II semestre 2012

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DINÁMICA APLICADA

Elementos físicos de un sistema mecánico dinámico

Oscar Díaz (8-855-700), Juan Montero (4-754-1074) .Panamá 24 de Septiembre de 2012. Dinámica

Aplicada. Universidad Tecnológica de Panamá, Facultad de Ingeniería Mecánica. Grupo 1IM-131 A.

Abstracto:

El siguiente informe tiene como objetivo

principal determinar los parametros de un

sistema de pendulo simple bajo vibracion

libre no amortiguada, aparte de desarrollar y

analizar el modelo matematico, comparando

resultados teoricos y experimentales.

Marco Teorico:En este informe se basa

principalmente en la segunda ley de Newton

la cual dice que el cambio de movimiento es

proporcional a la fuerza motriz impresa y

ocurre según la línea recta a lo largo de la

cual aquella fuerza se imprime.[1]

Procedimiento:

a) Seleccione los parametros (longitud

y masa) de un pendulo simple. Para

cada una de las tres experiencias a

realizar.

b) Especifique las condiciones iniciales

indicadas en el pnto 2.4 de los

objetivos especificos.

c) Mida el periodo natural de oscilacion

para tres ciclos de movimiento.

Calcule el periodo promedio de la

oscilacion. Calcule la frecuencia

natural y la frecuencia natural

circular.

d) Obtenga la ecuacion diferencial de

movimiento en funcion de θ .

Obtener la posicion, velocidad y

aceleracion para:

Θ(0) = X0 y �̇�(0)=0. Graficar

utilizando: Excel, Matlab o

Scilab y Simulink o Xsico.

e) Determine analiticamente el

periodo, la frecuencia natural y la

frecuencia natural de movimiento.

Resultados:

Modelo matemático por Energía Cinética y

Potencial:

𝐸 = 𝑇 + 𝑈

𝐸 =1

2𝑚(𝑙𝜃)̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃)

𝑑𝐸

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(1

2𝑚(𝑙𝜃)̇ 2 + 𝑚𝑔𝑙(1 − cos 𝜃))

𝑚(𝑙�̇�)𝑙�̈� + 𝑚𝑔𝑙(sin 𝜃)�̇� = 0

(𝑙�̈� + 𝑔 sin 𝜃)𝑚𝑙�̇� = 0

(𝑙�̈� + 𝑔 sin 𝜃) = 0

La solución es la siguiente:

𝜃 = 𝐶𝑒𝑠𝑡

�̈� = 𝐶𝑒𝑠𝑡𝑠2

(𝑚𝑠2 + 𝑘)𝐶𝑒𝑠𝑡𝑠2 = 0

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(𝑚𝑠2 + 𝑘) = 0

𝑠12 = ±√𝑘/𝑚

𝑤𝑛 = √𝑘/𝑚

Remplazamos esta solución en la función de

posición:

𝜃(𝑡) = 𝐶1 sin 𝑤𝑛 𝑡 + 𝐶2 cos 𝑤𝑛 𝑡

= 𝐶1 sin √𝑘

𝑚 𝑡

+ 𝐶2 cos √𝑘

𝑚 𝑡

Derivando la función de posición para

encontrar la función de velocidad:

�̇�(𝑡) = 𝐶1𝑤𝑛 cos 𝑤𝑛 𝑡 − 𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡

= 𝐶1√𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡

− 𝐶2√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

Derivando la función de velocidad para

encontrar la función de aceleración:

�̈�(𝑡) = −𝐶1(𝑤𝑛)2 sin 𝑤𝑛 𝑡

− 𝐶2(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡

= −𝐶1

𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

− 𝐶2

𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡

Con las condiciones iniciales de 𝜃(0) = 𝑋𝜃0

y �̇�(0) = 0 remplazamos en las ecuaciones

de posición y velocidad para encontrar las

constantes 𝐶1 y 𝐶2

𝜃(0) = 𝐶1 sin 𝑤𝑛 0 + 𝐶2 cos 𝑤𝑛 0

= 𝐶1 sin √𝑘

𝑚 0

+ 𝐶2 cos √𝑘

𝑚 0

𝑋𝜃0 = 𝐶1 sin 0 + 𝐶2 cos 0 = 0 + 𝐶2

𝐶2 = 𝑋𝜃0

�̇�(0) = 𝐶1𝑤𝑛 cos 𝑤𝑛 0 − 𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 0

= 𝐶1√𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚0

− 𝐶2√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 0

0 = 𝐶1√𝑘

𝑚cos 0 − 𝑋𝜃0√

𝑘

𝑚sin 0

= 𝐶1√𝑘

𝑚+ 0

𝐶1 = 0

Finalmente remplazamos las constantes 𝐶1 y

𝐶2 en las ecuaciones de posición, velocidad y

aceleración:

𝜃(𝑡) = 𝐶2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = 𝑋0 cos 𝑤𝑛 𝑡

= 𝑋𝜃0 cos √𝑘

𝑚 𝑡

�̇�(𝑡) = −𝐶2𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋0𝑤𝑛 sin 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

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�̈�(𝑡) = −𝐶2(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋0(𝑤𝑛)2 cos 𝑤𝑛 𝑡 = −𝑋𝜃0

𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡

La Amplitud X esta dada por:

𝑋 = √𝐶12 + 𝐶2

2 = √𝐶22 = 𝐶2

Para L1= 0.20 m.

mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.20 m) = 1.0192=K1

t1=2.51, t2=2.59, t3=2.57 , Tprom=2.55.

ƒn=1/τn= 1/ 2.55=0.39 ωn=2π ƒn= 2.46

Para L2= 0.40 m.

mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.40 m) = 2.0384=K2

t1=3.51, t2=3.53, t3=3.50 , Tprom=3.51.

ƒn=1/τn= 1/ 3.51=0.28 ωn=2π ƒn= 1.79

Para L3= 0.60 m.

mgLθ = (0.520 kg) (9.8 m/s2) (0.60 m) = 3.0576=K3

t1=4.38, t2=4.18, t3=4.34 , Tprom=4.30.

ƒn=1/τn= 1/ 4.30=0.23 ωn=2π ƒn= 1.46

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Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.

Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.

�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L1= 0.20 m , k=1.0192, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=2.55.

�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.

Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.

�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L2= 0.40 m , k=2.0384, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=3.51.

�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.

Θ(t)=𝑋𝜃0 cos √𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.

�̇�(𝑡) = −𝑋𝜃0√𝑘

𝑚sin √

𝑘

𝑚 𝑡

II semestre 2012

Para L3= 0.60 m , k=3.0576, θ= 0.174 rad, m=0.520 kg, t=4.30.

�̈�(𝑡) = −𝑋𝜃0𝑘

𝑚cos √

𝑘

𝑚 𝑡