la base canónica. Características de un vector:módulo, dirección y sentido. Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un vectorpor un número. Propiedades e interpretación física y geométrica de estas operaciones. Depen-dencia e independencia lineal de vectores (por combinación lineal y por determinantes). Signi-ficado geométrico de la dependencia e independencia de vectores. Producto escalar de vecto-res. Vectores ortogonales. Producto vectorial de vectores. Interpretación geométrica y usopara calcular áreas. Productos realizados con vectores de la base canónica. Producto mixto detres vectores. Interpretación geométrica y uso para calcular volúmenes.

12.2 Vector director de una recta. Ecuaciones de la recta: Vectorial, paramétricas y en forma conti-nua. Vectores directores de un plano. Ecuacion vectorial y paramétrica del plano. Vector nor-mal a un plano: Ecuación implícita del plano. Paralelismo y perpendicularidad: Recta-recta;plano-plano; recta-plano. Intersección e incidencia: punto-recta, punto-plano, recta-plano; po-siciones relativas de dos planos; posiciones relativas de tres planos; posiciones relativas derecta y plano; posiciones relativas de dos rectas.

12.3 Distancia entre dos puntos, de un punto a una recta y de un punto a un plano. Distancia entredos planos paralelos; entre recta y plano paralelos, y entre dos rectas paralelas o que se cruzan.Ángulo entre dos rectas; entre dos planos, y entre recta y plano.

V. Temporalización.

Se fijará en las coordinaciones de PAU y previsiblemente será algo parecido a lo que si-gue:

I y II Bloque de Análisis hasta el 25 EneroII. Bloque de Álgebra hasta el 7 de Marzo.III. Bloque de Geometría hasta el 15 de Mayo.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN.

1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y determinantes como instrumen-to para representar e interpretar datos, relaciones y ecuaciones, y, en general, para resolversituaciones diversas.

Este criterio va dirigido a comprobar si los alumnos y las alumnas son capaces de utilizar las matri -ces como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver problemas relacionados con la orga-nización de datos, realizar operaciones con la matriz y submatrices como objetos algebraicos conidentidad propia, y para discutir y resolver sistemas de ecuaciones lineales con un máximo tres in -cógnitas y un parámetro, dando una interpretación geométrica de las soluciones.

2. Transcribir situaciones y problemas derivados de la geometría, la física y demás ciencias delámbito científico-tecnológico a un lenguaje vectorial y utilizar las operaciones con vectorespara resolverlos e interpretar las soluciones de acuerdo con la situación.


Con la aplicación del criterio se intenta evaluar la capacidad del alumnado para transcribir situacio -nes a un lenguaje vectorial en tres dimensiones y utilizar las técnicas y operaciones apropiadas encada caso: suma, resta y multiplicación por un escalar, la dependencia e independencia lineal, pro-ducto vectorial y mixto, para interpretar fenómenos diversos y resolver problemas del ámbito cien-tífico-tecnológico.

3. Realizar transformaciones sucesivas con objetos geométricos en el espacio utilizando el len-guaje vectorial para interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría tridi-mensional.

Este criterio se propone poner de manifiesto si el alumnado obtiene ecuaciones de rectas y planosen el espacio, identifica sus elementos característicos y utiliza distintas expresiones de la ecuaciónde una recta o de un plano, para resolver problemas de incidencia, paralelismo, perpendicularidad ypara calcular distancias, ángulos, áreas y volúmenes.

4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para analizar, cualitativa ycuantitativamente, las propiedades globales y locales de una función expresada en forma ex-plícita, representarla gráficamente y extraer información práctica en una situación de resolu-ción de problemas relacionados con fenómenos naturales.

Se pretende comprobar con este criterio que el alumnado es capaz de utilizar los conceptos básicosdel análisis, que ha adquirido la terminología adecuada y desarrollado las destrezas en el manejo delas técnicas usuales del cálculo de límites y derivadas para estudiar el dominio, recorrido, continui-dad, simetrías, periodicidad, puntos de corte, asíntotas, intervalos de crecimiento, curvatura y deri-vabilidad de una función. Asimismo, se pretende valorar la capacidad para aplicar el estudio ante-rior a una función que represente una situación real e interpretar dicho estudio.

5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas para obtener conclusiones acerca delcomportamiento de una función que describa un fenómeno geométrico, natural o tecnológico,así como para la resolución de problemas de optimización.

El criterio tiene como finalidad evaluar la capacidad del alumnado para aplicar a situaciones delmundo natural, geométrico y tecnológico, la información suministrada por el estudio analítico delas funciones, e interpretarla. Se pretende comprobar la capacidad para extraer conclusiones deta-lladas y precisas sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del análisis al con-texto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar valores que optimicen algún criterio estableci-do interpretando los resultados que se obtengan.

6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones planas limitadas por rectas ycurvas sencillas que sean fácilmente representables.

Es el propósito del criterio comprobar la capacidad del alumnado para medir el área de una regiónplana, limitada por dos curvas como máximo, mediante el cálculo integral. Éste se ceñirá a los mé -todos generales de integración, en todo caso con cambios de variables simples, y a las técnicas deintegración inmediata.

7. Transcribir problemas reales al lenguaje gráfico o algebraico, utilizar las técnicas matemáti-cas apropiadas en cada caso para resolverlos y dar una interpretación, ajustada al contexto, alas soluciones obtenidas.

El objetivo del criterio es comprobar si el alumnado es capaz de resolver un problema real utilizan-do los conocimientos adquiridos en los bloques de álgebra, geometría o análisis, combinando dife-rentes herramientas y estrategias, y concluir el problema con la interpretación del resultado paraconfirmar la adecuación de la solución obtenida. En relación con este criterio es tan importante latranscripción del problema como el uso de los procedimientos empleados en la resolución y la in-terpretación crítica de las soluciones.

8. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar informaciones, seleccionar,comparar y valorar estrategias para enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendolas herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.

La intención del criterio es evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse con situaciones nue-vas utilizando la observación, la experimentación, la modelización de situaciones, la reflexión lógi-co-deductiva, los modos de argumentación propios de las matemáticas y las destrezas matemáticas


adquiridas para resolver problemas relacionados con el entorno científico y tecnológico. En estesentido, es conveniente realizar pequeñas demostraciones que, sin profundizar de forma generaliza-da en el estudio de teoremas, familiaricen al alumnado con las maneras de proceder propias de unademostración matemática.

MATEMÁTICAS II

UNIDADES DIDÁCTICAS

Aritmética y álgebra

1. Matrices

2. Determinantes

3. Sistemas de ecuaciones lineales

Geometría

4. Vectores en el espacio (I)

5. Vectores en el espacio (II)

6. Geometría afín

7. Geometría métrica

Análisis

8. Límites

9. Continuidad

10. Derivadas

11. Aplicaciones de las derivadas

12. Integrales y aplicaciones

1. Matrices

Objetivos didácticos

Conocer, representar y clasificar las matrices.

Efectuar operaciones con matrices.

Utilizar las matrices para organizar información, representar relaciones...

Contenidos

Conceptos

Matriz.

Matriz numérica.

Igualdad de matrices.

Matriz cuadrada, fila, columna, triangular, diagonal, identidad y nula.

Matriz escalonada.


Rango de una matriz escalonada.

Transformaciones elementales.

Matrices equivalentes.

Rango de una matriz.

Matriz suma, matriz diferencia, matriz producto por un número real y matriz producto.

Propiedades de las operaciones con matrices.

Matriz inversa.

Transposición de matrices y matriz traspuesta.

Grafo y matriz asociada a un grafo.

Procedimientos

Representación de matrices.

Clasificación de matrices según su dimensión y según sus elementos.

Obtención del rango de una matriz.

Obtención de la matriz suma, de la matriz diferencia, de la matriz producto por un número real y

de la matriz producto de dos matrices.

Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición.

Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

Obtención de la matriz traspuesta de una matriz.

Asociación de una matriz a un grafo.

Interpretación de una matriz asociada a un grafo y de su cuadrado.

Utilización de la calculadora para efectuar operaciones con matrices.

Cálculo de la potencia n-ésima de una matriz sencilla.

Valores

Valoración de la utilidad de las matrices como herramienta para organizar información, repre -

sentar relaciones…

Reconocer la importancia de los algoritmos de cálculo que facilitan el trabajo con matrices.

2. Determinantes


Conocer el concepto de determinante, así como la manera de representarlo y calcularlo.

Obtener el rango de una matriz mediante el cálculo de determinantes.

Aplicar el cálculo de determinantes para hallar la inversa de una matriz.

Contenidos

Conceptos

Determinantes de orden uno, dos y tres.


Regla de Sarrus.

Determinantes de orden n.

Menor complementario y adjunto de un elemento.

Determinante de una matriz.

Propiedades de los determinantes.

Menor de orden k de una matriz.

Procedimientos

Cálculo de determinantes de orden uno, dos y tres mediante su definición.

Cálculo de determinantes de orden tres mediante la regla de Sarrus.

Determinación del menor complementario y del adjunto de un elemento.

Desarrollo de un determinante por filas o por columnas.

Aplicación de las propiedades de los determinantes al cálculo de éstos.

Cálculo de determinantes por el método de Gauss.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes.

Cálculo de la inversa de una matriz por determinantes.

Uso de la calculadora en el cálculo de determinantes.

Valores

Aprecio de los determinantes como instrumento para el cálculo matricial.

Costumbre de considerar todas las estrategias posibles antes de resolver un ejercicio o proble-

ma, y de interpretar la solución obtenida.

3. Sistemas de ecuaciones lineales


Aplicar diversos procedimientos (método de Gauss, método de la matriz inversa y regla de Cra-

mer) para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Conocer el teorema de Rouché-Frobenius y aplicarlo para clasificar sistemas de ecuaciones li-

neales.

Estudiar y resolver sistemas dependientes de un sistema.

Contenidos

Conceptos

Ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales.

Tipos de sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Sistemas escalonados.

Método de Gauss de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.


Matriz asociada a un sistema y matriz ampliada asociada a un sistema.

Teorema de Rouché-Frobenius.

Sistemas resolubles por Cramer.

Procedimientos

Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales según sus soluciones.

Expresión de un sistema en notación matricial.

Resolución de sistemas por el método de Gauss.

Aplicación del método de Gauss para la clasificación de sistemas según sus soluciones.

Resolución de sistemas por la matriz inversa.

Aplicación del teorema de Rouché-Frobenius para la clasificación de sistemas de ecuaciones li-

neales según sus soluciones.

Resolución de sistemas por la regla de Cramer.

Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales con parámetros utilizando el método

de Gauss, el teorema de Rouché-Frobenius y la regla de Cramer.

Resolución de problemas mediante el planteamiento de sistemas de ecuaciones lineales.

Valores

Valoración de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferen-

tes ámbitos.

4. Vectores en el espacio (I)


Conocer los conceptos de vector fijo y vector libre en el espacio.

Efectuar operaciones con vectores del espacio, tanto gráficamente como a partir de sus coorde-

nadas.

Utilizar los vectores para establecer un sistema de referencia en el espacio.

Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos sencillos.

Contenidos

Conceptos

Magnitud escalar y vectorial.

Vector fijo del espacio.

Dirección, módulo y sentido de un vector fijo.

Equipolencia de vectores fijos.

Vector libre del espacio.

Dirección, módulo y sentido de un vector libre.

Operaciones con vectores libres: adición y multiplicación por un número real.

Propiedades de las operaciones con vectores libres.


Combinación lineal de vectores.

Dependencia e independencia lineal de vectores en V3.

Rango de un conjunto de vectores.

Base de V3.

Componentes de un vector en una base.

Sistema de referencia en el espacio.

Coordenadas de un punto del espacio.

Componentes de un vector determinado por dos puntos.

Punto medio de un segmento.

Procedimientos

Realización gráfica de operaciones con vectores en el espacio.

Expresión de un vector de V3 como combinación lineal de otros vectores. En concreto, expre-

sión de un vector de V3 como combinación lineal de tres vectores no nulos y no coplanarios.

Determinación de las componentes de un vector en una base.

Determinación de la dependencia o la independencia de un conjunto de vectores y de su rango.

Realización de operaciones con componentes.

Determinación de la dependencia o la independencia lineal de un conjunto de vectores.

Obtención de las coordenadas de un punto de espacio en un sistema de referencia.

Cálculo de las componentes de un vector determinado por dos puntos.

Obtención de las coordenadas del punto medio de un segmento y, en general, de los puntos que

dividen un segmento en partes iguales.

Cálculo de las coordenadas del baricentro de un triángulo y del de un tetraedro en función de las

coordenadas de los vértices.

Valores

Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y, en

general, de problemas de los ámbitos científico y tecnológico.

5. Vectores en el espacio (II)


Calcular productos escalares, vectoriales y mixtos a partir de su definición y a partir de sus pro -

piedades.

Aplicar el cálculo vectorial a la resolución de problemas geométricos (cálculo de áreas y volú-

menes) y físicos (cálculo de trabajos, momentos de inercia...).

Contenidos

Conceptos

Producto escalar de dos vectores libres del espacio.


Significado geométrico de la anulación del producto escalar.

Relación entre el módulo de un vector y el producto escalar de dicho vector por sí mismo.

Base ortogonal y base ortonormal.

Propiedades del producto escalar.

Interpretación geométrica del producto escalar.

Expresión analítica del producto escalar en una base ortonormal.

Producto vectorial de dos vectores libres del espacio.

Propiedades del producto vectorial.

Interpretación geométrica del producto vectorial.

Expresión analítica del producto vectorial en una base ortonormal.

Producto mixto de tres vectores libres del espacio.

Significado geométrico de la anulación del producto mixto.

Propiedades del producto mixto.

Interpretación geométrica del producto mixto.

Expresión analítica del producto mixto en una base ortonormal.

Cosenos directores de un vector en una base ortonormal.

Procedimientos

Cálculo del producto escalar de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de

sus componentes en una base ortonormal.

Cálculo del módulo de un vector y del ángulo entre dos vectores a partir del producto escalar.

Obtención de un vector perpendicular o paralelo a otro, que tenga un módulo determinado.

Aplicación del producto escalar a la demostración de teoremas geométricos sencillos.

Aplicación del producto escalar a la obtención del trabajo realizado por una fuerza.

Cálculo del producto vectorial de dos vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de

sus componentes en una base ortonormal.

Obtención de un vector perpendicular a otros dos vectores, que tenga un módulo determinado.

Aplicación del producto vectorial al cálculo de áreas de polígonos, especialmente de paralelo-

gramos y triángulos.

Aplicación del producto vectorial al cálculo del momento de una fuerza, del momento cinético y

de la fuerza magnética.

Cálculo del producto mixto de tres vectores a partir de la definición, de sus propiedades y de sus

componentes en una base ortonormal.

Aplicación del producto mixto al cálculo de volúmenes de poliedros, especialmente paralelepí-

pedos y tetraedros.

Valores


Valoración de la utilidad del cálculo vectorial en la resolución de problemas geométricos y físi-

cos.

6. Geometría afín


Expresar las rectas y los planos del espacio mediante sus diferentes ecuaciones.

Determinar la posición relativa de dos rectas, de dos planos, de tres planos, de una recta y un

plano en el espacio, así como la de rectas y planos respecto de la referencia.

Contenidos

Conceptos

Ecuaciones de una recta en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas, ecuaciones

continuas y ecuaciones implícitas.

Ecuaciones de un plano en el espacio: ecuación vectorial, ecuaciones paramétricas y ecuación

general.

Posición relativa de dos rectas en el espacio: coincidentes, paralelas, secantes, que se cruzan.

Posición relativa de dos planos en el espacio: coincidentes, paralelos, secantes.

Haz de planos paralelos y haz de planos secantes.

Posición relativa de tres planos: coincidentes, secantes en una recta, dos coincidentes y secantes

al tercero, secantes en un punto, paralelos y distintos dos a dos, dos planos coincidentes y para-

lelos al tercero, secantes dos a dos, dos planos paralelos y secantes al tercero.

Posición relativa de recta y plano: recta contenida en el plano, recta y plano paralelos, recta y

plano secantes.

Posición relativa de rectas y planos respecto de los ejes y los planos de referencia.

Procedimientos

Obtención de la ecuación de una recta dados un vector director y un punto o bien dos puntos.

Obtención de las diferentes formas de expresión de una recta a partir de una ecuación dada.

Identificación de puntos que pertenecen a una recta dada.

Identificación de vectores directores de una recta dada.

Escritura de las ecuaciones de un plano dados un punto y dos vectores linealmente independien-

tes, dos puntos y un vector o bien tres puntos no alineados.

Obtención de las diferentes formas de expresión de un plano a partir de una ecuación dada.

Identificación de puntos y rectas que están incluidos en un determinado plano.

Estudio de la posición relativa de dos rectas si sus ecuaciones vienen dadas en forma implícita o

vectorial.

Estudio de la posición relativa de dos y de tres planos a partir de sus ecuaciones generales me -

diante el análisis de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales correspondiente.


Estudio de la posición relativa de una recta y un plano si sus ecuaciones vienen dadas en forma

vectorial o continua.

Discusión de la posición relativa de una recta y un plano mediante el estudio de las soluciones

del sistema formado por sus ecuaciones implícitas y general.

Determinación de un plano que contiene un punto y pertenece a un haz de planos secantes.

Determinación de un plano que contiene un punto y es paralelo a otro plano.

Interpretación de las ecuaciones implícitas de la recta como la intersección de dos planos e iden-

tificación de la recta como intersección de éstos.

Valores

Valoración de las ventajas que supone la planificación de la resolución de un problema, lo que

permite elegir el mejor procedimiento de resolución, y de la importancia de la representación

gráfica en geometría.

7. Geometría métrica


Determinar y calcular el ángulo entre dos elementos del espacio (dos rectas, dos planos, plano y

recta).

Conocer y hallar las distancias entre dos elementos del espacio (dos puntos, punto y recta, punto

y plano, dos rectas, dos planos, recta y plano).

Resolver diversos problemas métricos.

Contenidos

Conceptos

Ángulo entre dos rectas.

Rectas perpendiculares.

Ángulo entre dos planos.

Planos perpendiculares.

Ángulo entre recta y plano.

Recta y plano perpendiculares.

Distancia entre dos puntos.

Distancia de un punto a una recta.

Distancia de un punto a un plano.

Distancia entre dos rectas.

Distancia entre dos planos.

Distancia entre recta y plano.

Plano mediador y plano bisector.

Perpendicular común.


Puntos simétricos respecto de un punto.

Puntos simétricos respecto de una recta.

Puntos simétricos respecto de un plano.

Procedimientos

Cálculo del ángulo que forman dos rectas, dos planos y una recta y un plano.

Determinación de la perpendicularidad de dos rectas, de dos planos y de una recta y un plano.

Cálculo de la distancia entre dos puntos, de un punto a una recta, de un punto a un plano, entre

dos rectas, entre dos planos y entre recta y plano.

Determinación del plano mediador de un segmento conocidos sus extremos.

Determinación de los planos bisectores de dos planos dados.

Obtención de la ecuación de la recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan.

Obtención del punto simétrico a otro punto respecto de un tercer punto, de una recta o de un pla-

no.

Valores

Valoración de la búsqueda y la aplicación de nuevas estrategias para la resolución de problemas

geométricos.

8. Límites


Comprender el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito.

Calcular y efectuar operaciones con límites.

Reconocer los distintos tipos de indeterminación y resolver algunos casos.

Determinar gráficamente y algebraicamente las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de

una función.

Contenidos

Conceptos

Límite finito de una función en un punto.

Límites laterales finitos de una función en un punto.

Límite infinito de una función en un punto.

Límites laterales infinitos de una función en un punto.

Límite finito de una función en el infinito.

Límite infinito de una función en el infinito.

Propiedades de los límites.

Operaciones con límites.

Indeterminación.


Tipos de indeterminación.

Asíntotas verticales de una función.

Asíntotas horizontales de una función.

Asíntotas oblicuas de una función.

Procedimientos

Cálculo de límites de funciones en un punto mediante tablas de valores.

Cálculo de límites de funciones en un punto a partir de su gráfica.

Cálculo de límites de funciones en un punto utilizando las propiedades adecuadas.

Cálculo de límites en un punto de funciones definidas a trozos.

Resolución de la indeterminación 0/0.

Cálculo sistemático de límites infinitos de funciones racionales en un punto.

Cálculo de límites de funciones en el infinito mediante tablas de valores.

Cálculo sistemático de límites de funciones en el infinito.

Resolución de indeterminaciones.

Obtención de las asíntotas verticales de una función.

Obtención de las asíntotas horizontales de una función.

Obtención de las asíntotas oblicuas de una función.

Valores

Valoración de la utilidad del cálculo de límites en el estudio de funciones.

Aprecio del valor que tienen los límites de funciones para resolver problemas de índole real.

9. Continuidad


Comprender el concepto de continuidad de una función en un punto.

Reconocer y clasificar los puntos en los que una función presenta una discontinuidad.

Conocer los teoremas más elementales relacionados con la continuidad.

Contenidos

Conceptos

Continuidad de una función en un punto.

Continuidad lateral de una función en un punto.

Continuidad de una función en un intervalo.

Discontinuidad de una función en un punto.

Tipos de discontinuidades.

Propiedades de las funciones continuas.


Continuidad de las funciones elementales.

Teorema de conservación del signo.

Teorema de Bolzano.

Teorema de los valores intermedios.

Teorema de Weierstrass.

Procedimientos

Comprobación de la continuidad o no de una función en un punto a partir de las tres condiciones

de continuidad.

Comprobación de la continuidad de una función en un punto mediante la definición de límite.

Estudio de la continuidad lateral de una función en un punto.

Estudio de la continuidad de una función en un intervalo.

Determinación y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función.

Estudio de la continuidad de funciones obtenidas a partir de operaciones con funciones elemen-

tales.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero en un intervalo

dado y obtención de dicho cero con un determinado error.

Aplicación del teorema de Bolzano para comprobar si una función tiene un cero o si una ecua-

ción tiene una solución real en un intervalo dado, así como su determinación con una cierta pre-

cisión.

Aplicación del teorema de los valores intermedios para comprobar si una función toma determi-

nado valor en un intervalo dado, así como la obtención del punto del intervalo para el cual toma

dicho valor.

Valores

Aprecio de la importancia de la continuidad para el estudio de las funciones.

Valoración de la continuidad para el estudio del comportamiento que siguen muchos fenómenos

de la naturaleza.

10. Derivadas


Conocer los conceptos de tasa de variación media y tasa de variación instantánea, y aplicarlos

en problemas geométricos y físicos.

Calcular la función derivada de múltiples funciones a partir de las derivadas elementales y utili-

zando las reglas de derivación.

Conocer y aplicar el concepto de la diferencial de una función.

Contenidos

Conceptos

Tasa de variación media de una función.


Derivada de una función en un punto.

Derivadas laterales.

Función derivada.

Derivadas de orden superior.

Derivada de funciones elementales.

Función derivada y operaciones.

Derivación logarítmica.

Derivación implícita.

Diferencial de una función.

Procedimientos

Determinación de la tasa de variación media de una función en un intervalo.

Identificación de la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función por dos puntos.

Determinación de la velocidad media de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de la derivada de una función en un punto.

Determinación de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Obtención de la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto.

Determinación de la velocidad instantánea de un móvil que sigue una trayectoria rectilínea.

Obtención de las derivadas laterales de una función en un punto.

Identificación de puntos angulosos, de retroceso o de inflexión con tangente vertical.

Cálculo de derivadas de orden superior a partir de la definición formal.

Obtención de derivadas de funciones elementales.

Cálculo de la derivada de la función suma, del producto de una constante por una función, de la

función producto y de la función cociente.

Aplicación de la regla de la cadena para obtener la derivada de una función compuesta.

Determinación de la derivada de funciones inversas.

Obtención de derivadas de funciones del tipo exponencial-potencial por derivación logarítmica.

Cálculo de derivadas de funciones dadas en forma implícita.

Obtención de valores aproximados de funciones utilizando el concepto de diferencial de una

función.

Valores

Importancia de la derivabilidad para el estudio de las funciones.

Valoración de los procesos deductivos como instrumento básico en el trabajo matemático.

Reconocimiento de la importancia de la derivada y de la diferencial de una función como instru-

mento en el campo científico.


11. Aplicaciones de las derivadas


Aplicar las derivadas al estudio del crecimiento y la curvatura de una función, y efectuar su re-

presentación gráfica.

Conocer los principales teoremas de diferenciación y algunas de sus aplicaciones (determina-

ción de raíces, resolución de indeterminaciones).

Resolver problemas de optimización de funciones.

Contenidos

Conceptos

Relación entre crecimiento (decrecimiento) de una función en un punto y el signo de la deriva-

da.

Extremos relativos.

Relación entre la curvatura (convexidad/concavidad) de una función en un punto y el signo de la

derivada segunda.

Puntos de inflexión.

Teorema de Rolle y del valor medio de Lagrange.

Regla de L’Hôpital.

Optimización de funciones.

Procedimientos

Uso de la derivada primera de una función para estudiar la monotonía de una función en un pun-

to o en un intervalo.

Determinación de los extremos relativos de una función.

Utilización de la derivada segunda de una función para estudiar la curvatura de una función, en

un punto o en un intervalo.

Determinación de los puntos de inflexión de una función.

Organización mediante tablas de los datos obtenidos en el análisis de una función.

Representación gráfica de una función a partir de los aspectos esenciales de su análisis.

Utilización de la calculadora gráfica para la representación gráfica de funciones.

Aplicación del teorema de Rolle para comprobar si la derivada de una función tiene un cero en

un intervalo dado y obtención de dicho cero.

Aplicación del teorema de Lagrange para hallar el punto o los puntos en que la recta tangente a

la función tiene una pendiente determinada.

Utilización de la regla de L’Hôpital para resolver indeterminaciones.

Planteamiento y resolución de problemas de optimización.

Valores


Sistematización y orden en la presentación de datos para la representación gráfica de una fun-

ción.

Interés por contrastar las soluciones obtenidas con los datos iniciales.

Aprecio del valor que tiene el estudio de funciones y la optimización de funciones para resolver

problemas de índole real.

12. Integrales y aplicaciones


Conocer los conceptos de primitiva y de integral indefinida de una función, y saber calcularlos.

Conocer el concepto de integral definida de una función continua y calcularla a partir de la regla

de Barrow.

Calcular áreas de recintos planos limitados por curvas y volúmenes de sólidos de revolución.

Contenidos

Conceptos

Primitiva de una función.

Integral indefinida de una función.

Propiedades de la integral indefinida.

Integral indefinida inmediata.

Integral indefinida casi inmediata.

Integral definida entre a y b de una función continua en [a, b].

Propiedades de las integrales definidas.

Teorema del valor medio del cálculo integral.

Teorema fundamental del cálculo.

Regla de Barrow.

Procedimientos

Obtención de integrales indefinidas inmediatas.

Determinación de integrales indefinidas inmediatas.

Aplicación de las propiedades de la integral indefinida para calcular integrales de funciones sen-

cillas por el método de descomposición.

Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.

Cálculo de integrales indefinidas aplicando el método de integración por partes.

Cálculo de integrales indefinidas de funciones racionales con raíces reales (simples o múltiples).

Cálculo de integrales indefinidas de algunas funciones trigonométricas e irracionales mediante

cambios de variable adecuados.

Determinación de la primitiva de una función que cumple una condición dada. Aproximación

del cálculo del área de la figura plana que limita una función monótona y positiva en el intervalo


[a, b], el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, a partir del cálculo de sumas inferiores y supe-

riores.

Cálculo de integrales definidas a partir de la regla de Barrow.

Cálculo del área limitada por la gráfica de una función continua, el eje de abscisas y rectas verti -

cales.

Cálculo del área limitada por la gráfica de dos funciones continuas y rectas verticales.

Cálculo del volumen de un sólido de revolución.

Derivación de funciones cuya expresión analítica viene dada por una integral definida.

Cálculo de la variación del espacio recorrido y de la variación de velocidad experimentada entre

dos instantes por un móvil que se desplaza siguiendo una trayectoria rectilínea.

Cálculo del trabajo realizado por una fuerza que actúa en la dirección del movimiento al despla-

zar un cuerpo de un punto a otro.

Valores

Hábito de analizar los diferentes métodos de integración antes de abordar la resolución de una

integral, con el fin de seleccionar el más adecuado.

Valoración de la utilidad de las integrales definidas en la resolución de diferentes problemas de

aplicación a la geometría, a la física...

Se impartirán todas las unidades didácticas de Análisis como primer bloque, en segundolugar se dará el Álgebra y por último la Geometría.

El bloque de resolución de problemas se trabajará de forma implícita a lo largo del curso.

Se adoptarán los acuerdos que, con respecto a esta materia, se tomen en las reuniones decoordinación de Matemáticas II y se seguirán las indicaciones contenidas en el documento“guía” elaborado por la Subcomisión de materia.


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES

Introducción

La materia troncal general de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales es un instru-mento indispensable para interpretar la realidad y expresar los fenómenos sociales, científicosy técnicos de un mundo cada vez más complejo; contribuye de forma especial a la compren-sión de los fenómenos de la realidad social, de naturaleza económica, histórica, geográfica, ar-tística, política, sociológica, etc., ya que desarrolla la capacidad de simplificar y abstraer.

El mundo actual está en continua y rápida transformación, por lo que se hace imprescindi-ble el aprendizaje de métodos generales de análisis social que puedan aplicarse en contextosdiversos. En este entorno, las Matemáticas aplicadas a la Ciencias Sociales adquieren un pa-pel relevante como herramienta adecuada para adquirir y consolidar el conocimiento, desa-rrollan la capacidad de reflexionar y razonar acerca de los fenómenos sociales y proporcionaninstrumentos adecuados para la representación, la modelización y el contraste de las hipótesisplanteadas acerca de su comportamiento. Hoy en día, esta asignatura constituye la herramien-ta principal para convertir los hechos observables en conocimiento e información. Más aún,la utilización de un lenguaje formal, facilita la argumentación y explicación de dichosfenómenos y la comunicación de los conocimientos con precisión.

Las Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales tienen un carácter instrumental comobase para el progreso en la adquisición de aprendizajes de otras disciplinas; por ejemplo, laTeoría Económica explica los fenómenos económicos con una base matemática; en Sociolo-gía y Ciencias Políticas se emplean cada vez con mayor frecuencia el análisis de en-cuestas; la Teoría de Juegos y la Teoría de la Decisión son otro ejemplo de las aplicacionesen este campo… Tampoco debe olvidarse la contribución de las matemáticas a otras áreascomo la Geografía, la Historia o el Arte en donde han tenido una reconocida influencia.

La enseñanza de esta materia no debe desvincularse de su aplicación a la interpretación delos fenómenos sociales, por lo que, además, de centrarse en la adquisición del conocimien-to de los contenidos de matemáticas y sus procedimientos de cálculo, análisis, medida y esti-mación, debe dirigirse hacia la adquisición de la habilidad de interpretar datos, seleccionar loselementos fundamentales, analizarlos, obtener conclusiones razonables y argumentar de formarigurosa.

La asignatura de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales contribuye al desarrollo dela capacidad de razonamiento y abstracción, y su estudio favorece la mejora de habilida-des como ordenar, clasificar, discriminar, comparar y analizar información, así como describiry explicar fenómenos y resultados, sacando conclusiones y comunicándolas; valorando, gra-cias al trabajo colaborativo, los diferentes enfoques y estrategias que pueden surgir a la horade enfrentar un problema; y teniendo paciencia y perseverancia en la búsqueda de solucio-nes, por lo que el alumnado se hace consciente y responsable de su propio proceso de aprendi-zaje.

Así, esta materia propicia la consecución de los objetivos de Bachillerato, al fomentar eltrabajo en equipo y colaborativo, la tolerancia, los hábitos de trabajo y estudio; al desarrollardestrezas básicas para tratar la información mediante medios tecnológicos o no; al facilitar alalumnado las herramientas necesarias para realizar investigaciones y resolver problemas encontextos y situaciones reales y atractivos para el alumnado, elaborando productos, de carác-ter oral y escrito, sobre el proceso seguido; y al facilitar la toma de decisiones responsables yel desarrollo de la autoestima.


Contribución a las competencias.

Las orientaciones de la Unión Europea insisten en la necesidad de la adquisición de lascompetencias clave por parte de la ciudadanía como condición indispensable para lograr quelos individuos alcancen un pleno desarrollo personal, social y profesional que se ajuste a lasdemandas de un mundo globalizado y haga posible el desarrollo económico, vinculado al co-nocimiento. Además, el aprendizaje por competencias favorece los propios procesos de apren-dizaje y la motivación por aprender, capacitando al alumnado a transferir aquellos conoci-mientos adquiridos a las nuevas instancias que aparezcan en su vida.

Para la adquisición de la Competencia en comunicación lingüística (CL), se fomenta que elalumnado exprese de forma oral o escrita el proceso seguido en una investigación o en la re-solución de un problema; la producción y la transferencia de información en actividades rela-cionadas con la vida cotidiana; la interpretación de mensajes que contengan informaciones so-bre diversos elementos..., sirviéndose de un lenguaje correcto y con los términos matemáticosprecisos, argumentando la toma de decisiones, y buscando y compartiendo diferentes enfo-ques y aprendizajes, por lo que se favorece, de este modo, el espíritu crítico y la escucha acti-va.

La asignatura de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales contribuye a la Competen-cia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT), en cuanto que plan-tea investigaciones, estudios estadísticos y probabilísticos, representaciones gráficas de datosque encontramos en el entorno y la vida cotidianos; todo esto partiendo de interrogantes moti-vadores para el alumnado que le hagan diseñar, de forma individual, grupal o colaborativa, unplan de trabajo para poder resolver el problema inicial, en donde reflejen el análisis de la in-formación proporcionada, la búsqueda de información adicional, la clasificación y el análisisde los datos, las posibles estrategias de resolución y la coherencia de las soluciones.

Esta asignatura puede contribuir al desarrollo de la Competencia digital (CD) desdedos puntos de vista: por una parte, desarrolla destrezas relacionadas con la recogida, la clasifi-cación y el análisis de información obtenida de diferentes fuentes (Internet, medios audiovi-suales...), y el uso de diferentes programas informáticos para la comunicación de sus produc-tos escolares; y, por otra parte, se sirve de diferentes herramientas tecnológicas como progra-mas informáticos específicos de matemáticas, hojas de cálculo..., para la resolución de proble-mas y para la adquisición de los aprendizajes descritos en ellos, así como para contrastar conmayor rigor las hipótesis propuestas y presentar y comunicar los resultados obtenidos. Ade-más, estas herramientas contribuyen a la preparación para el aprendizaje a lo largo de la viday apoyan el trabajo fuera del aula.

Se contribuye a la competencia de Aprender a aprender (AA) por parte de la asignatura deMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales, al fomentar en el alumnado el planteamientode interrogantes y la búsqueda de diferentes estrategias de resolución de problemas; además,la reflexión sobre el proceso seguido y su posterior expresión oral o escrita, hace que se pro-fundice sobre qué se ha aprendido, cómo se ha realizado el proceso y cuáles han sido las difi-cultades encontradas, extrayendo conclusiones para situaciones futuras en contextos semejan-tes, integrando dichos aprendizajes y aprendiendo de los errores cometidos. El desarrollo y laadquisición de esta competencia implican la transferencia de aprendizajes para la realizaciónde trabajos interdisciplinares.

La principal aportación de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales a las Competen-cias sociales y cívicas (CSC) se logra mediante el especial empleo del trabajo en equipo a lahora de plantear investigaciones o resolver problemas, entendiéndolo no tanto como trabajoen grupo, sino como trabajo colaborativo, donde cada miembro aporta, según sus capacidadesy conocimientos, produciéndose un aprendizaje entre iguales, en el que el alumnado tendráque llegar a acuerdos, tomar decisiones de forma conjunta, ser flexible y tolerante, respetar di-ferentes puntos de vista y valorar críticamente las soluciones aportadas por los demás.


La asignatura de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales contribuye a la Competen-cia en sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (SIEE), puesto que favorece la creatividada la hora de plantear y resolver problemas, el sentido crítico, la toma de decisiones, la planifi-cación, la organización y la gestión de proyectos, el trabajo cooperativo, el manejo de la in-certidumbre..., asumiendo riesgos y retos que le permitan superar las dificultades y aceptandoposibles errores.

Contribución a los objetivos de la etapa.

Esta materia propicia la consecución de los objetivos de Bachillerato, al fomentar el trabajoen equipo y colaborativo, la tolerancia, los hábitos de trabajo y estudio; al desarrollar destre-zas básicas para tratar la información mediante medios tecnológicos; al facilitar al alumnadolas herramientas necesarias para realizar investigaciones y resolver problemas en contextos ysituaciones reales y atractivos para el alumnado, elaborando productos, de carácter oral y es-crito, sobre el proceso seguido; y al facilitar la toma de decisiones responsables y el desarro-llo de la autoestima.

A través de esta asignatura y mediante el trabajo en equipo, se fomentan la tolerancia, lacooperación, la participación, el diálogo y la solidaridad entre las personas, asumiendo cadamiembro sus deberes y ejerciendo sus derechos, valorando y respetando la diferenciade sexos, rechazando la discriminación y cualquier manifestación de violencia contra la mu-jer.

También contribuyen a la formación intelectual del alumnado, lo que les permitirá desen-volverse mejor tanto en el ámbito personal como social. Hay que resaltar el valor formativode la asignatura en aspectos tan importantes como el estímulo de la creatividad o el desarrollode capacidades personales y sociales que contribuyen a formar ciudadanos autónomos, segu-ros de sí mismos, decididos y emprendedores, capaces de afrontar los retos y abordar los pro-blemas con garantías de éxito.

La resolución de problemas se convierte en objetivo principal. El proceso debe cultivar lahabilidad para entender diferentes planteamientos e implementar planes prácticos, revisar losprocedimientos de búsqueda de soluciones y plantear aplicaciones del conocimiento y las ha-bilidades matemáticas a diversas situaciones de la vida real; sobre todo, se deben fomentar laexperimentación y la simulación , que promueven un papel activo del alumnado, así como laautonomía para establecer hipótesis y contrastarlas, y para diseñar diferentes estrategias de re-solución o extrapolar los resultados obtenidos a situaciones análogas.

En los dos cursos aparecen criterios de evaluación y contenidos relacionados con la recogi-da, la interpretación, la transformación y la comunicación de informaciones cuantitativas queaparecen diariamente en nuestro entorno relacionados también con el uso de las nuevas tecno-logías, tanto para la resolución de problemas como para la comunicación del proceso seguidoy los resultados obtenidos. Así, en el bloque de aprendizaje de «Estadística y probabilidad»,se habla específicamente de la planificación y la realización de proyectos de recogida y clasi-ficación de datos, realización de experimentos, elaboración de hipótesis, toma de decisiones ycomunicación de conclusiones.

También se favorece el desarrollo de la expresión oral y escrita al expresar en un lenguajeapropiado al nivel en que se encuentra el alumnado, el proceso seguido en las investigacionesy sus conclusiones, así como los procedimientos empleados en las actividades que realice, re-flexionando individual, grupal o colaborativamente sobre diferentes estrategias empleadas y lacoherencia de las soluciones; aprendiendo de los errores cometidos; e integrando los aprendi-zajes y compartiéndolos en contextos diversos.


Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables.

Los criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables derivados deellos deben basarse en los aprendizajes imprescindibles que debe alcanzar el alumnado y cen-trarse en el grado de adquisición de las competencias y los objetivos de etapa.

Los criterios de evaluación son el elemento referencial en la estructura del currículo, cum-pliendo, por tanto, una función nuclear, dado que conectan todos los elementos que lo compo-nen: objetivos de la etapa, competencias, contenidos, estándares de aprendizaje evaluables ymetodología. Debido a este carácter sintético, la redacción de los criterios facilita la visualiza-ción de los aspectos más relevantes del proceso de aprendizaje en el alumnado para que elprofesorado tenga una base sólida y común para la planificación del proceso de enseñanza,para el diseño de situaciones de aprendizaje y para su evaluación.

Los criterios de evaluación encabezan cada uno de los bloques de aprendizaje en los que seorganiza el currículo, estableciéndose la relación de estos criterios con las competencias a lasque contribuye, así como con los contenidos que desarrolla. Además, se determinan losestándares de aprendizaje evaluables a los que se vincula cada criterio de evaluación, de ma-nera que aparecen enumerados en cada uno de los bloques de aprendizaje.

Estos criterios de evaluación constan de dos partes indisolublemente relacionadas, que in-tegran los elementos prescriptivos establecidos en el currículo básico:

- El enunciado, elaborado a partir de los criterios de evaluación establecidos en el mencio-nado currículo básico.

- La explicación del enunciado, elaborada a partir de los estándares de aprendizaje evalua-bles establecidos para la etapa, graduados en cada curso mediante una redacción holística.

De esta forma, la redacción holística de los criterios de evaluación del currículo conjugan,de manera observable, todos los elementos que enriquecen una situación de aprendizaje com-petencial: hace evidentes los procesos cognitivos, afectivos y psicomotrices a través de verbosde acción; da sentido a los contenidos asociados y a los recursos de aprendizaje sugeridos;apunta metodologías favorecedoras del desarrollo de las competencias; y contextualiza el es-cenario y la finalidad del aprendizaje que dan sentido a los productos que elabora el alumnadopara evidenciar su aprendizaje.

Los criterios de evaluación son el referente para evaluar el aprendizaje del alumnado y suanálisis debe ser el punto de partida para programar y diseñar las diferentes situaciones deaprendizaje. Se han organizado por cursos y aparecen conectados con sus estándares de apren-dizaje, y vinculados con los contenidos y con las competencias que ayudan a desarrollar.

En los criterios de evaluación y en los estándares de aprendizaje se muestran los procesosmentales, los contenidos, los contextos y los recursos, y se describen los aprendizajes que elalumnado debe lograr.

La materia de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales está dividida en dos cursos ysu enseñanza debe comenzarse teniendo en cuenta el grado de adquisición de la competenciamatemática que el alumno ha logrado a largo de la Educación Secundaria Obligatoria.

Tanto en 1º como en 2º, aparecen dos criterios longitudinales que se relacionan conlos demás y que se evalúan a lo largo de cada uno de los cursos: son los criterios de evalua-ción referidos a la resolución de problemas y al uso de las nuevas tecnologías. En ellos sucomplejidad aumenta progresivamente, en función de la dificultad de los problemas que elalumnado tiene que resolver y del contexto en el que usará las herramientas tecnológicas.Así, aunque sus descripciones son prácticamente iguales, al evaluarse de manera conjuntacon el resto de criterios varían en cada curso.

El criterio de evaluación referido a los de números solo aparece en el primer curso y trata,no solo de la realización correcta de cálculos numéricos, sino también del tratamiento y la ge-neración de informaciones cuantitativas mediante el empleo de los diferentes tipos denúmeros, sus operaciones, propiedades y relaciones. Además, se tratan la interpretación y


contextualización de parámetros de aritmética mercantil para resolver problemas del ámbi-to de la matemática financiera, que ayudarán al alumnado en su futura relación con las enti-dades bancarias y a interpretar informaciones económicas que aparecen en los medios de co-municación.

Los criterios de evaluación relacionados con el álgebra aparecen en los dos cursos, tratán-dose en el primer curso de la traducción al lenguaje algebraico de problemas relativos a lasciencias sociales, planteando el sistema de ecuaciones correspondiente y solucionándolo; yen el segundo curso se tratan el lenguaje matricial como herramienta de resolución de los sis-temas de ecuaciones y la programación lineal como técnica de optimización de funciones li-neales sujetas a restricciones, en problemas económicos, sociales y demográficos; insistien-do, en todos los casos, en la comprobación y el análisis de las soluciones obtenidas.

Los criterios de evaluación referidos al estudio de las funciones y sus características sontres en cada curso y en ellos se trata el estudio analítico (límites, continuidad y derivabilidad,derivadas, extremos, integrales...) enfocado a la descripción, la representación y a la extrac-ción de información que sobre fenómenos sociales y económicos proporcionan estas funcio-nes.

Los criterios de evaluación que tratan sobre la estadística y la probabilidad están presentestambién en ambos cursos, centrándose primero en la realización de proyectos de recogida,clasificación y análisis de datos y en la elaboración y la comunicación de las conclusionesque sobre los diferentes parámetros obtenidos mediante calculadoras u hojas de cálculo sepueden extraer en variables bidimensionales; y en las distribuciones de probabilidad bi-nomial y normal como herramientas de modelización de experimentos: Para pasar posterior-mente al estudio de la probabilidad compuesta y condicionada y a estimaciones sobre el ta-maño muestral y los intervalos de confianza. Utilizando todo esto para el análisis crítico dedatos estadísticos que aparecen en los medios de comunicación, la elaboración de prediccio-nes y el análisis de la fiabilidad de las mismas y la toma de decisiones en situaciones de in-certidumbre.

Los estándares de aprendizaje evaluables de los criterios de evaluación de la asignatura deMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales especifican, de una manera particular, las me-tas que el alumnado debe alcanzar en relación con los aprendizajes que componen cada crite-rio: son observables, medibles y evaluables, y todos ellos aparecen en los enunciadosde los criterios o en su explicación. En definitiva, nos permiten valorar el nivel de los logrosalcanzados por los alumnos y las alumnas.

Contenidos.

Los contenidos en los dos cursos se encuentran distribuidos en cuatro bloques de aprendi-zaje:

I. «Procesos, métodos y actitudes en matemáticas»

II. «Números y álgebra»

III. «Análisis»

IV. «Estadística y probabilidad», relacionados todos ellos entre sí.

El primer bloque de aprendizaje centra la actividad matemática en la resolución de proble-mas y el uso de las nuevas tecnologías. Con ello se ha buscado darles una especial relevanciay fomentar el diseño de situaciones de aprendizaje donde quede recogido su trabajo específi-co y la evaluación de los criterios correspondientes.

Los contenidos referidos a la resolución de problemas deben trabajarse en todos los blo-ques de forma conjunta con otro tipo de contenidos y no convertirse en una mera realización


de ejercicios. La resolución de problemas es la mejor vía para activar capacidades básicas delalumnado: el planteamiento de nuevos interrogantes, la planificación de investigaciones, laformulación de hipótesis, la comprobación de los resultados... En resumen, a través de la re-solución de problemas se logra desarrollar en el alumnado una forma personal y una aptitudmatemática de enfrentarse a los problemas, expresando de forma oral y escrita el proceso se-guido y sus conclusiones.

En efecto, el uso de las nuevas tecnologías está presente en el primer bloque de aprendiza-je, pero se trabaja también en el resto de los bloques, promoviendo la utilización de progra-mas informáticos, hojas de cálculo, procesadores de texto, simuladores, calculadoras…, queayuden al alumnado a la comprensión y resolución de problemas. Con el uso de las TIC seaumentan, además, las posibilidades de una adecuada presentación de trabajos, investigacio-nes y conclusiones de los mismos, de la creatividad, de la autocorrección o de una correctatoma de decisiones.

En el bloque de aprendizaje II. «Números y álgebra», se tratan los diferentes tipos de nú-meros, no solo como herramientas para la realización de cálculos, sino también comoapoyo y utilidad para la comprensión y la expresión de informaciones cuantitativas del mun-do real, en particular de las matemáticas financieras, trabajando sus relaciones y buscando laforma de cálculo más adecuada en cada caso y la manera de expresar los resultados con laprecisión requerida en cada ocasión. En cuanto al álgebra, se fomenta el uso del lenguaje al-gebraico, en particular de la matrices, para representar situaciones problemáticas reales ycomo herramienta para el planteamiento y la resolución de problemas sociales, económicos ydemográficos.

Los contenidos del bloque de aprendizaje III. «Análisis» profundizan el estudio de las fun-ciones elementales dadas en forma algebraica, de tablas o de gráficas así como la interpreta-ción gráfica de fenómenos sociales y económicos. Los contenidos de límite, continuidad yderivabilidad deben de ser presentados en un contexto ligado a problemas reales.

Los contenidos del bloque de aprendizaje IV. «Estadística y probabilidad» por su presen-cia en la vida cotidiana y en las demás ciencias, tiene un peso específico en esta modalidad.Los contenidos de este bloque son imprescindibles para que el alumnado logre la madurez su-ficiente para interpretar de forma crítica las informaciones y encuestas de opinión, tomedecisiones argumentadas en situaciones de incertidumbre y adquiera los conocimientos nece-sarios para su aplicación en determinados aspectos de las ciencias sociales y económicas.

Orientaciones metodológicas y estrategias didácticas.

Los contenidos matemáticos deben aportar a nuestro alumnado herramientas eficaces paraenfrentarse a problemas reales y dotar de significado los cálculos a realizar, por lo que debenser en todo momento aprendizajes funcionales, significativos y orientados a la acción: reali-zación de tareas o situaciones problema, aprendizaje basado en proyectos... Es decir, se debebuscar siempre una finalidad para todo aquello que se realiza en el aula; por eso, el para qué,el cómo y el por qué se realizan los cálculos deben ser tan importantes como la precisión y lacorrección en hacerlos, pues de nada servirá tener las herramientas si no sabemos cómo usar-las y cuáles son más adecuadas según el contexto y la situación.

El profesorado debe actuar como orientador, promotor y facilitador del aprendizaje, fo-mentando la participación activa y autónoma del alumnado y un aprendizaje funcional queayudará a promover el desarrollo de las competencias a través de metodologías activas con-textualizadas. Asimismo, debe despertar y mantener la motivación por aprender en el alum-nado, proporcionándole todo tipo de ayudas.

Es importante la selección y el uso, o la elaboración y el diseño de diferentes materiales yrecursos para el aprendizaje. Estos deben ser, por tanto, lo más variados posible, entre los quecabría citar: folletos, prensa, Internet, libros, programas informáticos, calculadoras…, que da-


rán lugar a diferentes productos enriqueciendo la evaluación y la práctica diaria en el aula. Eneste sentido, el empleo de materiales manipulativos y programas informáticos que permitanvisualizar o simular los procesos hará que el alumnado pueda dotar de significado losaprendizajes que realiza.

Además, se deben propiciar las prácticas de trabajo grupal y colaborativo. Este último fo-mentará el intercambio de conocimientos y experiencias entre iguales, ampliando las posiblesestrategias y provocando una visión más amplia de los problemas al debatirlos y cuestionarlas soluciones, con la posibilidad de plantear nuevos interrogantes y de aprender de los erro-res.

La planificación de investigaciones o proyectos dentro de situaciones de aprendizaje don-de el alumnado pueda poner en práctica diferentes aprendizajes adquiridos y observar su uti-lidad y relación con otras áreas será una buena opción para favorecer el trabajo en equipo,tanto del alumnado como del profesorado que podrá diseñarlas de forma conjunta e imple-mentarlas en el aula mediante la docencia compartida.

Además, se debe reflexionar sobre los procesos y exponerlos de forma oral o escrita paraayudar al alumnado a autoevaluarse e integrar los aprendizajes, fomentando la crítica cons-tructiva y la coevaluación.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN, CONTENIDOS, COMPETENCIAS CLAVE Y ESTÁNDARESDE APRENDIZAJE EVALUABLES EN

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

1. Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de resolu-ción de problemas en contextos reales (numéricos, funcionales, estadísticos o pro-babilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obte-nidas y expresando verbalmente el procedimiento seguido. Practicar estrategiaspara planificar, de forma individual y en grupo, un proceso de investigación ma-temática, a partir de la resolución de un problema y el análisis posterior; la pro-fundización en algún momento de la historia de las matemáticas; así como elabo-rando en cada situación un informe científico oral y escrito con el rigor y la preci-sión adecuados, superando bloqueos e inseguridades ante situaciones desconoci-das, desarrollando actitudes personales relativas al quehacer matemático, anali-zando críticamente otros planteamientos y soluciones así como reflexionando so-bre las decisiones tomadas, valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para si-tuaciones similares futuras.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado, individualmente o en grupo,analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, hipó-tesis, condiciones, conocimientos matemáticos necesarios, etc.) de problemas rela-cionados con las ciencias sociales y la economía, utiliza diferentes estrategias de re-solución (ensayo-error, heurísticas, estimación, modelización, etc.), así como si re-flexiona sobre el proceso seguido y las soluciones obtenidas.

También se trata de confirmar si planifica, de forma individual y en grupo, un proce-so de investigación matemática, conoce su estructura (problema de investigación, es-tado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclusiones,

etc.), reflexiona y saca conclusiones sobre la resolución y la consecución de objeti-vos así como si plantea posibles continuaciones de la investigación y establece cone-xiones entre el problema real y el mundo matemático. Todo ello usando el lenguaje,la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación, desa-rrollando actitudes personales relativas al quehacer matemático (esfuerzo, perseve-rancia, curiosidad e indagación, etc.) y analizando críticamente otros planteamientosy soluciones.

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Estándares de aprendi-zaje evaluables relacio-nados:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11, 12, 13, 14,15, 17, 18, 19, 20, 21,22, 23, 24, 25, 26, 27,28

Contenidos

1. Planificación del proceso de resolución de problemas2. Desarrollo de estrategias y procedimientos puestos en práctica: ensa-

yo-error, reformulación del problema, resolución de subproblemas,recuento exhaustivo, análisis inicial de casos particulares sencillos,búsqueda de regularidades y leyes, etc.

3. Reflexión sobre los resultados obtenidos: coherencia de las solucio-nes con la situación, revisión sistemática del proceso, otras formasde resolución, problemas parecidos.

4. Planteamiento de investigaciones matemáticas en contextos numéri-cos, funcionales, estadísticos y probabilísticos relacionados con larealidad.

5. Elaboración y presentación de un informe científico sobre el proce-so, resultados y conclusiones del proceso de investigación desarro-llado.

6. Práctica de los procesos de matematización y modelización, en con-textos de la realidad.

7. Desarrollo de la confianza en las propias capacidades para el desa-rrollo de actitudes adecuadas y afrontamiento de las dificultadespropias del trabajo científico.

8. Comunicación del proceso realizado, los resultados y las conclusio-nes con un lenguaje preciso y apropiado (gráfico, numérico, alge-braico, etc.), mediante informes orales o escritos.



1. Expresa verbalmente, de forma razonada, el proceso seguido en la resolución de un problema, conel rigor y la precisión adecuados.

2. Analiza y comprende el enunciado a resolver (datos, relaciones entre los datos, condiciones, conoci-mientos matemáticos necesarios, etc.).

3. Realiza estimaciones y elabora conjeturas sobre los resultados de los problemas a resolver, contras-tando su validez y valorando su utilidad y eficacia.

4. Utiliza estrategias heurísticas y procesos de razonamiento en la resolución de problemas, reflexio-nando sobre el proceso seguido.

5. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto y a la situación.


7. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propie-dad o teorema a demostrar.

8. Conoce y describe la estructura del proceso de elaboración de una investigación matemática: pro-blema de investigación, estado de la cuestión, objetivos, hipótesis, metodología, resultados, conclu-siones, etc.

9. Planifica adecuadamente el proceso de investigación, teniendo en cuenta el contexto en que se desa-rrolla y el problema de investigación planteado.

10. Profundiza en la resolución de algunos problemas planteando nuevas preguntas, generalizando lasituación o los resultados, etc.

11. Busca conexiones entre contextos de la realidad y del mundo de las matemáticas (la historia de lahumanidad y la historia de las matemáticas; arte y matemáticas; ciencias sociales y matemáticas,etc.).

12. Consulta las fuentes de información adecuadas al problema de investigación.

13. Usa el lenguaje, la notación y los símbolos matemáticos adecuados al contexto del problema de in-vestigación.


15. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en labúsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáti -cas.

17. Reflexiona sobre el proceso de investigación y elabora conclusiones sobre el nivel de:

a) Resolución del problema de investigación; b) consecución de objetivos. Así mismo, plantea posi-bles continuaciones de la investigación; analiza los puntos fuertes y débiles del proceso y hace ex-plícitas sus impresiones personales sobre la experiencia.

18. Identifica situaciones problemáticas de la realidad, susceptibles de contener problemas de interés.

19. Establece conexiones entre el problema del mundo real y el mundo matemático: identificando delproblema o problemas matemáticos que subyacen en él, así como los conocimientos matemáticosnecesarios.

20. Usa, elabora o construye modelos matemáticos adecuados que permitan la resolución del problemao problemas dentro del campo de las matemáticas.

21. Interpreta la solución matemática del problema en el contexto de la realidad.

22. Realiza simulaciones y predicciones, en el contexto real, para valorar la adecuación y las limitacio-nes de los modelos, proponiendo mejoras que aumenten su eficacia.

23. Reflexiona sobre el proceso y obtiene conclusiones sobre los logros conseguidos, resultados mejo-rables, impresiones personales del proceso, etc.

24. Desarrolla actitudes adecuadas para el trabajo en matemáticas: esfuerzo, perseverancia, flexibili -dad y aceptación de la crítica razonada, convivencia con la incertidumbre, tolerancia de la frustra-ción, autoanálisis continuo, etc.

25. Se plantea la resolución de retos y problemas con la precisión, esmero e interés adecuados al niveleducativo y a la dificultad de la situación.


26. Desarrolla actitudes de curiosidad e indagación, junto con hábitos de plantear/se preguntas y bus-car respuestas adecuadas; revisar de forma crítica los resultados encontrados; etc.

27. Toma decisiones en los procesos (de resolución de problemas, de investigación, dematematizacióno de modelización) valorando las consecuencias de las mismas y la conveniencia por su sencillez yutilidad.

28. Reflexiona sobre los procesos desarrollados, tomando conciencia de sus estructuras; valorando lapotencia, sencillez y belleza de los métodos e ideas utilizados; aprendiendo de ello para situacionesfuturas; etc.

2. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, reali-zando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representacionesgráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizandocon sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de concep-tos matemáticos o a la resolución de problemas; así como utilizar las tecnologíasde la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de aprendi-zaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet oen otras fuentes, elaborando documentos propios, exposiciones y argumentacio-nes de los mismos y compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la in-teracción.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado selecciona y emplea las he-rramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, y las utili-za para la realización de cálculos numéricos y algebraicos cuando su dificultad im-pide o no aconseja hacerlos manualmente; y si elabora documentos digitales pro-pios (texto, presentación, imagen, vídeo, sonido,…) como resultado del proceso debúsqueda, análisis y selección de información relevante y los comparte para su dis-cusión o difusión. Asimismo, se pretende evaluar si utiliza medios tecnológicospara hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones algebraicas com-plejas, extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas, comprobar los re-sultados de interpretación de las propiedades globales y locales de las funciones enactividades abstractas y problemas contextualizados, organizar y analizar datos des-de el punto de vista estadístico, calcular parámetros y generar gráficos estadísticos ydiseñar representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución deproblemas. Todo ello para estructurar y mejorar su proceso de aprendizaje, reco-giendo la información de las actividades, utilizando los recursos creados para apo-yar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula, analizando puntosfuertes y débiles de su proceso académico y estableciendo pautas de mejora.

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Estándares de aprendizajeevaluables relacionados:

7, 15 ,29, 30, 31, 32, 33,34, 35, 40, 57, 66, 68

Contenidos1. Utilización de medios tecnológicos en el proceso de aprendizaje

para:a) la recogida ordenada y la organización de datos.b) la elaboración y creación de representaciones gráficas de datos

numéricos, funcionales o estadísticos.c) facilitar la comprensión de propiedades funcionales y la realiza-

ción de cálculos de tipo numérico, algebraico o estadístico.d) el diseño de simulaciones y la elaboración de predicciones sobre

situaciones matemáticas diversas.e) la elaboración de informes y documentos sobre los procesos lle-

vados a cabo y los resultados y conclusiones obtenidas.f) la comunicación e intercambio, en entornos apropiados, de la in-

formación y las ideas matemáticas.2. Utilización de recursos tecnológicos para la realización de cálcu-

los financieros y mercantiles.


7. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema, situación a resolver o propie-dad o teorema a demostrar.


15. Emplea las herramientas tecnológicas adecuadas al tipo de problema de investigación, tanto en labúsqueda de soluciones como para mejorar la eficacia en la comunicación de las ideas matemáti -cas.

29. Selecciona herramientas tecnológicas adecuadas y las utiliza para la realización de cálculos numé-ricos, algebraicos o estadísticos cuando la dificultad de los mismos impide o no aconseja hacerlosmanualmente.

30. Utiliza medios tecnológicos para hacer representaciones gráficas de funciones con expresiones al-gebraicas complejas y extraer información cualitativa y cuantitativa sobre ellas.

31. Diseña representaciones gráficas para explicar el proceso seguido en la solución de problemas, me-diante la utilización de medios tecnológicos.

32. Recrea entornos y objetos geométricos con herramientas tecnológicas interactivas para mostrar,analizar y comprender propiedades geométricas.

33. Elabora documentos digitales propios (texto, presentación, imagen, vídeo, sonido,…), como resul-tado del proceso de búsqueda, análisis y selección de información relevante, con la herramienta tec-nológica adecuada y los comparte para su discusión o difusión.

34. Utiliza los recursos creados para apoyar la exposición oral de los contenidos trabajados en el aula.

35. Usa adecuadamente los medios tecnológicos para estructurar y mejorar su proceso de aprendizajerecogiendo la información de las actividades, analizando puntos fuertes y débiles de su procesoacadémico y estableciendo pautas de mejora.

40. Interpreta y contextualiza correctamente parámetros de aritmética mercantil para resolver proble-mas del ámbito de la matemática financiera (capitalización y amortización simple y compuesta)mediante los métodos de cálculo o recursos tecnológicos apropiados.


66. Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabili-dad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecno-lógica y las aplica en diversas situaciones.

68. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la dis-tribución normal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo uotra herramienta tecnológica, y las aplica en diversas situaciones.

3. Identificar y utilizar los números reales y sus operaciones para recoger, inter-pretar, transformar e intercambiar información cuantitativa en situaciones de lavida real. Resolver problemas de capitalización y de amortización simple y com-puesta.Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado reconoce los distintos númerosreales, los utiliza para interpretar información cuantitativa en situaciones de la vidareal, los representa mediante intervalos, los compara, ordena, clasifica y realiza opera-ciones entre ellos empleando el cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculado-ra, programas informáticos..., utilizando la notación más adecuada en cada caso y con-trolando el error cuando realiza aproximaciones.Asimismo se trata de evaluar si interpreta y contextualiza parámetros de aritméticamercantil para resolver problemas del ámbito de la matemática financiera (capitaliza-ción y amortización simple y compuesta) mediante los métodos de cálculo o la utiliza-ción de recursos tecnológicos apropiados.

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Estándares de apren-dizaje evaluables rela-cionados:

36, 37, 38, 39, 40

Contenidos1. Identificación de números racionales e irracionales.2. Representación de los números reales en la recta real. Uso de inter-

valos.3. Aproximación decimal de un número real. Estimación, redondeo y

errores.4. Realización de operaciones con números reales.5. Uso de potencias, radicales y la notación científica.6. Realización de operaciones con capitales financieros, aumentos y


disminuciones porcentuales, tasas e intereses bancarios, capitaliza-ción y amortización simple y compuesta. Incógnitas y sistemas deinecuaciones.


36. Reconoce los distintos tipos números reales (racionales e irracionales) y los utiliza para representare interpretar adecuadamente información cuantitativa.

37. Representa correctamente información cuantitativa mediante intervalos de números reales.

38. Compara, ordena, clasifica y representa gráficamente, cualquier número real.

39. Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y pa-pel, calculadora o programas informáticos, utilizando la notación más adecuada y controlando elerror cuando aproxima.

40. Interpreta y contextualiza correctamente parámetros de aritmética mercantil para resolver proble-mas del ámbito de la matemática financiera (capitalización y amortización simple y compuesta)mediante los métodos de cálculo o recursos tecnológicos apropiados.

4. Traducir al lenguaje algebraico o gráfico situaciones reales en el ámbito de lasciencias sociales y resolver problemas contextualizados mediante el planteamientoy la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, utilizando para ello técni-cas matemáticas y herramientas tecnológicas apropiadas e interpretando las solu-ciones obtenidas.

Con este criterio se pretende evaluar si el alumnado utiliza el lenguaje algebraicopara traducir situaciones reales y si resuelve problemas relativos a las ciencias socia-les mediante la utilización de ecuaciones o sistemas de ecuaciones aplicando diferen-tes métodos. Además, se trata de constatar que interpreta y contrasta los resultadosobtenidos, valora otras posibles soluciones o estrategias de resolución aportadas porlas demás personas, acepta la crítica razonada y describe el proceso seguido de for -ma oral y escrita.

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41 ,42, 43

Contenidos

1. Realización de operaciones con polinomios. Descomposición enfactores.

2. Resolución de ecuaciones lineales, cuadráticas y reducibles a ellas,exponenciales y logarítmicas.

3. Resolución de sistemas de ecuaciones de primer y segundo gradocon dos incógnitas. Clasificación e interpretación geométrica.

4. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas:método de Gauss.

5. Aplicaciones de las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones para laresolución de problemas reales.


41. Utiliza de manera eficaz el lenguaje algebraico para representar situaciones planteadas en contex-tos reales.

42. Resuelve problemas relativos a las ciencias sociales mediante la utilización de ecuaciones o siste-mas de ecuaciones.

43. Realiza una interpretación contextualizada de los resultados obtenidos y los expone con claridad.


5. Identificar, interpretar, analizar y representar gráficas de funciones rea-les elementales, relacionadas con fenómenos sociales, teniendo en cuenta suscaracterísticas. Interpolar y extrapolar valores de funciones a partir de ta-blas interpretándolos en situaciones reales.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado analiza funciones expresadasen forma algebraica, por medio de tablas o gráficamente, y las relaciona con fenóme-nos cotidianos, económicos, sociales y científicos; si estudia e interpreta gráficamentesus características y selecciona de manera adecuada ejes, unidades y escalas para re-presentarlas gráficamente reconociendo e identificando los errores de interpretaciónderivados de una mala elección. Además, se propone evaluar si el alumnado obtienevalores desconocidos mediante interpolación o extrapolación a partir de tablas y los in-terpreta dentro de un contexto real; todo ello con la ayuda de los medios tecnológicosadecuados.Calcular medidas reales en situaciones de semejanza como planos, mapas o fotos aé-reas.

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LISIS


44, 45, 46, 47

Contenidos

1. Identificación y análisis de las características de funciones reales devariable real. Expresión de una función en forma algebraica, por me-dio de tablas o de gráficas.

2. Identificación de la expresión analítica y gráfica de las funciones rea-les de variable real (polinómicas, exponencial y logarítmica, valorabsoluto, parte entera, y racionales e irracionales sencillas) a partirde sus características, así como de funciones definidas a trozos.

3. Aplicación de la interpolación y extrapolación lineal y cuadráti-ca para la resolución de problemas reales.


44. Analiza funciones expresadas en forma algebraica, por medio de tablas o gráficamente, y las rela-ciona con fenómenos cotidianos, económicos, sociales y científicos extrayendo y replicando mode-los.

45. Selecciona de manera adecuada y razonadamente ejes, unidades y escalas reconociendo e identifi-cando los errores de interpretación derivados de una mala elección, para realizar representacionesgráficas de funciones.

46. Estudia e interpreta gráficamente las características de una función comprobando los resultadoscon la ayuda de medios tecnológicos en actividades abstractas y problemas contextualizados.

47. Obtiene valores desconocidos mediante interpolación o extrapolación a partir de tablas o datos ylos interpreta en un contexto.

6 Estudiar la continuidad en un punto de funciones reales elementales para ex-traer conclusiones en un contexto real, así como para estimar tendencias de unafunción a partir del cálculo de límites.

Este criterio trata de evaluar si el alumnado determina y analiza la continuidad defunciones reales (polinómicas, racionales, logarítmicas y exponenciales) en un pun-to; calcula, representa e interpreta sus asíntotas, así como si estima sus tendencias apartir del cálculo de límites en un punto y en el infinito, para extraer conclusionesen un contexto real en el ámbito de las ciencias sociales.

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Estándares de apren-dizaje evaluables rela-cionados:48, 49, 50

Contenidos1. Interpretación del límite de una función en un punto.2. Cálculo de límites sencillos. Uso de los límites como herramienta

para el estudio de la continuidad de una función.3. Aplicación de los límites en el estudio de las asíntotas.



48. Calcula límites finitos e infinitos de una función en un punto o en el infinito para estimar las ten -dencias de una función.

49. Calcula, representa e interpreta las asíntotas de una función en problemas de las ciencias sociales.

50. Examina, analiza y determina la continuidad de la función en un punto para extraer conclusionesen situaciones reales.

7. Utilizar las reglas de derivación para calcular la derivada de funciones elemen-tales y resolver problemas en un contexto real mediante la interpretación del sig-nificado geométrico de la derivada de una función en un punto a partir de la tasade variación media.

Con la aplicación de este criterio se pretende comprobar si el alumnado utiliza las re-glas de derivación de las funciones elementales y sus operaciones (suma, producto,cociente y composición de funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas), siidentifica tasas de variación de una función, si comprende el concepto de derivadarelacionándolo con su interpretación geométrica y con la pendiente de la recta tan-gente a la curva en un punto; y si utiliza todo lo anterior para resolver problemascontextualizados, ayudándose de calculadoras gráficas y programas informáticoscuando sea necesario.

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51, 52

Contenidos1. Interpretación de la tasa de variación media y tasa de variación ins-

tantánea.Aplicación al estudio de fenómenos económicos y sociales.2. Definición e interpretación geométrica de la derivada de una fun-

ción en un punto. Cálculo de la recta tangente a una función en unpunto.

3. Uso de las reglas de derivación de funciones elementales sencillasque sean suma, producto, cociente y composición de funciones po-linómicas, exponenciales y logarítmicas.


51. Calcula la tasa de variación media en un intervalo y la tasa de variación instantánea, las interpretageométricamente y las emplea para resolver problemas y situaciones extraídas de la vida real.

52. Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de una función y obtener la rectatangente a una función en un punto dado.


8. Interpretar y cuantificar la relación lineal entre las variables de una distribu-ción bidimensional a partir del coeficiente de correlación, valorando la pertinen-cia de ajustarlas a una recta de regresión y, en su caso, la conveniencia de realizarpredicciones, evaluando la fiabilidad de las mismas para resolver problemas rela-cionados con fenómenos económicos y sociales, y utilizar para ello el lenguaje ylos medios más adecuados.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado distingue el carácter funcio-nal o aleatorio de una distribución bidimensional y cuantifica el grado de relaciónexistente entre dos variables mediante la información gráfica aportada por la nube depuntos y la interpretación del coeficiente de correlación. Además, se quiere constatarsi realiza estimaciones a partir de las rectas de regresión valorando la fiabilidad delas mismas, con el fin de interpretar y extraer conclusiones al resolver problemas re-lacionados con fenómenos económicos y sociales y si utiliza adecuadamente mediostecnológicos para organizar y analizar datos desde el punto de vista estadístico, de-tectar errores en las informaciones que aparecen en los medios de información, cal-cular parámetros y generar gráficos estadísticos, comunicando sus conclusiones conel lenguaje más adecuado.

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53, 54, 55, 56, 57, 58,59, 60, 61

Contenidos

1. Análisis de la relación de variables en distribuciones bidimensiona-les mediante: el uso de tablas de contingencia, el estudio de la dis-tribución conjunta, de las distribuciones marginales y de las distri-buciones condicionadas; y el cálculo de medias y desviaciones típi-cas marginales y condicionadas.

2. Estudio de la dependencia e independencia de dos variables estadís-ticas y representación gráfica de las mismas mediante una nube depuntos.

3. Análisis de la dependencia lineal de dos variables estadísticas. Cál-culo de la covarianza y estudio de la correlación mediante el cálcu-lo e interpretación del coeficiente de correlación lineal.

4. Cálculo de las rectas de regresión para la realización de estimacio-nes y predicciones estadísticas y análisis de la fiabilidad de lasmismas.


53. Elabora e interpreta tablas bidimensionales de frecuencias a partir de los datos de un estudio esta -dístico, con variables discretas y continuas.

54. Calcula e interpreta los parámetros estadísticos más usuales en variables bidimensionales para apli-carlos en situaciones de la vida real.

55. Halla las distribuciones marginales y diferentes distribuciones condicionadas a partir de una tablade contingencia, así como sus parámetros para aplicarlos en situaciones de la vida real.

56. Decide si dos variables estadísticas son o no estadísticamente dependientes a partir de sus distribu-ciones condicionadas y marginales para poder formular conjeturas.


58. Distingue la dependencia funcional de la dependencia estadística y estima si dos variables son o noestadísticamente dependientes mediante la representación de la nube de puntos en contextos coti -dianos.

59. Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables mediante el cálculo e in-terpretación del coeficiente de correlación lineal para poder obtener conclusiones.

60. Calcula las rectas de regresión de dos variables y obtiene predicciones a partir de ellas.

61. Evalúa la fiabilidad de las predicciones obtenidas a partir de la recta de regresión mediante el co -eficiente de determinación lineal en contextos relacionados con fenómenos económicos y sociales.


9 Asignar probabilidades a sucesos aleatorios, independientes o no, corres-pondientes a fenómenos aleatorios simples y compuestos; utilizando paraello la regla de Laplace, técnicas de recuento y la axiomática de la probabi-lidad, con la finalidad de tomar decisiones ante situaciones relacionadascon las ciencias sociales, argumentándolas.

Este criterio trata de comprobar si el alumnado determina la probabilidad de sucesosde fenómenos aleatorios simples y compuestos mediante la regla de Laplace, las fór-mulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuentopara tomar decisiones ante situaciones relacionadas con las ciencias sociales, expli-cándolas y argumentándolas. Se pretende, asimismo, evaluar si construye la funciónde probabilidad de una variable discreta y la función de densidad de una variablecontinua asociada a un fenómeno sencillo y calcula sus parámetros y algunas proba-bilidades asociadas.

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62, 63, 64, 70 ,71

Contenidos

1. Asignación de probabilidades a sucesos mediante la regla de Lapla-ce y a partir de su frecuencia relativa. Axiomática de Kolmogorov.

2. Aplicación de la combinatoria al cálculo de probabilidades.3. Identificación de experimentos simples y compuestos. Cálculo de

probabilidad condicionada.4. Identificación de la dependencia e independencia de sucesos.5. Significado y reconocimiento de variables aleatorias discretas: dis-

tribución de probabilidad. Cálculo e interpretación de la media, lavarianza y la desviación típica.

6. Significado y reconocimiento de variables aleatorias continuas: fun-ción de densidad y de distribución. Cálculo e interpretación de lamedia, la varianza y la desviación típicas.


62. Calcula la probabilidad de sucesos en experimentos simples y compuestos mediante la regla de La-place, las fórmulas derivadas de la axiomática de Kolmogorov y diferentes técnicas de recuento.

63. Construye la función de probabilidad de una variable discreta asociada a un fenómeno sencillo ycalcula sus parámetros y algunas probabilidades asociadas.

64. Construye la función de densidad de una variable continua asociada a un fenómeno sencillo y cal-cula sus parámetros y algunas probabilidades asociadas.

70. Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar y la estadística.

71. Razona y argumenta la interpretación de informaciones estadísticas o relacionadas con el azar pre-sentes en la vida cotidiana.


10. Identificar los fenómenos que se ajustan a distribuciones de probabilidad bino-mial y normal en el ámbito de las ciencias sociales y determinar la probabilidad dediferentes sucesos asociados para interpretar informaciones estadísticas.

Con este criterio se pretende comprobar si el alumnado identifica fenómenos que pue-den modelizarse mediante las distribución binomial, normal y la distribución binomiala partir su aproximación por la normal; calculando probabilidades de sucesos asocia-dos a cada una de ellas a partir de su función de probabilidad, de la tabla de la distribu-ción o mediante la calculadora, la hoja de cálculo u otra herramienta tecnológica, y lasaplica en diversas situaciones para interpretar informaciones estadísticas que aparecenen los medios de comunicación detectando errores; todo ello valorando su importanciadentro de un contexto relacionado con las ciencias sociales y utilizando el lenguajeadecuado.

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65 ,66, 67, 68, 69, 70,71

Contenidos

1. Caracterización e identificación del modelo de una distribución bino-mial. Cálculo de probabilidades.

2. Caracterización e identificación del modelo de una distribución nor-mal. Tipificación de la distribución normal. Asignación de probabili-dades en una distribución normal.

3. Cálculo de probabilidades mediante la aproximación de la distribu-ción binomial por la normal.


65. Identifica fenómenos que pueden modelizarse mediante la distribución binomial, obtiene sus pará-metros y calcula su media y desviación típica.

66. Calcula probabilidades asociadas a una distribución binomial a partir de su función de probabili-dad, de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo u otra herramienta tecno-lógica y las aplica en diversas situaciones.

67. Distingue fenómenos que pueden modelizarse mediante una distribución normal, y valora su im-portancia en las ciencias sociales.

68. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la dis-tribución normal a partir de la tabla de la distribución o mediante calculadora, hoja de cálculo uotra herramienta tecnológica, y las aplica en diversas situaciones.

69. Calcula probabilidades de sucesos asociados a fenómenos que pueden modelizarse mediante la dis-tribución binomial a partir de su aproximación por la normal valorando si se dan las condicionesnecesarias para que sea válida.

70. Utiliza un vocabulario adecuado para describir situaciones relacionadas con el azar y la estadística.

71. Razona y argumenta la interpretación de informaciones estadísticas o relacionadas con el azar pre-sentes en la vida cotidiana.


MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II (L.O.E)

Contenidos

Bloque 1: Estadística y probabilidad

Conceptos

Tema 1: Cálculo de probabilidades.

1. Conceptos previos de probabilidad.

2. Definición y propiedades de probabilidad.

3. Probabilidad condicionada.

3.1. Sucesos dependientes e independientes.

4. Teorema de la probabilidad total.

5. Fórmula de Bayes.

Tema 2: Distribución binomial.

1. Idea intuitiva de variable aleatoria.

2. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

3. Media y varianza de una variable aleatoria discreta.

4. Idea intuitiva de Distribución binomial.

5. Función de probabilidad.

6. Media y varianza de una distribución binomial.

7. Variable aleatoria de la distribución binomial o de Bernoullí.

Tema 3: Distribución Normal.

1. Idea intuitiva de distribución de probabilidad continua.

2. Función de densidad.

3. Experimento de Galton. Distribución Normal.

4. Variable aleatoria de la distribución normal.

5. Función de densidad.

6. Distribución normal estándar.

7. Tipificación de la variable. Tablas.

8. La distribución normal como aproximación continua de la distribución binomial.

8.1. Test de normalidad.

Tema 4: Teoría de muestras.2. Tipos de muestreo.

3. Distribuciones de muestreo.

3.1. Distribución en el muestreo de una proporción


3.2. Distribución en el muestreo de la media.

3.3. Distribución en el muestreo de las sumas muestrales.

3.4. Distribución en el muestreo de la diferencia de medias.

4. Teorema central del límite.

Tema 5: Intervalos de confianza.1. Estimación puntual.

2. Propiedades de los estimadores.

3. Estimación por intervalo.

4. Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial.

4.1 Intervalo de confianza para la media poblacional4.2 Intervalo de confianza para la diferencia de medias.

5. Tamaño de la muestra

Tema 6: Tests de contraste de hipótesis basados en la distribución normal.

1. Contraste de hipótesis.

2. Tipos de error.

3. Contraste para el parámetro p de una distribución binomial.

4. Contraste para la media de una población normal.

5. Analogías entre contraste de hipótesis e intervalos de confianza.

Procedimientos

1. Asignación de probabilidades en experiencias simples mediante técnicas elementales.2. Identificación de variables aleatorias que sigan una distribución binomial o normal.3. Manejo de las tablas de la distribución binomial.4. Manejo de las tablas de la distribución normal tipificada.5. Ajuste de datos a una distribución binomial.6. Ajuste de datos a una distribución normal. Aplicación de tests de normalidad.7. Aproximación de una distribución normal por una binomial.8. Determinación de las condiciones de validez de la aproximación.9. Asignación de probabilidades teniendo en cuenta la corrección de Yates.10. Análisis y obtención de conclusiones sobre alguna característica de una determinada

población a partir de una muestra aleatoria.11. Utilización de algún tipo de test para verificar la validez de una hipótesis de inferencia.

Actitudes

1. Toma de conciencia de la utilidad de los métodos probabilísticos en la toma de decisionessobre fenómenos aleatorios.

2. Confianza en los resultados obtenidos, utilizando métodos probabilísticos como base parala toma de decisiones sobre fenómenos aleatorios.

3. Hábito de utilizar métodos probabilísticos para tomar decisiones en situaciones con variasalternativas no discernibles a priori.

4. Reconocimiento de la existencia de fenómenos paradójicos y antiintuitivos en el estudiode situaciones relacionadas con el azar.


5. Actitud crítica ante las soluciones obtenidas en la resolución de problemas en contextosprobabilísticos.

6. Hábito de reflexionar sistemáticamente acerca de las conclusiones extraídas del estudio defenómenos aleatorios.

7. Concienciación de la importancia de la representatividad de las muestras en problemas deinferencia estadística.

8. Apreciación de la importancia del nivel de significación de las conclusiones extraídasacerca de una población a partir del estudio de muestras.

9. Actitud crítica ante la información presentada en los medios de comunicación y obtenidamediante inferencia estadística, analizando esa información y rechazando la incorrecta.

10. Reconocimiento de las ventajas que supone el trabajo en equipo en la realización de estu-dios estadísticos.

11. Valoración del trabajo ajeno como requisito indispensable al buen funcionamiento de unequipo.

12. Conducta participativa y respetuosa en un grupo de trabajo durante el proceso de resolu-ción de problemas de inferencia estadística.

Bloque 2: Análisis

Conceptos

Tema 7: Límites y continuidad

1. Límite de una función: idea intuitiva2. Límite de una función: definición3. Límite de una función en un punto.

3.1 Límites laterales.3.2 Límite en el infinito.3.3 Límites determinados e indeterminados. Resolución de indeterminaciones.

4. Continuidad de una función en un punto.

4.1. Definición de continuidad de una función en un punto.

4.2. Funciones discontinuas: tipos de discontinuidad.

5. Continuidad de una función en un intervalo.6. Propiedades de las funciones continuas.7. Ramas infinitas y asíntotas de una función.

7.1. Asíntotas verticales.

7.2. Asíntotas horizontales.

7.3. Asíntotas oblicuas.

Tema 8: Derivadas.

1. Tasas de variación.

1.1 Tasa de variación media. 1.2 Tasa de variación instantánea.

2. Derivada de una función en un punto.

2.1. Interpretación geométrica.

2.2. Recta tangente a una curva en un punto.

3. Función derivada.

3.1. Función derivada.


3.2. Derivadas sucesivas.

Tema 9: Operaciones y cálculo con derivadas.

1. Derivada de funciones elementales

2. Derivada de las operaciones elementales.

2.1. Derivada del producto de un número por una función.

2.2. Derivada de la suma y diferencia de funciones.

2.3. Derivada del producto de funciones.

2.4. Derivada del cociente de funciones.

3. Derivada de funciones compuesta: Regla de la cadena.

4. Funciones derivables.

4.1. Derivadas laterales.

4.2. Continuidad y derivabilidad.

Tema 10: Monotonía y curvatura.

1. Monotonía.

1.1. Crecimiento y decrecimiento en un intervalo.

1.2. Derivadas y monotonía.

2. Curvatura.

2.1 Concavidad y convexidad.

2.2. Derivadas y curvatura.

3. Puntos de inflexión.

4. Puntos extremos: máximos y mínimos.

5. Optimización de funciones.

Tema 11: Representación de funciones.

1. Dominio, recorrido y regiones gráficas.2. Simetrías:

2.1.Funciones pares.

2.2.Funciones impares.

3. Periodicidad.4. Puntos de discontinuidad.5. Ramas infinitas y asíntotas.

5.1. Asíntotas verticales.

5.2. Asíntotas horizontales.

5.3. Asíntotas oblicuas.

6. Monotonía.


7. Curvatura.

8. Puntos extremos: máximos y mínimos.

9. Puntos de inflexión

Tema 12: Integral indefinida.

1. Integral indefinida.

1.1. Concepto de primitiva.

1.2. Propiedades de la integral indefinida.

1.3. Integrales inmediatas.

2. Integral definida.

2.1. La integral definida como área limitada por una curva.

2.2. Propiedades de la integral definida.

2.3. Regla de Barrow.

Tema 13: Aplicaciones de la integral definida.

1. Área del recinto donde interviene una función.

2. Área del recinto donde intervienen dos funciones.

3. Otras aplicaciones.

Procedimientos

1. Calcular límites y derivadas de funciones sencillas.

2. Aplicación de los límites al estudio de las propiedades locales de funciones.

3. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones.

4. Extracción de conclusiones sobre situaciones reales, susceptibles de ser modeladas

funcionalmente a partir de un estudio analítico de sus propiedades locales.

5. Utilización de las derivadas elementales para resolver problemas de optimización en

situaciones de carácter económico y sociológico.

6. Uso de técnicas elementales para el cálculo de primitivas.

7. Aplicación de la integral definida al cálculo de áreas sencillas.

Actitudes

1. Reconocimiento de la utilidad del análisis matemático para abordar una gran variedad de

problemas.

2. Apreciar la versatilidad, la concisión y la elegancia de los razonamientos del análisis

matemático.


3. Hábito de utilizar métodos propios del análisis matemático en el estudio de los fenómenos

sociales, susceptibles de ser representados por funciones.

4. Actitud favorable ante el hábito de revisar los resultados de cálculos con límites, derivadas

e integrales.

5. Hábito de revisar sistemáticamente los cálculos y los resultados de operaciones con límites,

derivadas e integrales.

6. Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de los nuevos medios

tecnológicos en el tratamiento, la representación y el estudio de funciones.

7. Valoración crítica de la incidencia y la utilización de los nuevos medios tecnológicos en el

tratamiento de las gráficas de funciones.

8. Utilización, siempre que sea posible, de los nuevos medios tecnológicos (calculadora y/o

ordenador) para el tratamiento y el estudio de relaciones funcionales.

Bloque 3: Álgebra

Conceptos

Tema 14: Matrices.

1. Definición y concepto de matriz.

2. Tipos de matrices.

3. Operaciones con matrices.

3.1. Suma y resta de matrices.

3.2. Producto de una matriz por un escalar.

3.3. Producto de matrices.

4. Rango de una matriz

5. Matriz inversa.

Tema 15: Determinantes.

1. Determinante de segundo orden.

2. Determinante de tercer orden

3. Determinantes: definición por recurrencia.

4. Propiedades de los determinantes.

5. Cálculo de determinantes

6. Rango de matrices por determinantes

7. Cálculo de la matriz inversa por determinantes.

8. Ecuaciones matriciales.


Tema 16: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

1. Sistemas de ecuaciones lineales.

2. Sistemas equivalentes: transformaciones elementales.

3. Criterio de compatibilidad: Teorema de Rouché.4. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

4.1 Método de Gauss

4.2 Método de Cramer

4.3 Por la matriz inversa.

5. Discusión e interpretación geométrica de un sistema de ecuaciones.

Tema 17: Programación lineal.

1. Inecuaciones lineales.

2. Sistemas de inecuaciones lineales.

3. Planteamiento de problemas.

4. Método analítico para el cálculo de soluciones.

5. Método gráfico para la resolución de problemas de programación lineal.

Procedimientos 1. Organización e interpretación de datos tabulados en forma matricial.

2. Cálculo de sumas, productos y potencias de matrices.

3. Cálculo de la matriz inversa de una dada.

4. Cálculo de determinantes de orden 2 y 3 con la regla de Sarrus.

5. Obtención del desarrollo de un determinante a partir de los elementos de una fila o colum-

na aplicándolo al cálculo de matrices inversas.

6. Utilización de las propiedades de los determinantes y del método de Gauss para calcular

determinantes y el rango de una matriz.

7. Elaboración e interpretación de la matriz asociada a un grafo.

8. Resolución de problemas extraídos de contextos reales mediante el cálculo matricial.

9. Obtención de la matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales.

10. Aplicación de las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

11. Utilización del teorema de Rouché-Frobenius para la discusión de sistemas.

12. Representación de la función objetivo.

13. Determinación de la región factible del conjunto de restricciones mediante la resolución

gráfica de un sistema de inecuaciones lineales.

14. Análisis de los distintos tipos de soluciones posibles.

15. Obtención gráfica del máximo de la función objetivo.


Actitudes

1. Valoración positiva de la utilidad del lenguaje algebraico para plantear y resolver

problemas de las ciencias humanas y sociales, y para expresar de forma precisa diferentes

contenidos matemáticos.

2. Hábito de utilizar el lenguaje algebraico para plantear y resolver problemas en diferentes

ámbitos, reconociendo su precisión y su simplicidad.

3. Reconocimiento de las matrices como instrumento de manipulación de la información.

4. Apreciación de la capacidad de generalización que ofrece el lenguaje matricial.

5. Hábito de utilizar las matrices en la descripción de situaciones reales y en la resolución de

problemas.

6. Interés por conocer las posibilidades que ofrece el cálculo matricial para la resolución de

sistemas.

7. Valoración del cálculo matricial como instrumento para la obtención de soluciones de

sistemas de ecuaciones lineales.

8. Adopción de las técnicas de cálculo matricial en la resolución de problemas que lo

requieran.

9. Interés por conocer las posibilidades de la programación lineal en el estudio de situacionesrelacionadas con las ciencias sociales y la economía.

10. Valoración de la programación lineal como instrumento sistemático de obtención de

soluciones óptimas en situaciones sujetas a restricciones.

11. Adopción de las técnicas de programación lineal en la resolución de problemas de

optimización que así lo requieran.

12. Comprensión de la necesidad del orden y la precisión en las operaciones con expresiones

algebraicas.

13. Hábito de presentar los cálculos algebraicos de forma clara y ordenada.

Bloque 4: Resolución de problemas

Procedimientos

Estrategias de resolución de problemas.

1. Método general de resolución de problemas.

1.1. Comprensión del enunciado.

1.2. Planificación.

1.3. Ejecución.

1.4. Respuesta.

2. Estrategias de resolución de problemas.


2.1. Resolución gráfica.

2.2. Ensayo-error.

2.3. Razonamiento inverso.

2.4. Organización de la información.

2.5. Coherencia de unidades.

2.6. Simplificación y búsqueda de regularidades.

2.7. Particularización de problemas.

2.8. Descomposición del problema.

2.9. Modificación del enunciado.

2.10. Consideración del problema resuelto.

2.11. Búsqueda de un problema similar resuelto.

2.12. Búsqueda de un contraejemplo.

2.13. Reducción al absurdo.

2.14 Contra-recíproco.

2.15. Inducción completa.

Selección de estrategias y planificación del trabajo en situaciones de resolución de

problemas. Aplicación de herramientas matemáticas y recursos técnicos adecuados.

1. Planificación de la resolución de problemas: comprensión, planificación, ejecución y res-puesta.

2. Aplicación de diferentes estrategias de resolución: ensayo-error, razonamiento inverso, re-ducción al absurdo

3. Uso de la calculadora y el ordenador como apoyo en la resolución de problemas.

Actitudes1. Reconocimiento de los aciertos y los errores propios en la resolución de problemas.

2. Actitud receptiva ante las técnicas y los métodos que permitan mejorar la capacidad de

resolución de problemas.

3. Aceptación positiva de las propias capacidades para resolver situaciones relacionadas con

la actividad matemática.

4. Toma de conciencia de las ventajas que supone el trabajo en grupo en la resolución de

ciertos tipos de problemas.

5. Aprecio de los planteamientos ajenos para el buen funcionamiento de un grupo de trabajo.

6. Conducta participativa y respetuosa en un grupo de trabajo durante el proceso de

resolución de problemas.

7. Reconocimiento de la necesidad de la independencia de pensamiento y de la

comprobación sistemática de los resultados y del proceso seguido en la resolución de un

problema.


8. Valoración positiva de la constancia en la búsqueda de soluciones a un problema,

tanteando diferentes posibilidades cuando no se llega a éstas tras un primer intento.

9. Hábito de actuar con perseverancia y tenacidad en la resolución de situaciones

problemáticas.

10. Interés por disponer de un método general de resolución de problemas, así como por

conocer cuál será la estrategia más adecuada para resolverlos en cada caso.

11. Valoración del método general de resolución de problemas, así como de las estrategias

utilizadas para resolverlos.

12. Hábito de resolver problemas según un método establecido y de analizar las diferentes

estrategias para discernir cuál es la más adecuada para resolver cada problema particular.

13. Toma de conciencia de la necesidad de rigor, precisión, orden y claridad en la resolución

de problemas.

14. Gusto por el rigor y la precisión en la realización de cálculos, así como por el orden y la

claridad en la presentación del proceso seguido en la resolución de problemas y de los

resultados obtenidos.

15. Comportamiento coherente con los principios anteriores.

16. Interés por conocer las posibilidades que ofrece la utilización de medios tecnológicos

(calculadora y/o ordenador) en la resolución de problemas numéricos, algebraicos,

estadísticos

17. Valoración crítica de la utilidad de la calculadora y del ordenador para facilitar el proceso

de resolución de problemas.

18. Hábito de utilizar conscientemente la calculadora o el ordenador en la resolución de

problemas.


CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Utilizar el lenguaje matricial como instrumento para organizar y codificar la infor-mación proveniente de situaciones con datos estructurados en forma de tablas o gra-fos, y aplicar las operaciones con matrices para la manipulación de dichos datos.

Este criterio tiene por objeto evaluar las destrezas de los alumnos y las alumnas para orga-nizar la información, codificarla utilizando matrices, y transformarla a través de la reali-zación de operaciones con ellas, como sumas y productos. Asimismo, el criterio está diri-gido a comprobar si el alumnado sabe interpretar las matrices obtenidas del tratamiento delas situaciones estudiadas.

2. Transcribir problemas expresados en lenguaje usual al lenguaje algebraico y resol-verlo utilizando técnicas algebraicas determinadas: matrices, resolución de sistemasde ecuaciones lineales y programación lineal bidimensional, interpretando crítica-mente el significado de las soluciones obtenidas.

Este criterio va dirigido a comprobar si el alumnado es capaz de transcribir con solturadesde el lenguaje usual al lenguaje algebraico, seleccionar las herramientas algebraicasadecuadas, aplicarlas correctamente y, por último, interpretar críticamente el significadode las soluciones obtenidas. Se debe valorar el uso que haga de la calculadora o del orde-nador. Debe tenerse en cuenta que la resolución mecánica de ejercicios de aplicación in-mediata no responde al sentido de este criterio.

3. Analizar e interpretar fenómenos habituales en las ciencias sociales susceptibles deser descritos mediante una función, a partir del estudio de sus propiedades locales yglobales.

A través de este criterio se determinará la capacidad del alumnado para realizar el estudiocualitativo y cuantitativo de una función expresada por su gráfica, su tabla o su expresiónalgebraica, mediante la determinación del dominio, recorrido, continuidad, puntos de cor-te, asíntotas, intervalos de crecimiento, etc., con el fin de obtener información que permitaanalizar e interpretar críticamente el fenómeno estudiado. Ejemplos de estos contextosson las curvas de oferta y demanda o las curvas de costes y beneficios.

4. Utilizar el cálculo de derivadas como herramienta para obtener conclusiones acercadel comportamiento de una función y para resolver problemas de optimización ex-traídos de contextos relacionados con las ciencias sociales, interpretando los resulta-dos obtenidos de acuerdo con los enunciados.

Este criterio centra su atención en la comprobación de la capacidad del alumnado paraaplicar las derivadas al estudio de las propiedades locales (máximos, mínimos, intervalosde crecimiento y curvatura) de funciones elementales y su representación gráfica y pararesolver problemas de optimización de situaciones extraídas de contextos reales. Con re-lación a este criterio, es más importante valorar la capacidad del alumnado para utilizar lainformación que proporciona el cálculo de derivadas que la realización de complejos cál-culos de funciones derivadas.

5. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios simples y compuestos (dependientes eindependientes) relacionados con fenómenos sociales o naturales, interpretarlas yutilizar técnicas de conteo personales, diagramas de árbol o tablas de contingencia.

Este criterio persigue evaluar la capacidad del alumnado para determinar el espacio mues-tral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio simple o compuesto, y utilizar dis-tintas técnicas de recuento para calcular probabilidades que no requieran la utilización decomplicados cálculos combinatorios.


6. Planificar y realizar estudios concretos de una población, a partir de una muestrabien seleccionada, asignar un nivel de significación, para inferir y contrastar la me-dia o proporción poblacional y estimar el error cometido.

Este criterio evalúa la capacidad del alumnado para seleccionar muestras y establecer sutamaño en situaciones reales, utilizando distintas técnicas de muestreo, calcular los pará-metros muestrales y estimar los parámetros poblacionales, valorando el error cometido ydeterminar si la diferencia de medias o proporciones entre dos poblaciones o respecto aun valor determinado es significativa, aceptando o rechazando los parámetros poblaciona-les mediante el contraste de hipótesis.

7. Analizar de forma crítica informes estadísticos presentes en los medios de comunica-ción y otros ámbitos, y detectar posibles errores y manipulaciones tanto en la pre-sentación de determinados datos como en las conclusiones.

La intención de este criterio es determinar si el alumnado conoce y es capaz de utilizar lasherramientas estadísticas para interpretar y analizar la ficha técnica de un estudio estadís-tico, contrastarla con los datos del informe, detectar posibles falacias, manipulaciones,etc., y, de forma razonada, y con autonomía y rigor, expresar una opinión crítica del estu-dio.

8. Reconocer la presencia de las matemáticas en la vida real y aplicar los conocimientosadquiridos a situaciones nuevas, diseñando, investigando, utilizando y contrastandodistintas estrategias y herramientas matemáticas para su estudio y tratamiento.

Por medio del criterio se pretende evaluar la capacidad de los alumnos y las alumnas paracombinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del contexto en elque se hayan adquirido y de los contenidos concretos de la materia, así como la habilidadpara modelizar la nueva situación, incorporar la reflexión lógico-deductiva y argumenta-ciones y utilizar otras destrezas matemáticas adquiridas, para resolver problemas y reali-zar investigaciones.

TEMPORALIZACIÓNBloque 1: Estadística y probabilidad (hasta 29 de enero)

Tema 1º ………………………………………………. 8 sesionesTema 2º ………………………………………………. 8 “Tema 3º ………………………………………………. 8 “Tema 4º ……………………………………………….. 8 “Tema 5º ………………………………………………. 8 “Tema 6º ……………………………………………….. 10 “

Bloque 2: Análisis (hasta 8 de abril)

Tema 7º ……………………………………………….. 10 “ Tema 8º ……………………………………………….. 4 “Tema 9º ……………………………………………….. 8 “ Tema 10º ………………………………………………. 6 “Tema 11º …………………………………………...….. 6 “ Tema 12º ………………………………………………. 5 “Tema 13º ………………………………………………. 3 “

Bloque 3: Álgebra (hasta 19 de mayo)

Tema 14º ………………………………………………. 5 “ Tema 15º ………………………………………………. 5 “Tema 16º ………………………………………………. 5 “ Tema 17º ………………………………………………. 5 “


LA EVALUACIÓN EN BACHILLERATO.

Entendemos la evaluación como un proceso integral, en el que se contemplan diversas di-mensiones o vertientes: análisis del proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas, análisisdel proceso de enseñanza y de la práctica docente, y análisis del propio proyecto curricular.

EVALUACIÓN DEL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LOS ALUMNOS Y ALUMNAS.

La evaluación se concibe y practica de la siguiente manera:

• Individualizada, centrándose en la evolución de cada alumno y en su situación inicial yparticularidades.

• Integradora, para lo cual contempla la existencia de diferentes grupos y situaciones y la fle-xibilidad en la aplicación de los criterios de evaluación que se seleccionan.

• Cualitativa, en la medida en que se aprecian todos los aspectos que inciden en cada situa-ción particular y se evalúan de forma equilibrada los diversos niveles de desarrollo delalumno, no sólo los de carácter cognitivo.

• Orientadora, dado que aporta al alumno o alumna la información precisa para mejorar suaprendizaje y adquirir estrategias apropiadas.

• Continua, ya que atiende al aprendizaje como proceso, contrastando los diversos momen-tos o fases. Se contemplan tres modalidades:

- Evaluación inicial. Proporciona datos acerca del punto de partida de cada alumno, pro-porcionando una primera fuente de información sobre los conocimientos previos y ca-racterísticas personales, que permiten una atención a las diferencias y una metodologíaadecuada.

- Evaluación formativa. Concede importancia a la evolución a lo largo del proceso, confi-riendo una visión de las dificultades y progresos de cada caso.

- Evaluación sumativa. Establece los resultados al término del proceso total de aprendiza-je en cada período formativo y la consecución de los objetivos.

Asimismo, se contempla en el proceso la existencia de elementos de autoevaluación y coe-valuación que implica a los alumnos y alumnas en el proceso.

CRITERIOS DE CALIFICACIÓN EN BACHILLERATO.

Para evaluar a los alumnos de Bachillerato, los profesores de este Dpto. utilizarán los si-guientes instrumentos:

Pruebas escritas. Observación directa en el aula (realización de tareas en el aula y en casa, participación

en clase).

Mientras no se dicten instrucciones específicas referentes al procedimiento de evaluaciónen Bachillerato conforme a la L.O.M.C.E., aplicaremos el procedimiento que hemos venidoutilizando en cursos anteriores, esto es:

En 1º de Bachillerato la calificación se obtendrá del siguiente modo:Dando un 90% a las pruebas escritas y un 10% a la observación directa en el aula (cua-

derno e intervenciones en clase). En cada evaluación se procurará hacer al menos dos pruebasescritas, siendo la calificación de esta parte la nota media de las mismas; aunque para hallardicha media es necesario no obtener menos de un tres en ninguna de las pruebas escritas. Encaso contrario la calificación será de insuficiente y el alumno deberá recuperar la parte de ma-teria no aprobada.


Una vez hechas las pruebas de recuperación de cada evaluación, donde cada alumno sepresentará a las partes que haya suspendido, si de nuevo suspende, entonces en la evaluaciónfinal deberá presentarse a una prueba de todo el temario correspondiente a esa evaluación.

En 2º de Bachillerato la calificación se obtendrá del siguiente modo:

Dando un 90% a las pruebas escritas y un 10% a la observación directa en el aula.

En 2º de Ciencias de la Naturaleza y Tecnológico la calificación final se obtiene dando un50% al Análisis, un 25% al Álgebra y otro 25% a la Geometría.

En 2º de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales la nota final corresponde en un50% a la Estadística, un 25% al Análisis y el otro 25% al Álgebra.

En ambas modalidades, la materia se ha de aprobar por bloques completos, siendo talesbloques los indicados anteriormente.

Después de cada evaluación en 1º y después de cada bloque en 2º, se propondrá una pruebade recuperación a los alumnos que no la hayan superado.

Los alumnos que deseen subir nota lo harán al finalizar el curso y deberán presentarse auna prueba escrita de toda la materia, diferente a la prueba de recuperación.

Antes de la evaluación final de junio, se propondrán pruebas escritas a los alumnos, que lespermita recuperar los contenidos del curso con evaluación negativa.

Se propondrán pruebas escritas extraordinarias para aquellos alumnos con evaluación ne-gativa en la evaluación ordinaria.

RECUPERACIÓN DE ALUMNOS DE 2º CON LA MATERIA PENDIENTE DE 1º DE BACHILLERATO

Para los alumnos de 2º de Bachillerato con las Matemáticas de 1º "pendiente”, no se hanestablecido clases presenciales de apoyo, ni hora de consulta en el Dpto. por no haber horasdisponibles, por tanto se procurará orientar a los alumnos puntualmente.

Tendrán dos pruebas escritas a lo largo del curso, en las fechas que se indican más adelan-te. Junto con la última prueba se propondrán cuestiones correspondientes a la primera, paraque puedan recuperarla si no fue superada en su momento.

En la 2ª semana del mes de junio los alumnos que sigan teniendo la materia de 1º pendien-te, tendrán una prueba extraordinaria que incluirá contenidos de toda la materia.

Calendario:

1ª Prueba: 27 enero 2ª y 3ª h.2ª Prueba: 6 abril 2ª y 3ª h.

EVALUACIÓN EXTRAORDINARIA.

Para los alumnos que por absentismo escolar o enfermedad prolongada, no pudieran serevaluados de forma continua, el Dpto. propondrá una prueba oral y/o escrita que deberán rea-lizar los alumnos al final del curso. Dependiendo de las circunstancias personales de cadaalumno, se podrá proponer, además, la realización de uno o varios trabajos que permitan valo-rar la adquisición de las capacidades expresadas en los objetivos del área.


disposición 37 del boe núm. 3 de 2015ñas.es/paginas/departamentos/programaciones... · pacidad...

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