dinámica

Apuntes de Dinámica

Ing ° Carlos Silva Castillo

www.csc-unp.blogspot.comwww.csc-unp.blogspot.comwww.csc-unp.blogspot.comwww.csc-unp.blogspot.comwww.csc-unp.blogspot.comwww.csc-unp.blogspot.com



CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN

§ 1. El mundo natural Para todos los hombres el mundo resulta inmenso y complejo, el escenario de una gran diversidad de acontecimientos y fenómenos alarmantes. Esta estimación está basada en las estimaciones del orden de magnitud general de algunas magnitudes interesantes. En este momento no entraremos en detalle sobre los argumentos y medidas que conducen a los números que se citan. El hecho más notable de los mismos es que los conozcamos sin que tenga apenas importancia el que alguno de ellos se conozca sólo aproximadamente. El universo es inmenso. A partir de observaciones astronómicas se sugiere el valor de 1028 cm ó 1010 años luz para una magnitud característica que se llama radio del universo en su sentido más amplio. El factor es dudoso quizás en un factor de 3. Para comparar, indicaremos que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,5×1013 cm y que el radio de la Tierra es de 6,4×108 cm. El número de átomos en el universo es muy grande. El número total de protones y de neutrones en el universo, con una incertidumbre quizás de un factor de 100, se cree que es del orden de 1080. En el Sol existen en número de 1057 y en la Tierra de 4×1051. El total indicado en el universo podría existir unas 1080/1057 = 1023 estrellas de la misma masa de nuestro Sol (compárese con número de átomos en un peso atómico, el número de Avogrado, que vale aproximadamente 6×1023) la mayor parte de la masa del universo parece ser que pertenece a las estrellas y todas las estrellas conocidas tienen masas entre 0,01 y 100 veces la de nuestro Sol. La vida es el fenómeno más complejo. El hombre, una de las formas vitales más complicadas, está compuesto aproximadamente por unas 1016 células. Una célula es una unidad fisiológica que tiene de 1012 a 1014 átomos aproximadamente. Se cree que todas las células de cada variedad de materia viva contienen al menos una larga cadena molecular de ADN o de ARN. Las cadenas de ADN en una célula contienen todas las instrucciones químicas o información genética necesaria para construir un hombre completo, un pájaro, una bacteria o un árbol. En una macromolécula de ADN, que está compuesta de 108 a 1010 átomos, la distribución precisa de los mismos puede variar de un individuo a otro, pero siempre cambia de una especie a otra1. Sobre nuestro planeta se han descrito y dado nombre a más de 106 especies. La materia inanimada también aparece en múltiples formas diversas. Los protones, neutrones y electrones se combinan para formar alrededor de 102 elementos químicos diferentes y casi 103 isótopos identificados. Los elementos se han combinado en diferentes proporciones para formar quizás 106 o más compuestos químicos diferenciados e identificados y a este número puede añadírsele un amplio número de soluciones líquidas y líquidas y aleaciones de

1 El término especie se define de un modo preciso indicando que dos

poblaciones son de diferentes especies si pueden encontrarse entre ellas alguna(s) diferencia(s) fácilmente descriptible(s) y si no puede existir procreación mixta de un modo natural

diversas composiciones que poseen propiedades físicas distintas. Por medio de la ciencia experimental hemos sido capaces de aprender todos estos hechos acerca del mundo natural, triunfando sobre la oscuridad y la ignorancia, para clasificar las estrellas y valorar sus masas, composiciones, distancias y velocidades; para clasificar las especies vivas y para descifrar sus relaciones genéticas; para sintetizar cristales inorgánicos, sustancias bioquímicas y nuevos elementos químicos; para medir las líneas de los espectros de emisión de los átomos y moléculas en un intervalo de frecuencias de 102 a 1020 hertz y para crear nuevas partículas fundamentales en el laboratorio. Estos grandes logros de la ciencia experimental los han obtenido hombre de muy diversos tipos: pacientes, persistentes, intuitivos, inventivos, energéticos, perezosos, afortunados o habilidosos. Algunos preferían utilizar aparatos sencillos, otros inventaron o construyeron instrumentos de gran refinamiento o de tamaño grande o muy complicados. La mayoría de estos hombres tenían en común solamente una cosa: fueron honrados y realmente hicieron las observaciones que habían anotado y publicaron los resultados de su trabajo en una forma que permitió a otros repetir el experimento o la observación.

§ 2. El papel de la Teoría

La descripción que hemos dado del mundo natural considerándolo como inmenso y complejo no es completa, puesto que la comprensión teórica hace que varias partes d esta imagen aparezcan mucho más sencillas. Se ha conseguido un notable entendimiento de algunos entendimientos importantes y cruciales del mundo. Los campos que creemos comprender, resumidos a continuación, junto con la Teoría de la Relatividad y la Mecánica Estadística, son quizás los mayores logros intelectuales de la Humanidad.

1. Las leyes de la Mecánica Clásica y de la Gravitación que nos permiten predecir con notable exactitud los movimientos de las diversas partes del sistema solar han conducido a la predicción y descubrimiento de nuevos planetas. Estas leyes sugieren posibles mecanismos para la formación de estrellas y galaxias y, junto con las leyes de la radiación, dan una explicación convincente de la conexión observada entre masa y la luminosidad de las estrellas. Las aplicaciones astronómicas de la mecánica clásica son las más bellas, pero no las únicas realizadas con éxito. Usamos constantemente estas leyes en nuestra vida cotidiana y en las distintas ramas de la ingeniería. Nuestras aventuras contemporáneas en el espacio y el uso de satélites están basadas en aplicaciones refinadas de las leyes de la mecánica clásica y la gravitación.

2. Las leyes de la Mecánica Cuántica dan una acertada explicación de los fenómenos atómicos. Se han hecho predicciones para los átomos simples, que han resultado acordes con las experiencias hasta 1 parte en 105 o incluso mejor. Cuando se aplican a los sucesos terrestres y celestes de mayor escala, las leyes de la mecánica cuántica son idénticas, dentro de una aproximación excelente, a las de la




mecánica clásica. La mecánica cuántica proporciona, en principio, una base teórica precisa par la Química y metalurgia en su totalidad y para gran parte de la Física, pero con frecuencia no podemos tratar las ecuaciones con las computadoras existentes. En ciertos campos casi todos los problemas parecen demasiado difíciles para un enfoque teórico directo basado en los principios fundamentales.

3. Las leyes de la Electrodinámica Clásica, que suministran una interpretación excelente de todos los efectos eléctricos y magnéticos, excepto a escala atómica, son la base de la ingeniería eléctrica y de la industria dedicada a las comunicaciones. Los efectos eléctricos y magnéticos a escala atómica se describen exactamente mediante la teoría de la Electrodinámica Cuántica.

4. Como ejemplo más concreto y en otro nivel, parece alcanzarse la comprensión de los fenómenos genéticos, pudiéndose afirmar que el almacenamiento de información en la célula de un organismo sencillo supera al de las mejores calculadoras comerciales de hoy día. Estos temas son objeto de la Biología Molecular. Prácticamente en todos los seres vivos de nuestro planeta la codificación completa de la información genética en la molécula de ADN está a cargo de una doble secuencia lineal (que posee de 106 a 109 unidades, según el organismo) de cuatro grupos moleculares con reglas específicas, pero simples que gobiernan el apareamiento de miembros opuestos en la doble secuencia.

Las leyes físicas y la explicación teórica de los fenómenos descrita en estos ejemplos tienen un carácter completamente diferente de los resultados directos de las observaciones experimentales. Las leyes, que resumen las partes esenciales de un gran número de observaciones, nos permiten hacer con éxito cierto tipo de predicciones, limitada en la práctica por la complejidad del sistema. Con frecuencias las leyes sugieren experimentos nuevos y poco corrientes. Aunque las leyes puedan establecerse normalmente de una forma concisa, su aplicación puede exigir a veces cálculos y análisis matemáticos muy largos. Existe otro aspecto de las leyes fundamentales de la Física: aquellas que hemos llegado a comprender tienen una gran belleza y una atractiva sencillez. Esto no significa que debamos interrumpir la experimentación; porque las leyes de la Física se han descubierto, por lo general, únicamente después de penosos e ingeniosos experimentos. Lo dicho anteriormente significa que nos veríamos muy sorprendidos si los futuros resultados de la teoría física contuvieran elementos poco elaborados y de desagradable presentación. La cualidad estética de las leyes físicas descubiertas ilumina nuestras esperanzas sobre las leyes aún sin conocer. Tendemos a llamar atractiva una hipótesis cuando su simplicidad y elegancia destaca entre el gran número de teorías concebibles. En este curso nos esforzaremos en establecer algunas de las leyes físicas desde un punto de vista que resalte su sencillez y elegancia. Esto requiere el uso considerable de formulaciones matemáticas, razón por la cual se mencionarán, constantemente, algunas aclaraciones y notas matemáticas.

§ 3. Geometría y Física

Las matemáticas que permiten la atractiva y condición de expresión que exige una discusión razonable de las leyes físicas y sus consecuencias, constituyen el lenguaje de la física. Un lenguaje con reglas especiales. Si se obedecen las reglas, únicamente pueden obtenerse consecuencias

correctas: la raíz cuadrada de 2 es 1,4142135… o Sen(2) =

2SenCos. Debemos tener cuidado en no confundir dichas consecuencias lógicas con afirmaciones exactas que corresponden al mundo físico. Es una cuestión de experimentación, más bien que de contemplación, al ver si la relación medida entre la circunferencia y el diámetro de una circunferencia física es realmente 3,1415926535…La medición geométrica es básica para la física y la ingeniería y deberemos decidir ciertas cuestiones antes de utilizar la geometría euclidiana o cualquier otra en la descripción de la naturaleza. Aquí tenemos ciertamente una pregunta que hacer sobre el universo: ¿Podemos suponer que para las mediciones son ciertos los teoremas y los axiomas de Euclides? Podemos decir sólo algunas cosas sencillas sobre las propiedades experimentales del espacio sin tener que recurrir a difíciles matemáticas. El teorema más famoso de las matemáticas es el atribuido a Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ¿Esta verdad matemática que supone la validez de la geometría euclidiana es cierta también en el mundo físico? ¿Podría ocurrir de otro modo? El examen de esta pregunta no es suficiente y para poder responder debe-mos acudir a la experimentación. Utilizaremos razona-mientos que son algo incompletos porque no podemos utilizar aquí las matemáticas de un espacio tridimensional con curvatura.

Consideremos primero el caso de seres bidimensionales que vivan en un universo que es la superficie de una esfera. Sus matemáticos les han descrito las propiedades de los espacios de tres o más dimensiones, pero tienen mucha dificultad en desarrollar una percepción intuitiva sobre tales materias, tal como las que encontramos nosotros al describir un espacio tetradimensional. ¿Cómo pueden determinar si viven sobre una superficie curva? Un procedimiento consiste en ensayar los axiomas de la geometría plana intentando confirmar experimentalmente alguno de los teoremas de Euclides. Construirán líneas rectas entendiendo por tales el camino más corto entre dos puntos cualesquiera B y C sobre la superficie de la esfera. Nosotros describiríamos dicho trayecto como un círculo máximo (figura 1.1).

Fig. 1.3 La distancia «línea recta» más corta entre dos puntos 8 y C

sobre una esfera es el arco de círculo máximo que pasa por dichos puntos, y cualquier otro camino P es más largo que éste.




Dichos seres podrían avanzar y construir triángulos y ensayar el teorema de Pitágoras. En un triángulo muy pequeño, cuyos lados sean pequeños en comparación con el radio de la esfera, el teorema se cumpliría con gran exactitud aunque no perfectamente; en un triángulo mayor se apreciarían las diferencias de modo notable. (Véanse Figs. 1.2 a 1.4.) Si B y C son puntos sobre el ecuador de la esfera, la “línea recta” que los une es el segmento de ecuador de B a C. El camino más corto desde el punto C situado en el ecuador al polo norte A es el meridiano que corta al ecuador en ángulo recto. El camino más corto desde B a A es también una línea de longitud fija que corta asimismo en ángulo recto al ecuador BC. Tenemos, pues, un triángulo rectángulo con b = c. El teorema de Pitágoras evidentemente no es válido en la esfera porque c' no puede ser igual a b2 + a2; además la suma de los ángulos internos del triángulo ABC es siempre mayor que 180º. Las mediciones hechas sobre la superficie curva por sus habitantes bidimensionales les permitirían demostrar a sí mismos que la superficie es ciertamente curva.

Fig. 1.2 Dados tres puntos ABC, los seres, los seres bidimensionales

podrían construir triángulos con lados considerados como “líneas rectas”.

Encontrarían así que para triángulos rectángulos pequeños a2 + b2 c2 y la suma de los ángulos del triángulo ligeramente mayor de 180º.

Fig. 1.3 Si utilizasen unos triángulos mayores, la suma de los ángulos sería cada vez mayor de 180º. En este caso, con B y C en el ecuador y

A en el polo, y son ambos rectos. Evidentemente a2 + b2 c2, porque b es igual a c

Fig. 1.4 En este triángulo, con B y C por debajo del ecuador, + > 180º, lo cual es debido sólo a que el «espacio» bidimensional de la superficie esférica es curva. Un argumento análogo puede utilizarse en

tres dimensiones. El radio de curvatura de este espacio bidimensional es precisamente el radio de la esfera.

Siempre es posible que los habitantes digan que las leyes de la geometría plana describen adecuadamente su mundo y que los problemas que surgen se deben a las reglas empleadas

para medir el camino más corto y definir así la línea recta. Pueden asegurar que la regla, no tiene una longitud constante, sino que se acorta o alarga cuando se desplazan a diferentes lugares de 1, superficie. Únicamente cuando se determina, por mediciones continuadas de diversas maneras, que se obtiene siempre el mismo resultado, resultará evidente que la explicación más sencilla del fallo de la geometría euclidiana reposa en la curvatura de la superficie. Los axiomas de la geometría plana no son verdaderos evidentes por sí mismas en este mundo bidimensional curvo; no son verdades en absoluto. Vemos que la geometría real del universo es una rama de la física que debe explorarse mediante experiencias. Normalmente no indagamos la validez de la geometría euclidiana para describir las mediciones hechas en nuestro propio mundo tridimensional porque dicha geometría es una aproximación tan buena a la geometría del universo que en las mediciones prácticas no se detecta ninguna desviación de la misma. Esto no significa que la aplicabilidad de la geometría euclidiana sea evidente por s misma ni siquiera exacta. El gran matemático del siglo XIX Carl Friedrich Gauss sugirió que la plenitud euclidiana del espacio de tres dimensiones debería con probarse midiendo la suma de los ángulos interiore de un triángulo de grandes dimensiones; él indicaba que si el espacio tridimensional es curvo, la suma d los ángulos de un triángulo bastante grande podría tener una diferencia significativa respecto a 180º. Gauss2 utilizó un equipo de topografía para medir exactamente el triángulo que forman en Alemania los montes Brocken, Hohehagen e Inselberg (1821-1823 (Fig. 1.5). El lado mayor de este triángulo medía 100 km aproximadamente. Los ángulos internos medidos fueron

86º 13’ 58,366’’ 53º 06’ 45,642’’ 40º 39’ 30,165’’

Suma 180º 00’ 4,173’’

Fig. 1.5 Gauss midió los ángulos de un triángulo con vértices en las

cimas de tres montañas y encontró que su suma no difería de 180º dentro de la exactitud de sus medidas.

(No hemos encontrado ninguna indicación acerca de la exactitud estimada de estos resultados; es probable que las dos últimas cifras no resulten significativas) Como los instrumentos topográficos se instalaron local mente en un plano horizontal en cada vértice, los tres planos horizontales no resultaron paralelos. Debe sustraerse, pues, de la suma de

2 C. F. Gauss- Werke, vol. 9, B. G. Teubner, Leipzig, 190 especialmente las

págs. 299, 300, 314 y 319. La colección de trabajos de Gauss son un ejemplo notable de lo mucho que puede realizar durante su vida un hombre con talento.




los ángulos una corrección obtenida mediante el cálculo llamada exceso esférico (que vale 14,853 segundos de arco). La suma así corregida 179º 59’ 59,320’’, difiere en 0,680 segundos de arco de 180º. Gauss opinó que esto caía dentro de los límites del error de observación y llegó a la conclusión de que el espacio era euclidiano dentro de la exactitud de estas observaciones. Vimos en el ejemplo anterior que la geometría euclidiana describía adecuadamente un pequeño triángulo en la esfera bidimensional, pero las discrepancias se hacen cada vez más evidentes al aumentar la escala. Para ver si nuestro espacio es verdaderamente plano necesitaremos medir triángulos muy grandes cuyos vértices estén formados por la Tierra y las estrellas distantes o incluso galaxias. Pero entonces nos enfrentamos con el siguiente problema: Nuestra posición queda fijada, ya que estamos sobre la Tierra y no tenemos libertad (aún) para vagar por el espacio con nuestra regla y andar midiendo triángulos astronómicos. ¿Cómo podemos comprobar la validez de la geometría euclidiana para describir las medidas en el espacio? Valores estimados de la curvatura del espacio. Predicciones planetarias. Puede atribuirse un primer límite inferior de unos 5 × 1017 cm para el radio de curvatura de nuestro propio universo en virtud de la consistencia de las observaciones astronómicas dentro del sistema solar. Por ejemplo, las posiciones de los planetas Neptuno y Plutón fueron deducidas mediante el cálculo antes de su confirmación visual por observación telescópica. Pequeñas perturbaciones en las órbitas de los planetas conocidos condujeron al descubrimiento de Neptuno y Plutón muy cerca de las posiciones previstas por el cálculo. El planeta más exterior del sistema solar es Plutón. Podemos admitir fácilmente que un ligero error en las leyes de la geometría habría destruido esta coincidencia. El radio medio de la órbita de Plutón es 6 × 1014 cm; la casi total coincidencia entre las posiciones observadas y las predichas supone un radio de curvatura del espacio de al menos 5 × 1017 cm. Un radio de curvatura infinito (espacio plano) no es incompatible con los datos. Nos separaría demasiado de nuestro objeto presente el discutir los detalles numéricos que conducen a estimar el valor de 5 × 1017 cm o el definir con precisión lo que se entiende por radio de curvatura de un espacio tridimensional. La analogía bidimensional de la superficie de la esfera puede utilizarse en esta ocasión como un modelo útil. Paralaje trigonométrica. Schwarzschild sugirió otro tipo de razonamiento. En dos observaciones realizadas con un intervalo de seis meses, la posición de la Tierra respecto al Sol ha variado en 3 × 1013 cm, que es el diámetro de la órbita terrestre. Supongamos que en las mismas hemos observado

una estrella y medido los ángulos y (fig. 1.6), en donde estas letras son los caracteres griegos alfa y beta. Si el espacio

es plano, la suma de los ángulos + es siempre menor que 180º y la suma se acerca a este valor cuando la estrella está a

una distancia infinita. La mitad de la diferencia entre 180º y

+ se denomina paralaje. Pero en un espacio curvo no es

necesariamente cierto que + sea siempre menor que 180º. Un ejemplo se ve en la Fig. 1.6.

Fig. 1.6 Demostración de Schwarzschild de que en una superficie plana

+ < 180º. El paralaje de una estrella se define por 2

º180

Volvamos a nuestros astrónomos bidimensionales viviendo sobre la superficie de la esfera para ver cómo descubrieron que su espacio es curvo a partir de las medidas de la suma a + C). Según nuestra discusión previa del triángulo ABC observamos que, cuando la estrella está alejada un cuarto de

circunferencia, + = 180º. Cuando la estrella está más

próxima + < 180º y cuando está más lejana, + > 180º. El astrónomo necesitaría mirar simplemente a estrellas

cada vez más distantes y medir + para ver cuándo la suma empieza a valer más de 180º. El mismo razonamiento es válido dentro de nuestro espacio tridimensional. No existe ninguna prueba deducida por observaciones de que

+ sea nunca mayor de 180º, cuando los astrónomos hacen estas medidas después de hacer la corrección apropiada por el movimiento del Sol respecto al centro de

nuestra galaxia. Valores de + menores de 180º se utilizan para determinar por triangulación las distancias de las estrellas próximas. Pueden observarse valores menores de 180º hasta unos 3 × 1020 cm3, que es el límite de los ángulos que pueden medirse con los telescopios actuales. No puede deducirse directamente a partir de este razonamiento que el radio de curvatura del espacio deba ser mayor que 3 × 1020 cm; para ciertos tipos de espacios curvos se necesitan otros argumentos. La respuesta que puede darse finalmente es que el radio de curvatura (según se determina por triangulación) debe ser mayor que 6 × 1019 cm. Al principio del Capítulo dijimos que se ha observado una longitud característica asociada con el universo, que tiene un valor del orden de 1028 cm o 1010 años luz. Este número corresponde, por ejemplo, a la distancia recorrida por la luz en un tiempo igual a la edad del universo4. La interpretación más sencilla de esta longitud es considerarla como el radio del

3 Puede hacerse la objeción de que las mismas mediciones de las distancias

suponen que es aplicable la geometría euclidiana. Se dispone, sin embargo, de otros métodos de apreciar distancias que se discuten en los textos modernos de astronomía. 4 Una evidencia de esto se menciona más adelante, en el ejemplo del Efecto

Doppler.




universo. Otra posible interpretación la señala como el radio de curvatura del espacio. ¿Cuál de ellas es? Esta es una cuestión cosmológica; en el libro de Bondi se da una excelente introducción a la ciencia especulativa de la cosmología. Resumamos nuestro conocimiento del radio de curvatura del espacio afirmando que no es menor de 1028 cm y que desconocemos si el espacio a escala mayor no será plano. Las observaciones precedentes apuntaban hacia el radio medio de curvatura del espacio y no son suficientemente sensibles para detectar las protuberancias que se cree existen en la proximidad inmediata de las estrellas individuales, y que contribuyen a una rugosidad local del espacio, por lo demás plano o ligeramente curvado. Los datos experimentales que soportan este punto de vista son muy difíciles de conseguir, incluso en la vecindad de nuestro Sol. Mediante cuidadosas y arduas observaciones de las estrellas visibles cerca del borde del Sol durante un eclipse solar ha quedado establecido que los rayos de luz se curvan ligeramente cuando pasan cerca del borde del Sol y, como consecuencia, cerca de cualquier estrella semejante de gran masa (véase Figs. 1.7 y 1.8). Para un rayo rasante el ángulo de desviación es muy pequeño, con un valor de 1,75’’ únicamente. Como el Sol se mueve a través del firmamento, las estrellas que están casi eclipsadas aparecerían desviadas ligeramente de sus posiciones normales, si pudiésemos verlas durante el día. Esta observación significa simplemente que la luz se mueve con una trayectoria curva cerca del Sol, pero en sí mismo no significa que la única interpretación sea que el espacio alrededor del Sol sea curvo. Sólo con mediciones exactas mediante reglas graduadas de diversos materiales cerca de la superficie del Sol podríamos establecer directamente que un espacio curvo es la descripción más natural. Otra clase de observaciones insiste también en la posibilidad de un espacio curvo. La órbita de Mercurio, el planeta más próximo al Sol, difiere ligeramente de la prevista por aplicación de las leyes de Newton de la gravitación universal y del movimiento, incluso después de haber incorporado a la órbita calculada pequeñas correcciones de la teoría de la relatividad restringida. ¿Podría esto ser un efecto del espacio curvado cerca del Sol? Para responder a esta pregunta deberíamos sabor cómo podría afectar una posible curvatura a las ecuaciones del movimiento de Mercurio, y esto implica algo más que simple geometría. Estos temas se discuten posteriormente. En una notable y hermosa serie de trabajos, Einstein [A. Einstein, Berl. Ber. 778, 799, 844 (1915); Ann. d. Phys 49, 769 (1915)] describió una teoría de la gravitación y de la geometría (la teoría general de la relatividad) que predecía, en acuerdo cuantitativo con las observaciones, precisamente los dos efectos descritos anteriormente. Hay todavía pocas confirmaciones cruciales de las predicciones geométricas de la teoría. A pesar de tan escasas pruebas, la esencial sencillez de la teoría general ha hecho que ésta sea ampliamente aceptada, aunque en los últimos años se han realizado considerables investigaciones en este campo.

Fig. 1.9 Fotografía de la corona solar con luz próxima al infrarrojo en

el eclipse solar de 7 de marzo de 1970, que registra la imagen de la estrella M de cuarta magnitud 0 de Acuario (justo por encima y a la

derecha de S), a unos 11 radios solares del Sol. Los semicírculos en las partes superior e inferior son marcas de la placa de presión. Inserta en el disco oscuro que oculta está la fotografía del eclipse de Gordon Newkirk,

utilizada para orientar esta foto.

Fig. 1.10 La desviación de la luz por el Sol fue predicha por Einstein

en 1915 y comprobada poco después mediante observaciones.

§ 4. Geometría a escala menor

A partir de mediciones astronómicas, llegamos a la conclusión de que la geometría euclidiana proporciona una descripción extraordinariamente buena de las medidas de longitudes, áreas y ángulos, al menos hasta que alcancemos las enormes longitudes de 1028 cm. Pero hasta ahora no se ha dicho nada sobre el empleo de la geometría euclidiana para describir configuraciones muy pequeñas comparables en tamaño a los 10-8 cm de un átomo o los 10-12 cm de un núcleo. La cuestión de la validez de la geometría euclidiana finalmente debe ser expresada como sigue: ¿Podemos dar sentido al mundo subatómico y desarrollar con éxito una teoría física para describirlo, manteniendo la suposición de que la geometría euclidiana es válida? Si esto es posible no hay ninguna razón en el momento actual para poner objeciones a la geometría euclidiana como una satisfactoria aproximación. Veremos cómo la teoría de los fenómenos atómicos y subatómicos no parece conducirnos a ninguna de las paradojas que han bloqueado su comprensión. Todavía quedan muchos hechos por entender pero ninguno parece encerrar contradicciones con la teoría. En este sentido la geometría euclidiana ha resistido el ensayo experimental hasta 10-13 cm por lo menos.




§ 5. Invariancia Podemos resumir algunas de las consecuencias de la validez experimental de la geometría euclidiana para el espacio vacío. La homogeneidad e isotropía del espacio euclidiano puede expresarse por dos principios de invariancia, que, a su vez, implican dos principios fundamentales de conservación. Invarimicia en la traslación. Queremos indicar con esto que el espacio vacío es homogéneo, es decir, no difiere de un punto a otro. Si alguna figura se mueve sin rotación, no hay cambio en su tamaño o propiedades geométricas. También suponemos que las propiedades físicas de un objeto, como su inercia o las fuerzas que existen entre sus partículas constituyentes, no cambian al desplazar el objeto a otra región del espacio vacío. Por ejemplo, la frecuencia natural de un diapasón o las líneas del espectro característico de un átomo no se alteran en tal desplazamiento. Invariancia en la rotación. Con la mayor precisión se sabe experimentalmente que el espacio es isótropo, de modo que todas las direcciones son equivalentes. Las propiedades geométricas y físicas quedan inalteradas ante la reorientación en dirección de un objeto en el espacio vacío. Es posible imaginar un espacio plano que no sea isótropo. Por ejemplo, la velocidad de la luz en una determinada dirección puede ser mayor que la velocidad en otra dirección perpendicular a la anterior. Sin embargo, no existe ninguna prueba de que esto ocurra en el espacio exterior. Dentro de un cristal, no obstante, pueden aparecer muchos efectos de anisotropía. En las regiones del espacio próximas a las estrellas de gran masa y otras fuentes intensas de gravitación, pueden observarse efectos que pueden interpretarse como ligeras discrepancias, de la homogeneidad e isotropía del espacio. (En la sección anterior hemos aludido a dos de estos efectos y hay otros.) La propiedad de la invariancia en la traslación lleva a la conservación de la cantidad de movimiento; la invariancia en la rotación comporta la conservación del momento cinético. La larga discusión precedente sobre geometría y física es un ejemplo de los tipos de cuestiones que los físicos inquieren sobre el carácter básico de nuestro universo. No obstante, no trataremos tales materias más allá de este nivel de nuestro estudio.

ACTIVIDADES

01. El Universo conocido. Utilizando la información dada en el texto, estimar las magnitudes siguientes:

a) La masa total en el Universo conocido.

Sol. 1056 g.

b) La densidad media de la materia en el Universo.

Sol. 10-29 g/cm3, equivalente a 10 átomos de hidrógeno por metro cúbico.

c) La relación entre el radio del Universo conocido y el del protón. (Tomar el radio del protón como 10-13 cm; masa del protón: 1,7 × 10-24 g.)

02. Señales que atraviesan un protón. Estimar el tiempo que necesita una señal moviéndose con la velocidad de la luz para recorrer una distancia igual al diámetro de un protón. Considerar el diámetro del protón igual a 2 × 10-

13 cm. (Este tiempo es un intervalo de referencia conveniente en la física de las partículas elementales y los núcleos.)

03. Distancia a Sirio. La paralaje de una estrella es la mitad del ángulo subtendido desde la estrella por las posiciones extremas de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. La paralaje de Sirio es 0,371’’. Encuéntrese su distancia a la Tierra en centímetros, años luz y parsecs. Un parsec es la distancia a una estrella cuya paralaje es 1 seg de arco.

Sol. 8,3 × 1018 cm; 8,8 años luz; 2,7 parsecs.

04. Tamaño de los átomos. Utilizando el valor del número de Avogadro dado en la tabla y un valor aproximado de la densidad media de los sólidos comunes, estimar el diámetro de un átomo medio, es decir, la dimensión del espacio cúbico que llena un átomo.

05. Ángulo subtendido por la Luna. Procurarse una regla dividida en milímetros y cuando las condiciones visuales sean favorables, inténtese la siguiente experiencia: Manténgase la regla con el brazo extendido y mídase el diámetro de la Luna. Mídase la distancia de la regla al ojo. (El radio de la órbita de la Luna es 3,8 × 1010 cm y el de la Luna misma 1,7 × 108 cm.)

a) Si se pudo llevar a cabo la experiencia, ¿cuál fue el resultado?

b) Si no se pudo hacer la medición, calcular el ángulo subtendido por la Luna desde la Tierra a partir de los datos anteriores. Sol. 9 × 10-3radianes.

c) ¿Cuál es el ángulo subtendido por la Tierra desde la Luna? Sol. 3,3 × 10-2 radianes.

06. Edad del Universo. Admitiendo el radio del Universo dado al principio del capítulo, determinar la edad del Universo a partir de la hipótesis de una estrella que, situada sobre el radio, ha viajado alejándose de nosotros desde el principio de los tiempos a la velocidad de 0,6c = 1,8 × 1010 cm/s (c = velocidad de la luz en el espacio libre).

Sol. 2 × 1010 años.

07. Ángulos en un triángulo esférico. Determinar el valor de la suma de los ángulos en el triángulo esférico indicado en la fig. 1.3, suponiendo que A está en el polo y a = radio de la esfera. A fin de determinar el ángulo de A, considerar cuál sería el valor de a para que el ángulo fuera 90'.




CAPÍTULO DOS: GENERALIDADES

§ 1. Definición de Dinámica

Se llama Dinámica o Mecánica Racional a una parte de la Mecánica Aplicada que estudia las leyes y principios que rigen el comportamiento cinemática y cinético de los sistemas de los sistemas mecánicos, quienes están solicitados por fuerzas externas capaces de producir determinado movimiento. La experiencia muestra que al analizar los movimientos de cuerpos dotados de pequeña velocidad (muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz igual a 3 × 1010 cm/s) puede considerarse que el tiempo no depende de las propiedades de los cuerpos y de sus movimientos (tiempo absoluto según Newton) En estas condiciones se puede suponer que tiene lugar un transcurso del tiempo único para los diferentes procesos y fe nomos, independientemente del carácter del fenómeno y de las propiedades de los cuerpos que participan en dicho fenómeno. Como lo muestran las investigaciones especiales, la duración de un mismo proceso referido a diferentes sistemas de referencia que se mueven unos respecto a otros, depende del movimiento relativo de dichos sistemas. Por consiguiente, para los movimientos de cuerpos con velocidades cualesquiera no hay un tiempo único para los diferentes sistemas de referencia (Teoría de la relatividad de Einstein). No obstante, esta diferencia es prácticamente insignificante a las velocidades de movimiento habituales y en los trabajos normales de la Ingeniería Civil que son suficientemente pequeñas en comparación con la velocidad de la luz.

§ 2. Un poco de Historia Al iniciar el estudio de la Dinámica conviene recordar las etapas principales de su Historia. El desarrollo de la Dinámica está ligado indisolublemente a la historia de la cultura humana. Las pirámides egipcias y otros restos de construcción en la antigüedad que se han conservado hasta nuestros días nos hacen suponer que los pueblos de la antigüedad poseían determinados conocimientos de las leyes fundamentales del equilibrio sin los cuales no habrían sido posibles tan grandiosas construcciones. El filósofo griego Aristóteles (384 – 322 a. C) en su obra “Física” resumió los conocimientos de los antiguos en el dominio de la Mecánica; pero la ley fundamental que relaciona la fuerza y el movimiento no fue enunciada correctamente por él. Lo que fue aclarado diecinueve siglos después. Estudia en la Academia de Platón (Atenas, 387 a. C). Funda el Liceo (Atenas, 335 a. C). Creía que las fuerzas producen movimiento uniforme y se da sólo por contacto, decía que el reposo es el estado natural de los cuerpos y que cuanto más pesados caen más rápido. Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a. C.) quien, entre otras cosas, estudió la teoría de la palanca, la idea del centro de gravedad de un cuerpo y métodos para calcularlo. Así mismo estableció el principio que lleva su nombre relativo a la fuerza de empuje ejercido sobre un cuerpo que flota en un fluido. También concibió algunas ideas del Cálculo Integral. Recientemente Netz y Noel en su libro “El Código de Arquímedes” (editorial Planeta – Julio de 2007) consideran a Arquímedes como el científico más grande que jamás haya

existido porque, según ellos “… la tradición científica europea es una serie de notas de pie de página sobre la Obra de Arquímedes…”

Aristóteles (384 – 322 a. C)

Arquímedes de Siracusa (287 – 212 a. C.)

Epitafio: Relación entre la superficie y volumen de esfera y cilindro.

Luego de un enorme vacío de más de mil quinientos años sin mayores aportes en este campo (el llamado Oscurantismo, caracterizado por un estancamiento casi total de las Ciencias, a excepción de los trabajos de Ptolomeo, Giordano Bruno, Nicolás Copérnico, entre otros), entre 1452 y 1519 aparecen los estudios de Leonardo de Vinci quien relacionó los momentos de estáticos con el equilibrio de los cuerpos. Se adelantó al trabajo de Galileo sobre el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. Con Galileo Galilei (1564 – 1642) aparece el tratamiento más coherente sobre la Mecánica Aplicada pues fue él quien enunció y verificó las leyes cinemáticas se la caída de los cuerpos. Descubrió la Ley de la Inercia que más tarde fue formulada por Newton. Observó que las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo siempre producen aceleraciones determinadas. Descubrió el paralelogramo del movimiento y obtuvo la trayectoria de un proyectil. Construyó el primer




telescopio y con él efectuó profundo descubrimientos astronómicos.

Galileo Galilei (1564 – 1642)

Aparecen las contribuciones de Johannes Kepler (1571 – 1642) quien de las observaciones de su maestro Tycho Brahe, descubrió las tres leyes empíricas del movimiento planetario y concibió la atracción gravitacional, análoga a la atracción magnética.

Johannes Kepler (1571 – 1642)

Fue Blais Pascal (1623 – 1662) quién aplicó el principio de las velocidades virtuales a la estática de los fluidos. Evolucionó las leyes de la presión de los líquidos (presión que se trasmite por igual y no disminuye en ningún punto del interior de un líquido, etc). Fue el primero en demostrar la variación de la presión atmosférica con la altura. Christian Huygens (1629 – 1695) es quien creó la teoría del centro de oscilación. Inventó el reloj de péndulo y su escape; mediante mediciones pendulares determinó el valor de la aceleración de la gravedad g. Creó la idea de fuerza centrífuga

y aceleración centrífuga, o sea

2vac

. Inventó el péndulo

cicloidal. Estableció entre la energía cinética y el trabajo. Luego aparece la obra magistral de uno de los más grandes Cerebros de toda la Historia: Sir Isaac Newton (1642 – 1726) quien en su obra Philosophiæ Naturalis Principa Mathematica publicada por primera vez en 1687 llegó a establecer las leyes fundamentales de la Dinámica. Descubrió las leyes de la gravitación universal. Formalmente enunció como axiomas las leyes del movimiento que sirven de base para describir el comportamiento dinámico de un sistema. Finalizó la idea de fuerza y masa, formuló el principio del

paralelogramo de fuerzas, estableció el principio de acción y reacción y sobre todo creó el Cálculo de las Flexiones (hoy Cálculo Diferencial) para estudiar más exactamente los problemas dinámicos.

Sir Isaac Newton (1642 – 1726)

Aparecen las contribuciones de Jacob Bernoulli (1634 – 1704) quien dedujo la ley del péndulo compuesto y el centro de oscilación a partir del principio de la palanca. Creó un proceso generalizado para resolver el problema de la braquistocrona (hoy Cálculo Variacional). Luego Jean Bernoulli (1637 – 1748) generalizó el principio de las velocidades virtuales. Contribuyó al principio de la conservación de la energía y resolvió el problema de la braquistocrona. Ven luz los trabajos de Manpertius (1698 – 1759) quien descubrió el trabajo realizado para llevar un sistema al equilibrio el cual puede ser máximo o mínimo. Estableció el principio de mínima acción, definiendo la acción como

recorridovelocidadmasaacción . Aunque esta

contribución resultó vaga, inspiró a Euler y Gauss para mejorar el formalismo de la Dinámica Clásica. Daniel Bernoulli (1700 – 1782) descubrió la ley de conservación de las áreas que es una generalización de la tercera ley de Kepler del movimiento planetario. Aplicó el principio de la fuerza viva al movimiento de los fluidos. Ideó un método para determinar la salida de un líquido por un orificio. Introdujo el principio de superposición de vibraciones y enunció una teoría cinética rudimentaria de la presión de un gas.

Jacob Bernoulli (1634 – 1704)




Jean Bernoulli (1637 – 1748)

Daniel Bernoulli (1700 – 1782)

Un superhombre, Leonard Euler (1707 – 1783), introdujo el llamado momento de inercia a través de

M

dmI 2 .

Contribuyó al Cálculo Variacional. Introdujo las integrales que llevan su nombre en la dinámica del cuerpo rígido.

Leonard Euler (1707 – 1783)

Clairaut (1713 – 1765) aplicó la teoría del potencial al equilibrio de los fluidos. Desde este punto de vista discutió la forma de la Tierra. Jean le Ron D’Alambert (1717 – 1783) aplicó el principio del trabajo virtual a la resolución de los problemas de la dinámica. Hoy día éste es el punto de partida para establecer las ecuaciones del movimiento.

Jean le Ron D’Alambert (1717 – 1783)

Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813) sistematizó tanto la Estática como la Dinámica para reducir la Ciencia a una operación tan formal como fuese posible. Sin embrago, su forma analítica de aproximación se opone a la aproximación geométrica de Newton. Dedujo las famosas ecuaciones lagrangianas que se deducen de los conceptos de energía. Por esta razón se considera a Lagrange como el creador de la Mecánica Analítica. Pierre Simón Laplace (1749 – 1827) aplicó los conceptos de Newton al estudio de planetas y satélites. Su trabajo en Dinámica Celeste es definitivo, pues demostró la estabilidad del Sistema Solar. Es Gauss (1777 y 1855), creó el principio de la mínima restricción. Contribuyó a la teoría del equilibrio de las superficies de los líquidos. Evolucionó los métodos para el cálculo de las órbitas que todavía de utilizan.

Joseph – Louis Lagrange (1736 – 1813)

Poisson (1781 – 1840) introdujo el método variación de parámetros y la solución de problemas dinámicos. Discutió la estabilidad de órbitas planetarias y estudió la dinámica de los cuerpos elástico – mecánicos. Coriolis (1792 – 1843) dio su nombre a la pseudo fuerza

vmFc

2 que aparece como consecuencia del

movimiento roto – trasnacional terrestre. Aplicó el nombre de trabajo al producto de la fuerza por la distancia y denotó la

fuerza viva por la ecuación 2

2mvEk .




Jacobi (1804 – 1865) contribuyó al principio de mínima acción

demostrando que vds tiene un valor estacionario para la

trayectoria dinámica, no necesariamente máximo o mínimo. Introdujo la función de sustitución y de este modo contribuyó a la solución de la ecuación diferencial parcial de Hamilton – Jacobi. William Rowan Hamilton (1805 – 1865) introdujo el concepto de función ferey, o sea, la energía potencial sin signo negativo. Ideó una integral equivalente al principio de

D’alambert que es 0dtUT . Introdujo el concepto de

hodógrafa. Contribuyó a la ecuación hamiltoniana del movimiento utilizada en Dinámica Analítica. Ernest Mach (1838 – 1916) analizó exhaustivamente los fundamentos axiomáticos y filosóficos de los conceptos de la Dinámica, tales como la masa y fuerza. Criticó y sistematizó la ciencia de la Dinámica tal como hoy se conoce. Hertz (1857 – 1864) criticó los fundamentos de la Dinámica Newtoniana. Formuló un sistema sin fuerzas en que solamente se aceptaban los conceptos de tiempo, espacio y masa. Su principal punto de partida fue la ley de la inercia y el principio de mínima restricción.

William Rowan Hamilton (1805 – 1865

Poincaré (1864 y 1912) creó la Teoría de las Invariantes Integrales y las ecuaciones diferenciales aplicables a la Mecánica Celeste. Introdujo métodos topológicos en el estudio de órbitas periódicas. Contribuyó al estudio del problema de los cuerpos, a la estabilidad de los movimientos periódicos y a la estabilidad de los fluidos que giran. Una de las Mentes más brillantes que haya dado la Humanidad, Albert Einstein (1879 – 1955), en su Teoría de la Relatividad Especial y Teoría de la Relatividad Generalizada introdujo nuevos conceptos de Espacio y Tiempo, la masa variable dependiente de la velocidad y el tiempo variable dependiente del origen de referencia. En 1950 aparecen contribuciones diversas sobre la generalización de la Mecánica Racional a través de sistemas mecánicos. Desde el año 1960 Holtzer y Ostodola – Viarcela logran formular la Dinámica de Vibración, que es el sustento de la Dinámica Estructural. Finalmente por el año de 1968 aparecen los estudios de Nenemork quien ha logrado refinar el tratamiento final de la Dinámica para su aplicación posterior de la Dinámica en la Ingeniería fundamentalmente en el diseño sismo –

estructural. A partir de entonces es casi imposible continuar con el seguimiento de los avances en estudios de la Dinámica por ser muchos los investigadores de todo el mundo que publican sus trabajos en miles de revistas científicas, sólo estaremos atentos a los más importantes.

Albert Einstein (1879 – 1955)

Mecánica como modelo matemático

Sistemas de referencia en la mecánica clásica Espacio:

Constante

Homogéneo

Isótropo

Tiempo:

Homogéneo

Fluye constantemente en un solo sentido

Simultaneidad absoluta

Conceptos de masa y fuerza Masa:

Masa inercial: constante de cada cuerpo proporcional a su variación de velocidad para fuerza dada.

Según PRINCIPIA, definido por densidad y volumen ¿?

Masa gravitatoria: origina fuerza de gravedad. En mecánica clásica, igual valor que masa inercial.

Fuerzas

Fuerza: causa que provoca cambio de cantidad de movimiento

Según PRINCIPIA, definición circular: def. IV ley I

Tipos de fuerzas (¿centrales?)




Gravitatorias (¿acción a distancia? ondas gravitatorias – gravitones).

Electromagnéticas (no centrales, dependen de v; fotones).

Nucleares fuertes (unen núcleo atómico – gluones).

Nucleares débiles (desintegración nuclear – bosones).

Teorías de la mecánica Según modelos matemáticos

Mecánica clásica.

Mecánica relativista (velocidades próximas a la de la luz, campos gravitatorios muy intensos).

Mecánica cuántica (acciones comparables a la

constante de Planck, Et h).

Según aplicaciones

Mecánica de medios continuos (solidos y fluidos).

Mecánica estructural.

Mecánica celeste.

Dinámica de sistemas complejos (caos)

Biomecánica . . .

Algo de Elementos Finitos Elementos finitos en elasticidad lineal: fémur estándar

Elementos finitos en elasticidad lineal: fémur estándar

Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda

ACTIVIDADES El sentido literal de la frase “hors d’oeuvre” es “fuera del trabajo”. Los ejercicios siguientes corresponden exactamente a esta definición, aunque se espera que ellos abrirán el apetito como los hors d’oeuvres. Tratan principalmente de la estimación de órdenes de magnitud (por ejemplo, apreciaciones hasta la más próxima potencia de diez) y aproximaciones juiciosas, cosas que juegan un papel importante en una introducción del ingeniero a problemas que rara vez son destacados o sistemáticamente en los libros de texto. Por ejemplo, todo el mundo conoce el Teorema del Binomio pero ¿Cuántos lo consideran una herramienta realmente útil para obtener un valor bastante bueno de la hipotenusa de un triángulo rectángulo por la aproximación:

2

2

2

12222

21

a

bababa

donde se considera que a > b? (Aún en el peor caso posible a = b, el resultado es malo sólo en un 6 %, pues da 1,5 en lugar de 1,4142). Por otra parte practique y haga un esfuerzo consiente para desarrollar el hábito de asignar, muy crudamente, el tamaño de las cantidades y la importancia relativa de varios posibles efectos en un sistema físico. Por ejemplo, tratándose con objetos que se mueven a través de líquidos ¿puede uno rápidamente decidir si la viscosidad o la turbulencia son las principales fuentes de resistencia para un objeto de velocidad dada y de dimensiones lineales? Una persona consciente de los cambios de escala puede dar valores acordes con las propiedades del sistema. Por el uso de tales métodos de reflexión uno puede profundizar en la apreciación de los fenómenos físicos y puede probar su sensibilidad para comprender cómo se comporta el mundo. Es sorprendente cuánto puede hacer uno con la ayuda de una cantidad relativamente pequeña de información primaria, que puede incluir puntos tales como los siguientes:

Magnitudes Físicas Aceleración de la gravedad (g) 10 m/s2

Densidad de sólidos y líquidos 103 - 104 kg/m3

Densidad del aire a nivel del suelo 1 kg/m3 Duración del día 105 s (Aprox.)

Duración del año 3,16×107 s 107,5 s

Radio de la Tierra 6400 km

Ángulo subtendido por el ancho de 1º (Aprox.)




un dedo con el brazo extendido Grosor del papel 0,1 mm (Aprox.)

Masa de un sujetapapeles 0,5 g (Aprox.)

Montañas más altas y profundidades de

los océanos

10 km (Aprox.)

Distancia Tierra – Luna 3,8×105 km

Distancia Tierra – Sol 1,5×108 km

Presión atmosférica 1 kg/cm2 o el peso de una columna de

agua de 10 m

Número de Avogadro 6,0×1023

Masas atómicas 1,6×10-27 kg – 4,0×10-25 kg

Dimensiones longitudinales de los átomos

10-10 m

Moléculas / cm3en gas en C. N. 2,7×1019

Átomos / cm3en sólidos 1023 (Aprox.) Carga elemental (e) 1,6×10-19 C

Masa del electrón 10-30 kg (Aprox.) Velocidad de la luz 3,0×108 m/s

Longitud de onda de la luz 6,0×10-7 m (Aprox.)

Magnitudes Matemáticas

3,14 Log 2 0,30

e 2,72 Log e 0,43

2 10 Log 3 0,48

Log 0,50 Ln 10 2,30

radio

arcodelLongitudradianesÁngulo

)(

Círculo completo = 2 rad

1 rad 0,16 círculo completo 57º

2 rea

)( sólido radio

ádianesestereorraÁngulo

Esfera completa = 4 sr

1 sr 0,08 esfera completa

Aproximaciones

2

1

2

1

3

12

111

311

11

1

xxx

xx

nxx

xPara

n

a

nba

a

babaabPara n

n

nn11

12

1

61 2

3

Cos

SenPara

xxLog

xxLnxPara

43,01

11

No se da la respuesta de los problemas que siguen. Para muchos de ellos usted será el mejor juez. Puede, si lo prefiere, consultar una enciclopedia o Internet y buscar algunas de sus consideraciones y conclusiones. Si no está preparado para algún problema no se preocupe, puede regresar a él más tarde.

01. ¿Cuál es el orden de magnitud del número de veces que la Tierra ha girado sobre su eje desde que el sistema solar se formó?

02. Durante la vida de un hombre ¿Cuántas veces late su corazón? y ¿Cuántas veces respira?

03. Hacer consideraciones razonadas de:

a) El número total de antepasados que usted puede tener (ignorando la descendencia) desde el principio de la raza humana.

b) El número de cabellos en su cabeza.

04. La población actual del mundo es aproximadamente 7×109 a. ¿Cuántos kilómetros cuadrados de tierra hay por persona? b. ¿Cuántos metros de longitud tiene el lado del cuadrado de

esta área? c. Si se considera que la población se ha duplicado cada 50

años a través de la existencia de la raza humana ¿Cuándo aparecieron Adán y Eva?

d. Si la población sigue duplicándose cada 50 años ¿Cuánto tiempo debe pasar para que la gente esté de pie hombro con hombro sobre toda la superficie terrestre?

05. Calcular el orden de magnitud de la masa de:

a) Una mota de polvo

b) Un grano de sal (o azúcar o arena).

c) Un ratón.

d) Un elefante.

e) El agua correspondiente a un centímetro de lluvia sobre un kilómetro cuadrado.

f) La colina de Santa Apolonia.

g) El monte Everest.

06. Calcular el orden de magnitud del número de átomos en:

a) Una cabeza de alfiler.

b) Un cuerpo humano.

c) La atmósfera de la Tierra.

d) La Tierra.

07. Calcular la fracción de la masa total de la Tierra que está ahora en forma de cuerpos vivos.

08. Calcular aproximadamente:

a) El volumen total del agua de los océanos sobre la Tierra.

b) La masa total de sal de los océanos de la Tierra.

09. Se considera que hay aproximadamente 1080 protones en el universo (conocido). Si todos ellos fueran introducidos en una esfera tal que la llenasen completamente ¿Cuál sería el radio de esta esfera? Desprecie al espacio que queda libre




cuando objetos esféricos están empaquetados y considere que el radio de un protón es aproximadamente 10-15 m.

10. El Sol está perdiendo masa (en forma de energía radiante) al ritmo de 4 millones de toneladas por segundo. ¿Qué fracción de su masa ha perdido en la vida del sistema solar?

11. Calcule el tiempo en minutos que necesitaría la audiencia de un teatro, de aproximadamente 1000 personas, en consumir el 10 % del oxígeno disponible, si el edificio fuese cerrado. La cantidad absorbida por un adulto es aproximadamente la sexta parte del oxígeno que él o ella inhalan en cada inspiración.

12. La energía solar llega a la Tierra aproximadamente a razón de 2 calorías por cm2 por minuto. Calcular la cantidad de potencia, en megawats o en caballos de vapor, que supone la energía solar que llega sobre un área de 100 km2, y sobre el área de la ciudad de Cajamarca ¿Qué relación tiene esta potencia total necesitada por la ciudad? (1 caloría = 4,2 J; 1 W = 1 J/s; 1 CV = 746 W)

13. Partiendo de la estimación del recorrido total que un neumático de automóvil efectuará antes de consumirse totalmente, calcular qué grosor de caucho se desgasta durante una vuelta de la rueda. Considerar el posible significado físico del resultado.

14. Un reloj de pulsera barato se considera que atrasa dos minutos por día.

a) ¿Cuál es su desviación fraccional de la medida correcta?

b) ¿Cuánto podría diferir una regla de 30 cm y ser aún parcialmente tan segura como el reloj?

15. El astrónomo Tycho Brahe hizo observaciones de las posiciones angulares de las estrellas y los planetas, utilizando un cuadrante, con un visor sobre su centro de curvatura y otro visor montado sobre el arco. Tal cuadrante tenía aproximadamente 2 m y las medidas de Tycho Brahe pueden considerarse con un error de un minuto de arco ¿Qué diámetro habrían necesitado tener los agujeros para tener esa precisión?

16. Júpiter tiene una masa de aproximadamente 300 veces la de la Tierra, pero su densidad es sólo alrededor de la quinta parte de ésta.

a) ¿Qué radio debería tener un planeta de la masa de Júpiter y de la densidad de la Tierra?

b) ¿Qué radio debería tener un planeta de la masa de Tierra y de la densidad de Júpiter?

17. Esferas idénticas de material son empaquetadas unas junto a otras en un volumen dado.

a) Considerar por qué no es necesario conocer el radio de las esferas, sino sólo la densidad del material, para calcular la masa total contenida en el volumen, sabiendo que las dimensiones lineales del volumen son grandes comparadas con el radio de cada una de las esferas.

b) Considerar la posibilidad de empaquetar más material si son escogidos y utilizados dos tamaños de esferas.

c) Demostrar que el área total de la superficie de las esferas de la parte (a) debe depender del radio de las esferas (una

consideración importante en el diseño de cosas tales como filtros que absorban en proporción a la superficie total expuesta en un volumen dado).

18. Calcular la relación entre el área de la superficie y el volumen para:

a) Una esfera de radio r.

b) Un cubo de lado a.

c) Un cilindro circular recto de diámetro y alturas iguales a d. Para un valor dado del volumen ¿Cuál de estas figuras tiene una

superficie mayor? y ¿Cuál la superficie mínima?

19. ¿Cuántos segundos de arco mide el diámetro de la tierra subtendido desde el Sol? ¿A qué distancia desde un observador debe estar colocado un botón para subtender un ángulo igual?

20. Desde que la parte inferior del limbo del Sol alcanza el horizonte necesita unos dos minutos para desaparecer.

a) Aproximadamente ¿Qué ángulo (expresado en grados y radianes) mide el diámetro del Sol subtendido desde la Tierra?

b) ¿A qué distancia de su ojo puede estar una moneda de unos 20 mm de diámetro para tapar el disco del Sol?

c) ¿Qué ángulo sólido (en estereorradianes) subtiende el Sol desde la Tierra?

21. ¿Cuántos centímetros por kilómetro se desvía un círculo terrestre máximo (por ejemplo el meridiano que pasa por Cajamarca) de una línea recta?

22. Una medida imperfecta de la rugosidad de una superficie, aproximadamente esférica, puede venir definida por

,

donde es la altura o la profundidad de las irregularidades locales. Calcular esta relación para:

i. Una bola de ping pong. ii. Una naranja. iii. La Tierra.

23. ¿Cuál es la probabilidad (expresada como acierto en 10n) de que un meteorito cayendo sobre la Tierra vaya a caer sobre una edificación? y ¿Sobre una persona?

24. Dos estudiantes quieren medir la velocidad del sonido por el siguiente procedimiento. Uno de ellos colocado a alguna distancia frente al otro, hace estallar un petardo. El segundo estudiante pone en marcha un cronómetro cuando ve la llama y lo para cuando escucha el sonido. La velocidad del sonido en el aire es de unos 300 m/s y los estudiantes deben admitir la posibilidad de un error (de signo indeterminado) de aproximadamente 0,3 s en el tiempo medido. Si ellos quieren obtener el error de la medida de la velocidad del sonido menor del 5 % ¿Cuál es la mínima distancia sobre la que deben realizar el experimento?

25. Los catetos de un triángulo rectángulo son respectivamente 5 y 1 m. Calcular la longitud de la hipotenusa a partir del desarrollo del binomio con dos término solamente y calcular el error fraccional del resultado del resultado aproximado.




26. El radio de una esfera se mide con una incertidumbre del 1 % ¿Cuál es el porcentaje de error en el volumen? ¿Y en la superficie?

27. Construir una hoja de papel semilogarítmico (puede construirlo empleando la opción de escalas de EXCEL) y

grafique las funciones xxf 2 , xLogxf , x

xf1

28. Las sensaciones subjetivas de sonoridad o de brillo se han considerado que son aproximadamente proporcionales al logaritmo de la intensidad, de tal forma que múltiplos iguales de la intensidad se relacionan con incrementos, aritméticos iguales, de la sensación. (Por ejemplo intensidades proporcionales a 2, 4, 8 y 16 deben corresponder a incrementos iguales de la sensación.) En Acústica, esto ha conducido a las medidas de las intensidades del sonido en decibeles. Tomando como valor de referencia la intensidad I0 del mínimo sonido audible, el nivel en decibeles de un sonido de intensidad I se define por la ecuación:

0

10I

ILogdB

a) Un nivel de ruido intolerable, viene representado aproximadamente por 120 decibeles ¿Cuántas veces debe ser mayor la intensidad de este sonido que la intensidad umbral I0?

b) Una escala logarítmica similar se utiliza para describir el brillo relativo de las estrellas (tal como se ve desde la Tierra), en términos de magnitudes. Las estrellas que difieren en “una magnitud”, tienen una relación de brillo aparente de 2,5. Así una estrella de “primera magnitud” (muy brillante) es 2,5 veces más brillante que una de “segunda magnitud”, 2,52 más brillante que una de “tercera magnitud”, y así sucesivamente. (Estas diferencias son debidas son debidas, sobre todo, a las diferencias de distancias) Las estrellas más débiles detectables con el telescopio de 200 pulgadas de Monte Palomar, son aproximadamente de magnitud 24. ¿Cuántas veces es menor la cantidad de luz que recibimos de estas estrellas que la recibida de una estrella de primera magnitud?

29. El universo está experimentando una expansión general en la cual las galaxias se están alejando de nosotros a velocidades proporcionales a su distancia. Esto está

descrito por la ley de Hubble, v donde la constante

corresponde a la velocidad v haciéndose igual a la velocidad

de la luz c = 3×108 m/s, si 1026 m, esto implica que la masa media por unidad de volumen en el universo está disminuyendo con el tiempo.

a) Considerar que e universo está representado por una esfera de volumen V en cualquier instante. Demostrar que el incremento fraccional de volumen por unidad de tiempo está dado por:

31

dt

dV

V

b) Calcular la disminución fraccional de la densidad media por segundo y por siglo.

30. La tabla relaciona los radios medios de las órbitas de los sucesivos planetas expresados en función del radio de la órbita de la Tierra. Los planetas están numerados en orden (n):

n Planeta

Tr

r

1 Mercurio 0,39 2 Venus 0,72 3 Tierra 1,00 4 Marte 1,52 5 Júpiter 5,20 6 Saturno 9,54 7 Urano 19,2

a) Hacer una gráfica en la cual el

Tr

rLog está en ordenadas

y el número n en abscisas (o bien representar los valores

de

Tr

r en función de n en papel semilogarítmico). En esta

misma gráfica volver a señalas los puntos para Júpiter, Saturno y Urano para valores de n de unidad en unidad. (Por ejemplo para n = 6, 7 y 8) Los puntos representando los siete planetas están aproximadamente sobre una línea recta.

b) Si en la gráfica anterior se considera que para n = 5, representa al asteroide que se mueve entre las órbitas de

Marte y Júpiter, ¿Qué valor de

Tr

r debe dar la gráfica para

éste? Comparar con el actual radio medio de la zona de este asteroide.

c) Si se hace n = 9 para indicar el radio de la órbita del siguiente planeta (Neptuno más allá de Urano), ¿Qué valor

de

Tr

r se obtiene en la gráfica? Compare con el valor

observado.

d) Considere si en los resultados (b) y (c), nuestra gráfica puede considerarse como la expresión de una ley física con valores previsibles. (Históricamente fue utilizado).




CAPÍTULO TRES: REPASO DE FÍSICA

3.1 Introducción. Los adelantos de la ciencia han provocado muchos cambios en el mundo. Por ejemplo, desde Aristóteles en el 350 AC y hasta hace 500 años se creía que la Tierra era plana y que estaba en el centro del universo, hace 70 años no se conocía la televisión, los aviones jet ni la forma de prevenir las picaduras dentales, hace pocos años se descubrió la clonación de seres vivos, recientemente se descifró el código del genoma humano (dicen que Dios esta hecho un diablo por esto). La ciencia no es nueva, data de la prehistoria. El ser humano ha estado sobre la Tierra desde hace 100 mil años y desde entonces ha empezado a hacer ciencia. Por ejemplo en el comienzo se descubrieron las primeras regularidades y relaciones en la naturaleza. Una de las regularidades era la forma de los patrones de las estrellas que aparecían en el cielo nocturno. Otra evidente era el ciclo del clima a lo largo del año, distinguiéndose claramente el comienzo de la temporada de lluvias o la de calor. La gente aprendió a usar estos ciclos para hacer predicciones y surgieron los primeros pronósticos del tiempo. De este modo fueron aprendiendo más y más acerca del comportamiento de la naturaleza. Todos estos conocimientos forman parte de la ciencia, pero la parte principal esta formada por los métodos que se usan para adquirir esos conocimientos. La ciencia es una actividad humana, formada por un conjunto de conocimientos. La ciencia es el equivalente contemporáneo de lo que se llamaba filosofía natural. La filosofía natural era el estudio de las preguntas acerca de la naturaleza que aún no tenían respuesta. A medida que se iban encontrando esas respuestas, pasaban a formar parte de lo que hoy llamamos ciencia. La ciencia hizo sus mayores progresos en el siglo XVI, cuando se descubrió que era posible describir la naturaleza por medio de las matemáticas. Cuando se expresan las ideas de la ciencia en términos matemáticos no hay ambigüedad, es más fácil verificarlos o refutarlos por medio del experimento. La ciencia contemporánea se divide en el estudio de los seres vivos y en el estudio de los objetos sin vida, es decir, en ciencias de la vida y en ciencias físicas. Las ciencias de la vida se dividen en áreas como la biología, zoología y la botánica. Las ciencias físicas se dividen en áreas como la física, geología, astronomía y química. La física es más que una rama de las ciencias físicas: es la más fundamental de las ciencias. Estudia la naturaleza de realidades básicas como el movimiento, las fuerzas, energía, materia, calor, sonido, luz y el interior de los átomos. La química estudia la manera en que esta integrada la materia, la manera en que los átomos se combinan para formar moléculas y la manera en que las moléculas se combinan para formar los diversos tipos de materia que nos rodea. La biología es aún más compleja, pues trata de la materia viva. Así, tras la biología esta la química y tras la química esta la física. Las ideas de la física se extienden a estas ciencias más complicadas, por eso la física es la más fundamental de las ciencias. Podemos entender mejor la ciencia en general si antes entendemos algo de física ¡es lo que vamos a prender en este curso!

El entender la naturaleza se busca por diferentes formas: la ciencia, el arte, la religión, cuyos orígenes datan de miles de años. Estas formas son distintas, pero sus dominios se traslapan. La ciencia investiga los fenómenos naturales y el arte es la creación de los objetos o eventos que estimulan los sentidos, pero ambas son comparables debido a que son esfuerzos que muestran como son las cosas y cuales son posibles. Por otra parte, los objetivos de la ciencia y la religión son diferentes, ya que esta última se ocupa del propósito de la naturaleza. Las creencias y ceremonias religiosas generan convivencia humana, sin ocuparse directamente de los métodos de la ciencia. En este sentido son diferentes, como las manzanas con las peras, pero no se contradicen, son complementarias, de manera que no es necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar ambas, entendiendo que tratan aspectos distintos de la experiencia humana. Una persona realmente culta posee conocimientos tanto de la religión, como del arte y de la ciencia. En este capítulo se da una breve explicación de algunas definiciones de conceptos usados en el curso. Se hace una descripción de los sistemas de unidades de medida, de las magnitudes físicas fundamentales y derivadas, se definen los múltiplos, submúltiplos y los prefijos. Se hace notar la necesidad de expresar los valores numéricos de las magnitudes en ciencias en notación científica, se explica como expresar los valores numéricos dando sólo su orden de magnitud o haciendo una estimación de su valor. Se dan reglas de análisis dimensional, lo que proporciona un método para determinar la forma funcional de las leyes físicas y permite verificar si está bien planteada. Se definen los sistemas de referencias y de coordenadas y finalmente se hace un breve repaso del álgebra vectorial y se presentan algunos ejemplos básicos.

Fig. 3.1 Imagen de satélite modificada de la Tierra.

La figura 3.1 tal vez la conozcan: es una imagen de nuestra Tierra, sobre la cual haremos la mayoría de las aplicaciones de este curso. Los colores sobre los océanos representan los valores de la temperatura de la superficie del mar, siendo mayores los tonos en rojo y menores los tonos en azul. En la imagen se observa claramente la presencia del fenómeno de El Niño en el Pacifico sur. Se representa también un esquema de las nubes en la atmósfera con tonos de color gris claro. En el Perú se observa un frente ubicado entre la novena y décima regiones. Este es nuestro planeta, al que le estamos dando un muy mal trato, con todos los desperdicios y contaminantes que estamos arrojando a los ríos, lagos, océanos, tierra y atmósfera. No olvidemos que los recursos de nuestra Tierra son finitos y no renovables, por lo que a




nosotros nos corresponde cuidar estos recursos, para dejarlos de la mejor forma a las futuras generaciones, que también querrán vivir en un ambiente limpio. Las mediciones ya indican que la humanidad está consumiendo los recursos de la Tierra más rápidamente de lo que esta es capaz de renovarlos, por lo que es clara la tendencia a que los recursos naturales se agoten. Lo peor de todo es que la distribución de los recursos no es equitativa, ya que una minoría de empresas y países mas ricos se enriquecen más y la mayor parte de la población mundial se empobrece mas, incluyendo un importante porcentaje de la población que nada tiene. Lo más que podemos hacer nosotros como profesionales y habitantes de la Tierra, es crear conciencia para no seguir dañando nuestro ambiente, que nos permite la vida. Evitemos que el ser humano evolucione rápidamente a una nueva especie, que se podría llamar Homo Furioso, que al final de este siglo se pregunte “¿en qué pensarían esos prehistóricos Homo Sapiens de principios de siglo que nos dejaron el planeta en estas lamentables condiciones?”

3.2 Definiciones. En esta sección se dan las definiciones de algunos términos usados en ciencias y de temas relacionados, que usaremos durante el curso, sin pretender profundizar en el contenido teórico del concepto definido.

Física: Es una ciencia fundamental que estudia y describe el

comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el menor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lenguaje matemático, por lo que para entender sin inconvenientes el tratamiento del formalismo teórico de los fenómenos físicos se debe tener una apropiada formación en matemáticas, en este curso basta un nivel básico de matemáticas.

Teoría científica: Síntesis de una gran cantidad de información que abarca diversas hipótesis probadas y verificables de ciertos aspectos del mundo natural. Ningún experimento resulta aceptable a menos que sea reproducible, es decir que produzca un resultado idéntico independientemente de cuando, donde y por quien sea realizado. Los resultados de los distintos experimentos se reúnen para formar una teoría. Una teoría es la síntesis de todas las observaciones realizadas en los experimentos, que debería hacer posible predecir el resultado de nuevos experimentos antes de que se realicen. Pero no se debe esperar que una teoría explique ciertos fenómenos de una vez por todas, sino más bien los coordine dentro de un conjunto sistemático de conocimientos. La validez de una teoría puede probarse únicamente con el experimento. Una teoría científica no debe contener elemento alguno metafísico o mitológico, se deben eliminar los mitos y prejuicios. Hoy en día se debe tener especial cuidado, puesto que nuestros mitos contemporáneos gustan de ataviarse con ropajes científicos, pretendiendo con ello alcanzar gran respetabilidad. Los charlatanes siempre buscan mencionar el nombre de algún gran científico en un intento por hacer creíbles sus charlatanerías.

Mecánica. Es una rama de la física. Su objetivo es describir

(con la cinemática) y explicar (con la dinámica) el movimiento de los cuerpos.

Cinemática. Describe el movimiento de los cuerpos sin preocuparse de las causas que lo producen.

Dinámica. Describe el movimiento de los cuerpos

considerando las causas que lo producen, y las causas del movimiento son las fuerzas.

Hipótesis: Suposición bien fundamentada, considerada como un hecho cuando se demuestra experimentalmente.

Hecho: Acuerdo entre observadores competentes sobre una

serie de observaciones de un fenómeno particular.

Ley: Comprobación de una hipótesis sin ninguna contradicción. Una ley física se considera como tal cuando todos los experimentos obedecen esa ley, si en algún caso no se cumple, deja de ser ley física. ¿Son las leyes terrestres válidas en todo el Universo? Hay que usarlas y después evaluar su resultado. No se debe pretender buscar una nueva ley para explicar algún fenómeno en el cual las leyes ya existentes no parecen encajar satisfactoriamente, porque esto conduce al caos lógico. Aunque se debe estar dispuesto a aceptar nuevas leyes naturales si su adopción demuestra ser necesaria.

Ciencia: Método para dar respuestas a preguntas teóricas.

La ciencia descubre hechos y formula teorías.

Tecnología: Método para resolver problemas prácticos, usa técnicas y procedimientos para aplicar los descubrimientos de la ciencia.

Modelo: Concepto introducido por los científicos para

ayudarse a visualizar posibles procesos dentro de un sistema físico. Un modelo se usa para representar la realidad física y debe tener en cuenta dos aspectos conflictivos entre sí: a) Tiene que ser lo bastante simple para como para ser elaborado con métodos matemáticamente rigurosos b) Debe ser realista para que los resultados obtenidos sean aplicables al problema considerado. La sencillez del modelo, su belleza matemática, es incompatible con la fidelidad al problema real. Lo bello raramente es fiel y lo fiel raramente es bello.

Matemáticas: Es el lenguaje de las ciencias, es lo que establece una conexión entre la teoría y el experimento. Las leyes Físicas se expresan en lenguaje matemático, en general de nivel muy avanzado.

Religión: Se ocupa del propósito de la naturaleza, no se preocupa por usar los métodos de la ciencia, tiene que ver con la Fe y la adoración de un ser supremo, que es Dios. Ciencia y religión no son contradictorias, son complementarias. No es necesario elegir entre ambas, se pueden adoptar las dos.




3.3 El Método Científico. El método científico es un método efectivo para adquirir, organizar y aplicar nuevos conocimientos. Su principal fundador fue Galileo (1564 - 1642). Se basa en la formulación de hipótesis y en la recopilación de pruebas objetivas que traten de probar la veracidad de tales hipótesis establecidas previamente. El método científico puede dividirse a grandes rasgos en varios pasos:

a) Observar el medio natural.

b) Hacerse una pregunta sobre el comportamiento del medio.

c) Formular una hipótesis y derivar de ella predicciones que puedan ser demostradas.

d) Planear un experimento que pueda verificar esa hipótesis.

e) Analizar los datos obtenidos de ese experimento. Si los datos coinciden con las derivaciones de la hipótesis, se podrá decir que ésta funciona y es válida en ese contexto.

f) A partir de esa hipótesis demostrada, elaborar una Teoría.

g) Nuevamente acudir a la Naturaleza para contrastarla.

h) Si la Teoría se cumple y demuestra, a partir de ella se formulará una Ley, que tratará de describir el fenómeno.

Antes de Galileo, la mayor parte de los experimentos no seguían este orden de pensamiento, sino que se basaban en la observación del medio y emisión de teorías, sin mayor comprobación posterior de éstas. La novedad que trajo consigo el método científico fue que se trabajaba con hipótesis que debían ser demostradas. Todo ello supuso un gran avance para la física como ciencia, puesto que se empezó a observar la naturaleza y a afirmar expresiones, hoy en día tan comunes como “parece que va a llover”. Este método no siempre ha sido la clave de los descubrimientos, en muchos casos gran parte del progreso de la ciencia se ha debido a resultados obtenidos por error o por casualidad.

3.4 Sistemas de magnitudes y unidades. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud. Una medición se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indirecta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Las leyes Físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecánica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se

dan en la tabla 3.1. Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y segundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo, y el sistema inglés de ingeniería, que es extremadamente confuso, por lo que no lo usaremos en este curso. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias. La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales se da a continuación.

Tabla 3.1. Unidades de medida de las magnitudes físicas

fundamentales en mecánica.

Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longitud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s.

Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192 631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una precisión de una parte en 1012, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años.

Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Francia. Este patrón es confiable porque dicha aleación es muy estable. Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores suman siete en total, están indicadas en la tabla 3.2. En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magnitudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas fundamentales. Por ejemplo:

área = longitud por longitud, se mide en m2 aceleración = longitud/tiempo al cuadrado, se mide en m/s2

fuerza = masa por aceleración, se mide en Newton, N = kg m/s2 densidad = masa/volumen, se mide en kg/m3, etc.

Tabla 3.2. Unidades de medida de las magnitudes físicas

fundamentales.

3.5 Múltiplos, submúltiplos y prefijos. Teniendo en cuenta que la Física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes. Por ejemplo, para comprender el origen del Universo, a los astrofísicos y cosmólogos les preocupa actualmente saber que paso entre el Big Bang y el




minúsculo instante ¡10-43 s!, o como determinar bien la edad del Universo cuyas últimas mediciones dan un valor de 1,45×1010 años, con una incertidumbre de un par de miles de millones de años. La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años. Especialistas han estudiado la cronología de la Biblia para calcular cuanto tiempo ha pasado desde los días del Edén, sumando la edad de Adán y sus descendientes. En 1650 el arzobispo irlandés James Ussher propuso que Dios creo la Tierra el 22 de octubre del año 4004 antes de nuestra era, valor que no concuerda con las mediciones. Los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de 10, que es la notación científica. Ejemplos de algunos valores comunes se muestran en la tabla 3.3.

Tabla 3.3. Algunos valores numéricos de magnitudes físicas conocidas. Si el exponente de la potencia de 10 es positivo (o negativo) el valor de la magnitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de 10 y se usan los prefijos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de 10. Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9,45 ×1015 m, o el Angstrom que es igual a 10-10 m. En la tabla 1.4 se dan los nombres de los prefijos del Sistema Internacional.

3.5.1 Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de 10 más cercana al valor verdadero de una magnitud física conocida cuyo valor numérico se conoce. Para indicarla se usa el símbolo vírgula, ~. Cuando se compara entre magnitudes físicas similares, se dice que una magnitud física difiere de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de 10. Ejemplo 3.1. El orden de magnitud de 1 es cero ó 100, el orden de magnitud de 10 es uno ó 101, el orden de magnitud de 100 es dos ó 102, etc. Ejemplo 3.2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo valor es aproximadamente 6×1024 kg. b) Si la masa del Sol ~ 1030 kg, ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solución: a) considerando que 6 es un valor mas cercano a 10 = 101 que a 1 =

100, su orden de magnitud es 6 ∼ 101, por lo tanto el orden de magnitud de la masa de la Tierra es 6×1024 ~ 101×1024 ~ 1025 kg ~ 10 Ykg ó del orden de 25.

b) 5

25

30

1010

10

Tierralademasa

Soldelmasa

Por lo tanto la masa del Sol es 5 órdenes de magnitud mayor (cien mil veces más grande) que la masa de la Tierra.

Tabla 3.4 Prefijos del Sistema Internacional.

3.5.2 Estimación. Hacer una estimación es asignar un valor numérico razonable a una magnitud Física conocida, cuyo valor verdadero, en el momento de usar esa magnitud, no se conoce. Ejemplo 1.3. Estimar la edad de los alumnos del curso de Física I. Solución: Considerando que los alumnos ingresan a la universidad a la edad aproximada de 18 años, que el curso de Física I lo realizan en el segundo semestre, que algunos alumnos ingresan a la carrera tiempo después de egresar de la enseñanza media y que es probable que el curso de física no lo estén cursando en el semestre que corresponde, se puede considerar que la edad de los alumnos del curso de Física I varia entre 18 y 22 años, por lo que se puede estimar como edad de cualquier alumno en ~ 20 años. Su orden de magnitud es ~ 10 años.

3.5.3 Transformación de unidades. Muchos cálculos en Física requieren convertir unidades de un sistema a otro. Las unidades pueden convertirse sustituyéndolas por cantidades equivalentes. En toda respuesta numérica de los problemas siempre debe escribirse las unidades en el resultado final. Ejemplo 1.4. Transformar 18 km/hora a m/s. Solución: Se sabe que 1h = 3600 s y que 1 km = 1000 m, entonces:

sms

m

h

km/5

3600

10001818

3.5.4 Análisis dimensional. Se usa para verificar que todos los términos de una ecuación tengan las mismas dimensiones, lo que garantiza que la ecuación está planteada en forma correcta. Cuando se hace el análisis dimensional, los términos no se operan con el álgebra corriente, por ejemplo las unidades de medida no se suman o restan, solo se comparan sus unidades entre términos de la ecuación a dimensionar, generalmente se usa el símbolo [ ] en cada término al hacer el análisis. Ejemplo 1.5. Hacer el análisis dimensional para el siguiente modelo físico axvv 22

0

2 , donde v se mide en m/s, x en m y a en m/s2.

Solución: se escriben las unidades de medida en cada término de la ecuación, considerando que las unidades no se suman ni restan y que el 2 es un número sin unidades de medida que no multiplica a la unidad de medida:




2

2

22

2

0

2 2s

ms

s

m

s

m

s

maxvv

Por lo tanto la expresión es dimensionalmente consistente.

3.6 Sistemas de referencia. En mecánica se tratan problemas relacionados con la descripción del movimiento de un objeto en el espacio, por lo que se requiere un método para conocer la posición de ese objeto. Para esto se definen los sistemas de coordenadas y marcos de referencia. Un sistema de coordenadas usado para indicar las posiciones en el espacio consta de: 1. Un punto de referencia fijo O, llamado origen. 2. Un conjunto de ejes o direcciones con una escala apropiada. 3. Instrucciones sobre como identificar un punto en el espacio respecto al origen y a los ejes.

3.6.1 Coordenadas cartesianas o rectangulares. Un sistema de coordenadas frecuentemente usado es el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular, que se muestra en la figura 1.2, con ejes x saliendo del plano de la figura, eje y horizontal y eje z vertical. En este sistema un punto P arbitrario se identifica con tres coordenadas identificadas por (x, y, z), con los valores positivos de los ejes hacia fuera del plano de la figura, hacia la derecha y hacia arriba, respectivamente en cada eje, como se indica en la figura 1.2. Es el espacio común en el que vivimos, se llama espacio tridimensional porque tiene tres dimensiones, para indicarlo usamos en símbolo 3D. En ocasiones bastan dos o una coordenadas para fijar la posición del objeto, estos se llaman espacio bidimensional (2D) o unidimensional (1D), respectivamente.

Fig. 3.2. Coordenadas cartesianas.

3.6.2 Coordenadas polares. Otro sistema de coordenadas conocido es el de las coordenadas polares (r, θ) (Fig. 3.3), donde r es la distancia desde el origen al punto (x, y), generalmente llamado radio, y θ el ángulo entre el eje x y r, por convención, considerado positivo cuando es medido en sentido antihorario desde el eje x hacia r. La relación entre las coordenadas cartesianas y polares es x = r cosθ , y = r senθ .

Fig. 3.3. Coordenadas polares.

Se deja como ejercicio al alumno demostrar que sus relaciones inversas son:

22 yxrx

yTan

De paso aprovechemos de recordar el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas básicas seno, coseno y tangente, que se definen para un triángulo rectángulo, como el que se muestra en la figura 3.4, estas son:

Fig. 3.4. Un triángulo rectángulo.

3.7 Conceptos básicos de vectores. Las magnitudes físicas con las que trataremos en el curso pueden ser escalares o vectoriales. Las magnitudes físicas escalares quedan completamente definidas mediante un número y sus respectivas unidades de medida, por ejemplo la densidad del agua de 1 gr/cm3 o la temperatura del aire de 20º C, son un escalar. Para las magnitudes físicas vectoriales debe especificarse su magnitud (un número con sus unidades), su dirección (un número que puede ser un ángulo si el espacio es bi o tridimensional) y su sentido (que indica hacia adonde se dirige o apunta el vector), por ejemplo una velocidad de 80 km/h hacia el noreste. Un vector se representa gráficamente como un trazo dirigido (flecha) y se simboliza mediante letras mayúsculas o minúsculas, con una flecha sobre la letra o

escrita en negrita, como V o V

, r o r

, OP o

OP . La

longitud de la flecha indica la magnitud relativa del vector, el punto desde donde se comienza a dibujar el vector se llama punto de aplicación, la dirección se mide desde algún eje de referencia, generalmente horizontal, el sentido esta dado por la punta de la flecha y la recta sobre la cual se ubica el vector se llama línea de acción. En la figura 3.5, el vector A tiene magnitud A, su punto de aplicación es O y su dirección es α grados sobre la horizontal.

Fig. 3.5. Representación de un vector.

3.7.1 Igualdad de vectores. Dos o más vectores son iguales si: a) apuntan en la misma dirección, b) si sus magnitudes son iguales. En la figura 1.6,




dcba

independientemente de la ubicación de los

vectores en el espacio.

Fig 3.6 Igualdad de vectores.

3.7.2 Multiplicación de un vector por un escalar. El resultado de multiplicar un vector por un escalar λ es un vector, de magnitud distinta y de dirección igual (o contraria)

al vector original. En la figura 3.7 se muestra que bB

2 y

dD

3

2

Fig 1.7.

3.7.3 Vectores especiales. • Vector nulo: es un vector de magnitud igual a cero (0). • Vector unitario: vector de magnitud igual a uno (1).

1.7.4 Adición de vectores y algunas de sus propiedades. Los vectores se pueden sumar en forma geométrica por diversos métodos, tales como los que se muestran en la figura 3.8, a) el método del polígono o b) el método del paralelogramo.

Figura 3.8. a) Método del polígono, b) método del paralelogramo.

Además los vectores cumplen con las siguientes propiedades del álgebra: • Conmutatividad de la suma:

a + b = a + b. • Asociatividad de la suma:

a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). • Distributividad de la multiplicación por un escalar en la suma de vectores. • Conmutatividad del producto:

a · b = b · a; a· a = a2.

• Asociatividad del producto: a · ( b + c) = a · b + a · c

• Inverso aditivo: si a + b = 0, entonces b es el inverso aditivo de a y se escribe b = -a. • La resta de vectores es un caso especial de adición, donde el vector restando se suma con su inverso aditivo:

a - b = a + (- b). • La división entre vectores no está definida.

3.7.5 Representación de los vectores en coordenadas cartesianas. Las componentes vectoriales de un vector son aquellas que sumadas dan como resultado el vector original. Las

componentes vectoriales de un vector en el espacio se calculan a lo largo de un conjunto de 3 líneas mutuamente perpendiculares que se cortan en un mismo punto, es decir en líneas paralelas a los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano. Los vectores unitarios y las componentes vectoriales del vector A en estas direcciones se designan por

kji

,, y por Ax, Ay, Az, respectivamente, tal que:

En el plano (x, y) de la figura 3.9, se tiene:

Fig. 3.9. Componentes de un vector.

3.7.6 Igualdad de vectores en componentes. Dos vectores son iguales si todas sus componentes son iguales, esto es, A = B si Ax = Bx, Ay = By y Az = Bz.

3.7.7 Suma, resta y multiplicación por un escalar. Se opera sobre las componentes escalares análogas de los vectores. Para el caso tridimensional se realizan tres operaciones escalares por cada operación vectorial, como se indica, donde λ representa un escalar:

3.7.8 Producto escalar entre vectores. El producto escalar entre vectores da como resultado un escalar, se lee A punto B, y se define como:

ABCosBA

donde A y B es la magnitud y α es el ángulo entre los vectores A y B. Aplicado a vectores unitarios y a las componentes de un vector, se tiene:




3.7.9 Producto vectorial de vectores. El producto vectorial entre vectores da como resultado un vector, se lee A cruz B, y se define como:

donde A y B es la magnitud y α es el ángulo entre los vectores A y B, y la dirección de C esta dada por la regla de la mano derecha o del tornillo derecho, C es un vector perpendicular al plano formado por A y B. El producto vectorial se calcula resolviendo el siguiente determinante:

Aplicado a vectores unitarios, se obtiene que:

Ejemplo 3.6. Un gato se mueve en el plano (x, y) desde la posición P1 en (-3, -5) m hasta la posición P2 en (10,2) m. (a) Dibujar los vectores de posición y escribirlos en coordenadas cartesianas. Calcular (b) la variación de la posición del gato, (c) magnitud la variación y (d) su dirección. Solución: a) en la figura 1.10 se dibuja el diagrama vectorial.

Fig 3.10. Ejemplo 6.

Posiciones:

jijyixr

53111

jijyixr

210221

b) La variación de la posición es la diferencia entre las posiciones del objeto, esto es la posición final menos la posición inicial denotada por rr

jijijirrr

7132105312

c) Magnitud: mrr 8,14713 22

d) Dirección: º3,2813

7 Tan

Ejemplo 3.7: Una hormiga camina por el borde de un CD de 6 cm de radio, rodeando la mitad del disco. Calcular: (a) la variación de su posición, (b) ¿cuánto camina?, (c) su variación de posición si completa el círculo. Solución: Usando el sistema de referencia de la figura 3.11, donde i es la posición inicial, que se elige en el origen, y f la posición final. a)

if rrr

, de la figura 3.11

jiri

00 jirf

012 cmir

12

Fig. 3.11.

b) Se pide distancia d recorrida desde i hasta f por el borde (por ejemplo el superior) del disco, si P es el perímetro, entonces:

cmcmrrP

D 8,1862

2

2

se observa que rd

c) Hay que calcular r

después que la hormiga ha dado una vuelta completa.

if rrr

Pero jirr if

00 jir

00

ACTIVIDADES

01. Escribir usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud del ecuador, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cercana a la Tierra (después del Sol).

02. El Sol es un ‘adulto joven’ de apenas casi 5 mil millones de años, escriba la edad del Sol sin y con prefijos del Sistema Internacional. (Cuando el Sol se apague, se acabará la fuente de energía que mantiene todos los procesos sobre la Tierra y por lo tanto la vida sobre ella.) R: 1.57x1017 s.

03. La energía que la Tierra recibe del Sol es del orden de 220 watts/m2, estimar la cantidad de energía sobre toda la superficie terrestre. Expresar el resultado con prefijos.

04. Estimar la cantidad de kilómetros que tu has caminado desde que naciste a la fecha.

05. Estimar el número de pinos y su valor en soles para un bosque de pinos típico de Cajamarca

06. .Si durante un evento de lluvia en la zona cayeron 25 mm de agua, esto es 25 lt/m2, estime la cantidad de agua que cayó sobre el valle de Cajamarca. ¿A cuantas casas se podría abastecer con agua durante todo un día con esa cantidad?

07. Transformar 10 m/s a km/h, 300000 km/h a m/s, 250 Glt a m3, 1,25 kg/m3 a gr/cm3, 500 hPa a atm, 4500 m2 a cm2.

08. La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equivalente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra?

09. Para las expresiones x = At + Bt3 y v = A + 3Bt2 donde x se mide en m, t en s y v en m/s, determine las unidades de medida de A y de B.

10. Demuestre que las ecuaciones ctteghv

p

2

2

,

axvv if 222 y g

lT 2 son dimensionalmente

correctas, donde x, h y l son longitudes, v y v0 son




velocidad (m/s), a y g aceleración (m/s2), T tiempo (s), p presión (kg/ms2), y ρ densidad (kg/m3).

11. Un vector de 5 unidades se orienta en dirección positiva del eje x, y otro de 3 unidades se orienta en 230º. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente.

12. El vector A se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (8,60º) y el vector B se extiende desde el origen hasta un punto que tiene coordenadas polares (3,340º). Calcular su producto escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores.

13. Si jiA

34 y jiB

5 , calcular su producto

escalar, vectorial y el ángulo que forman los vectores. Dibujar todos los vectores.

14. Para los siguientes vectores: jiV

321 ,

kjiV

25,132 y kjiV

575,23 , calcular la

magnitud y dirección de cada vector.

15. Para los vectores del problema 3.14 calcular: a) su suma, b) 3V2 – V1, c) 5V3 + V2, d) 2V1 +3V2 – 0,5V3. Dibujar los vectores y los resultados.

16. Para los vectores del problema 3.14, calcular a) el producto escalar entre cada par de vectores, b) el producto vectorial entre cada par.

17. El vector F1 tiene una magnitud de 5 unidades y el vector F2 tiene una magnitud de 10 unidades. Ambos vectores forman un ángulo de 120º entre si. Calcular su producto escalar y vectorial.

18. Demostrar que: A ⋅ B = AxBx + AyBy + AzBz

19. Demostrar que: 0

kkjjii

20. Demostrar que: kji

, ikj

, jik




CAPÍTULO CUATRO: VECTORES

§ 1. Terminología y conceptos La terminología es un ingrediente esencial del pensamiento abstracto. Es difícil pensar fácil y claramente sobre conceptos abstractos y complejos en un lenguaje que no posee las palabras adecuadas para tales conceptos. Para expresar nuevos conceptos científicos se inventan nuevas palabras que se añaden a los idiomas; muchas de estas palabras proceden de raíces clásicas griegas o latinas. Si satisface las necesidades de la comunidad científica, una palabra nueva puede ser adoptada en muchos idiomas modernos. Así, por ejemplo, vector en español es vector en inglés, vecteur en francés, vektor en alemán, BЕКТОР (pronúnciese “vector”), en ruso. Un vector es una magnitud que tiene módulo, dirección, y sentido y se combina con otros vectores de acuerdo con reglas especificas5. En el estudio de la mecánica (y otras ramas de la física) encontraremos magnitudes (velocidad, fuerza, campo eléctrico, momento dipolo magnético) que tienen magnitud, dirección y sentido, y, en consecuencia, es importante desarrollar el lenguaje técnicas necesarias para el manejo de estas magnitudes. Aunque el análisis vectorial suele considerarse como una rama de las matemáticas, su valor en física es tan grande que merece la inclusión aquí de una introducción. Notación vectorial. Como los símbolos forman lenguaje de las matemáticas, una parte importante del arte del análisis matemático es la técnica de utiliza bien la notación. La notación vectorial tiene dos grandes propiedades: 1. La formulación de una ley física en función d los vectores es independiente de los ejes coordenado que se escojan. La notación vectorial ofrece una terminología en la que los enunciados tienen un significado físico sin introducir en ningún caso un sistema coordenado. 2. La notación vectorial es concisa. Muchas leyes físicas tienen formulaciones sencillas y diáfanas que se desfiguran cuando se escriben referidas a un sistema coordenado particular. Aunque al resolver un problema físico puede convenir la utilización de sistemas coordenados especiales deberemos establecer leyes de la física en forma vectorial siempre que sea posible. Algunas de las leyes complicadas que no pueden expresarse en toma vectorial, pueden serlo en forma tensorial. Un tensor es una generalización de un vector, que incluye a la magnitud vectorial como caso especial. El análisis vectorial tal y como lo conocemos hoy es fundamentalmente el resultado del trabajo realizado hacia finales del siglo diecinueve por Josiah Willard Gibbis y Oliver Heaviside.

5 Este significado de la, palabra vector es una ampliación natural de su utilización inicial en Astronomía, ahora en desuso: recta imaginaria que une a un planeta, moviéndose alrededor del foco de una elipse con dicho punto.

Fig. 4.1 El vector r representa la posición de un punto P respecto a otro

O considerado como origen.

Fig. 4.2 El vector - r tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido

opuesto que r. La notación vectorial que adoptamos aquí es la siguiente. En la pizarra, una magnitud vectorial se representa colocando una línea ondulada bajo la letra A o poniendo una encima una flechita; los vectores en los libros impresos siempre aparecen en negritas. El módulo de un vector se imprime en cursiva; A es el módulo de A; también se escribe |A|. Un vector unitario es un vector de longitud unidad paralelo al vector A y en el mismo sentido; un vector unitario en la dirección de A se escribe normalmente como u, aunque algunas veces al vector unitario de A se lo representa como

A . También recibe el nombre de versor. Se define mediante:

uAAA

Au

En las figuras 4.1 a 4.4 se muestra un vector, el negativo del mismo vector, la multiplicación por un escalar y un vector unitario.

Fig. 4.3 El vector 0,6r tiene la misma dirección y sentido que r, pero

su módulo es 0,6r

Fig. 4.4 El vector r

es el vector unitario en la dirección de r. observe

que rrr

La utilidad y aplicación de los vectores a los problemas físicos está basada esencialmente en la geometría euclidiana, La enunciación de una ley en términos vectoriales normalmente lleva consigo la hipótesis de la validez de esta geometría. Si la geometría no es euclidiana es posible sumar dos vectores de un modo sencillo y sin ambigüedad. Para el espacio curvo existe una formulación mucho más general, la geometría métrica diferencial, que es el lenguaje de la relatividad generalizada, dominio de la física en el que la geometría euclidiana no es ya suficientemente precisa. Hemos considerado que un vector es una magnitud que tiene dirección además de módulo. Esta propiedad no se refiere en absoluto a ningún sistema coordenado, aunque suponemos




que puede definirse, por ejemplo, con referencia, la sala del laboratorio, estrellas fijas, etcétera. Veremos, si, embargo, que no tocas las magnitudes que tienen módulo y dirección son necesariamente vectores, tales como las rotaciones finitas (véase más delante de esta sección), Una magnitud que tiene módulo pero no dirección es un escalar. El módulo de un vector es un escalar. La temperatura y la masa son escalares. En cambio, la velocidad v y la fuerza F son vectores. Igualdad de vectores. Una vez desarrollada la notación, procederemos a realizar algunas operaciones vectoriales: suma, resta y multiplicación. Dos vectores, A y B que representan magnitudes físicas similares (por ejemplo, fuerzas) se dice arte que iguales cuando poseen el mismo módulo, dirección y sentido; se escribe así A ≡ B. Un vector no tiene necesariamente que estar ligado a una posición determinada, aunque puede referirse a una magnitud definida en un punto particular. Dos vectores pueden compararse aunque midan magnitudes físicas definidas en distintos puntos del espacio y diferentes instantes. Si no tuviéramos confianza, basada en la experimentación, que podemos considerar plano el espacio, es decir, euclidiano – excepto quizás a distancias enormes – no podríamos entonces comparar sin ambigüedad dos vectores en puntos diferentes.

SUMA VECTORIAL Un vector se representa geométricamente por un segmento lineal dirigido, o flecha, cuya longitud en unidades a una escala definida es igual a la magnitud del L, de do, celo,,, A y B se define por la construcción geométrica indicado en las figuras 2,5 , a c, Esta construcción se llama con frecuencia ley del paralelogramo de la adición vectorial. La suma A + B se define trasladando B paralelamente a si mismo hasta que el origen de B coincida con el extremo de A. El vector dibujado desde el origen de A al extremo de B es la suma A + B. De la figura se deduce que A + B = B + A, es decir, la suma vectorial tiene la propiedad conmutativa, como indica la fig. 2.5 d. La substracción de vectores se define mediante las figuras 2.6a y b con B+(-l3>0, que define el vector negativo. La suma vectorial satisface la relación A + (B + C) = (A + B) + C, es decir, satisface la propiedad asociativa (fig, 17). La suma de un número finito de vectores n, independiente del orden en que se sumen. Si A - B -C, entonces sumando B en ambs miembros obon, d,,m,, A ~ B + C. Si k es un escalar k(A + B) - kA + kB (2.1) de modo que la multiplicación de un vector por un escalar satisface la propiedad distributiva. b ¡0. 2.6 a) Vectores B y -B. ) Obtención de A-B; vector difer,ncia. IG. 2,7 Smna d, tres vectores: A+B+C. Compruéese que esta suma es igual a B+ A + C.

3. Vectores eléctrico y magnético en u= onda electromagnética. Si k es el vector unitario en la dirección de pmpapación de la onda electromagnética plimar en el espacio libre (fig. 2.14), entonces (como veremos en los Vols, 2 y 3) los vectores Campo eléctrico y de inducción E y B, deben estar en un plano normal a k y deben ser perpendiculares entre sí. Podemos expresar la condición geométrica por las relaciones !-E=0 ¡-B=O E-B=O 4, Trabajo realizado por unidad de tiempo. En física elemental (véase también el Cap. 5) se ¡o que el trabajo realizado por una fuerza F por unidad de tiempo sobre una partícula que se mueve va, velocidad Y es igual a Ft, cos(Far). Se reconoce fácilmente que esta ,,I,,,sión es precisamente el producto escalar F., S, ,cribinnos de un modo general la derivada dWldt ,=o un símbolo para el trabajo realizado por unidad de tiempo, resulta (fig. 2.15) dW = F-v (2.10) dt 5. Variación de volumen por unidad de tiempo. Sea S un vector normal a una área plana de valor S y designemos por , la velocidad con que i, mueve dicha área. E, fácil darse cuenta de que el volumen barrido por el a,,, S por unidad de tiempo es un cilindro cuya área de 1, base es S y cuya generatriz es v (fig. 2.16), o sea S -Y. La variación del volumen barrido por unidad de tiempo es, por tanto, dV _ S-v (2.11) J- Producto vectorial~. Existe otro tipo de producto de das v,,tors ampliam,,t, utilizado en física. E,te




(#) Esta sección puede omitirse en una primera lectura. El oroduros vearlal se utiliza en el Cap. 3* el cual también puede omitirse; 01. 1 ,,en,,, el Cop. 6 resulta esencial. FIG. 2.16 Volumen que Po, unidad de tiempo del,i barre el área S que se mueve con velocidad v. FIG. 2.15 Trabajo que por unidad de tiempo realiza una fuerza F sobre una partícula moviéndose con velocidad Y. FIG. 2.14 Los campos eléctrico y magnético en una onda plana electromagnética en el espacio libre son perpen01,ul,r, ir 1, caemis, d, propag .. o, 1. As¡, Po,,, k-E 1 . B - 0; E - B = 0.

1.1 Campos escalares y vectoriales

• Se define campo escalar, ϕ(_r), como una función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar. La función debe ser monovaluada para que la magnitud pueda tener significado físico. Ejemplos de campos escalares son la presión p, densidad ρ y temperatura T de un cuerpo, definidas en el espacio tridimensional. Otro ejemplo, ahora en dos dimensiones, es el de la altitud de un punto geográfico, h(x, y), respecto del nivel del mar.

Una representación muy útil de un campo escalar se consigue

mediante una familia de superficies equiescalares, definidas

como el lugar geométrico de puntos que satisfacen la

ecuación ϕ(x, y, z) = C, donde C es una constante que fija el

valor considerado del campo escalar y que, al variar, nos

genera la familia. Un ejemplo de representación mediante una

familia de superficies equiescalares lo tenemos en los mapas

topográficos que incluyen curvas de nivel, o altitud

constante. En este caso bidimensional las superficies se

sustituyen por líneas.

• Se define campo vectorial, F(r), como una función de la

posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud

vectorial. La función debe ser también monovaluada por la

misma razón, pero además para que se trate de una magnitud

vectorial debemos exigir que sus componentes se transformen como las del vector de posición ante una transformación de coordenadas.

El campo de velocidades de un fluido o el campo gravitatorio terrestre son campos vectoriales, pero la terna de campos escalares (p, ρ, T) no lo es. Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de líneas de campo, que se definen

como aquellas curvas que cumplen la condición de ser

tangentes al campo en cada uno de sus puntos. Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial r0 mediante la

concatenación de vectores elementales dados por la

expresión Δ_ri+1 = _ _F(_ri), (i = 0, 1, . . .), donde el

parámetro

_ se hace tender a cero. Las ecuaciones que determinan este

lugar geométrico expresan simplemente la condición de

paralelismo entre d_r y _F(_r) en cada punto. En coordenadas cartesianas,




CAPÍTULO CINCO: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales constituyen una rama de las Matemáticas Puras y Aplicadas que trata del estudio de los diferentes métodos existentes para resolver ecuaciones donde la variable está presente con, al menos, una de sus derivadas y que pueden ser de diferente naturaleza; asís mismo, trata de la unicidad, existencia y estabilidad de las soluciones de dicha ecuación diferencial.

Concepto de Ecuación Diferencial: Es una función en la cual existe una variable dependiente y derivadas de uno o más orden con respecto a uno o más parámetros independientes.

Clases de Ecuaciones Diferenciales: Hay dos clases:

1. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): En las cuales existe una variable dependiente y las derivadas de uno o más orden con respecto a un único parámetro independiente. Ejemplos:

1. 21 ydx

dy

2. xeydx

dy

dx

yd 2

2

2

65

3. 3

2

2

3

3

853 xdx

dy

dx

yd

dx

yd

4. )3(12442

2

xSenydx

dy

dx

yd

2. Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): En las cuales aparecen una variable dependiente y las derivadas de uno o más orden con respecto a dos o más parámetros independientes. Ejemplos:

1. 0

2

2

2

2

2

2

zyx

2. 2

2

24

4

4

4

4

4 1

tvzyx

3. 4

2

2

2

2

2

2

z

Q

y

Q

x

Q

Orden de una Ecuación Diferencial: Es el orden de la derivada de mayor orden, la derivada mayor o coeficiente diferencial mayor que en ella aparece. Ejemplos:

1. xTanex

y

dx

dy 2 1er orden

2. 096

2

2

ydx

dy

dx

yd 2do orden

3. xLnyxyyxy 6'2''3''' 3 3er orden

Grado de una Ecuación Diferencial: Es el exponente al que está elevada la derivada mayor que en ella aparece una vez que ha sido escrita en forma racional y entera con respecto al parámetro independiente. Ejemplos:

1. 2

2

2 11 ydx

dyy

dx

dy

2do grado

2. 3

42

2

24

32

2

11

dx

dy

dx

yd

dx

dy

dx

yd 2do grado

Solución general de una Ecuación Diferencial: Dada una ecuación diferencial se llama solución general de la misma ecuación a la función que sustituida en la ecuación diferencial de la cual proviene la satisface completamente. Ejemplo:

1. Comprobar que xx eCeCy 2

2

3

1 es la solución general de

la E.D. 065

2

2

ydx

dy

dx

yd

Solución.- Derivando xx eCeCy 2

2

3

1 tenemos:

xx eCeCdx

dy 2

2

3

1 23

xx eCeCdx

yd 2

2

3

12

2

49

Sustituyendo en la E.D. tenemos:

0623549 2

2

3

1

2

2

3

1

2

2

3

1 xxxxxx eCeCeCeCeCeC

Solución particular de una Ecuación Diferencial: Es aquella que se obtiene directamente de la solución general y corresponde a un caso particular o específico. Ejemplo:

1. Comprobar que tSenAx es solución particular de la

E.D. 02

2

2

xdt

xd

Solución.- Derivando tSenAx tenemos:

tCosAdt

dx

tSenAdt

xd 2

2

2

Sustituyendo en la E.D. tenemos:

022 tASentSenA

Solución singular de una Ecuación Diferencial: Es aquella que se no se obtiene por ningún método analítico a partir de la solución general y sólo es factible encontrarla a

través de la eliminación del parámetro dx

dyp entre la E.D. y

su correspondiente derivada. Ejemplo:

1. Hallar la solución singular de la E.D. 3

dx

dy

dx

dyxy

Solución.- Reemplazando dx

dyp tenemos:

3pxpy …(1)

dx

dpp

dx

dpxp

dx

dy 23

Recuerda que…

Sea ,...,,, zyx se definen:

x

zyxzyxxLim

x x

,...,,,,...,,,

0

y

zyxzyyxLim

y y

,...,,,,...,,,

0

........................

,...,,,,...,,,

0

zyxzyxLim

Ejemplo: Sea zSenyx 1053 2 entonces:

3

x

yy

10

zCosz

10

Recuerda que…

'ydx

dy

; ''

2

2

ydx

yd

; '''

3

3

ydx

yd

; etc.




033 22 dx

dppx

dx

dppxpp

Tenemos dos posibilidades:

Cpdx

dp 0

En (1): 3CCxy ...(solución general)

22 303 pxpx …(2)

En (1) tenemos: 332 23 ppppy …(3)

(3) (2): x

ypp

x

y

p

p

x

y

2

3

3

2

3

22

3

En (2): 2

2

33

x

yx

23 274 yx ...(solución singular)

Función Lineal: Dada la función xfy decimos que es lineal si cumple:

a. 2121 xfxfxxf

b. Rxfxf

Una E.D. lineal asume la forma:

xfyadx

dya

dx

yda

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

n

n

12

2

21

1

10 ...

Una E.D. de orden n no necesariamente lineal se expresa en la forma:

0,...,''','',',, nyyyyyxF

Una E.D. de orden 1 no necesariamente lineal se expresa en la forma:

0',, yyxF

Un teorema fundamental de las E.D. establece que una E.D. de orden n admite, al menos, n constantes arbitrarias, lo que implica que una E.D. de 1er orden admite en su solución al menos una constante.

Ejercicios:

1. Dese el orden y el grado de cada una de las E.D. siguientes:

a) xyyyx 7''3

1er orden – 3er grado

b) 2

32

2

32 ''0'' yyyxyyyx

32224 '''2 yyyyyxx 1er orden – 3er grado

c) 433

2

''81'''3' yyyy 2do orden – 4to grado

2. Hállense las E.D. que tengan las siguientes soluciones generales:

a) xCey 5 xCedx

dy 55 pero

xe

yC

5

Luego: y

dx

dye

e

y

dx

dy x

x55 5

5

b) Cxey 3 CxCedx

dy 33 pero CxyLn 3 de donde

x

yLnC

3

Luego:

y

x

yLn

dx

dye

x

yLn

dx

dy xx

yLn

33

33

c) 3CCxy C

dx

dy

Luego: 3

dx

dyx

dx

dyy

d)

''259

'53

5

2

3

12

2

5

2

3

15

2

3

1

yeCeCdx

yd

yeCeCdx

dy

eCeCyxx

xx

xx

Aplicando la regla de Kramer:

x

xx

xx

xx

x

x

e

eyey

ee

ee

ey

ey

C2

55

53

53

5

5

1120

''5'25

259

53

25''

5'

x

xx

xx

xx

x

x

e

eyey

ee

ee

ye

ye

C2

33

53

53

3

3

2120

'9''3

259

53

''9

'3

Luego:

x

x

xxx

x

xx

ee

eyeye

e

eyeyy 5

2

333

2

55

120

'9''3

120

''5'25

'''215120

'9''3

120

''5'25yyy

yyyyy

Teorema de Piccard: También llamado Teorema de la Existencia y Unicidad de las Soluciones, se enuncia: Sea dada una E.D. yxfy ,' , donde la

función yxf , está definida en un recinto D del plano XOY

que contiene al punto (x0, y0). Si la función yxf , satisface las

condiciones: a. yxf , es una función continua de dos variables x e

y en el recinto D. b. yxf , admite derivada parcial

y

yxf

, , continua con

respecto de x e y en el recinto D. Entonces existe una, y sólo una, solución (o curva integral)

xy de la E.D. dada que satisface la condición inicial

00

yyxx

Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto (x0, y0) del plano XOY. En el caso general, las curvas integrales de yxfy ,' constituyen una

familia de curvas de una solo parámetro, la ecuación de esta familia de curvas puede escribirse Cxyy , donde las

diferentes opciones del parámetro C dan las diferentes curvas de la familia.

Familia de curvas: Hemos visto que la solución general de una E.D. de primer orden contiene normalmente una constante arbitraria llamada parámetro. Cuando a este parámetro se le asignan valores varios, se obtiene una familia de curvas de un solo parámetro, cada una de estas curvas es una solución particular o curva integral de la E.D. dada y todas ellas juntas constituyen su solución general. Inversamente, las curvas de cualquier familia de un solo parámetro son curvas integrales de la E.D. dada.

§ 1. Campos escalares y vectoriales. Gradiente

1. Características geométricas de los campos

escalares y vectoriales. Sea D un dominio en el espacio de dos, tres o n dimensiones. Se dice que en el dominio D




está definido el campo escalar, si en D está dada la función escalar del punto ruxxxuPu n

,...,, 21

que se llama

función del campo ( r

es el radio vector del punto P(x1, x2, . .

.xn). Si a cada punto P D está puesto en correspondencia el vector raPa

entonces se dice que en el dominio D está

definido el campo vectorial determinado por la función vectorial raxxxaPa n

,...,, 21

.

Las características geométricas mas elementales de los campos escalares son líneas de nivel u (x, y) = C en el espacio de dos dimensiones, superficies de nivel, o superficies equipotenciales, u (x, y, z) = C en el espacio de tres dimensiones y hipersuperficies de nivel u (x1, x2, . . .xn) = C en el espacio n > 3 dimensiones, Las características geométricas más elementales de los campos vectoriales son líneas vectoriales y tubos vectoriales. Se llama línea vectorial la línea, cuya tangente en cada punto tiene una dirección que coincide con la dirección del vector del campo que le corresponde. Las líneas vectoriales para el vector

kajaiaa zyx

se determinan por el sistema de ecuaciones

diferenciales:

zyxa

dz

zyxa

dy

zyxa

dx

zyx ,,,,,,

(análogamente para los campos planos y multidimensionales). Se llama tubo vectorial la superficie formada por las líneas vectoriales que pasan por los puntos de cierta curva cerrada situada en el, campo y que no coincide (incluso parcialmente) con cualquier línea vectorial.

ACTIVIDADES

Determínese el tipo de líneas o superficies (hipersuperficies) de nivel de los campos escalares siguientes:

21. u = y2 + x

22. u = x y

23. u = y/x

24. u = x + y + z

25. u = x2 + y2 - z2

26. u = x2 + y2 – z

27. u= x1 + x2 + x3 + x4

28. u= x12 + x2

2 + x32 + x4

2 Hállense las líneas vectoriales de los campos siguientes:

29. jxiya

30. jyixa

31. jiya

32. kzjyixra

33. cra

, c

es vector constante

34. z

k

y

j

x

ia

35. kyxjxzizya

36. 442211 exexexa

37. Determínese el tipo de tubos vectoriales en los problemas (12) y (15)

2. Derivada direccional y gradiente del campo

escalar. Sea kCosjCosiCoss el vector unitario

de la dirección dada s, kzjyixr

0000 el radio vector del

punto 0000 ,, zyxP la derivada del campo escalar Pu en

el punto P0 respecto a la dirección s, designada mediante s

u

se determina por la relación:

00

0

rusruLím

s

u

y caracteriza la velocidad de variación de la función Pu en la

dirección s. La derivada s

u

se calcula mediante:

Cosz

uCos

y

uCos

x

u

s

u

rrrrrrrr 0000

…(1)

Se llama gradiente del campo escalar Pu , designado

mediante el símbolo ugrad

, el vector cuyas proyecciones

son las derivadas parciales de la función Pu respecto a las

coordenadas correspondientes.

kz

uj

y

ui

x

uugrad

…(2)

De modo análogo se determina la derivada respecto a la dirección y el gradiente para los campos escalares n -dimensionales.

ACTIVIDADES

Partiendo de la expresión de la derivada respecto a la dirección, (1) y de la definición del gradiente (2) demuéstrense las siguientes propiedades del gradiente:

38. La derivada del campo respecto a la dirección s es igual al producto escalar del gradiente del campo por el vector unitario de la dirección dada, es decir, es igual a la proyección del gradiente en la dirección dada.

Cosugradsugrads

u

donde es el ángulo entre el gradiente y el vector s

.

39. La dirección del gradiente es la dirección del más rápido crecimiento de la función del campo.

40. En cada punto del campo el gradiente está dirigido por la normal a la superficie de nivel correspondiente, en dirección del crecimiento del potencial del campo, es decir:

n

uugrad

donde n es la normal a la superficie de nivel dirigida hacia el crecimiento de la función del campo. Hállense las derivadas de los campos siguientes en los puntos dados, según la dirección prefijada:

41. 2

22 y

xu en el punto P0 (2, -1) en dirección P0P1,

donde P1 (6, 2).

42. zyx

u 22

22

en el punto P0 (2, 1, 1) en dirección de la

recta 2

1

0

1

1

2

zyx hacia el crecimiento del campo.

43. 2

4

3

3

2

2

2

1 xxxxu en el punto P0 (1, 2, 3, -1) en

dirección del vector 421 22 eeea

.




44. Hállese el ángulo entre los gradientes del campo 222 2 zyxu en los puntos P1 (2, 3, -1) y P2 (1, -1, 2)

45. Hállense la velocidad y la dirección del más rápido crecimiento del campo u = xyz en el punto P0 (1, 2, -2).

46. Hállese el vector unitario de la normal a la superficie de nivel del campo yzxyxu 422 en el punto P0 (1, 1, -

1), dirigido hacia el crecimiento del campo.

47. Hállense los puntos estacionarios del campo

zyzyxyxu 6242 22

48. Cerciórese de la ortogonalidad de las líneas de nivel de los campos: a. 22 yxu , xyv

b. 222 yxu , x

yv

2

49. Cerciórese de la ortogonalidad de las superficies de nivel de los campos: a. 222 zyxu , yzxzv

b. 222 2zyxu , xyzv

c. 2

4

2

3

2

2

2

1 xxxxu , 4231 xxxxu ,

3241 xxxxw

50. Hállese la familia de líneas del más rápido crecimiento para los campos siguientes: a. El campo plano 22 yxu

b. El campo tridimensional xyzu

c. El campo tridimensional 222 zyxu

§ 2. Integrales curvilíneas y de superficie

1. Integrales curvilíneas de primera especie. Sean

AB el arco de una curva suave a trozos u (P), el campo escalar definido en AB; A0 = A, Al, A2, . . ., An-1 An = B - la partición arbitraria del arco AB y Pv (v = 1, 2, …, n) - son

puntos arbitrarios en los arcos parciales

vv AA 1, cuyas

longitudes se designan mediante sv. Si existe el límite de la

sucesión de las sumas integrales v

n

v

v sPu 1

para

0 vv

smáx (y para n ), que no depende ni del modo de

la partición del arco

AB por los puntos Av ni de la elección de

los puntos Pv en los arcos parciales

vv AA 1, entonces este

límite se llama integral curvilínea de primera especie de la función u(P)

según la curva

AB y se designa mediante:

ABAB

dszyxudsPu ,,

(ds es la diferencial del arco), es decir:

v

n

v

v

AB

smáxsPuLímdsPu

vv

1

0

…(1)

Si la función u (P) es continua en

AB , entonces la integral (1) existe. Desde el punto de vista físico la integral (1) puede

interpretarse como masa de la curva

AB . El cálculo de la integral (1) se reduce al cálculo de la integral definida. Por

ejemplo, si la ecuación del arco

AB tiene por expresión: x =

x(t), y = y(t), z = z(t), t0 t t1, entonces:

dttztytxtztytxudsPu

ABAB

222

''',,

La integral curvilínea de primera especie no depende de la

dirección en la que se pasa el arco

AB . En otras palabras:

BAAB

dszyxudsPu ,,

Ejemplo 1: Determine la masa M de la primera espira de la

hélice x = a Cos t, y = a Sen t, z = h t, si la densidad (P) en cada punto de ésta es proporcional a la longitud del radio vector de este punto. Solución:

Puesto que 222 zyxkkr , entonces en los puntos

de la hélice 222222thakhtaSentaCostk .

A la primera espira corresponde una variación del parámetro

t desde 0 hasta 2, luego:

dthadthaCostaSentdttztytxds 22222222'''

De aquí: dtthahakM

2

0

22222

2

0

2222

22222

22

thahtLn

h

atha

thakM

a

hahLn

h

ahahakM

222222222 42

24

ACTIVIDADES

01. Hállese la masa total de la astroide x = a Cos3t, y = a Sen3t, si xykP

02. Hállese la masa total de la cardioide r = a (1 +Cos ) si

rkP

03. Hállese la masa total de la lemniscata r2 = a2 Cos 2 si

krP

04. Calcúlese

AB

dszx

y

3

si

AB es el arco de la línea x = t,

2

2ty ,

3

3tz , A(0, 0, 0) y

3

22,2,2B

05. Hállese la masa del arco de la hélice cónica x = a et Cos t, x = a et Sen t, x = a et , si tkeP desde el punto O(0, 0,

0) hasta el punto A(a, 0, a)

06. Hállese la fuerza con la que la masa M distribuida uniformemente a lo largo de la circunferencia x2 + y2 = r2, z = c, atrae la masa puntual m colocada en el origen de coordenadas.

07. Hállese la masa de la cuarta parte de la circunferencia x2 + y2 = r2 situada en el primer cuadrante, si su densidad en cada punto es proporcional a la abscisa de cada punto.

08. Hállese la masa de la semicircunferencia x2 + y2 = r2 situada en el semiplano superior, si su densidad en cada punto es proporcional al cubo de la ordenada de ese punto.

2. Integrales de superficie de primera especie. Sean G la superficie suave a trozos, el campo escalar dado en G: G, Gl, G2, . . ., Gn-1 Gn la partición arbitraria de la superficie

G en superficie parciales cuyas áreas son iguales 1, 2, …,

n y sean Pv (v = 1, 2, …, n) puntos arbitrarios en las superficies Gv. Si existe el límite de la sucesión de las sumas




integrales v

n

v

vPu 1

para 0 vv

máx (y para n ), que

no depende ni del modo de partir la superficie en superficies parciales ni de la elección de los puntos Pv en estas superficies parciales, entonces este límite se llama integral de superficie de primera especie de la función u(P) según la superficie G y se designa mediante:

dzyxudPuGG

,,

(d es la diferencial del área de superficie), es decir:

v

n

v

vmáx

G

PuLímdPuv

v

1

0

…(2)

Si u (P) es continua en G, entonces la integral (2) existe. El cálculo de la integral (2) se reduce al cálculo de la integral doble ordinaria. Supongamos que la recta paralela al eje Oz corta la superficie G sólo en un punto, es decir, la ecuación de la superficie tiene la forma z = f(x, y) y que G se proyecta

sobre el plano Oxy en el dominio D. El elemento d1 del área

D se expresa en forma d1 = d Cos , donde es un ángulo formado por la normal a la superficie G con el eje Oz:

22

1

1

y

z

x

z

Cos

De este modo:

dxdyy

z

x

zzyxu

Cos

dzyxudzyxu

DDG

22

1 1,,,,,,

Si la recta paralela a Oz corta la superficie G en dos puntos o más, entonces G se divide en partes, cada una de las cuales se interfecta con la recta paralela al eje Oz sólo en un punto único. La integración debe realizarse respecto a cada una de las partes obtenidas. La superficie G puede proyectarse sobre los planos Oxz o Oyz, en vez de proyectarse sobre el plano Oxy. Para las superficies de dos caras la integral de superficie de primera especie no depende de la cara por la cual se toma. El sentido físico de la integral de superficie de primera especie depende del carácter físico del campo escalar dado: éste puede determinar la masa distribuida por la superficie definida, la carga eléctrica, etc.

Ejemplo 2. Determínese el momento estático respecto al plano Oxy y la posición del centro de masas de la semiesfera

homogénea E: x2 + y2 + z2 = R2 (z 0).

Solución. Tenemos:

dxdyy

z

x

zyxRzdM

GG

xy

22

222 1

Donde D es el círculo x2 + y2 R2, z = 0. Ya que en la semiesfera xdx + ydy + zdz = 0 entonces:

z

y

y

z

z

x

x

z

, de donde:

222

22222

1yxR

R

z

zyx

y

z

x

z

.

Luego: 32 RRRdxdyRdxdyRzdMGGG

xy .

Determinemos ahora las coordenadas del centro de masas de

la semiesfera. En virtud a la simetría: 0 yx y como el

área Q de la superficie de la semiesfera G es 2R2 entonces:

22 2

3 R

R

R

Q

Mz

xy

Ejemplo 3. Por toda la superficie del cono con una altura h y un radio de la base a están distribuidas las cargas eléctricas. En cada punto de la superficie la densidad de la carga es proporcional a la cota de ese punto. El vértice del cono está en el eje Oz. Determínese la carga sumaria de toda la superficie del cono.

Solución. La carga sumaria de la base del cono es igual al

producto de su área a2 por la densidad de la carga puntual,

es decir, kh. Así pues: Eb = k a2h. La carga de toda la superficie lateral G se determina por la integral

G

lat kzdE . La ecuación de la superficie del cono es

22

2

22 yx

a

hz , 0 z h. Diferenciando hallamos

ydyxdxa

hzdz

2

2

, de donde z

y

a

h

y

z

z

x

a

h

x

z2

2

2

2

y

por consiguiente:

a

ha

z

yx

a

h

y

z

x

z 22

2

22

4

422

11

.

Por eso: dxdya

hayx

a

hkE

G

lat

22

22 . Donde D es

el círculo x2 + y2 a2, z = 0. Pasando a coordenadas polares tenemos:

dda

hakhdxdyyx

a

hakhE

GG

lat

2

2

2222

2

22

22

0

2

2

0

2

22

3

2hakahdd

a

hakhE

a

lat

Hallando la carga total:

22222 2333

2haa

kahhakahhkaEEE latbtot

ACTIVIDADES

09. Determínese la masa distribuida en una parte de la superficie del paraboloide hiperbólico 2az = x2 – y2, cortada por el cilindro x2 – y2 = a2, si la densidad en cada punto de la superficie es proporcional a su cota.

10. Determínese el momento de inercia de la superficie lateral

homogénea del cono 22 yxz (0 z a) respecto del

eje Oz.

11. Determínese la carga eléctrica sumaria distribuida en una parte de la superficie del hiperboloide de dos hojas z2= x2

+ y2 + a2 ( 2aza ), si la densidad de la carga en cada

punto es proporcional a la altura de este punto (e = kz).

12. Determínese la masa distribuida por la superficie del cubo x = ± a, y = ± a, z = ± a, si la densidad superficial en el

cubo es igual a 3 xyzk




13. Determínese la carga eléctrica sumaria distribuida en una parte de la superficie del paraboloide 2az = x2 + y2, c cortada por el cilindro x2 – y2= a2, si la densidad en cada punto de la superficie es proporcional a la raíz cuadrada de su altura.

3. Integral curvilínea de segunda especie.

Supongamos que en el arco

AB de la curva suave a trozos está definido el campo vectorial

kzyxajzyxaizyxaraa zyx ,,,,,, y que A

=A0, A1, A2,…, An – 1, An = B es una partición arbitraria del

arco

AB en arcos parciales, Pv (v = 1, 2,…, n) son puntos

arbitrarios en los arcos

vv BA 1 y

vr es un incremento del

radio vector Pr en los extremos del arco

vv BA 1. Entonces,

si existe el límite de la sucesión de las sumas integrales

n

i

vrPa1

para 0 vv

rmáx (y n ) que no depende

ni del modo de partir el arco

AB en arcos parciales, este límite se llama integral curvilínea de segunda especie respecto al arco

AB y se designa mediante:

dzadyadxarda z

AB

yx

AB

Es decir:

n

i

vrmáx

AB

rPaLímrdav

v10

…(3)

Aquí: rda y vrPa son productos escalares de los

vectores. Si la función vectorial Pa es continua en

AB ,

entonces la integral (3) existe.

La integral (3) se llama también integral de línea (o lineal) del vector ra . Análogamente se definen las

integrales de línea en los campos vectoriales planos y multidimensionales. Si se dan la ecuaciones paramétricas del

arco

AB : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t0 t t1, entonces:

AB

zyx

AB

dtdt

dzta

dt

dyta

dt

dxtarda …(4)

Aquí t0 y t1 son los valores del parámetro t correspondiente a los puntos A y B. A diferencia de las integrales curvilíneas de primera especie, las integrales de línea (3) dependen de la dirección por la cual se realiza la integración a lo largo del

arco

AB :

BAAB

rdarda

El sentido físico más simple de la integral de línea es el

trabajo del campo de fuerzas raa , cuando en éste se

desplaza un punto material por la curva

AB , del punto A al punto B.

Ejemplo 4. Determínese el trabajo del campo de fuerzas

kzjyixF cuando del punto material se desplaza a lo

largo de la primera espira de la hélice cónica x = a et Cos t, y = a et Sen t, x = a et, del punto A(0, 0, 0) al punto B(a, 0, a)

Solución. Ya que dx = a et (Cos t – Sen t) dt, dy = a et (Sen t + Cos t) dt, dz = a et dt, luego:

dteadtSentCostSentCostSentCosteardF tt 2222 21

Entonces teniendo en cuenta que t = - en el punto A y t = 0 en el punto B, tenemos:

2

0

222 adteardF t

AB

Observación: Este ejemplo se puede resolver de un modo más simple, si se toma en consideración que en este caso

2

2

1rdrdrrdF , además 0 rr en el punto A y

2arr en el punto B. Tenemos:

2

2

0

22

0

2

22

1a

rrdrdF

aa

AB

La integral de línea del vector a , tomada por el contorno

cerrado C se llama circulación del vector del campo por el

contorno dado y se representa por el símbolo C

rda . La

dirección del recorrido del contorno se indica de antemano, con la particularidad de que se considera positivo el recorrido en sentido antihorario y negativo en sentido horario.

Para los campos planos vectoriales jyxaiyxaa yx ,,

tiene lugar la siguiente afirmación:

Si la función vectorial jyxaiyxaa yx ,, es continua

junto con las derivadas x

a

y

a yx

en la región cerrada

CGG entonces:

G

yx

G

xydyadxadxdy

y

a

x

a ,

resultado que se conoce como la fórmula de Green.

Ejemplo 5. Calcúlese la integral curvilínea

G

dyyxdxyx donde C es la circunferencia C: x2 +

y2 r2. Solución. Aplicando la fórmula de Green podemos escribir:

2211 rdxdydyyxdxyx

CKG

, puesto que

CK

dxdy es el área del círculo KC: x2 + y2 r2.

ACTIVIDADES

14. Calcúlese el trabajo del campo de fuerzas jxiyF ,

cuando el punto material se desplaza a lo largo de la mitad

superior de la elipse 12

2

2

2

b

y

a

x , del punto A(a, 0) al

punto B( - a, 0).

15. Calcule la integral de línea OB

rda si

jxiyraa 22 , O(0, 0), B(1, 1) respecto de las líneas

siguientes: a) El segmento de recta OB b) El arco de la parábola y2 = x




c) El arco de la parábola x2 = y d) La quebrada OAB donde A(1, 0) e) La quebrada OCB donde A(1, 0) donde C(0,1)

16. Calcúlese la circulación del vector jxiya a lo largo de

la circunferencia (x – x0)2 + (y – y0)

2 = R2 en sentido negativo.

17. Calcúlese la integral de línea

OA

rda si kyjxiza y

la ecuación del arco

OA es ktjtitr 32 , 0 t 1.

18. Calcúlese la integral de línea

OA

rda si

kxyjxziyza y

OA es la primera espira de la hélice

x = a Cos t, y = a Sen t, z = ht (0 t 2)

19. Calcúlese la circulación del vector kyjxiza a lo

largo de la circunferencia x2 + y2 + z2 = R2 x + y + z = R

en dirección positiva respecto al versor k

20. Calcúlese la circulación del vector kxjxiya a lo

largo de la elipse xyazyx

22

22

2en dirección

positiva respecto al versor i .

21. Calcúlese el trabajo del campo de fuerzas

kxjyixyF 222 , cuando el punto material se

desplaza a lo largo de la dirección del hiperboloide x2 + y2

– 2z2 = 2a2, por el plano y = x del punto A(a, a, 0) al punto

B( 2a , 2a , a).

Aplicando la fórmula de Green calcúlese las integrales:

22. C

dyyxdxyx 2222 , donde C es el contorno

formado por la semicircunferencia 22 xry y el eje

Ox.

23. C

dyyxdxyx22 , donde C es el contorno formado

por la sinusoide y = Sen x y el segmento del eje Ox para 0

x

24.

222

22

ryx

dyxyydxx

25. C

dyyxdxyx 222 , donde C es el triángulo con

vértices O(0, 0), A(1, 0) y B(0, 1)

4. Integral de superficie de segunda especie. La superficie suave G en el espacio tridimensional se llama de dos caras, si la normal a la superficie, al recorrer cualquier contorno cerrado que se encuentra sobre la superficie G y que no tiene puntos comunes con su frontera, retorna a la posición inicial. La elección de una cara determinada de la superficie, es decir, la elección de la dirección de la normal hacia la superficie se llama orientación de la superficie. Sea G la superficie orientada suave a trozos y

kzyxajzyxaizyxaa zyx ,,,,,, el campo

vectorial. Dividamos la superficie G en superficies parciales

G1, G2,…, Gn, cuyas áreas designaremos mediante v (v = 1,

2, …, n) y las áreas de las superficies parciales Gv, provistas de

normales nv(Pv) en los puntos Gv G, la denotamos por v (es decir, consideramos cada área de tal índole como un

vector de longitud v y de dirección nv(Pv)). Pues, si existe el

límite de la sucesión de sumas integrales v

n

v

vPa

1

para

0 vv

máx (y para n ), que no depende ni del modo de

partir la superficie G en superficies parciales ni de la elección de los puntos Pv en estas superficies parciales, entonces este límite se llama integral de superficie de segunda especie respecto a la superficie G y se designa mediante:

dxdyadxdzadydzada z

G

yx

G

Es decir:

n

i

vvrmáx

G

PaLímdav

v10

(5)

Si el campo Pa es continuo en G, la integral (5) existe.

La integral de superficie de segunda especie se llama también

flujo del campo vectorial Pa a través de la superficie

G. Puede ser interpretada físicamente como la cantidad de un fluido (líquido o gas) que pasa por unidad de tiempo en la dirección dada a través de la superficie G. El paso a otra cara de la superficie cambia la dirección de la normal hacia la superficie y por eso, también el signo de la integral de superficie de segunda especie. El cálculo de la integral de superficie de segundo género se reduce a l cálculo de la integral de superficie de primer género.

dCosaCosaCosadnadaG

zyx

GG

(6)

donde CosCosCosn ,, es la normal unitaria a la

superficie, o al cálculo de la suma de tres integrales dobles:

31 2 G

z

G G

yx

G

dxdyadxdzadydzada

donde D1, D2, D3 son las proyecciones de G respectivamente sobre los planos Oyz, Oxz, Oxy.

Ejemplo 6. Hállese el flujo del vector kzjyixr

a

través de una parte de la superficie del elipsoide

12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x , situada en el primer octante, en dirección

de la normal exterior. Solución. En virtud de (6) tenemos:

dzCosyCosxCosdnrGG

Puesto que en el primer octante la normal exterior del elipsoide forma con todos los ejes coordenados ángulos agudos, todos los tres cosenos directores son no negativos. Por eso:

31 2 GG GG

zdxdyydxdzxdydzdna

23

4

8

133

abcabcvdna

G

(Cada una de las integrales respecto a G1, G2, G3 determina el volumen de una octava parte del elipsoide).

Ejemplo 7. Hállese el flujo del vector kzjyixa 222 a

través de toda la superficie del cuerpo x2 + y2 + z2 3R2, 2220 Ryxz en dirección de la normal exterior.




Solución. Tenemos:

26.


dinámica

Documents