Tarea 1: Controlador por modelo de referencia de ganancias fijas

Objetivos

-Disenar un controlador por modelo de referencia de ganancias fijas.-Aplicar el controlador disenado a la dinamica de banqueo de una aeronave y sim-ularlo en MATLAB/Simulink.

Introduccion

Las dinamicas de banqueo de una aeronave convencional son controladas usandoun movimiento diferencial de los alerones y spoilers. Los alerones son superficiesmoviles que se encuentran montadas sobre el filo del ala, las cuales estan ubicadassimetricamente sobre cada lado del ala con respecto a la lınea centrada de laaeronave (Fig. 1).Mediante la deflexion diferencial (por ejemplo, hacia abajo por un lado y haciaarriba por el otro), los alerones tienen la habilidad de incrementar la fuerza delevantamiento sobre la porcion flexionada hacia abajo del ala y el decrementode esta por el otro lado. Las dos diferentes fuerzas de levantamiento crearan unmomento de banqueo alrededor del vector de velocidad de la aeronave ubicado en elcentro de gravedad de la aeronave. Mientras que los alerones pueden moverse haciaarriba y hacia abajo, los spoilers pueden ser unicamente flexionados hacia arribapor arriba del filo del ala para reducir la fuerza del levantamiento y ası ayudar alos alerones a proveer un control de banqueo. Como resultado, la aeronave rotaraalrededor de su vector de velocidad.

Figure 1: Fuerzas de levantamiento que surgen a partir de una deflexion diferencialpositiva, provocando un alabeo de la nave en sentido antihorario (razon de alabeopositiva)

Desarrollo

La dinamica de banqueo de la aeronave puede aproximarse por una ecuacion difer-encial ordinaria escalar de primer orden de la forma

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p = Lpp+ Lδaδa (1)

dondep es la razon de banqueo de la aeronave en los ejes de estabilidad (rad/seg).δa es la deflexion diferencial total del aleron-spoilers (rad).Lp es la derivada de amortiguamiento de banqueo.Lδa es la derivada del momento de banqueo con respecto a la deflexion diferencialaleron-spoiler (efectividad de control aleron a banqueo) para una aeronave.

Para una aeronave estable en lazo abierto, la derivada de amortiguamiento de ban-queo Lp es negativa, a menos que las porciones del ala esten estancadas, en cuyocaso el amortiguamiento de banqueo puede hacerse positivo. La deflexion difer-encial aleron-spoiler positiva es definida para producir un momento de banqueopositivo y como tal, la efectividad en el control aleron a banqueo Lδa tıpicamentetiene valores positivos.Estrictamente hablando, la aproximacion dinamica de banqueo anterior es validaunicamente para valores de p y δa suficientemente pequenos. Ademas, se suponeque el movimiento de guinada de la aeronave es suprimida por el timon, el cual esuna superficie montada en la cola de la aeronave.

La tarea de control consiste en forzar a la aeronave a que presente un banqueosimilar al modelo de referencia

pref = arefpref + brefpcmd (2)

El modelo de referencia (2) es manejado por la razon de banqueo aplicada (pcmd)y esta calcula la razon de banqueo de referencia (pref ). En esencia, el modelo dereferencia (2) describe y define el desempeno de seguimiento de referencia deseadoen lazo cerrado. La tarea de control trata de encontrar un δa que pudiera forzara la razon de banqueo de la aeronave p el seguir alguna pref accion de referenciaacotada y posiblemente variante en el tiempo. Esta es la tarea en el diseno delcontrol por modelo de referencia.

Comparando la dinamica de banqueo de (1) con la del modelo de referencia (2),es facil observar que una solucion de control puede ser formulada en la formaprealimentacion-realimentacion

δa =aref − Lp

Lδap+

brefLδa

pcmd (3)

donde kp =aref−LpLδa

es la ganancia de realimentacion de la razon de banqueo y

kpcmd =brefLδa

es la ganancia de la accion de prealimentacion. De hecho, susti-

tuyendo el controlador (3) en la dinamica de banqueo (1), se obtiene la dinamicade lazo cerrado deseada del sistema

p = arefp+ brefpcmd (4)

2

El correspondiente diagrama a bloques del sistema en lazo cerrado con el contro-lador por modelo de referencia de ganancias fijas, puede ser observado en la figura2.

Figure 2: Diagrama a bloques de la dinamica de banqueo con un controlador pormodelo de referencia de ganancias fijas.

El controlador por modelo de referencia (3) no es la unica forma en que se puede darsolucion al problema de seguimiento. Tambien pueden proponerse otras soluciones,por ejemplo, el controlador de la forma

δa = kpp+ kpcmdpcmd − ke(p− pref ) (5)

resuelve el mismo problema de seguimiento, donde ke ≥ 0 representa la gananciadel error de realimentacion. Escogiendo ke ≥ 0 suficientemente grande, permi-tira al diseador obtener alguna dinamica transitoria deseada (rapida). La figura 3muestra el diagrama del sistema en lazo cerrado resultante

Figure 3: Diagrama a bloques del sistema en lazo cerrado con controlador pormodelo de referencia de ganancia fija y realimentacion del error.

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Resultados

Para la simulacion, se tomaron los siguientes valores

aref = −5bref = 5Lp = 3lδa = 6ke = 100

Por lo tanto

kp =aref−LpLδa

= −5−36 = −8

6

kpcmd =brefLδa

= 56

En la figura 4 se observa la salida del sistema respecto a la senal de referencia,usando el controlador por modelo de referencia de ganancias fijas.

Figure 4: Salida del sistema respecto a la senal de referencia usando el controladorpor modelo de referencia de ganancias fijas

En la figura 5 se observa la salida del sistema respecto a la senal de referencia,usando el controlador por modelo de referencia de ganancias fijasy realimentaciondel error.

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Figure 5: Salida del sistema respecto a la senal de referencia usando el controladorpor modelo de referencia de ganancias fijas y realimentacion del error

Conclusiones

Como se planteo al principio de esta tarea, se diseno un controlador por modelode referencia de ganancias fijas y se aplico a la dinamica de banqueo de una aeron-ave. Los resultados demuestran la efectividad de dicho controlador. Ademas,tambien se diseno un controlador por modelo de referencia de ganancias fijas yrealimentacion del error y se aplico a la misma planta. Aunque los dos contro-ladores funcionan de manera satisfactoria, el controlador por modelo de referenciade ganancias fijas y realimentacion del error muestra una dinamica transitoria lig-eramente mas rapida que el controlador por modelo de referencia de ganancias fijas.

Referencias

[1] Robust and Adaptive Control With Aerospace Applications, E. Lavrestky y K.Wise. Springer, 2013.

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