diferencia entre conductores y materiales dieléctricos ... · materiales dieléctricos en campos...

ITCR- Teoría Electromagnética 1 Dipl.-Ing. José Arnoldo Rojas Coto

Capítulo 6:

Dieléctricos y capacitancia


Naturaleza de los materiales dieléctricos

Diferencia entre conductores y materiales dieléctricos.

+ -

Sin la presencia de un campo eléctrico externo, la orientación de las moléculas es aleatoria y la suma es cero (nivel más bajo de energía)

Conductores eléctricos y materiales dieléctricos

Electrones libresResto de cada átomo

Moléculas sin polarización eléctrica externa

Estructura cristalina de un metal conductor sin polarización eléctrica externa

Estructura cristalina de un material dieléctrico o aislante

+ -

+ -

+ -

+ - + -

+ -+ - + -+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ - + -+ -

+ -

+ -

+ -+ -+ -

+ -+ -

+ -+ - + - + -

Sin la presencia de un campo eléctrico, los electrones de conducción deambulan en la estructura cristalina sin una orientación definida, es aleatoria. La polarización eléctrica de la sustancia es cero



Diferencia entre conductores y materiales dieléctricos.Electrones libres

Resto de cada átomo

+ -

+ -

+ -

+ - + -

+ -+ - + -+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ - + -+ -

+ -

Moléculas sin polarización eléctrica

Sin la presencia de un campo eléctrico, la orientación de las moléculas es aleatoria


+-


Materiales dielMateriales dielééctricos en campos elctricos en campos elééctricosctricos

Materiales con n < 109 electrones libres por cm3 son materiales no conductores llamados aislantes o dieléctricos.(Compare: Cobre 8,5x1022e/cm3)Los materiales dieléctricos son permeables con campo eléctrico, e.d. no bloquean el CE. Éste los puede atravesar sin dificultad alguna.

Los modelos que se presentan a continuación describen el comportamiento diferenciado de materiales dieléctricos sometidos a un campo eléctrico


Polarizabilidad de Polarizabilidad de áátomostomos

El campo eléctrico aplicado a un átomo causa fuerzas con sentido invertido en el núcleo con carga positiva y en los electrones con carga negativa. Debido a las dos componentes de la fuerza que allí se generan, se deforma la envoltura en donde se encuentran los electrones.El centro de gravedad eléctrico dado por las cargas positivas y negativas de esta nueva configuración no coincide con el original y el átomo geométricamente visto, no es neutral.

La presencia de un CE en algunos materiales y las fuerzas La presencia de un CE en algunos materiales y las fuerzas que que ééste origina en su interior originan la polarizabilidad de ste origina en su interior originan la polarizabilidad de estos materiales. Se forman en ellos dipolos elestos materiales. Se forman en ellos dipolos elééctricos.ctricos. ITCR- Teoría Electromagnética 1 Dipl.-Ing. José Arnoldo Rojas Coto

Polarizabilidad de orientaciPolarizabilidad de orientacióónnSustancias que por su estructura molecular contienen dipolos eléctricos pronunciados, p.ej. el agua (H2O), en ausencia de un CE no muestran una orientación definida. Por la posición „desordenada“ de esos dipolos unos con otros, se comporta la materia neutra, desde el punto de vista eléctrico. Sin embargo bajo la influencia de un campo eléctrico, se ejerce sobre ellas un „momento de giro eléctrico“ que hace rotar la molécula.

2 átomos de hidrógeno

Átomo deoxígeno

La molécula de agua constituye un dipolo eléctrico, en el cual +Q und –Q representan a dos cargas elementales separadas una distancia de aprox. 10-10 m (1 Angstrom).

α = 105 °


PolarizaciPolarizacióón de desplazamienton de desplazamiento

- +

l

- +

l ∆l

Las mismas cargas bajo la influencia de un CE experimentan fuerzas que causan la separación de las cargas.

Dipolo formado por dos cargas de igual magnitud pero signo contrario sin CE.

La polarización de desplazamiento aparece -adicionalmente a la polarización de orientación- en todo átomo y/o molécula que están bajo la influencia de una CE.


Polarizabilidad de ionesPolarizabilidad de iones

Na Cl

Na+ Cl-

En la molécula de sal, el átomo de sodio complementa la capa externa del átomo de cloro, creando localmente un ion negativo (Cl) a la derecha y uno positivo a la izquierda (Na).

En materiales, cuya estructura cristalina se compone de iones positivos y negativos, se presenta un desplazamiento o rotación de esa estructura bajo la influencia de un campo eléctrico.Ejemplo: Cloruro de sodio, NaCl, (Sal de cocina)

Unión iónica

1711


Estructura cristalina del cloruro de sodio con iones positivos de sodio e iones negativos de cloro.

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Cl-Cl-

Cl-

Cl-

Cl-

Cl-

Cl-Cl-

Cl-

Na+

Na+

Bajo la influencia de un campo eléctrico, se generan fuerzas sobre los iones de sodio y los de cloro que causan la polarización eléctrica del cloruro de sodio.

EF

F


Cl-

Cl-Na+

Na+

Cl-Cl-

Cl-

Na+

Na+

Na+ Cl-

Cl-Cl-

Na+

Na+

Estructura cristalina del cloruro de sodio con iones positivos de sodio e iones negativos de cloro.

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Na+

Cl-Cl-

Cl-Cl-

Cl-

Cl-

Na+Na+

Bajo la influencia de un campo eléctrico, se generan fuerzas sobre los iones de sodio y los de cloro que causan la polarización eléctrica del cloruro de sodio.

EF

FNa+


+-

+

+

-

- +

+

-

- +

+

-

- +

+

-

-

+

+

-

-

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

+

+

-

-

+

+

Mientras que en un campo eléctrico la sustancia se polariza. En el interior se forman dipolos y en las superficies externas se puede comprobar la existencia de cargas eléctricas superficiales.

Sin campo eléctrico, el NaCl se comporta eléctricamente neutral

Polarización de materiales dieléctricos

-

-

-

-

--

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

++

+ +

- -

-

-

-



Diferencia entre conductores y materiales dieléctricos.

+ -

+ -

+ -

+ - + -

+ -+ - + -+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ - + -+ -

+ -


La orientación de las moléculas es aleatoria


Algunas sustancias, por ejemplo el agua, contienen moléculas denominadasmoléculas polares. En ellas el centro de las cargas positivas (centro de gravedad eléctrico de la parte positiva) no coincide con el centro de gravedad eléctrico de las cargas negativas y, por tanto, se presenta unaasimetría en la distribución física local de cargas en la molécula, como se ilustra en la figura. Las sustancias cuyas moléculas poseen cargas eléctricasdistribuidas en forma simétrica se denominan apolares.

Moléculas de agua


Moléculas polares y apolares

Molécula apolar. P.ej. átomo de hidrógeno al vacío y sin la influencia de un campo eléctrico

Molécula polar. P.ej. Molécula de agua

± + -



Moléculas polarizadas eléctricamente en forma idealEn realidad los centros de las moléculas no coinciden como se ha representado aquí. Además, un campo muy intenso puede producir un desplazamiento interno de las cargas de una molécula, deformándola.

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

+ -+ -+ -+ -

Dipolos eléctricos

Los dipolos eléctricos no son cargas libres y no contribuyen al proceso de conducción de corriente eléctrica. Su posición física dentro de la estructura es relativamente fija y constante, definida por las fuerzas interatómicas y moleculares. Este gráfico no contiene las cargas libres (electrones)!!!



Naturaleza de los materiales dieléctricosConductores eléctricos y materiales dieléctricos

Momento dipolar de la molécula de agua

Oxígeno (O --)

Hidrógeno (H +)

Los dipolos se caracterizan por su momento dipolar p:

dQprr

=En donde Q es la carga positiva y d es el vector que va desde el “centro de gravedad eléctrico” de la “carga negativa” al de “la positiva”. Unidades: Cm

p = 0,6333(10-7)Cmdr



Si hay n dipolos por unidad de volumen, y se tiene un pequeño volumen ∆V, hay n∆V dipolos en dicho volumen y el momento dipolar se calcula por la sumatoria vectorial:

∑∆

=

=vn

iitotal pp

1

rr

Si los dipolos están alineados en la misma dirección, ptotal puede tener un valor significativo. Una orientación aleatoria produce un ptotal cercano a cero (nivel más bajo de energía que toma la sustancia).

+ -+

-

+ -

+ - + -

+ -+ - + -+ -+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ - + -+ -

+ -


La orientación de las moléculas es aleatoria



Se define P como el momento dipolar “total” por unidad de volumen

2100

1lim1limmCenp

vp

vP

vn

iivTotalv ∑

∆

=→∆→∆ ∆

=∆

=rrr

P se definirá como un campo continuo, a pesar de que no está definido en puntos interiores de átomos y moléculas. Sin embargo su valor se podría tomar como el valor promedio en un pequeño volumen ∆v, el cual contiene por definición muchas moléculas y que es lo suficientemente pequeño para aplicar el cálculo diferencial.



dQprr

=


d/2

Centro de giro de cada molécula apolar sometida a la influencia de E

Superficie ∆S



dQprr

=


+ - +- + -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

+ -

Carga positiva “debajo” de la superficie

Carga negativa “encima” de la superficie

Cualquier carga positiva que inicialmente se encuentra debajo de la superficie ∆S y dentro de una distancia d/2 cos Θ, debe haber atravesado la superficie desplazándose hacia arriba.

Cualquier carga negativa que inicialmente se encuentra sobre la superficie ∆S y dentro de una distancia d/2 cos Θ, debe haber atravesado la superficie desplazándose hacia abajo.

∆S



Como existen n moléculas por unidad de volumen, la carga total que fluye hacia arriba es :

SdQnQd

b ∆⋅Θ=∆

43421

321 r

molécula una dedipolar Momento

cos

El subíndice b (bonded) indica que las cargas no son libres sino ligadas ( en una molécula) :



Como existen n moléculas por unidad de volumen, la carga total que fluye hacia arriba es :

SnQdQb ∆⋅Θ=∆ cos

El subíndice b (bonded) indica que las cargas no son libres sino ligadas a la estructura molecular del material.

SdnQQbrr

∆⋅=∆O bien:



{ SdnQQP

b

rr

r

∆⋅=∆

En términos de polarización P:

SPQbrr

∆⋅=∆Si ∆S es un elemento diferencial de superficie de una superficie cerrada dentro de un dieléctrico, el incremento neto de la carga ligada dentro de la superficie cerrada es:

∫ ⋅−=S

b SdPQrr



Esta fórmula es análoga a la del Teorema (Ley) de Gauss:

∫ ⋅=S

SdDQrr

Así se puede generalizar la definición de densidad de flujo eléctrico para poder aplicarla a medios diferentes en el espacio libre.

El signo negativo se coloca para indicar que las cargas positivas se ubican al exterior de la superficie en análisis, mientras que en la superficie opuesta queda cargada negativamente haciendo coincidir esta expresión con la que luego continúa.

∫ ⋅−=

S

b SdPQrr

Carga causada por los electrones!!!



∫ ⋅=S

SdDQrr

Entonces la carga total que aparecería en la superficie sería la suma de los dos tipos de carga eléctrica Q y Qb:

∫ ⋅−=S

b SdPQrr

∫ ⋅=+=

S

bT SdEQQQrr

0ε

Q es la carga libre encerrada dentro de la superficie. Así se obtiene una expresión para la carga libre, que es el tipo de carga más importante y la que luego se tratará en las ecuaciones de Maxwell:

⋅−−⋅=−= ∫∫

SSbT SdPSdEQQQ

rrrr0ε



Q es la carga libre encerrada dentro de la superficie. Así se obtiene una expresión para la carga libre, que es el tipo de carga más importante y la que luego se tratará en las ecuaciones de Maxwell:

∫

∫∫⋅+=

⋅+⋅=−=

S

SS

bT

SdPEQ

SdPSdEQQQ

rrr

rrrr

)( 0

0

ε

ε

Así se define D en términos más generales que los que se utilizaron en el capítulo 3:

PEDrrr

+= 0ε



+-Electrones libres (Q)

+ - + -+ - + -+ -+ -+ - + -+ - + -+ - + -+ -+ -+ - + -

+ - + -+ - + -+ -+ -+ - + -

+ - + -+ - + -+ -+ -+ - + -+ - + -+ - + -+ -+ -+ - + -

Cargas ligadas (Qb)



Así aparece un término adicional para la expresión de D cuando está presente un material polarizable desde el punto de vista eléctrico.

∫∫ ⋅+=⋅=SS

SdPESdDQrrrrr

)( 0ε



Si se utilizan las expresiones con densidad de carga volumétrica:

∫∫∫

=

=

=

v TT

v v

v bb

dvQ

dvQ

dvQ

ρ

ρ

ρ



Aplicando el teorema de la divergencia, se transforman las ecuaciones en sus ecuaciones equivalentes:

v

T

b

D

E

P

ρ

ρε

ρ

=⋅∇

=⋅∇

−=⋅∇

r

r

r

0

∫ ⋅+=S

SdPEQrrr

)( 0ε

Nótese que solamente las expresiones enmarcadas con fusia, involucran a la carga libre. Para utilizar estas nuevas expresiones en forma útil, se requiere conocer la relación entre E y P para un material específico. Para simplificar este aspecto, nos limitaremos a materiales isotrópicos (materiales con características idénticas en cualquier dirección), porque para estos materiales la relación entre E y P es lineal.



vD ρ=⋅∇r

∫ ⋅+=S

SdPEQrrr

)( 0ε

En los materiales isotrópicos los vectores E y P siempre son paralelos independientemente de la orientación del CE.

A pesar de que la mayoría de los materiales empleados en Electrónica son materiales lineales e isotrópicos, para intensidades de CE desde moderadas hasta altas, los monocristales pueden ser anisotrópicos.

Esa anisotropía se origina por la naturaleza periódica de los materiales cristalinos, que causa que los momentos dipolares se alineen con mayor facilidad a lo largo de los ejes del cristal y no necesariamente en la dirección del CE.


er

ee

dondeEn

EEEDr

χε

χεεχεε

+=

+=+=

1

)1(000 321

rrrr


En materiales ferroeléctricos la relación entre E y P no es solamente no lineal, sino que posee histéresis. En otras palabras, la polarización producida por la intensidad de CE depende de la “historia eléctrica” de la muestra. (Titanato de bario, sal de Rochelle).La relación lineal entre E y P está dada por la expresión:

EP e

rr0εχ=

En donde (ji) es una cantidad adimensional denominada susceptibilidad eléctrica del material. Si se aplica esta relación a la fórmula:

eχ

PEDrrr

+= 0ε

Se obtiene:

Constante dieléctrica del material o factor de permitividad (mal llamada “permitividad relativa”)


EED r

rrrεεε == 0


Así se obtiene:

A ε se le denomina la permitividad del material dieléctrico


Material εr = 1 + χeVacío 1Aire ≈1Metales 1Germanio 16Silicio 11Bakelita 4,8 ...5,3Titanato de Bario 103 ...104

Vidrio ≈10Glimmer ≈8Porcelana 5Polystrol 2,6Aceite de Trafos 2,3Agua ≈80

Factor de permitividadFactor de permitividad εεrrDe diferentes materiales a 20°C


Condiciones de frontera con materiales dielCondiciones de frontera con materiales dielééctricosctricos

Cuando se excitan diferentes materiales dieléctricos contiguos por medio de un CE, la intensidad del CE en su interior es diferente.

En lo siguiente se analizarán dos materiales dieléctricos con εr1 y εr2. Si el campo eléctrico en el primer material tiene el ángulo α1, Qué ángulo tiene α2 en el dieléctrico del segundo material ?


α2

E2Et2

En2h

l

ds

εr1 εr2

Análisis par una trayectoria cerrada en la zona fronteriza:

⌠⌡E ds = 0s

Se elige una trayectoria de integración simple (rectángulo rojo) con h → 0! (condición de frontera!)

- En1 ½h - Et1 l + En1 ½h + En2 ½h + Et2 l - En2 ½h = 0

Et1 = Et2

La componente tangencial de la intensidad de CE es continua!

Et1

α1

E1

En1

Material 1Material 2


α1

D1

Dn1 Dt1

α2

D2Dt2

Dn2

εr1 εr2

Se analiza un pequeño volumen cerrado en el límite fronterizo de los materiales:

⌠⌡D dA = 0A

Elíjase una trayectoria de integración simple!h

A2

n2

A1

n1

La frontera es libre de cargas!

En el límite fronterizo h ⇒ 0 solamente las áreas A1 y A2 contribuyen en la integral cerrada :

Dn1 = Dn2

Dn1 A1 n1 + Dn2 A2 n2 = 0

con A1 = A2 y n1 = -n2 se concluye:

La componente normal de la densidad eléctrica de desplazamiento es continua!

-


α1

E1

En1 Et1

α2 E2Et2

En2

εr1εr2

De las condiciones de continuidad para E y Dobtenidas en el límite fronterizo, se deriva la ley de refracción del campo eléctrico:

D = ε0εr E

2222

2222

1111

1111

sin

cos

sin

cos

α

α

α

α

EEE

EEE

EEE

EEE

tt

nn

tt

nn

rr

rr

rr

rr

==

==

==

==


Ley de refracción del campo eléctrico.

α1E1

En1

Et1

α2 E2Et2

En2

εr1εr2

2

2

1

1

2202220

22

2

2

1101110

11

1

1

2220211101

222111

tan1cos

tan1cos

:sexpresione ambas entre cociente el forma se

coscos

n

t

n

t

rrn

t

rrn

t

rnrn

tt

DE

DE

E

senE

DE

E

senE

DE

EDED

senEEsenEE

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

rrrr

rrrr

=

==

==

===

===

αεεαεε

α

αεεαεε

α

αεεαεε

αα

11

22

110

202

tantan

tantan

αεε

α

αεεεε

α

r

r

r

r

=

=


Conclusiones generales:La dirección de E en cada lado de la frontera coincide con la de D.La magnitud de D en la región 2 puede determinarse de la manera siguiente:

122

2

11

212

122

1

21

212

cos)(

)(cos

αεεα

αεεα

+=

+=

senEE

senDD


ReglaRegla

En la frontera entre dos materiales dieléctricos la componente tangencial de la intensidad del campo eléctrico E y la componente normal de la densidad de flujo de desplazamiento D son continuas.

tanα2 = tanα1εr2εr1

La ley de refracción del campo eléctrico dice:

En la frontera entre dos materiales dieléctricos diferentes, la dirección del campo eléctrico se quiebra!!!


+ -

Ejemplo 1

Dos placas paralelas están conectadas a una tensión V. Entre ellas se encuentran dos dieléctricos ε1 y ε2 con el mismo espesor.

a) Aplicando las condiciones de frontera: Cuál magnitud es constante: E o D?b) Determine la densidad de flujo eléctrico D en los dos materiales.c) Determine la intensidad de CE en los dos materiales.d) Dibuje líneas de campo eléctrico en ambos materiales.e) Dibuje líneas de flujo eléctrico en ambos materiales.

D1

E1

E2

D2

ε2ε1


+ -

Ejemplo 1

Si ε1 > ε1, y dado que D es constante , E1 < E2 , si se dibujan líneas equipotenciales separadas una distancia tal que represente una diferencia de potencial constante, entonces habrá más líneas equipotenciales en el material 2 que en el 1.

D1

E1E2

D2

ε2ε1 >


+ -

Ejemplo 2

Dos placas paralelas están conectadas a una tensión V. Entre ellas se encuentran dos dieléctricos ε1 y ε2 con el mismo espesor .

a) Aplicando las condiciones de frontera: Cuál magnitud es constante: E o D?b) Determine la intensidad de CE en los dos materiales.c) Determine la densidad de flujo eléctrico D en los dos materiales.d) Dibuje líneas de campo en ambos materiales.e) Dibuje líneas de flujo eléctrico en ambos materiales.

D1

E1

E2

D2 ε2

ε1


+ -

Ejemplo 2

D1

E1

E2

D2 ε2

ε1

Si ε1 > ε1, y dado que E es constante , D1 > D2 , si se dibujan líneas de flujo eléctrico separadas una distancia tal que representen una diferencia de flujo eléctrico constante, entonces habrá mayor cantidad de líneas de flujo eléctrico en el material 1 que en el 2.

Superficies equipotenciales


Continuidad del potencial elContinuidad del potencial elééctrico en la frontera entre dos ctrico en la frontera entre dos materiales dielmateriales dielééctricosctricos

Debido a que a que la componente tangencial de E en una zona límite entre dos materiales dieléctricos es continua (esa zona es libre de cargas), el potencial eléctrico V en dicha frontera debe ser forzosamente continuo

Ejemplo:El campo eléctrico E = 4000 V/cm presente en un primer material dieléctrico con (εr1 = 1), incide con un angulo α1= -45° en el límite de un segundo dieléctrico (εr2 = 2). Dibuje para ambos medios la líneas de campo eléctrico y las líneas equipotenciales.


Elección de las escalas:Intensidad de CE: 1 cm ≡ 1000 V/cmDensidad de líneas de campo: 1 cm ≡ 4000 V/cmSeparación de líneas equipotenciales: 1 cm ≡ 4000 V

Un método de solución:

2. Con α2 y Et1 = Et2 dibuje E2 und En2.

3. Defina la línea equipotencial ϕo = 0 V enεr1. Partiendo de la frontera en dirección perpendicular a E2 continuar la línea.

4. Partiendo de E1 y E2calcular líneas equipotenciales para, ϕ1 = 6000 V, p.ej.

1. Calcule α2

εr1 = 1 εr2 = 2

En1

Et1

1cm

α1 = 45°

E1

4 cm ≡ 16 kV


Solución:

1. Cálculo de α2

εr1 = 1 εr2 = 2

En1

Et1

1cm

α1 = 45°

E1 °==°=

=

43,63)2arctan())45tan(2arctan(

tantan

2

1

212

αεεααr

r


Cálculo de E2 y En2:

2. con α2 y Et1 = Et2dibuje E2 y En2

α2 = 63,43°Et2

En2

E2

senα1senα2

E2 = E1

sen45°sen63,43°E2 = E1

E2 = 3163 V/m

d2 ≡ 4000/ 3163 cm

1,26 cm

d2 ≡ 1,26 cm

Cálculo de la sepación de las líneas de campo.Nota: En un campo con mayor permitividad D es mayor, pero E es menor y establece menos líneas de campo!

εr1 = 1εr2 = 2

En1

Et1

1cm

α1 = 45°

E1


4. Partiendo de E1 und E2, calcule las líneas equipotenciales, p. ej. para

ϕ1 = 6000 V.

Elija en forma arbitraria la línea de potencial para ϕ0 = 0 V:

ϕ1 = 6000 V

1,5 cm

1 cm ≡ 4000 V ⇒ 1,5 cm ≡ 6000 V

En el dieléctrico εr1:

En el dieléctrico εr2, una diferencia de potencial de 6000 V con una intensidad de E = 3163 V/cm equivale a una separación de: ϕ0 = 0V

1,9 cm

εr1 = 1 εr2 = 2

E1

E2

cmcmVVd 9,1/3163

6000==


εr1 = 1 εr2 = 2

E1

E2

ϕ1 = 6000 V

ϕ0 = 0V

Lineas de igual potencial eléctrico en ambos medios, son contínuas en la zona limítrofe.

El potencial en la frontera es contínuo!

ϑ1 = 6000 V

ϕ0 = 0V

Continuidad del potencial eléctrico en la frontera entre dos dieléctricos:

ϕ2 = 12000 V

ϕ2 = 12000 V


εDieléctrico isotrópico

M1

M2

-

+

++

++

+++

+++++ +

+

--

-

--

- - - - ---

---

---

Capacitancia

La capacitancia es independiente del potencial y de la carga total. La capacitancia sólo es función de las características constructivas del sistema.


Análisis de un arreglo de dos cuerpos eléctricos de forma cualquiera:

+Q -Q

dA

ds

El cálculo de la capacitancia de un arreglo así, sólo es posible por medio de una ecuación integral

A∫ D dA

C = = QU ∫ E ds

s

E


Capacitancia de dos planos paralelos

La capacitancia de un sistema simple formado por dos planos conductores de dimensiones infinitas separados por una pequeña distancia d es independiente del potencial y de la carga total. La capacitancia sólo es función de las características constructivas del sistema.

+ρS

-

+

-ρS

Densidad uniforme de carga E

x

z

z = d

z = 0Una capa superficial de carga uniforme ± ρS que se encuentra en cada plano produce un campo eléctrico uniforme:

zSzS aDbienoaDE rrr

rr

ρερ

ε===

Superficie del conductor metálicocon dimensiones ∞



+ρS

-

+

-ρS

Densidad uniforme de carga Superficie del conductor metálicocon dimensiones ∞

E

x

z

z = d

z = 0

La diferencia de potencial entre los dos planos es:

ddzLdEV Sd

S

ερ

ερ

=−=⋅−= ∫ ∫inferior

superior

0

0

rr

En el plano inferior D es:

zDD =r

En el plano superior D es:

zDD −=r



+ρS

-

+

-ρS

Densidad uniforme de carga Superficie del conductor metálicoCon superficie finita S

E

x

zz = d

z = 0

La carga eléctrica en cualquiera de los planos es :

dSε

VQC

dV

SQ

S

S

==

=

=

0

0 :es elemento este de iacapacitanc lay

:es placas entre potencial de diferenciala

ερρ


El capacitor coaxial

Un arreglo coaxial posee una capacitancia C:

)/ln(2

ln2

abLC

asíabV

LQ

Lab

L

πε

περ

ρ

=

=

= +Q

+QE, D


El capacitor esférico

Un arreglo compuesto por dos cascarones conductores esféricos concéntricos con radios a y b, siendo b>a y entre ellos se encuentra un volumen con permitividad ε homogéneo posee una intensidad de campo eléctrico E:

baVQC

asíba

QV

rQE

ab

ab

114

)11(4

:es ellas entre potencial ely 4 2

−==

−=

=

πε

πε

πε

Si el segundo conductor se encuentra en el infinito, se obtiene la capacitancia de un conductor esférico cargado y aislado eléctricamente:

aC πε4=

a b


Ejemplo: Calcule la capacitancia que tendría la tierra si en el universo existiera solamente ella y en infinito estuviera la esfera con el potencial cero. El el espacio intermedio existe solamente el vacío:

Radio de la Tierra: r1 = 6,378 106 m


CTierra ≈ 700 µF

C(r2 = ∞) = 4πε0εrr1 ε0 = 8,854 10-12 As/Vm

εr = 1

r1 = 6,378 106 m


Ejemplos de capacitanciaCapacitancia de dos planos paralelos

Un condensador de placas paralelas con dos materiales dieléctricos se ha construido como se muestra en la figura.

a) Determine el valor de E = f(V0, d,ε ) en ambos materialesb) Determine el valor de la densidad de flujo D en ambos materialesc) Determine el valor de la capacitancia C!


Ejemplos de capacitancia

21

21

212

2

1

1 1111)

CCCC

CCSd

SdV

DSVS

VQCc

OO

S

O +=

+=

+===

εε

ρ


21212

21211

21

2122

2

111

2211

222

2

1111

22112211

21

)/()/(

)()(

D D constante es D que Dado a)

ddVE

ddVE

ddEVyddEV

dEdEdEdEV

dEdEVEED

OO

OO

O

O

S

+=⇒

+=

+=+=

+=+=

+=====

εεεε

εε

εε

εε

εε

εερ

2

2

2

1

11

21211 )/(

Como b) DddVD

ddVE OO =

+=⇒

+=

εεεε


Ejemplos de capacitanciaCapacitancia de una línea de dos hilos conductores

x

z

y

a,0,0

-a,0,0

+ρL

-ρL

P(x,y,0)

R1

R2



1

20 ln

2 RRV L

πε

ρ=Como

El potencial en el punto P debido a las cargas rectilíneas infinitas es: (véase problema 5.6 del capítulo anterior)

Si adicionalmente se expresan los radios R1 y R2 en términos de x,y:

44344211

22

22

22

22

1

2)(

)(ln4)(

)(ln2

ln2

K

yaxyax

yaxyax

RRV LLL

+−

++=

+−

++==

πε

ρ

πε

ρ

πε

ρ



Para poder visualizar la forma que tienen las superficies equipotenciales, se requiere un poco de álgebra. Se define el parámetro adimensional K que es función de una superficie equipotencial V1:

22

224

1

11

122

22

1

)()(

4ln

ln4)(

)(ln4

1

1

yaxyaxeK

VK

KyaxyaxVV

L

VL

L

K

L

+−++

==

=

=+−++

==

ρπε

ρπε

περ

περ

4434421

Después de multiplicar y factorizar:2

1

122

1

122

1

12

12

11a-x0

112

−=+

−+

⇒=++−+

−KKa

yKKay

KKaxx



Después de multiplicar y factorizar:

{

2

1

122

1

1

2

2

2

12

11

434214434421b

q

p

KKa

yKKax

−=+

−+

−

Esta es la ecuación de un círculo con radio b:

12

1

1

−=KKa

b

centrado en:

011

1

1 ==−+

= yyhKKax



Capacitancia entre una línea de dos hilos conductores y un plano conductor en el origen

Ahora es evidente que las superficies equipotenciales son cilindros conductores de radio b con su eje situado a una distancia h sobre el eje x, o sea y = 0.

bah

bbhhKybha +

=−+

=−=22

22 1

Si se asume el potencial de un cilindro como V0:

LL

VV

eKeK ρπε

ρπε 00 2

1

4

1 =⇒=

Como el potencial en la distancia media entre las dos líneas de carga es cero, se puede interponer un plano conductor de espesor infinitamente pequeño e ese punto. Así se puede determinar la capacitancia entre ese plano conductor y una línea de carga lineal con potencial V. Si se despejan las dos variables a y K1 en función de h y b se obtiene:




Por lo tanto la densidad lineal de carga es:

1

0

ln4KV

Lπερ =

Dados h, b y V0 se pueden determinar a, ρL y K1. La capacitancia de la línea se puede ahora determinar:

−+

=

=

−+====

1ln

2

ln

2ln2

ln4

2

2

22110

bh

bh

LC

bbhh

LKL

KL

VLC L

πε

πεπεπερ




)/(cosh2

)1ln(

21

2

2 bhL

bh

bh

LC −=

−+

=πεπε

Entonces la capacitancia entre un hilo conductor de carga lineal uniforme y un plano conductor situado en el origen es:

)/(cosh2

1 bhLC −=

πε

Si se recuerda que la función area coseno hiperbólico de x es:

)1ln()(coshcosh 21 −+== − xxxxar

O sea:



Ejemplo de capacitancia de una línea de dos hilos conductores

Dos líneas de carga se encuentran al vacío en a = ± 12 m desde el origen del sistema de coordenadas. Se desea calcular la capacitancia entre el plano conductor y uno de los hilos conductores. Para ello se conoce una superficie equipotencial con V = 100 V la cual tiene un radio b = 5m. Calcule :

a) La posición del eje h de la superficie equipotencial V = 100 Vb) El parámetro K1c) La densidad de carga lineal ρLd) La capacitancia entre la línea y el planoe) Encuentre la posición de la superficie equipotencial cilíndrica-circular con V =

50 V.f) Encuentre la posición de la superficie equipotencial cilíndrica-circular con b =

18 m.g) La intensidad de campo eléctrico E y la densidad de flujo eléctrico Dh) En cuál punto es la densidad de flujo D = Dmax?i) Determine Dmax para las 3 superficies calculadas!




a) La posición del eje h de la superficie equipotencial V = 100 V

mmmhbahbha 13)5()12( 222222 =+=+=⇒−=

a: Distancia de la línea de carga al origen: a = 12 m ; b = radio de la SE: b = 5m

b) El parámetro K1

)(25;55

12131

221 aladimension==

+=

+=

−+= K

mmm

bah

bbhhK

c) La densidad de carga lineal ρL

mnC

VmVC

KV

L 452,336)25ln(

100104ln4 9

1

0 =⋅

⋅⋅==

−

πππε

ρ

d) La capacitancia entre la línea y el plano

mpF

mVnC

VLCC

VLC LL 52,34

100452,3

00====′⇒=

ρρ


V = 100 V

h = 13m

b = 5m

ρL = 3,452nC/m

Plan

o co

nduc

tor c

on V

= 0

V

a = 12m




e) Encuentre la posición de la superficie equipotencial cilíndrica-circular con V = 50 V.

a: Distancia de la línea de carga al origen: a = 12 m y ρL = 3,452 nC/m = son constantes

f) La posición h del centro de la superficie equipotencial con respecto al origen

radiommKKa

b

eKVmC

VmCVKKV

LL

==−

⋅=

−=

==⇒=⋅⋅

⋅⋅==⇒=

−

−

42,1315

51221

2

5610,13610452,3

501044lnln4

1

1

610,119

90

11

0π

πρπεπε

ρ

mKKah 18

151512

11

1

1 =−+

=−+

=


V = 50 V

h = 18m

b = 13,42m

ρL = 3,452nC/m

Plan

o co

nduc

tor c

on V

= 0

V

a = 12m




g) Encuentre la posición de la 3ª. superficie equipotencial cilíndrica-circular con b = 18 m.

Dado b = 18 m = radio de la tercera superficie equipotencial; a = 12 m y ρL = 3,452 nC/m

mmmhbah 633,21)18()12( 2222 =+=+=

)(4913,38685,118

12633,2111 aladimension==

+=

+= K

mmm

bahK

VCm

VmCKVKV L

L 84,38104

36)4913,3ln(10452,34

lnln4

9

91

01

0 =⋅

⋅⋅⋅=

⋅=⇒=

−

−

π

ππερπε

ρ

El potencial de la tercera superficie equipotencial es:


V = 38,84 V

h = 21,63m

b = 18m

ρL = 3,452nC/m

Plan

o co

nduc

tor c

on V

= 0

V

a = 12m


V = 100 VV = 50 V

V = 38,84 V

h = 21,63m

h = 18m h = 13m

b = 18m

b = 13,42m

b = 5m

ρL = 3,452nC/m

Plan

o co

nduc

tor c

on V

= 0

V

a = 12m




h) La intensidad de campo eléctrico E y la densidad de flujo eléctrico D

{

( )( )

+−

−−

++

+=

+−

++∂∂

+−

−−=+−−

∂∂

++

+=+=

∂∂

=+∂∂

=∂∂

⇒+∂

=∂

⇒+=∂∂

⇒++=

=∂

∂

+−

++∂∂

+

+−

++∂∂

−=

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

+−

++−∇=−∇=−=

=

222222

22

2222

22

22

22

22

22

22

0

022

22

0

)(

)(2

)(

)(2

)(

)(ln

)(

)(2)(ln

)(

)(21)(2)ln(

)ln()(2)ln()(211)(2)(

1))(ln(;)(

)(ln)(

)(ln4

)(

)(ln4

yaxax

yaxax

yaxyax

x

yaxaxyax

x

yaxax

taxt

x

taxt

tx

axtx

axxtyax

xxx

yaxyax

yyaxyax

xE

zV

yV

xV

yaxyaxVgradVE

L

L

:tanto lopor

:idéntica forma en

t con

περ

περ

r

r





( )( )

+−−

++=

+−

++∂∂

+−

−=+−−

∂∂

++==

∂∂

=∂∂

=∂∂

⇒∂

=∂

⇒=∂∂

⇒++=

=

+−

++∂∂

222222

22

2222

22

22

22

22

)(

2

)(

2

)(

)(ln

)(

2)(ln

)(

2ˆ12)ln(

)ˆln(ˆ2)ˆln(2ˆ112

ˆ)(ˆ

?)(

)(ln

yaxy

yaxy

yaxyax

y

yaxyyax

y

yaxy

tyt

x

tt

yty

yty

yytyax

yaxyax

y

:tanto lopor

:idéntica forma en

t con





+−

+−−

++

++−=

+−

+−−

++

++−=

+−−

+++

+−

−−

++

+−=

=−∇=−=

22220

22220

222222220

)(

)(

)(

)(2

)(

2)(2

)(

2)(24

)(

2

)(

2

)(

)(2

)(

)(24

yax

ayaax

yax

ayaaxE

yax

ayaax

yax

ayaaxE

yax

ay

yax

ay

yaxaax

yaxaaxE

VgradVE

yxyxL

yxyxL

yyxxL

rrrrr

rrrrr

rrrrr

r

περ

περ

περ

Y la densidad de flujo eléctrico D

+−

+−−

++

++−== 22220

)(

)(

)(

)(2 yax

ayaax

yax

ayaaxED yxyxL

rrrrrr

πρε




xL

xL

aabhabh

D

aabhabh

abhabhbhxD

rr

rr

−−

−+−

=

−−

−−−

+−

+−=−=

)(1

)(1

2

)(

)(

)(

)(2

)(

max

22

πρ

πρ !!!cero! es y componente La

i) En cuál punto es la densidad de flujo D = Dmax?La respuesta a esta pregunta se da por simple inspección.Dmax se logra con Emax y este se presenta en el punto más cercano al origen de las

coordenadas puesto que allí está un plano equipotencial con V = 0Dmax en x = h-b:

j) Determine Dmax para las 3 superficies equipotenciales calculadas!V = 100V: h = 13 m; b = 5m V = 50V: h = 18 m; b = 13,42m V = 38,84V: h = 21,63 m; b = 18m

2max

max

8,16420

452,33203

)20(6

2)100(

)4(1

)20(1

2)12513(1

)12513(1

2)100(

mpCa

mnCaaVD

aaVD

xxL

xL

xL

xL

=⋅

⋅==

=

+=

−−

−+−

=

rrrr

rrr

ππρ

πρ

πρ

πρ




j) Determine Dmax para las 3 superficies equipotenciales calculadas!V = 100V: h = 13 m; b = 5m V = 50V: h = 18 m; b = 13,42m V = 38,84V: h = 21,63 m; b = 18m

[ ] 2max

max

1072

452,31951,02

1951,01951,02

)50(

)42,7(1

)58,16(1

2)1242,1318(1

)1242,1318(1

2)50(

mpCa

mnCaaVD

aaVD

xxL

xL

xL

xL

=⋅

⋅===

+=

−−

−+−

=

rrrr

rrr

ππρ

πρ

πρ

πρ

[ ] 2max

max

8,1002

452,31835,02

1835,01835,02

)84,38(

)37,8(1

)63,15(1

2)121863,21(1

)121863,21(1

2)84,38(

mpCa

mnCaaVD

aaVD

xxL

xL

xL

xL

=⋅

⋅===

+=

−−

−+−

=

rrrr

rrr

ππρ

πρ

πρ

πρ


V = 100 VV = 50 V

V = 38,84 V

h = 21,63m

h = 18m h = 13m

b = 18m

b = 13,42m

b = 5m

ρL = 3,452nC/m

Plan

o co

nduc

tor c

on V

= 0

V

a = 12m


Cálculo aproximado de capacitancia utilizando mapas de campo

La determinación de la capacitancia en arreglos cilíndricos se puede facilitar mediante la técnica que aquí se presentará en breve. La exactitud es lo suficientemente elevada para tener una noción general de su valor aproximado. Para fundamentar el siguiente método, se requiere recordar lo siguiente:

1. La frontera de cualquier conductor presente es una superficie equipotencial2. La intensidad de CE E y la densidad de FE D son perpendiculares a las SE3. Entonces E y D son perpendiculares a las superficies de los conductores y

poseen allí valores tangenciales de CERO4. Las líneas de FE o líneas de flujo empiezan y terminan en cargas eléctricas

y por lo tanto si un arreglo tiene un material dieléctrico homogéneo y libre de portadores de carga, empiezan y terminan sólo en las fronteras del conductor



Considérese el siguiente arreglo. Las líneas de trazo firme son conductores metálicos y las de trazo fino son superficies equipotenciales.

-



Considérese el siguiente arreglo. Las líneas de trazo firme son conductores metálicos y las de trazo fino son superficies equipotenciales dibujadas considerando una diferencia de potencial constante entre ellas.

Superficie del conductor


+

Tubo de flujo eléctrico, porque físicamente se conduce el flujo eléctrico (la carga QS) de un conductor al otro sin pérdida

AA'

B B'ψ ψ

-



Ahora se desea construir una tercera línea de flujo. Donde se ubica el punto C?

Superficie del conductor Superficie

del conductor

Tubo de flujo eléctrico

AA'

B B'∆ψ ∆ψ

C ??

La posición C se escoge de tal forma que el flujo ∆ψque pasa entre A y B pase entre B y C

-+



En donde b es la profundidad del tubo. En este caso se define como de 1 m

Superficie del conductor Superficie

del conductor

AA'

B B'∆ψ ∆ψ

C ??

:es B y Aentre rectilíneo segmento del

intermedio punto el en eléctrico campo de intensidad La

bLDE

E

t∆∆Ψ

==εε1

∆Lt

Pero E se puede calcular también conociendo la diferencia de potencial entre dos líneas equipotenciales vecinas. En el punto intermedio entre A y B:

∆LN

NLVE

∆∆

=

-+




AA'

B B'∆ψ ∆ψ

C ??

∆Lt

Si las líneas equipotenciales son muy cercanas, ∆V es pequeña y las dos líneas de flujo también (∆ψ es pequeña también. Las dos expresiones son cada vez más exactas e iguales entre sí:

∆LN

tN LLVE

∆∆Ψ

=∆∆

=ε1

Si el dieléctrico posee propiedades isotrópicas, ε es constante en todo el espacio, además si se asume que la separación de superficies equipotenciales tiene un incremento ∆V constante y una cantidad de flujo ∆ψ constante en cada tubo

-+




-

AA'

B B'∆ψ ∆ψ

C ??

∆Lt ∆LN

tN LLVE

∆∆Ψ

=∆∆

=ε1

Si el dieléctrico posee propiedades isotrópicas, ε es constante en todo el espacio, además si se asume que la separación de superficies equipotenciales tiene un incremento ∆V constante y una cantidad de flujo ∆ψ constante en cada tubo de 1 m de profundidad, entonces:

VLL

N

t

∆∆Ψ

==∆∆

ε1constante

+



-

AA'

B B'∆ψ ∆ψ

C ??

∆Lt ∆LN

El cociente entre las distancia de flujo medida a lo largo de una equipotencial y la distancia entre las equipotenciales medida a lo largo de una línea de flujo debe ser constante!!!!

!!simple! más cociente el es porque ,1constante==∆∆

N

t

LL

+



+ -A

A'

B B'∆ψ ∆ψ

C

∆Lt

Construir un mapa de campo que sea útil es un arte; la ciencia propone las reglas y la adquisición de destreza se logra solamente con la práctica. Aquí se presenta un primer intento!!!

∆Lt

∆LN



El cálculo de la capacitancia se lleva a cabo sumando todos los cuadrados curvilíneos. El potencial entre los dos conductores se determina contando la cantidad total de espacios entre líneas equipotenciales NV y contando también la cantidad de tubos de flujo NQ.

{

V

Q

Nt

V

Q

LL

V

Q

V

Q

V

QQ

NN

LL

NN

C

VNN

VNQN

C

VNV

NQNQ

N

t

εε

ε

=∆∆

=′

∆∆Ψ

=∆⋅

∆⋅=′

∆⋅=

∆Ψ⋅=∆⋅=

∆∆

=

3211

0

bien o

V

QNN

C ε=′


Cálculo de la capacitancia de un condensador plano

b

a

d

a

26 tubos de flujo y 5 superficies equipotenciales

V

QNN

bCC ε==′d

badAC ⋅== εε

ε526

=′C


El capacitor coaxial

Un arreglo coaxial posee una capacitancia C:

)/ln(2

ln2

abLC

asíabV

LQ

Lab

L

πε

περ

ρ

=

=

= +Q

+QE, D


Cálculo de C` de un condensador coaxial con 16 tubos y 5 superficies equipotenciales

)/ln(2abL

CC πε==′

5

16

=

=

V

Q

N

N

)ln(

25

16

abC πεε

==′ ∆U


Condensador coaxial de 16 tubos y 8 superficies equipotenciales

( )abC

ln2

816 πεε

==′No se toma en cuenta la superficie del conductor interno. Se cuentan los espacios entre las SE.



Construir un mapa de campo que sea útil es un arte; la ciencia propone las reglas y la adquisición de destreza se logra solamente con la práctica. Aquí se presenta un primer intento!!!





%23%

/6,574

25,38

/8,70448

0

0

0

≈

=⋅

=

=⋅

=

=

error

mpFC

mpFC

NN

CV

Q

ε

ε

ε

:serían libro el según

1

2

30,25

? ? ? ?

w

w/4


Los campos electrostáticos se caracterizan por medio de

Relacionadas por medio de

∫ D•dS

La relación Q/U es la capacitancia C

AC =∫ E•dl

c

La integral de línea de la

Intensidad decampo

eléctrico es:

la tensión

U = ∫ E•dl

La integral de área de la densidad

de flujo eléctricoes

la carga

Q = ∫ D•dSA

Densidad de flujoD

Intensidad de campo

Econst. dieléctr. del vacíoε0 = 10-9/36π As/Vmy la const. dieléctrica del material εr=1+χe

D = ε0εrE

c


la tensión

U = ∫ E•dl

la carga

Q = ∫ D•dSA

En el condensador se encuentra almacenada

la energía

W = ½ C U²

∫ D•dS

La relación Q/U es la capacitancia C

AC =∫ E•dl

cc

diferencia entre conductores y materiales dieléctricos ... · materiales dieléctricos en campos...

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