diseño, implementación y descripción de una actividad de
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LICENCIATURA EN EDUCACIÓN
MATEMÁTICA
Diseño, implementación y descripción de una
actividad de estudio e investigación para las
funciones definidas a trozos en el contexto del
circuito del alcohol en el cuerpo humano
Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología
NIECyT
Departamento de Formación Docente Facultad de Ciencias Exactas
Universidad Nacional de Centro de la Provincia de Buenos Aires
UNCPBA
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Diseño, implementación y descripción de una
actividad de estudio e investigación para las
funciones definidas a trozos en el contexto del
circuito del alcohol en el cuerpo humano
Profesora Andrea Almada
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Agradecimientos
A la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia
de Buenos Aires por ser parte de mi formación como docente.
A mi directora Dra. María de los Ángeles Fanaro, por acompañarme en este camino tan
importante, a su paciencia. Gracias por todos los aportes intelectuales recibidos de tu
parte y sobre todo que nunca me dejaste bajar los brazos, al contrario siempre me daba
una palabra de aliento.
A la directora de la Escuela Técnica Nº2, Verónica Grazziani, que me dio la posibilidad de
desarrollar la implementación de este estudio y sobre todo a su confianza. También a los
aportes realizados por la docente de la orientación de química y a los estudiantes que
trabajaron con mucho compromiso y predisposición.
A mi marido Leandro que siempre me transmitió confianza y me acompañó en este gran
desafío.
A mis hijas Emilia y Martina que son mi sostén en todo.
A mi familia que siempre está.
A mis amigas que siempre me daban sus consejos y sobre todo a Patricia Gilabert, Pérez
Florencia y Castronovo Soledad que me han acompañado en algunas de las materias de la
licenciatura, corrigiéndome y dándome sus puntos de vista.
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Índice Resumen .............................................................................................................................................. 5
Capítulo 1: El problema de investigación ........................................................................................... 7
Justificación del problema de investigación y marco teórico adoptado .......................................... 7
Antecedentes del problema ........................................................................................................... 15
Objetivos de la investigación ........................................................................................................ 21
Objetivos generales ................................................................................................................... 21
Objetivos específicos................................................................................................................. 21
Preguntas de investigación ............................................................................................................ 21
Capítulo 2: Metodología de la investigación .................................................................................... 23
Descripción del ámbito de la implementación de la AEI .............................................................. 23
Capítulo 3: Modelo Praxeológico de referencia ............................................................................... 25
Introducción .................................................................................................................................. 25
Actividad inicial ............................................................................................................................ 25
Las cuestiones y las organizaciones matemáticas que tienen lugar .............................................. 26
Tipos de bebidas alcohólicas ......................................................................................................... 28
La modelización del circuito del alcohol en el cuerpo humano .................................................... 32
Cálculos de Alcoholemia Retrospectiva ....................................................................................... 53
Capítulo 4: La AEI y su implementación en aula ............................................................................. 58
Descripción de la AEI en función de las preguntas planteadas ..................................................... 58
Análisis de las síntesis individuales con el software AntConc.................................................... 110
Capítulo 5: Conclusiones ................................................................................................................ 114
Capítulo 6: Bibliografía .................................................................................................................. 119
Anexo 1: Primera salida del software AntConc (sin lematizar)...................................................... 123
Anexo 2: Segunda salida del software AntConc, luego del proceso de lematizado ........................ 142
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Resumen
Este trabajo se propone diseñar, implementar y describir los resultados de una Actividad de
Estudio e Investigación (AEI) para las funciones definidas a trozos, en el contexto del
estudio del consumo de alcohol y los efectos que produce en las conductas humanas. Estas
funciones, están prescriptas para ser enseñadas en el 4to. Año de la Escuela Secundaria
Argentina en el contexto de las Funciones, y su relevancia es considerable para el estudio
del límite y la continuidad de las funciones. Por lo tanto, se plantea la necesidad de
enseñarlas en un contexto de modelización, mediante una AEI que ofrezca a los estudiantes
la oportunidad de darle a estas funciones una razón para ser estudiadas. En este trabajo se lo
aborda a partir de una actividad de estudio de investigación, en la cual se privilegia a las
preguntas, esenciales en el proceso de construcción de conocimiento humano. Es conocido
que en la enseñanza escolar las preguntas fueron sustituidas directamente por sus
respuestas, lo que lleva a que los estudiantes aprendan respuestas a preguntas que
permanecen implícitas o que carecen de legitimidad y sentido. Esta reducción de la
enseñanza al estudio de respuestas en lugar de preguntas, conduce al fenómeno didáctico
que Chevallard (2004, 2007) ha descripto metafóricamente como “monumentalización” del
saber, y es lo que en este trabajo de tesis se pretende afrontar. Para ello, adoptando la
Teoría Antropológica de lo Didáctico de Yves Chevallard (1999, 2004, 2007, 2009, 2012,
2013) se propone diseñar la actividad y luego implementarla con un grupo de estudiantes de
quinto año de una escuela técnica de la ciudad de Tandil, cuya investigadora es la profesora
habitual del curso.
La AEI partió de la cuestión generatriz Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el
circuito del alcohol en el cuerpo humano?, y en base a las preguntas que tuvieron lugar
durante su implementación, los estudiantes lograron reencontrar a las organizaciones
matemáticas relativas a función lineal estudiada en años anteriores, y estudiar las funciones
lineales definidas a trozos, y las funciones “serrucho” o “diente de sierra”, nuevas para
estos estudiantes. Se analizaron las preguntas elaboradas por los estudiantes, y las
respuestas que ellos fueron construyendo, con relación al encuentro y/o reencuentro de las
nociones relativas a funciones lineales definidas a trozos. Esta AEI también permitió que
los estudiantes valoren la utilidad de la matemática, ya que el sentido de las funciones
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lineales a trozos se logró apreciar con la modelización de las distintas situaciones relativas
al consumo de alcohol.
Palabras clave: curvas de modelización para la concentración de alcohol en el cuerpo
humano- actividad de estudio e investigación- funciones lineales definidas a trozos-utilidad
de la matemática.
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Capítulo 1: El problema de investigación
Justificación del problema de investigación y marco teórico adoptado
El trabajo de esta Tesis consistió en el diseño, implementación y descripción de una
actividad de estudio e investigación para las funciones definidas a trozos en un contexto de
consumo de alcohol, para que el saber acerca de estas funciones, adquiera funcionalidad en
el contexto escolar.
Las funciones definidas a trozos, se presentan de manera muy laxa en los documentos
curriculares correspondientes al cuarto año de la educación secundaria Argentina, en el
contexto del eje “Algebra y estudio de funciones” donde, luego de la presentación del
concepto de función y la presentación de algunos ejemplos se menciona que “En el caso de
trabajar con funciones que modelizan problemas, se debe distinguir entre el dominio
natural (matemático de la fórmula) y el dominio propio de la situación que modeliza. Es
conveniente proponer la discusión sobre funciones con dominio discreto y también
funciones definidas a trozos” (Diseño curricular para la educación secundaria. Matemática
ciclo superior. 4to. Año (2010), pág. 20) Es decir, no se hace ningún énfasis en las
funciones definidas a trozos, ni se propone ningún tratamiento especial con ellas. Sin
embargo, estas funciones son sumamente importantes ya que gran cantidad de fenómenos
admiten una modelación local por medio de una función lineal (Hitt (2002), p.89).
Entendemos a un modelo matemático como un conjunto de relaciones funcionales que
permiten describir las características de un sistema o proceso real en términos matemáticos,
y consideramos a la modelización matemática fundamental en la enseñanza, dado su
potencial para describir situaciones y fenómenos tanto de la vida cotidiana como de nivel
más abstracto y complejo. Tal como señala (Hitt, 1996) los conceptos matemáticos surgen
en ciertos contextos, y el proceso de formalización de la matemática los descontextualiza.
Así una de las tareas del profesor es la recontextualización de los contenidos matemáticos
que se encuentran en los libros de texto, para su presentación en el aula; otra tarea es la
de repersonalizar los problemas tratados; en otras palabras, el profesor intenta que el
alumno tome como suyo el problema. (Hitt, 1996, p. 258). Ejemplos de modelizaciones con
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funciones a trozos son la población de una cierta ciudad en la función del tiempo, el costo
de un viaje en taxi como función de la distancia recorrida, el consumo de electricidad en un
mes, etc. Por su parte, el estudio de las características de las funciones definidas a trozos
adquiere relevancia cuando se estudian las nociones de límite y continuidad de las
funciones.
El rol de la modelización en la enseñanza de las matemáticas constituye actualmente una de
las cuestiones primordiales en la investigación en Educación Matemática y en la formación
inicial de profesores (véase por ejemplo el trabajo de Huincahué et al., 2018).
En este trabajo se adopta el marco teórico que ofrece la Teoría Antropológica de lo
Didáctico, y en este ámbito una de las formas de plantear la modelización ha sido la
siguiente: “Una vez enseñados los contenidos matemáticos básicos, ¿cómo conseguir que
las matemáticas se enseñen como una herramienta de modelización de situaciones, de tal
forma que la enseñanza no se organice únicamente en función de los contenidos
matemáticos sino de los problemas o proyectos que los estudiantes deben realizar?”
(Barquero, 2009, p. 30). Por su parte, la TAD considera que toda actividad matemática
puede ser interpretada como una actividad de modelización (Chevallard, Bosch y Gascón,
1997), aunque su forma de interpretarla difiera en ciertos aspectos de las formas más
habituales (Blum, 2002; Blum y Niss, 1991). En concreto Fonseca, Gascón y Olivera
(2014) proponen tres formas de interpretar la noción de “modelización matemática”:
(a) Se incluye la modelización intramatemática en la noción de “modelización”. Se
considera la modelización matemática de sistemas matemáticos (esto es, la modelización
intramatemática como, por ejemplo, la modelización algebraica de un sistema numérico o
geométrico) como una parte esencial de la actividad de modelización que es inseparable de
la modelización de sistemas extramatemáticos. Se considera la modelización como un
proceso de matematización progresiva de un sistema en el cual el primer modelo pasa a
jugar el papel de sistema (matemático) y así sucesivamente, lo que conduce a trabajar con
“modelos de modelos” del sistema inicial. Aparece así claramente el carácter recursivo de
la actividad de modelización matemática.
(b) Se postula que los modelos que se construyen en la modelización matemática tienen
estructura praxeológica y que la función de los modelos no tiene nada que ver con la de ser
una imagen fidedigna del sistema modelizado. El análisis de la actividad de modelización
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nos conduce a considerar los sistemas y modelos como entidades con estructura
necesariamente praxeológica. En efecto, el modelo epistemológico de la TAD no considera
la modelización de conceptos, ni de técnicas, ni de problemas aislados. Dada la naturaleza
dinámica de las praxeologías y la profunda interrelación entre sus componentes, no
podemos hablar de modelización de un componente de la praxeología independientemente
del resto de sus elementos. Se postula, en consecuencia, que toda modelización matemática
presupone la modelización de una praxeología en su totalidad mediante otra praxeología
matemática. En cuanto a la naturaleza de los modelos y su relación con el sistema
modelizado, sería ingenuo pensar al modelo como una copia o reproducción fotográfica del
sistema que modeliza; más bien éste es un añadido a dicho sistema, una construcción
artificial. Se enfatiza así que la principal función del modelo no es la de parecerse al
sistema que modeliza, sino la de aportar conocimientos sobre él y hacerlo de la forma más
económica y eficaz posible.
(c) Se interpreta la modelización matemática como un instrumento capaz de articular y dar
funcionalidad a la actividad matemática escolar. La TAD describe los procesos de
modelización como procesos de reconstrucción y articulación de organizaciones
matemáticas de complejidad creciente (Barquero, 2009) que necesariamente tienen que
partir de cuestiones problemáticas que se plantea una comunidad de estudio y que
constituyen la “razón de ser” de las organizaciones matemáticas.
Entonces, en la TAD la modelización matemática tiene un papel esencial en este proceso ya
que la producción de “respuestas provisionales” a la cuestión inicial Q0 requiere la
construcción de modelos, su utilización y el cuestionamiento de su ámbito de validez,
generando así nuevas cuestiones que, a su vez, requieren un nuevo proceso de
modelización.
Se propone en esta tesis, trabajar con un problema en el contexto del consumo de alcohol, a
fin de que los estudiantes puedan relacionar los conceptos y modelos matemáticos con otras
áreas del saber cómo por ejemplo en este caso, conceptos del ámbito de la química o la
biología. Por este motivo, la AEI se implementó en un curso de una escuela técnica, cuya
orientación es Química. Estas situaciones de consumo de alcohol, además de ser una
cuestión cada vez más preocupante en la sociedad actual sirven de contexto para introducir
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el estudio de función por tramos, o funciones definidas a trozos como usualmente se las
denomina.
Las funciones a trozos están definidas mediante varias fórmulas actuando cada una de ellas
en un intervalo diferente. Con más precisión, damos la definición siguiente:
Una función definida a trozos en los intervalos disjuntos I1,I2, . . . , Ik, es una función de la
forma f : I1 ∪ I2 ∪ · · · ∪ Ik → R
f1(x), si x ∈ I1
f(x) = f2(x), si x ∈ I2,
….
fk(x), si x ∈ Ik
donde f1 : I1 → R, f2 : I2 → R,. . . , fk : Ik → R son funciones obtenidas por operación o
composición de funciones elementales. Observemos que con esta definición se supone que
cada una de las funciones fk está definida en todos los puntos del intervalo Ik. El dominio de
una función definida a trozos será por tanto la unión de los intervalos I1, I2 y Ik. Decimos
que un punto x0 es un punto de cambio de definición cuando dicho punto es el extremo
final de uno de los intervalos Ik y al mismo tiempo el extremo inicial del siguiente
intervalo. Justo en esos puntos se produce un cambio de fórmula para la función de manera
que a la izquierda del punto tenemos una fórmula y a la derecha otra distinta. El estudio de
los puntos de cambio de definición es esencial para analizar las propiedades de una función
definida a trozos. No son abundantes los estudios de investigación acerca de la enseñanza
de este tipo de funciones, pero por ejemplo podemos citar a trabajos como los de Vernazza
y Tapia (2013) en el cual proponen la enseñanza de la función por tramos usando el
periódico y el software libre GeoGebra. En ese trabajo, parten de los diferentes registros de
representación semiótica de las funciones definidas a trozos, al integrar el periódico y
GeoGebra como contextos matemáticos para el diseño e implementación de una secuencia
didáctica.
Nuestro trabajo, a diferencia de éste último, se aborda desde la TAD, la cual sitúa la
actividad matemática, en consecuencia la actividad del estudio en matemáticas, en el
conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales (Chevallard, 1999). Esta teoría
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plantea una redefinición del modelo de enseñanza tradicional y de la pedagogía dominante
en la cual la matemática se presenta como un conjunto de obras ya hechas, terminadas y
cerradas, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar, produciéndose un fenómeno
que se denomina monumentalización del saber (Chevallard 2004). Como consecuencia de
este paradigma tradicional, aplicacionista y monumentalista, se produce el fenómeno
denominado: pérdida de sentido de las cuestiones matemáticas que se estudian o se
proponen explícita o implícitamente en una institución. Para enfrentar estos fenómenos la
TAD propone la utilización de un dispositivo didáctico llamado Actividades de Estudio e
Investigación (AEI). Con esta base, ya se han realizado varias investigaciones diseñando e
implementado distintas AEI, como por ejemplo las de Llanos, Otero y Gazzola (2011);
Marin (2012); Farías (2015); Berenguel (2017), Corica (2016) entre otros trabajos de esa
misma línea, con resultados alentadores para la enseñanza de la Matemática, En este trabajo
se diseñó una AEI con el foco en la modelización del circuito del alcohol en el cuerpo
humano, alrededor de la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite
modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano? Se construyó el modelo
Praxeológico de referencia correspondiente, y luego se implementó la AEI diseñada,
realizando una descripción de su implementación, en términos de preguntas, respuestas
abordadas por los estudiantes y nociones matemáticas encontradas.
La TAD plantea una redefinición del modelo de enseñanza tradicional y de la pedagogía
dominante en la cual la matemática se presenta como un conjunto de obras ya hechas,
terminadas y cerradas, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar, produciéndose
un fenómeno que se denomina monumentalización del saber (Chevallard 2004). Como
consecuencia de este paradigma tradicional, aplicacionista y monumentalista, se produce el
fenómeno denominado: pérdida de sentido de las cuestiones matemáticas que se estudian o
se proponen explícita o implícitamente en una institución. Uno de los dispositivos
didácticos que la TAD propone para enfrentar estos fenómenos es el de “Actividades de
Estudio e Investigación (AEI)”, ya que se asume que el saber matemático se construye
como respuesta a situaciones problemáticas y, que surge como el producto de un proceso de
estudio.
Las AEI están integradas por: las cuestiones vivas, una síntesis, que a su vez genera nuevas
cuestiones y los controles, que operan tanto en el análisis a priori como durante su
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implementación. Es necesario partir de una cuestión generatriz Q cuyo estudio produzca la
elaboración de una respuesta R, y ésta contenga los elementos esenciales de la organización
matemática a encontrar o reencontrar. De esta manera, las AEI constituyen un proceso de
estudio praxeologicamente finalizado, pues se impone la condición de que R contenga los
principales componentes de una organización matemática previamente determinada y
conocida de antemano por la institución escolar.
Lo que se busca en este trabajo es promover en los estudiantes una actividad matemática
que se acerque en la medida de lo posible, a la actividad matemática genuina: explorar,
conjeturar, formular preguntas, debatir, crear nuevos problemas, etc. Aquí se adopta una
concepción acerca de la matemática considerándola como un saber funcional, útil, y con
potencial para que los estudiantes se vinculen con ella de esta forma. Según la TAD la
actividad matemática es mucho más que la resolución de problemas: se trata de formular y
responder preguntas, desarrollar diferentes técnicas, realizar conjeturas, validar soluciones,
interactuar con otros miembros del grupo de estudio, cotejar resultados, técnicas,
validaciones, etc. En esta actividad matemática, poco habitual en los sistemas actuales de
enseñanza, la modelización matemática cobra una importancia vital. Esto implica un
proceso que se inicia con el abordaje de una pregunta inicial que constituye su razón de ser,
y que origina nuevas preguntas, lo cual permite ir conociendo o reconociendo las distintas
organizaciones matemáticas. El análisis de la situación inicial y la búsqueda de respuestas
constituyen el motor de la AEI.
Dentro del punto de vista general del conocimiento matemático, se propone la noción de
organización praxeológica matemática o praxeología matemática (o simplemente
organización matemática) como modelo básico para describir el conocimiento matemático.
La noción de praxeología matemática corresponde a la concepción del trabajo matemático
como estudio de tipos de problemas o tareas problemáticas. Pero éste no es el único aspecto
del trabajo matemático. En efecto, el matemático no aspira únicamente a plantearse buenos
problemas y resolverlos, sino que pretende, además, caracterizar, delimitar e incluso
clasificar los problemas en “tipos de problemas”, entender, describir y caracterizar las
técnicas que utiliza para resolverlos hasta el punto de controlarlas y normalizar su uso, se
propone establecer las condiciones bajo las cuales éstas funcionan o dejan de ser aplicables
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y, en última instancia aspira a construir argumentos sólidos y eficaces que sostengan la
validez de sus maneras de proceder.
El saber matemático aparece así organizado en dos niveles:
- El primer nivel es el que remite a la práctica que se realiza, la praxis o saber-
hacer, es decir, los tipos de problemas o tareas que se estudian y las técnicas
que se construyen y utilizan para abordarlos.
- El segundo nivel recoge la parte descriptiva, organizadora y justificadora de la
actividad, que llamaremos logos o, simplemente saber. Incluye las
descripciones y explicaciones que se elaboran para hacer inteligibles las
técnicas, esto es, el discurso tecnológico (la razón, logos, de la técnica y, en
última instancia, el fundamento de la producción de nuevas técnicas) y la
teoría que da sentido a los problemas planteados, permite interpretar las
técnicas y fundamentar las descripciones u demostraciones tecnológicas.
De ahí proviene la noción de praxeología, que resulta de la unión de los dos términos praxis
y logos. Tipos de tareas, técnicas, tecnología y teoría son pues las cuatro categorías de
elementos que componen una organización o praxeología matemática.
En la TAD las formas de organizar la enseñanza escolar de la matemática, se describe en
términos de praxeologías didácticas. En particular, en los diversos procesos de construcción
matemática se pueden identificar aspectos invariantes. Así, el proceso de estudio se sitúa en
un espacio determinado por seis momentos didácticos:
1° Momento del Estudio: es el primer encuentro con la organización, tal encuentro puede
tener lugar de varias maneras, pero un modo de encuentro inevitable, consiste en encontrar
la organización a través de al menos uno de los tipos de tareas.
2° Momento del Estudio: es el de la exploración del tipo de tareas, de la elaboración de una
técnica relativa al tipo de tareas. El estudio y la resolución de un problema de un tipo
determinado va a la par con la construcción de al menos un embrión de técnica, a partir del
cual una técnica más desarrollada podrá emerger.
3° Momento del Estudio: Es el de la construcción del entorno tecnológico – teórico relativo
a la técnica. En este momento se debe constituir de manera que permita justificar, explicar
y producir las técnicas iniciales, las nuevas técnicas y las relaciones entre ambas.
Este momento está en interrelación con cada uno de los otros momentos.
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4° Momento del Estudio: Es el del trabajo de la técnica, que debe mejorar la técnica
volviéndola más eficaz y más fiable.
5° Momento del Estudio: Es el de la institucionalización que tiene por objeto precisarlo que
es exactamente la organización matemática, distinguiendo los elementos que, habiendo
concurrido a su construcción, no le hayan sido integrados y, por otra parte, los elementos
que entraran de manera definitiva en la organización matemática.
6° Momento del Estudio: Es el de la evaluación que se articula con el momento de la
institucionalización, se examina lo que se ha aprendido, momento de verificación. En este
momento debe ponerse el acento en la evaluación de la eficacia, la pertinencia y la
fecundidad de la modelización utilizada.
El diseño de una AEI se inicia buscando una “situación del mundo” que parezca una
cuestión problemática cuya resolución permita o incluso requiera la reconstrucción de la
organización matemática en cuestión.
Una vez que la situación ha sido presentada a la comunidad, se inicia un proceso de estudio
que, como todos, puede describirse funcionalmente mediante los momentos o dimensiones
de dicho proceso. En el caso de las AEI es importante subrayar que el momento del primer
encuentro se retrotrae a una cuestión generatriz, en lugar de iniciarse con una tarea escolar
ya depurada. Esto significa que la cuestión generatriz de una AEI, aunque sea sugerida por
el profesor, no está perfectamente formulada sino que deberá evolucionar y “refinarse” a
medida que es abordada por la comunidad de estudio. Tampoco es una cuestión que pueda
resolverse llevando a cabo una tarea escolar previamente establecida y con una respuesta
predeterminada. De hecho, las respuestas tentativas que vayan surgiendo deberán poder ser
contrastadas por la propia comunidad de estudio, en lugar de delegar al profesor la
responsabilidad de dicha evaluación. Este carácter adidáctico de la situación se refleja
especialmente a lo largo del momento exploratorio que, a pesar de estar más o menos
dirigido por el profesor, debe estar “guiado”, en todo caso, por la propia construcción de las
respuestas tentativas y por la interacción con un medio adidáctico capaz de contrastar la
validez de estas.
Antes de diseñar e implementar la AEI es fundamental construir un Modelo Praxeológico
de Referencia (MPR) (Chevallard, 1999). Este modelo consiste en la identificación, análisis
y descripción de todas las obras (matemáticas y extra matemáticas) que podrían estudiarse,
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investigarse, construirse y/o reconstruirse al abordar la búsqueda de respuestas a la
pregunta generatriz y a sus derivadas.
Antecedentes del problema
En la última década se han llevado a cabo varias investigaciones que desde la TAD intentan
abordar el problema de la monumentalización utilizando distintos dispositivos didácticos,
entre ellos la AEI, para estudiar distintos saberes escolares. Por ejemplo en Corica (2016)
se presenta un recurso de enseñanza propuesto para la escuela secundaria que comienza con
el análisis de una situación que requiere comparar planes de compañías que ofrecen el
servicio de telefonía celular. Se trata de analizar una situación cercana a cualquier
ciudadano, donde ni los datos ni las variables están completamente determinados de
antemano. En esta propuesta, se requiere comparar tarifas de telefonía celular analizando el
estado actual de compañías en Argentina. Toma como pilar la TAD y plantea que la
actividad matemática es más que resolver problemas: se trata de formular y responder
peguntas, desarrollar diferentes técnicas, realizar conjeturas, validar soluciones, interactuar
con otros miembros del grupo de estudio, cotejar resultados, técnicas, validaciones, etc. Es
requisito fundamental en esta propuesta, romper con la concepción atomizada de la
matemática y dar lugar a recorrer diversas organizaciones matemáticas según las
necesidades del estudio. En este trabajo se profundizó el estudio sobre técnicas algebraicas
que derivaron en la formulación de diversos modelos, pero también pueden emplearse otras
técnicas como ser gráficas y aritméticas. Las técnicas gráficas pueden ser utilizadas tanto
para contrastar información que se obtenga mediante técnicas aritméticas o algebraicas. Así
también para obtener información a partir de su interpretación, que posteriormente se puede
contrastar con otras técnicas. La autora sostiene que es de vital importancia no privilegiar
una técnica sobre las demás, sino focalizar en el carácter de función explicativa de la
técnica (es correcta, adecuada y eficaz) junto a la función justificativa (es útil para el hacer
de la tarea que se encuentra resolviendo, permitiendo resolver de manera efectiva).
También podemos mencionar el trabajo realizado por Bonacina, Teti, Haidar, Bortolato y
Philippe (2014) de la Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas, Univ. Nacional
de Rosario, donde plantearon un “dispositivo didáctico para la enseñanza funcional de las
matemáticas: Las actividades de estudio e investigación – AEI”. Los investigadores
presentan un avance en el diseño de dispositivos didácticos con los que dar cuenta de la
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siguiente problemática: lograr una enseñanza funcional de la Matemática; o sea, una
enseñanza que proporcione al estudiante los conceptos y técnicas necesarias para dar
respuesta a situaciones problemáticas, no se limite a una presentación desarticulada y
carente de sentido de los mismos. El modelo didáctico lo constituye la Teoría
Antropológica de lo Didáctico, dentro del cual reconocemos dos conceptos de utilidad para
los fines perseguidos: los Recorridos de Estudio e Investigación (REI) y las Actividades de
Estudio e Investigación (AEI). En particular, y en esta instancia, presentaron una AEI
diseñada en torno a la noción de función y con el objetivo de dar respuesta al fenómeno
didáctico de la falta de articulación entre las distintas formas de representar funciones. De
acuerdo al trabajo que han realizado llegaron a la conclusión que se observaba una mejora
en cuanto al reconocimiento de las diferentes técnicas existentes para abordar una tarea, a
discernir criterios para elegir la más apropiada. Finalmente, estimaron importante remarcar
que el desarrollo habitual del curso transcurre dentro del paradigma monumentalista o de
visitar saberes, claramente opuestos a la pedagogía de la investigación y del
cuestionamiento del mundo que propone la TAD y a la cual adherimos, lo que no facilita
nuestra tarea; que, no obstante ello, insistimos en buscar formas o modos de trabajar acorde
con la meta propuesta: conseguir que los conocimientos matemáticos que enseñamos en los
cursos universitarios no se reduzcan a un conjunto desarticulado de conceptos y técnicas
carentes de sentido.
También el trabajo realizado por Corica y Marin (2015) reporta resultados del diseño e
implementación de una Actividad de Estudio e Investigación para el estudio de ángulos
inscriptos y cuadriláteros cíclicos en la escuela secundaria con el empleo del software
Geogebra. La primera implementación realizada de la AEI fue una prueba piloto, describió
las técnicas y el entorno tecnológico-teórico empleado por los estudiantes. De acuerdo a lo
trabajado, plantea no haber logrado que los estudiantes propongan nuevas cuestiones ante
las resoluciones que iban obteniendo. Lo que sí logró es que se responsabilicen de las tareas
elaborando y validando las técnicas propuestas. Los estudiantes resolvieron situaciones que
permitieron desarrollar razonamientos propios del trabajo geométrico. A través del empleo
de software permitió que los estudiantes exploren construcciones dinámicas. En
conclusión, las investigadoras justifican que si bien la noción de AEI es una alternativa
incompleta y limitada, se trata de una propuesta viable en la escuela secundaria y que
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permite comenzar a enfrentar el problema de la monumentalización e instalar algunos
elementos de la pedagogía de la investigación.
También se encuentran investigaciones destinadas a enseñar matemática vinculada con
otros campos disciplinares. Por ejemplo, los trabajos de Farabello, Espino, Pascal y
Tesouro (2013), llevado a cabo en la Facultad de Bromatología de la Universidad de Entre
Ríos. Los investigadores se propusieron integrar Matemática y Química a través de una
actividad experimental consistente en la medición de la absorbancia de la luz en muestras
de agua con diferentes concentraciones conocidas de nitritos para obtener una curva de
calibración (ajuste lineal por el método de mínimos cuadrados). El fin de la misma era para
lograr una colaboración útil necesaria para que los docentes de una asignatura conozcan en
qué pueden ser útiles para las otras y sepan plantear las situaciones problemáticas de un
modo accesible para los otros docentes. Para ello, lo ideal es el trabajo en forma conjunta y
asociada, de forma tal que no resulte una mera superposición de conceptos, sino de una
verdadera integración (García & Santos, 2000). Llegaron a la conclusión que la posibilidad
de realizar una experiencia en el laboratorio de química en la clase de matemática resultó
muy atractiva para los alumnos y muy cercanas a su contexto.
También en el trabajo de Fonseca Bon, Gascón Pérez y Oliveira Lucas (2013), se planteó el
“Desarrollo de un modelo epistemológico de referencia en torno a la modelización
funcional”. En este trabajo presentaron el diseño matemático de una pequeña parte de un
modelo epistemológico de referencia que, una vez completado, donde buscaban sustentar la
organización didáctica de un proceso de estudio que incluya: el desarrollo de la
modelización funcional con parámetros, la razón de ser del cálculo diferencial elemental en
la última etapa de secundaria y los primeros desarrollos del cálculo en varias variables en la
universidad. Los estudiantes ya disponían de la derivada como herramienta de trabajo para
mostrar el desarrollo progresivo y la completación relativa de las praxeologías matemáticas
que se construyen a medida que se avanza en los diferentes niveles de la modelización
funcional. La propuesta se hace en el ámbito de la Teoría Antropológica de lo Didáctico y
constituye una pequeña contribución al objetivo didáctico de situar la modelización
matemática como un instrumento que permite articular y dar sentido a la matemática
escolar. Partió de una cuestión situada en el ámbito de las Ciencias de la Salud y, más
concretamente, de una cuestión relativa a la concentración de un medicamento en el
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torrente sanguíneo. Mostraron que el proceso de modelización funcional que da respuesta
progresiva a esta cuestión (y a las que se derivan de ella) permite reestructurar, articular y
dar sentido a los contenidos matemáticos relativos a la modelización funcional que
aparecen en los últimos años de la enseñanza secundaria y en los inicios de la enseñanza
universitaria. Se buscaba como conseguir que los conocimientos matemáticos que se
estudian, inicia de un MER, partiendo de una cuestión generatriz.
Consideraron que de entre las múltiples cuestiones con sentido y con legitimidad funcional
y social, y dada la importancia de recientes investigaciones de modelos matemáticos en el
ámbito de las Ciencias de la Salud, se podría estudiar la siguiente generatriz: (consistía que
con la finalidad de erradicar una epidemia se inyectó una determinada cantidad de
medicamento a una población de individuos infectados) Qo: ¿Cómo podemos estudiar la
variación de la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo de estos pacientes?
Se trata de una cuestión con gran poder generador, intencionadamente muy abierta, que
además de no proporcionar ningún dato numérico tampoco especifica cuáles son las
variables que habría que tomar en consideración para describir el sistema.
Finalmente, entre otros trabajos tenemos el de Aravena, Caamaño, y Giménez (2008),
donde presentan “Modelos Matemáticos a través de proyectos”. Realizan una introducción
señalando la enseñanza en un establecimiento municipalizado de una escuela secundaria
chilena. Los investigadores observaron que no había articulación de los contenidos en el
aula, donde se orientaba a un ámbito puramente matemático, basado en ejercitaciones y el
manejo de algoritmos, ofreciendo una escasa vinculación con problemas del mundo real y
de las ciencias. Esto trae como consecuencia que los estudiantes no conciban la utilidad de
la matemática en su proceso de formación (Aravena, 2002).
Consideraron que la aplicación e integración en matemática a través del modelaje de
situaciones, ayuda a la motivación, ya que aquellos alumno que no manifiestan un interés
por la matemática puede ser persuadidos a aprender matemáticas por las aplicaciones, de
ahí que sea vista como una herramienta para solucionar problemas prácticos (Griffiths &
Howson, 1974), como forma de evitar aprendizajes incorrectos, la forma de como la
matemática es utilizada a veces en las clases muestra que esta la posibilidad de que los
19
alumnos adquieran nociones groseras e incorrectas, como una tendencia a memorizar
fórmulas que no son comprendidas(Griffiths & Howson, 1974).
El trabajo de proyectos se ha convertido en una vía prometedora para elevar los
aprendizajes matemáticos de los estudiantes. Desde esta perspectiva, se reconoce su
importancia como estrategia metodológica pertinente para el desarrollo de capacidades y
habilidades necesarias en el mundo actual, potenciándose aún más si se trabaja con la
modelización de situaciones reales (Abrantes, 1994). Por lo tanto, ofrecer situaciones
concretas permite organizar e interpretar información y datos; describir relaciones
matemáticas; enfrentar problemas con soluciones múltiples; entender la aplicabilidad de los
conceptos y procesos; analizar e interpretar problemas a través de la matemática; entender
nuevas ideas; incorporar conocimientos; asimilar información, y adaptarse a los cambios
tecnológicos y científicos. Según el enfoque metacognitivo, desarrolla la creatividad y el
interés por el descubrimiento; el transversal, que propicia el desarrollo de habilidades
comunicativas orales y escritas (Alsina, 1998; Aravena, 2001) y la comprensión del rol que
asumen las matemáticas en una sociedad moderna y postmoderna (Niss, 1992; Keitel, 1993;
Abrantes, 1994; De Lange, 1996; William & Ahmed, 1997; Alsina, 1998; Aravena, 2001;
Gómez, 2002).
Tal aspecto es muy importante en la formación de los alumnos, ya que se pretende
desarrollar un sentido, una visión en la forma de relacionarse con la nueva información que
haga que su aprendizaje vaya siendo relacional y comprensivo (Alsina, 1998; Aravena,
2001). También se considera que esta metodología de trabajo favorece el empleo creativo
de la información porque permite relacionar el conocimiento y su campo de aplicación,
vincular ideas de otras áreas para lograr nuevos conceptos, asociar necesidades y recursos,
así como resolver problemas sobre la base del conocimiento disponible (Letelier, López y
Martínez, 1994; Aravena, 2001).
El trabajo de proyectos tiene como punto de partida la selección de una situación real que
esté en estrecha relación con la temática de estudio y sea susceptible su formulación en
términos de una función polinómica (lineal, cuadrática, lineal por tramos). Consiste en
resolver un problema real a través del proceso de modelizar una situación que involucre una
investigación en terreno, a fin de que los estudiantes puedan asociar los conceptos y
procesos matemáticos con otras áreas del saber.
20
Los resultados y análisis han permitido corroborar que un trabajo sustentado en la
modelización prepara a los estudiantes para que tengan una participación activa en el
ámbito social y cultural. Esta forma de trabajo permite que adquieran una visión integrada
de la matemática, reconozcan su utilidad para resolver problemas del medio, además de que
comprendan y valoran la utilidad de los conceptos y procesos. Dicho aspecto cobra
relevancia porque una de las dificultades en el aprendizaje de la matemática radica en la
comprensión y la utilidad de los conceptos cuando se presentan fuera de contexto.
Con respecto a la enseñanza de las funciones definidas a trozos, no se encuentran
demasiadas investigaciones, pero podemos comentar que el trabajo de Leguizamón y
Caidedo (1999) donde las autoras se centran en el aspecto algebraico de las funciones a
trozos, exponiendo una estrategia didáctica para ayudar en la comprensión y manipulación
de este tipo de funciones, enfatizando el carácter activo de toda función, sin utilizar las
funciones como modelización de funciones. Por otra parte, el trabajo de Tesis de Maestría
de Caro Acevedo (2013) presenta una propuesta de enseñanza sobre la modelación de
funciones por tramos en el último año de la escuela secundaria colombiana, desde el marco
del aprendizaje significativo. En su propuesta se buscaba que cuando los estudiantes se
encuentren un problema de funciones donde se le presenten condiciones, identifiquen el
modelo que representa el problema como una expresión algebraica, siguiendo los pasos
propuestos por George Pólya para solucionar problemas (comprender el problema, pensar
en un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás). Según el autor, los resultados de las
pruebas con los estudiantes se compararon estadísticamente, evidenciando la pertinencia de
las actividades implementadas. Finalmente, hacemos mención al trabajo de tesis de
Licenciatura de Vernazza y Tapia (2013) también de Colombia, donde los autores
elaboraron una propuesta de enseñanza de la función a trozos partiendo de contextos reales
tomados del periódico, con el objetivo de que los estudiantes puedan comprender la
información que es emitida a un público general. El trabajo fue realizado utilizando como
marco teórico en la dimensión cognitiva principalmente a la Teoría de las Representaciones
semióticas de Duval y en la dimensión didáctica, a la Teoría de Situaciones de Brousseau.
La secuencia fue implementada utilizando el GeoGebra para trabajar diferentes registros de
representación semiótica a un conjunto de estudiantes que conocían la función afín y lineal,
21
con lo cual la propuesta permitió afianzar y ampliar el concepto de función. A nivel
universitario, estudios como los de Gatica y otros (2011) dan cuenta de la relevancia del
estudio de las funciones definidas a trozos para la comprensión del concepto de continuidad
de funciones.
Objetivos de la investigación
Objetivos generales
Estudiar la posibilidad enseñar las funciones definidas a trozos en la educación
secundaria, para recuperar su sentido y apreciar la potencialidad de los modelos
matemáticos y su aporte en la contribución de la funcionalidad de la matemática.
Utilizar la Actividad de Estudio e investigación como herramienta para enfrentar los
fenómenos de la monumentalización del saber matemático y de la pérdida de
sentido.
Objetivos específicos
Construir un modelo praxeológico de referencia (MPR), que permita abordar de la
pregunta generatriz Q0. ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el circuito del
alcohol en el cuerpo humano?
Diseñar e implementar una actividad de estudio e investigación (AEI) para estudiar
las funciones definidas a trozos en la modelización del circuito del alcohol en el
cuerpo humano.
Implementar la AEI en un curso de una escuela secundaria de Tandil
Describir los resultados de la implementación en términos de preguntas y respuestas
de los estudiantes con relación a los saberes encontrados.
Preguntas de investigación
¿Qué características tendría que tener un modelo Praxeológico de referencia que
permita estudiar la modelización matemática del circuito del alcohol en el cuerpo
humano y dar cuenta de sus efectos en las conductas humanas?
¿Qué actividades y tareas se pueden ofrecer a los estudiantes para que puedan
realizar la actividad de estudio e investigación?
22
¿Cómo es el funcionamiento de la Actividad de Estudio cuando se la implementa en
un curso de Matemática, en términos de preguntas y respuestas de los estudiantes?
23
Capítulo 2: Metodología de la
investigación
La investigación es de tipo cualitativa, se busca describir el proceso de implementación de
la AEI en un curso de una escuela secundaria de Tandil. Como parte de la descripción y el
análisis se identificación de las variables didácticas- matemáticas a partir de las cuales
comenzaron a generar la familia de tareas que conformaría la AEI, lo cual hizo necesario
elaborar un Modelo Praxeológico de Referencia (MPR), de acuerdo al marco teórico
adoptado.
La implementación se llevó a cabo en un curso de quinto año del nivel superior de la
escuela secundaria de Técnica Nº2 integrado por 17 estudiantes entre 16 y 17 años en un
curso de 5to Año de la Escuela Secundaria Técnica Nº2 orientación Química, en la ciudad
de Tandil, donde el investigador es docente de esa institución. El curso fue seleccionado
intencionalmente porque se buscaba que estudiantes y profesora estuviesen familiarizados,
y que la profesora fuera la que implementara la AEI que había diseñado previamente,
evitando así la variable profesor en el análisis. Se seleccionó deliberadamente la modalidad
de Química, entre otras modalidades que ofrece la institución, debido a que se considera
que los estudiantes tienen una formación afín a la temática a tratar, en lo referido a la
composición química del alcohol, etc.
Se recolectaron todas las producciones de los estudiantes en lápiz y papel, realizadas clase a
clase, que luego fueron digitalizadas y se registró un audio general de cada clase. Las notas
de campo del docente-investigador se registraron para poder identificar lo desarrollado en
cada clase. Con base a estos registros, se realizó la descripción de la implementación, en
términos de preguntas y respuestas.
Descripción del ámbito de la implementación de la AEI
La institución es de gestión pública de la ciudad de Tandil, cuenta con varias orientaciones
la cuales son:
Maestro Mayor de Obra
Analista Programador
24
Electromecánico
Técnico Químico
Automotores.
La duración total es de 7 años, en el último año los alumnos realizan sus pasantías en
distintos lugares de la ciudad de Tandil, al finalizar el año deben realizar la presentación y
defensa de proyecto de acuerdo a lo que ellos hayan elegido para trabajar durante todo el
año. Los estudiantes ya salen con un título de técnico y hay estudiantes que se insertan en el
mundo laboral y otros continúan una carrera universitaria.
Durante la implementación de la AEI, el grupo se organizó en sub grupos, de entre 4 y 6
integrantes cada uno. Las clases se desarrollaron en el aula cotidiana, en principio se pensó
que sería muy bueno contar con el uso de la sala de computación pero no fue posible por
restricciones institucionales a ajenas a la investigación y los estudiantes utilizaron como
herramienta de investigación sus teléfonos celulares o bien traían información desde la
casa. La actividad se realizó durante los meses de octubre y noviembre del año 2017, con
un total de 15 clases de una o dos horas reloj de duración distribuidas en dos clases
semanales. La profesora a cargo del curso es la investigadora, y quien trabajó con los
estudiantes durante todo el ciclo lectivo.
Se elaboró un modelo praxeológico de referencia (MPR), para analizar los posibles
recorridos de la AEI a desarrollar y el efectivamente desarrollado.
La actividad de estudio e investigación propuesta comienza tiene como pregunta generatriz
Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano?
El análisis de las repuestas posibles de Q0 determina los distintos recorridos potenciales
generados por las preguntas derivadas de Q0 a las que llamaremos Qi.
A través de las Qi, se buscará implementar la organización matemática que consideren
adecuada y logren relacionar una con otra.
Se realizaron observaciones de las clases, recopilando los datos de los estudiantes, informes
diarios de los estudiantes, es decir las resoluciones de los estudiantes día a día y las síntesis
personales solicitadas por el profesor, un cuestionario construido por el investigador y una
reflexión final por parte de los estudiantes.
25
Capítulo 3: Modelo Praxeológico de
referencia
Introducción
El estudio se realizó a partir del análisis de una situación inicial para poder comenzar con la
AEI. Con ella no se pretende llegar a un resultado único ni inmediato, sino que se plantea
como una problemática disparadora para investigar y realizar un estudio por parte de los
estudiantes desde sus conocimientos matemáticos previos, y de otras ciencias (química,
biología y física).
Actividad inicial
Se planteó a los estudiantes la siguiente actividad:
Un grupo de amigos van a un restaurant, comieron y bebieron más de lo normal. Luego de
un corto tiempo de la última copa, se fueron en auto, colisionan con otro auto estacionado,
sin sufrir lesiones mayores. Producto del susto y los nervios, sin prestar atención a testigos
oculares del hecho, se refugiaron en una de las casas, para evitar el control de
alcoholemia, y ser multados por la policía ante el hecho de conducir luego de beber. Un
tiempo posterior efectivamente son encontrados y se les practica el test de alcoholemia.
¿Cómo se puede saber si la colisión fue consecuencia exclusiva del alcohol ingerido o no?
¿Sirve de algo “escapar” para evitar el análisis de sangre para conocer su alcoholemia?
Formulamos un conjunto de posibles preguntas que se desprenden de esta problemática
inicial, y que podría dar origen a distintas nociones matemáticas a encontrar o reencontrar:
¿Cómo conocer el contenido de alcohol en la sangre? ¿De qué factores depende?
¿Qué es la graduación alcohólica de una bebida y cómo conocerla?
¿Cómo estimar la concentración de alcohol?
¿Cómo se puede describir la evolución de la concentración de alcohol en el cuerpo a
medida que pasa el tiempo? ¿De qué factores depende?
¿Cómo impacta la cantidad de comida en el estómago en la concentración de
alcohol?
26
¿Cuál es la cantidad de alcohol permitido para conducir? ¿Cómo lo podemos
calcular analítica y gráficamente?
¿Cómo predecir efectos de la concentración de alcohol en sangre a medida que pasa
el tiempo? ¿Se puede realizar un gráfico que represente de esta situación?
¿Cómo interpretar la velocidad de absorción y eliminación de alcohol en el cuerpo?
Realizar un análisis de varias etapas de absorción y eliminación hasta lograr una
concentración del alcohol cero. ¿Se puede realizar un gráfico que represente de esta
situación?
¿Cómo hacer retrospecciones sobre la cantidad de alcohol ingerida a partir de
mediciones actuales?
¿Cómo se sabe cuánto fue el alcohol ingerido a partir de los resultados de las
pruebas corrientes de alcoholimetría?
¿Cómo interpretar los resultados de los test de alcoholemia?
¿Después de cuánto tiempo ya no hay alcohol en el cuerpo? ¿De qué factores
depende?
Las cuestiones y las organizaciones matemáticas que tienen lugar
A partir del problema inicial y de las cuestiones derivadas, los estudiantes pueden recorrer
las diferentes praxeologías, a partir del estudio de la generatriz Q0: ¿Cómo la Matemática nos
permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano?
El estudio de la pregunta generatriz, lleva al estudio de las siguientes OM:
OM1: Unidades (Volumen, peso, densidad)
OM2: Operaciones con números racionales
OM3: Regla de tres simple. Porcentaje
OM4: Función Lineal
OM5: Estudio de funciones (Dominio, imagen, Máximo o mínimo, ceros, ordenada
al origen, intervalo de crecimiento y de decrecimiento)
OM6: Sistemas de ecuaciones
OM7: Ecuaciones
OM8: Función lineal definida por tramos
27
OM9: Función “serrucho” o “diente de sierra”
OM10: Intervalos de la variable dependiente y la independiente
Para llegar al estudio de cada una de las OMs anteriores, partimos de una problemática
inicial para que los estudiantes puedan reencontrar las organizaciones que les eran
conocidas, y a su vez, encontrar y estudiar las nuevas, como es el caso de las funciones
lineales definidas a trozos.
Para interpretar un resultado de una prueba de alcohol, primero debe entenderse cómo se
mide el alcohol en bebidas alcohólicas y cómo se mide en el cuerpo (Newman Flanagan,
2003). Por eso, esta pregunta origina las siguientes derivadas:
A su vez, para abordar a Q1, surgen los siguientes interrogantes:
Se utiliza el alcohol etílico (el nombre químico del alcohol que consumimos) es una
pequeña molécula soluble en agua que es fácilmente absorbida y distribuida por la sangre a
través de todos los componentes que contienen agua del cuerpo (Newman Flanagan, 2003).
Para responder a esta pregunta, desde la misma investigación, se consultó a varias fuentes
de información como sitios de internet de dominio confiable (universidades o institutos de
investigación que difundieran este conocimiento), así como también textos de difusión
científica publicados en revistas de investigación. Por ejemplo, algunas fuentes consultadas
fueron: Apuntes de Cátedra de Toxicología y Química Forense. Facultad de Ciencias
Exactas. Universidad de Morón (Argentina); Material de difusión acerca del Alcohol y la
Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol
en el cuerpo humano?
Q1: ¿CÓMO SE MIDE EL ALCOHOL EN UNA BEBIDA
ALCOHÓLICA?
Q1.1: ¿QUÉ TIPO DE ALCOHOL SE UTILIZA?
Q1.2: ¿CÓMO SE CALCULAN LOS GRAMOS ABSOLUTOS DE
ALCOHOL EN UNA BEBIDA?
28
Conducción, elaborado por el Ministerio del Interior y la Dirección general de tráfico de
España, síntesis publicadas en el Department of Pharmacology and Systems Therapeutics
de la Mount Sinai School of Medicine (New York), etc.
De acuerdo al Material de difusión acerca del Alcohol y la Conducción, elaborado por el
Ministerio del Interior y la Dirección general de tráfico de España (capítulo 1: “Alcohol,
conducción y accidentes de tráfico”) primero tenemos que definir los tipos de bebidas
alcohólicas:
Tipos de bebidas alcohólicas
La presencia de alcohol en una bebida es el aspecto diferencial, por ello hablamos de
bebidas alcohólicas. Estas pueden ser bebidas fermentadas y bebidas destiladas.
La bebida fermentada procede de un fruto o de un grano (uva, manzana, cebada)
que, por la acción de levaduras, ha sufrido una fermentación alcohólica. Durante ese
proceso, la mayor parte de los azucares se transforman en alcohol.
A las bebidas que han sufrido fermentación alcohólica y, posteriormente, son
sometidas a un proceso de destilación, se las conoce como bebidas destiladas (brandy,
whisky, ron, ginebra y licores en general) que tienen mayor contenido en alcohol que las
bebidas fermentadas.
A continuación se presenta la Tabla 1 en la cual se presentan las principales bebidas
alcohólicas y los grados que suelen tener –puede haber diferencias entre marcas-. También
se presenta el volumen que contiene una consumición tipo, la cantidad en gramos de
alcohol absoluto que contiene esa consumición tipo.
Tabla 1: Algunas bebidas alcohólicas con sus respectiva graduación alcohólica, el volumen que contiene una
consumición “tipo”, la cantidad en gramos de alcohol (absoluto) que contiene esa consumición tipo que
suelen tener. Fuente: Material de difusión acerca del Alcohol y la Conducción, elaborado por el Ministerio del
Interior y la Dirección general de tráfico de España (Obtenido de
http://www.dgt.es/PEVI/documentos/catalogo_recursos/didacticos/did_adultas/alcohol.pdf l)
Q1.2.1: ¿QUÉ FACTORES FÍSICOS INTERVIENE EN LOS
CÁLCULOS?
29
Tipo de bebida Volumen Graduación alcohólica
rango (graduación media)
Gramos de alcohol
absoluto por consumición
Fermentadas
Vino Vaso=100
ml
10-15 (12) 9,6 gramos
Cerveza Caña=200ml 4-9 (5) 8 gramos
Sidra Vaso=
100ml
3-8 (5) 8 gramos
Cava Vaso=100ml 10-15 (12) 9,6 gramos
Destiladas
Ginebra Copa=50ml 40-42 (40) 16 gramos
Ron Copa=50ml 40-42 (40) 16 gramos
Whisky Copa=50ml 40-45 (42) 16,6 gramos
La proporción de alcohol puro (conocida como soluto) de una bebida alcohólica, para un
volumen dado de la misma, se denomina grado alcohólico. Por ejemplo, un litro de vino de
12 grados alcohólicos contiene 12 ml de alcohol puro por 100 de vino, en consecuencia hay
en 1 litro (1000ml) de vino, 120ml de alcohol puro. Es decir que los grados alcohólicos
serían como el equivalente de, en el caso del vino, 12% V/V, nuevamente 12 ml de alcohol
puro por 100 de vino.
De la misma manera, en un litro de cerveza de 5 grados, alcohólicos contiene 5 ml de
alcohol puro por 100 de cerveza, en consecuencia hay en 1 litro de cerveza, 50ml de
alcohol puro. Es decir que los grados alcohólicos serían como el equivalente de, en el caso
de la cerveza, 5% V/V, nuevamente 5 ml de alcohol puro por 100 de cerveza.
Como el alcohol, en las bebidas alcohólicas, es el soluto, y en este caso es medido en ml ya
que es un líquido, pero para los cálculos siguientes debemos conocer en masa (en gramos)
30
su cantidad, por lo que debemos conocer su densidad que es de 0,8 g/ml. Quiere decir que
al ingerir 10 ml de alcohol puro equivale a 8 gramos.
Dado que el peso específico del alcohol es de 0.8 g/cm3 (la densidad del alcohol), para
transformar la cantidad de alcohol consumida en ml de alcohol absoluto a gramos de
alcohol absoluto se utiliza la siguiente fórmula:
Gramos de alcohol = cantidad en mililitros x graduación alcohólica x 0.8
100
Es decir, en un litro de vino de 12 grados alcohólicos hay 96 gramos de alcohol absoluto:
en un litro de vino de 12 grados un 12 por 100 es de alcohol puro, es decir, 12 centilitros
(120 cm3), que multiplicado por 0.8 nos da 96 gramos.
Gramos de alcohol = 1000 x 12 x 0.8 = 96 GRAMOS.
100
Esta cuestión conduce a plantearse previamente la siguiente:
Según Álvarez y Del Río (2001) la alcoholemia es la cantidad de alcohol que hay en la
sangre después de beber alcohol. Es proporcional a la cantidad que se bebe y a la
mayor o menor concentración de alcohol en la bebida que se toma.
La alcoholemia se mide en gramos de alcohol por cada litro de sangre (g/l) o su
equivalente en aire espirado. Aunque dos personas beban la misma cantidad de alcohol
es muy poco probable que alcancen la misma tasa de alcoholemia o que lo hagan en el
mismo momento. Incluso si es una misma persona la que toma alcohol en dos días
distintos, la tasa de alcoholemia que alcance también puede variar.
La absorción del alcohol depende directamente de la velocidad a la que se beba. Cuanto
más rápido se tome la bebida, mayor será la velocidad de absorción y la cantidad total de
alcohol que pase a la sangre. Por ello, para evitar efectos indeseados, es recomendable
Q2: ¿CÓMO SE MIDE EL ALCOHOL EN LA SANGRE?
Q2.1: ¿QUÉ ES LA ALCOHOLEMIA?
31
que si se bebe, se lo haga pausadamente y que se espacie en el tiempo las bebidas a
consumir. También se recomienda intercalar alguna bebida no alcohólica entre dos
bebidas alcohólicas. La absorción del alcohol es más lenta en bebidas fermentadas (como
la cerveza o el vino) que en las destiladas (como la ginebra, el ron o el whisky). Además,
el alcohol tomado junto a bebidas gaseosas (como la tónica o ciertas bebidas de cola) o
tomada caliente puede favorecer la rapidez de aparición de la alcoholemia.
La rapidez de absorción del alcohol depende de la cantidad que llegue al intestino
delgado, por lo que la presencia de alimentos en el estómago es una variable muy
importante. Cuando el tubo digestivo está vacío, la cantidad de alcohol que pasa a la
sangre es mayor y lo hace de forma más rápida. Por ello, no es nada recomendable
consumir alcohol sin haber comido nada. La distribución y concentración del alcohol es
diferente en una persona gruesa que en una persona de menos peso. Con lo cual, una
persona delgada puede obtener una mayor tasa de alcoholemia con la misma cantidad de
alcohol ingerido que una persona gruesa.
La alcoholemia es pues, un indicativo del grado de impregnación alcohólica que presenta el
Sistema Nervioso, por lo que podemos pensar que a medida que aumenta dicha
alcoholemia, mayor será la disfunción del Sistema Nervioso y mayores las repercusiones a
nivel conductual.
La alcoholemia se incrementa en función de la cantidad de alcohol ingerido, la cual
dependerá a su vez de la graduación alcohólica de cada bebida. Así, una vez calculada la
cantidad de alcohol ingerida, se puede obtener el grado de alcoholemia aplicando esta otra
fórmula: alcoholemia = grs. de alcohol puro de la bebida ingerida / (peso en Kg. x 0.7 en
varones o 0.6 en mujeres)
En cualquier caso, este resultado siempre será aproximado. El grado real de alcoholemia -
medido en gramos de alcohol por litro de sangre- se obtiene directamente a través de un
análisis de sangre o indirectamente mediante el aire espirado. La concentración de alcohol
Q2.2: ¿CÓMO SE CALCULA LA CONCENTRACIÓN ALCOHÓLICA
EN UNA PERSONA?
32
en la sangre dependerá de todas las variables que enunciamos, y por tanto será distinta
en diversos sujetos y en condiciones distintas.
Fue Widmark, químico sueco quien en 1932 enunció que el metabolismo del alcohol
transcurre orgánicamente a una velocidad constante, pero lenta. Para poder averiguar el
grado de alcohol máximo en sangre que se alcanzará luego de ingerir alcohol, propuso
una fórmula con la que fue posible poder saber la cantidad de alcohol en la sangre y
seguir su evolución. Es por eso por lo que la curva que modeliza el circuito de alcohol en
sangre también se denomina “curva de Widmark”. Así, se estableció que:
( ) ( )
( ) ( )
Dónde:
C representa a la concentración de alcohol en la sangre
A representa a la masa (cantidad) de alcohol ingerida en g
R representa el factor de distribución en individuo
varones: 0,68 a 0,70
mujeres o varones jóvenes: 0,55 a 0,60
lactantes o niños pequeños: 0,75 a 0,80
M es la masa de la persona en kg (kilogramos).
Si el alcohol se absorbe más rápidamente de lo que está siendo eliminado, la
concentración del alcohol aumentará con el tiempo. Si la absorción y las tasas de
eliminación son iguales, la concentración de alcohol se mantendrá constante y una fase
de pico más larga resultará.
En Argentina la ley no permite la conducción de vehículos si la «tasa de alcoholemia»
supera los 0,5 gramos por litro en sangre (o 0,25 mg/L de aire espirado).
La modelización del circuito del alcohol en el cuerpo humano
Encontrar un modelo que permita describir el circuito del alcohol en el cuerpo humano es la
respuesta a la cuestión:
33
Ludwin (2011) analiza el contenido de alcohol en sangre, y plantea un conjunto de
ecuaciones diferenciales para describir el contenido del alcohol en la sangre en función
del tiempo, luego integra las ecuaciones para obtener una solución general. Las
ecuaciones de la solución general dependen de tres parámetros libres: la concentración
inicial de alcohol en el estómago después de la ingesta, la tasa de absorción de alcohol
en el torrente sanguíneo y la velocidad a la que el hígado metaboliza el alcohol. El autor
se propuso modelar el procedimiento del etanol en el cuerpo humano mediante el
siguiente esquema de reacción:
A=>B=>C (1)
Donde A representa la concentración de alcohol en el estómago, B representa la
concentración de alcohol en la sangre y C se representa la concentración de
subproductos en la sangre después de que el alcohol es metabolizado por el hígado.
Junto con la reacción anterior, se propone que la cinética de la reacción son los pasos de
primer orden para que:
(2)
y
(3)
Donde A y B representan las concentraciones de especies A y B dadas las condiciones
iniciales ( ) y ( ) . El autor presentó los datos experimentales en Tabla 1
para determinar la función B(t) y la modelización de la función a partir de la tabla, como
se puede observar en la Figura 1.
Tabla1: Concentración de alcohol en sangre según pasa el tiempo para un sujeto de 75 kg después de
beber 15 ml de alcohol al 95 %.
Q2.3: ¿CÓMO DESCRIBIR LA ALCOHOLEMIA A TRAVÉS DEL
TIEMPO?
34
Tiempo (minutos) Concentración de
alcohol en sangre
(mg/L)
0 0
10 150
20 200
30 160
45 130
80 70
90 60
110 40
170 20
0
50
100
150
200
250
0 10 20 30 45 80 90 110 170
C
o
n
c
e
n
t
r
a
c
i
ó
n
d
e
a
l
c
o
h
o
l
e
n
s
a
n
g
r
e
(
g
/
l)
Tiempo (minutos)
35
Figura 1: Curva que pasa por los puntos obtenidos experimentalmente que representa el recorrido del
alcohol en sangre para un sujeto de 75 kg después de beber 15 ml de alcohol al 95 %, según los autores
del trabajo mencionado en esta sección
Con el fin de determinar el nivel de alcohol en sangre B (t) explícitamente debemos
primero resolver las ecuaciones diferenciales (2) y (3). Después de separar las variables
en (2) tenemos:
( )
Por lo tanto, integramos y usemos la condición inicial dado ( ) , para obtener:
( ) ( ) ( )
Es más conveniente expresar la ecuación (5) como:
( )
Sustituyendo (6) en (3) se obtiene la siguiente ecuación diferencial lineal del primer
orden:
( )
Puesto que (7) es una ecuación diferencial lineal de primer orden es bien sabido que la
solución es de la forma:
( ) ∫ [∫( ∫ ) ] ( )
La realización de la integración en (8) junto con la condición inicial B(0)=0 produce:
( ) (
) ( ) ( )
36
Usamos un solucionador de Excel para encontrar que los valores
( )
Minimizando el error absoluto medio cuando los valores de B (t) se ajustan con los datos
experimentales dados en la Tabla 1.
Tabla 2: La tabla muestra el nivel de alcohol en sangre para el modelo de sujeto versus teórico con los
mejores parámetros de ajuste A0, k1 y k2. Obtenida del trabajo citado en este apartado
Tiempo
(minutos)
Concentración de alcohol en
sangre (mg/L) (experimental)
Concentración de alcohol en
sangre (mg/L) (modelo)
0 0 0
10 150 147,54
20 200 172,95
30 160 161,38
45 130 129,99
80 70 70,99
90 60 59,49
110 40 41,74
170 20 14,41
Los resultados de la ecuación de modelado (9) se ilustran en la Tabla 2. Los autores
ajustaron la ecuación (9) a los datos al minimizar las diferencias individuales en los valores
calculados frente a los valores experimentales. Esto se logró utilizando la herramienta de
solución en Microsoft Excel con los datos que se muestran en la tabla anterior. Excel
37
produjo los valores dados para las constantes, y se encontró que la precisión promedio del
modelo era. Este modelo resultó ser razonablemente preciso para predecir la concentración
en un momento dado. Siguiendo los métodos descritos en este informe, se puede decir con
seguridad que este es un modelo matemático confiable para describir el contenido de
alcohol en la sangre. Esto implica que la ruta metabólica del etanol está bastante bien
descrito usando una cinética simple de primer orden. Esto representa un ejemplo levemente
sorprendente de cómo un sistema aparentemente complicado, como uno biológico, se puede
dividir en partes más pequeñas y aproximarse con modelos matemáticos.
Al mismo tiempo, los autores reconocen que este experimento también tiene fallas
potenciales en su capacidad de hacer predicciones, y por lo tanto en su utilidad. Las
constantes obtenidas a través de los datos no van a ser el mismo para dos temas, van a
variar según el peso, el tamaño de la materia estómago, cantidad de sangre en el sistema del
sujeto, función hepática de dicho sujeto y muchos otros variables potenciales. Como tal, el
autor expresa que esta técnica representa un buen método para la interpolación información
de datos experimentales dados, pero se debe realizar más investigación para probar su
confiabilidad para una población general. Los resultados sugieren que el modelo predijo los
valores experimentales con un promedio exactitud de 94, 4%. Dada la precisión
relativamente alta de los valores calculados, se puede decir con seguridad que el modelo
fue exitoso al describir el nivel endógeno de alcohol en la sangre del sujeto.
Por su parte, según Newman Flanagan (2003) la farmacocinética del alcohol etílico se
define como el comportamiento del alcohol en el organismo, desde su ingreso (etapa
ascendente) en él hasta su eliminación (etapa descendente); comprende cuatro etapas o
fases: fase de absorción, fase de distribución, fase de metabolismo y fase de eliminación.
El circuito del alcohol una vez ingresado en el cuerpo humano, se puede analizar por partes
según la función que realiza el organismo. Así, se tienen dos fases principales:
Q2.3.1: ¿Cómo se construye e interpreta la función de la concentración de
alcohol?
38
1- Fase ascendente:
Fase de absorción
Absorción es reconocida como el proceso de mover el alcohol de fuera del cuerpo hacia
dentro del torrente sanguíneo donde se puede distribuir por todo el cuerpo. Como una
pequeña molécula completamente soluble en agua, el alcohol etílico es absorbido en el
revestimiento mucoso del tracto digestivo.
En contacto con el tracto digestivo, el alcohol se absorbe por simple difusión en el
revestimiento mucoso y luego en la sangre. La cantidad absorbida en cualquier sitio dado
depende de la superficie, del espesor del revestimiento y el suministro de sangre. A
diferencia de la mayoría de las otras sustancias ingeridas, el alcohol no es digerido y puede
ser absorbido sin cambios directamente al revestimiento del estómago. Sólo el 20-25 % del
alcohol ingerido es absorbido de esta manera porque el estómago tiene una superficie
relativamente pequeña y suministro de sangre limitado. El 75-80% restante del alcohol es
rápido y absorbe eficazmente cuando sale del estómago y entra en el pequeño intestino, que
tiene una gran superficie y rico suministro de sangre.
Previamente se plantea las preguntas:
y
Según Flanagan (2003), debido a que el alcohol se absorbe rápidamente una vez que llega
al intestino delgado, cualquier cosa que retrasa el estómago de vaciar su contenido en el
intestino delgado disminuirá la velocidad de absorción del alcohol. La más rápida absorción
se produce cuando el estómago está vacío. Las bebidas diluidas tardan un poco más en
absorberse. El alcohol concentra (superior al 40% en volumen) actúa como irritante al
revestimiento gástrico y se mantendrá en el estómago hasta que pueda diluirse. Bebidas
alcohólicas que contienen ingredientes que requiere digestión, tales como bebidas
carbonatadas, también pueden ralentizar la absorción algo. La absorción también puede
Q2.3.1.1: ¿Qué variables se relacionan?
Q2.3.1.3: ¿En qué tiempo se llega a la concentración máxima de alcohol en
sangre?
39
verse afectada por el estado emocional, shock y medicamentos que afecta la función del
estómago y la condición general de la gastrointestinal tracto. El factor más importante que
afecta la absorción es la presencia de alimentos en el estómago concurrentes con el alcohol.
Los alimentos requieren digestión y cualquier alcohol atrapado en las partículas de
alimentos toma más tiempo para la absorción. El alcance del efecto depende de la cantidad
y tipo de alimento. El retraso en la absorción causa una concentración de alcohol pico más
baja que dura más tiempo comparado con el consumo con el estómago vacío.
Las tasas de absorción y los tiempos varían considerablemente entre sujetos, incluso dentro
del mismo sujeto en momentos diferentes bajo condiciones similares.
Las concentraciones máximas son generalmente alcanzadas dentro de 30 a 60 minutos de la
cesación de beber.
Debido al rápido aumento inicial de CA después de beber, la mayor parte del pico CA se
alcanza dentro de los primeros 30 minutos. Esto es verdad sí o no los alimentos están
presentes, aunque los alimentos pueden afectar la magnitud de la concentración máxima.
Cuando el alcohol se consume sucesivamente con el tiempo, como situación social de
consumo de alcohol, las concentraciones máximas de 30 minutos de la última bebida e
incluso puede ser alcanzada antes de la última bebida que está terminado.
A continuación en la Figura 2, se puede observar como varía la curva cuando tiene el
estómago lleno o vacío. Es importante observar la variación del punto máximo de la
función
Figura 2: Análisis de acuerdo si tienen o no el estómago vacío o lleno después de consumir alcohol. Imagen
extraída de “Alcohol toxicology for prosecutors”. Fuente: Flanagan (2003)
40
Fase de distribución
Una vez absorbido, el alcohol se distribuye de modo uniforme por todo el organismo a
través de la sangre. Entre 30 y 90 minutos tras finalizar la toma o ingesta de alcohol aparece
los niveles más altos en sangre. A través de la sangre llega a todos y cada uno de los
órganos del cuerpo.
Existe una buena correlación entre los niveles de alcohol en sangre y los efectos que
produce este en el organismo. Es decir, a partir de los niveles de alcohol en sangre se puede
predecir qué efectos está produciendo el alcohol en el organismo.
Debido a que el alcohol es completamente soluble en agua, la CA en el conjunto cuerpo es
directamente proporcional al contenido total de agua corporal que varía de persona a
persona. Los individuos obesos tienen menos agua por kilo de peso corporal que los
individuos de construcción promedio porque las células de grasa contienen poca agua. Las
mujeres tienden a tener una mayor proporción de grasa corporal que los hombres.
Alrededor del 68 % del peso corporal medio de un varón es debido al agua corporal,
mientras que el porcentaje es del 55% para las mujeres promedio.
En general, cuanto más pesada es una persona, mayor es la cantidad de alcohol que debe ser
consumido para alcanzar una concentración específica del alcohol en el cuerpo.
La concentración relativa de alcohol en cualquier fluido o tejido es también directamente
relacionado con su contenido de agua.
Es posible aproximar la fase ascendente modernizándola con una parte de una función
lineal creciente donde podemos analizar desde que la persona comenzó a consumir alcohol
hasta llegar a su concentración máxima. Entonces, para la construcción de esta función es
necesario conocer su pendiente y la ordenada al origen, como dijimos anteriormente como
el recorrido se inicia cuando comienza a ingresar alcohol al cuerpo por lo tanto la
concentración es cero en el tiempo cero. Primer punto es el par ordenado (0; 0), por lo tanto
Q2.3.1.4: ¿Qué factores influyen en el tiempo que se llega a la
concentración máxima de alcohol en sangre?
Q2.3.1.2: ¿Qué función se puede construir?
41
la ordenada al origen es 0, lo cual es coherente pues se estaría en el caso de una función de
proporcionalidad directa. Ahora nos faltaría conocer la concentración máxima en un tiempo
determinado que se va tener en cuenta de acuerdo a si consumió alcohol con el estómago
vacío o lleno, lo cual nos va a permitir analizar el dominio (estómago lleno o vacío) y la
imagen (variando la concentración máxima, sexo y peso de la persona) y de esta manera
obtener el otro par ordenado para poder encontrar la pendiente y por construir la función
lineal de la fase ascendente. A continuación se presenta un ejemplo:
Supongamos que tenemos una persona de 60 kg y conocemos lo que había consumido, 3
vasos de cerveza y 1 whisky junto a lo comido.
Primera cuestión: ¿Cuántos gramos absolutos ingresaron al cuerpo?
( ) ( ) .
Segunda cuestión ¿Cuál es la alcoholemia?
Tercera cuestión: ¿Cuál es la función que podría modelizar la fase ascendente?
Si aproximamos esta fase con una función lineal, tenemos dos puntos que pertenecen a esta
función, y por lo tanto a partir de ellos se puede encontrar la expresión algebraica de la
recta que pasa por estos dos puntos:
( ) ( )
Cuarta cuestión: ¿Cuál es la expresión algebraica de la función lineal que pasa por estos
dos puntos?
( )
Entonces, tenemos que hallar la pendiente:
( )
En la Figura 3 representamos la modelización de la función lineal de la fase ascendente.
42
Figura 3: Modelización de la función lineal de la fase ascendente. Fuente: elaboración propia
Realizando un análisis de la función, podemos observar que el dominio es: [ ] y la
imagen [ ], como dijimos anteriormente el dominio cambia al modificar si la persona
consumió con el estómago vacío o lleno y la imagen también se modifica se considera otro
el sexo, o el mismo sexo pero con otro peso. Esto es, una modificación de la concentración
alcohólica, incide en un cambio en la imagen y en la pendiente de la recta (la inclinación de
la recta).
2- Etapa descendente
Fase de metabolismo
El metabolismo del alcohol es el conjunto de reacciones químicas que se producen en las
células del organismo para “destruir, degradar o simplificar” las moléculas de etanol,
facilitando su eliminación y evitando que el alcohol permanezca en el organismo de manera
indefinida.
En estos procesos se degrada entre un 90% y 98% del alcohol que se ingiere. Este
metabolismo, que se realiza mayoritariamente en el hígado, y en menor medida en el
Q2.3.1.5: ¿En qué tiempo se llega a la concentración mínima de alcohol en
sangre?
43
estómago, consiste en la oxidación del alcohol y se realiza con una velocidad constante y
apenas modificable. El metabolismo del alcohol es un fenómeno constante
(aproximadamente se degradan unos 120 miligramos por kg de peso y hora, o unos 8 - 12
mililitros de alcohol absoluto por hora, o unos 8-10 gramos de alcohol absoluto por término
medio en una persona de 70 kg de peso) y no depende de la cantidad del mismo que haya
en la sangre.
Este metabolismo tan solo se modifica por el peso de la persona, por diferencias genéticas
y, en menor grado, por el hábito de beber.
En este sentido el alcohol es una sustancia excepcional. Son muy pocas las sustancias
conocidas cuyo metabolismo transcurre a velocidad constante independientemente de la
cantidad presente (lo que técnicamente se denomina cinética de orden cero).
¿Qué pasa en las mujeres?
A nivel de la mucosa gástrica la actividad de la enzima implicada en la oxidación del
alcohol (la enzima alcohol-deshidrogenasa) es menor en las mujeres que en los hombres.
Por ello, de todo el alcohol que se ingiere, una pequeña cantidad es degradada en el
estómago en los varones, pero no en las mujeres, lo que contribuye a explicar porque en
ellas se alcanzan mayores niveles de alcohol en sangre que en ellos cuando se consume la
misma cantidad de alcohol.
Fase de eliminación
El alcohol se elimina del cuerpo a través del metabolismo, la excreción y evaporación. El
metabolismo representa aproximadamente el 95 % del alcohol de eliminación. Las enzimas
actúan sobre moléculas de alcohol para cambiarlas en otros compuestos, estos subproductos
se metabolizan adicionalmente.
El alcohol deshidrogenasa (ADH) en el hígado es la enzima que es principalmente
responsable del metabolismo del alcohol. ADH también se encuentra en el estómago forro,
causando la eliminación de una pequeña porción de una dosis de alcohol antes de que tenga
la oportunidad de ser absorbido.
El alcohol también se excreta sin cambios a través de la orina, lágrimas, sudor, semen y
saliva.
44
Cada gota de orina que se produce y se agrupa en la vejiga refleja la concentración de
alcohol de la sangre circulante en ese momento.
Debido a que el alcohol tiene una alta presión de vapor a las temperaturas corporales, el
alcohol se evaporará de la sangre a los pulmones y se excretará en la respiración,
permitiendo que se mida en una muestra de aliento.
Tasa de eliminación
Según Flanagan (2003), biológicamente se determinó que el ritmo de eliminación es una
constante, que expresa la cantidad de alcohol eliminado por minuto y por kg peso
(aproximado e independiente de lo que haya bebido la persona). La tasa de eliminación es
de 0,15 gramos de alcohol por hora.
Debido a que el metabolismo es responsable de la gran mayoría de la eliminación, no es
una manera práctica para que un sujeto lo modifique. Mientras la sangre fluya hacia el
hígado, el alcohol continuará siendo metabolizado.
De la misma manera que se aproximó la etapa ascendente del recorrido del alcohol desde
que comenzó a ingerir hasta llegar a su concentración máximo, se puede aproximar la fase
descendente con una parte de una función decreciente, considerando que biológicamente el
ritmo de eliminación es constante, que expresa la cantidad de alcohol eliminado por minuto
y por kg peso. Este dato se acepta en la comunidad científica, cuyo valor de tasa de
eliminación es 0,15 gramos de alcohol por hora.
Por lo tanto, aceptando la modelización de la fase descendente con una función lineal
decreciente, teniendo el punto máximo y buscando el par ordenado donde nos indica que
concentración de alcohol es cero, es decir la raíz de la función, podemos construir la
función lineal descendente.
Ejemplo:
Como dijimos anteriormente la tasa de eliminación se acepta con 0,15 gramos de alcohol
por hora.
A continuación se realiza el cálculo de la función descendente:
45
Como ya había pasado una hora desde que comenzó a consumir el total es:
( )
Tenemos ahora los dos puntos:
( ) ( )
A partir de los puntos ahora vamos a calcular la pendiente y la ordenada:
( )
(
) (
) ( )
(
) ( )
( ) 𝟏 𝟏𝟐 𝟏𝟓
En la Figura 4 se presenta la función lineal decreciente que modeliza la etapa descendente
a partir del cálculo algebraico realizado anteriormente representando cómo va
disminuyendo el alcohol en la sangre de una persona, a medida que transcurre el tiempo.
Figura 4: Fase descendente desde el punto máximo hasta llegar a cero. Fuente: elaboración propia
Como se puede notar, la situación permite modelarse con tramos de funciones lineales, lo
cual presenta un potencial didáctico para enseñar las funciones definidas a trozos, ya que
nos permite realizar el recorrido del alcohol en el cuerpo de una persona desde que
46
comenzó a ingerir hasta que llegó a ser cero la concentración alcohólica, como se
representa en la Figura 5.
{
Figura 5: La función en tramos del recorrido del alcohol en el cuerpo de una persona desde que comenzó a
ingerir alcohol hasta que lo elimina totalmente. También se graficó la función constante y= 0,5 que representa
la cantidad máxima permitida por la ley, para la conducción de automóviles. Fuente: elaboración propia.
Para calcular la intersección entre las rectas de las dos etapas y la función constante
(y=0,5), se realiza de la siguiente manera:
Etapa ascendente
Se toma la función de la etapa ascendente (C (t)=0,97t) y se igual a la cantidad de alcohol
que una persona puede tener en sangre para conducir el automóvil (0,5 g/l):
Este resultado nos indica el tiempo que le lleva para llegar a la concentración alcohólica
permitida para conducir, pasado ese tiempo ya no cuenta con los reflejos porque no tiene la
cantidad permitida.
Etapa descendente:
De la misma manera se toma la función de la etapa descendente (C (t)=1,12-0,15t) y se
igual a 0,5:
47
El resultado obtenido nos indica que pasado ese tiempo la persona va a tener la cantidad de
alcohol en sangre permitido para conducir.
En el caso de la ingesta continua de alcohol, las fases de absorción y eliminación no
terminan de desarrollarse completamente, con lo cual la situación queda representada por
funciones lineales a tramos que se van solapando. Gráficamente se obtiene una función
similar lo que se conoce como “función serrucho” o función “diente de sierra”, aunque en
este caso no se conserve la simetría característica de este tipo de funciones.
Si se realiza la construcción de etapas sucesivas de absorción y eliminación hasta que la
concentración de alcohol sea eliminado en un tiempo determinado de acuerdo a lo que haya
ingerido la persona.
Por ejemplo, supongamos que Juan ha bebido alcohol, llegó a tener una concentración
máxima de alcohol en sangre de 0,97 g/l a la hora de haber terminado de beber. Durante
una determinada cantidad de horas no consume, lo cual la concentración comienza a
descender (etapa de eliminación), que modelizada la siguiente función en tramos:
( ) {
Pero pasando las tres horas decide consumir nuevamente, por lo tanto la concentración en
ese momento sin consumir era de:
( )
( )
Q2.4: ¿CÓMO SE PUEDE MODELIZAR LA SITUACIÓN DE BEBER
ININTERRUMPIDAMENTE?
48
Este resultado nos indica que a las tres horas la persona tiene una concentración alcohólica
de 0,67 g/l.
Luego consume tres cervezas, que equivalen a 24 gramos de alcohol absoluto, se calcula la
concentración alcohólica y da como resultado:
Esto lleva a que la concentración total vuelva a aumentar, sumando la concentración que
tenía con la que consumió y da un total de:
CATOTAL=0,67g/l + 0,57g/l = 1,24g/l.
Ahora se modeliza la función en tramos ( ):
Etapa ascendente de la función 𝟐( )
Para buscar la pendiente tenemos los siguientes puntos: P1=( ), nos indica la cantidad
de alcohol que tenía a las 3 horas y P2=( ), la cantidad de alcohol que tenía la
persona pasada las 4 horas, que ya fueron calculados anteriormente.
Se calcula la pendiente:
Ordenada al origen:
Por lo tanto la función en la etapa ascendente de ( ) es:
( ) 𝟏 𝟓
A las 4 horas llega a su concentración máxima nuevamente, la misma es de:
( )
49
CAmax= 1,24 g/l
Por lo tanto a las cuatro horas llegó a una concentración alcohólica máxima de 1,24 g/l.
Etapa ascendente de la función 𝟐( )
Tasa de eliminación= 0,15 g de alcohol por hora
Para determinar el tiempo que tarda la persona en eliminar totalmente el alcohol en sangre,
se realiza el siguiente cálculo:
0,15 g----------1hora
1,24 g-----------
h
Aclaración: Es 12,3 h porque pasaron 4 horas desde que comenzó a consumir, entonces es:
8,3 h+4h=12,3h. Este resultado nos indica el tiempo que le lleva al individuo a eliminar
totalmente el alcohol en la sangre.
Ahora tenemos los dos puntos para poder modelizar la función:
( ) ( )
Calculamos la pendiente:
Ordenada al origen:
(
)
50
Por lo tanto la función queda modelizada de la siguiente manera:
A continuación se puede observar la función representada en la Figura 6. Se puede notar la
modelización de dos funciones en trozos, ( ) y ( ) teniendo en cuento los puntos
máximos de cada una, el tiempo máximo y el dominio y la imagen de las funciones a trozos
correspondientes.
( ) {
( ) {
>
Figura 6: Análisis de la ingesta de alcohol mediante la modelización de funciones en trozos. La línea punteada
nos indica que si no hubiera consumido más, la eliminación de alcohol hubiera sido a las 7 horas 40 minutos
aproximadamente. Fuente: elaboración propia.
Según Ferrari (2008) la extrapolación retrógrada es el proceso de estimar una concentración
de alcohol medida en un momento posterior a la toma. La estimación y el testimonio de un
experto en el juicio sólo será tan buena como el cuándo se produzca un retraso entre el
momento del accidente y la prueba, una exhaustiva investigación policial es primordial.
Q2.5: ¿CÓMO SE REALIZA EL CÁLCULO RETROSPECTIVO?
51
Partes importantes de la historia de beber con fines de extrapolación retrógrada son el
consumo de alcohol en la hora anterior a la infracción y cualquier consumo después de la
infracción pero antes de la prueba. Sabiendo dónde último consumidor del alcohol y su
distancia al lugar de detención puede proporcionar una estimación mínima del tiempo hasta
la última bebida. Del mismo modo, en la línea de tiempo y la evaluación de la
disponibilidad de alcohol desde el momento de un accidente momento en que el policía se
puso en contacto con el demandado ayudará a la probabilidad de consumo de alcohol
después del accidente.
Uso de la extrapolación retrógrada
Se elimina el alcohol, estimando el CA máximo. Recuerde que mientras el alcohol esté
presente en el cuerpo está siendo eliminado. Por lo tanto, el primer paso en una
extrapolación retrógrada es estimar la cantidad de alcohol eliminada en el tiempo entre el
delito y la prueba. Multiplicar el número de horas transcurrido por la tasa de eliminación.
Puede utilizarse una tasa media, recordando que la tasa real puede ser mayor o menor que
el promedio indicado. Esta cantidad calculada debe ser añadida al resultado de la prueba ya
que representa el alcohol presente en el tiempo del delito, pero eliminada antes de que se
tomara la prueba.
Medido CA + [(Tiempo de prueba-Tiempo de conducción)x 0,015]=Máximo CA.
ALCOHOL NO ABSORBIDO: estimación de la CA mínimo. El mínimo de la CA en el
momento de la conducción se obtiene restando el efecto de no absorbido alcohol de la
máxima CA previamente calculada. Sustraído se calcula utilizando la fórmula Widmark
dada anteriormente.
Máximo CA-(efecto del alcohol no absorbido)= CA mínimo.
Para estimar el efecto del alcohol no absorbido, estimar la cantidad de alcohol y su efecto
sobre una persona del peso, género y constitución corporal. El alcohol toma tiempo para ser
absorbido después de dejar de beber.
La cantidad de tiempo que toma es muy variable, difícil de predecir e imposible de
determinar después del hecho.
52
El hecho de que gran parte de una dosis de alcohol es absorbida dentro de los primeros 30
minutos de los límites de consumo la medida en que el alcohol no absorbido puede afectar a
un cálculo.
Esto es cierto incluso si la comida está presente en el estómago. Además, recuerde que en
sociales y prolongadas, el pico CA se alcanza en breve después, o incluso antes, la último
bebida está terminado. Los estudios han demostrado la mayoría de los casos, el aumento de
CA después de una bebida no es mayor que 0,02 en una variedad de condiciones de
dosificación, incluyendo alimentos en el estómago.
Esto hace que sea poco probable, aunque no imposible, que el historial para explicar una
gran diferencia entre una CA en el momento de la conducción y el momento de la prueba.
Si se puede determinar que el último el consumo de alcohol ocurrió una hora o más antes
de la absorción se habría completado esencialmente y no habría habido la cantidad de
alcohol consumida dentro de 30 a 60 minutos antes de la ofensa tiene la mayor relevancia
forense.
Beber después del incidente
Los demandados pueden alegar que alcohol fue consumido después de un accidente, por
ejemplo, para “calmar sus nervios”.
Los efectos del alcohol post-incidente se puede estimar usando las mismas técnicas para el
alcohol no absorbido. La magnitud del efecto dependerá todavía de la cantidad de alcohol
consumido, peso corporal, sexo, tiempo de consumo, etc. En este caso, sin embargo, el
efecto del alcohol consumido se resta del valor máximo preliminar CA estimación. Es
importante considerar todavía el efecto del no absorbido alcohol o consumido antes del
incidente en este cálculo.
Intente siempre proporcionar a su experto bastante información para realizar una
estimación previa al testimonio. De esta manera, el fiscal puede el impacto del consumo
posterior al incidente antes de tiempo. En algunos casos, la cantidad de alcohol
supuestamente consumida es insuficiente para situar al demandado por debajo del nivel en
el momento de conducir. En otros casos, aunque el presunto consumo pondría al
53
demandado por debajo del nivel, se puede demostrar que la cantidad supuestamente
consumida es altamente improbable dado los otros hechos conocidos del caso.
Cálculos de Alcoholemia Retrospectiva
En el primer tercio del siglo pasado, se había observado que el metabolismo del alcohol
transcurría orgánicamente a una velocidad constante, lentamente e independientemente de
la concentración. Widmark había calculado que la velocidad de metabolización era de 0.15
gramos de alcohol por litro de sangre y hora. La ecuación generada a partir de sus estudios
es, ampliamente utilizada con fines forenses. Principalmente se aplica para: 1) Estimar la
cantidad de bebida alcohólica ingerida a partir del conocimiento de la concentración etílica
en sangre. 2) Conocer el tenor de alcohol en sangre en un tiempo “t” anterior a la toma de
muestra (Cálculo retrospectivo o retrógrado) y 3) Efectuar proyecciones sobre el guarismo
en sangre según las cantidades de Etanol ingeridas.
El alcohol contenido en las bebidas alcohólicas se absorbe preferentemente por el yeyuno
ileon, alcanzando en breve el torrente sanguíneo dada su fácil difusión por las membranas
biológicas.
La desintoxicación bioquímica es progresiva, dura aproximadamente entre 8 a 10 horas
(algunos autores han informado 6-7 horas y otros hasta 14 horas (13,41). El ritmo de
eliminación depende del coeficiente de etiloxidación, que expresa la cantidad de alcohol
eliminado por minuto y por kilogramo de peso en un sujeto dado, cualquiera sea su
concentración. Este coeficiente es llamado “constante β de Widmark”.
En el gráfico de la Figura 7 la primer parte indica una alcoholemia ascendente, que se
manifiesta en la etapa de absorción de alcohol desde el tracto gastrointestinal a la sangre y
dura entre 90 a 120 minutos aproximadamente. Si la absorción es rápida (como sucede con
las bebidas de alta graduación alcohólica o libación en estado de ayunas) la curva de
absorción semejará más una vertical (línea trazos cortados a la izquierda). Caso contrario,
por ejemplo cuando se encuentran alimentos en el estómago al momento de la libación,
poseerá menor pendiente. La zona de meseta indica un equilibrio entre el ingreso por
difusión y eliminación oxidativa.
54
Figura 7: El gráfico ilustra una curva típica de absorción- eliminación, mediante las determinaciones de
etanol en sangre (alcoholemia), y el tiempo transcurrido desde el acto de ingesta. Fuente: Ferrari (2008)
Lo antedicho ha sido confirmado con las experiencias del investigador sueco AW Jones
quien refiere una experiencia publicada en el año 1984 en la que estudió 48 voluntarios
sanos a los que se administró 0,68 g/KG de etanol mediante la toma de whisky. En esta
contribución el autor ilustra con 48 gráficos el comportamiento de la curva absorción-
eliminación. En algunos casos se observa la rápida absorción del etanol en pocos minutos y
en otros en cambio se observan una línea ascendente con meseta próxima a los 120
minutos.
Prolongando hacia atrás la línea correspondiente a la eliminación, hasta cortar el eje de
ordenadas, obtendremos el valor Co, correspondiente a la alcoholemia máxima teórica,
suponiendo absorción inmediata y total de todo el Alcohol. Este valor debería ser igual a la
dosis de alcohol tomada por Kg de peso del individuo. Pero, experimentalmente se
comprobó que esto no sucede, sino que la relación D/Co es aproximadamente 0.7 para
hombres y 0.6 para mujer, debido a la desigual distribución del etanol en los diferentes
tejidos corporales. Esta relación D/Co suele definirse como Volumen de Distribución.
El coeficiente β puede obtenerse mediante la relación: ΔC/ Δt, es decir:
β= ΔC/ Δt.
La importancia del coeficiente β radica en que permite efectuar cálculos retrógrados de
alcoholemia y determinar el alcohol ingerido por un individuo.
En un principio se creyó que β era constante, pero con el tiempo, los estudios
experimentales arrojaron nueva luz, en relación a la verdadera cinética que presenta el
55
alcohol etílico. Hoy se admite que ciertos hábitos o patologías, pueden variar el valor de la
constante β.
Es importante tener en cuenta que los cálculos en que involucramos β, sólo tienen validez
en la etapa de eliminación, es decir, en la rama descendente de la curva absorción -
eliminación.
Existe discrepancia entre los autores sobre la exactitud de los cálculos retrospectivos.
Algunos indican que los numerosos factores que influyen en β, no proporcionan datos
fidedignos para aplicarlos matemáticamente con exactitud. En cambio otros apoyan la
validez del cálculo pero advierten la necesidad de efectuar dos determinaciones de
alcoholemia, sucesivas, para asegurar que se está en la etapa neta de eliminación.
Si observamos la curva de eliminación podemos aplicar el concepto geométrico de la
tangente del ángulo (cateto opuesto / cateto adyacente) es decir:
Despejando se obtiene que:
Ct = C
m + β · t
Siendo:
Ct: alcoholemia en el momento del hecho.
Cm
: alcoholemia en el momento de la toma de muestra.
t: tiempo transcurrido desde el momento del hecho al de la toma de muestra (t2
- t1).
Respecto de la cantidad de alcohol “A” en el organismo al momento del hecho:
A= Ct · p · r
Siendo:
p: peso del individuo.
r: constante de Widmark, que relaciona la concentración de etanol en el cuerpo /
concentración en sangre.
56
Sustituyendo en la ecuación la expresión correspondiente a Ct, hallada más arriba:
A = (Cm
+ β · t) · p · r
A continuación, mediante un ejemplo, procederemos a calcular la alcoholemia retrospectiva
y la cantidad de alcohol en el cuerpo, que nos permitirá inferir cuanta bebida alcohólica de
una graduación determinada pudo haber tenido el imputado en el momento del hecho
delictivo.
Supongamos que se trata de un homicidio culposo por accidente vehicular en el que el
conductor es detenido y la muestra sanguínea extraída seis horas después del hecho. El
informe de Laboratorio arroja el siguiente valor: 0.8 gramos de alcohol etílico por 1000 ml
de sangre. Aplicando la fórmula para obtener la alcoholemia en un tiempo t de seis horas:
Ct= C
m + β · t
Cm
: en g. por 1000 ml.
β: 0.0025 en g / min / Kg
t: tiempo en minutos.
Ct= 0.8 + 0.0025 · 360
Ct= 0.8 + 0.90
Ct= 1.70 g por 1000 gr de sangre = 1.70 g/L
Este valor de 1.70 g/L será la alcoholemia teórica en el momento del hecho, si
fehacientemente estamos en la etapa de eliminación. Para asegurarse que un individuo se
encuentra en la etapa de eliminación al momento de la primera toma de muestra, debería
realizarse una segunda extracción sanguínea luego de una hora aproximadamente. A veces
esto no es posible y debemos deducirlo del testimonio.
En la Figura 8 se presenta un esquema del MPR, con sus respectivas preguntas derivadas de
la pregunta inicial, las obras matemáticas que permite encontrar y/o reencontrar, y los tipos
de tareas involucrados.
57
Figura 8: Esquema del MPR reconstruido
58
Capítulo 4: La AEI y su implementación
en aula
Descripción de la AEI en función de las preguntas planteadas
La AEI se llevó a cabo en un grupo integrado por 17 estudiantes de quinto año de la escuela
EET N º 2 de la ciudad de Tandil, y se trabajó en las horas de matemática.
Para la implementación los estudiantes se dividieron en 5 grupos (G1, G2,…G5), cada uno
fue armado de acuerdo a sus afinidades. La investigación fue llevada a cabo por la
profesora del curso, y cuyo papel fue de observadora participante.
Podemos observar la implementación del primer momento didáctico donde se presenta una
tarea, a través de una problemática inicial que será analizada en el transcurso del encuentro
para que los estudiantes vayan buscando los distintos interrogantes que permita dar origen a
las distintas “Qi”.
En el trabajo cotidiano se permitió a los estudiantes utilizar los teléfonos celulares como
herramienta de búsqueda de información.
Durante la implementación de la AEI, se fueron planteando actividades por parte de la
profesora y también de los estudiantes, para poder ir respondiendo a cada uno de los
cuestionamientos.
El trabajo comenzó a partir de la problemática inicial propuesta por la profesora:
Un grupo de amigos van a un restaurant, comieron y bebieron más de lo normal. Luego de
un corto tiempo de la última copa, se fueron en auto, colisionan con otro auto estacionado,
sin sufrir lesiones mayores. Producto del susto y los nervios, sin prestar atención a testigos
oculares del hecho, se refugiaron en una de las casas, para evitar el control de
alcoholemia, y ser multados por la policía ante el hecho de conducir luego de beber. Un
tiempo posterior efectivamente son encontrados y se les practica el test de alcoholemia.
¿Cómo se puede saber si la colisión fue consecuencia exclusiva del alcohol ingerido o no?
¿Sirve de algo “escapar” para evitar el análisis de sangre para conocer su alcoholemia?
Cada grupo realizó la lectura de la problemática y los estudiantes se plantearon preguntas
del estilo:
59
¿Cuánto tarda el alcohol en ir a la sangre?
¿Es el mismo tiempo para todas las bebidas?
¿Cuánto tarda en irse del organismo totalmente?
Estos fueron los interrogantes más comunes entre todos los grupos.
La profesora les indicó que para poder llegar a responder los interrogantes propuestos por
ellos, es importante partir de la siguiente pregunta:
En los siguientes dos encuentros, también se pusieron en práctica el primer momento donde
se plantean varias tareas, cómo Q1.1, Q1.2, Q1.2.1, donde abordaron dichos interrogantes, y
llevó a que los estudiantes vivieran el momento “exploratorio”. Ellos se encargaron de
buscar en internet información que les era necesario para poder abordar la búsqueda de los
gramos absoluto de cada bebida y también encontrar las relación entre las unidades
(volumen, masa y capacidad), hasta llegar a la tabla que consensuaron todos los grupos que
se encuentra en la Figura 9. Luego para Q1.2, Q1.2.1, volvieron al momento exploratorio para
poder encontrar información de las distintas bebidas que ellos iban a considerar y el grado
alcohólico de cada una y la densidad que tienen el alcohol etílico, etc. Los estudiantes
utilizaron técnicas como cálculo de porcentaje y regla de tres simple hasta llegar a construir
entre todos los grupos la tabla que iban a utilizar durante todos los demás encuentro
(bebida, capacidad o volumen, grado alcohólico y gramos absoluto de cada una de acuerdo
a él volumen seleccionado). Esto llevó a que los estudiantes incorporen el tercer momento
de estudio “entorno tecnológico-teórico”, ya que tuvieron que ir trabajando la técnica
porque observaban que no llegaban a la respuesta de la Q1.2. Los estudiantes del G1 fue el
único que se quedó en el momento exploratorio porque no llegaron a mejorar la técnica
para poder llegar a la respuesta (Figura 10) y los demás grupos pudieron llegar hasta cuarto
momento, donde justificaron, mejoraron y volvieron más eficaz y fiables las técnicas
(Figuras 11 y 12).
La profesora les propuso los siguientes interrogantes para que puedan abordar la
pregunta Q1.
Q1.1: ¿Qué tipo de alcohol se utiliza?
Q1.2: ¿Cómo se calculan los gramos absolutos de alcohol en una bebida?
Q1: ¿CÓMO SE MIDE EL ALCOHOL EN LAS BEBIDAS
ALCOHÓLICAS?
60
Q1.2.1: ¿Qué variables físicas intervienen en el cálculo?
El interrogante Q1.1 fue conversado entre los estudiantes y la profesora, no hubo dificultad
en la respuesta y todos consensuaron que era el alcohol etílico. También comentaron los
estudiantes que hay otro alcohol llamado Metanol, conocido con el nombre de alcohol
metílico. Este alcohol, también conocido como alcohol de madera, alcohol metílico o
alcohol de quemar, es el alcohol más sencillo. A temperatura ambiente se presenta como un
líquido ligero (de baja densidad), incoloro, inflamable y tóxico que se emplea como
anticongelante, disolvente y combustible, claramente no es el alcohol que compone las
bebidas alcohólicas.
Luego la profesora les preguntó a los estudiantes por la densidad del alcohol etílico, y como
ellos no la tenían presente, la buscaron en internet y encontraron que era 789 kg/m3.
Sin
embargo, los estudiantes no estaban familiarizados con esas unidades y lo pasaron a las
unidades de gramo por centímetro cúbico, resultando la densidad: 0,789 g/cc.
Para poder responder a la pregunta Q1.2, se trajeron a la discusión los conceptos de
capacidad, volumen y masa con sus equivalencias, que llevó a que la profesora realice el
interrogante Q1.2.1.
Los grupos buscaron las equivalencias en internet, ayudándose con sus teléfonos celulares.
En la Figura 9 presenta un ejemplo de la tabla de equivalencias que todos los grupos
consensuaron, necesaria para abordar Q1.2.
Figura 9: Equivalencias realizadas por el G4. Donde se divide en tres columnas, la primera tenemos V
(volumen), la segunda C (capacidad) y M (masa) y en las filas la relación correspondiente entre cada una de
ellas.
De esta manera pudieron responder Q1.2.1, y poder continuar en la búsqueda de la respuesta
al interrogante Q1.2.
Luego, la profesora les propuso que buscaran los datos necesarios para realizar el cálculo
de los gramos absolutos de alcohol según el volumen de cierta bebida consumida. Todos
61
recordaron que ya habían obtenido para varias bebidas, su graduación, un cierto volumen y
la densidad del alcohol. En base a esto, cada grupo comenzó a probar con la fórmula de
densidad que ya conocían:
Donde m representa los gramos de alcohol que contiene cada bebida alcohólica, v el
volumen que se va considerar que se beberá de cada una de ellas y δ es la densidad del
alcohol (redondeada a 0,8 g/cc)).
A partir de la fórmula obtuvieron el valor de la masa (m), despejando de la expresión
Pero se daban cuenta que no podían especificar para que bebida estaban calculando, asique
comenzaron a preguntarse cómo podían llegar a los gramos absoluto de cualquier bebida.
Solamente uno de los grupos (G1) no logró dar respuesta a la cuestión, quedando solamente
la respuesta como se presenta en la Figura 10
Figura 10: Cálculos realizados por el G1, utilizando solamente la fórmula de densidad, sin poder llegar a una
respuesta
El resto de los grupos, lo hizo de dos formas: el grupo G3 explicitó el uso de la regla de tres
simple para dar respuesta, y los grupos G2, G4 y G5 resolvieron directamente realizando
los cálculos correspondientes, como se muestra a continuación.
62
Los estudiantes del grupo 3 utilizaron la técnica de regla de tres simple. Comenzaron
realizando el siguiente razonamiento: “tengo
, de la cual obtengo la masa
(m= 40 gramos), pero ahora tengo que saber de qué bebida es, entonces tomo la primera
bebida que seleccionamos entre todos (vodka cuya graduación es 40°). Si el 100 % son 40
gramos, cuantos gramos son el 40% (que es la graduación alcohólica de la bebida).
Entonces multiplicando 40 x 40 gramos y al resultado divido 100 obtengo los gramos
absolutos del vodka (m=16 gramos)”. Puede observarse este procedimiento en la Figura
11, junto al cálculo para las demás bebidas.
Figura 11: Cálculos realizados por G3, donde se muestra como utilizaron la técnica de la regla de tres simple
para llegar a los gramos absolutos de cada una de las bebidas.
Los grupos restantes directamente multiplicaron la densidad del alcohol, por el volumen
considerado, por la graduación alcohólica correspondiente dividida por 100, obteniendo
directamente el resultado. La Figura 12 presenta una resolución de este tipo, de la cual se
puede notar que el razonamiento que está por detrás es el mismo (proporcionalidad directa)
pero realizado directamente utilizando porcentajes.
63
Figura 12: Cálculos realizados mediante el porcentaje por G2
Es importante tener en cuenta que los propios estudiantes fueron buscando las técnicas
adecuadas para ir resolviendo las tareas, intentando encontrar respuesta al interrogante Q1.2.
Entre las dificultades que los estudiantes presentaban era en las unidades por ejemplo, en
como las tenían que simplificar, lo cual requirió la ayuda de la profesora. Luego, en las
operaciones con racionales no presentaban dificultades.
Una vez finalizadas todas las operaciones, los estudiantes consensuaron que los volúmenes
pueden ser modificados, lo que no se modifica es la graduación de cada bebida porque es
característica de la misma.
Como producto del consenso, se institucionalizó una tabla que describe cada bebida, con su
volumen, grado y gramos absolutos. Un ejemplo de esta tabla, es presentada en la Figura
13.
64
Figura 13: Tabla construida por los estudiantes de G1
Los primeros dos encuentros el trabajo fue al encuentro de las siguientes obras
matemáticas: porcentaje, números racionales, regla de tres simple y relaciones entre
volumen, masa y capacidad.
En el tercer encuentro se presentó Q2, que fue planteada por los alumnos y la profesora, ya
que ellos presentaban gran curiosidad por conocer cómo se mide el alcohol en la sangre.
Por medio de este interrogante el objetivo fue hacer vivir a los estudiantes el primer
momento, ya que volvieron a la problemática inicial, ya que cada grupo debía elegir la
cantidad de personas que iban en el vehículo (mínimo dos) y sus características. Así, el
grupo G1 consideró que en el vehículo iban tres personas y describieron de cada uno lo que
había consumido, el peso, la edad, la altura y el sexo, como se presenta en la Figura 14.
Q2: ¿CÓMO SE MIDE EL ALCOHOL EN LA SANGRE?
65
Figura 14: Integrantes elegidos por el G1
En el grupo G3 también tomaron tres integrantes y realizaron la descripción de cada uno,
como se observa en la Figura 15.
Figura 15: Integrantes elegidos por el G3.
En cambio el G4 tomó dos integrantes y también realizaron lo que habían consumido y si
tenían el estómago vacío o no, lo podemos observar en la Figura 16.
66
Figura 16: Integrantes elegidos por el G4.
Por último tenemos al G2, ellos eligieron cuatro integrantes y realizaron una descripción
más minuciosa de cada uno de ellos, como se observa en la Figura 17
Figura 17: Trabajo realizado por el G2.
Es importante tener en cuenta que la profesora solo les dijo que plantearan cuantas personas
iban en el vehículo, los demás datos corriendo por cuenta de los estudiantes porque ellos
consideraron que eran importantes para poder ir encontrando respuesta a Q2, con ayuda de
lo logrado en la Figura 13 que fue trabajado en los dos primeros encuentros.
Una vez que los estudiantes propusieron los integrantes de cada vehículo, lo que habían
consumido y otros datos que ellos consideraron que eran necesarios, se planteó:
67
Para abordar los interrogantes se tuvo en cuenta todo lo que habían logrado en los
encuentros anteriores, es decir la tabla que se diseñó en la Figura 13. Esto llevó a que los
estudiantes vuelvan al momento de exploración, donde elaboraron nuevas técnicas para
poder responder a Q2.1, y llegar a la respuesta (concentración de alcohol en la sangre), como
lo podemos observar en las Figuras 18, 19 y 21. En las Figuras 22 y 23 los G2 y G4,
realizaron un trabajo más detallado del trabajo de la técnica, cuando calcularon la dosis de
alcohol absoluto consumido por las personas involucradas en el problema inicial.
A partir del interrogante los estudiantes consideraron importante determinar si las personas
habían comido o no, la edad, el peso, el sexo, aunque en este momento no supieran la
influencia exacta de cada uno de estos factores en el cálculo.
Los propios estudiantes se preguntaron cuáles son los efectos físicos y psicológicos del
alcohol en sangre. Para ello, buscaron información, y como producto de esta búsqueda se
consensuó la tabla que se presenta a continuación.
ALCOHOLEMIA (GRAMOS/LITRO) EFECTOS FÍSICOS Y PSICOLÓGICOS
0,2-0,3 Ligera elevación del estado de ánimo.
0,5-0,6 Relajación, calor, disminución del tiempo
de reacción y de la coordinación fina.
1,4-1,5 Alteración mayor del control físico y
mental: habla y visión difíciles.
2 Pérdida del control motor (requieren de
ayuda) confusión mental.
3 Intoxicación severa, control consciente
mínimo.
4 Inconsciencia, umbral del estado de coma.
5 Como profundo.
6 Muerte por depresión respiratoria.
Q2.1: ¿Que es la alcoholemia?
Q2.2: ¿Cómo se calcula la concentración de alcohol en una persona?
68
Se buscó con esta actividad, que los estudiantes tomen conciencia y que transmita a sus
pares todo lo que puede producir el alcohol, si el mismo se consume en exceso. En este
momento los estudiantes expresaron su sorpresa ante los graves efectos del alcohol (aún en
bajas concentración en sangre), y la posibilidad de entrar en un coma alcohólico y hasta
morir.
En el cuarto encuentro se fue leyendo la información que cada uno había encontrado en
internet acerca de Q 2.1 y Q 2.2 la profesora fue anotando en el pizarrón los datos que los
estudiantes consideraban que eran necesarios para calcular la concentración de alcohol en la
sangre:
Cantidad de gramos de alcohol absoluto
Peso de la persona
Sexo
Si la persona había comido o no
Uno de los estudiantes tenía la curiosidad de saber cuál es la cantidad máxima permitida de
alcohol en sangre para poder conducir. Fácilmente encontraron en internet que el valor es
0,5 gramos de alcohol por litro de sangre (0,5 g/l).
En este momento la profesora enfatizó que para conducir lo ideal es no consumir ninguna
bebida con alcohol, puesto que siempre existe una disminución de los reflejos cuando se
bebe.
A continuación la profesora propuso anotar en el pizarrón la fórmula que los estudiantes
habían encontrado en internet para realizar el cálculo de la concentración de alcohol
máxima que tendrá una persona luego de haber consumido alguna bebida alcohólica:
C: concentración de alcohol máxima en el cuerpo [g/l]
d: dosis de alcohol ingerido [gramos]
m: Peso de la persona [kg].
r: constante de distribución del alcohol en el cuerpo. Representa como el etanol se
distribuye en el cuerpo una vez ingerido. Esta constante depende del sexo de la persona,
69
dado que el porcentaje de grasa corporal en cada uno es distinto, ya que las mujeres tienden
a tener mayor concentración de grasa corporal que de agua, con respecto a los hombres.
Este se mide en [l/kg]. Para cada caso se tiene:
r= 0,7 l/kg (hombre) r= 0,6 l/kg (mujeres)
Luego los estudiantes retomaron los datos propuestos inicialmente en la cuestión acerca de
cómo se mide el alcohol en sangre, analizando cada dato, las unidades, como se
relacionaban y con qué unidades quedaba el resultado final, y como se interpretaba éste.
Luego realizaron los cálculos correspondientes para llegar a la concentración de alcohol en
cada caso.
En la Figura 18 se puede observar los cálculos realizados por el G1. Los estudiantes
llegaron a la conclusión que las condiciones propuestas por ellos, hacían que la persona
para manejar el vehículo (Leticia) estaba entre los valores permitidos.
Figura 18: Cálculos realizados por el G1.
El G3 llego a la conclusión que ninguna de las tres personas que iban en el auto podía
manejar, ya que todos los integrantes superaban el valor permitido. En la Figura 19 se
presentan sus cálculos.
70
Figura 19: Cálculos del G3.
Este grupo se manifestó curioso respecto a si era posible saber en qué momento esta
concentración en sangre disminuiría hasta llegar al valor permitido para conducir sin
riesgos. Esto no se abordó en este encuentro, sino en el siguiente.
Es importante destacar que los estudiantes además de realizar el cálculo de la concentración
de alcohol de cada persona, remarcaron lo que cada persona había comido (mucho, poco o
nada), como se puede observar en la Figura 19. Esto fue importante porque más adelante
sería tenido en cuenta.
El Grupo 5, propuso que en el auto iban cinco personas, de edades, pesos e ingestas de
comida y de alcohol muy diferentes como se presenta en la Figura 20. Ellos calcularon la
concentración máxima para cada persona, pero sin explicitar como habían obtenido el valor
de los gramos de alcohol absoluto (d), como se muestra en la Figura 21.
71
Figura 20: Cantidad de personas que consideraron los estudiantes del G5.
Figura 21: Cálculos realizados por el G5
En las Figuras 22 y 23, correspondientes a los Grupos restantes (G2 y G4) se puede notar
como los estudiantes detallaron la forma de calcular el valor de d, y luego la concentración
y sus conclusiones.
72
Figura 22: Cálculos realizados por el G2
Figura 23: Cálculos realizados por el G4
A partir de todas las conclusiones realizadas en el encuentro, la profesora en el quinto
encuentro considero interesante proponer el siguiente interrogante:
73
Por medio de dicho interrogante, se buscó que los estudiantes recuperaran algunos
conocimientos (análisis de funciones), que era necesario para poder abordar los
interrogantes que están a continuación, lo cual llevo a que los estudiantes vivieran los
momentos del primer encuentro y el momento “exploración”, fueron ubicando puntos en
el plano, analizar el punto máximo y el recorrido del alcohol en una persona desde que
comenzó hasta casi la eliminación total del mismo.
Para responder a esta pregunta la profesora propuso a los estudiantes analizar un conjunto
de datos obtenidos de un estudio real de una persona cuyo peso era 75kg había consumido
15ml de alcohol, presentando una tabla con tiempos y concentraciones de alcohol, como se
muestra en la parte superior de la Figura 24. Los estudiantes representaron los pares
ordenados en un sistema de coordenadas, uniendo los puntos y concluyeron que: se parte de
un tiempo y concentración cero, y luego a medida que aumenta el tiempo se produce un
incremento en la concentración, llegado al punto máximo, y luego la curva comienza a
descender debido a que la persona deja de consumir hasta que llega a que el alcohol sea
cero en un tiempo determinado, aunque esto no estuviera reflejado en la tabla de datos
ofrecida.
En ese momento intervino la profesora agregando que como la función primero crece y
luego decrece es natural la presencia de un punto máximo, y éste era el tiempo de 20
minutos y llega a una concentración máxima de 200 mg / litros, como se puede notar en el
gráfico de la Figura 24 realizado por el Grupo 1.
Q2.3: ¿Cómo se describe la alcoholemia a través del tiempo?
74
Figura 24: Construcción del gráfico a partir de los datos proporcionados por la profesora, realizado por uno de
los grupos
Luego la profesora en el encuentro seis les propuso el estudio de la función matemática que
representa la concentración de alcohol en sangres según pasa el tiempo:
A partir de la interpretación de la función graficada, la profesora realizó un conjunto de
preguntas para que los estudiantes pudieran reencontrar las organizaciones matemáticas
estudio de funciones y función lineal:
Q2.3.1.1: ¿Qué variables se relacionan?
Q2.3.1.2: ¿Qué función se puede construir?
Q2.3.1.3: ¿En qué tiempo se llega a la concentración máxima de alcohol en sangre?
Q2.3.1.4: ¿Qué factores influyen en el tiempo en el que se llega a la concentración máxima de
alcohol en sangre?
Q2.3.1.5: ¿En qué tiempo se llega a la concentración mínima de alcohol en sangre?
Se retoma el primer momento planteando nuevos interrogantes Q2.3.1.1, Q2.3.1.2, Q2.3.1.3,
Q2.3.1.4, Q2.3.1.5 para poder responder a Q2.3.1, esto llevo a que los estudiantes vivan el
momento exploratorio con un determinado tipo de tareas, por ejemplo encontrar cual es la
Q2.3.1: ¿Cómo se construye e interpreta la función de la concentración de
alcohol?
75
variable que se relacionaban con la concentración máxima. Una vez encontrada (tiempo),
los estudiantes pudieron continuar con la próxima tarea, como encontrar los pares
ordenados que le permitiera buscar la pendiente, ordenada y de esta manera llegar a
responder Q2.3.1.2. Los estudiantes vivieron el momento “tecnológico-teórico” y también en
el cuarto momento, donde trabajaron la técnica, donde a partir de la ecuación de la recta
que pasa por dos puntos pudieron modelizar la función, y volver más eficaz y fiable las
mismas y llegar a construir la función lineal en la fase ascendente.
Además los estudiantes fueron explorando los nuevas tareas, como cambiarle el peso de la
persona involucrada en la problemática, si había comido o no y el sexo, lo cual se puede
identificar que predomina al primer momento y luego al momento exploratorio donde
buscaron nuevas técnicas para poder analizar si cambiaba la inclinación de la recta, el
dominio o la imagen. Esto llevo también a que vayan mejorando las técnicas hasta llegar a
la construcción de un entorno tecnológico- teórico que justifica las técnicas puestas en
funcionamiento y permitió elaborar nuevas técnicas.
Por lo tanto se pudo institucionalizar con los estudiantes la utilidad del análisis de la
función, la importancia de definir e interpretar el dominio y la imagen y de que depende la
inclinación de la recta, interpretando también que significa tener mayor o menor pendiente
(Figuras 25 a 29).
Hasta este momento, los estudiantes habían calculado la concentración máxima. Luego se
necesitó establecer el tiempo donde llegará a su concentración máxima y uno de los
estudiantes dijo que aproximadamente es 90 minutos, basándose en una búsqueda en
internet. La profesora les instaló la duda de si ese valor no se modificaría si la persona
había consumido bebida alcohólica con estómago lleno o vacío. Concluyeron que el tiempo
varía entre 60 a 90 minutos para estómago lleno y 30 a 45 minutos si tenía el estómago
vacío, esto siempre en forma aproximada dado lo complejo del sistema metabólico del ser
humano.
Pero les faltaba conocer en qué momento ocurriría esto, para cada caso concreto es decir
cuánto tiempo habría pasado desde el inicio de la ingesta. Esto instala la necesidad de
contar con una función que relacione el tiempo con la concentración de alcohol. Mirando el
gráfico obtenido antes en el ejemplo, la profesora y los estudiantes consensuaron que la
primer etapa (creciente) podría ser una función lineal, cuya pendiente debe ser positiva y la
76
ordenada al origen es el cero (tomando como referencia que el cero del tiempo corresponde
al fin de la toma, es decir al último momento de la ingesta de la bebida)
En la Figura 25 podemos observar como los estudiantes del G1 fueron realizando los
cálculos de cada uno de los integrantes del problema para llegar a la concentración máxima
de alcohol que tenía cada uno. Luego en la parte superior de la Figura 26 se puede observar
que los estudiantes realizaron el análisis de dos personas de distintos sexo y observaron que
se modificaba la concentración máxima ya que la mujer tiene una concentración mayor de
0,12 g/l y el hombre de 0,10g/l, por lo tanto cambia la imagen y no el dominio de la
función.
En la parte del medio de la misma Figura se puede notar que los estudiantes realizaron el
análisis de dos personas del mismo sexo pero de pesos diferentes y llegaron a la conclusión
que se modificaba nuevamente la imagen: así la persona que pesa más tiene una
concentración máxima de 2,57 g/l y la persona que tiene menos peso la concentración
máxima alcanzada es de 3,22 g/l. Por último en la parte inferior de la Figura 26 se presenta
cómo los estudiantes realizaron el análisis de una misma persona si había consumido con el
estómago vacío o lleno y analizaron que ahora sí se modificaba el dominio, ya que la que
no había comido llegaba más rápido a la concentración máxima: a los 45 minutos llegó a
una concentración de 3,62 g/l mientras que si había comido antes de consumir alcohol el
tiempo para llegar a la concentración máxima fue a los 90 minutos con la misma
concentración alcohólica.
77
`
Figura 25: Cálculos realizados por el G1
78
Figura 26: En la parte superior de la Figura se presenta el análisis realizado por los estudiantes para dos
personas de distinto sexo, en la parte del medio el análisis de la misma persona con distinto peso. En la parte
inferior se puede observar el análisis de una misma persona si se había alimentado antes de consumir o no.
Un análisis en la misma dirección, menos desarrollado, fue el realizado por los estudiantes
del G3. Este consistió solamente en analizar si la persona había comido o no, y escribieron
ambos dominios e imagen, para cada caso. A pesar de no dejar registro escrito, los
estudiantes de este grupo expresaron que la variación se daba sólo en el dominio, ya que la
concentración alcohólica máxima no varía pero se llega antes si el estómago está vacío,
como se puede notar en la Figura 27.
79
Figura 27: Cálculos realizados por el G3
Luego los estudiantes realizaron el análisis de las funciones para los cálculos que habían
hecho, y luego realizaron los cálculos y las funciones ahora variando el peso de las
personas, como se presenta en la parte inferior de la Figura 28. Así, llegaron a la conclusión
que las rectas no tenían la misma inclinación y se ayudaron con una tabla de valores que
construyeron ellos mismos, para ir observando cómo se daba la variación (tiempo y
concentración de alcohol).
80
Figura 28: Gráfico del G3 a partir de los cálculos realizados en la Figura 19.
Por último los alumnos del G4, fueron calculando la pendiente de cada recta relacionando
lo que había consumido cada persona y el tiempo. Ellos compararon que pasaba si era
varón o mujer y observaron que la mujer al consumir los mismo que el varón llega a una
81
concentración mayor, por lo tanto llegaron a la conclusión que varía la imagen de la
función, como se muestra en la Figura 29
Figura 29: Las distintas técnicas utilizadas por el G4 para realizar el análisis correspondiente.
El grupo G2 y G5 realizó un análisis similar, llegando a conclusiones parecidas al resto.
Por lo tanto se logró responder los interrogantes Q2.3.1.1, Q2.3.1.2, Q2.3.1.3 y Q2.3.1.4 y llegar a la
respuesta de la primera parte de la pregunta Q2.3.1, que consistió en el análisis completo de
la etapa ascendente.
En el séptimo encuentro la profesora retomó el proceso fisiológico de la eliminación del
alcohol, conversado en encuentros anteriores, resaltando el tiempo que tarda el alcohol en
eliminarse completamente del cuerpo. Los estudiantes plantearon sin dificultades que se
trataría de una decreciente, por lo tanto, su pendiente debe ser negativa.
La profesora sugirió comenzar el análisis colocando el tiempo en cero, y no a continuación
del análisis precedente, por una cuestión de construcción de la función a tramos, que ellos
no conocían aún, y se planeaba realizar a partir de las funciones por separado. La cuestión a
82
responder ahora es Q2.3.1.5: ¿En qué tiempo se llega a la concentración mínima de alcohol en
sangre?
Un problema previo para responder esta cuestión se presentó cuando los estudiantes no
sabían cómo hallar la pendiente, y para no desviar el foco de la cuestión la profesora les
dijo que ésta viene dada por el llamado coeficiente “β” que depende del sexo, ya que si es
varón toma el valor de 0,0025 g/l.min y si es mujer 0,0026 g/l.min. En este contexto, la
profesora les comentó que biológicamente se sabe que el ritmo de eliminación es una
constante, que expresa la cantidad de alcohol eliminado por minuto y por kg peso
(aproximado e independiente de lo que haya bebido la persona), pero que en ese momento
no harían el cálculo con esta taza, sino directamente trabajarían con la pendiente de la
función lineal descendente, dada.
Los estudiantes, conociendo la pendiente de la curva, y la concentración máxima realizaron
el cálculo del tiempo. Para esto, los estudiantes recuperaron en ese momento el concepto de
raíz y entonces para responder a la pregunta, debían igualar a cero la función. Con pocas
dificultades los estudiantes lograron hallar el valor buscado, resolviendo la ecuación lineal.
Como se puede observar en la Figura 30, los estudiantes del G1, realizaron el cálculo de
cada raíz igualando la función a cero. En la parte superior de la Figura se puede observar
como calcularon el tiempo que tarda “Leticia” para eliminar el alcohol y fue alrededor de
46 minutos. Del lado derecho, de la parte superior utilizaron la técnica de la regla de tres
simple para pasar a horas, ya que según ellos le resultaba más sencillo graficar. De la
misma realizaron el cálculo para “Lisa” y “Lena”.
El G1, fue utilizando distintas técnicas para construir la función de eliminación a partir de
los datos que tenían. Lo primero que buscaron fue la ordenada al origen y llegaron a la
conclusión que era la concentración máxima de alcohol que tiene la persona.
Los estudiantes observaron que la inclinación no variaba, ya que la pendiente era la misma,
porque ellos habían analizado para tres personas del sexo femenino.
También en la misma Figura, los estudiantes señalaron el tiempo en la que en que las
personas involucradas llegaron a la cantidad permitida de alcohol para conducir, en la
intersección de las funciones lineales decrecientes (fase descendente) con la función
constante y=0,5. Para la persona que llamaron “Leticia”, que había consumido menos de lo
83
permitido para conducir (0,12 g/l) no señalaron la intersección, porque no existía, como se
puede observar en la Figura 30.
Figura 30: Trabajo realizado por el G 1.
Los estudiantes del G3 y G4 realizaron un análisis semejante a los estudiantes del G1,
pero a diferencia de éste, estos estudiantes sí explicitaron la ecuación que dio origen al
valor obtenido, como se muestra en la Figura 31 y 32.
84
Figura 31: Cálculos realizados por los estudiantes del G3. Además de calcular el tiempo en que tarda en
eliminar el alcohol en la sangre, también realizaron los cálculos para encontrar el tiempo en que los
integrantes del problema llegan a tener la concentración alcohólica permitida para manejar.
En este caso, se puede observar en la Figura 32 cómo los estudiantes del G4, también
calcularon el tiempo en que tarda en eliminarse la concentración de alcohol en la sangre,
pero ellos trabajaron todo en minutos. Además trazaron la recta constante y=0,5 y de cada
persona indicaron el punto de intersección entre ambas rectas, por ejemplo para Marta
debían pasar 273 minutos para llegar a la concentración de alcohol permitida para conducir,
y para Carlos debían pasar 468 minutos, ya que él había consumido 1,67g/l y Marta 1,21g/l.
85
Figura 32: Arriba: Cálculos realizados por los estudiantes de G4 para conocer el tiempo en tarda en que la
concentración alcohólica sea igual a cero. Centro: Los gráficos realizados por los mismos estudiantes para
cada función, incluyendo la función constante (y=0,5). Abajo: Cálculos del tiempo en que tarda cada persona
en llegar a tener la concentración alcohólica permitida para conducir (0,5 g/l).
Los estudiantes del G2, calcularon el tiempo que cada una de las personas tarda en eliminar
totalmente el alcohol de la sangre, planteando la ecuación, de forma similar al grupo
anterior, pero en este caso, sin señalar los puntos de intersección de las funciones con la
86
función constante. Los estudiantes de este grupo tomaron personas de distintos sexo, por lo
tanto la pendiente de eliminación cambia, pero esto no se nota ya que es mínima la
diferencia entre ambas pendientes, como se puede observar en la Figura 33. Por último
realizaron el cálculo de cuánto tiempo es necesario para que la persona llegue a la
concentración máxima permitida para conducir, resolviendo la ecuación y obtuvieron la
respuesta señalándola en el punto (3,3 horas; 0,5 g/l), pero no trazaron la recta y=0,5. Ellos
tomaron a la persona que denominaron “León” porque era la única persona que tenía una
concentración mayor a la permitida para conducir, todos los demás integrantes no había
alcanzado la concentración superior o igual a 0,5 g/l. Notemos que los estudiantes
realizaron estos cálculos correctamente, pero con poca explicitación de los procedimientos,
como se puede apreciar en la Figura 33.
Figura 33: Cálculos y gráfico realizados por los estudiantes del G2.
Por último los estudiantes del G5 realizaron un trabajo similar a los estudiantes del G4.
87
A través de la tarea planteada anteriormente, tuvo como prioridad el primer encuentro,
donde los estudiantes fueron analizando las tareas para poder llegar a la eliminación total
del alcohol en sangre. Ellos fueron poniendo en práctica algunas técnicas, como igualando
a cero la ecuación y despejando hasta llegar al tiempo que le lleva al individuo a eliminar el
alcohol en sangre (CA=0), y en otro caso igualando al valor permitido para poder conducir
y así obtener el tiempo en que llega la CA=0,5 por lo tanto los estudiantes experimentaron
con el momento tecnológico-teórico justificando las técnicas a través del grafico de las
funciones y llegaron a la institucionalización de la raíz de la función, función constante y la
intersección entre dos rectas.
Una vez resueltas las tareas anteriores, la profesora le propuso realizar el gráfico donde se
integren ambas etapas, para representar en un mismo gráfico la función que modeliza el
circuito de alcohol en el cuerpo.
En base a lo trabajado en los encuentros anteriores, se repasó lo que se había trabajado,
como por ejemplo lo que pasaba si variaban el tiempo donde se llegaba a la concentración
máxima de alcohol, es decir si en la función se cambia el dominio o la imagen. La
profesora les propuso construir una función donde involucre ambas etapas en un mismo
sistema de ejes cartesianos, modelizando el recorrido desde que una persona comienza a
tomar hasta la eliminación total del alcohol en el cuerpo.
Además de la función en tramos que construyeron inicialmente, los estudiantes realizaron
cálculos variando el sexo, el tiempo en que se llega a la concentración máxima y el peso de
la persona y estudiaron de esa forma, como esto influía en la forma de la función (la
pendiente de la función de la etapa ascendente, el dominio, la imagen, la raíz).
Una vez lograda la función en tramos, graficaron las función constante y=0,5, para analizar
en qué momento de la etapa ascendente llega al permitido para poder conducir y en la etapa
descendente también.
En la Figura 34, se puede observar el trabajo realizado por los estudiantes del G2. Ellos no
representaron algebraicamente la función en tramos, sólo graficaron los dos tramos lineales
en el sistema de coordenadas cartesianas, a partir de la información disponible.
En la parte superior de la Figura 34 los estudiantes graficaron las funciones
correspondientes a las situaciones de cada una de las personas que estaban involucradas en
la problemática y marcaron dos de ellas para realizar el análisis correspondiente (“León” y
88
“Susana”). En la parte inferior de la Figura realizaron el gráfico de “Leoncito” (cuyo peso
supusieron que era menor que el de “León”). Sin embargo, no lograron representar esta
situación, ya que la concentración máxima alcanzada no fue sensiblemente menor, como
debería haber sido. Cuando analizaron el caso de “Susana”, suponiendo que había ingerido
comida, el gráfico tampoco representa adecuadamente esto, ya que deberían haber
representado la función con la misma concentración máxima, en menor tiempo.
Por último los estudiantes no realizaron el análisis al trazar la función constante (y=0,5),
sólo marcaron el punto en la etapa ascendente y no indicaron el tiempo, como se puede
notar en el gráfico de la parte inferior de la Figura 34.
Figura 34: Gráficos realizados por los estudiantes del G2.
A diferencia del G2, los demás grupos además de resolverlo gráficamente, también
construyeron la función en forma algebraica, en tramos. A continuación en las Figuras 35 a
38 veremos el trabajo realizado por los distintos grupos.
89
En la Figura 35 y 36 se puede observar todo el análisis planteado por los estudiantes del
G5 y G4, ambos grupos trabajaron las funciones en sistemas cartesianos distintos. En la
Figura 35 los estudiantes de G5 sólo consideraron una persona para analizar (porque ellos
habían propuesto originalmente cinco personas involucradas en el accidente). Allí se puede
notar como los estudiantes variaron si tenía estómago vacío o lleno, por lo que se puede
observar que cambia el dominio y el intervalo, del lado derecho de la Figura el estómago
estaba vacío por lo tanto el tiempo en que llega a la concentración máxima es de 45
minutos y del lado izquierdo, el estómago estaba medio lleno antes de beber, por eso el
tiempo en llegar a la concentración máxima era mayor (65 minutos). Luego el tiempo en
que tarda en eliminar todo el alcohol de la sangre es el mismo, se puede ver en la Figura
como los estudiantes realizaron los cálculos para encontrarlo (1800 minutos; 0 alcohol en
sangre).También se puede observar en la Figura 35 que los estudiantes utilizaron una tabla
de valores para poder observar cómo va siendo la eliminación a medida que pasa el tiempo
y también se puede ver que no llegaron a terminar la construcción de la gráfica porque no
les alcanzo la hoja, en realidad tendrían que haber trabajado en horas para que pudieran
llegar hasta la intersección con el eje x (raíz).
Figura 35: Trabajo realizado por los estudiantes del G5.
Del lado derecho de la Figura 35 se muestra como los estudiantes además, expresaron
coloquialmente todo lo que analizaron analíticamente.
En la Figura 36, los estudiantes del G4 tomaron a las dos personas supuestamente
involucradas por ellos, y a diferencia de los del G5, aparte de analizar si tenía estómago
lleno o vacío, también analizaron dos personas de distintos sexo y peso (“Marta” y
90
“Marto”) y observaron que cambiaba la concentración alcohólica. Al pesar menos, la
persona tiene mayor concentración (1,96 g/l) como se puede observar del lado derecho de
la Figura 36, y al pesar más tiene menor concentración (1,50 g/l). En ese caso no cambia el
tiempo porque en ambos caso consumió con el estómago vacío.
Los estudiantes de este grupo no realizaron los cálculos para saber en qué momentos los
integrantes estaba con la cantidad de alcohol permitido para manejar (y=0,5), ni tampoco lo
indicaron en la Figura.
Figura 36: Trabajo realizado por los estudiantes del G4.
El grupo 3 hizo un análisis similar, como se muestra en la Figura 37:
91
Figura 37: Trabajo realizado por los estudiantes del G3
El G1 realizó el análisis de acuerdo al peso de las personas, como se presenta en la Figura
38. A diferencia de los demás grupos, ellos realizaron los nuevos gráficos que
representaban a las modificaciones, montadas sobre los gráficos antes obtenidos, es decir
recuperando los cálculos originales. Ellos realizaron una variación en el peso de la persona
sin modificar el sexo ni la cantidad de alcohol ingerida, y lo representaron en una
concentración alcohólica menor, para el caso de “Lisa”; por lo tanto el tiempo de
eliminación del alcohol en la sangre también se modificó (mayor peso tarda 16 horas
aproximadamente y menor peso tarda alrededor de 20 horas, como se puede apreciar en las
raíces Figura 38). También analizaron si la persona había comido o no antes de beber y
observaron que cambiaba en tiempo en llegar a la concentración máxima y los intervalos
(estómago vacío 45 minutos, estómago lleno 90 minutos), pero el tiempo de eliminación es
el mismo (23 horas aproximadamente). Esto se muestran en la parte de abajo de la Figura
38.También trazaron la recta y=0,5, pero no indicaron ningún valor.
92
Figura 38: En la parte de arriba se observan los gráficos de las funciones correspondientes a cada
una de las situaciones planteadas por los integrantes del G1. En la parte de abajo se presentan
algunos de los cálculos que ellos mismos realizaron para poder construir las respectivas funciones.
Cabe destacar que los estudiantes construyeron las expresiones de las funciones nuevas en
base al conocimiento del efecto de cada parámetro en la función, como se puede observar
en la parte inferior de la gráfica de las funciones lineales a trozos.
De esta forma, antes de finalizar la clase se institucionalizó la expresión algebraica y la
forma gráfica de la “función a trozos”, analizando la importancia del dominio de esta
función. Para llegar los estudiantes fueron experimentando distintas técnicas, como
encontrar los intervalos para poder modelizar la función en tramos, lo cual tuvieron en
cuenta el punto máximo de la concentración y el tiempo para llegar a la misma, que algunas
93
ya las habían implementado en los encuentros anteriores (fase ascendente y fase
descendente por separado). Estos llevó a que los estudiantes que les permitirá emplear el
momento tecnológico-teórico, justificando dichas técnicas y elaborando nuevas técnicas
para indicar los intervalos de la función y por modelizarla gráficamente y luego llegar a la
institucionalización (función en tramos).
Al finalizar el encuentro la profesora les pidió que realizaran una síntesis de todo lo que
habían hecho hasta ahora. Esto es importante, ya que los estudiantes deben recuperar el
sentido de lo que hicieron hasta ahora, explicitarlo, relacionar todos los conceptos, etc.
Así cada estudiante construyó su síntesis, con distintos grados de interpretación de lo que
habían realizado. En algunos casos, simplemente “transcribieron las fórmulas” con
interpretaciones muy pobres, como se muestra en la Figura 39 de un estudiante del G1 y en
cambio, en otros casos, realizaron una construcción muy rica en conceptos y relaciones
como se muestra por ejemplo la de un alumno del grupo G5 en la Figura 40.
94
Figura 39: Realización de la tarea de síntesis, realizada por una alumna del G1
Figura 40: Tarea de síntesis, realizada por un estudiante del G5
95
En este momento, la profesora propuso un nuevo problema, para que los estudiantes
pudieran aplicar los conceptos de la función a trozos, en una situación más amplia, que es el
caso de la ingesta continua.
La profesora planteó la necesidad de construir una función nueva, pero basada en la que ya
habían trabajado, y por una cuestión de tiempo les sugirió que debían contemplar la
construcción de, como máximo dos etapas de absorción y dos de eliminación, hasta que su
concentración llegara a cero. Esto acota la forma de la función “serrucho” o función “diente
de sierra”, y delimita el problema. Fueron reviviendo los distintos momentos, desde el
encuentro con un determinado tipo de tareas (la construcción de la nueva función en tramos
que se relaciona con la ya construida en el encuentro anterior), experimentar las técnicas,
justificarlas y perfeccionarlas (establecer la nueva ingesta de alcohol, la construcción de la
nueva función) e institucionalizar (relacionarla con la ya construida) la modelización de la
situación de beber continuamente (función “serrucho” o “diente de sierra”).
En las Figuras 41 y 42 se presenta la formulación podemos de los estudiantes del G1 y G3,
ellos trasladaron a esta situación los datos que habían obtenido anteriormente, es decir
cuando respondieron al interrogante Q2.3.1 (¿Cómo se construye e interpreta la función de la
concentración de alcohol?). En la Figura 41 se muestra la formulación y los cálculos
realizados por los estudiantes del G1, en la parte superior copiaron todo lo que ya había
construido para “Lisa” en la función en tramos, y en la parte inferior agregaron otra función
donde vuelve a tomar pasada las dos horas un vaso de whisky, por lo tanto pasado los 120
minutos la concentración bajo a 2,88 g/l y luego pasada una hora vuelve a subir debido a lo
que había consumido (3,1 g/l) y luego pasado los 240 minutos comienza a descender hasta
pasar casi un día para la concentración alcohólica sea nula.
Q2.4: ¿CÓMO SE PUEDE MODELIZAR LA SITUACIÓN DE BEBER
CONTINUAMENTE?
96
Figura 41: Función “serrucho” elaborada por los estudiantes del G1 para representar la ingesta
continuada de alcohol
Por otro lado tenemos la formulación realizada por los estudiantes del G3, como se muestra
en la Figura 42. Este fue el único grupo que consideró que tardaría una hora media en llegar
a la concentración máxima ya que la persona involucrada en el problema había comido
demasiado antes de consumir alcohol, luego comenzó a descender hasta pasado los 150
minutos con una concentración alcohólica de 0,76 g/l, ya que luego comenzó a consumir
nuevamente alcohol y lo hizo con exceso (vodka, tequila y ginebra), por lo tanto la
concentración llegó a su máximo de 2,23g/l (0,76g/l+1,11g/l) en 240 minutos (150 + 90).
Pasado los 240 minutos la concentración comienza a disminuir hasta llegar a cero en un
tiempo de casi 19 horas.
97
Figura 42: Función “serrucho” elaborada por los estudiantes del G3 para representar la ingesta
continuada de alcohol
Los otros grupos (G2, G4 y G5), realizaron los cálculos nuevamente, con nuevos datos,
como se puede apreciar en las Figuras 43 a 46 (grupos G2, G4 y G5 respectivamente).
Así, como lo muestra la Fig. 43, el G2 realizó el análisis de una persona del sexo
masculino, donde había comido antes de consumir, por lo tanto a los 60 minutos tenía una
concentración alcohólica de 1 g/l. Pasados los 60 minutos comienza a descender la
concentración alcohólica, ya que la persona no había consumido más alcohol. Luego de las
dos horas, contando la primera que ya había consumido suman un total de 180 minutos
comienza a consumir nuevamente, en ese momento la concentración había disminuido
hasta 0,55 g/l. Pasados los 180 minutos la concentración comienza a subir nuevamente
hasta llegar a los 0,8 g/l en una hora que sumado a lo anterior son 240 minutos. Luego la
concentración comienza a descender hasta llegar a 0, ya que la persona no consumió más
alcohol y le llevó 560 minutos para alcanzarlo. En la parte superior de la Figura se puede
observar el gráfico donde en la variable independiente utilizaron horas en vez de minutos,
lo cual equivalen aproximadamente a 9, 3 horas.
98
Figura 43: Función “serrucho” elaborada por los estudiantes del G2 para representar la ingesta
continuada de alcohol
Por su parte, los estudiantes del G4, propusieron analizar el caso de una persona del
sexo femenino. En la parte superior de la Figura 44 se puede observar la primera
función en tramos, construida a partir de lo que había consumido. En este caso ellos
supusieron que la ingesta había sido con el estómago lleno con lo cual a los 60
minutos llegó a tener una concentración máxima de 1,5 g/l, como se puede notar en
la parte inferior de la Figura 44. Pasada la hora se puede notar que la concentración
de alcohol comienza a disminuir (ya que la persona no consumió ninguna bebida
alcohólica), es decir que habían pasado 120 minutos. Luego ellos supusieron que la
persona vuelve a consumir, por lo tanto hasta los 120 minutos tenía una
concentración de 1,1g/l, que después comienza a subir nuevamente hasta los 180
minutos que fue de 0,4 g/l (supusieron la ingesta de tres cervezas) sumado a los
anterior vuelve a tener una concentración máxima de 1,5 g/l. Pasados los 180
minutos la concentración comienza a descender ya que no consumió más y entonces
llegaron a la conclusión que en aproximadamente 750 minutos se eliminó todo el
alcohol en la sangre.
99
Figura 44: Gráfico y cálculos realizados por el G4
Por último el análisis realizado por los integrantes del G5 indica que estos
estudiantes supusieron el caso de una persona del sexo masculino, donde tenía una
concentración máxima de 4,5g/l y como también supusieron que no había ingerido
comida antes de beber, alcanzó la concentración máxima a los 45 minutos. Luego
durante una hora, supusieron que la persona no consumió nada, por lo tanto la
concentración comenzó a bajar hasta alcanzar una concentración de 4,23 g/l a los
105 minutos, y pasado este tiempo volvió a consumir nuevamente (1 whisky) y su
concentración subió nuevamente a 4,45 g/l (resultado de que ya tenía 4,23 g/l más lo
que había consumido 0,22 g/l) en un total 150 minutos. Después la persona no
consumió más alcohol y le llevó muchísimo tiempo en llegar a una concentración de
100
alcohol igual a cero, ya que había consumido mucho alcohol, le llevó
aproximadamente 1930 minutos que equivalen más a menos 32 horas. Es
interesante notar que si bien antes se comentaron los valores en sangre y los efectos
fisiológicos en el cuerpo humano, en este momento los estudiantes no se percataron
que la cantidad presupuesta en el problema, excedía ampliamente los valores de
concentración de alcohol en sangre que hacen posible la vida humana. En las
Figuras 45 y 46 se presentan las resoluciones de estos estudiantes.
Figura 45: Cálculos realizados por los estudiantes del G5.
Figura 46: Gráfico realizado por los estudiantes del G5 a partir de los cálculos realizados en la Figura
45.
101
En este momento, era necesario realizar el cierre de todo lo estudiado, así el objetivo de la
profesora fue buscar la vivencia del momento de evaluación que se articula con el
momento de la institucionalización para dar solución a la problemática inicial, con lo cual
la última cuestión por abordar fue:
Este interrogante se hizo funcionar además, como instrumento de evaluación, ya que los
estudiantes debían recuperar los conceptos, técnicas, procedimientos e interpretaciones de
la curva que modeliza el circuito del alcohol en el cuerpo humano. La profesora les
comentó a los estudiantes que este problema es conocido en casos judiciales y legales como
“cálculo retrospectivo” dada la importancia que tiene esto en la parte judicial para ver
cuando se detiene una persona que ha cometido un accidente que grado de alcoholemia
tenía en el momento que cometió el accidente. En estos casos, como primer paso, se le
extrae sangre, se mide la alcoholemia en ese momento y luego en base a éste, se calcula la
alcoholemia en el momento del accidente (de ahí el nombre de retrospectivo).
Así, se retomó la problemática inicial, que fue la disparadora. La profesora les propuso
retomar la siguiente expresión para da cuenta de la alcoholemia en el momento del
accidente:
Fácilmente se puede notar que se trata de la expresión de la función lineal de la
concentración alcohólica en función del tiempo en la fase de eliminación, pero como ahora
se conoce la concentración en el tiempo t (la que ofrece el análisis realizado) y se asume
que se conoce el tiempo, lo cual permite de esa forma conocer la concentración máxima
alcanzada, que es la nueva incógnita del problema. Para lograr variedad en las respuestas de
los estudiantes, la docente propuso a cada grupo un tiempo de toma de muestra de sangre
distinto, un sexo y una concentración y tiempo máximos como dato, a partir de sus
resoluciones y propuestas anteriores:
Grupo Sexo Tiempo en alcanzar
la concentración
máxima
Concentración
máxima de alcohol
alcanzada
Q2.5: ¿CÓMO SE RESUELVE LA SITUACIÓN INICIAL DE LOS
AMIGOS?
102
G1 Femenino 60 3,22
G2 Masculino 60 1
G3 Masculino 90 1,14
G4 Femenino 40 1,5
G5 Masculino 45 4,5
Finalmente la profesora planteó a los estudiantes la escritura de una conclusión final acerca
de la pregunta del problema que dio origen a todo el estudio realizado (¿Qué opinas acerca
de la estrategia para evitar la multa?).
Si bien tuvieron algunas dificultades iniciales para abordar el problema, pudieron sortear
los obstáculos, como se puede apreciar en sus resoluciones. En la Figura 47 se presentan las
resoluciones del G1. Así, realizaron el cálculo retrospectivo, que arrojaba un valor de 1,972
g/l de concentración máxima, tomando como punto de partida que el accidente había sido 4
horas antes (este dato fue dado por la profesora, para llegar a un consenso con todo el grupo
y no se dispersaran los cálculos). A partir de este cálculos los estudiantes podían conocer
cuál era la concentración en el momento del accidente, a ellos les arrojo un valor de 2,59
g/l, lo cual llegaron a la conclusión que no tenía el valor de alcohol permitido en sangre,
como lo podemos observar en la parte superior de la Figura 47. Igualmente ellos antes de
realizar el cálculo ya habían dicho que en el momento de la extracción ya no podían
manejar, por lo tanto cuando había sido el accidente era imposible porque iba a tener mayor
concentración.
Luego los estudiantes realizaron el gráfico de la función en tramos que ellos modelizaron
a partir del par ordenado (1; 3,22), (el tiempo y la concentración de alcohol que había
tenido en cuenta la profesora en el momento de elegir una de las personas involucradas en
la problemática), lo podemos observar en la parte central de la Figura 47 que les indicaba
el tiempo en que llegaba a su concentración máxima, y señalaron en el gráfico el momento
que había sido el accidente (240; 2,59) y la hora de la multa (8;1,972), que lo calcularon a
partir de la función construida por ellos como se puede notar en la parte inferior de la
Figura 47 y de esta manera pudieron verificar gráficamente lo que habían hecho
analíticamente en el punto anterior. Luego calcularon el momento en donde la CA=0
103
concluyendo que alrededor de 20 horas recién el cuerpo estaría libre de alcohol, que
también se puede observar en la parte inferior de la Figura 47.
Por último, realizaron la conclusión que lo podemos observar en la Figura 48. Como se
puede notar, matemáticamente es correcto pero la conclusión no tiene ninguna
consideración ética acerca de las consecuencias del acto de la ingesta inadecuada de alcohol
y las consecuencias nefastas que esto provoca.
Figura 47: Los cálculos realizados por el G1.
Figura 48: Conclusiones obtenidas por el G1 a partir de la problemática inicial y los cálculos realizados
Figura 47.
104
En la Figura 49 podemos observar el trabajo realizado por el G2. Podemos observar en la
parte central de la Figura 49, como los estudiantes indicaron el punto máximo que fue el
par ordenado que la profesora tomó a partir de uno de los integrantes que estaba
involucrado en la problemática inicial (60; 1), el par ordenado donde les indicaba la
concentración alcohólica que tenía en el momento que se había producido el accidente (3;
0,7), que el valor de la concentración lo obtuvieron a partir del cálculo retrospectivo
realizado en la parte superior de la Figura 49. Luego calcularon el tiempo en el que fue
realizada la extracción (300 minutos), que se puede ver en la parte central de la Figura 49,
por debajo del gráfico, pero el par ordenado no fue indicado en el gráfico. Los estudiantes
llegaron a la conclusión que la persona no tenía el valor permitido para conducir.
Por último también en el centro de la Figura, pero del lado derecho se puede observar la
modelización de la función en tramos y debajo de la función el cálculo del tiempo que le
llevo a la persona para llegar a la eliminación total del alcohol en la sangre (400 minutos).
Es notable que este fue el único grupo que explicitó la forma algebraica de la función a
trozos. Luego con ésta realizaron el gráfico que se encuentra del lado izquierdo de la parte
central de la Figura 49.
Al final de la Figura 49 se puede ver la conclusión que ellos escribieron, es adecuada
matemáticamente, y le da sentido al cálculo retrospectivo.
Figura 49: Las distintas técnicas utilizadas por el G2 para poder resolver la problemática final.
105
En la Figura 50 vamos a ver el trabajo realizado por el G3. Los estudiantes utilizaron las
técnicas adecuadas para realizar los cálculos correspondientes. Pero podemos observar que
el par ordenado que nos indica el punto máximo de la concentración en un determinado
tiempo, está mal ubicado (nótese que ubicaron el valor 1,14 por encima de 1,5) por lo tanto
la función construida analíticamente no contiene al punto obtenido en el cálculo
retrospectivo (El par ordenado (240; 0,84) queda fuera de la recta que modeliza la fase
descendente).
También modelizó la función en tramos y realizó el cálculo en que le llevó a la persona a la
eliminación total del alcohol en la sangre (456 minutos), esto lo podemos observar por
encima de la función graficada en la Figura 50. Los estudiantes no se dieron cuenta que el
gráfico levantado no se corresponde con los cálculos realizados.
Al final de la Figura se puede observar la reflexión realizada que resulta similar a la de los
demás grupos.
106
Figura 50: Trabajo realizado por el G3
En la Figura 51 podemos observar el trabajo realizado por el G4, aunque fue uno de los
grupos que mayor demando la ayuda del docente.
En la parte superior de la Figura 51 se puede notar el cálculo retrospectivo que realizaron
los estudiantes. Luego calcularon la pendiente de la fase ascendente, que se encuentra en la
parte central, del lado derecho de la Figura (m=0,038), y después del lado izquierdo de la
Figura indicaron que el tiempo tenía que ser mayor a 40 minutos para poder diseñar la
función de la fase descendente hasta llegar a una concentración igual a cero y así
obtuvieron que de 576 minutos el cuerpo no tendría más alcohol.
También realizaron el cálculo del momento en que la persona involucrada tenía la
concentración alcohólica 0,252 g/l, que se puede ver del lado derecho de la parte central de
la Figura (480 minutos aproximadamente), luego lo indicaron en el gráfico, pero se puede
observar que no les quedo bien ubicado porque nos le coincide con la gráfica de la fase
descendente.
Figura 51: El G4 fue utilizando las diferentes técnicas que consideraron adecuadas para resolver los incisos de
la problemática final.
Por último podemos observar en la Figura 52 el trabajo realizado por el G5. No presentaron
dificultades en la aplicación de las técnicas para resolver la problemática final. En la parte
107
superior de la Figura se puede observar el cálculo retrospectivo (concentración alcohólica
de 3,9 g/l en el momento del accidente). Es importante aclarar que los estudiantes al
observar que la persona involucrada, ya cuando le realizaron la extracción de sangre
presentaban valores superiores a los permitidos, denotaron que por más que se realice el
cálculo retrospectivo ya se sabía que no podía manejar, ya que en la etapa descendente
superaba ampliamente los valores permitidos. Además reconocieron que de acuerdo a la
concentración que tenía (3 g/l) estaría en un coma alcohólico, aunque solamente lo
verbalizaron sin dejarlo explícito en la hoja.
Luego en la parte central de la Figura podemos encontrar la modelización de la función en
tramos a partir del par ordenado (45; 4,5) y la gráfica de la misma. También indicaron los
pares ordenados correspondientes a el momento del accidente (6; 3,9) y cuando fueron
encontrados (10; 3) y realizaron el cálculo del tiempo que le llevó a la persona para llegar a
una concentración alcohólica cero (1800 minutos).Todos los cálculos se pueden observar
en la parte superior de la Figura 52.
Al final de la Figura se encuentran las conclusiones realizadas por los estudiantes del
grupo.
Figura 52: En la Figura podemos observar las técnicas utilizadas por el G5
108
Partimos de la pregunta generatriz y a partir de ella fueron surgiendo las demás Qi, las
misma se fueron analizado en los distintos encuentros y algunas surgieron a partir de las
preguntas que se hicieron los estudiantes cuando la profesoras les planteó la problemática
inicial. Entre una de las preguntas que se hicieron los estudiantes fue acerca del tiempo que
permanece el alcohol en la sangre.
Antes de poder responder a ese interrogante, se fue analizando qué bebida se iba a tener en
cuenta, cuál era la graduación de cada una, que tipo de alcohol tiene cada una, y el dato más
importante era los grados absolutos de la misma a partir de la graduación.
Los estudiantes fueron utilizando distintas técnicas, no todos utilizaron la misma, eso lo
podemos notar que para llegar a los gramos absolutos algunos utilizaron regla de tres
simple, otros directamente porcentaje (Figura 11 y 12) y otros directamente no finalizaron
el cálculo (Figura 10). Con el pasaje unidades no presentaron dificultades, ya que entre
todos armaron una tablita para guiarse (Figura 9).
De a poco se fue buscando que los estudiantes sean los actores y no los espectadores de las
obras, ya que cuando ellos debían elegir que habían consumido cada integrante involucrado
en la problemáticos fueron muy variados, en ningún momento el docente les indico algo, y
de esta manera pudieron ir analizando la cantidad de alcohol que tenía cada persona en la
sangre por medio de la ecuación de Widmark. El cálculo en sí no generó dificultades
porque solamente se fue reemplazando por los valores (Figuras 18, 19, 22, 23). Luego a
partir de los resultaron se dieron cuenta que con poco alcohol consumido cuantos gramos
de alcohol por litro de sangre podían tener y los efectos que producía a partir de la tabla que
ellos diseñaron buscando información en internet y algunos aporte del docente.
Como fue indicado en el párrafo anterior al lograr que los estudiantes eligieran gran
variedad en lo que los integrantes había consumido, también se puede destacar que se logre
que la etapa de la fase ascendente sea diferente en cada grupo, por lo tanto podían analizar
como cambiaba la pendiente, el punto máximo, por lo tanto el dominio y la imagen (Figura
26, 28 y 29). Entre las dificultades que tuvieron fue llegar a la pendiente, porque no se
acordaban como se hacía, ahí fue cuando la profesora tuvo que intervenir para que los
estudiantes puedan seguir aplicando las técnicas a las tareas planteadas por el docente.
Luego en la etapa descendente a partir de los datos que ya tenía en la ascendente (tiempo y
concentración máxima) pudieron modelizarla, teniendo en cuenta que habían reconocido
109
que la pendiente era negativa y que el valor fue indicado, para que ellos no realizaran el
cálculo ya que ahí no estaría focalizado la idea de la Q (Cómo llegamos a que la
concentración sea igual a cero), ya que era uno de los interrogantes que los estudiantes se
había planteado. Realizaron el cálculo de la raíz (Figura 30, 31, 32 y 33), que en algunos
presentaban dificultades en el despejo, por lo tanto necesitaban la guía del docente.
También realizaron la modelización de la función desde que una de las personas
involucradas empezó a tomar, hasta lograr que la CA=0. Por lo tanto a partir de todo lo
logrado anteriormente se institucionalizó la función en tramos (Figura 34, 35, 36, 37 y 38).
Lo que les resulto más complicado entender fue la determinación de los intervalos y que les
indicaba, asique fue ahí donde el donde el docente tuvo que cumplir el rol actor. Fueron
modificando el peso, sexo y si había comido o no y de esta manera analizar e dominio,
imagen, punto máximo y raíz.
En una de las últimas tareas fue indicarles que una persona podía consumir, luego dejar de
consumir y después volver hacerlo y más tarde no hacerlo más y llegar que la
concentración sea igual 0. Lo que se buscó es que los estudiantes a partir de la función en
tramos que ya habían diseñado, lograran modelizar una a continuación de la que ya tenía y
poder ver cómo va siendo la concentración alcohólica en una persona, fue una de las tareas
que más ayuda necesitaron (Figuras 41 a 46).
Por último se planteó la tarea final, resolver la problemática inicial, los datos fueron
tomados de todo lo que ellos ya habían obtenido en todos los encuentros anteriores
(concentración alcohólica y el tiempo), excepto el valor de concentración alcohólica que
arroja la muestra del laboratorio cuando había sido encontrado. El cálculo retrospectivo no
presentaron dificultades, y la modelización de la función es importante recalcar que la
hicieron a su manera por ejemplo la Figura 47.
De acuerdo a lo trabajo durante los distintos encuentros, se buscó lograr encontrar la
utilidad de la matemática en una de las problemática tan importante que se está viviendo
entre los adolescentes, el gran consumo de alcohol, sin darse cuenta el gran daño que les
ocasiona.
Por lo tanto encontrarle por un lado la importancia de la matemática a partir de contenidos
ya aprendidos (Estudios de funciones, ecuaciones, función lineal, pasaje de unidades y
función en tramos), conocimientos previos desde su orientación (química) que también le
110
podían encontrar su aplicación y por otro lado cómo puede afectar el alcohol que va
ingresando al cuerpo y los efectos que provoca según lo que se consume.
Fue importante destacar la predisposición de los estudiantes para trabajar porque se
manifestaban sorprendidos de la utilidad de la matemática. Por su parte, reconocemos que
no fue fácil apartarse de la clase tradicional, para ambos actores: desde el lugar del docente,
evitar que la clase no se dispersara y como estudiantes, que no se “desorientaran” en lo que
estaban buscando.
Al finalizar el último encuentro la profesora les propuso realizar una encuesta donde los
estudiantes debían encontrar a través de todo lo que habían trabajo en los distintitos
encuentros si la matemática les había resultado útil, la importancia en el momento del
análisis del consumo del alcohol y para terminar una reflexión final.
Análisis de las síntesis individuales con el software AntConc
Para analizar la actividad de síntesis de los estudiantes que participaron en la
implementación, se utilizó el software libre para el análisis de corpus textuales AntConc, ya
que se trataba de una actividad en la cual los estudiantes podían expresar libremente su
opinión en una reflexión final en torno a las preguntas orientadoras ¿En qué parte del
estudio la matemática te resultó útil? y ¿cuál es la importancia de la matemática en el
análisis del consumo de alcohol? Este software, creado por el profesor Laurence Anthony
de la Universidad de Waseda (Japón), es un paquete de software gratuito e independiente
que permite extraer datos de amplios corpus textuales como frecuencias de palabras (word
list), colocaciones (collocates), concordancias (concordance tool), palabras clave (keyword
list) y patrones léxicos (clusters). Cabe mencionar que AntConc no analiza el corpus, sino
que muestra los textos de manera diferente (por frecuencias, por patrones de búsqueda, por
palabras, etc), aunque el análisis e interpretación de datos, al final, siempre es tarea del
investigador. En esta tesis usaremos la versión 3.4.3w (Windows) de AntConc, lanzada en
2017 para Windows. Este software permitió obtener:
1. Word/frequency list: es un listado de palabras sobre un tema específico ordenadas por
frecuencia de aparición en el corpus compilado. Esta herramienta permite seleccionar las
palabras más frecuentes y más relevantes del corpus formado por la totalidad de los
estudiantes que escribieron las síntesis, las cuales fueron agrupadas en un solo corpus,
porque interesaba analizar el grupo de clase en tu totalidad, no estudiante por estudiante.
111
Para la obtención de términos especializados y relacionados con el tema del corpus,
previamente introdujimos una stop-list que contenía palabras meramente gramaticales o
“vacías” de significado como preposiciones, conjunciones o artículos
2. Collocates: una vez determinadas las palabras más frecuentes del corpus, se estudió en
profundidad su comportamiento colocacional, es decir, con qué otras palabras se combinan
frecuentemente los términos clave. De este modo, se identificaron posibles patrones
colocacionales que se repiten en las síntesis de los estudiantes.
3. Concordances: se extrajeron ejemplos contextualizados de las palabras más frecuentes
que han seleccionado y de las colocaciones obtenidas antes (en 2)
4. Clusters: se extrajeron patrones léxicos secuenciales que se repiten a lo largo del corpus.
Así, al incorporar las N=16 síntesis escritas por cada uno de los estudiantes, el programa
contabilizó un total de 1537 palabras, distribuidas en 441 tipos, como se muestra en el
anexo…Podemos calcular la riqueza léxica del texto, es decir la cantidad de palabras
diferentes de las que está compuesto. Un texto con mucha riqueza léxica estará formado por
muchas palabras diferentes con baja frecuencia; frente a un texto con poca riqueza léxica,
que estará formado por un grupo reducido de palabras que se repiten mucho. En este caso la
riqueza léxica da un valor de 0,27 que, como se puede apreciar, es relativamente baja (este
valor varían entre 0 y 1).
Como se puede notar en el Anexo 1, el corpus es el mismo, pero se nos muestra de manera
diferente, de manera transversal: en vez del orden lineal, el texto aparece ordenado por
frecuencias léxicas. En ese momento comenzó el trabajo del investigador para estudiar y
analizar esos datos: la lista de frecuencia. En este caso, ¿qué rasgos del texto podemos
observar que no podríamos ver si analizáramos el texto de manera lineal? Para ello,
eliminamos en primer lugar las preposiciones creando el archivo Stopword (eliminamos las
palabras vacías como: a, para, del, etc.) obteniendo así 896 palabras distribuidas en 417
tipos. Luego, procedimos a la lematización, que es el proceso mediante el cual cada palabra
del corpus se relaciona con su forma no marcada, es decir, con su forma canónica o lema
(la forma que aparece en el diccionario). El lema de los verbos es la forma de infinitivo, de
los nombres la forma en singular, y de los adjetivos la forma masculino singular. De esta
forma, con un corpus lematizado, el cálculo de frecuencias contará todas las apariciones de
un verbo como una ´única palabra, independientemente de su flexión. Y lo mismo con
112
nombres y demás formas lingüísticas que tengan algún tipo de variación morfológica. A
partir de la lematización, se recalcularon las frecuencias, obteniendo la lista que se
encuentra en el Anexo 2. Como puede observarse, el número de palabras de esta forma de
redujo a 896 palabras, distribuidas en 332 tipos. Como se puede observar, naturalmente la
palabra que mayor frecuencia es “alcohol” (con una frecuencia total de 46) y le siguen en
orden de mayor a menor frecuencia: “cantidad” , “matemática” “saber” “calcular”, “sangre”
“útil” “cuerpo” “puede” “resultó” es decir dentro de las 10 palabras más utilizadas están las
esperábamos que ellos utilicen. En este sentido, podemos concluir a partir de este primer
análisis que la matemática les resultó útil para poder calcular la cantidad de alcohol
consumido, que era uno de los objetivos del trabajo.
Luego de analizar el corpus por las frecuencias de las palabras aisladas, decidimos
completar el análisis de frecuencias intentando conocer cómo se juntan las palabras, es
decir, con qué frecuencia dos o más palabras aparecían juntas en el corpus. Estos conjuntos
de palabras que pueden aparecer juntas en un texto, con un orden consecutivo determinado,
se conocen como n-gramas, donde n es el número de palabras (bigramas (dos palabras
consecutivas); trigramas (tres palabras consecutivas); tetragramas (cuatro palabras
consecutivas); pentagramas (cinco palabras consecutivas) etc.) En este caso, al realizar un
trigrama, se obtuvo como primer ranking la concordancia más utilizada “la cantidad de”,
con la misma frecuencia que “me resultó útil” siguiéndole “consumo de alcohol en sangre”,
con “el consumo de”, “a través de”, “cantidad de alcohol” y “resultó útil en”. Ejemplos de
concordancias para “me resultó útil” fueron:
1 La matemática me resultó útil más que nada en lo que…
2 Me resultó útil en la parte de cuánto tiempo
3 Me resultó útil en la parte de calcular cuánto
4 Me resultó útil la matemática, al momento de calcu
5 Me resultó útil el poder sacar la concentración de
6 Me resultó útil en los laboratorios, en la vida...
7 Me resultó Útil para poder calcular el nivel de ..
8 Me resultó útil la parte donde hay que saber…
113
Estas expresiones reafirman lo que ya habíamos obtenido en el primer análisis (recuento de
frecuencias simples antes realizado), y si solicitamos al programa que calcule un los grupos
tomados de a cuatro palabras como mínimo y de 7 como máximo, obtenemos el siguiente
ranking:
Como se puede observar, las frases utilizadas con mayor frecuencia en los estudiantes se
refieren al consumo de alcohol, y a la utilidad de la matemática para conocer el proceso del
circuito de alcohol en el cuerpo, que era el objetivo de la tesis.
114
Capítulo 5: Conclusiones
Mediante este trabajo de tesis se buscó implementar una AEI para apreciar cómo la
matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano, y
concientizar acerca de los efectos del consumo de alcohol en las conductas humanas. Se
partió de la pregunta generatriz Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el circuito
del alcohol en el cuerpo humano?, donde se propuso a los estudiantes construir una
respuesta mediante una problemática inicial que a su vez requirió que los estudiantes se
hicieran las preguntas derivadas Qi, y las respondieran para seguir adelante en la búsqueda
de una respuesta a Q0.
La implementación se llevó a cabo en una escuela técnica con orientación Química, para
que los estudiantes pudieran encontrar la utilidad de la matemática en otras ciencias como
la biología, química y física y que ellos pudieran realizar todos los aportes que eran
necesarios para construir las “Qi” y para encontrar el respuesta de las misma. Además se
seleccionó la temática del consumo de alcohol por otro lado, debido a que constituye una
gran problemática que los adolescentes están viviendo actualmente: el consumo de alcohol
desconociendo las consecuencias que el mismo puede ocasionar, desde un accidente en la
vía a pública donde puede terminar con la vida misma o hasta las secuelas que puede dejar
en el organismo, como problemas en el hígado o llegar a la adicción de ser alcohólicos.
Respecto a nuestra primera pregunta de investigación planteada, acerca de qué
características tendría que tener un Modelo Praxeológico de referencia que permita
estudiar la modelización matemática del circuito del alcohol en el cuerpo humano y dar
cuenta de sus efectos en las conductas humanas, hemos reconstruido el modelo tal como lo
presentado en el Capítulo 3, cuya principal característica es que comienza con una cuestión
inicial orientada a conocer si es posible modelizar el circuito de alcohol en el cuerpo
115
humano, y permite derivar un conjunto de cuestiones que poco a poco van derivando en la
construcción de la función definida a trozos, y su análisis funcional completo, que es una
obra matemática desconocida hasta ese momento por los estudiantes.
Nuestra segunda pregunta, referida a las actividades y tareas que se pueden ofrecer a los
estudiantes para que puedan realizar la actividad de estudio e investigación, fue
respondida formulando el problema inicial de los amigos. La formulación de este problema
inicial, al ser la puerta de entrada a lo que se quería estudiar fue cuidadosa en el sentido de
no ofrecer respuestas implícitas y además se previó que fuera lo suficientemente abierta
como permitir que la fijación de las distintas condiciones iniciales por parte de los
estudiantes diera lugar a distintas particularizaciones del modelo del circuito del alcohol en
el cuerpo humano (por ejemplo si tiene el estómago vacío o no, el sexo de la persona que
bebió, lo que bebió, etc, inicializa de forma distinta el modelo a reconstruir, y por lo tanto,
da diferentes resultados a la misma problemática inicial). Recién cuando se respondieron
las distintas cuestiones que fueron surgiendo, fue posible volver a la problemática
inicialmente planteada, lo cual permite valorizar la utilidad de la matemática, uno de los
objetivos que persiguió esta tesis. Esto llevo a recorrer distintas organizaciones
matemáticas (unidades, peso, volumen y densidad, operaciones con números racionales,
función lineal y proporcionalidad, estudio de funciones, función en tramos, serrucho e
intervalos de las variables dependientes e independientes de una función y sistemas de dos
ecuaciones lineales). Algunas eran conocidas por los estudiantes, mientras otras
organizaciones resultaron nuevas, lo que derivó en respectivas institucionalizaciones, en
particular las relativas a la función definida a trozos.
Para poder abordar las OM, se fueron proponiendo distintas tareas, que llevó a que los
estudiantes fueran vivenciando los distintos momentos didácticos, desde su primer
momento, familiarizarse con la tarea (encontrar los gramos absolutos de una bebida,
calcular la concentración de alcohol que tiene una persona en la sangre, etc.), ir
encontrando las técnicas para trabajar las tareas, donde las iban mejorando, hasta llegar al
momento de la institucionalización (función lineal, estudio de funciones, función en trozos
y “función serrucho” o función “diente de sierra”).
116
Es importante tener en cuenta que se buscó a través de este recorrido encontrar utilidad a la
organización matemática “función en trozos”, mediante la modelización de la situación
inicial, ya que es un contenido prescripto para cuarto año de la escuela secundaria, pero
usualmente los estudiantes no son puestos en situación de necesitar la modelización para
resolver situaciones que destaquen la utilidad de este saber matemático.
Nuestra última pregunta fue: ¿Cómo es el funcionamiento de la Actividad de Estudio
cuando se la implementa en un curso de Matemática, en términos de preguntas y
respuestas de los estudiantes?
Esta pregunta fue extensamente respondida mediante la descripción de las resoluciones de
los estudiantes en la primera parte del capítulo 5, sin embargo en síntesis podemos concluir
que la implementación se logró realizar en forma prevista y hasta el final, con la
contribución voluntaria de los estudiantes. Por un lado, se logró el objetivo de que los
estudiantes puedan apreciar la utilidad de la matemática, como lo apoyan los resultados
obtenidos a partir del análisis textual que realizamos con el software AntConc presentado al
final del Capítulo 5. Por su parte, debemos reconocer que se presentaron algunas
dificultades iniciales, ante la presencia de una problemática donde no se presenta
directamente números para realizar un cálculo y llegar al resultado. Los estudiantes están
dentro de un sistema en el cual el profesor “les explica y después ellos deben responderá las
demandas de las actividades del profesor”, es decir, están sumergidos en el paradigma ya
mencionado de “visita de obras”.
Por lo tanto, el trabajo de la AEI consistió en el recorrido por las distintas Qi, no fue una
tarea sencilla, ya que los estudiantes están acostumbrados a que el docente explique y que
ellos resuelvan lo que pide el docente, sin encontrar sentido en ese quehacer, con lo cual se
pierde aún más el sentido de la modelización y su contribución esencial en el quehacer
matemático mismo. Así, por momentos los estudiantes se encontraban desorientados
porque no sabían cómo empezar a resolver las mismas preguntas que ellos habían
formulado, por ejemplo como conocer el recorrido del alcohol en la sangre en una persona
desde que comenzó a tomar hasta que llega a la eliminación total del mismo (para lo cual
debieron encontrar la forma de la función a trozos, la pendiente de la parte creciente, la
ordenada al origen, el punto máximo, la raíz, el dominio y la imagen, etc.). Sin embargo,
117
por momentos sí se logró que los estudiantes sean actores y que se involucren, es decir que
buscaran información necesaria para poder abordar las distintas preguntas utilizando sus
teléfonos celulares para poder acceder a la información por internet y relacionando esa
información con el problema a resolver (el alcohol se utiliza para cada bebida, el grado de
cada bebida, como se calcula la concentración alcohólica que tienen una persona en la
sangre, los efectos que produce el alcohol de acuerdo a la concentración máxima que tenía
una persona, etc.)
Por último, aunque no menor de la esencia de este trabajo, es que se buscó que los
estudiantes tomen conciencia y que puedan tramitarlo a sus compañeros y amigos los
efectos que tienen el alcohol en las conductas humanas, y esto fue posible, aún desde una
clase de matemática usual, sin recurrir a charlas y/o talleres extracurriculares.
Concluimos este trabajo reconociendo que abandonar ese paradigma de visita de obras por
uno que tenga sentido para el estudiante, es una tarea desafiante para el profesor, y difícil
para los estudiantes, pero posible, y muy enriquecedor para ambas partes. Se debe seguir
investigando para ofrecer a los profesores insumos para que ellos tengan “a mano”
diferentes actividades de estudio e investigación para que gradualmente reemplacen sus
clases de respuestas por planteo de situaciones.
La modelización matemática para las funciones definidas a trozos es un campo muy rico
que claramente no se agota con la función en tramos lineales. El trabajo realizado en esta
tesis puede servir como punto de partida para continuar investigando como formular otras
actividades de estudio e investigación que permitan trabajar esta modelización con los
estudiantes de la escuela secundaria. El objetivo siempre se dirige a lograr que los
estudiantes encuentren sentido a lo que aprenden, es una herramienta para abordar la
monumentalización, instalada en la escuela.
Otro desafío que se desprende de este trabajo de tesis constituye también poder trabajar en
conjunto con otros colegas, profesores de la misma institución, para poder aplicar lo ya
aportado desde esta tesis (por ejemplo, áreas de biología, química, etc.) en pos de aportar
conocimiento a la forma que se propone en la nueva escuela secundaria argentina, es decir
mediante proyectos. Así, conocer cómo cada profesor desde su disciplina haría el aporte
118
necesario para mostrar a los estudiantes la utilidad del saber adquirido, es otra de las
perspectivas que abre esta tesis.
119
Capítulo 6: Bibliografía
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123
Anexo 1: Primera salida del software AntConc (sin lematizar)
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1 71 en
2 67 de
3 65 la
4 56 el
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8 43 a
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11 19 se
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19 14 una
124
20 13 cantidad
21 13 matemática
22 13 saber
23 12 calcular
24 12 lo
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26 11 al
27 11 con
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125
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58 5 cómo
59 5 esto
60 5 matemáticas
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65 5 porque
66 5 qué
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126
68 4 cosas
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70 4 dependiendo
71 4 eliminación
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81 4 través
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127
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105 3 ser
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108 3 también
109 3 tanto
110 3 tomó
111 3 usamos
112 3 utilizamos
113 3 va
114 2 absorbe
115 2 además
128
116 2 adolescentes
117 2 alcohólico
118 2 analizar
119 2 análisis
120 2 ayuda
121 2 ayudar
122 2 buena
123 2 cantidades
124 2 concientizar
125 2 conclusión
126 2 consume
127 2 consumida
128 2 datos
129 2 debe
130 2 debido
131 2 desde
132 2 determinada
133 2 diferentes
134 2 distintos
135 2 donde
136 2 día
137 2 ecuaciones
138 2 efecto
139 2 eliminar
129
140 2 eliminarlo
141 2 eliminarse
142 2 esta
143 2 este
144 2 etcétera
145 2 funciones
146 2 función
147 2 gente
148 2 grados
149 2 gráfico
150 2 herramienta
151 2 hora
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153 2 ingerida
154 2 ingerido
155 2 interesante
156 2 lados
157 2 le
158 2 llegar
159 2 mismo
160 2 nuestro
161 2 podemos
162 2 podés
163 2 pueden
130
164 2 realizamos
165 2 según
166 2 sirvió
167 2 sobre
168 2 son
169 2 sólo
170 2 tema
171 2 tener
172 2 todas
173 2 uno
174 2 ver
175 1 absorción
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177 1 accidentes
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180 1 afectar
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183 1 alcoholizada
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131
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190 1 anteriores
191 1 anteriormente
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193 1 aplicarse
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196 1 aprendimos
197 1 aproximadamente
198 1 ascenso
199 1 aspectos
200 1 aula
201 1 aumenta
202 1 aumentar
203 1 aunque
204 1 averiguar
205 1 ayudaba
206 1 ayudó
207 1 bajar
208 1 bastantes
209 1 bien
210 1 biología
211 1 bueno
132
212 1 cabo
213 1 caer
214 1 calculan
215 1 caso
216 1 casos
217 1 causa
218 1 causar
219 1 cero
220 1 ciencia
221 1 científico
222 1 cierta
223 1 coma
224 1 comer
225 1 comida
226 1 compañeros
227 1 complejo
228 1 complicado
229 1 concentraciones
230 1 conciencia
231 1 concientización
232 1 concientizarse
233 1 conducir
234 1 conoce
235 1 constantes
133
236 1 consuman
237 1 consumen
238 1 consumimos
239 1 consumir
240 1 consumisión
241 1 controlarse
242 1 controlarte
243 1 cotidiano
244 1 cual
245 1 cuentas
246 1 cuentitas
247 1 cuesta
248 1 cursos
249 1 cuántas
250 1 da
251 1 dando
252 1 darse
253 1 demás
254 1 depende
255 1 descenso
256 1 despejamos
257 1 detectar
258 1 diferencia
259 1 dimos
134
260 1 distintas
261 1 dominio
262 1 drásticamente
263 1 durante
264 1 ejemplo
265 1 eliminado
266 1 eliminó
267 1 ella
268 1 ello
269 1 emborracharme
270 1 empieza
271 1 encuentran
272 1 enseguida
273 1 entorno
274 1 entre
275 1 era
276 1 ese
277 1 eso
278 1 estos
279 1 estuvo
280 1 están
281 1 estómago
282 1 etapa
283 1 excesivas
135
284 1 finalización
285 1 finalizado
286 1 fue
287 1 fueron
288 1 fuerte
289 1 fuertes
290 1 genera
291 1 graduaciones
292 1 graduación
293 1 graficamos
294 1 gramos
295 1 gráficas
296 1 gusta
297 1 había
298 1 habíamos
299 1 hacía
300 1 hasta
301 1 hemos
302 1 herramientas
303 1 hombre
304 1 hoy
305 1 iba
306 1 idea
307 1 incluyéndome
136
308 1 informarse
309 1 interesantes
310 1 interior
311 1 investigaciones
312 1 investigar
313 1 involucrarse
314 1 ir
315 1 junto
316 1 jóvenes
317 1 laboratorios
318 1 letal
319 1 lineal
320 1 llegado
321 1 lleva
322 1 llevar
323 1 luego
324 1 límite
325 1 mandados
326 1 maneja
327 1 manera
328 1 maneras
329 1 manualmente
330 1 matemáticamente
331 1 matemáticos
137
332 1 mayormente
333 1 mediante
334 1 medida
335 1 medir
336 1 mejor
337 1 memoria
338 1 menor
339 1 mostrábamos
340 1 mucha
341 1 muerte
342 1 mujer
343 1 médico
344 1 necesaria
345 1 ni
346 1 ninguna
347 1 nivel
348 1 nosotros
349 1 números
350 1 obtenido
351 1 obtenidos
352 1 obteniendo
353 1 obtuvimos
354 1 operaciones
355 1 otra
138
356 1 otras
357 1 parece
358 1 pareció
359 1 partir
360 1 pasando
361 1 pasas
362 1 peligrosa
363 1 pendiente
364 1 pensaba
365 1 permite
366 1 permiten
367 1 permitido
368 1 personas
369 1 perspectiva
370 1 poco
371 1 podría
372 1 podíamos
373 1 policial
374 1 presente
375 1 prever
376 1 previamente
377 1 produce
378 1 producidos
379 1 proyecto
139
380 1 pruebas
381 1 pudo
382 1 puedan
383 1 puedo
384 1 realizados
385 1 realizar
386 1 reducía
387 1 reflejaba
388 1 reflexionar
389 1 reflexión
390 1 refrescar
391 1 relacionar
392 1 resiste
393 1 resultado
394 1 riesgoso
395 1 rápido
396 1 salir
397 1 seguro
398 1 siendo
399 1 simple
400 1 sistemas
401 1 situación
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140
404 1 sustancias
405 1 tal
406 1 tan
407 1 tardaba
408 1 tardamos
409 1 tardará
410 1 tardaría
411 1 tasa
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413 1 temas
414 1 tenía
415 1 terceros
416 1 tipo
417 1 toma
418 1 total
419 1 trabajo
420 1 trabajos
421 1 trago
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423 1 usa
424 1 usar
425 1 uso
426 1 usual
427 1 utilizar
141
428 1 vacío
429 1 vamos
430 1 variables
431 1 variamos
432 1 varios
433 1 verlo
434 1 vida
435 1 vimos
436 1 vista
437 1 visto
438 1 yo
439 1 ámbito
440 1 él
441 1 éste
142
Anexo 2: Segunda salida del software AntConc, luego del proceso de
lematizado
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1 54 alcohol alcohol 46 alcoholemia 6 alcoholismo 1
alcoholizada 1
2 28 poder podemos 2 poder 8 pudimos 3 pudo 1
puedan 1 puede 10 pueden 2 puedo 1
3 16 consumir consuman 1 consume 2 consumen 1
consumida 2 consumimos 1 consumir 1 consumo 8
4 15 cantidad cantidad 13 cantidades 2
5 13 calcular calculan 1 calcular 12
6 13 matemática
7 13 saber
8 12 sangre
9 11 este eso 1 esta 2 este 2 esto 5 estos 1
10 11 útil
11 10 bebida bebida 6 bebidas 4
12 10 cuerpo
13 10 eliminar elimina 3 eliminado 1 eliminar 2
eliminarlo 2 eliminarse 2
143
14 10 resultó
15 10 tiempo
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utilizamos 3 utilizar 1
17 9 ser sea 3 ser 3 siendo 1 son 2
18 9 tardar tarda 7 tardaba 1 tardamos 1
19 9 ya
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21 8 graficar graficamos 1 graficar 7
22 8 importante
23 8 más
24 8 persona persona 7 personas 1
25 8 todo
26 7 está
27 7 mucho mucha 1 muchas 3 mucho 3
28 7 muy
29 7 tomar toma 1 tomar 6
30 6 afectar afecta 5 afectar 1
31 6 cada
32 6 diferente diferencia 1 diferentes 2 distintas 1
distintos 2
33 6 grado grado 3 grados 2 graduaciones 1
144
34 6 hacer
35 6 partir parte 5 partir 1
36 6 sacar
37 6 tener tener 2 tiene 4
38 6 ver ver 2 verlo 1 vimos 1 vista 1 visto 1
39 5 algo
40 5 ayudar ayuda 2 ayudaba 1 ayudar 2
41 5 cuanto
42 5 cálculos
43 5 cómo
44 5 matemáticas
45 5 organismo
46 5 peso
47 5 por
48 5 porque
49 5 qué
50 4 concientizar conciencia 1 concientizar 2 concientizarse 1
51 4 cosas
52 4 cuando
53 4 dar darnos 3 darse 1
145
54 4 dependiendo
55 4 eliminación
56 4 estudio
57 4 gráfica
58 4 hay
59 4 horas
60 4 ingerido ingerida 2 ingerido 2
61 4 obtenido obtenido 1 obtenidos 1 obteniendo 1
obtuvimos 1
62 4 realizar realizados 1 realizamos 2 realizar 1
63 4 servir sirve 4
64 4 si
65 4 sin
66 4 tanto tan 1 tanto 3
67 4 todos
68 4 través
69 3 aprender aprendido 1 aprendiendo 1 aprendimos 1
70 3 comer coma 1 comer 1 comida 1
71 3 concentración
72 3 concluir concluir 3
146
73 3 cuándo
74 3 desarrollo
75 3 etc
76 3 fórmulas
77 3 gracias
78 3 gráficos
79 3 haber haber 3
80 3 herramienta herramienta 2 herramientas 1
81 3 información
82 3 interesante interesante 2 interesantes 1
83 3 irse
84 3 llegar llegado 1 llegar 2
85 3 matemático
86 3 momento
87 3 nada
88 3 permite permite 1 permiten 1 permitido 1
89 3 podríamos
90 3 punto
91 3 sexo
92 3 su
93 3 también
147
94 3 tema tema 2 temas 1
95 3 tomó
96 3 va
97 2 absorber absorbe 2
98 2 accidente accidente 1 accidentes 1
99 2 además
100 2 adolescentes
101 2 alcohólico
102 2 analizar
103 2 anteriores anteriores 1 anteriormente 1
104 2 análisis
105 2 buena
106 2 conclusión
107 2 datos
108 2 debe
109 2 debido
110 2 desde
111 2 determinada
112 2 donde
113 2 día
114 2 ecuaciones
148
115 2 efecto
116 2 etcétera
117 2 fuerte fuerte 1 fuertes 1
118 2 funci\xf3n funciones 2
119 2 función
120 2 gente
121 2 gráfico
122 2 hora
123 2 individuo
124 2 investigar investigaciones 1 investigar 1
125 2 lados
126 2 le
127 2 llevar lleva 1 llevar 1
128 2 manera manera 1 maneras 1
129 2 mismo
130 2 nuestro
131 2 podés
132 2 según
133 2 sirvió
134 2 sobre
135 2 sólo
149
136 2 todas
137 2 trabajo trabajo 1 trabajos 1
138 2 uno
139 1 absorción
140 1 actividad
141 1 actúa
142 1 aguantar
143 1 alcoholímetro
144 1 alcohólica
145 1 alcohólicas
146 1 algunas
147 1 alojado
148 1 amplia
149 1 aplicaci\xf3n aplicarse 1
150 1 aplicación
151 1 aproximadamente
152 1 ascenso
153 1 aspectos
154 1 aula
155 1 aumenta
156 1 aumentar aumentar 1
150
157 1 aunque
158 1 averiguar
159 1 ayudó
160 1 bajar
161 1 bastantes
162 1 bien
163 1 biología
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166 1 caer
167 1 caso
168 1 casos
169 1 causa
170 1 causar
171 1 cero
172 1 ciencia
173 1 científico
174 1 cierta
175 1 compañeros
176 1 complejo
177 1 complicado
151
178 1 concentraci\xf3n concentraciones 1
179 1 concientización
180 1 conducir
181 1 conoce
182 1 constantes
183 1 consumisión
184 1 controlarse
185 1 controlarte
186 1 cotidiano
187 1 cual
188 1 cuesta
189 1 cursos
190 1 cuántas
191 1 da
192 1 dando
193 1 demás
194 1 depende
195 1 descenso
196 1 despejamos
197 1 detectar
198 1 dimos
152
199 1 dominio
200 1 drásticamente
201 1 durante
202 1 ejemplo
203 1 eliminó
204 1 ella
205 1 ello
206 1 emborracharme
207 1 empieza
208 1 encuentran
209 1 enseguida
210 1 entorno
211 1 entre
212 1 era
213 1 ese
214 1 estuvo
215 1 están
216 1 estómago
217 1 etapa
218 1 excesivas
219 1 finalización
153
220 1 finalizar finalizado 1
221 1 fue
222 1 fueron
223 1 genera
224 1 graduación
225 1 gramos
226 1 gráficas
227 1 gusta
228 1 había
229 1 habíamos
230 1 hacía
231 1 hasta
232 1 hemos
233 1 hombre
234 1 hoy
235 1 iba
236 1 idea
237 1 incluyéndome
238 1 informaci\xf3n informarse 1
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154
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242 1 junto
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246 1 lineal
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248 1 límite
249 1 mandados
250 1 maneja
251 1 manualmente
252 1 matemáticamente
253 1 matemáticos
254 1 mayormente
255 1 mediante
256 1 medida
257 1 medir
258 1 mejor
259 1 memoria
260 1 menor
261 1 mostrábamos
155
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263 1 mujer
264 1 médico
265 1 necesaria
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267 1 ninguna
268 1 nivel
269 1 nosotros
270 1 números
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272 1 otra
273 1 otras
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275 1 pareció
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