diseño e implementación de una actividad de estudio e
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Diseño e implementación de una actividad de
estudio e investigación a partir de la pregunta
¿Cómo se puede medir un fractal?
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
2015
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Diseño e implementación de una
actividad de estudio e investigación a
partir de la pregunta
¿Cómo se puede medir un fractal?
Profesora Patricia Farias
Tesis de Licenciatura
realizada bajo la dirección
de la Dra. María de los
Ángeles Fanaro, y la
codirección de la Dra.
Verónica Parra presentada
en la Facultad de Ciencias
Exactas de la Universidad
Nacional del Centro de la
Provincia de Buenos Aires,
como requisito parcial para
la obtención del título de
Licenciado en Educación
Matemática Tandil –
Diciembre 2015.
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Quiero agradecer:
A la Universidad Nacional del Centro y a la Facultad de Ciencias Exactas por apoyarme en
mi formación profesional.
A mi directora Dra. María de los Ángeles Fanaro por su paciencia, confianza y apoyo
intelectual recibido en cada etapa de la investigación y redacción de la tesis.
A mi codirectora Dra. Verónica Parra por sus aportes, aliento y apoyo intelectual recibido en
cada etapa de la investigación y redacción de la tesis.
A Nadia por las tardes de trabajo compartidas, sus aportes, las charlas y aliento declarado en
cada momento. Agradezco haber investigado en conjunto con ella.
A Edgardo por alentarme en cada emprendimiento y darme fuerza para avanzar.
A mis hijos Valentina y Agustín por ser mis soles.
A mi madre por estar siempre.
A Sofía por leer el trabajo y hacer aportes para su redacción.
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Índice: Página:
Resumen…………………………………………………………………………..…………6
Organización de la investigación……………………………………………..…………..…7
Capítulo I: Introducción
Presentación del problema de investigación……………………………………..………….9
Antecedentes del problema de investigación……………………………………....………10
Objetivos de la investigación…………………………………………………..…………..17
Preguntas de investigación…………………….……………………………..…………….17
Capítulo II: Marco Teórico
La Teoría Antrpológica de lo Didáctico (TAD)…………………………………..………..18
Praxeologías matemáticas u Organizaciones matemáticas (OM)…………….……………20
Los Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y las Actividades de Estudio e Investigación
(AEI)……………………………………………………..…………………………..…….22
Funciones Didácticas: Topogénesis, mesogenesis y cronogénesis………………...………24
Capítulo III: Metodología de la investigación…………………………………………..27
Capítulo IV: Modelo Praxeológico de Referencia………………………………………30
Esquema 1: OM vinculadas a Q0……………......…………………………………………32
Esquema 2: Pregunta generatriz (Q0) y sus posibles cuestiones derivadas………………...33
Esquema 3: MPR………………………………………...…………………………………34
Capítulo V: Diseño de la AEI…………………………………………………………….55
Esquema 4: Tipos de tareas que se desprenden de Q0………………………………...…...56
Capítulo VI: Implementación de la AEI y descripción de las clases…………………..69
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Capitulo VII: Conclusiones………………………………………………………..……109
Capítulo VII: Referencias………………………………………………………………111
Anexo
Transcripción de audios generales de las clases…………………………………………..116
Notas de campo……………………………………………………………………………125
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Resumen
Con fundamento en la Teoría Antropológica de lo Didáctico se diseñó un Modelo
Praxeológico de Referencia (MPR) en el que se describen las relaciones de las obras
matemáticas vinculadas a fractales, un contenido introducido recientemente en los diseños
curriculares de la Provincia de Buenos Aires. La construcción y análisis del MPR se encuadra
en el nuevo paradigma de la pedagogía de la investigación y el cuestionamiento del mundo
(Chevallard, 2012, 2013). Este modelo constituyó la base para el diseño de una Actividad de
Estudio e Investigación (AEI), cuyo recorrido permite cubrir distintas organizaciones
matemáticas correspondientes al ciclo superior de la escuela secundaria. La AEI se
implementó, en un curso del último año de la escuela secundaria En este trabajo de tesis se
describen las características del MPR construido, se presentan las actividades de la de la
AEI, que parte de la cuestión generatriz ¿Cómo se puede medir un fractal? Se describe el
proceso de estudio generado a partir de la implementación de la AEI. Las acciones y actitudes
de los estudiantes en la dinámica de trabajo planteada, implicó modificaciones a nivel de la
mesogénesis, la topogénesis y cronogénesis. Es posible afirmar que los estudiantes lograron
otorgar sentido a los conceptos matemáticos de fractales.
Palabras claves: Fractales- Actividades de Estudio e investigación – Funciones Didácticas-
Escuela secundaria.
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Organización de la investigación
En el Capítulo I se delimita y justifica el problema de investigación. Se presenta cuáles son
los antecedentes y el estado actual del conocimiento sobre el tema, se justifica la
investigación, se definen los objetivos generales y particulares; y se plantean las preguntas
de investigación.
En el Capítulo II se describe la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) de Yves
Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009,2012, 2013) que sirve de marco teórico a esta
investigación. Se describen actitudes de la Pedagogía de la Investigación y el
cuestionamiento del mundo (PICM), y el concepto de organización matemática (OM). Se
caracterizan los dispositivos didácticos REI y AEI; y se definen las funciones didácticas.
En el Capítulo III se caracteriza la metodología utilizada en cada etapa de la investigación
y el contexto de implementación de la AEI.
En el Capítulo IV se describe Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) construido para
el estudio de fractales. Se analiza la relación de la OML Fractales con 15 OMP involucradas
en su estudio. Se presentan 3 esquemas que muestran las posibles relaciones que se puede
establecer entre las cuestiones y las OMP.
En el Capítulo V se describe el diseño de la Actividad de Estudio e Investigación. Aquí se
presentan actividades para el estudio de la OML Fractales y su relación con posibles técnicas
y OMP que su resolución puede involucrar.
En el Capítulo VI se describe el desarrollo de las clases durante la implementación de la AEI
y se analiza las repuestas que aportan los estudiantes en términos de técnicas utilizadas y
OMP encontradas o construidas.
En el Capítulo VII corresponde a las conclusiones finales. Se reflexiona acerca de las OM
construidas o reencontradas durante el proceso de estudio y las actividades que se
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resolvieron. Se presenta una síntesis del análisis realizado de la implementación y resultados
de la AEI en términos de las de las funciones didácticas.
En el Capítulo VIII se detallan las referencias.
En Anexos se incluyen las resoluciones de los estudiantes, las transcripciones de los audios
generales de las clases y las notas de campo.
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Capítulo I
INTRODUCCIÓN
1.1 Presentación del problema
El proceso de enseñanza de la matemática en el nivel secundario presenta problemas
complejos e ineludibles, que comportan para docentes y estudiantes altos niveles de
frustración (Otero, Fanaro, Corica, Llanos, Sureda, Parra, 2013). Esto se debe a que
actualmente la enseñanza de la matemática se reduce a estudiar un conjunto de obras
muertas, que carecen de sentido y de razones de ser, lo que Chevallard (2004) denomina
monumentalización, donde los saberes se presentan como si fueran acabados e
incuestionables. Este autor desarrolla la Teoría Antropológica de lo Didáctico, proponiendo
la llamada pedagogía de la investigación y cuestionamiento del mundo, que se propone
enfrentar la segmentación y la pérdida del sentido del saber. Otero (2013) defiende que esta
nueva pedagogía conduce a la formación de ciudadanos críticos, que se problematizan y
ejecutan libremente el ejercicio de preguntar y de enfrentar cualquier pregunta. En la
actualidad la TAD propone un programa de investigación didáctica que agrupa a una
comunidad de más de un centenar de investigadores en distintos países (Serrano, 2013). El
diseño e implementación de propuestas diseñadas en función de este marco teórico, como
por ejemplo los dispositivos didácticos Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y
Actividades de Estudio e Investigación (AEI), tienen un gran potencial para recuperar un
sentido y una razón de ser del estudio de la matemática, y de otras disciplinas en distintos
niveles de enseñanza. Situados en el referencial de esta teoría, el problema didáctico se centra
en favorecer cambios en la forma de hacer matemáticas, modificando de forma sustancial el
modelo pedagógico imperante. Se busca sustituir la pedagogía monumentalista que conlleva
a la eliminación sistemática de las preguntas, por la pedagogía de la investigación y el
cuestionamiento del mundo (Chevallard 2004, 2007, 2013).
En esta investigación, se propone abordar el estudio de la organización matemática
(OM) Fractales, introducida en el año 2011en el diseño curricular de 6° año de Matemática
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Ciclo Superior de la Provincia de Buenos Aires. Actualmente se reconocen numerosos
campos de aplicación de la geometría fractal, por ejemplo, en física, medicina, geografía,
economía, arte, hasta la generación de imágenes cinematográficas. Este nuevo conocimiento
está permitiendo interpretar estructuras de la naturaleza. Las formas que se encuentran en el
mundo real poseen una riqueza de detalles, complejidad e irregularidad que no pueden
describirse con la Geometría clásica, la Geometría de Euclides (Nápoles Valdes, 2003).
La incorporación del estudio de fractales en el diseño curricular del último año de la
educación secundaria, situándolos en contextos reales que muestren su necesidad y
justifiquen su uso, permitiría no sólo recuperar un sentido de su estudio, sino también
recuperar y relacionar otros saberes a estudiar propuestos en los programas curriculares del
nivel secundario. Además, la enseñanza de los fractales posibilita mostrar la relación
intrínseca entre los avances de la tecnología y los del conocimiento científico: el
conocimiento actual de fractales se hizo posible gracias a la aparición de sistemas de
procesamiento masivo de información. Abordar una rama contemporánea de la matemática
en pleno desarrollo permite contradecir la visión de una ciencia matemática acabada y de una
enseñanza de la misma descontextualizada.
Buscando introducir gestos de la pedagogía de la investigación y del cuestionamiento
del mundo en la escuela secundaria, en este trabajo de tesis se construyó un MPR y se diseñó,
implementó y describió una posible Actividad de Estudio e Investigación (AEI) para el
abordaje de la enseñanza de fractales en el último año del nivel secundario.
1.2 Antecedentes del problema de investigación
1.2.1 Antecedentes relativos a introducir gestos de la PICM en los sistemas educativos.
En el nivel universitario se puede mencionar la tesis doctoral de Barquero (2009)
realizada en España. Esta investigación consistió en la implementación y análisis de una
enseñanza por REI cuyas preguntas generatrices corresponden a la dinámica de poblaciones.
La implementación se realizó con estudiantes de ingeniería técnica química industrial de la
Universidad Autónoma de Barcelona. La experimentación tuvo lugar dentro del curso
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denominado “Taller de Modelización Matemática”, que se desarrolló durante todo el curso
usual de matemática de forma más o menos independiente a la evolución del mismo
(Barquero, 2009: 196). Los resultados mostraron que el desarrollo de tres REI permitió cubrir
el programa de estudios del curso de matemática.
Por otro lado, Serrano, Bosch y Gascón (2007) diseñaron e implementaron un REI
cuya pregunta generatriz fue “¿Cómo hacer una previsión de ventas?”. La experimentación
se realizó en un primer curso de matemáticas para la Administración y Dirección de
Empresas de la Universidad Ramon Llull de Barcelona. Cabe destacar que las condiciones
de impartición de esta asignatura no corresponden a las de una enseñanza tradicional. En
primer lugar, la universidad organiza los grupos de alumnos entre 30 y 60 alumnos y además,
los cursos se desarrollan bajo el nombre de “Taller de Modelización Matemática”. En
segundo lugar, el profesor responsable de elaborar el programa de la asignatura es un
investigador en didáctica de la matemática que trabaja en el marco de la TAD, así como dos
de los tres profesores que trabajan en el curso. (Serrano, Bosch y Gascón, 2007: 3).
Respecto al nivel secundario García, Bosch, Gascón y Ruiz (2007) proponen estudiar
preguntas relativas a los planes de ahorro. Este diseño fue implementado en la Educación
Secundaria Obligatoria española. Las preguntas hacían referencia a la simulación de planes
de ahorro, a los diferentes tipos de variación, al número de cuotas y al valor de los parámetros
iniciales y al cálculo de las cantidades acumuladas en cada plazo hasta obtener la cantidad
final ahorrada. Ruiz, Bosch y Gascón (2007) proponen la realización de un Taller de
Matemática para alumnos de Secundaria, donde se planteó la pregunta de cómo conseguir un
determinado beneficio en la producción y venta de camisetas.
Por su parte, Fonseca, Pereira y Casas (2011) desarrollaron un Taller de Matemática
con el objetivo de experimentar un modelo particular de REI. Realizaron la experimentación
en un primer curso de matemática de las Escuelas de Ingeniería Industrial y Forestal de la
Universidad de Vigo. La propuesta permitiría abordar las preguntas relativas a la
optimización de funciones, comenzando en la Secundaria y luego, continuando en la
Universidad donde retomarían las organizaciones matemáticas construidas previamente
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(Fonseca et al, 2011: 247). El REI parte de la pregunta siguiente: Se quiere construir un
contenedor con volumen máximo para guardar material reciclable de base rectangular a
partir de una plancha de ancho de 14m y de largo 20m recortando cuadrados en las cuatro
esquinas. ¿Cuál es el volumen del contenedor si la altura toma diferentes valores? Una de
las conclusiones obtenidas en este trabajo fue que si bien el REI pudo ponerse en marcha,
una de las dificultades que surgieron fue que los estudiantes aún no estaban familiarizaos con
la forma de trabajo que requiere una enseñanza de este tipo.
Por último, cabe mencionar el trabajo de Ruiz-Higueras y García García (2011)
quienes describieron y analizaron, con base en la metodología de estudios de casos, las
praxeologías matemático-didácticas que surgen al realizar tareas de modelización
matemática de un sistema dinámico de variación en una enseñanza por REI. En la propuesta
participaron una maestra y un grupo de alumnos de la educación infantil (niños de 3 a 6 años).
En el REI diseñado, el sistema está configurado por una colección de gusanos de seda que va
a sufrir una serie de transformaciones (metamorfosis) a lo largo del tiempo. El REI enfrenta
a los niños a un sistema en el que no sólo trabajan sobre diferentes cantidades de magnitudes
discretas, sino que además surge la necesidad de medirlas y de formular esta medida. Entre
las conclusiones de este trabajo, podemos destacar la metodología utilizada para la
descripción de la praxeología a partir de las funciones didácticas topogénesis, mesogénesis y
cronogénesis, así como también la introducción de la modelización en una etapa educativa
tan temprana.
En la Argentina, en el nivel universitario, podemos mencionar el trabajo de Costa,
Arlego y Otero (2014) quienes diseñaron e implementaron una enseñanza por REI
codisciplinar en un curso de ciclo básico de matemática de la Facultad de Ingeniería de la
Universidad de La Plata. La pregunta generatriz del REI es ¿Cómo construir edificaciones
sustentables? Esta pregunta y sus derivadas permiten recuperar el sentido y las razones de
ser del Cálculo Vectorial integrando campos como la Termodinámica, la Mecánica de los
Fluidos, la Hidrodinámica, la Electricidad y el Magnetismo. El análisis de datos se realizó a
partir de la escala de niveles de codeterminación didáctica y una de las conclusiones de este
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trabajo es que han surgido condicionamientos en las diferentes escalas que dificultan el
desarrollo del REI.
En la escuela secundaria, mencionamos los trabajos de Gazzola, Llanos y Otero
(2011); Llanos, Bilbao y Otero (2011); Llanos y Otero (2011); Llanos, Otero y Bilbao (2011)
y Otero y Llanos (2011) quienes abordaron una enseñanza por REI dentro de cursos usuales
de Matemática en la Escuela Secundaria, cuya pregunta generatriz refiere al estudio de
funciones asociadas a las posibles operaciones y las diferentes curvas que se elijan. Por su
parte, los trabajos de Donvito (2013a, 2013b y 2013c), Donvito, Sureda, Otero (2013)
describen y analizan la viabilidad de un REI desarrollado en tres escuelas secundarias,
alrededor de los planes de ahorro.
Parra, Otero y Fanaro (2013; 2015) diseñaron, implementaron y analizaron un REI a
partir de preguntas relativas a ¿Cómo calcular el punto de equilibrio en un modelo de
mercado? y ¿Cómo variará exactamente el equilibrio si se varían los parámetros del
modelo? Se realizó la implementación en un curso del último año del nivel secundario, en
las clases habituales de Matemática, no en clases tipo “Taller” ni en clases paralelas. Se
describió el proceso de estudio a partir del funcionamiento de cada una de las dialécticas
identificando una serie de indicadores respecto de cada una de ellas.
Recientemente el trabajo de Gazzola, Otero, Llanos y Arlego (2015) diseña,
implementa y evalúa un REI codisciplinar a la física y la matemática en cursos de los últimos
años del nivel secundario a partir de la pregunta generatriz: ¿Por qué se cayó la Piedra
Movediza de Tandil? Los resultados muestran que las restricciones imperantes en la Escuela
Secundaria reducen fuertemente la amplitud del REI. Sin embargo, los resultados son
alentadores respecto de la receptividad de los estudiantes a estudiar Física durante las clases
de matemática. También se muestra cómo los conceptos físicos ayudan a dar sentido a ciertos
conceptos matemáticos y viceversa.
1.2.2 Antecedentes relativos a la enseñanza de fractales en la escuela secundaria
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La búsqueda bibliográfica relativa a la Investigación sobre la Enseñanza de los
fractales para estudiantes de la escuela secundaria, indica que los primeros trabajos datan del
año 1990, como se describen brevemente a continuación. Barton (1990) presenta el “juego
del caos” que produce imágenes fractales con el uso de un programa computacional,
generando un interés considerable entre los estudiantes. Bannon (1991) analiza diferentes
transformaciones lineales para la generación de fractales y propone tres programas
computacionales para trabajarlas en las escuelas, de manera similar a Cibes (1990) y Coes
(1993), que proponen el uso de materiales manipulables para construir modelos fractales.
Dewdney (1991) se enfoca en las formas fractales de la naturaleza para abordar su enseñanza.
Egnatoff (1991) introduce ejemplos de exploración computacional en líneas costeras y
crecimiento de poblaciones. Esbenshade Jr. (1991) calcula con los estudiantes la dimensión
fractal de objetos ordinarios como una rodaja de pan; Harrison (1992) se refiere a la
geometría fractal en el currículo y propone que esta es una maravillosa “arena” para la
combinación de experimentación en la computadora y visión geométrica; Ko y Bean (1991)
en un programa para estudiantes jóvenes describen cómo es que el formar bolas de papel
arrugado exhibe el concepto de una dimensión topológica semejante a la de los fractales.
Lewis y Kaye (1991) muestran reportes de grupos de trabajo sobre fractales y caos para
estudiantes de secundario; Reinstein, Sally y Cmp (1997) describen una actividad para el
salón de clases diseñada para que los estudiantes exploren la geometría fractal en un ambiente
cooperativo.Simmt y Davis (1998) proponen la utilización de tarjetas fractales que llevan a
la interpretación e investigación matemática.
Respecto a publicaciones más recientes sobre enseñanza de fractales en la escuela
secundaria, se identifican algunos trabajos que presentan diferentes formas de generar
fractales y algunas de sus aplicaciones, como se presentan a continuación
Redondo y Haro (2004, 2005), desarrollan el concepto de fractal, su dimensión y la
generación de algunos tipos de fractales junto a un estudio exhaustivo del triángulo de
Sierpinski. Figueiras, Molero, Salvador y Zausti (2000) argumentan la utilidad de trabajar
con fractales ya que permiten volver a hablar de Geometría en el aula desde una perspectiva
moderna. No sólo favorece el abordaje e interrelación de otros contenidos de matemática sino
que los autores expresan que es un tema motivador para los estudiantes. Ofrecen una
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secuencia de actividades y la utilización de programas computacionales como Cabri y
Fracting. Villarreal y Fernández (2005) proponen la construcción de dos fractales clásicos,
conjunto de Cantor y el Triángulo de Sierpinski, a través de una serie de instrucciones donde
el estudiante va reconociendo las características del fractal a partir de la observación y, a
medida que avanza el proceso instructivo, se desarrolla el planteamiento de hipótesis.
Moreno (2002) resalta la incorporación de los fractales a la matemática escolar como
un recurso interesante que combina curiosidad, sencillez y belleza, y propone una secuencia
de actividades que comienza con el diseño de patrones, para luego pasar a una segunda etapa
que denomina “taller de fractales”, donde se utilizan materiales geométricos para la
construcción de modelos. En una tercera etapa se propone relacionar los modelos
geométricos y los numéricos, utilizando tablas donde se busca la generalización para facilitar
la interpretación sobre el proceso de construcción.
Por otra parte, algunas propuestas se refieren a actividades de tipo investigativo, como
se muestra a continuación:
Moreno (2003a) plantea una propuesta de actividades para un trabajo de investigación
en la escuela secundaria, a través del estudio de familias de triángulos y tetraedros fractales
de algoritmo lineal común. Con materiales sencillos, como hojas de malla triangular y
pegatinas triangulares, se propone una serie de tareas que incluyen el recuento y la tabulación
de elementos, la observación espacial de formas, búsqueda de regularidades e inferencias,
cambios de escala, la representación gráfica de las relaciones funcionales obtenidas, etc., que
generan situaciones de aprendizaje en cualquiera de los niveles de enseñanza secundaria.
Este mismo autor (Moreno, 2003b) presenta otra propuesta, una recreación sobre el
juego del caos, compuesta por la experimentación y estudio de diferentes transformaciones
geométricas lineales, con el uso de la calculadora gráfica. Se desarrolla el juego del caos
porque se pueden trabajar las transformaciones lineales en el plano, uno de los objetivos de
las Matemáticas en Secundaria. Se propone una dinámica de pequeñas investigaciones,
donde se realizan observaciones sistemáticas; se clasifican y expresan en diferentes
lenguajes; se resuelven problemas por el método analítico y el método gráfico y se interpretan
representaciones y deducen relaciones geométricas de las mismas. El autor resalta que el
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aprendizaje de la geometría analítica se consigue en muchas ocasiones desde la práctica de
ejercicios de investigación como los presentados en su propuesta.
Comas Roqueta y Herrera Pons (2010) presentan la implementación de un trabajo de
investigación en 4º año de secundaria para el cálculo de la dimensión fractal del contorno de
una ciudad. Se analizan visualmente imágenes por satélite obtenidas del programa Google
Earth y se digitaliza el contorno con un programa de dibujo. Cada uno de los contornos
obtenidos es una curva a la que se puede calcular computacionalmente una estimación de la
dimensión fractal mediante el Método de Conteo de Cajas (Box- Counting). Las autoras
concluyen que la experiencia permitió a los estudiantes conocer el comportamiento y utilidad
de los fractales en nuestra sociedad.
Cañibano, Sastre Vazquez y Gandini (2011) también proponen medir el contorno de
un accidente fisiográfico, en este caso una laguna. El método de Box- Counting se basa en
correlacionar las observaciones a diferente escala de la misma escena. Remarcan la necesidad
de innovar en el aula para desmitificar la enseñanza de la matemática, sacarla de ese papel
riguroso que se impone en las aulas.
Gallardo, Martínez-Santaolalla, Molina, Peñas, Cañadas, Crisóstomo (2005)
muestran los resultados de una experiencia donde los alumnos de 2º construyen un mural de
cartulina sobre los fractales, como forma de extraer propiedades de los mismos y así concluir
con una aproximación del concepto. Remarcan que la principal dificultad de los alumnos fue
percibir que el concepto de fractal implica la recursividad de un patrón previo.
Si bien hace cerca de una quincena de años que la enseñanza de los fractales viene
ocupando a los investigadores, en general las publicaciones se enmarcan en propuestas
didácticas específicas para la construcción de fractales, desde una pedagogía tradicional. En
conclusión, una revisión de los trabajos antes mencionados muestra que queda aún mucho
por explorar sobre la enseñanza de la Geometría Fractal en los distintos niveles educativos,
y más aún en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico.
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1.3 Objetivos de Investigación
Objetivos generales:
Diseñar dispositivos que promuevan relaciones funcionales con la matemática,
implementarlos y evaluarlos.
Contribuir al desarrollo del área de investigación en Enseñanza de la Matemática.
Objetivos Particulares:
1. Construir un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR) relativo a fractales para el
ciclo superior de la escuela secundaria.
2. Diseñar una Actividad de Estudio e Investigación (AEI) para el estudio de fractales
en el 6° año de la escuela secundaria a partir de la cuestión generatriz ¿cómo se puede
medir un fractal?
3. Implementar la AEI para el estudio de fractales en un curso de 6° año de la escuela
secundaria, y describir su desarrollo.
1.4 Preguntas de Investigación
1- ¿Qué organizaciones matemáticas es posible construir o reconstruir para dar respuesta a
la pregunta Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal??
2- ¿Qué actividades podrían proponerse a los estudiantes de un curso de 6° año de la escuela
secundaria para dar respuesta a la pregunta: ¿Cómo se puede medir un fractal??
3- ¿Cómo se caracteriza, en el marco de la TAD, el proceso de estudio llevado a cabo a
partir de la implementación de la AEI para la enseñanza de fractales en 6° año de matemática
de la escuela secundaria?
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Capítulo II
MARCO TEÓRICO
2.1 La teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD)
Este trabajo adopta como referencial teórico la Teoría Antropológico de lo didáctico
(TAD) de Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009,2012, 2013) y en particular, las nociones
de las denominadas funciones didácticas: mesogénesis, topogénesis y cronogénesis,
(Chevallard, 2009) como instrumentos teóricos para su descripción y análisis.
La TAD sitúa la actividad matemática, en consecuencia la actividad del estudio en
matemáticas, en el conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales (Chevallard,
1999).
Esta teoría plantea una redefinición del modelo de enseñanza tradicional y de la
pedagogía dominante en la cual la matemática se presenta como un conjunto de obras ya
hechas, terminadas y cerradas, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar,
produciéndose un fenómeno que se denomina monumentalización del saber. Como
consecuencia de este paradigma tradicional, aplicacionista y monumentalista, se produce el
fenómeno denominado: pérdida de sentido de las cuestiones matemáticas que se estudian o
se proponen explícita o implícitamente en una institución. Para enfrentar estos fenómenos la
TAD propone la utilización de dispositivos didácticos llamados actividades y recorridos de
estudio e investigación, (Chevallard, 2004, 2005, 2006, 2007, 2009), permitiendo instalar
elementos de la Pedagogía de Investigación y Cuestionamiento del Mundo (PICM). Este
nuevo paradigma de “interrogar al mundo” es clave para superar el paradigma clásico de
“visitar los saberes” (Chevallard 2013).
La PICM descansa en cinco actitudes interrelacionadas:
La Actitud de Problematización donde una pregunta deviene en un problema y para
responderla es preciso adquirir nuevos equipamientos praxelógicos o explorar nuevos
campos de conocimiento.
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Herbartiana es receptiva hacia preguntas que aún no han sido respondidas,
especialmente las que involucran matemática.
Procognitiva se trata de conocer hacia adelante, de avanzar en lugar de mirar atrás,
pero también, de estudiar a toda edad y en cualquier momento.
Exotérica es la actitud de quien acepta que el conocimiento siempre es a conquistar o
controlar.
Enciclopedista ordinario es un ciudadano que posee una formación relativamente
universal, alguien que sabe “poco” de muchos asuntos, pero que está en condiciones de
aprender y de buscar, lo contrario sería, saber “mucho de poco”, con lo cual sería un
especialista. (Chevallard, 2012)
La TAD asume que el saber matemático se construye como respuesta a situaciones
problemáticas y, que surge como el producto de un proceso de estudio. Aparecen aquí dos
aspectos inseparables del trabajo matemático: por un lado, el proceso de construcción
matemática, esto es el proceso de estudio y, por otro lado, el resultado mismo de esta
construcción, es decir la praxeología matemática. En efecto no hay organización matemática
sin un proceso de estudio que la engendre, pero tampoco hay proceso de estudio sin una
organización matemática en construcción.
La actividad matemática y el saber que de ella emerge en términos de organizaciones
o praxeologías matemáticas (OM) está compuesta por tipos de problemas o tareas
problemáticas , tipos de técnicas que permitan resolver los tipos de problemas; tecnologías o
discursos que describen y explican las técnicas y una teoría que fundamenta y organiza los
discursos tecnológicos. Los tipos de problemas y los tipos de técnicas constituyen el “saber
hacer” matemático, mientras que los discursos tecnológicos y teóricos conformarían el
“saber” matemático propiamente dicho.
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2.2 Praxeología matemática u organización matemática (OM)
Uno de los conceptos clave de la teoría antropológica de lo didáctico es la noción de
«organización praxeológica» o «praxeología». Según indica Y. Chevallard (2006b):
Una praxeología es, de algún modo, la unidad básica en que uno puede analizar la
acción humana en general. [...] ¿Qué es exactamente una praxeología? Podemos
confiar en la etimología para guiarnos aquí. Uno puede analizar cualquier acto
humano en dos componentes principales interrelacionados: praxis, i.e. la parte
práctica, por un lado, y el logos, por el otro. «Logos» es una palabra griega que,
desde los tiempos presocráticos, ha sido utilizada constantemente para hacer
referencia al pensamiento y razonamiento humano —particularmente sobre el
cosmos. [...] [De acuerdo con] un principio fundamental de la TAD, no pueden existir
acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, «explicadas», hechas
«inteligibles», «justificadas», «contabilizadas», en cualquier estilo de
«razonamiento» que pueda abrazar dicha explicación o justificación. La praxis, por
tanto, implica el logos que, a su vez, implica volver a la praxis.
Como toda obra humana, una praxeología surge como una respuesta a un conjunto de
cuestiones y a la vez como un medio para realizar, en el seno de cierta institución,
determinadas tareas problemáticas. Se pueden distinguir en toda praxeología matemática dos
aspectos inseparables:
El nivel de la práctica matemática o «praxis» (saber-hacer), que consta de un
conjunto de tareas materializadas en diferentes tipos de problemas (T) y de un conjunto de
técnicas (τ) o «maneras de hacer», más o menos sistemáticas y compartidas en la institución,
que son útiles para llevar a cabo las tareas citadas.
El discurso razonado sobre la práctica o «logos» (saber), en el que se sitúan, en un
primer nivel, el discurso que describe, explica y justifica la técnica —que llamamos
tecnología (θ)—, y en un segundo nivel, la fundamentación de la tecnología, que llamamos
teoría (Θ) .
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Representamos simbólicamente una praxeología mediante estos cuatro componentes
P = [T, τ, θ, Θ].
Dentro de este modelo, “hacer matemática” consiste en activar una praxeología
matemática, es decir en resolver determinados tipos de problemas con determinados tipos de
técnicas (“el saber hacer”) de manera inteligible, justificada y razonada (mediante el
correspondiente “saber”). Este trabajo puede conducir a la construcción de nuevas
organizaciones matemáticas o, simplemente a la reproducción de organizaciones
previamente construidas.
2.2.1 Tipos de tareas (T): en la mayoría de los casos el tipo de tareas T se expresa por un
verbo, por ejemplo, dividir un entero entre otros, integrar la función f(x)=lnx. La noción de
tarea o, tipo de tarea, supone un objeto relativamente preciso; “subir una escalera” es un tipo
de tarea T, pero “subir” simplemente corresponde a lo que Chevallard denomina género de
tareas.
2.2.2 Técnicas (τ): un determinado tipo de tareas T, requiere al menos en principio, de una
manera de realizar las tareas, una determinada manera de hacer. Esto es, requiere de una
técnica τ para resolverla. Es necesario considerar que una técnica no necesariamente es de
naturaleza algorítmica o casi algorítmica. Esto ocurre sólo en casos poco frecuentes. Pero es
verdad que, en algunas instituciones parece haber cierta tendencia a la algoritmización a
propósito de tal o cuál tipo de tareas.
2.2.3 Tecnologías (θ): Se entiende por tecnología θ, un discurso racional – el logos- sobre la
técnica τ cuyo primer objetivo es justificarla “racionalmente” para asegurarse que ésta
permita realizar las tareas del tipo T, es decir, realizar lo que se pretende.
2.2.4 Teorías (Θ) Chevallard asegura que el discurso tecnológico contiene afirmaciones de
las que se puede pedir razón, se pasa entonces a un nivel superior de justificación-
explicación-producción, el de la teoría Θ, que análogamente tienen respecto a las tecnologías,
el mismo papel que éstas tienen respecto a las técnicas.
2.2.5 Niveles de praxeología u organización matemática
22
Con el fin de tener herramientas más precisas para analizar los procesos didácticos
institucionales, Chevallard (1999) introdujo la distinción de diferentes tipos de praxeologías,
según el grado de complejidad de sus componentes:
Praxeologías puntuales, están generadas por lo que se considera en la institución
como un único tipo de tareas T. Esta noción es relativa a la institución considerada y está
definida, en principio, a partir del bloque práctico-técnico [T /τ].
Praxeologías locales, resultado de la integración de diversas praxeologías puntuales.
Cada praxeología local está caracterizada por una tecnología θ, que sirve para justificar,
explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las praxeologías puntuales que
la integran.
Praxeologías regionales, se obtienen mediante la coordinación, articulación y
posterior integración, alrededor de una teoría matemática común Θ, de diversas praxeologías
locales. La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un
lenguaje común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las
diferentes tecnologías (θ) de las praxeologías locales (PL) que integran la praxeología
regional.
Praxeologías globales, que surgen agregando varias praxeologías regionales a partir
de la integración de diferentes teorías.
2.3 Los Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y las Actividades de Estudio e
Investigación (AEI)
La Pedagogía de la Investigación y del cuestionamiento del mundo propuesta por
Chevallard en el marco de la TAD, se materializa en los Recorridos de Estudio e
Investigación. Los REI son un tipo de dispositivos didáctico que tienen como principal
objetivo dar sentido y funcionalidad al estudio escolar de la matemática (Chevallard, 2009).
23
Los REI toman como punto de partida del saber una cuestión generatriz Q lo
suficientemente fecunda para dar lugar a muchas nuevas cuestiones derivadas 𝑄𝑖 . La
búsqueda de respuestas 𝑅𝑖 a estas cuestiones, debería conducir a la construcción de un gran
número de saberes, permitiendo recorrer el programa de estudio propuesto en un curso, o al
menos, una buena parte de él.
Si partimos de una cuestión generatriz Q cuyo estudio está encomendado a un grupo
de estudiantes (X), bajo la dirección de un profesor (y) o de un conjunto de profesores (Y),
generamos un sistema didáctico que podemos designar como S(X; Y; Q) cuya finalidad es la
producción de una repuesta R. Así, el sistema didáctico, necesita instrumentos, recursos,
obras, en definitiva, necesita un medio didáctico M que debe identificar, ordenar y aprender
a utilizar con el objetivo de producir R♥. El exponente ♥ colocado en R indica que la repuesta
R a la cuestión Q fue producida bajo ciertas limitaciones y “funciona” como repuesta a esa
cuestión bajo ciertas limitaciones (esto es lo que indica la ↪); así, el esquema herbatiano
semi-desarrollado resulta : [S(X; Y; Q) M] ↪ 𝑅♥. Es decir, el sistema didáctico construye
y organiza el medio M el cual engendrará o producirá (↪) una respuesta 𝑅♥.
El medio M contiene respuestas pre-construidas, aceptadas por la cultura escolar; por
ejemplo: un libro, la Web, el curso de un profesor, etc., representadas como R◊ (“R punzón”)
y por obras, por ejemplo: teorías, montajes experimentales, praxeologías, denotadas por O,
consideradas útiles para deconstruir las respuestas R◊, extraer qué de necesario hay allí para
construir la respuesta 𝑅♥. Por consiguiente, el medio M se formula de la siguiente manera:
𝑀 = {𝑅1◊, 𝑅2
◊ , 𝑅3◊ , … , 𝑅𝑛
◊ , 𝑄𝑛+1, … , 𝑄𝑚 , 𝑂𝑚+1,…,𝑂𝑝}
Chevallard (2013) define el REI de la siguiente manera:
[𝑆(𝑋, 𝑌, 𝑄) { 𝑅1◊, 𝑅2
◊, 𝑅3◊, … , 𝑅𝑛
◊ , 𝑄𝑛+1, … , 𝑄𝑚 , 𝑂𝑚+1,…,𝑂𝑝}] ↪ 𝑅♥
Los REI requieren el paso por diferentes actividades de estudio e investigación (AEI)
(Chevallard 2004, 2005, 2006), que provocan la integración de diferentes organizaciones
24
matemáticas locales (OML) en estructuras más complejas y completas. El dispositivo
denominado AEI introduce la razón de ser de la OML que se quiere construir a partir del
estudio de una cuestión a la que se tiene que dar repuesta.
El diseño de una AEI para una praxeología matemática local (PML) a enseñar, se
inicia buscando una «situación del mundo» en la que aparezca una cuestión problemática
cuya resolución permita o incluso requiera la reconstrucción de la PML en cuestión.
La noción de AEI si bien se trata de una alternativa incompleta y limitada, es viable
en nuestra escuela secundaria y permite comenzar a enfrentar el problema de la
monumentalización e instalar algunos elementos de la pedagogía de cuestionamiento del
mundo. Puesto que las AEI no resuelven satisfactoriamente el problema de la
monumentalización, Chevallard ha profundizado y generalizado dicha noción con la noción
de REI.
2.3.1 Funciones didácticas: Topogénesis, cronogénesis y mesogénesis
Para que pueda llevarse a cabo una enseñanza por REI, es necesario que la
organización didáctica posea un cierto número de condiciones relativas a las funciones
didácticas, llamadas mesogénesis, topogénesis y cronogénesis.
La mesogénesis es el proceso de fabricación del medio M. En un REI, el medio M no
está totalmente hecho o construido de antemano. El medio M es construido por la clase a
partir de las producciones diversas, tanto externas a la clase como internas a ella. Estas
últimas, incluyen particularmente las respuestas propuestas por los alumnos a partir de su
propia actividad. El “trabajo” sobre el medio cambia interactivamente en la medida en que
cambia su naturaleza. M es un producto de la clase [X, y], es decir, no solo de y. El medio
M, conformado así por las distintas y las obras disponibles O, debe permitir desarrollar
las diferentes dialécticas, en este caso, la dialéctica media-medio.
La condición mesogenética puesta en marcha en una enseñanza por REI ocurre junto
con una condición propia de la topogénesis: la construcción del medio M es un producto de
25
la clase, no solo del profesor. En el idioma griego, topos significa lugar: el topos de cada
alumno es entonces el lugar de cada estudiante, su sitio, el lugar donde experimenta la
sensación de desempeñar, en la realización de una tarea determinada, un papel a gusto para
él. En el caso de una clase, no sólo se hablará del topos del alumno, sino, también, del topos
del profesor. El topos de x se amplía considerablemente: no solo aportarán su respuesta
personal Rx, también introducirán en M toda obra que deseen. A esto corresponde un cambio
en el topos del profesor: Director del estudio de Q y de la investigación sobre Q, y podrá
introducir en M cierta respuesta , ningún media tendrá el privilegio de ser “creído bajo
palabra” (Chevallard, 2009).
La cronogénesis es lo que distingue a los REI de cualquier otro dispositivo didáctico,
porque la fabricación del medio M genera una dilatación del tiempo didáctico y una extensión
del tiempo de reloj (Chevallard, 2009). Esto se debe a que no solamente un alumno podrá
aportar su respuesta personal, sino que también podrá proponer introducir en M cualquier
obra que desee, y que considere pertinente para la elaboración de . A este cambio en el
topos de los estudiantes corresponde un cambio importante en el topos del profesor, pues es
el profesor quien decidirá, en última instancia, explicitando las razones, si la clase
incorporará o no en su medio de estudio a cierta obra. La respuesta que puede aportar el
profesor será considerada como una de las respuestas R◊.
Las AEI presentan limitaciones en el nivel de la topogénesis, puesto que las
cuestiones son regularmente formuladas por el profesor, mientras que en los REI los alumnos
deberían tener un papel destacado en la propuesta de las cuestiones a estudiar. En el nivel de
la mesogénesis, en las AEI el alumno encuentra el medio, que es en mayor medida controlado
y alimentado por el profesor -él formula las cuestiones- y por las retroacciones de los
alumnos. La AEI tendrían la estructura S(X, Y; Q; M), mientras en los REI la estructura sería
S(X, Y; Q) M, el medio está fuera de la situación y se conforma a través de la dialéctica
medio-media, con la intervención de elementos externos. Finalmente, en el REI, la
cronogénesis es funcional a la evolución de los recorridos y a la incidencia de la dialéctica
de entrar y salir del tema y a la dialéctica de las cajas negras y las cajas claras características
del proceso de gestión de un REI (Chevallard, 2007); en esta tesis se implementará una AEI
26
que permite un control del tiempo didáctico compatible con las características de un curso
habitual de la escolaridad.
27
Capítulo III
METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN
La investigación es cualitativa, de corte etnográfico y exploratorio. Se inscribe, dentro
de lo que se conoce en didáctica de las matemáticas, como ingeniería didáctica (Artigue 1990,
Brousseau 1998, Margolinas et al., 2011), y en particular, en el análisis y descripción de los
procesos de estudio generados a partir de la búsqueda de respuestas a preguntas. El marco
teórico adoptado, la TAD orientó las etapas de este trabajo no sólo porque ofreció un marco
de referencia para describir e interpretar el proceso de estudio en términos de las funciones
didácticas cronogénesis, mesogénesis y topogénesis (Chevallard, 2009), sino que también
previamente orientó la construcción del MPR y el diseño de la AEI.
Buscando construir la noción de fractal con sentido para los estudiantes, se construyó
un modelo praxeológico de referencia (MPR) en base al cual se diseñó una AEI que fue
implementada en un curso de sexto año del nivel secundario
3.1 Características del contexto de implementación de la AEI
Esta investigación se realizó en un curso de 6º año del nivel secundario con
orientación Economía y Gestión durante las clases de Matemática Ciclo Superior en el turno
mañana
La institución en la que se realizó la investigación es la Escuela de Educación
Secundaria Nº 65 del barrio La Gloria de la Peregrina, un establecimiento rural que se
encuentra a 22 Km de la ciudad de Mar del Plata, en uno de los mayores cordones de
producción frutihortícola de la provincia de Buenos Aires. La comunidad tiene un alto índice
de analfabetismo, y tanto padres como estudiantes trabajan en las plantaciones. Esta
institución si bien se encuentra en una zona rural tiene una dinámica de enseñanza tradicional.
Fue seleccionada debido a que una de las investigadoras estaba a cargo de la materia
28
Matemática Ciclo Superior de 6º año y al presentar el proyecto hubo un gran interés y
predisposición por parte de la institución para que se implemente este tipo de prácticas.
El curso estaba compuesto por trece estudiantes de edades entre 17 y 19 años. Los
intereses del grupo son diversos, algunos de ellos tienen aspiraciones de continuar los
estudios en carreras como magisterio, profesorado de matemática, enfermería, abogacía o
policía. A continuación se describen brevemente las etapas de la investigación. Cada una de
ellas será ampliada en sus correspondientes capítulos.
(a) Diseño de un Modelo Praxeológico de Referencia relativo a la pregunta: ¿Cómo
se puede construir un fractal?
Se construyó un esquema de posibles preguntas derivadas a partir de la generatriz y
las 15 organizaciones matemáticas puntuales (OMP) que son necesarias para construir la
respuesta a la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal? y a sus preguntas
derivadas.
Dado que esta pregunta generatriz no se puede contestar directa ni inmediatamente,
se requiere el planteo de otras cuestiones derivadas que necesitan ser estudiadas a través de
la construcción o reconstrucción de diferentes organizaciones matemáticas. Q0 puede derivar
en varias preguntas, como por ejemplo ¿Cómo se puede medir un fractal? o ¿Cómo se genera
un fractal teórico?, dando lugar al diseño de distintas AEI. En particular, en este trabajo se
diseña e implementa la AEI generada a partir de ¿Cómo se puede medir un fractal?
(b) Diseño de la AEI
Se diseñaron las actividades para los estudiantes considerando la institución y el
curso seleccionado para llevar a cabo la implementación.
(c) Implementación de la AEI y recolección de datos.
Durante la implementación de la AEI en el aula participaron dos investigadoras. Una
de las investigadoras fue la profesora que implementó la AEI en carácter de observador
participante, mientras que la otra investigadora tomó el rol de observador no participante,
29
realizando registros de clase. Se registró en audio general las ocho sesiones de clase que se
empleó para la implementación de la AEI. La investigadora participante tomó notas de clase
antes y luego de cada sesión. La investigadora no participante elaboró un registro detallado
en forma de narrativa de los acontecimientos ocurridos en cada clase. Las producciones
escritas de los estudiantes se retiraron clase a clase, se escanearon y fueron devueltos en la
clase inmediata siguiente, para garantizar a los estudiantes la continuidad de sus registros.
(d) Descripción de la implementación de la AEI
Para la descripción del proceso de estudio, los audios generales de las clases fueron
transcriptos y se consideraron todas las producciones realizadas por los estudiantes en base
a las actividades propuestas, así como las notas de campo de la profesora investigadora y los
registros realizados por la observadora no participante.
Se describió el proceso de estudio a partir del desarrollo de cada una de las clases y
se abordaron algunos aspectos en términos de organizaciones matemáticas movilizadas, el
lugar del profesor y los estudiantes (topogénesis), los medios y los media disponibles
(mesogénesis) y la gestión temporal del proceso (cronogénesis).
30
Capítulo IV
MODELO PRAXEOLÓGICO DE REFERENCIA
Para abordar el estudio de una praxeología o de un conjunto de praxeologías es
necesario, en términos de la TAD (Chevallard, 2012), construir un modelo praxeológico de
referencia (MPR). Este modelo consiste en el análisis y descripción de las obras matemáticas
o extra-matemáticas relacionadas con el estudio de tal praxeología. La construcción y análisis
de un MPR se encuadra en el nuevo paradigma de la pedagogía de la investigación y del
cuestionamiento del mundo cuyo objetivo primordial es establecer una relación más
funcional con el saber (Chevalard, 2012, 2013). Particularmente, en este caso, describimos
la organización matemática local (OML) Fractal, y su relación con 15 organizaciones
matemáticas puntuales (OMP) que son necesarias para construir la respuesta a la pregunta
generatriz Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal? y a sus preguntas derivadas.
Esta pregunta no se puede contestar directa ni inmediatamente, sino que requiere el
planteo de otras cuestiones derivadas que necesitan ser estudiadas a través de la construcción
o reconstrucción de las OMP. Cuando se intenta responder Q0, surge la necesidad de conocer
a qué tipo de objeto se hace referencia, y por ello podría surgir la pregunta ¿Qué es un fractal?
Al investigar para dar respuesta a dicha pregunta, resulta que los fractales tienen
características de ser objetos autosimilares y de dimensión fraccionaria, de este modo podrían
generarse nuevas preguntas, por ejemplo ¿Qué es la autosimilitud? y ¿Qué es la dimensión
fractal?
También al estudiar los objetos fractales, se encuentran diferentes clasificaciones,
teóricos o naturales, lineales o no lineales, que pueden dar lugar al surgimiento de preguntas
como ¿Qué es un fractal natural?, ¿Cómo se genera un fractal teórico?, ¿Cómo se genera un
fractal lineal?, ¿Cómo se genera un fractal no lineal? Y ¿Para qué se utilizan los fractales?
El estudio de los tipos de fractales podría llevar a la pregunta ¿Qué tipo de fractales
se pueden construir? Al hablar de la construcción surge el estudio de la medida y podrían
31
generase las preguntas ¿Cómo se puede medir un fractal? ¿Cómo se calcula el perímetro y el
área de un fractal? y ¿Cómo se calcula la dimensión?
En el proceso de estudio las cuestiones antes mencionadas no necesariamente tienen
el orden expuesto, pudiendo surgir en cualquier momento, o no, dependiendo del recorrido
de estudio realizado por los estudiantes.
Algunas cuestiones que puede generar Q0 son:
Q1,1: ¿Qué es un fractal?
Q1,2: ¿Cómo se puede medir un fractal?
Q 1,3: ¿Qué tipo de fractales se pueden construir?
Q1,4: ¿Para qué se utilizan los fractales?
Q2,1: ¿Qué es la autosimilitud?
Q2,2: ¿Qué es la dimensión fractal?
Q2,3: ¿Qué es un fractal natural?
Q2,4: ¿Cómo se genera un fractal teórico?
Q3,1: ¿Cómo se calcula la dimensión?
Q3,2: ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un fractal?
Q3,3: ¿Cómo se genera un fractal lineal?
Q3,4: ¿Cómo se genera un fractal no lineal?
La búsqueda de respuestas a estas preguntas podría conducir a la construcción o
reconstrucción de las siguientes OMP (ver esquema 1):
OMP1: Autosimilitud, OMP2: Dimensión fractal, OMP3: Área de superficies planas, OMP4:
Perímetro de superficies planas, OMP5: Procesos iterativos, OMP6: Semejanza, OMP7:
Números complejos, OMP8: Límite, OMP9: Sucesiones, OMP10: Series, OMP11: Cálculo y
representaciones computacionales, OMP12: Ecuaciones exponenciales, OMP13: Logaritmos,
OMP14: Transformaciones y OMP15: Matrices.
32
Medida
Lineales No lineales
Esquema 1: OM vinculadas a Q0
33
El esquema 2 muestra las cuestiones derivadas a partir de la cuestión generatriz Q0 y sus posibles OMP a construir o reconstruir.
Esquema 2: Pregunta generatriz Q0 y sus posibles cuestiones derivadas
34
Esquema 3: Modelo Praxeológico de Referencia
35
Al comenzar a responder la pregunta generatriz, una de las preguntas derivadas
que surgen es Q1, 1: ¿Qué es un fractal? El estudio de la definición de fractales conduce
de forma general a que los fractales se pueden caracterizar mediante las siguientes
propiedades:
Son autosimilares e independientes de la escala, es decir, que a cualquier
escala se puede observar la misma estructura.
Tienen una dimensión fraccionaria también llamada dimensión fractal,
que indica el grado de rugosidad de un objeto, que puede interpretarse como en qué
grado, una línea llena una porción del plano o un plano llena una porción del espacio.
A partir de la introducción del concepto de fractal por Benoît Mandelbrot se inicia
el desarrollo de la geometría fractal.
En el año 1958 Benoit Mandelbrot, matemático de Polonia, ingresa a trabajar a
los laboratorios de IBM y comienza a estudiar el ruido y las perturbaciones eléctricas
detectando un patrón en su comportamiento, jerarquías de fluctuaciones que no podían
ser descriptas por la matemática estadística que existía. En el año 1967 publica en la
prestigiosa revista Science, el artículo titulado: “¿Cuánto mide la costa Británica?” en el
cual Mandelbrot examina la paradoja de que la longitud de una línea costera depende de
la escala de medida, basándose en los trabajos de Gaston Julia (1918), Felix Hausdorff
(1917), y Lewis Richardson (1961) quien ya había observado que la longitud de las líneas
fronterizas aumenta en función de la unidad de medida que se utiliza.
Las dificultades para determinar de forma precisa la longitud, área o volumen de
los fractales, podría conducir a la pregunta Q1, 2: ¿Cómo se puede medir un fractal?
Para dar respuesta a esta cuestión se requiere el estudio de algunos objetos
fractales. Teniendo en cuenta el desarrollo histórico de la noción de fractal, se comienza
el estudio con un fractal natural, la costa de Gran Bretaña.
El estudio de la medida de la costa británica exige abordar la praxeología
matemática relacionada con el cálculo de perímetros, OMP4. Como con cualquier curva,
el procedimiento de medida de la frontera consiste en aproximar la curva por medio de
un camino poligonal con lados de longitud ԑ, como se muestra en la Figura 1.
36
Figura 1: Procedimiento de medida de la costa británica.
Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que ԑ → 0, se espera que
la estimación de la longitud se aproxime a un límite. De hecho, a medida que aumentamos
la resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo que la
longitud a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin límites
𝐿(ԑ) → ∞. Así a partir de un acercamiento geométrico puede construirse la idea de
infinito. El estudio de dicho límite requiere la utilización de técnicas que se fundamentan
en la OMP8 Límite.
La geometría euclídea constituyó una primera aproximación a la descripción de
estructuras de objetos físicos naturales. Y si los mismos son más o menos regulares la
geometría diferencial ofrece una excelente aproximación. Pero éstas no resultan tan
eficaces para modelar las complicadas e irregulares estructuras que aparecen en la
naturaleza. Es con el desarrollo de la geometría fractal que estas podrán ser descriptas de
forma más precisa (Mandelbrot, 1982). Hasta ese momento, la geometría clásica se
mostraba incapaz de describir objetos naturales rugosos o fragmentados, como el
contorno accidentado del litoral. Este hecho constituye una primera respuesta a la
pregunta Q1, 4: ¿Para qué se utilizan los fractales?, y además podría llevar a plantear la
pregunta Q2, 3: ¿Qué es un fractal natural?
Una nube, una cordillera, una hoja de helecho, como así también algunos
procesos como el movimiento browniano, la distribución de las estrellas en la galaxia y
el relieve terrestre, son ejemplos de fractales naturales. Otros sistemas naturales con
estructura fractal son los conocidos como caóticos, por ejemplo, las turbulencias, ya sea
en el aire o en el agua; las ramificaciones, como ser redes neuronales y ríos, y el
crecimiento de poblaciones y enfermedades.
37
Figura 2: Ejemplos de fractales naturales
En la estructura de los fractales naturales puede reconocerse la misma forma a
diferentes escalas, lo que involucra comparar medidas, técnica que se justifica en la
tecnología semejanza, OMP6. Es decir, al observar cualquier detalle del objeto, variando
la escala, podemos reconocer una estructura semejante a la forma global. Esta
característica llamada autosimilitud constituye una de las propiedades que definen a los
fractales, su análisis conduce a la construcción de la obra matemática autosimilitud,
OMP1 y permite responder a la cuestión Q2, 1: ¿Qué es la autosimilitud?
La respuesta a esta pregunta conduce a la identificación de diferentes tipos de
fractales, pudiendo diferenciarlos en dos amplias categorías según el grado de
autosimilitud. Los que presentan autosimilitud exacta son idénticos en todas sus escalas
hasta el infinito. Ejemplos de este tipo son el triángulo de Sierpinski, el copo de nieve de
Koch y la alfombra de Sierpinski (ver figura 3).
Figura 3: Ejemplos de fractales con autosimilitud exacta
Triángulo de Sierpinski Copo de nieve de Koch
cerrada
Alfombra de Sierpinski Esponja de Menger
Árbol
Hoja de Helecho
Delta de rio
38
Los que presentan autosimilitud estadística son aproximadamente idénticos a
diferentes escalas. Estos contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos, como
el conjunto de Mandelbrot y conjuntos de Julia. Los fractales naturales también son
ejemplos de este tipo (Ver figura 4).
Figura 4: Ejemplos de fractales con autosimilitud estadística
La característica de autosimilitud en los fractales naturales es finita, ya que sólo
presentan un número finito de niveles autosimilares, debido a las limitaciones físicas
propias de dichos objetos. Por ejemplo, si se observa un árbol en su totalidad, y luego una
de sus ramas, ésta última tendrá características muy similares al árbol en su totalidad. En
la misma rama se pueden encontrar otras más pequeñas y en ellas a su vez otras más
chicas aún. Esas características hace que pueda interpretarse a un árbol como un objeto
fractal. Pero llega un momento en que ya no se puede seguir descomponiendo la rama de
un árbol. Por lo tanto no sería un fractal perfecto, éstos solo existen en el campo teórico.
Otro ejemplo de estudio de la medida de los fractales es el análisis de uno de los
primeros en ser descripto por el matemático sueco Helge Von Koch en el año 1904, la
Curva de Koch. (Figura 5)
Conjunto de Mandelbrot
Conjuntos de Julia
39
Figura 5: Curva de Koch
La construcción de la curva de Koch se lleva a cabo mediante adiciones
progresivas a un simple segmento de línea. Las adiciones se realizan dividiendo dicho
segmento en nuevos segmentos de un tercio de longitud, y luego sustituyendo el segmento
central por dos segmentos que, junto con el suprimido, formarán un triángulo equilátero.
Hasta ahí los dos pasos de generación que conforman la primera iteración. En cada
iteración se realiza exactamente lo mismo. La curva de Koch es el resultado de repetir
este procedimiento sobre los segmentos resultantes infinitas veces. Se desarrolla así una
técnica que permite construir la OMP5, Procesos iterativos.
Segmento generatriz 1º iteración 2º iteración 3º iteración
Figura 6: Generación de la Curva de Koch
Como lo que se busca es determinar su perímetro y área, surge la cuestión ¿cómo
se calcula el perímetro y el área de la curva de Koch?, lo que podría conducir a la pregunta
Q3,2: ¿Cómo se calcula el perímetro y el área de un fractal?
Para estudiar dichas medidas es necesario conocer el proceso iterativo que genera
la curva de Koch. En cada iteración del proceso de generación, el número de segmentos
aumenta exponencialmente. Esto se puede evidenciar ya que el segmento central es
remplazado por dos nuevos segmentos de la misma longitud, resultando cuatro nuevos
segmentos de longitud un tercio del segmento original. El número de segmentos en la 𝑛 −
é𝑠𝑖𝑚𝑎 iteración es 𝑁𝑛 = 4𝑛, cuyo desarrollo resulta la sucesión: 𝑁𝑛 =
{1, 4, 16, 64, … … . }
40
Los procedimientos involucrados en la determinación del número de segmentos y
la longitud de la curva en cada iteración conducen a la construcción o reconstrucción de
la OMP9 Sucesiones.
El estudio de la longitud de la curva requiere determinar su medida, técnica que
se fundamenta en la praxeología matemática OMP4, relacionada con el cálculo de
perímetros. Para estudiar la longitud de la curva de Koch, se llama 𝐿0 a la longitud
inicial del segmento, después de la primera iteración tendremos una curva de longitud
𝐿1 = 4.𝐿0
3 formada por 4 segmentos (cada uno de longitud
𝐿0
3). En la segunda iteración,
se tendrá 42 segmentos, cada uno con una longitud 1
3 ·
𝐿0
3 =
𝐿0
32. Una nueva iteración dará
como resultado 43 segmentos de 1
3 ·
𝐿0
32 = 𝐿0
33 . En la 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 iteración la longitud de
la curva será: 𝐿𝑛 = 4𝑛 ∙ 𝐿0 ∙ (1
3)
𝑛
= 𝐿0 ∙ (4
3)
𝑛
La longitud de la curva en cada iteración permite construir la sucesión:
𝐿𝑛 = {𝐿0
3,
𝐿0
32 ,𝐿0
32 ,𝐿0
32 , … … …. }
Generalizando para cualquier 𝑛, el perímetro tiende a infinito a medida que el
número de iteraciones se aproxima al infinito.
𝐿𝑛 = 4𝑛 ∙ 𝐿0 ∙ (1
3)
𝑛
= 𝐿0 ∙ (4
3)
𝑛
𝐿∞ = 𝐿0 lim𝑛→∞
(4
3)
𝑛
= ∞
El estudio de este límite requiere el cálculo del límite infinito, técnica que se
fundamentan en la OMP8 Límite.
La técnica para hallar el área bajo la curva de Koch consiste en considerar que el
área de un triángulo equilátero viene dado por 𝐴 =√3
4𝑙2 , y calcularla utilizando como
información la longitud de los lados (𝑙), lo cual exige el encuentro con tecnologías que
involucra el concepto de área (OMP3). Así, en la primera iteración tendremos un triángulo
equilátero cuya área es 𝐴1 =√3
4(
𝑙0
3)
2
. En la segunda iteración, se añade a este triángulo
otros 4 triángulos de área √3
4(
𝑙0
32)2
. Por lo tanto:
𝐴2 =√3
4(
𝑙0
3)
2
+ 4 ∙√3
4(
𝑙0
32)2
41
Puesto que en la iteración 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 existen 4𝑛 segmentos, en la iteración 𝑛 +
1 se añade el mismo número de triángulos. Por otro lado, el tamaño de los segmentos se
divide por 3 en cada iteración, por lo tanto:
𝐴𝑛 = ∑ 4𝑘−1𝑛𝑘=1
√3
4(
𝑙0
3𝑘)2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑘 ∈ 𝑁, donde k es el número de iteración.
La resolución de esta expresión implica la suma de los n términos,
correspondientes al área en cada iteración, técnica se fundamenta en la tecnología Series
(OMP10) y Límite (OM8), pues implica el cálculo de una serie infinita donde cada término
se obtiene multiplicando el anterior por la razón 𝑟 =4
32 .
Dichas técnicas permiten hallar la suma infinita cuando el número de iteraciones
se aproxima a infinito, obteniéndose el área:
𝐴∞ = lim𝑛→∞
𝐴𝑛 =√3
42𝑙0
2 lim𝑛→∞
∑ (4
32)
𝑘𝑛
𝑘=1
=4
32
√3
42𝑙0
2 lim𝑛→∞
∑ (4
32)
𝑘𝑛−1
𝑘=0
La expresión que queda determinada es una serie geométrica de razón 𝑟 < 1, por
lo que es convergente, y por lo tanto la curva encierra un área finita.
𝐴∞ =4
32
√3
42𝑙0
21
1 −4
32
=1
5
√3
4𝑙0
2
El área encerrada por la curva es una quinta parte del área que encerraría un
triángulo equilátero de lado 𝑙0 , su área es finita mientras su longitud es infinita.
En general como los objetos fractales están compuestos por elementos cada vez
más pequeños semejantes a sí mismo (autosimilitud), su descripción por medio de
medidas de largo, ancho y alto es insuficiente, lo que ha motivado la búsqueda de nuevas
formas de analizar y describir fractales. Por esta razón se ha desarrollado el concepto de
dimensión de similitud o dimensión fractal, basada en la propiedad de auto-similitud de
los fractales.
Cuando se habla de dimensión en el marco de la geometría euclídea, refiere al
grado de libertad de movimiento en el espacio, es decir el número de direcciones
ortogonales diferentes que se puede tomar, y se la denomina, dimensión topológica De
acuerdo a esto se considera que las dimensiones topológicas son cinco.
42
Dimensión -1: un Conjunto Vacío
Dimensión 0: un punto
Dimensión 1: una línea recta
Dimensión 2: un plano
Dimensión 3: el espacio
A partir del análisis de las transformaciones de los siguientes objetos geométricos
es posible establecer una relación con la dimensión del objeto considerado.
Si se parte de un segmento de longitud 1 y lo partimos en segmentos iguales de
longitud 𝐿, se obtienen 𝑛 partes, de manera que 𝑛. 𝐿1 = 1 cualquiera que sea 𝐿.
Si n=2 entonces 2. (1
2)
1
= 1 ; Si n=3 entonces 3. (1
3)
1
= 1
Si el objeto inicial es un cuadrado de superficie 1, y lo comparamos con unidades
cuadradas, cuyo lado tenga de longitud 𝐿, el número de unidades que es necesario para
recubrirlo 𝑛, cumple 𝑛. 𝐿2 = 1 cualquiera que sea 𝐿.
Si n=4 entonces 4 ∙ (1
2)
2
= 1 ; Si n=9 entonces 9. (1
3)
2
= 1
Si por último, el objeto que tomamos es tridimensional, como por ejemplo, un
cubo de volumen1, y lo medimos en relación con unidades que sean cubos de arista 𝐿,
entonces se cumple que 𝑛. 𝐿3 = 1 cualquiera que sea 𝐿.
Si n=8 entonces 8 ∙ (1
2)
3
= 1 ; Si n=27 entonces 27. (1
3)
3
= 1
De este modo se puede generalizar que la dimensión de un objeto fractal
geométrico es 𝐷 si 𝑛. 𝐿𝐷 = 1 donde 𝑛 es el número de objetos elementales o de unidades
de tamaño 𝐿, que recubren o que completan el objeto. La resolución de esta ecuación
43
involucra el cálculo de ecuaciones exponenciales y logarítmicas, técnicas que se
fundamentan en las praxeologías de Ecuaciones exponenciales (OMP12) y Logaritmos
(OMP13).
Entonces, aplicando logaritmos
log(𝑛. 𝐿𝐷) = 𝑙𝑜𝑔1
𝐷 log 𝐿 = − log 𝑛
Despejando 𝐷 resulta: 𝐷 =𝑙𝑜𝑔 𝑛
𝑙𝑜𝑔(1/𝐿)
Esta ecuación relaciona los conceptos de medida y dimensión, en donde D es la
dimensión de Hausdorff-Besicovitch, una generalización de la dimensión Euclidea que
permite describir la dimensión de objetos autosimilares ya que exige la descomposición
del objeto en partes más pequeñas semejantes a sí mismo. En la expresión hallada si se
hace tender n a infinito, se puede obtener la dimensión de un objeto fractal.
Por ejemplo, retomando la Curva de Koch, para calcular la dimensión fractal, debe
tenerse en cuenta que el número de segmentos en cada iteración es 𝑁𝑛 = 4𝑛, y la
longitud de cada segmento se reduce en un factor de un tercio cada vez, esto es 𝑙𝑛 = (1
3)
𝑛
.
La dimensión fractal será entonces:
D = limn→∞
log 4n
log(1
3)
−n =log 4
log 3= 1,26186
Para calcular la dimensión de un fractal, utilizando la expresión hallada, es
necesario conocer el número de objetos elementales que conforman al fractal antes y
después de la transformación, lo cual podría conducir al estudio de la OMP14
Transformaciones y al estudio del proceso iterativo que lo genera, lo que permitiría la
construcción de la OM5, Procesos iterativos.
Un proceso iterativo consiste en introducir valores en una o varias fórmulas, que
transforman estos valores iniciales, en otro u otros valores. Este resultado pasa a ser
considerado como parte de un nuevo valor inicial para el proceso iterativo. Un valor
inicial puede ser numérico o un ente geométrico, por ejemplo un punto, un conjunto de
puntos o una figura. La transformación que se aplica puede venir expresada por fórmulas
o por una serie de pasos a ejecutar en cada etapa de la iteración.
44
El estudio de estos procesos conduce a construir la respuesta a la cuestión Q2,4:
¿Cómo se genera un fractal teórico?, la cual requiere el análisis de los tipos de fractales.
Algunos de los fractales teóricos más conocidos son los lineales, como el copo
de nieve de Koch, la alfombra de Sierpinski, entre otros; y los no lineales, como los
conjuntos de Mandelbrot y los de Julia. Esta distinción entre fractales lineales y no
lineales podría conducir al planteo de las preguntas Q3,3: ¿Cómo se genera un fractal
lineal? Y Q3,4: ¿Cómo se genera un fractal no lineal?
La generación de fractales lineales se caracteriza por describir un sistema
dinámico lineal. Es decir, considerando un determinado algoritmo generador, el fractal
lineal resultante se obtiene mediante la sucesión infinita de transformaciones sobre el ente
inicial.
Los fractales lineales pueden representarse mediante un sistema de funciones
iteradas (SFI), el cual describe las transformaciones que los generan. Un SFI es la
representación matricial de un conjunto fractal. Si se considera la siguiente
transformación afín: 𝑊(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑒, 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑓), ésta actúa sobre el plano
euclídeo realizando cambios de escala, giros y traslaciones tanto sobre 𝑥 como 𝑦 de
cualquier conjunto situado en el plano. Se puede expresar la transformación en forma
matricial:
𝑊 (𝑥
𝑦) = (
𝑎𝑐
𝑏𝑑
) . (𝑥
𝑦) + (
𝑒
𝑓)
Las transformaciones lineales que se realizan sobre cada punto son
multiplicaciones por una matriz. Por ser transformaciones lineales, la figura que se
obtiene conserva su forma exacta y sólo cambia el tamaño.
Por ejemplo, para construir el triángulo de Sierpinski, se comienza con un punto
y mediante transformaciones lineales sobre él, se obtienen los vértices de un triángulo, si
sobre cada uno de los vértices se vuelve a aplicar la transformación lineal, resultan otros
tres triángulos y así sucesivamente, como se puede observar en la figura 7.
45
Figura 7: Generación del triángulo de Sierpinski
Las transformaciones lineales que se realizan sobre cada punto son
multiplicaciones por una matriz. Por ser transformaciones lineales, la figura que se
obtiene conserva su forma exacta y sólo cambia el tamaño.
Los fractales no lineales son conjuntos que se generan iterando infinitas veces una
función no lineal de variable compleja, es decir que se obtienen mediante una sucesión
infinita de transformaciones no lineales.
La iteración de funciones simples como la √𝑥, 𝑥𝑛 o las cuadráticas del tipo 𝑥2 ±
𝑎 constituyen sistemas dinámicos. Dicha iteración consiste en realizar la misma
operación matemática, con auxilio de la calculadora o computadora, utilizando la salida
de una operación como entrada de la próxima. En muchos casos los resultados obtenidos
con algunas funciones, para ciertos valores de entrada, son completamente predecibles si
se trata de sucesiones convergentes, divergentes u oscilantes, en cambio para otros valores
los resultados no se pueden predecir y aparece el caos.
El conjunto de puntos que se obtiene al iterar una función 𝑓(𝑥) cualquiera:
{𝑥, 𝑓1(𝑥), 𝑓2(𝑥), … , 𝑓𝑛(𝑥) } se lo define como orbita de 𝑥.
Ejemplos:
La iteración de la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 genera la sucesión
𝑥; 𝑥2; 𝑥4; 𝑥8; 𝑥16; … ; (𝑥2)𝑛 Si consideramos un determinado valor inicial 𝑥0 = 2, la
sucesión generada es la siguiente {2; 4; 16; 256; 65536; 4.294.967.296; … }. Se observa
que a medida que el número de iteraciones aumenta el valor obtenido es cada vez más
grande y la sucesión generada es divergente.
En cambio la iteración de la función 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2 para 𝑥0 = 2,5 genera la
sucesión: {2,5; −0,5; 2,5; −0,5; 2,5; … }. Se observa que, en este caso, los términos de
la sucesión oscilan entre dos valores.
46
Si iteramos la función 𝑗(𝑥) = √𝑥 para 𝑥0 = 2,5 se obtiene la siguiente sucesión:
{2,5; 1,58113883; 1,25743343; 1,121353392; 1,048939749; 1,029047982;
1,014420022; 1,007184205; 1,003585674; 1,001791233; 1,000895216;
1,00023729; 1,000111858; 1,000055928; … ; 1,000000002; 1,000000001; 1}.
La sucesión obtenida converge a 1.
En cambio en la iteración de la función cuadrática, denominada logística 𝑙(𝑥) =
4. 𝑥. (1 − 𝑥) se obtienen resultados de valores no previsibles, lo que se ha dado a llamar
el comportamiento caótico. En la figura 8 se presentan algunos valores de las primeras 80
iteraciones.
Figura 8: Primeras 80 iteraciones de l(x)
En la gráfica que muestra las primeras 80 iteraciones se observa que no existe un
comportamiento predecible ya que no oscila, ni diverge, ni converge, esto permite
introducirse en la noción de comportamiento caótico.
El estudio de estos procesos iterativos permite construir o reconstruir algunas
componentes de la OMP9 Sucesiones. Las tecnologías relacionadas con este concepto son
necesarias para el análisis de fractales no lineales, ya que los mismos se generan a través
de sucesiones por recursión. El conjunto de Mandelbrot y los de Julia son dos ejemplos
clásicos de fractales no lineales, que se definen a través de una sucesión por recursión en
el plano complejo. Para representarlos, son necesarios numerosos cálculos por lo que el
uso de la computadora resulta una herramienta fundamental. De esta manera, el estudio
de fractales no lineales involucra a la OMP7 Números complejos y la OMP11, Cálculos y
representaciones computacionales.
47
A principio del siglo pasado, Gastón Julia y Pierre Fatou, matemáticos franceses,
trabajaron en la iteración de expresiones simples como 𝑍𝑛+1 = 𝑍𝑛2 + 𝑐 siendo los 𝑍𝑘, 𝑘 ∈
𝑁, números complejos y 𝑐 una cierta constante también compleja. Este proceso iterativo
consiste en tomar un número complejo 𝑍0, elevarlo al cuadrado y sumarle 𝑐 al resultado.
El número complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a
sumar 𝑐 , y así sucesivamente. La sucesión de resultados se denomina órbita de 𝑍0, y el
valor al que tiende se denomina atractor.
Por ejemplo, para 𝑐 = −1, la órbita de 𝑍0 = 2 es:
2; 3; 8; 63; 3969; 15752962; 61457260521382389815627939839 …
𝑍0 = 2
𝑍1 = 22 − 1 = 3
𝑍2 = 32 − 1 = 8
𝑍3 = 82 − 1 = 63
𝑍4 = 632 − 1 = 3968
𝑍5 = 39682 − 1 = 15745023
𝑍6 = 15450232 − 1
= 61457260521382389815627939839
Si se analiza esta sucesión de número complejos, puede observarse que se aleja
hacia el infinito. Este proceso se repetiría para todos los puntos del plano.
En 1906, Fatou demostró que al aplicar este proceso iterativo a todos los puntos
del plano complejo se observa que la mayoría de ellos generan órbitas que se van hacia
el infinito, pero que quedan puntos para los cuales no ocurre esto. Si para un 𝑍0 se
cumple que un elemento de su órbita tiene, módulo mayor que 2 y que el valor de 𝑐,
entonces la órbita de ese 𝑍0 tiende a infinito. Los puntos cuya órbita no se va a infinito
forman un conjunto cuyo interior se denomina conjunto de Fatou y su borde, la frontera
entre los puntos donde órbita escapa y los puntos para los que esto no ocurre, se
denomina Conjunto de Julia asociado a la constante 𝑐 inicial.
La variedad que se puede encontrar entre los Conjuntos de Julia es amplia. Van
desde la circunferencia de centro (0,0) y radio1, para c = 0, hasta conjuntos muy
complejos. En la Figura 9, se muestran algunos ejemplos de dichos conjuntos. La
48
primera imagen es un fractal cuya gráfica es llamada “conejo de Douady”, que toma el
valor c = −0,123 + 0,745i.
Figura N° 9: Ejemplos de Conjuntos de Julia
Como se puede observar, algunos de estos conjuntos son de una única pieza
(conexos), mientras que otros están separados en varias partes (disconexos), que podrían
ser hasta infinitas.
En la figura 10 se muestra un ejemplo de conjunto de Julia conexo, el cual es un
conjunto continuo constituido por una sola pieza. En cambio, en la figura 11, se puede
observar un conjunto de Julia no conexo, constituido por una colección infinita de puntos
que puede ser visualizado como una nube de puntos, alrededor de un punto dado.
49
Figura N° 10: Conjunto de Julia conexo Figura N° 11 Conjunto de Julia no conexo
En el año 1919, Julia y Fatou probaron de manera independiente que para saber si
el Conjunto de Julia asociado a un cierto número complejo c era conexo o no, era
necesario estudiar la órbita de 0. Más concretamente, si la órbita del 0 escapaba a infinito,
entonces el Conjunto de Julia asociado a c es disconexo, y si la órbita del 0 no tiende a
infinito, entonces este Conjunto de Julia es conexo. Este hallazgo fue muy importante, ya
que permitió conocer el tipo de Conjunto de Julia sin necesidad de estudiar las órbitas de
todos los números complejos, hecho que simplificó enormemente los cálculos.
Benoit Mandelbrot a fines de la década de 1970, utilizó programas
computacionales, para hallar los valores de 𝑐 para los que el Conjunto de Julia era conexo,
y representó una figura fractal en el plano complejo, conocida como el Conjunto de
Mandelbrot.
Puesto que una imagen fractal puede implicar miles de millones de cálculos, para
su estudio se necesitan utilizar software para realizar dichos cálculos y las gráficas,
llamando a la OMP11 representaciones computacionales, y por esta razón su estudio está
ligado directamente al desarrollo de las computadoras.
Se puede definir el conjunto de Mandelbrot como el conjunto de números
complejos 𝑐 para los cuales el proceso iterativo no tiende a infinito, es decir, no es
divergente.
𝑧0 = 0
𝑧𝑛+1 = 𝑍𝑛2 + 𝑐
Entonces, dado un número cualquiera 𝑐, se eleva al cuadrado. Al número obtenido
le sumamos 𝑐 y lo volvemos a elevar al cuadrado y así continúa el este proceso de
iteración.
50
De esta manera, el conjunto de Mandelbrot y los de Julia están estrechamente
relacionados puesto que el conjunto de Mandelbrot 𝑀 contiene en su interior a todos los
conjuntos de Julia cuadráticos. Cada punto 𝑐 en el conjunto de Mandelbrot determina una
estructura geométrica del conjunto de Julia, como se puede observar en la figura 12. Si 𝑐
está en el conjunto de Mandelbrot, entonces el de Julia será conexo (cerrado). De lo
contrario, el conjunto de Julia será sólo una colección de puntos desconectados.
En la figura 9, se muestran ejemplos de Conjuntos de Julia y sus correspondientes
valores de 𝑐.
𝐚) 𝑐 = 0 ; b) 𝑐 = −0,1 + 0,1𝑖 ; c) 𝑐 = −0,25 + 0,52𝑖 ; d) 𝑐 = 0,68 𝑖 ; e) 𝑐 =
𝑖 ;
f) 𝑐 = −0,2 + 0,75𝑖 ; g) 𝑐 = −0,5 + 0,55𝑖 ; h) 𝑐 = −1 + 0,05𝑖 ; i) 𝑐 = −0,5 +
0,5𝑖
Figura 12: Conjunto de Mandelbrot y algunos de los Conjuntos de Julia que contiene.
51
Dada la función compleja cuadrática 𝑧𝑛+1 = 𝑍𝑛2 + 𝑐 , la órbita correspondiente a
𝑧0 = 0 es la sucesión {0; 𝑐; 𝑐2 + 𝑐; (𝑐2 + 𝑐)2 + 𝑐; … }, , y se conoce como órbita
crítica. Benoit Mandelbrot, fue el primero en determinar el conjunto de los valores de c
para los cuales las órbitas críticas no divergen.
Para determinar los valores de c que hacen que la órbita de 0 bajo Z2 + c escapen
al infinito existe un criterio denominado del escape: si |c| ≤ 2, y la órbita de 0 bajo Z2 +
c sale del circulo de radio 2 centrado en el origen, entonces esta órbita tiende a infinito.
Este criterio es muy importante pues el conjunto de Mandelbrot reside dentro del disco
|x| ≤ 2, independientemente del número de iteraciones que se realice.
Por ejemplo si c = -0,5 + i, |c| = 1,12 ≤ 2 pero la órbita de 0 bajo Z2 + c sale del
círculo de radio 2, ya que si se itera la función 𝑧𝑛+1 = 𝑍𝑛2 + (−0,5 + i), si 𝑧0 = 0 se
generan los siguientes valores:
Número
de Paso Valor actual
Distancia
del Origen
1 −0,5 + 𝑖 1,12
2 −1,25 1,25
3 1,06 + 𝑖 1,46
4 −0,37 + 3,1. 𝑖 3,15
En la cuarta iteración se aprecia que la distancia del punto de origen es más grande
de dos. Esto nos indica que el punto 𝑐 no se mantiene dentro del conjunto del Mandelbrot
como muestra la figura 13.
52
Figura 13: Comportamiento de un punto fuera del Conjunto de Mandelbrot
Si se realiza el mismo procedimiento con otro punto dentro del conjunto del
Mandelbrot, por ejemplo 𝑐 = 0.2 + 𝑖 .0.5, la distancia del punto de origen nunca ser
mayor a dos. Supongamos que se determina como número máximo de iteraciones 200,
la distancia al origen no será mayor a 2, por lo que se asume que el punto inicial 𝑐 se
encuentra dentro del conjunto Mandelbrot y es pintado en negro como se muestra en la
figura 14.
Número
de Paso Valor actual
Distancia
del
Origen
1 0,2 + 0,5. 𝑖 0,54
2 −0,01 + 0,7. 𝑖 0,7
3 −0,29 + 0,49. 𝑖 0,57
4 0,05 + 0,22. 𝑖 0,22
5 0,15 + 0,52. 𝑖 0,54
6 −0,05 + 0,66. 𝑖 0,66
7 −0,23 + 0,44𝑖 0,48
8 0,06 + 0,3𝑖 0,3
53
Figura 14: Comportamiento de un punto dentro del Conjunto de Mandelbrot
Para representarlo, se consideran los valores de c para los cuales las órbitas
críticas no escapan al infinito, asignándole color negro a dichos valores. Los valores de
c cerca de los bordes del conjunto de Mandelbrot tienen órbitas que escapan al infinito
solamente después de una cantidad grande de iteraciones. A estos puntos se los pinta de
un color distinto de negro, de acuerdo al número de iteraciones realizadas.
54
Figura 15: Conjunto de Mandelbrot
En la figura 15 se observa el fractal de Mandelbrot con diferentes acercamientos.
La primera imagen es el Conjunto de Mandelbrot en su estado original, o sea, sin haber
hecho ningún acercamiento dentro de la imagen. La siguiente imagen se genera
ampliando un sector del fractal, o sea, tiene un acercamiento y si se hubiese seleccionado
otro lugar del fractal donde comenzar a interactuar, hubiese generado imágenes distintas
pero al mismo tiempo estadísticamente similares, sin importar la porción del fractal
elegido, como las dos abajo contiguas.
Una propiedad de este conjunto es que es conexo, es decir, de una sola pieza.
Este hecho fue demostrado por los matemáticos Adrien Douady y John H.
Hubbard alrededor de 1984-1985.
Utilizando los acercamientos que nos permite realizar un programa graficador
de fractales, se puede observar que el conjunto de Mandelbrot tiene infinitos detalles,
por lo cual se puede inferir que su perímetro es infinito mientras que su área es finita
por encontrarse todo el conjunto circunscripto en una circunferencia acotada de radio 2.
La noción de dimensión fractal provee una manera de medir qué tan rugosa es su figura.
En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el Conjunto Mandelbrot
se utilizan computadoras y se demostró que su dimensión topológica es 2 pero aún no
se conoce su dimensión fractal. Así, el estudio de la medida del Conjunto Mandelbrot
conduce al reencuentro con la OMP3 Área, la OMP4, Perímetros y OMP2 Dimensión
fractal.
55
Capítulo V
DISEÑO DE LA AEI
A partir del MPR cuya cuestión generatriz Q0: ¿Cómo se puede construir un
fractal? descripto en el capítulo IV, se diseñó una actividad de estudio e investigación que
conduce al estudio de la OM local: Noción de Fractal, a partir de la cuestión generatriz
𝑄01: ¿Cómo se puede medir un fractal?
Durante el proceso de estudio de fractales es necesario determinar aquellas
propiedades y relaciones que los definen. Así nos encontramos que para definir un objeto
fractal tenemos que estudiar los conceptos de autosimilitud y dimensión fractal.
Las OMP1: Autosimilitud y OMP2: Dimensión fractal, se definen a partir de la
cuestión generatriz 𝑄01: ¿Cómo se puede medir un fractal?
El estudio de la definición de fractales conduce de forma general a que los
fractales se pueden caracterizar mediante las siguientes propiedades:
Son autosimilares e independientes de la escala, es decir, que a cualquier
escala se puede observar la misma estructura.
Tienen una dimensión fraccionaria también llamada dimensión fractal o
de similitud. Indica el grado de rugosidad de un objeto, que puede interpretarse como en
qué grado, una línea llena una porción del plano o un plano llena una porción del espacio.
Entonces, se puede pensar en la irregularidad como un incremento en la dimensión: una
curva fractal tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie fractal la tiene entre 2 y 3.
El tipo de tareas que las conforman T1: Estudiar la autosimilitud y T2: Estudiar la
dimensión fractal, permiten construir las características fundamentales de los fractales.
Mediante el estudio de T1 y T2 se utilizarán técnicas que permiten generar
tecnologías que las justifican. Estas tecnologías refieren a otras organizaciones
matemáticas tales como: Procesos iterativos (OMP5) Semejanza (OMP6), Sucesiones
(OMP9), Series (OMP10), Transformaciones (OMP14), Matrices (OMP15), Límites
(OMP8), Funciones iterativas (OMP5), Ecuación exponencial (OMP12) y Logaritmos
(OMP13) a través del desarrollo de los correspondientes tipos de tareas T5: Estudiar los
56
procesos iterativos, T6: Estudiar la semejanza, T9: Hallar una sucesión, T10: Calcular
series, T14: Estudiar las transformaciones, T15: Hallar matrices, T8: Calcular límites, T12:
Hallar una ecuación exponencial y T13: Calcular logaritmos.
Para realizar el tipo de tareas que conforma OMP1 y OMP2 es necesario utilizar
técnicas que emergen de OMP4 y OMP3.
La OMP4 se encuentra representada por el tipo de tareas T4: Medir la longitud del
fractal. La técnica para abordar T4 consiste en determinar cuánto mide exactamente el
perímetro de una figura, o longitud de una curva fractal mediante la utilización de escalas,
sumas, cálculo de límite.
La OMP3 se encuentra representada por el tipo de tareas T3: Medir el área de un
fractal. La técnica para abordar T3 consiste en determinar cuánto mide exactamente el
área del fractal considerado mediante la utilización de escalas, sumas, cálculo de límite.
El hacer de T4 y T3 conduce a estudiar el proceso iterativo que genera el fractal,
el cual implica transformaciones que podrían representarse mediante matrices. Dichas
transformaciones involucra los conceptos de semejanza y sucesiones. Además, hallar las
medidas de área y longitud de fractales requiere el cálculo de series y de límites. El
análisis de los resultados obtenidos permite arribar a la conclusión de que mientras el
perímetro de los fractales es infinito, encierran un área finita.
El propósito de T4 y T3 es mostrar la necesidad de otro tipo de medida que permita
describir de mejor manera a los fractales, otorgando sentido a la noción de dimensión
fractal.
Finalmente el tipo de tarea que compone a esta organización matemática (OMP2)
exige la resolución de ecuaciones exponenciales mediante logaritmos.
La realización de las tareas involucradas en este proceso de estudio también
permitiría reconstruir OMP relacionadas con los diferentes tipos de fractales: naturales,
matemáticos lineales y no lineales que en conjunto conforman la OML: Fractales.
La OML: Fractales se encuentra conformada por la articulación de 13 OMP
(obras matemáticas puntuales) junto al tipo de tareas que las representan como se indica
en el esquema 4.
57
Esquema N°4: Tipos de tareas que se desprenden de 𝑄01
Diseño de la Actividad de Estudio e Investigación
La actividad comienza con el estudio de la pregunta: ¿Cómo se puede construir
un fractal? Esta pregunta se corresponde con la cuestión generatriz Qₒ del modelo
praxeológico de referencia diseñado para un posible REI.
La consigna para los estudiantes es que planteen todas las preguntas que
consideren necesarias responder para poder conocer cómo se puede construir un fractal.
A partir del análisis a priori de las posibles preguntas derivadas (Esquema 2) se
considera la cuestión generatriz 𝑄01 : ¿Cómo se puede medir un fractal? para diseñar la
AEI. .El estudio de 𝑄01 conduce a la formulación de cuestiones derivadas que involucran
determinados tipos de tareas a partir de los cuales se diseña las actividades que realizarán
los alumnos. El estudio de dichas tareas proporciona repuestas que permiten determinar
las características fundamentales de los fractales.
A continuación se presentan las actividades que se derivan de los tipos de tareas
descriptos.
58
Actividad 1: ¿Cómo podemos medir la costa de Mar del Plata?
El tipo de tareas que involucra esta actividad permitirá a los estudiantes utilizar
técnicas de las que ya disponen como realizar la lectura de mapas, medir utilizando como
información la escala, sumar por tramos para hallar el perímetro, y reencontrar a la OMP4
relacionada con la medida de la longitud de una curva.
Podrían realizar observaciones de la costa de Mar del Plata a distintas escalas,
1:50000, 1:10000, si utilizan mapas impresos, y pueden realizar la observación a escalas
menores si utilizan Google maps. De esta manera podrían ver que el contorno de la costa
tiene formas estadísticamente similares. Además, pueden surgir distintas respuestas
según la escala que utilice cada grupo. Las distintas respuestas conducen a la búsqueda
de la medida exacta, es así que surge la necesidad de reconstruir la tecnología del
concepto de límite infinito (OMP8) para poder dar una respuesta lo más precisa posible
acerca de la medida teórica de la costa de Mar del Plata.
ԑ ԑ
Figura 16: Procedimiento de medida de la costa de Mar del Plata.
Al evaluar la longitud de la curva poligonal, haciendo que ԑ → 0, se espera que la
estimación de la longitud se aproxime a un límite. A medida que aumentamos la
resolución, surgen más entrantes y salientes, como bahías y cabos, por lo que la longitud
a aproximar aumenta, y la longitud total a estimar parece aumentar sin límites L(ԑ) → ∞.
59
La formación de una costa o de la orilla de un río son procesos físicos similares y
pueden ser simulados mediante modelos matemáticos que dan lugar a objetos fractales.
Por ejemplo, la formación de una costa se puede modelizar mediante la curva de Koch,
su dimensión fractal es de 1,26128... Parecido al 1,3 que obtuvo Richardson como
dimensión fractal de la costa de Gran Bretaña.
El análisis de esta actividad permite comenzar el estudio de los fractales naturales
y una de las características que lo definen, la autosimilitud (OMP1). También se podría
comenzar a discutir acerca las medidas exactas de otros objetos naturales irregulares que
propongan ellos, y si la geometría tradicional describe adecuadamente los objetos de la
naturaleza.
Actividad 2: ¿En qué objetos de la naturaleza podemos observar características de
autosimilitud?
Esta actividad involucra la búsqueda de patrones de autosimilitud en distintos
objetos de la naturaleza con estructura fractal, descriptos como fractales naturales. El
estudio permitirá observar una de las principales características de los fractales, la misma
estructura a diferentes escalas, y podrían concluir que los fractales naturales, como el
litoral, sólo presentan un número finito de niveles autosimilares debido a las limitaciones
físicas propias de dichos objetos.
El tipo de tarea que involucra esta actividad exige que los estudiantes reencuentren
la Obra matemática Semejanza (OMP6) para poder reconstruir la OMP1 autosimilitud.
Al analizar la autosimilitud en distintos fractales naturales podrían observar que
la autosimilitud es estadística, es decir que cada parte del fractal conserva de manera
estadísticamente similar las características globales, como por ejemplo, el brócoli
romanesco y las montañas.
60
Brócoli romanesco Montañas
Figura 17: Fractales naturales.
El estudio de los fractales naturales, caracterizados como tal por presentar
autosimilitud estadística, podría conducir al estudio de fractales que presentan
autosimilitud exacta, ya que son idénticos en todas sus escalas hasta el infinito. Ejemplos
de este tipo son el triángulo de Sierpinski, el copo de nieve de Koch y la alfombra de
Sierpinski
61
Actividad 3:
La curva conocida como copo de nieve de Koch se puede generar a partir de un triángulo
equilátero inscripto en un círculo:
Figura generadora 1ª iteración 2ª iteración Copo de
nieve
a) Dibuja las figuras que corresponden a la 3ª y 4ª iteración. Describe el proceso de
construcción.
b) ¿Cuánto mide el perímetro en la 1ª ,2ª y 3ª iteración? ¿Y en la n-ésima iteración? ¿Y
cuando 𝑛 → ∞? Justifica.
c) ¿Cuánto mide el área en la 1ª ,2ª y 3ª iteración? ¿Y en la n-ésima iteración? ¿Y
cuando 𝑛 → ∞? Justifica.
Se eligió para esta actividad trabajar con la curva de Koch, porque permite estudiar
de una manera sencilla cómo se genera un fractal mediante la iteración de una figura
geométrica.
El hacer de los tipos de tarea de esta actividad involucra técnicas que permitirían
comenzar a reconstruir o reencontrar tecnologías relacionadas con los procesos iterativos,
OMP5. El cálculo de perímetros y de áreas que conforman la OMP4 y la OMP3
respectivamente, conducen a utilizar técnicas que se justifican en los entornos
tecnológicos relativos al cálculo de límites, estudiar la sucesión y al cálculo de series;
estos conforman la OMP8 ,la OMP9, y la OMP10 respectivamente.
La construcción del copo de nieve o curva de Koch se lleva a cabo mediante
adiciones progresivas a cada uno de los lados del triángulo. Las adiciones se realizan
dividiendo cada lado en segmentos de un tercio de longitud, y luego sustituyendo el
segmento central por dos segmentos que, junto con el suprimido, formarán un triángulo
62
equilátero. La curva de Koch es el resultado de repetir este procedimiento sobre los
segmentos resultantes infinitas veces.
Si llamamos 𝑙0 a la longitud inicial del lado del triángulo, su perímetro 𝑃0 es 3. 𝑙0,
después de la primera iteración tendremos una curva de longitud 𝑃1 = 3 ∙ 4 ∙𝑙0
3 , formada
por 4 segmentos (cada uno de longitud 𝑙0/3) de cada uno de los tres lados iniciales. En la
segunda iteración, para cada lado tendremos 42 segmentos, cada uno con una longitud 1/3
· l0/3 = 𝑙0/32. Una nueva iteración dará como resultado 43 segmentos de longitud 1/3 ·
𝑙0/32 = 𝑙0/33. Generalizando, para cualquier 𝑛:
𝑃𝑛 = 3 ∙ 4𝑛 ∙ 𝑙0 ∙ (1
3)
𝑛
A medida que el número de iteraciones se aproxima a infinito la longitud de la
curva tiende a infinito:
𝑃∞ = 3 ∙ 𝑙0 lim𝑛→∞
(4
3)
𝑛
= ∞
El copo de nieve de Koch tiene longitud infinita, ya que en cada iteración del
proceso de generación, la longitud de cada lado aumenta un tercio de su longitud original.
Esto es evidente, ya que el segmento central es remplazado por dos nuevos segmentos de
la misma longitud, resultando cuatro nuevo segmentos de longitud un tercio del segmento
original.
Para determinar el área en cada iteración hay que tener en cuenta que el área de
un triángulo equilátero viene dado por 𝐴0 =√3
4𝑙0
2 , donde 𝑙 representa la longitud de los
lados. Así, en la primera iteración el área es 𝐴1 =√3
4∙ 𝑙0
2 + 3 ∙√3
4∙ (
𝑙0
3)
2
. En la segunda
iteración, tendremos que añadir a este triángulo otros 12 triángulos de área √3
4(
𝑙0
32)2
. Por
lo tanto:
𝐴2 =√3
4∙ 𝑙0
2 + 3 ∙√3
4∙ (
𝑙0
3)
2
+ 12 ∙√3
4(
𝑙0
32)2
𝐴3 =√3
4∙ 𝑙0
2 + 3 ∙√3
4∙ (
𝑙0
3)
2
+ 12 ∙√3
4(
𝑙0
32)
2
+ 48 ∙√3
4(
𝑙0
33)
2
63
Sacando factor común y multiplicando por 4
4 se llega a la expresión:
𝐴3 =1
4∙
√3
4∙ 𝑙0
2 [4 + 3 ∙ 4 ∙1
9+ 3 ∙ 42 (
1
9)
2
+ 3 ∙ 43 (1
9)
3
]
Si la longitud del lado inicial es 1,
𝐴1 =√3
4∙ 12 + 3 ∙
√3
4∙ (
1
3)
2
=√3
3
𝐴2 =√3
4∙ 12 + 3 ∙
√3
4∙ (
1
3)
2
+ 12 ∙√3
4(
1
32)
2
=10√3
27
𝐴3 =√3
4∙ 12 + 3 ∙
√3
4∙ (
1
3)
2
+ 12 ∙√3
4(
1
32)
2
+ 48 ∙√3
4(
1
33)
2
=282√3
729
El área en la n-ésima iteración es:
𝐴𝑛 =√3
16∙ 𝑙0
2 [4 + 3 ∙ 4 ∙
1
9+ 3 ∙ 42 (
1
9)
2
+ 3 ∙ 43 (1
9)
3
+ ⋯ ]
𝐴𝑛 =√3
16∙ 𝑙0
2 {4 + 3 ∙ [4
9+ (
4
9)
2
+ (4
9)
3
+ ⋯ ]} =√3
16∙ 𝑙0
2 {4 + 3 ∑ (4
9)
𝑛𝑛
1
}
El resultado de esta expresión cuando el número de iteraciones se aproxima a
infinito es el área del copo de nieve de Koch.
Podemos decir que el área del copo de nieve de Koch es finita ya que la figura
resultante luego de las sucesivas iteraciones está inscripta en el círculo, igual que el
triángulo generador.
Para calcular el área resolvemos la serie geométrica:
64
𝑆 = [4
9+ (
4
9)
2
+ (4
9)
3
+ ⋯ ]
4
9∙ 𝑆 = (
4
9)
2
+ (4
9)
3
+ (4
9)
4
+ ⋯
𝑆 − 4
9 𝑆 =
4
9
5
9𝑆 =
4
9
𝑆 =4
5
Entonces 𝐴𝑛=√3
16∙ 𝑙0
2 (4 + 3 ∙4
5) =
2
5∙ √3 ∙ 𝑙0
2 por lo tanto la curva encierra
un área finita.
En esta actividad los estudiantes vuelven a trabajar el concepto de medida, referida
al perímetro y al área del objeto. En cada iteración se calcula el perímetro y el área, de
esta forma se puede comparar y ver que mientras que la medida del perímetro es infinita,
el área es finita. Este hecho lo podrían analizar en otros fractales también y permitiría
discutir sobre si el concepto de dimensión de la geometría euclídea es suficiente para
describir estos objetos.
65
Actividad 4:
4.1 Dibuja un segmento de longitud L, luego duplícalo ¿Cuántos segmentos
congruentes con el original resultan de la transformación?
4.2 Dibuja un cuadrado de lado L, luego duplica la medida de sus lados ¿Cuántos
cuadrados congruentes con el original resultan de la transformación?
4.3 Dibuja un cubo de largo, alto y ancho L, luego duplica la medida de L. ¿Cuántos
cubos congruentes con el original resultan de la transformación?
4.4 Con los datos obtenidos completa la tabla:
Objeto
generador Dimensión
Número de objetos
congruentes
luego de la transformación
Línea 1
Cuadrado 2
Cubo 3
Objeto D
a) ¿Cómo se relacionan el número de objetos congruentes
luego de la transformación y su dimensión?
b) Dado el Triángulo de Sierpinsky ¿cómo se puede calcular
su dimensión fractal?
El tipo de tareas que involucra esta actividad permitirá a los estudiantes utilizar
técnicas relacionadas con las OMP13, Logaritmos, y la OMP12 ecuaciones exponenciales.
También permitiría reencontrar la tecnología de las transformaciones que justifican las
técnicas que dan repuesta al estudio de la dimensión. Este estudio les permitirá reconstruir
una de las características fundamentales de los fractales, el concepto de dimensión fractal
OMP2.
66
Si partimos de un segmento de longitud 𝑙 = L y lo duplicamos obtenemos dos
segmentos de longitud 𝑙 = 2 L (dos veces nuestra escala de medición), congruentes con
el original.
L 2L
Si el objeto inicial es un cuadrado de lado L y lo duplicamos, luego de la
transformación obtenemos cuatro cuadrados congruentes con el cuadrado inicial.
L 2L
Si el objeto inicial es un cubo de arista L, y la duplicamos, luego de la
transformación obtenemos ocho cubos congruentes con el cubo inicial.
L 2L
En cualquiera de los tres casos la longitud del lado después de la transformación
es
𝑙 = 2 L (dos veces nuestra escala de medición), este número es llamado factor de escala.
Los resultados obtenidos los podemos organizar en la siguiente tabla expresando
el número de objetos luego de la transformación en relación con la dimensión del objeto
generador. La dimensión euclídea o topológica de un segmento es 1, la del cuadrado es 2
y la del cubo 3. La dimensión expresa el grado de libertad de movimiento en el espacio,
es decir el número de direcciones ortogonales diferentes que podamos tomar.
67
También
podemos
plantear una
relación entre la base de la potencia 2, y el factor de escala: N = 𝑙𝑑 donde d es la
dimensión del objeto, N el número de objetos resultantes luego de la transformación y 𝑙
el factor de escala.
De todo esto podemos generalizar que la dimensión de un objeto geométrico es d.
Aplicamos logaritmos log N = 𝑑 ∙ log 𝑙 , despejando 𝑑 resulta:
𝑑 =log 𝑁
log 𝑙
Para generar la figura partimos de un triángulo equilátero. Éste se divide en cuatro
triángulos iguales más pequeños, utilizando para ello el punto medio de cada lado como
nuevo vértice. Finalmente eliminamos el triángulo que queda en el medio. Este proceso
se repite en cada uno de los triángulos restantes. El triángulo de Sierpinski es el conjunto
de puntos que permanecen después de reiterar este proceso infinitas veces.
Si partimos de un triángulo equilátero de lado L y duplicamos su longitud, luego
de la transformación obtenemos tres triángulos. Entonces N = 3 y 𝑙 = 2
Objeto generador Dimensión
Número de objetos
congruentes
luego de la transformación
Línea 1 2 = 21
Cuadrado 2 4 = 22
Cubo 3 8 = 23
Objeto D N = 2d
68
𝑙 = 2
Reemplazamos en la expresión hallada para la calcular la dimensión:
𝑑 =log 𝑁
log 𝑙=
log 3
log 2= 1,58496
Como resultado se obtiene una dimensión no entera. Lo que sucede es que la
longitud de la curva fractal es superior a la longitud de la curva que lo genera, y por lo
tanto la dimensión fractal será un número comprendido entre 1 y 2.
La dimensión fractal o de similitud es una característica que define a los fractales
y nos indica el grado de similitud, es decir, en qué medida el objeto fractal llena una
región del plano o del espacio. Se utiliza para cuantificar el grado de irregularidad y
fragmentación de un conjunto geométrico o de un objeto natural.
Como actividad final los estudiantes deben realizar una síntesis de
todo lo trabajado.
Esta AEI fue diseñada como una primera parte del recorrido para el estudio de Fractales,
en la cual se estudian las principales características que los definen y la relación con las
OMP involucradas en dicho estudio y que forman parte del MPR realizado inicialmente.
En el MPR se describe también la relación con posibles OMP que la pregunta generatriz
𝑄0 permite estudiar, y que no fueron abarcadas por las situaciones de enseñanza
propuestas en esta AEI, como las OMP relacionadas con los Números complejos,
Cálculos y representaciones computacionales, y los Procesos iterativos relativos a la
generación de fractales no lineales
Esta AEI sirve de base para el estudio de las mencionadas OMP, y deja abierta la
posibilidad para implementar una continuación de esta AEI, que proponga el estudio de
fractales en relación con dichas OMP.
69
Capítulo VI
DESCRIPCIÓN DE LA IMPLEMENTACIÓN DE LA AEI
Descripción de la Clase I
La clase se inició con la presentación de la profesora investigadora, en la cual se
les comentó a los estudiantes que ella les propondría el estudio del próximo tema:
Fractales; y que su profesora, durante esta etapa, acompañará en el curso, pero no
participará como docente del curso.
Se continuó explicando el modo de trabajo, diciéndoles, que el mismo consistirá
una investigación, y que ellos serían los que investigarían, estudiarían y aportarían las
respuestas a las cuestiones del tema que se pretende estudiar. Se les aclaró especialmente
que una parte muy importante del trabajo sería las preguntas que ellos formularían, pues
éstas orientarían y marcarían un recorrido de estudio en la investigación sobre fractales.
Por otro lado se explicitó que para realizar dicho estudio podrían utilizar como recursos
la netbook, internet, artículos o libros que ellos puedan conseguir o apuntes propuestos
por ella.
Además se explicitó que trabajarían en grupos de tres o cuatro integrantes y que
se necesitaba que registren todo lo producido durante la clase. Dichas producciones se
retirarían todas las clases para poder realizar un seguimiento de lo que lograron desarrollar
y que serán devueltas en la clase siguiente. También se comentó la forma de evaluación
de este periodo, en la cual se considerarían las producciones diarias, la participación en
el grupo y durante la puesta en común.
Los estudiantes presentes en la clase fueron N=11, la profesora les propuso que
formen grupos de trabajo de 3 o 4 integrantes; dependiendo de las netbook disponibles.
Las máquinas fueron provistas una por cada profesora, una por la dirección de la
institución y otra por un estudiante. Los estudiantes se organizan en dos grupos de cuatro
y uno de tres integrantes. Luego se puso a su disposición las netbook con la intensión de
que la tengan disponible como herramienta de trabajo. Dos de los grupos tuvieron una
netbook cada uno, y el otro tuvo dos.
70
Una vez que quedaron conformados los grupos se les planteó la pregunta de
investigación: ¿Cómo construir un fractal? Y se les dio como consigna inicial que antes
de buscar información para abordar dicha cuestión, se formulen más preguntas, todas las
que consideren necesarias responder en relación a la construcción de un fractal.
En la Figura 18 se muestra parte del diálogo que dio comienzo a la primera
actividad. A partir de aquí se señalará con P a aquellas intervenciones de la profesora, y
con E1, E2, etc. a las intervenciones de los estudiantes que fueron así identificados para
preservar su identidad.
P:- Hay que pensar ¿cómo podemos construir un fractal? (anota la pregunta en el
pizarrón). Yo quisiera que ustedes en una hoja por grupo, anoten otras preguntas de las
cuales necesitarían tener las respuestas para responder a ¿cómo podemos construir un
fractal? Acuérdense cuando uno va a encarar la construcción de algo, de un objeto, qué
cosas necesita saber para construirlo. Anoten en la hoja qué les parece que tienen que
saber para construir un fractal.
E2:- ¿Todos anotamos en una hoja?
P:- Una por grupo está bien. En realidad cada uno tiene que tener lo suyo, pero en
un principio que uno vaya anotando lo que dicen los otros.
(Los alumnos comienzan a trabajar y un estudiante hace una pregunta que no se escucha
claramente en el audio)
P:- ¿Pero ustedes saben qué es un fractal?
E3:- no (contestan varios estudiantes)
P:- Entonces hay que plantearse qué preguntas se harían para conocer qué es ese
objeto que queremos construir. Piensen en eso y anoten todo.
(Los estudiantes continúan trabajando en grupo)
Figura 18: Diálogo que da inicio a la primera actividad. (Transcripción de audio, clase 1).
Naturalmente se generó un desconcierto con la nueva modalidad de trabajo dado
que a los estudiantes les costó mucho tener que ser ellos mismos quienes plantearan las
preguntas para guiar el estudio, y en un principio no se animaban a formular preguntas
por no tener la certeza si éstas serían o no las correctas.
Los estudiantes comenzaron a trabajar en la formulación de preguntas, mientras
la profesora investigadora recorría los grupos observando el desarrollo de lo que iban
71
haciendo, tomando registros. Luego de un tiempo de 50 minutos, les propuso una puesta
en común. La profesora pidió a cada grupo que fueran comentando las preguntas que les
habían surgido mientras ella las anotaba en el pizarrón. Los estudiantes expusieron las
siguientes preguntas:
- ¿Qué herramientas o elementos se necesitan?
- ¿Tiene una fórmula matemática?
- ¿Qué es lo que queremos construir?
- ¿De qué manera construimos un fractal?
- ¿Cómo está compuesto?
- ¿Para qué sirven?
- ¿Cuáles son los pasos para construirlo?
- ¿Toda persona puede construir un fractal?
- ¿Qué tipos de fractales existen?
- ¿Qué conocimientos tenemos que tener para construir un fractal?
- ¿Qué ventajas y desventajas tiene la construcción de un fractal?
En el siguiente cuadro (Figura 19) se muestra el dialogo que se desarrolló
durante la puesta en común, con el grupo clase.
Puesta en Común
P:-¿Chicos cómo van con las preguntas?
E4:- Está cargando (E4 refiriéndose a la computadora…risas generales)
P:- (dirigiéndose a cada grupo) ¿Ustedes tienen preguntas?, no respuestas,
preguntas. En este primer momento no nos interesan las respuestas, sino las preguntas.
¿Alguien necesita un poco más de tiempo para seguir haciendo preguntas, o empezamos
la puesta en común?
E:- No (responden la mayoría de los estudiantes).
P:- Entonces vamos a anotar en el pizarrón las preguntas. ¿Me quieren ir
diciendo?
Las preguntas siempre van a estar bien.
E1:- ¿Qué herramientas o elementos se necesitan para la construcción de un
fractal?
P:- (anota en el pizarrón las preguntas) ¿Otra pregunta?
E2:- ¿Tiene una fórmula matemática?, ¿Cómo está compuesto?
P:- (dirigiéndose a otro grupo) ¿y acá?
E3:- ¿Cuáles son los pasos para realizarlo?
P:- Sería ¿cuáles son los pasos para construirlo?
E3:- Sí,.
72
P:- ¿Qué otra pregunta chicos?
E4:- ¿De qué manera podemos construir dicho fractal?
E5:- ¿Para qué sirve?
P:- ¿Para qué sirve construirlo o el fractal?
E5:- El fractal.
P:- Bueno, más preguntas… yo sé que tienen un montón, así que las quiero
escuchar.
E6:- ¿Toda persona puede construir un fractal?
P:- (continua anotando las preguntas en el pizarrón) ¿Alguna otra pregunta?
E6:- No tenemos más.
E7:- ¿Qué conocimientos debe tener una persona que quiera construir un fractal?
E8:- ¿Qué ventajas y desventajas tiene la construcción?
P:- ¿No hay más preguntas?
E1:- no
P:-Entonces hagamos una revisión de todas las preguntas que formulamos. (La
profesora lee las preguntas anotadas en el pizarrón).
¿A ustedes les parece que conociendo las respuestas a estas preguntas, que ya podrían
construirlo?
(…Silencio…)
P:- ¿Si?, ¿Todos estamos de acuerdo?, ¿Alguien quiere agregar otra pregunta?
(…silencio…)
P:-Observemos esta pregunta: ¿qué conocimientos debe tener una persona para
construir un fractal?, ¿qué conocimientos hay que tener para construirlo? O sea
conocimientos respecto del objeto que se quiere construir.
E1:- Experiencia en construcción
P:- Si, pero ¿qué conocimientos del objeto tienen que tener para construirlo?
E3:- Datos de lo que va a construir.
P:- ¿Y cuáles son esos datos?
E2:- Un plano
P:- ¿y qué datos contiene un plano?
E3:- Medidas
P:- Entonces si me piden que construya un objeto tengo los datos, las medidas,
¿necesito saber algo más de ese objeto? Por ejemplo si me piden que construya una
mesa, me dan las medidas, me dicen que tenga tanto de largo, tanto de alto y tanto de
ancho ¿qué otra cosa necesito saber para construirla?
(…silencio, cierto desconcierto…)
P:- Vamos a anotar en el pizarrón lo que me dijeron, datos, medidas, también me
dijeron un plano ¿Algo más?
E1:- El diseño, la forma que va a tener
E2:- ¿Qué herramientas se necesitan?
P:- Esta ya está entre las preguntas que anotamos.
Miren la cantidad de preguntas que realizaron, son un montón.
Figura 19: Parte del diálogo de la puesta en común. (Transcripción de audio, clase 1).
73
Cada grupo realizó más preguntas que no se dijeron durante la puesta en común,
esto se evidencia en los siguientes fragmentos de resolución.
En el fragmento de resolución correspondiente al estudiante E1 del grupo1 (Figura
20), es notable que además de las expuestas, se registraron las preguntas: ¿Cuál es el
objetivo u objetivos para construir un fractal? ¿Qué función cumple? ¿Qué características
tiene un fractal?
Figura 20: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E1, clase 1
En el fragmento de resolución correspondiente al estudiante E4 del grupo 2
(Figura 21), se puede apreciar que además de las expuestas, se registraron las preguntas:
¿Qué es un fractal? ¿Es un efecto especial? ¿Sirve para la música? ¿Son imágenes? ¿Cuál
es su definición? ¿Por qué se llama así? ¿Por quién fue creado? ¿En qué año?
74
Figura 21: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E4, clase 1
La docente aprovechó que durante la puesta en común surgió el tema de la medida
para proponer que se continúe el estudio con la pregunta de investigación ¿cómo se puede
medir un fractal?
P:- . A todas estas preguntas vamos a tratar de ir encontrándoles las respuestas.
Elegiremos una para comenzar todos por la misma y que al finalizar cada clase podamos
hacer una puesta en común de lo que averiguo o investigo cada uno. Me parece que si
estamos con el tema de la construcción de un fractal, me va a interesar especialmente
saber cuánto y cómo se mide lo que tengo que construir.
E9:- ¿Podemos ir buscamos en internet?
P:- Claro sí, pueden ir buscando en internet o donde a ustedes les parezca.
(Alumnos comienzan a trabajar en los grupos con ésta pregunta)
Figura 22: Parte del diálogo de la puesta en común. (Transcripción de audio, clase 1).
Los estudiantes se conectaron a internet utilizando la señal que generaban sus
teléfonos debido a que la señal de la escuela era muy débil y no podían conectarse. Al
poco tiempo de haber empezado a buscar en internet finalizó la clase, la profesora les dijo
que continuarían con el trabajo la próxima clase y les pidió las producciones.
75
En esta clase la profesora introdujo al medio la cuestión generatriz Q0: ¿Cómo se
puede construir un fractal? Los estudiantes a partir de Q0 plantearon nuevas cuestiones
derivadas. La profesora gestionó la puesta en común de las preguntas realizadas, y acordó
con los estudiantes que continuarían con el estudio de la cuestión derivada Q1,2: ¿Cómo
se puede medir un fractal? Como consecuencia de la modificación del topos de la
profesora y de los estudiantes fue necesario continuar la clase siguiente para que
dispongan de más tiempo para la formulación de preguntas.
76
Descripción de la Clase II
La profesora dio inicio a la clase diciéndoles a los estudiantes que continuarían
con el trabajo que habían comenzado la clase anterior, y les devolvió las producciones
que se había llevado al finalizar la misma. Les indicó a los alumnos que habían faltado a
la primera clase, que se integren a alguno de los grupos que ya estaban formados para
realizarlo, y les entregó una netbook a cada grupo.
En la figura 23 se presenta parte del diálogo que da comienzo a la actividad. En
dicho diálogo se evidencia que la profesora hace hincapié nuevamente en la importancia
de la formulación de preguntas.
P:- Nosotros convenimos (refiriéndose a lo acordado anteriormente con los
estudiantes) empezar a trabajar con la pregunta ¿Cómo se puede medir un fractal?, pero
ustedes me dijeron que no sabían qué clase de objeto es un fractal, entonces ¿Qué
necesito saber antes de medirlo?
No busquen primero las respuestas. Lo primero que vamos a buscar son preguntas y
después las respuestas a esas preguntas.
E1: - ¿qué es un fractal?
E2:- ¿Qué sería esa cosa?
P:- Claro… cuando busquen información todo lo que no entiendan lo anotan.
Anoten todo lo que les parezca que les va a servir.
E3:- ¿Qué tenemos que poner?
P:- Tienen que elaborar las respuestas a las preguntas que les surgieron y si
surgen más preguntas, porque hay cosas que no conocen, lo anotan.
E2- ¿Tenemos que responder a la pregunta?
Aludiendo a si tenía que copiar lo que encontró en una página de internet. Otro
estudiante del mismo grupo le contesta:
E3- Hay que hacer primero más preguntas acerca de lo que no entiendan.
P- Así es, a medida que buscan la repuesta a la pregunta ¿Cómo se puede medir
un fractal?, hay que formular más preguntas acerca de todo lo que encuentren y no
entiendan.
Figura 23 Diálogo que da inicio a la actividad. (Transcripción de audio, clase 2).
Mientras los estudiantes trabajaban en grupo, la profesora investigadora observó
el desarrollo de lo que iba pasando en cada uno, tomando registros.
77
Se presentaron inconvenientes de conectividad, por lo cual, los estudiantes
nuevamente debieron conectarse a internet utilizando la señal que generaban sus teléfonos
debido a que la señal de la escuela era muy débil. Aun así el acceso a las páginas se hacía
muy lentamente.
Una vez que los estudiantes lograron conectarse, se les dio aproximadamente 60
minutos para que pudiesen visitar y leer distintas páginas con contenidos sobre fractales.
Luego les propuso una puesta en común de las preguntas que surgieron a partir de la
cuestión ¿Cómo se puede medir un fractal? , y de las lecturas realizadas.
La profesora pidió a cada grupo que fueran comentando las preguntas que les
habían surgido; ella las anotaba en el pizarrón. Los estudiantes expusieron las siguientes
preguntas:
- ¿Qué elementos se usan para medir un fractal?
- ¿Se puede medir mediante una fórmula?
- ¿Varían las medidas de los fractales?
- ¿Qué es el triángulo de Sierpinski?
- ¿A qué se denomina curva de Koch?
- ¿Por qué las medidas de un fractal se obtienen a partir de una fórmula?
- ¿Qué es la generalización de la dimensión euclideana?
- ¿Varía la medida según la forma de los fractales?
- ¿Por qué la dimensión de un fractal es menor que 2?
- ¿Qué es un fractal?
- ¿Cómo está constituido un fractal?
- ¿Qué diferencia hay entre fractales naturales y fractales matemáticos?
En los fragmentos de resolución correspondientes a los estudiantes E4 y E3, se
pueden apreciar algunas de las preguntas que fueron formuladas durante la puesta en
común (figuras 24 y 25).
78
Figura 24: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E4, clase 2
Figura 25: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 2
En la puesta en común, presentada en la figura 26 el estudiante E3 formuló: ¿Qué
diferencia hay entre los fractales naturales y los fractales matemáticos?, pregunta que
tomó la profesora para introducir la primera actividad que investigaron los estudiantes.
E3:- ¿Qué diferencia hay entre fractales naturales y fractales matemáticos?
P:- ¿Fractales naturales?
E1:- Ríos, montañas,…
E2:- Nubes-
P:- A medida que estudiemos más el tema vamos a poder reconocer objetos
presentes en la naturaleza que tienen estructura fractal.
Figura 26: Parte del diálogo de la puesta en común (Notas de campo, clase 2).
79
La profesora también les dijo que a medida que avancen en el estudio de fractales
irían encontrando las respuestas a algunas de las preguntas que plantearon. Y les propuso
estudiar la medida de un caso concreto, investigar cuánto mide un fractal natural, la costa
de Mar del Plata.
La clase finalizó, la profesora pidió que le entreguen las producciones y les dijo
que continuarían con el trabajo la próxima clase.
Cabe mencionar que la formulación de preguntas a partir de la cuestión generatriz
¿Cómo se puede construir un fractal? hasta llegar a plantear Q1,2: ¿Cómo se puede medir
un fractal? y otras preguntas que permitieron avanzar con la Actividad de Estudio e
Investigación (AEI), llevó dos clases y se había previsto que se desarrollara en una clase.
Esto se debió a que se esperó a que sean los mismos estudiantes los que plantearan la
necesidad de dar respuesta a ciertas cuestiones para saber cómo se puede construir un
fractal. Es decir que hubo una modificación de la cronogénesis como consecuencia de la
mesogénesis y el cambio del topos de la profesora y de los estudiantes.
80
Descripción de la clase III
La profesora dio inicio a la clase devolviendo a los estudiantes las producciones
de la clase anterior y diciéndoles que continuarían con el estudio de la primera actividad:
Actividad 1:
¿Cuánto mide la costa de Mar del Plata?
Para ello les entregó una netbook a cada uno de los 3 grupos que quedaron
conformados de la siguiente manera:
Grupo 1: 3 integrantes, con 1 netbook.
Grupo 2: 4 integrantes, con 2 netbook.
Grupo 3: 3 integrantes, con 1 netbook.
La profesora les indicó que para investigar sobre la cuestión planteada, podían
hacer uso del explorador de internet. Al no haber conexión de internet en la institución,
al igual que en las clases pasadas, un estudiante generó señal de wi-fi, pero al ser ésta
muy débil, la profesora les descargó en sus computadoras, un mapa de Mar del Plata que
había llevado en un pen drive.
La profesora les recordó que debían anotar todas las preguntas que surgieran a
medida que avanzaban, y las páginas web que consultaban si buscaban información en
internet.
Los estudiantes comenzaron a trabajar y buscaron por distintos caminos
determinar la medida de la costa.
Un estudiante del grupo 1 midió la longitud de la costa en el mapa con una
escuadra. Los estudiantes del grupo2 buscaron en internet, investigaron en mapas
satelitales. Los del grupo3 midieron primero con un chip de celular usando como
referencia la escala del mapa, luego midieron con una regla.
Los estudiantes del grupo 1 y los del grupo 2, discutieron acerca de los
procedimientos que usaron para medir.
81
Luego de 30 minutos la profesora les propuso que cuenten qué resultados
obtuvieron y cómo midió cada grupo la costa de Mar del Plata.
Durante la puesta en común quedaron expuestas las diferentes formas que usaron
para determinar la medida y los distintos resultados que obtuvieron, como se muestra en
la figura 27.
Grupo1:
E1:-La mediría con un metro, caminando.
P:- ¿Por dónde caminarían? ¿Por la vereda? ¿Por la playa? ¿Qué sector medirían?
Los compañeros del curso se reían, porque dicen que tardarían mucho.
E1:- Era sólo una idea, es una tontería.
La profesora le dice que no es una tontería y que puede ser un modo de obtener la
medida de la costa. Y le repite la pregunta ¿Qué sector medirían?
E1:- Iría por la arena y mediría de forma recta, obviando las partes curvas.
Grupo2:
E2:- La costa mide 40 km. La mediría con un satélite porque es más fácil y más
preciso
E3:- Buscamos en internet y no nos dio exacto, dice que mide más de 17 km.
E4:- Buscamos en internet y dice que mide 2000 km.
(No midieron, es información de una página)
Grupo 3:
Un estudiante le dice a E4 que esa es la medida de la costa argentina, que lean
bien.
Miden con una
E5:- La costa mide 37 km, medimos en un mapa usando la escala, hicimos una
sucesión.
P:- ¿Cómo?
E5:- no sé
P:- ¿porque sumaban 5 cada vez?
E5:- sí, teniendo en cuenta que cada 2cm hay 5 km.
P:- ¿Por qué hay resultados distintos?
E3:- Porque midieron mal con la regla.
…..(risas)……
P:- ¿de qué dependerá los resultados de la medida?
E5:- De la cercanía con que se mida, el satélite tomaría otra medida que el que
camina.
E2:- Ella (E6) mediría caminando cada pasito y no como E1 que mediría derecho.
P:- Entonces si pudiéramos medir la costa con pasos caminando como dice E6,
cada partecita, entrada, contorno de piedras, ¿cuánto mediría la costa de Mar del Plata?
E5:- Sería muy grande la medida.
P:- A mayor detalle la medida aumentaría, entonces ¿cuánto mide la costa de Mar
del Plata?
82
E1:- Sería mayor.
Figura 27: Parte del diálogo de la puesta en común. (Notas de campo, clase 3).
La profesora continuó la reflexión con los estudiantes acerca de las distintas
escalas con las que se puede medir, y que si se mide la costa teniendo en cuenta los
detalles muy pequeños, piedras, y hasta los granos de arena, la longitud aumentaría a
medida que disminuye la escala con la que se mide.
Les propuso que observen el contorno con distintos acercamientos en Google
Maps, y luego de 15 minutos, les pidió que pasen a hacer un dibujo aproximado de la
costa en el pizarrón. Se ofrecieron dos estudiantes para pasar a dibujar. Cada uno dibujó
una curva, los demás estudiantes dieron indicaciones.
A continuación, en la figura 28 se muestra parte del diálogo generado al intentar
caracterizar la forma de la costa.
P:- Si observamos el contorno de la costa en fotos de satélite con distintos
acercamientos y comparamos la forma del contorno ¿cómo son?
….Silencio...
P:- Si elegimos dos tramos del dibujo, y los comparamos, ¿son distintos?
La profesora señala los tramos en el contorno dibujado en el pizarrón.
E6:- Son distintos, uno es más largo.
P:- ¿Y la forma es muy distinta?
E5:- Si, pero hay partes que se parecen a otras.
P:- Bueno, hasta ahora dijimos que “cuanto más detalle, más mide la costa y que
son parecidas algunas partes”. Si hablamos de la forma ¿cómo podemos describirla?
E2:- Tiene líneas y curvas, de múltiple formas
P:- O sea, no es regular. Presenta rugosidades.
Figura 28: Parte del diálogo de la puesta en común. (Notas de campo, clase 3).
La profesora les propuso que anoten las conclusiones que sacaron de lo hablado
en la puesta en común.
El tiempo de la clase finalizó y les pidió que le entreguen las producciones.
En los siguientes fragmentos de resolución, figuras 29 y 30, se presenta lo
registrado por los estudiantes del grupo 2 y 3. En el correspondiente a E5 del grupo 3,
83
expresan que la medida de la costa que ellos realizaron difiere de la información que
encontraron en internet. Es notable que a pesar de esto, no descartan la medida que
obtuvieron ellos dando por cierta la medida que encontraron en la página de internet.
Figura 29: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E5, clase 3
En cambio, en el fragmento de resolución de E3 del grupo 2 puede apreciarse que
en cuanto a la medida, si bien expresaron que se puede medir de distintas formas,
registraron sólo la información que encontraron en la página web.
84
Figura 30: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 3
En ambos fragmentos de resolución se expresa que el contorno de la costa es
irregular pero que tienen partes que se parecen. El grupo 1 no dio una medida de la costa
de Mar del Plata, pero fue valioso el aporte de la forma en que la medirían, con pasos,
85
contribuyendo a la construcción de la idea de que la medida obtenida va a depender de la
escala con la que se mide. Además el fragmento de resolución de E7 presentado en la
figura 31 se puede notar que formularon tres preguntas que no fueron dichas durante la
puesta en común:
¿Cómo se puede medir la costa? ¿Se puede medir? ¿Qué herramientas se
utilizarían?
Figura 31: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E7, clase 3
En esta clase los estudiantes buscaron una repuesta para resolver la Actividad 1:
¿Cuánto mide la costa de Mar del Plata? La profesora introdujo al medio un mapa de Mar
del Plata en formato digital. Por su parte los estudiantes buscaron información en páginas
web y utilizaron Google Maps para observar el contorno de la costa con distintas escalas.
El grupo clase aporta una repuesta parcial al problema de la medida: “la longitud de la
costa depende de la escala con que se mide”. También caracterizaron a la costa como
“irregular con partes que se parecen”.
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Descripción de la clase IV
La profesora comenzó la clase haciendo la devolución de los trabajo y repartiendo
las netbook. Les dijo que retomaran la actividad realizada la clase anterior, puntualmente
lo analizado en relación a la forma de la costa. Y les pidió que comenten lo que habían
escrito al respecto.
Los estudiantes dijeron que es de forma irregular, con rugosidades, con partes que
se parecen, que son similares. Una estudiante leyó de su hoja de trabajo que esa
característica se llama autosimilitud estadística.
La profesora les dijo que continuarían con el estudio de la autosimilitud, y les
propuso la segunda actividad:
Actividad 2:
¿En qué objetos de la naturaleza podemos encontrar características de autosimilitud?
Los estudiantes consultaron páginas de internet y tomaron notas, observaron
figuras de fractales naturales, montañas, brócoli romanesco, árboles, hojas de helecho.
Después de 40 minutos, la profesora les propuso socializar lo que encontraron.
Los estudiantes leyeron lo que registraron en la hoja de trabajo. En general
registraron las definiciones de los distintos tipos de autosimilitud como puede observarse
en el fragmento de resolución del estudiante E1, presentado en la figura 32:
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Figura 32: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 4
Luego de la puesta en común los estudiantes se acercan a las ventanas para buscar
la característica de autosimilitud en los árboles y las nubes que podían visualizar.
La profesora les pide las producciones y les dice que continuarán con el trabajo la
próxima clase.
En esta clase los estudiantes observaron la característica de autosimilitud en
distintos objetos de la naturaleza con estructura fractal visualizados tanto en páginas web
como así también mediante la contemplación de su entorno.
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Descripción de la clase V
La profesora comenzó la clase diciendo a los estudiantes que en base a las
preguntas que ellos formularon para el estudio de fractales, les propondría las actividades
cuya resolución ayudaría a dar repuesta a las preguntas planteadas.
Actividad 3:
La curva conocida como copo de nieve de Koch se puede generar a partir de un
triángulo equilátero inscripto en un círculo:
Figura generadora 1ª iteración 2ª iteración Copo de
nieve
a) Dibuja las figuras que corresponden a la 3ª y 4ª iteración. Describe el proceso de
construcción.
b) ¿Cuánto mide el perímetro en la 1ª ,2ª y 3ª iteración? ¿Y en la n-ésima iteración? ¿Y
cuando 𝑛 → ∞? Justifica.
c) ¿Cuánto mide el área en la 1ª ,2ª y 3ª iteración? ¿Y en la n-ésima iteración? ¿Y
cuando 𝑛 → ∞? Justifica.
Trabajaron en 3 grupos. Intentaron buscar en internet qué es una iteración pero no
había acceso a internet. La profesora aclaró para todos que es un procedimiento que se
repite varias veces para construir el copo de nieve a partir del triángulo.
En el grupo 1 y 2 trabajaron tratando de construir las iteraciones intuitivamente,
calculando la cantidad de lados en cada iteración sin plantearse el tema de las
proporciones. Esto puede notarse en el fragmento de resolución del estudiante E3 del
grupo 2, que se muestra en la figura 33.
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Figura 33: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 5
En el grupo 3 se preguntaron cómo medir cada parte. Un estudiante dijo que midan
con la regla. Otro le hizo notar que las partecitas más pequeñas ya no se pueden medir
con la regla. En el siguiente fragmento de resolución presentado en la figura 34 del
estudiante E6 puede verse un esquema de la construcción hasta la cuarta iteración y un
trabajo de búsqueda de regularidades para determinar la medida de cada segmento.
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Figura 34: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E6, clase 5
Transcurridos 60 minutos la profesora les propuso que representen la
construcción en el pizarrón y expliquen cómo la realizaron al resto de sus compañeros.
Cada grupo que estaba en el frente de la clase, representó una iteración explicando
cómo la realizó, y todos participaron discutiendo acerca de la manera en que se construye
y cómo quedó representada la figura.
En la figura 35 se presenta parte de la explicación de los estudiantes del grupo 1,
donde puede notarse que la profesora los interroga para que puedan expresar cómo lo
construyeron.
P:- Cuenten cómo lo hicieron.
E1:- Íbamos formando agregando triángulos equiláteros en cada lado.
P:- Y que tenías en cuenta para agregarlo, ¿lo ubicabas en cualquier lugar?
91
E1:- Me fijaba que forme el círculo y que quede equilátero.
….risas….
P:- Yo lo que veo es que lo ubicaste en un lugar determinado.
E1: - Si, en cada punta (refiriéndose a los triángulos que iban quedando en la figura).
P:- Esta bien, pero en que parte de cada punta.
E1:- En cada lado del costado, en el medio.
P:-Bueno eso tienen que tratar de escribirlo.
Figura 35: Parte del diálogo de la puesta en común. (Notas de campo, clase 5).
El grupo 2 dividió el lado en tres partes, en la parte central dibujó un triángulo y
luego le borró la base. Dijeron que los lados debían tener la misma medida. La
construcción en el pizarrón la modificaron con respecto a las primeras que habían
realizado en el grupo chico, debido a la información compartida entre los grupos mientras
realizaban las iteraciones.
El grupo 3 no llegó a contar cómo realizaron la construcción porque la clase
finalizó. La profesora les dijo que continuarían la próxima clase y les pidió las
producciones.
En esta clase los estudiantes trabajaron con la generación del Copo de nieve de
Koch y aportaron respuestas parciales su construcción.
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Descripción de la clase VI
La profesora comenzó la clase retomando la puesta en común de la clase anterior,
ya que no se había podido terminar por falta de tiempo. Les propuso que nuevamente
pasen al pizarrón para explicar el proceso de construcción del Copo de Nieve de Koch y
cómo calcularon el perímetro. Se recordó el proceso de construcción, qué es el perímetro
y se sacaron conclusiones respecto a cómo se calcula en cada iteración. Esto puede
apreciarse en la figura 36 que presenta parte del diálogo de la puesta en común.
P:- ¿Que tuvieron en cuenta para dibujarlo?
E7:- Dividimos el entero y ubicamos dos pedacitos en la mitad para que forme el
triangulo
P:- ¿Y cómo medirían el perímetro? No cuánto mide, sino cómo.
E7:- Medimos cualquier lado porque son iguales, ¿entiende?
P:- ¿Y después qué harías?
E7:- Mediría cada una de las partes, y lo sumamos.
E9:- O multiplicamos.
P:- ¿Qué significa “cuando 𝑛 → ∞”?
…..(silencio)….
P:- Si n es el número de iteraciones, cuando tiende a infinito ¿cuánto será la medida del
perímetro en el infinito?
E9:- Infinito
P:- ¿Esto ocurre con otros fractales que hayan investigado?
…..(silencio)
Figura 36. Parte del diálogo de la puesta en común (Transcripción de audio, clase 6)
La profesora les propone responder a esa pregunta más adelante y les dice que
continúen el trabajo para resolver la Actividad 3.
La clase finaliza y la profesora les pide que entreguen las producciones.
En los siguientes protocolos (Figuras 37 y 38) correspondientes a los estudiantes
E3 y E7 son representativos de que pudieron mejorar la descripción del proceso de
construcción, así como la expresión del cálculo del perímetro.
93
Figura 37: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 6
Figura 38: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E7, clase 6
En el siguiente fragmento de resolución de E9 del grupo 3 (Figura 39) si bien
aparece el estudio del área del copo de nieve de Koch, mediante una ecuación exponencial
94
para calcular el número de triángulos, una sucesión que expresa el área de los triángulos
en cada iteración, y una serie para calcular el área, se decide no socializar estas técnicas
con el grupo clase por no disponer del tiempo suficiente para abordar su estudio.
95
Figura 39: Protocolo correspondiente al estudiante E9, clase 6
96
Descripción de la clase VII
La profesora comienza la clase retomando la puesta en común de la clase anterior,
y el grupo clase recordó lo trabajado con el copo de nieve de Koch: el proceso de
construcción, cómo calcularon el perímetro, y que se llegó a la conclusión de que si se
continúa con el número de iteraciones su perímetro tiende a infinito.
La profesora los interrogó con respecto a la medida del área del copo de nieve de
Koch, ya que en la clase anterior no se llegó a discutir.
Una estudiante del grupo 3 respondió que encontró que la medida es finita, igual
a ocho sobre cinco del área del triángulo, que no sobrepasa el área del círculo.
La profesora les dijo que entonces se puede caracterizar al copo de nieve de Koch
como un fractal que tiene un área finita mientras su perímetro es infinito. Y les preguntó
si su autosimilitud es exacta o aproximada, a lo que los estudiantes respondieron que es
exacta porque se repite la misma forma hasta el infinito.
Luego les entregó la Actividad 4 para que continuaran con el estudio de la medida
de los fractales.
97
Actividad 4:
4.1 Dibuja un segmento de longitud L, luego duplícalo ¿Cuántos segmentos
congruentes con el original resultan de la transformación?
4.2 Dibuja un cuadrado de lado L, luego duplica la medida de sus lados ¿Cuántos
cuadrados congruentes con el original resultan de la transformación?
4.3 Dibuja un cubo de largo, alto y ancho L, luego duplica la medida de L. ¿Cuántos
cubos congruentes con el original resultan de la transformación?
4.4 Con los datos obtenidos completa la tabla:
Objeto generador Dimensión
Número de objetos
congruentes
luego de la transformación
Línea 1
Cuadrado 2
Cubo 3
Objeto d
a) ¿Cómo se relacionan el número de objetos congruentes luego de la transformación
y su dimensión?
b) Dado el Triángulo de Sierpinsky ¿cómo se puede calcular su dimensión fractal?
Los estudiantes formularon preguntas como ¿Qué es un segmento? ¿Qué significa
que sean congruentes?, luego buscaron las respuestas en internet.
Todos representaron la transformación del segmento y del cuadrado sin dificultad,
pero discutieron acerca de cuántos cubos quedaban luego de la transformación. Una
estudiante del grupo 3 pasó al pizarrón para dibujar la transformación con tizas de colores
para que puedan distinguirse claramente cuántos cubos quedan. Y todos acordaron que
98
luego de la transformación quedan 8 cubos. El fragmento de resolución del estudiante E7
(Figura 40) es representativo del trabajo realizado en esta clase.
Durante la puesta en común un estudiante preguntó ¿Qué es la dimensión? Y la
profesora le devolvió la pregunta a la clase ¿Qué significa que un objeto tenga dimensión
1,2 o 3?
Los chicos recordaron haber escuchado hablar de las dimensiones 2 y 3, lo
relacionaron con el cine, con las imágenes 2D y 3D.
La profesora les preguntó si alguno había investigado qué es la dimensión.
Un alumno respondió que es un número asociado al tamaño que tienen. Por
ejemplo, una línea tiene dimensión 1, un cuadrado dimensión 2 y un cubo dimensión 3.
La clase finaliza, la profesora les pide que entreguen las producciones.
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Figura 40: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E7, clase 7
100
Descripción de la clase VIII
La profesora comenzó la clase devolviendo las producciones, y recordándoles que
como trabajo final debían realizar un resumen con lo estudiado e investigado hasta ese
momento, y que debían entregarlo la próxima clase.
Luego se realizó una breve puesta en común de lo estudiado la clase anterior sobre
dimensión.
Se dio como ejemplo de dimensión 1 una línea; de dimensión 2, el cine en 2D y
de dimensión 3, el cine 3D.
A continuación les propuso continuar con la parte de la Actividad 4 que quedo
pendiente.
Un estudiante del grupo 1 pregunta qué relación tienen que buscar. La profesora
los orienta diciéndoles que busquen una relación mediante una operación matemática que
involucre la dimensión y el número de partes obtenidas.
En el grupo 2 multiplican un número por la dimensión para obtener el número de
partes. En el grupo 3 los estudiantes buscan una relación entre potencias. A ambos grupos
la profesora les pide que simplifiquen las expresiones que habían obtenido, les dice que
recuerden las propiedades de la multiplicación y de la potenciación para obtener una
expresión más sencilla.
Luego trabajaron con el proceso iterativo que genera el triángulo de Sierpinski
para saber el número de partes después de la transformación y poder calcular la
dimensión.
Un estudiante del grupo 1 pasó dibujar en el pizarrón, y mostró cómo se genera el
triángulo de Sierpinski, que a partir de 4 triángulos se obtienen 3.
101
En el cuadro de la figura 41 se muestra parte del diálogo de la puesta en común
en el cual puede notarse que la profesora los orienta para que puedan calcular la dimensión
del triángulo de Sierpinski.
P:- Ustedes me dijeron que n=2d me permite calcular el número de triángulos,
¿qué es n?
E1: Es el número de triángulos después de la transformación.
P:- ¿Qué se necesita saber para calcular la dimensión del triángulo de Sierpinski?
E3:- Los triángulos que van quedando.
P:- ¿Cómo es la figura que resulta después de las transformaciones?
(Los alumnos buscan en la carpeta y responden)
E9:- Autosimilar
Figura 41. Parte del diálogo de la puesta en común (Notas de campo, clase 8)
En esta clase surgieron dificultades para calcular la dimensión porque faltaban
sólo 25 minutos para que termine la clase y los estudiantes no sabían logaritmos.
Finalmente lo calcularon de forma exploratoria obteniendo un resultado aproximado
como puede observarse en los fragmentos de resolución de los estudiantes E4 y E8,
representados en las Figuras 42 y 43 respectivamente. Luego la profesora les dijo que
existe una operación llamada logaritmo que permite calcular de forma exacta el valor de
la incógnita cuando está en el exponente.
Figura 42: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E4, clase 8
102
Figura 43: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E8. (Anex1, clase 8
En el protocolo de E5 del grupo 3, presentado en la figura 44 puede verse que la
estudiante emplea logaritmo natural para el cálculo de la dimensión.
103
Figura 44: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E8, clase 8
El siguiente fragmento de resolución (Figura 45) es representativo de la síntesis
del proceso de estudio que realizaron los estudiantes como trabajo final.
104
Figura 45: Fragmento de resolución correspondiente al estudiante E3, clase 8
105
Características de la Implementación: Un análisis a través de las funciones
didácticas
En el siguiente cuadro se muestra una síntesis de la descripción del desarrollo de
las clases en términos de las funciones didácticas
Clase/Nivel Mesogenético Topogenético Cronogenético
Clase 1 -Se introduce 𝑄0: ¿Cómo se puede construir un fractal?
- Se plantean las cuestiones derivadas de 𝑄0.
- Se acuerda continuar el estudio con la Q1,2:¿Cómo se puede medir un fractal?
La profesora introduce la cuestión generatriz: ¿Cómo se puede construir un fractal?
La profesora es quién decide comenzar a estudiar la Q1,2:¿Cómo se puede medir un fractal?
Los estudiantes formulan nuevas cuestiones derivadas.
La formulación de las cuestiones derivadas requiere una extensión del tiempo reloj. Por lo que se necesita continuar la clase siguiente.
Clase 2 - Se introduce la computadora como media en la búsqueda de información.
- Se plantean cuestiones derivadas de Q1,2:¿Cómo se puede medir un fractal?, como ¿Qué son los fractales naturales?, ¿Qué diferencia hay entre los fractales naturales y los fractales matemáticos?
-Se introduce el problema de la medición de la Costa de Mar del Plata.
-Se obtuvieron respuestas parciales
La profesora introduce la cuestión ¿Cómo se puede medir la costa de Mar del Plata? a través de una actividad y los estudiantes resuelven y extraen conjeturas de los resultados.
Los estudiantes comienzan a investigar sobre las características de los fractales naturales e introducen nuevas cuestiones derivadas.
Los tiempos reloj limitaron la resolución de la actividad.
106
sobre la medida de fractales naturales.
Clase 3 -Se continúa con el estudio de la cuestión ¿Cómo se puede medir la costa de Mar del Plata? Llamando a OMP: Autosimilitud.
Se concluye que la medida depende de la escala con que se mide
Los estudiantes seleccionan información que consideran aportan a la construcción de la respuesta a ¿Cómo se puede medir la costa de Mar del Plata?
Los estudiantes formulan nuevas cuestiones derivadas.
La profesora gestiona las discusiones que se fueron generando para arribar a la medida exacta de la costa de Mar del Plata
Los tiempos reloj limitaron el desarrollo de las respuestas R◊ que los estudiantes introdujeron en el medio cuando buscaron en Internet.
Clase 4 -Se introduce el problema de la autosimilitud en los objetos de la naturaleza y la exploración de los mismos en el contexto de la escuela.
-Se continúa profundizando sobre la OMP1: Autosimilitud.
La profesora introduce la cuestión derivada ¿En qué objetos de la naturaleza podemos encontrar características de autosimilitud? a través de una actividad y los estudiantes consultan páginas de internet.
Se vio limitado el avance de la media debido a que solo asistieron tres estudiantes a la clase.
Clase 5 -Se explora la generación del Copo de Nieve de Koch, llamando a las OMP5: Proceso iterativo, la OMP1: Autosimilitud, OMP4: Perímetro
- Se obtuvieron respuestas parciales sobre los procesos
La profesora introduce la Actividad 3.
-Los estudiantes resuelven la Actividad y exploran las características del fractal Copo de Nieve.
La resolución de la Actividad requiere una prolongación del tiempo reloj debido a que los estudiantes no están habituados a trabajar con
107
iterativos que generan un fractal geométrico.
construcciones geométricas
Clase 6 -Se continúa con la exploración Copo de Nieve de Koch, llamando a las OMP1: Autosimilitud OMP3: Área de superficies planas, OMP4: Perímetro de superficies planas. OMP8: Límite, OMP10: Series
La profesora gestiona las discusiones que se fueron generando para arribar a las medidas del fractal Copo de Nieve.
Los estudiantes resuelven la actividad y argumentan los resultados a los que arribaron al grupo-clase.
La resolución de la Actividad requiere una prolongación del tiempo reloj.
Clase 7 -Se introduce el problema de la dimensión en objetos geométricos, llamando a la OMP2: Dimensión fractal, OMP12: Ecuación exponencial, OMP14: transformaciones.
La profesora gestiona las discusiones que se fueron generando para arribar la medida de la dimensión de objetos geométricos.
Los estudiantes los estudiantes resuelven la actividad y argumentan los resultados a los que arribaron al grupo-clase.
La resolución de la Actividad requiere una prolongación del tiempo reloj, por lo que no se completa el estudio de la dimensión de objetos fractales
Clase 8 -Se explora la transformación que genera el Triángulo de Sierpinski para calcular su dimensión, llamando a la OMP13: Logaritmo, y se continúa con el estudio de las OMP2: Dimensión fractal, OMP12: Ecuación
La profesora gestiona las discusiones que se fueron generando para arribar la medida de la dimensión del Triángulo de Sierpinski.
Los estudiantes los estudiantes resuelven la actividad y
Se ve limitada por el tiempo reloj la exploración de la dimensión de objetos fractales.
108
exponencial, OMP5: procesos iterativos.
argumentan los resultados a los que arribaron el grupo-clase.
109
Capítulo VII
CONCLUSIONES
En esta tesis se construyó un Modelo Praxeológico de Referencia y luego se
diseñó, implemento y describió una AEI para la enseñanza de fractales abordando una de
las posibles preguntas derivadas de la cuestión generatriz, utilizando algunos elementos
teóricos de la TAD, en particular la idea de una enseñanza basada en preguntas. Esta
propuesta, si bien se trata de una alternativa incompleta y limitada, permitió introducir
aunque en un nivel incipiente, una perspectiva diferente de la enseñanza de la Matemática
en la escuela secundaria.
Las primeras dos preguntas planteadas en la tesis:
1- ¿Qué organizaciones matemáticas es posible construir o reconstruir para dar
respuesta a la pregunta Q0: ¿Cómo se puede construir un fractal??
2- ¿Qué actividades podrían proponerse a los estudiantes de un curso de 6° año de la
escuela secundaria para dar respuesta a la pregunta ¿cómo se puede medir un fractal?
dieron origen la reconstrucción de un MPR (desarrollado en el capítulo V), que luego dio
lugar al diseño de la AEI (desarrollada en el capítulo VI) desarrollada en un curso de
6ºaño de la escuela secundaria. Los estudiantes analizaron las medidas de algunos objetos
que presentan estructura fractal: La longitud de la Costa de Mar del Plata, el perímetro y
el área del Copo de nieve de Koch, la dimensión fractal o de similitud del triángulo de
Sierpinski. También plantearon preguntas derivadas de las cuestiones generatrices ¿cómo
se puede construir un fractal? ¿Cómo se puede medir un fractal? Y elaboraron repuestas
a dichas cuestiones. De este modo construyeron los principales conceptos que
caracterizan a los fractales: autosimilitud y dimensión fraccionaria. Además construyeron
la noción de transformaciones en el plano como proceso iterativo de generación de
fractales geométricos.
De las OM incluidas en el MPR durante el desarrollo de las actividades de estudio
e investigación no se exploraron las relaciones con la OMP7: Números Complejos,
OMP10: Series, OMP11: Cálculo y representaciones computacionales, y OMP15: Matrices.
110
Tampoco se respondieron todas las preguntas derivadas que plantearon los estudiantes,
de manera que el proceso de estudio queda abierto y motiva a una segunda parte.
Con relación a la tercera pregunta,
3- ¿Cómo se caracteriza, en el marco de la TAD, el proceso de estudio llevado a cabo
a partir de la implementación de la AEI? Actividad de Estudio e Investigación para la
enseñanza de fractales en 6° año de matemática de la escuela secundaria?
una vez descriptas las ocho sesiones de clase que se emplearon para la implementación
de la AEI es posible concluir que las decisiones tomadas a nivel topogenético encontraron
obstáculos en sus comienzos debido a que la profesora abandonó su rol de explicadora, y
tuvieron que ser los mismos estudiantes los que aportaron las repuestas a las cuestiones
que también ellos plantearon, a partir de la pregunta generatriz. Esto generó cierto
desconcierto por parte de los estudiantes, producto del desplazamiento de la profesora del
lugar de único responsable de la clase. Estas decisiones impactaron en el nivel
mesogenético, debido a que los estudiantes, como consecuencia del espacio cedido,
introdujeron al medio: cuestiones derivadas, artículos y textos de páginas web, y
aportaron repuestas parciales elaboradas por ellos. El desconcierto inicial poco a poco fue
cediendo lugar, y entre los estudiantes finalmente se naturalizó la metodología de
enseñanza basada en preguntas.
Por su parte, también fue difícil, como profesora, asumir el rol de directora de
estudio y no intervenir cuando el tiempo reloj se extendía mucho más de lo que había
estimado, o cuando los estudiantes no abordaban OM y técnicas que había previsto. Si
bien hubo intervenciones para guiar la actividad y controlar el tiempo, se hicieron sólo
cuando fue necesario para poder llevar a término la implementación de la AEI. Es decir,
se puede apreciar la interacción de las funciones didácticas mesogénesis, cronogénesis y
topogénesis.
Estos resultados incipientes, más allá de los obstáculos que tuvieron que sortearse,
auguran que este tipo de propuestas puede ser viable en la escuela secundaria de la
Provincia de Buenos Aires. Se requiere de más investigaciones que aborden la enseñanza
de Fractales incorporando gestos de una nueva pedagogía, que otorgue sentido a la
matemática enseñada en la Escuela Secundaria.
111
Capítulo VIII
REFERENCIAS
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ANEXO
IMPLEMENTACIÓN DE LA AIE
TRANSCRIPCIÓN AUDIO- CLASE N° 1
P:- Buenos días, yo soy profesora de matemáticas también, mi nombre es Patricia.
Estamos acá para estudiar un tema nuevo que está en el DC de 6° año. Este tema es el de
Fractales, y es prácticamente nuevo en el DC, hace un par de años que se lo introdujo,
no solamente acá en Argentina sino en otros lugares del mundo. Es un tema que importa
a la comunidad, así que el motivo de mi presencia también en la clase es poder hacer algo
novedoso tanto para ustedes como para nosotras, a la vez que ustedes estudian el tema, lo
vamos a estudiar con ustedes también.
(Interrupción: Ingresan tarde dos alumnos al aula, la profesora retoma la presentación)
P:-Van a ver que a veces grabamos las clases o tomamos notas de cosas que
ustedes dicen, porque como les comentaba antes, este tema también es nuevo para
nosotras, y también estamos aprendiendo una manera diferente de enseñar para que
ustedes aprendan de una mejor forma este tema. La forma de trabajar con este nuevo tema
va a ser mediante la investigación, así que los aportes de ustedes van a ser fundamentales.
Para la investigación vamos a tener como recursos las netbooks, apuntes que nosotras
traigamos que consideremos que pueden ser útiles. Pueden usar internet, pero, lo principal
para esta forma de trabajo son las preguntas. Las preguntas son fundamentales, tenemos
que volver a la edad de cuando teníamos 4 o 5 años, no sé si alguno tiene hermanitos
chiquitos que están en esa etapa en que ante todo preguntan ¿por qué? Nosotros tenemos
que tratar de sacarnos las estructuras en la cabeza y volvernos a preguntar todo, no hay
preguntas que sean tontas ni preguntas que sean obvias, todas las preguntas son
importantes, todas las que se nos cruzan por la cabeza.
La modalidad que vamos a utilizar es la de registrar todo, o sea, la pregunta que
se les ocurra la anotan, y eso tiene que ver también con cómo vamos a desarrollar este
tema a través de la investigación. Lo que se va a evaluar en ustedes para este trimestre,
que ya con la profe Nadia lo charlamos y convenimos en eso, es el trabajo de ustedes de
todas las clases; no es que se va a tomar una evaluación escrita después para calificarlos.
Acá no vamos a evaluar si lo que anota cada uno en su hoja, o lo que dice, o lo que
pregunta está bien o está mal; en un proceso de investigación a priori, no hay cosas que
están bien ni cosas que están mal, sino conjeturas que necesitan ser validadas o refutadas.
117
Después, como hacen en una comunidad científica, entre todos vamos a decidir optar por
alguna de estas preguntas para poder continuar estudiando el tema, es como elegir un
camino, es tomar una decisión por dónde vamos a seguir. Por esta razón, todo tiene que
estar escrito, nosotras nos vamos a llevar todas las clases las producciones que hagan, con
las que trabajaron durante el día, y se las vamos a devolver en la clase siguiente. Nos
llevamos eso para ver para ver qué es lo que ustedes lograron desarrollar en la clase y
también nos sirve a nosotras para ver cuál es la mejor forma de estudiar, para ver cómo
nos seguimos manejando.
Es más importante tener formulada las preguntas que las respuestas.
Van a trabajar en grupo, pueden trabajar en grupos de tres o cuatro. Traten de
organizarse ustedes según cómo se lleven mejor trabajando.
Vamos a necesitar que usen internet, ¿Tienen internet?
E1:- Si, generamos con el celular
(Los estudiantes se organizan en grupos)
P:- Chicos antes de empezar y de que exploren en internet les digo con qué vamos
a trabajar. ¿Les parece? Pequeño detalle.
(…risas…)
P:- Hay que pensar ¿cómo podemos construir un fractal? (anota la pregunta en el
pizarrón)
Yo quisiera que ustedes en una hoja por grupo, anoten otras preguntas de las cuales
necesitarían tener las respuestas para responder a ¿cómo podemos construir un fractal?
Acuérdense cuando uno va a encarar la construcción de algo, de un objeto, qué cosas
necesita saber para construirlo. Anoten en la hoja qué les parece que tienen que saber para
construir un fractal.
E2:- ¿Todos anotamos en una hoja?
P:- Una por grupo está bien. En realidad cada uno tiene que tener lo suyo, pero en
un principio que uno vaya anotando lo que dicen los otros.
(Los alumnos comienzan a trabajar y un estudiante hace una pregunta que no se escucha
claramente en el audio)
P:- ¿Pero ustedes saben qué es un fractal?
E3:- no (contestan varios estudiantes)
118
P:- Entonces hay que plantearse qué preguntas se harían para conocer qué es ese
objeto que queremos construir. Piensen en eso y anotan todo.
(Los estudiantes continúan trabajando en grupo)
Puesta en Común
P:-¿Chicos cómo van con las preguntas?
E4:- Está cargando (E4 refiriéndose a la computadora…risas generales)
P:- (dirigiéndose a cada grupo) ¿Ustedes tienen preguntas?, no respuestas,
preguntas. En este primer momento no nos interesan las respuestas, sino las preguntas.
¿Alguien necesita un poco más de tiempo para seguir haciendo preguntas, o empezamos
la puesta en común?
E:- No (responden la mayoría de los estudiantes).
P:- Entonces vamos a anotar en el pizarrón las preguntas. ¿Me quieren ir diciendo?
Las preguntas siempre van a estar bien.
E1:- ¿Qué herramientas o elementos se necesitan para la construcción de un
fractal?
P:- (anota en el pizarrón las preguntas) ¿Otra pregunta?
E2:- ¿Tiene una fórmula matemática?, ¿Cómo está compuesto?
P:- (dirigiéndose a otro grupo) ¿y acá?
E3:- ¿Cuáles son los pasos para realizarlo?
P:- Sería ¿cuáles son los pasos para construirlo?
E3:- Si.
P:- ¿Qué otra pregunta chicos?
E4:- ¿De qué manera podemos construir dicho fractal?
E5:- ¿Para qué sirve?
P:- ¿Para qué sirve construirlo o el fractal?
E5:- El fractal.
P:- Bueno, más preguntas… yo sé que tienen un montón, así que las quiero
escuchar.
E6:- ¿Toda persona puede construir un fractal?
P:- (continua anotando las preguntas en el pizarrón) ¿Alguna otra pregunta?
E6:- No tenemos más.
E7:- ¿Qué conocimientos debe tener una persona que quiera construir un fractal?
E8:- ¿Qué ventajas y desventajas tiene la construcción?
119
P:- ¿No hay más preguntas?
E1:- no
(…silencio…)
P:-Entonces hagamos una revisión de todas las preguntas que formulamos. (la
profesora relee las preguntas anotadas en el pizarrón)
¿A ustedes les parece ahora que conociendo las respuestas a estas preguntas que ya
podrían construirlo?
(…Silencio…)
P:- ¿Si?, ¿Todos estamos de acuerdo?, ¿Alguien quiere agregar otra pregunta?
(…silencio…)
P:-Observemos esta pregunta: ¿qué conocimientos debe tener una persona para
construir un fractal?, ¿qué conocimientos hay que tener para construirlo? O sea
conocimientos respecto del objeto que se quiere construir.
E1:- Experiencia en construcción
P:- Si, pero ¿qué conocimientos del objeto tienen que tener para construirlo?
E3:- Datos de lo que va a construir.
P:- ¿Y cuáles son esos datos?
E2:- Un plano
P:- ¿y qué datos contiene un plano?
E3:- Medidas
P:- Entonces si me piden que construya un objeto tengo los datos, las medidas,
¿necesito saber algo más de ese objeto? Por ejemplo si me piden que construya una mesa,
me dan las medidas, me dicen que tenga tanto de largo, tanto de alto y tanto de ancho
¿qué otra cosa necesito saber para construirla?
(…silencio, cierto desconcierto…)
P:- Vamos a anotar en el pizarrón lo que me dijeron, datos, medidas, también me
dijeron un plano ¿Algo más?
E1:- El diseño, la forma que va a tener
E2:- ¿Qué herramientas se necesitan?
P:- Esta ya está entre las preguntas que anotamos. Miren la cantidad de preguntas
que realizaron, son un montón. Para orientarnos un poquito vamos a iniciar el estudio con
alguna de ellas.
Ya les había dicho que no había preguntas que estarían mal, todas ellas son
distintos caminos para empezar a realizar el estudio. Elegiremos una para comenzar todos
120
por la misma y que al finalizar cada clase podamos hacer una puesta en común de lo que
averiguo o investigo cada uno. Me parace que si estamos con el tema de la construcción
de un fractal, me va a interesar especialmente saber cuánto mide lo que tengo que
construir y qué herramientas se necesitan y si tienen una fórmula (mirando las preguntas
escritas en el pizarrón). A todas estas preguntas vamos a tratar de ir encontrándoles las
respuestas a lo largo de las próximas clases. Estas preguntas que anotamos no son las
únicas, son las que se les ocurrieron hoy, espero que las clases siguientes se saquen la
timidez y hagan muchas preguntas más.
Vamos a empezar por la pregunta, ¿Cómo podemos medir el fractal?
Hasta llegar a contestar ésta pregunta inicial hay un camino largo que vamos a
tener que recorrer investigando primero estas preguntas (la profesora señala el pizarrón).
Comenzamos con la consigna inicial, ¿qué conocimientos debo tener para construir el
fractal?, y como los conocimientos que tengo que tener para construir ese objeto son
varios, primero que no lo conozco, como ustedes expresaron en las preguntas, tampoco
sé para qué sirve, no sé qué herramientas necesito para construirlo; pero voy a empezar
por averiguar cómo lo mido. ¿Les parece? y después vemos las otras preguntas.
Para poder continuar, como les decía este es un camino de preguntas y las respuestas van
a ir surgiendo a medida que ustedes se vayan formulando más preguntas, a partir de esta
pregunta ustedes ¿cuáles otras se harían?
E9:- ¿Podemos ir buscamos en internet?
P:- Claro sí, pueden ir buscando en internet o donde a ustedes les parezca.
(Alumnos comienzan a trabajar en los grupos con ésta pregunta)
TRANSCRIPCIÓN AUDIO- CLASE N° 2
Introducción a la primera situación
P:- Nosotros convenimos (refiriéndose a lo acordado anteriormente con los
estudiantes) empezar a trabajar con la pregunta ¿Cómo se puede medir un fractal?, pero
ustedes me dijeron que no sabían qué clase de objeto es un fractal, entonces ¿Qué
necesito saber antes de medirlo?
No busquen primero las respuestas. Lo primero que vamos a buscar son
preguntas y después las respuestas a esas preguntas.
E1: - ¿qué es un fractal?
121
E2:- ¿Qué sería esa cosa?
P:- Claro… cuando busquen información todo lo que no entiendan lo anotan.
Anoten todo lo que les parezca que les va a servir.
E3:- ¿Qué tenemos que poner?
P:- Tienen que elaborar las respuestas a las preguntas que les surgieron y si
surgen más preguntas, porque hay cosas que no conocen, lo anotan.
E2- ¿Tenemos que responder a la pregunta?
Aludiendo a si tenía que copiar lo que encontró en una página de internet. Otro
estudiante le contesta:
E3- Hay que hacer primero más preguntas acerca de lo que no entiendan.
P- Así es, a medida que buscan la repuesta a la pregunta ¿Cómo se puede medir
un fractal?, hay que formular más preguntas acerca de todo lo que encuentren y no
entiendan.
TRANSCRIPCIÓN AUDIO- CLASE N° 4
Puesta en común de la situación 2
E1:-Nosotros buscamos y nos aparecía que había tres tipos de autosimilitud,
autosimilitud exacta, cuasiautosimilitud y autosimilitud estadística.
P:-¿Y anotaron algo en cada una de ellas?
E3:- si
¿Y entendieron que es la autosimilitud?
E1:-Yo entendí que se ve igual a distintas escalas.
E2:- Tiene una forma y a medida que se achica se ve la misma forma.
P:- O sea que en el mismo objeto se ve la misma forma a distintas escalas. Y ¿qué es la
autosimilitud exacta, la cuasiautosimilitud y la autosimilitud estadística?
E1:- La cuasiautosimilitud exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a
diferentes escalas. La autisimilitud estadística exige que el fractal tenga medidas
numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala.
P:-¿Que entendieron en esa parte?
E2:- y lo mismo, tienen la misma imagen en distintos tamaños
P: ¿Por qué la distinción?
E3:- Porque tiene la misma forma en algunas partes.
P:- ¿Y la última?
122
E3:- la autosimilitud exacta exige que el fractal parezca idéntico a diferentes escalas.
P:- Entonces si una es exacta, entonces las otras cómo son?
E1:- Acá dice que son aproximadas.
P:-¿Que objetos naturales vieron que sean autosimilares?
E1: Una pluma, también vimos células en un microscopio, parecían un racimo.
E2:-Un Triángulo que estaba formado por más triángulos.
P:- ¿Y ese es natural?
E1:-No
P:- ¿Cuáles son los naturales?, algunos los estudiamos la clase pasada.
E3:-Las nubes, las montañas…
P:- ¿Pueden ver la autosimilitud en las montañas y en las nubes?
La utosimilitud puede ser exacta o hay una que no es exacta
Entonces ¿los fractales de la naturaleza son exacto o no?
E:- Aproximadamente idéntico
E No entendí estadísticamente
P:- Me parece que sólo se parecen algunas partes, como cuando estudiamos el contorno
de la costa. Vamos a seguir investigando.
P:- Bueno, entreguen las hojas.
E3:- ¿Todos?
P:- Si, todos
TRANSCRIPCIÓN AUDIO- CLASE N° 6
Puesta en común de la situación 6: cálculo del perímetro del copo de nieve
P:- Bueno chicos empezamos. Tienen que pasar al pizarrón para realizar y explicar la
actividad.
…..(en cada grupo discuten entre ellos quien pasa)….
P:- No piensen que tienen que pasar a decir algo que sea lo correcto. No se les va
evaluar si algo está bien o mal, lo que esté bien lo vamos a construir entre todos. Lo
que no es correcto es que no hagan o digan nada. Vamos a retomar lo que hicieron en la
clase anterior, en la que tenían que contar el proceso de generación, es decir, cómo
armaron el copo de nieve.
Yo dibuje un triángulo equilátero, podemos considerar que está inscripto en un círculo
como dice la consigna, entonces los lados ¿cómo van a ser?
123
E1:- Iguales
P:- ¿Cómo harían para hacer la secuencia que sigue, para seguir el proceso de
construcción?
Empiecen ustedes. (Señala al grupo 1)
Contanos que tuviste en cuenta para dibujarlo.
E1:- Tienen que estar bien posicionados para formar la estrella.
P:- ¿A qué se refieren con bien posicionado?
E1: Para que queden los lados iguales.
P:- Y con respecto al perímetro, ¿cómo lo medirían?
E1:- con una regla medimos un lado. Como los lados son iguales, y miden 5 los
sumamos. En la primera hicimos 7+7+7+7….en la segunda 5+5+5+…en la tercera
2+2+2+2….
P: A ustedes ¿Qué les parece, es correcto lo que hicieron?
….(los grupos discuten, audio poco claro)….
P:- Entonces se pude multiplicar la medida de cada lado por la cantidad.
Tenemos que acordar qué es el perímetro, en esa figura ¿cuál sería?
E7:- El contorno.
P:- ¿Ustedes están de acuerdo? ¿Lo quieren señalar en la figura?
….(audio poco claro)….
P:- Y de la otra forma que dicen ellos ¿se puede calcular?
….(no se escucha con claridad lo que responden los estudiantes)….
P:- Ustedes utilizan otra técnica, hay que ponerla en práctica, analizarla y ver si nos
permite obtener la medida del perímetro, tienen que seguir trabajando para verificar
esto.
¿Quién de este grupo pasa?
..(luego de dibujar en el pizarrón)…
P:- ¿Nos cuentan cómo construyeron la figura del pizarrón?
….(audio poco claro)….
P:- ¿Que tuvieron en cuenta para dibujarlo?
E7:- Dividimos el entero y ubicamos dos pedacitos en la mitad para que forme el
triangulo
P:- ¿Y cómo medirían el perímetro? No cuánto mide, sino cómo.
E7:- Medimos cualquier lado porque son iguales, ¿entiende?
P:- ¿Y después qué harías?
124
E7:- Mediría cada una de las partes, y lo sumamos.
E9:- O multiplicamos.
P:- Bueno, todo esto ¿lo tienen escrito?
…….(Risas)……
P:- Bueno tiene que quedar todo lo que explicaron registrado
En el pizarrón queda confusa la tercera iteración así que no la vamos a dibujar pero
quiero que este grupo cuente otra forma que utilizó para calcular el perímetro.
E7:- Dividimos por 3 esa partecita.
P:- ¿Y como se llama en matemática esa partecita?
E9:- Segmento.
P:- ¿Por qué lo dividiste por 3?
E7: Para que quede el triángulo en el medio.
Entonces hicimos 10 que mide esta parte dividido 3, dio 3,33 , y lo dividimos por 3 y
después lo multiplicamos por la cantidad.
P:- ¿La medida del perímetro es la misma si empiezan con un lado de 7cm que si
empieza con un lado de 10 cm?
E:- no, es mayor el del triángulo que mide 10.
P:- Para la misma figura del copo de nieve los perímetros que obtuvieron son distintos
¿Podemos expresar la medida del perímetro de alguna forma que sirva para cualquier
medida inicial?
….(audio poco claro)…
E:- Si no le ponemos una medida.
P:- Entonces, si no le asignamos un valor a la medida inicial. Bueno yo me llevo las
hojas pero si la próxima clase quieren agregar algo lo pueden hacer.
125
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 1
Presentación
Trabajo en grupo (de 3 o 4
integrantes)
Forma de trabajo Investigación Netbook
Internet
Apuntes
Puesta en común
Importancia de las preguntas
Para que los estudiantes se animen a plantear preguntas la profesora les dice que
todas son correctas que no hay preguntas que estén mal, que son caminos que nos
conducen por el estudio y que en el transcurso de las clases se va a intentar responder a
todas pero se elegirá una para comenzar.
Consignas de la profesora a los estudiantes:
- Se retirarán las producciones para seguir el proceso de estudio.
- Es un aprendizaje para los estudiantes y para el docente.
- Se evaluaría el trabajo de cada uno en las clases.
- Son más importantes las preguntas que las respuestas.
- No hay que tener miedo de hacer las preguntas porque piensen que las respuestas son
complicadas. En la evaluación del trabajo diario se considerará más importante tener
planteadas las preguntas que las respuestas a las mismas.
- Se deben organizar en grupos de tres o cuatro integrantes.
- La pregunta de investigación será ¿Cómo construir un fractal?
- Antes de buscar en internet, deben formularse las preguntas que consideren necesarias
para poder luego responder ¿cómo construir un fractal?
Conformación de los grupos:
Los estudiantes se organizan en dos grupos de cuatro y uno de tres integrantes. Dos de
los grupos tienen una netbook y el otro tiene dos.
126
Las máquinas que se utilizaron fueron provistas una por cada profesora, una por la
dirección de la institución y otra por un estudiante. Los estudiantes se conectaron a
internet utilizando la señal que generaban sus teléfonos debido a que la señal de la escuela
era muy débil y no podían conectarse.
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 1
Presentación
Trabajo en grupo (de 3 o 4
integrantes)
Forma de trabajo Investigación Netbook
Internet
Apuntes
Puesta en común
Importancia de las preguntas
Para que los estudiantes se animen a plantear preguntas la profesora les dice que
todas son correctas que no hay preguntas que estén mal, que son caminos que nos
conducen por el estudio y que en el transcurso de las clases se va a intentar responder a
todas pero se elegirá una para comenzar.
Consignas de la profesora a los estudiantes:
- Se retirarán las producciones para seguir el proceso de estudio.
- Es un aprendizaje para los estudiantes y para el docente.
- Se evaluaría el trabajo de cada uno en las clases.
- Son más importantes las preguntas que las respuestas.
- No hay que tener miedo de hacer las preguntas porque piensen que las respuestas son
complicadas. En la evaluación del trabajo diario se considerará más importante tener
planteadas las preguntas que las respuestas a las mismas.
- Se deben organizar en grupos de tres o cuatro integrantes.
- La pregunta de investigación será ¿Cómo construir un fractal?
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- Antes de buscar en internet, deben formularse las preguntas que consideren necesarias
para poder luego responder ¿cómo construir un fractal?
Conformación de los grupos:
Los estudiantes se organizan en dos grupos de cuatro y uno de tres integrantes. Dos de
los grupos tienen una netbook y el otro tiene dos.
Las máquinas que se utilizaron fueron provistas una por cada profesora, una por la
dirección de la institución y otra por un estudiante. Los estudiantes se conectaron a
internet utilizando la señal que generaban sus teléfonos debido a que la señal de la escuela
era muy débil y no podían conectarse.
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 3
Se conforman los 3 grupos de trabajo.
Grupo 1, de 3 integrantes, con 1 netbook.
Grupo 2, de 4 integrantes, con 2 netbook.
Grupo 3, de 3 integrantes, con 1 netbook
Se devolvieron los protocolos de la clase anterior y se les dijo a los estudiantes
que se continuaría con el estudio de la pregunta que quedó planteada la clase anterior
¿Cuánto mide la costa de Mar del Plata? Además les recuerda que deben anotar todas
las preguntas que surjan a medida que avanzan, y las páginas web que consultan para
buscar información.
No había internet en la escuela. La profesora les descarga un mapa de Mar del
Plata que había llevado en un pen drive previendo esta situación. Luego un estudiante
comparte señal wi-fi de su celular.
Los estudiantes del grupo 1 y los del grupo 2, discuten acerca de los
procedimientos que están usando para medir.
Un estudiante del grupo 1 mide la longitud de la costa en el mapa con una
escuadra. Los estudiantes del grupo2 buscan en internet, investigan en mapas satelitales.
Los del grupo3 miden primero con un chip de celular usando como referencia la escala
del mapa, luego miden con una regla.
Luego de 30 minutos la profesora les propone que cuenten qué resultados
obtuvieron y cómo midió cada grupo la costa de Mar del Plata. La profesora observadora
toma nota de la puesta en común porque no se disponía del grabador.
Puesta en común:
128
Grupo1:
E1:-La mediría con un metro, caminando.
P:- ¿Por dónde caminarían? ¿Por la vereda? ¿Por la playa? ¿Qué sector medirían?
Los compañeros del curso se reían, porque dicen que tardarían mucho.
E1:- Era sólo una idea, es una tontería.
La profesora le dice que no es una tontería y que puede ser un modo de obtener la
medida de la costa. Y le repite la pregunta ¿Qué sector medirían?
E1:- Iría por la arena y mediría de forma recta, obviando las partes curvas.
Grupo2:
E2:- La costa mide 40 km. La mediría con un satélite porque es más fácil y más
preciso
E3:- Buscamos en internet y no nos dio exacto, dice que mide más de 17 km.
E4:- Buscamos en internet y dice que mide 2000 km.
No midieron, es información de una página.
Grupo 3:
Un estudiante le dice a E4 que esa es la medida de la costa argentina, que lean
bien.
Miden con una
E5:- La costa mide 37 km, medimos en un mapa usando la escala, hicimos una
sucesión.
P:- ¿Cómo?
E5:- no sé
P:- ¿porque sumaban 5 cada vez?
E5:- sí, teniendo en cuenta que cada 2cm hay 5 km.
P:- ¿Por qué hay resultados distintos?
E3:- Porque midieron mal con la regla.
…..(risas)……
P:- ¿de qué dependerá los resultados de la medida?
E5:- De la cercanía con que se mida, el satélite tomaría otra medida que el que
camina.
E2:- Ella (E6) mediría caminando cada pasito y no como E1 que mediría derecho.
P:- Entonces si pudiéramos medir la costa con pasos caminando como dice E6,
cada partecita, entrada, contorno de piedras, ¿cuánto mediría la costa de Mar del Plata?
E5:- Sería muy grande la medida.
129
P:- A mayor detalle la medida aumentaría, entonces ¿cuánto mide la costa de Mar
del Plata?
E1:- Sería mayor.
P:- Si observamos el contorno de la costa en fotos de satélite con distintos
acercamientos y comparamos la forma del contorno ¿cómo son?
E3:- Si la forma varía, la medida también.
La profesora propone que todos observen el contorno con distintos acercamientos
en google maps, y luego que pasen a hacer un dibujo aproximado de la costa en el
pizarrón. Se ofrecen dos estudiantes para pasar a dibujar.
Cada uno dibuja una curva, los otros estudiantes dan indicaciones.
P:- Si elegimos dos tramos del dibujo, y los comparamos, ¿son distintos?
La profesora señala los tramos en el contorno dibujado en el pizarrón.
E6:- Son distintos, uno es más largo.
P:- ¿Y la forma es muy distinta?
E5:- Si, pero hay partes que se parecen a otras.
P:- Bueno, hasta ahora dijimos que “cuanto más detalle, más mide la costa y que
son parecidas algunas partes”. Si hablamos de la forma ¿cómo podemos describirla?
E2:- Tiene líneas y curvas, de múltiple formas
P:- O sea, no es regular. Presenta rugosidades.
La profesora les propone que anoten las conclusiones que sacaron de lo hablado
en la puesta en común.
El tiempo de la clase finaliza.
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 4
La profesora comienza la clase haciendo la devolución de los trabajo y
repartiendo las netbook. Les dice que retomaran la actividad realizada la clase anterior,
puntualmente lo analizado en relación a la forma de la costa. Y les pide que comenten lo
que habían escrito con respecto a la forma de la costa.
Los estudiantes dicen que es de forma irregular, con rugosidades, con partes que
se parecen, que son similares. Una estudiante lee de su hoja de trabajo que esa
característica se llama autosimilitud estadística.
La profesora les dice que continuaran con el estudio de la autosimilitud, y les
plantea la pregunta de la situación 2:
130
¿En qué objetos de la naturaleza podemos encontrar características de autosimilitud?
Los estudiantes consultaron páginas de internet y tomaron notas., observaron
figuras de fractales naturales, montañas, brócoli romanesco, árboles, hojas de helecho.
Después de 40 minutos, la profesora les propuso socializar lo que encontraron.
Los estudiantes leen lo que registraron en la hoja de trabajo. En general registraron
las definiciones de los distintos tipos de autosimilitud.
Luego de la puesta en común los estudiantes se acercan a las ventanas para buscar
la característica de autosimilitud en los árboles y las nubes que podían visualizar.
La profesora les pide las producciones y les dice que continuarán con el trabajo la
próxima clase.
A esta clase sólo asistieron tres estudiantes debido a que en un principio había sido
declarado asueto por el día del estudiante.
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 5
La profesora comienza la clase diciéndoles que en base a las preguntas que ellos
formularon para el estudio de fractales, les daría las actividades cuya resolución ayudaría
a resolver las preguntas planteadas.
Les dice a los que estuvieron la última clase que comenten lo trabajado, ninguno
se anima a hablar. Surge un problema entre ellos porque habían acordado no asistir esa
clase porque originalmente era asueto por el día del estudiante.
Trabajan en 3 grupos.
En el grupo 1 y 2 trabajan tratando de construir las iteraciones intuitivamente, sin
plantearse el tema de las proporciones. Intentan buscar en internet qué es una iteración
pero no había acceso a internet. La profesora aclara para todos que es un procedimiento
que se repite varias veces para construir el copo de nieve a partir del triángulo.
En el grupo 3 trabajan con una regla. Se preguntan cómo medir cada parte. Un
estudiante dice que midan con la regla. Otro le hace notar que las partecitas más pequeñas
ya no se pueden medir con la regla.
Transcurridos 60 minutos la profesora les propone que pasen al pizarrón para
representar la construcción y explicar cómo la realizaron.
Cada grupo que pasa representa una iteración y todos participan discutiendo
acerca de la manera en que se construye y cómo queda representada la figura.
131
El grupo 3 hizo las iteraciones superponiendo triángulos equiláteros. El grupo 2
dividió el lado en tres partes, en la parte central dibujó un triángulo y luego le borró la
base. Dijeron que los lados debían tener la misma medida. La construcción en el pizarrón
la modificaron con respecto a las primeras que habían realizado en el grupo chico, debido
a la información compartida entre los grupos mientras realizaban las iteraciones.
El grupo 3 hizo las iteraciones superponiendo triángulos equiláteros. La clase
finaliza y terminan la explicación.
La profesora les pide las producciones y les dice que continuarán la próxima clase.
La clase no se desarrolló como había planificado, se logra la mitad de la actividad.
Sólo se pudo trabajar intuitivamente con el proceso de construcción.
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 6
Cada grupo agarra una netbook.
La profesora comienza la clase retomando la puesta en común de la clase anterior,
ya que no se pudo terminar porque terminó la clase.
Se recuerda el proceso de construcción del copo de nieve, lo que es el perímetro,
se sacan conclusiones respecto a cómo se calcula en cada iteración.
Se llega a que cuando el número de iteraciones tiende a infinito, el perímetro
también será infinito.
Puesta en común
La profesora retoma lamedida del períetro en el copo de nieve de Koch
P:- ¿Qué significa “cunado 𝑛 → ∞”?
E:- no sé
P:- Si hablamos del número de iteraciones, cuando tiende a infinito ¿cuánto será la medida
del perímetro en el infinito?
E:- infinito
P:- ¿Esto ocurre en otros fractales que hayan investigado?
…..(silencio)…..
La profesora les propone responder a esa pregunta más adelante y les dice que
comiencen a trabajar con la situación 4.
132
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 7
Se inicia la clase recordando lo trabajado con el copo de nieve de Koch: el proceso
de construcción, cómo calcularon el perímetro, y que se llegó a la conclusión de que si se
continúa con el número de iteraciones su perímetro tiende a infinito.
La profesora les pregunta ¿Y qué pasa con el área cuando el número de iteraciones
tiende a infinito?
Los estudiantes no responden.
Y les pregunta ¿Será infinita también?
Una estudiante del grupo 3 responde:- No, yo encontré que la medida es finita,
igual a ocho sobre cinco del área del triángulo, que no sobrepasa el área del círculo-.
La profesora aprovecha lo comentario y les dice que recuerden que la consigna de
la situación aclaraba que el triángulo equilátero estaba inscripto en un círculo, y que
recuerden el proceso de construcción, las medidas de los lados de los triángulos que se
agregaban en cada iteración era un tercio de la medida anterior. ¿Será posible que
sobrepase el área del círculo?
Los estudiantes responden que no
La profesora les dice que podemos caracterizar al copo de nieve de Koch como
un fractal que tiene un área finita mientras su perímetro es infinito. Y su autosimilitud ¿es
exacta o aproximada?
Los estudiantes responden que es exacta. Y la profesora les pregunta ¿Por qué? A
lo que responden:- porque se repite la misma forma hasta el infinito.
Luego dice que continuaran con el estudio de la medida de los fractales, y les
entrega la situación 4.
Se formularon preguntas como ¿Qué es un segmento? ¿Qué significa que sean
congruentes? Los estudiantes buscan las respuestas en internet
Representaron el cuadrado y su transformación. Discutieron acerca de cuántos
cubos quedaban luego de la transformación. Una estudiante del grupo 3 pasa al pizarrón
para dibujar la transformación con tizas de colores para que puedan distinguirse
claramente cuántos cubos quedan. Y todos acuerdan que luego de la transformación
quedan 8 cubos.
Un estudiante pregunta ¿Qué es la dimensión? Y la profesora le devuelve la
pregunta a la clase ¿Qué significa que un objeto tenga dimensión 1,2 o 3?
133
Los chicos reconocían haber escuchado hablar de las dimensiones 2 y 3, lo
relacionaron con el cine, con las imágenes 2D y 3D.
La profesora pregunta ¿Alguno investigó qué es la dimensión?
Un alumno responde que es un número asociado al tamaño que tienen. Por
ejemplo, una línea tiene dimensión 1, un cuadrado dimensión 2 y un cubo dimensión 3.
Sacamos conclusiones en la puesta en común acerca de las dimensiones.
La clase finaliza, la profesora les pide que entreguen las producciones
NOTAS DE CAMPO- CLASE N° 8
La profesora comienza la clase devolviendo los protocolos, y recordándoles que
como trabajo final deben realizar un resumen con lo estudiado e investigado hasta ese
momento.
Luego se realiza una breve puesta en común de lo estudiado la clase anterior sobre
dimensión.
Se dio como ejemplo de dimensión 1 una línea; de dimensión 2, el cine en 2D y
de dimensión 3, el cine 3D.
A continuación les propone continuar con la actividad que quedo pendiente.
Un estudiante del grupo 1 pregunta qué relación tienen que buscar. La profesora
los orienta diciéndoles que busquen una relación mediante una operación matemática que
involucre la dimensión y el número de partes obtenidas.
En el grupo 2 multiplican un número por la dimensión para obtener el número de
partes. En grupo 3 buscan una relación entre potencias. A ambos grupos la profesora les
pide que simplifiquen las expresiones que habían obtenido, les dice que recuerden las
propiedades de la multiplicación y de la potenciación para obtener una expresión más
sencilla.
Luego trabajaron con el proceso iterativo que genera el triángulo de Sierpinski
para saber el número de partes después de la transformación y poder calcular la
dimensión.
La profesora les dice:- Ustedes me dijeron que n=2d me permite calcular el número
de triángulos, ¿qué es n?
Un estudiante responde que es el número de triángulos después de la
transformación.
134
La profesora les pregunta ¿Qué se necesita saber para calcular la dimensión del
triángulo de Sierpinski?
Un estudiante responde:- los triángulos que van quedando-.
Otro estudiante pasó dibujar en el pizarrón, y mostró cómo se genera el triángulo
de Sierpinski, que a partir de 4 triángulos se obtienen 3.
La profesora les pregunta:- ¿cómo es la figura que resulta después de las
transformaciones?
Los alumnos buscan en la carpeta y responden:- autosimilar-.
Hubo dificultades para calcular la dimensión porque faltaba 15 minutos para que
termine la clase y los estudiantes no sabían logaritmos. Finalmente lo calcularon de forma
exploratoria obteniendo un resultado aproximado.