4 el campo elÉctrico en materiales … · 4 el campo elÉctrico en materiales dielÉctricos ......

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————————————————————————————————————————————Teoría Electromagnética

4 EL CAMPO ELÉCTRICO EN MATERIALES DIELÉCTRICOS

4.1 INTRODUCCIÓN

Podemos clasificar a la materia en distintos grupos, dependiendo de las características quenos interesen. Si la fase es importante, la clasificación es sólido, líquido o gas. Si sonpropiedades eléctricas, sería como conductores, semiconductores y dieléctricos (o aislantes).Si son propiedades ópticas, podría ser como transparente u opaco, etc.

La interacción de un campo eléctrico con un material dependerá obviamente de laspropiedades del material; después de todo, la materia está formada por partículas con cargaeléctrica. Al final del Capítulo 2 analizamos el campo en conductores, y en este capítulonos dedicaremos a los materiales dieléctricos. Sin embargo, es conveniente tener enperspectiva las propiedades de los distintos materiales, clasificados en conductores,semiconductores y dieléctricos, especialmente en estado sólido, por lo que tambiénhablaremos aquí de los distintos tipos de sólidos: cristalinos, policristalinos y amorfos.

4.2 CLASIFICACIÓN DE LOS MATERIALES

Los distintos tipos de materiales se pueden clasificar en muchas formas, dependiendo de laspropiedades que nos interese destacar. Para nuestros propósitos, será mejor verlos deacuerdo con sus propiedades eléctricas. Esta sección termina con una descripción simple dela estructura de los sólidos.

4.2.1 CONDUCTORES

Como se vió en el Capítulo 2, los conductores tienen una gran cantidad de portadores decarga libres. Al aplicar un campo eléctrico, estos portadores se mueven con el campo (si sonpositivos) o en contra del campo. Los conductores pueden ser sólidos, líquidos o gases.Ejemplos del primer caso son los metales y los semiconductores degenerados. Losconductores líquidos por lo general son iónicos; contienen una gran cantidad de iones,positivos o negativos, que se mueven con el campo. Un plasma, como la ionosfera, es ungas de partículas cargadas; electrones y iones positivos y negativos.

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4.2.2 SEMICONDUCTORES

Los semiconductores no tienen una gran cantidad de portadores libres, pero el número deéstos se puede controlar al introducir impurezas en el semiconductor. La conduccióneléctrica en un semiconductor se debe a dos tipos de portadores; electrones y huecos(ausencia de electrones). Los semiconductores pueden ser intrínsecos, extrínsecos odegenerados. Los intrínsecos son puros, y tienen el mismo número de electrones y huecos.Al “dopar” un semiconductor, este balance se altera, teniendo entonces mayor número deelectrones (tipo N) que huecos o viceversa (tipo P); un material así se conoce comoextrínseco. Un semiconductor compensado es aquel en el cual se han introducido impurezasde ambos tipos en cantidades iguales. En un semiconductor degenerado, se introducen unagran cantidad de impurezas para poder tener gran capacidad de manejo de corriente, y elmaterial se comporta entonces como un conductor (aunque no tan bueno como un metal).

4.2.3 DIELÉCTRICOS

En contraste, los dieléctricos tienen muy pocas cargas libres. Los electrones en un materialdieléctrico están fuertemente unidos a los átomos y se requiere de mucha energía pararemoverlos, o ionizar a los átomos que lo componen. Pero al ser átomos, tienen cargapositiva y negativa distribuida en el espacio. Por lo general, los dieléctricos son neutros(carga neta = cero). Al colocarlos en un campo eléctrico externo, las partículas cargadas delmaterial —los núcleos y los electrones— tratan de moverse con o contra el campo, pero sinsepararse de sus átomos a menos que el campo sea muy intenso. Sin embargo, este pequeñomovimiento dá origen a una alineación de la carga, por lo que podemos modelar undieléctrico como una asociación de pequeños momentos dipolares. En este capítulo, nosconcentraremos en un tipo especial de materiales; los dieléctricos lineales, isotrópicos yhomogéneos (LIH), que definiremos a través del capítulo.

Los dieléctricos son tan importantes en la electrónica como los conductores y lossemiconductores; se complementan el uno al otro y sin uno de ellos, no podría existir laelectrónica.

4.2.4 SÓLIDOS CRISTALINOS, POLICRISTALINOS Y AMORFOS

Un sólido puede tomar cualquiera de estas tres formas. Para formar un sólido cristalino, serequiere de mucha energía en forma de calor y tiempos de enfriamiento largos. Con la altatemperatura, los átomos o moléculas que constituyen al sólido se liberan de las grandesfuerzas que los unen (cerca del punto de fusión o a temperaturas mayores). Si se le dá untiempo de enfriamiento largo, los constituyentes del sólido encuentran posiciones deequilibrio, o de energía mínima, formando así un cristal. Por lo general, un material puedetener distintos mínimos de energía, y cristalizarse en formas distintas. Éstas se conocencomo formas alotrópicas del material. Un ejemplo común es el carbón, que puedecristalizarse en forma de grafito (hexagonal) o en forma de diamante. Este último casorequiere de altas presiones además de altas temperaturas.

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Un policristal es un sólido formado por secciones cristalinas macroscópicas (mayores a nm)con diferentes orientaciones.

Un sólido amorfo no presenta arreglo en los átomos. Se puede obtener al calentar el materialcerca o más arriba del punto de fusión, y después enfriarlo rápidamente (templado). En estecaso, los átomos o moléculas no pueden encontrar posiciones de equilibrio, y quedan donde“se les acabó la energía”.

4.3 EL MOMENTO DIPOLAR ELÉCTRICO

Al calcular el campo eléctrico de un dipolo puntual habíamos encontrado (Ejemplo 4):

E y( ) =−

2aq

4πεoy3ˆ k = −

p

4πεoy3(4.1)

Donde p=2aq es el momento dipolar del dipolo puntual. Sin embargo, en este capítuloveremos que podemos definir un momento dipolar eléctrico para cualquier tipo dedistribución de carga, por lo que los que sigue es válido para cualquier momento dipolar.

F+

F-

E

+q

p

-q

Figura 4.1

Si ahora colocamos al dipolo en un campo eléctrico externo uniforme (Figura 4.1), la fuerzaneta sobre el dipolo será cero; para la carga positiva, ésta es F+=+qE, mientras que para lanegativa es F-=-qE, y FNETA=0. Sin embargo, ya que los centros de acción de F+ y F- nocoinciden, el dipolo experimenta un torque o momento de fuerza (algunas veces en español,“torca”). El torque está definido, en general, por:

N = S X F (4.2)

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Donde S es la dirección perpendicular del punto de acción de la fuerza al eje de rotación. Lafuerza es la del campo eléctrico: F=qE, y la separación de cada carga al centro de rotación es S = ±a ˆ k . Para la carga positiva, de la ley de la mano derecha o del tornillo derecho, el torqueapunta hacia afuera del papel, y es:

N+ = −aˆ k ( ) × qEˆ j ( ) = aqEˆ i

Para la carga negativa, éste es:

N− = aˆ k ( ) × −qEˆ j ( ) = aqEˆ i

Y el torque total es entonces:

N = N+ + N− = 2aqEˆ i

Esta expresión se puede escribir en términos del momento dipolar:

N = p × E (4.3)

El efecto del torque es rotar el dipolo a manera de alinearlo con el campo eléctrico. Sinembargo, la alineación no es perfecta ya que los campos producidos por cada dipolo seoponen. Además, la materia es muy dinámica y a temperatura ambiente las vibracionestérmicas de cualquier sólido son lo suficientemente fuertes para destruir el alineamiento.

Aunque este dipolo está formado por dos cargas puntuales, podemos generalizar (4.3) acualquier distribución de carga siempre y cuando calculemos el momento dipolar de ladistribución. Esto se puede llevar a cabo con el término dipolar de la expansión multipolar,dado por:

Vdip(ro) =

14πεo

1

ro2

rcos θρdτ∫ (4.4)

El producto rcosθ se puede expresar en términos del vector unitario del origen al punto deevaluación (por lo pronto, sobre el eje z), r o (Figura 3.6):

rcos θ = ˆ r o • r (4.5)

El potencial dipolar es entonces:

Vdip(ro) =

14πεo

ˆ r oro

2• rρdτ∫

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Podemos definir la integral, que no depende del punto de evaluación, como el momentodipolar de la distribución:

p = rρdτ∫ (4.6)

Ya que la integral en (4.6) es sólo función de las coordenadas de integración, podemos hacerun cambio de variable de ro a r, r indicando la distancia del origen a cualquier punto deevaluación. El potencial debido a cualquier momento dipolar es entonces:

Vdip(r) =

14πεo

ˆ r

r2•p (4.7)

También podemos definir un momento dipolar para densidades superficiales o lineales decarga:

p = rσda∫

p = rλdl∫ (4.8)

Para el dipolo puntual, podemos aplicar la definición (4.6) en conjunción con la Delta deDirac. Para la carga positiva en el dipolo:

p+ = aρδ(a)dτ∫ = a ρδ(a)dτ∫ = aq

Y para la carga negativa:

p− = (−a)ρδ(−a)dτ∫ = −a ρδ(−a)dτ∫ =− a(−q) = aq

El momento total es p = p+ + p- = 2aq como antes definido.

El campo eléctrico producido por un dipolo, o por una distribución de carga con momentodipolar, se calcula del potencial dipolar (4.7), que se puede escribir:

Vdip(r, θ) =

14πεo

pcos θr2

(4.9)

El campo eléctrico dipolar es entonces:

Edip(r, θ) = −∇Vdip(r, θ) = −

∂∂r

pcos θ4πεor2

r −

1r

∂∂θ

pcos θ4πεor2

θ

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Edip(r, θ) = − −2

pcos θ4πεor3

r −

1r

−psenθ4πεor2

θ

Edip(r, θ) =

p

4πεor32cosθˆ r + senθˆ θ [ ] (4.10)

En el eje y, cuando θ=π/2, el campo eléctrico es:

Edip(r, θ= π/2) =

p

4πεor3ˆ θ

Este resultado se puede comparar con el obtenido en el Ejemplo 4 c), notando que θ = − ˆ k .

El campo dado por (4.10) es el de un dipolo ideal, una singularidad que se define como aqueldipolo en que a → 0 y q → ∞ de manera que p=aq se mantenga constante. Obviamente undipolo ideal no existe pero (4.10) se puede aplicar fuera de cualquier distribución,obteniendo mejor concordancia conforme r>>a.

4.4 POLARIZABILIDAD Y POLARIZACIÓN

Podemos representar a un material dieléctrico como un conjunto de dipolos eléctricos. Paraesto, en principio consideramos la carga positiva en el núcleo y la carga negativa en las nubesde electrones, y calculamos el momento dipolar de (4.6). La forma del momento dipolarresultante dependerá fuertemente del material en cuestión, y podemos esperar dificultadesseveras en la definición y evaluación de la integral. Sin embargo, si sólo nos fijamos en elvalor promedio del momento dipolar, obtenido de la suma sobre todos los átomos delmaterial, simplificamos en gran medida nuestro problema.

Al poner un dieléctrico en un campo eléctrico, los dipolos tienden a alinearse con el campo,aunque la alineación no es siempre total dado a la vibración térmica de los átomos y lacompetencia de los campos eléctricos. Dependiendo de la estructura del material, éste sepuede polarizar más fácilmente en una dirección que en otra, y por lo tanto el momentodipolar inducido será distinto en cada una de las direcciones. Esto se puede expresar:

p =px

py

pz

=α xx αxy αxz

α yx αyy αyz

αzx αzy αzz

Ex

Ey

Ez

(4.11)

Las 9 αij forman el tensor de polarizabilidad del material, y en general cada una es distintade las otras. Sin embargo, para un grupo importante de materiales, lineales e isotrópicos

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(que definiremos más adelante), y para campos eléctricos pequeños, el momento dipolar esproporcional al campo:

p=αE (4.12)

La constante de proporcionalidad, α, se conoce como la polarizabilidad , y aunque siguedependiendo del material, es ahora un escalar. La relación anterior nos indica que elmomento dipolar inducido es en la misma dirección que el campo eléctrico.

Algunos materiales tienen momentos dipolares permanentes, como por ejemplo el agua,algunos materiales iónicos y los materiales ferroeléctricos (electrets). Pero la mayor parte delos materiales no presentan una polarización permanente. Si el campo eléctrico externo escero, la orientación de los dipolos es aleatoria y el campo eléctrico producido por ellos en elvolumen del dieléctrico se suma a cero. Al aplicar un campo eléctrico externo, la orientacióno alineación de los dipolos produce un campo eléctrico interior distinto de cero, y por logeneral de magnitud comparable a la del campo exterior. Este campo afecta el campoexterior, lo cual vuelve a afectar el campo interior, lo cual afecta al exterior... hasta alcanzarel equilibrio, lo que ocurre casi de inmediato.

Afortunadamente, no necesitaremos meternos en los detalles de este campo microscópico, ytrabajaremos con el campo promedio en equilibrio.

El alinear o inducir dipolos eléctricos en un material se conoce como polarización.Matemáticamente es un vector, no necesariamente con la misma dirección del campoeléctrico. Es una cantidad más útil que el momento dipolar para el análisis matemático. Lapolarización se define como el momento dipolar por unidad de volumen:

P =

lim

∆τ→ 0

p∆τ

(4.13)

Para obtener un valor aproximado del campo eléctrico producido por un material polarizado,se puede calcular el potencial usando el término dipolar expresado en función de lapolarización:

Vdip =

14πεo

ˆ ξ ξ2

•p =1

4πεo

P • ˆ ξ ξ2

dτ∫Si se conoce P, el potencial se puede obtener, y de éste el campo eléctrico. Pero es más fácilexpresar la integral de otra manera, usando:

∇

1ξ

=

ˆ ξ ξ 2

Con ∇ actuando sobre las coordenadas de integración. La integral es entonces:

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Vdip =

14πεo

P •∇1ξ

dτ∫

Y usando la identidad (A.56) podemos transformarla a:

Vdip =1

4πεo∇•

1ξ

P

dτ∫ −

1ξ

∇• P( )dτ∫

Usando el teorema de la divergencia para la primera integral:

Vdip =1

4πεo

1ξ

P •da∫ −

1ξ

∇• P( )dτ∫

La primera integral se puede expresar como:

14πεo

1ξ

P • da∫ =

14πεo

σp

ξda∫

Donde se define:

σp ≡ P• ˆ n (4.14)

Como la densidad superficial de carga de polarización, y n es el vector normal a lasuperficie.

La segunda integral se puede expresar:

−

14πεo

1ξ

∇• P( )dτ∫ =

14πεo

ρp

ξdτ∫

Donde:

ρp ≡ −∇• P (4.15)

Se define como la densidad volumétrica de carga de polarización.

Así, el problema se reduce a calcular el potencial debido a una densidad superficial de cargade polarización, σp, más el debido a una distribución volumétrica de carga de polarización,

ρp, calculando estas densidades de la polarización, en lugar de tratar de sumar las

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contribuciones de cada dipolo. El potencial producido por un material polarizado esentonces:

Vdip =1

4πεo

σp

ξda∫ +

ρp

ξdτ∫

(4.16)

Ejemplo 30.-Encuentre el campo eléctrico producido por una esfera de radio R polarizadauniformemente.

z

y

x

n=r^ ^

P

R

r

θ

Figura 4.2

Por simplicidad, tomamos el eje z como la dirección de la polarización, como se muestra enla Figura 4.2. Ya que la polarización es uniforme, la densidad volumétrica de carga depolarización es cero, mientras que la densidad superficial de carga de polarización se obtienede:

σp(θ) = P • ˆ n = P ˆ k • ˆ r = Pcosθ

Ya que el vector normal a la superficie, n , es r . El potencial producido por estadistribución de carga se puede calcular por separación de variables. En este caso, sinembargo, no podemos decir que el potencial es una constante en la superficie de la esfera, yaque no es un conductor. Pero sabemos que el potencial es continuo en todo punto, y que laderivada normal del potencial está relacionada a la densidad superficial de carga. Además,no hay más carga en el problema que la distribución de carga de polarización en la superficiede la esfera, por lo que las condiciones de frontera para este problema son:

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1) V(r → ∞, θ) → 02) VINT(r=R, θ) = VEXT(r=R, θ)

3)

∂∂r

VEXT (r, θ) −∂∂r

VINT (r, θ)

r = R

= −1εo

σp(θ)

Para que siempre esté definido, el potencial interno debe ser de la forma:

VINT(r, θ) = Anr n

n=0

∞

∑ Pn (cosθ)

Para cumplir con la condición de frontera (1), VEXT debe estar dado por:

VEXT (r, θ) =Bn

rn+1n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

De la condición de frontera (2) podemos expresar los coeficientes Bn en función de los An:

An R n

n =0

∞

∑ Pn (cosθ) =Bn

R n+1n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

Para que ésta se cumpla siempre, los coeficientes deben ser iguales, por lo que:

An R n =

Bn

R n +1⇒ Bn = An R2n +1

Y el potencial exterior se puede ahora expresar:

VEXT (r,θ) =An R2n +1

r n+1n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

Finalmente, los coeficientes An se pueden evaluar usando la condición de frontera (3):

∂∂r

VEXT (r,θ) =∂∂r

An R2n +1

r n +1n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

=

−(n + 1)A nR2n +1

r n+2n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

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∂∂r

VEXT (r,θ)

r = R

=−(n +1)AnR2n +1

R n+2n=0

∞

∑ Pn (cosθ) = −(n +1)An R n−1

n=0

∞

∑ Pn (cosθ)

∂∂r

VINT(r,θ) =∂∂r

An r n

n=0

∞

∑ Pn (cosθ)

= nAn r n−1

n=0

∞

∑ Pn (cosθ)

∂∂r

VINT(r,θ)

r = R

= nA nR n −1

n =0

∞

∑ Pn (cosθ)

Por lo que:

∂∂r

VEXT (r, θ) −∂

∂rVINT(r,θ)

r = R

= − (n + 1)AnR n−1

n =0

∞

∑ Pn (cosθ) − nA nr n −1

n =0

∞

∑ Pn (cosθ)

= − (2n +1)A nRn−1

n=0

∞

∑ Pn(cosθ) = −1εo

σp(θ) =−Pεo

cosθ

De esta expresión vemos directamente que todas las An serán cero excepto A1. Es decir:

−3A1cosθ = −

Pεo

cosθ

Por lo que los coeficientes estarán dados por:

A1 =

P3εo

B1 =P

3εoR3

El potencial es entonces:

VINT(r, θ) =

P3εo

rcos θ r ≤ R

VEXT (r, θ) =

P3εo

R3

r2cosθ r ≥ R

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El campo eléctrico se calcula del negativo del gradiente del potencial:

E INT(r, θ) = −∇VINT (r, θ) = −

∂∂r

Prcosθ3εo

r −

1r

∂∂θ

Prcos θ3εo

θ

E INT(θ) = −

P3εo

cosθ

r +

P3εo

senθ

θ

Notamos que el campo eléctrico interno no es función de r. En este caso, es ilustrativoexpresarlo en función de z, haciendo un cambio de variable rcosθ = z en el potencialinterno:

VINT(z) =

P3εo

z

E INT(z) =−∇VINT(z) = −

∂∂z

P3εo

z

k

E INT(z) =−

P3εo

ˆ k

El campo eléctrico está en dirección opuesta a la polarización, como podemos esperar yaque tenemos carga positiva en el hemisferio norte y negativa en el sur. También notamosque este campo es definitivamente distinto de cero, como sería en un material conductor.

Mientras tanto, el campo externo está dado por:

EEXT(r, θ) = −∇VEXT(r, θ) = −

∂∂r

PR3

3εor2cosθ

r −

1r

∂∂θ

PR3

3εor2cosθ

θ

EEXT(r, θ) = − −2

PR3

3εor3cosθ

r − −

PR3

3εor3senθ

θ

EEXT(r, θ) =

PR3

3εor32cos θˆ r + senθˆ θ [ ]

Y si comparamos este campo con el del dipolo eléctrico centrado en el origen, (4.10):

PR3

3εor32cos θˆ r + senθˆ θ [ ] =

p

4πεor32cos θˆ r + senθˆ θ [ ]

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Podemos obtener un valor para el momento dipolar de la esfera polarizada uniformemente:

p =

4πR3

3

P = Pτ

Resultado de esperarse, ya que la polarización es uniforme.

————————————————————*

Las densidades superficial y volumétrica de carga de polarización parecen ser un ardidmatemático, pero son una realidad física. Para ver esto, consideremos un cilindro de materialdieléctrico homogéneo, de sección uniforme A, polarizado a lo largo de su eje (Figura 4.3):

+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-+- +- +- +- +- +-

A

S

P

Figura 4.3

Podemos representar al material polarizado como una cadena de dipolos. Si la polarizaciónes uniforme, vemos que, a excepción de los extremos, la carga neta es cero. Podemos tomarun elemento de volumen ∆τ = AS, y calcular el momento dipolar de este volumen usando lacarga en los extremos (p=qS), e igualarlo a la definición del momento dipolar como elproducto de la polarización por el volumen:

p = P (∆t) = PAS = qS

PA = q

Tomando el límite conforme A tiende a cero, llegamos a la definición de la densidadsuperficial de carga, en este caso, de carga de polarización:

lim

∆A→0

PA∆A

= P • ˆ n =lim

∆A→0

q∆A

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Por lo que:

σp = P• ˆ n

Cuando la polarización no es uniforme, la carga neta dentro del cilindro no es cero, ademásde la carga en los extremos. Podemos calcular la densidad de carga en términos de lapolarización. El momento dipolar dependerá de la polarización, y la acumulación de cargaen un volumen deberá ser igual al flujo de la divergencia de la polarización. Es decir:

ρpdτ∫ = − P • da∫ = − ∇• P( )dτ∫

Y ya que el volumen puede ser cualquiera, los integrandos deben ser idénticos:

ρp = − ∇• P( )

Que es la definición de la densidad volumétrica de carga de polarización.

4.5 EL CAMPO PROMEDIO EN UN DIELÉCTRICO

En un nivel microscópico, el campo eléctrico en un material es una cantidad que varíarápidamente con respecto a posición y tiempo; en un lado del núcleo está en una direccióny en el otro lado, en otra. El rápido movimiento de los electrones y las vibraciones de losátomos por efectos de temperatura hacen que el arreglo molecular sea dinámico, y el campodependerá fuertemente de posición y tiempo. Este tipo de campo es imposible de calcular,y aún teniendo una expresión para él, sería poco conveniente de manejar. Tenemos queusar un campo macroscópico; el promedio temporal y espacial del campo eléctricomicroscópico dentro del dieléctrico. Pero este campo promedio es precisamente el quedefinimos al usar las densidades de carga de polarización:

E =1

4πεo

ρp

ξ2dτˆ ξ +

σp

ξ 2daˆ ξ ∫∫

(4.17)

El material dieléctrico se polariza cuando lo ponemos en un campo externo; la polarizacióngenera a su vez un campo eléctrico, en dirección opuesta al campo externo. La sumavectorial de estos campos es el campo interno en el dieléctrico, que calculamos de (4.17). Elcampo interno en el dieléctrico es entonces menor al campo eléctrico externo, pero nuncallega a ser cero, como en un medio conductor.

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4.6 LA LEY DE GAUSS

La carga de polarización, sólo por ser carga, genera un campo eléctrico. Tenemos entoncesdos fuentes para el campo; la carga libre y la carga de polarización, y al calcularlo tenemosque considerar ambas. La divergencia del campo se tiene que calcular en base a la densidadvolumétrica de carga total ρ' = ρ + ρp, por lo que:

∇• E =

ρ '

εo=

ρ +ρp

εo

Recordando que la densidad de carga de polarización está relacionada a la polarización:

ρp = −∇• P

∇• E =

ρεo

−∇ •P

εo

Juntando los términos con la divergencia:

∇• E +

∇• Pεo

=∇ • E +Pεo

=

ρεo

Alternativamente:

∇• εoE + P( ) = ρ (ρ = densidad de carga libre)

Y el término entre paréntesis se define como el “vector desplazamiento” o densidad decampo eléctrico D.

D = εoE + P (4.18)

Ahora la ley de Gauss se puede escribir:

∇• D = ρ (4.19)

De la definición de D (4.18), vemos que no necesariamente tiene la misma dirección que elcampo eléctrico, ya que P y E no tienen, en general, la misma dirección. En forma integral, elflujo del vector desplazamiento, Φ, se expresa por:

D • da∫ = Qenc (4.20)

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Las ecuaciones (4.19) y (4.20) representan la Ley de Gauss en formas diferencial e integralgeneralizada para cualquier medio dieléctrico o el espacio libre (aquí P=0, y se reducen a laforma del Capítulo 2). Éstas también se conocen como la primera de las cuatro ecuacionesde Maxwell.

Podemos usar la Ley de Gauss en forma integral para encontrar el vector desplazamientosiempre y cuando cumpla con condiciones de simetría similares a las del Capítulo 2:

1) D debe ser o normal o tangencial a la superficie en cualquier punto. Estacondición implica que debemos conocer la dirección de D a priori.

2) D debe ser constante en la superficie gaussiana usada.

Estas condiciones se cumplen para medios dieléctricos lineales, isotrópicos y homogéneos,que ya podemos definir:

4.7 DIELÉCTRICOS LINEALES, ISOTRÓPICOS Y HOMOGÉNEOS (LIH)

Podemos esperar que la polarización de un material sea función del campo eléctricoaplicado, pero no podemos, a priori, esperar que sea una función simple. De hecho, enforma general esperaríamos, para cualquiera de las componentes de la polarización:

Pi = a iE i + a jE j + akEk + bijEiEj + bikE iEk + b jkE jEk + cijkE iE jEk + ... (4.21)

Donde los coeficientes para cada término son constantes y En (n=i,j,k) se refiere a cualquierade las componentes del campo eléctrico. Esta polarización depende de la primera potenciadel campo, del campo eléctrico al cuadrado y de E al cubo, y puede incluir términos demayor orden. Pero para algunos materiales, P sólo depende de la primera potencia delcampo, es decir:

Pi = α iE i + α jE j +α kEk

O en componentes cartesianos:

Px

Py

Pz

=αxx αxy αxz

α yx αyy αyz

αzx α zy αzz

Ex

Ey

Ez

Y entonces, el medio se denomina lineal.

Si además, el medio se ve igual en cualquier dirección, de manera que:

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Px

Py

Pz

=α 0 0

0 α 0

0 0 α

Ex

Ey

Ez

Entonces el medio se conoce como isotrópico, y si además las propiedades eléctricas delmedio no dependen de la posición, éste es homogéneo (αij no es función de lascoordenadas espaciales).

A primera vista parece ser difícil encontrar un medio que satisfaga estas tres condiciones,pero en realidad muchos son los que las cumplen. Por ejemplos podemos mencionar a losgases diluidos, algunos líquidos, cristales cúbicos simples, y el grupo más importante sonlos sólidos amorfos. En estos últimos no hay un arreglo periódico de los átomos omoléculas, pero si vemos en cualquier dirección, estadísticamente podemos esperar que el“desorden” del material sea igual.

Para los dieléctricos LIH, la proporcionalidad entre la polarización y el campo se puedeexpresar:

P = εoχeE (4.22)

La constante χe (para medios no LIH es un tensor 3 X 3) se llama la susceptibilidad

eléctrica del medio (para el espacio libre, χeo=0). Para estos materiales, el vectordesplazamiento es proporcional al campo eléctrico y tiene la misma dirección que éste:

D = εoE + P = εoE + εoχeE = εo(1 + χe)E (4.23)

Y si definimos:

ε ≡ε o(1+ χe ) (4.24)

Entonces el vector desplazamiento es:

D = εE (4.25)

La constante de proporcionalidad, ε, se define como la permitividad dieléctrica delmaterial. Aunque estamos suponiendo que es independiente de posición, tenemos quetener en mente que es una función de la frecuencia, y su valor se debe definir en base al rangode frecuencia de interés. También se puede definir la permitividad relativa o constantedieléctrica de un material:

ke =1 + χe =

εεo

(4.26)

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Los valores de ke para algunos materiales comunes se presentan en la Tabla 4.1.

Material ke Material ke

Aire 1.00059 Agua de mar 80.4Vidrio 4-7 Mica 5.4Polietileno 2.26 Porcelana 6-8Silicio 11.9 SiO2 3.9

Tabla 4.1

Además, en un dieléctrico LIH, la densidad volumétrica de carga de polarización estárelacionada a la densidad volumétrica de carga libre:

ρp = −∇• P = −∇• (εoχeE) = −εoχe∇•

Dε

= −

εoχe

ε∇• D = −

εoχe

ε

ρ

Y ya que:

εoχe

ε=

χe

ke=

ke − 1ke

ρp =

1 − ke

ke

ρ (4.27)

Si la densidad volumétrica de carga libre es cero, la densidad volumétrica de carga depolarización es cero también (sólo en dieléctricos LIH).

Ejemplo 31.- Se tiene una carga puntual en el origen rodeada por una esfera de radio R,hecha de material dieléctrico LIH, como se muestra en la Figura 4.4. Encuentre el campoeléctrico y la densidad de campo eléctrico dentro y fuera de la esfera. Encuentre lasdensidades de carga de polarización.

Adentro del dieléctrico (r ≤ R):

De la Ley de Gauss en forma integral:

D • da∫ = Qenc = q

D es uniforme para un radio dado ya que el dieléctrico que se está usando es LIH, y laintegral sobre da es la superficie de una esfera. El producto punto es de dos vectoresparalelos:

140 Murphy————————————————————————————————————————————


D • da∫ = D 4πr2( ) = q

D =

q

4πr2ˆ r

Y el campo eléctrico dentro de la esfera dieléctrica es:

E =

Dε

=q

4πεr2ˆ r

z

y

x

R

q

ε

Figura 4.4

La polarización está dada por:

P =

εoχe

εD =

ke −1ke

D =

ke − 1ke

q

4πr2ˆ r

La densidad volumétrica de carga libre es cero (la única carga libre es la puntual, pero está“fuera” del dieléctrico), y por lo tanto también la densidad volumétrica de carga depolarización (es un dieléctrico LIH). La densidad superficial de carga de polarización en la

Murphy 141————————————————————————————————————————————


parte exterior del dieléctrico es:

σp = P• ˆ n = P

r = R=

ke −1ke

q

4πR2

Y la cantidad total de carga de polarización en la superficie exterior de la esfera es:

QpR = σpda∫ =

ke −1ke

q

4πR2da∫ =

ke −1ke

q

4πR24πR2( ) =

ke − 1ke

q

No podemos hacer lo mismo para determinar la carga total en la superficie interior de laesfera, ya que ésta rodea una carga puntual (sin extensión), pero por conservación de la cargasabemos que debe ser de igual magnitud pero de signo contrario:

QpC = −QpR = −

ke − 1ke

q

La carga neta en el centro es entonces:

QnetaC = q + QpC = q −

ke −1ke

q = q − q +

qke

=qke

El campo eléctrico en la parte exterior de la esfera está dado por:

EEXT =

Dεo

=q

4πεor2ˆ r

La polarización afuera es cero, ya que en el espacio libre no hay materia que polarizar.

————————————————————*

De este ejemplo vemos que siempre y cuando tengamos dieléctricos LIH, la resolución deproblemas será igual a los del espacio libre, siempre y cuando reemplacemos εo por lapermitividad dieléctrica del medio.

4.8 CAPACITORES

Un capacitor es un dispositivo que almacena energía al mantener un campo eléctrico en unaregión. Los hay de varios tipos, dependiendo de los valores de capacitancia que se deseen;de los voltajes de operación; y para aplicaciones con corrientes alternas, de la frecuencia dela señal.

142 Murphy————————————————————————————————————————————


El capacitor más sencillo es el de placas paralelas, consistente en dos placas conductorasseparadas una distancia constante. Si tomamos la separación entre las placas como muypequeña comparada con las dimensiones de las placas, podemos considerar a estas últimascomo placas infinitas.

I IIIII

(1) (2)

+σ -σ

d

E = +σεo

jE=0 E=0

Figura 4.5

El esquema básico de un capacitor de placas paralelas se muestra en la Figura 4.5. Cadaplaca, de un material conductor, está cargada con densidad superficial de carga uniforme ±σ,y están separadas una distancia d.

Del Ejemplo 12, sabemos que el campo producido por una placa infinita, cargada condensidad uniforme de carga, está dado por:

E = ±

σ2εo

ˆ j

Y que es constante. En la regiones I, II y III, indicadas en la figura, tenemos dos campos;uno producido por la placa 1 y otro producido por la placa 2. En la región I, el campo de(1) va hacia la izquierda, mientras que el de (2) va hacia la derecha. El campo resultante enesta región es:

E I = −

σ2εo

ˆ j +σ

2εo

ˆ j = 0

Murphy 143————————————————————————————————————————————


En la región II, ambos campos van hacia la derecha:

E II =

σ2εo

ˆ j +σ

2εo

ˆ j = +σεo

ˆ j

Y en la región III, el campo producido por (1) va hacia la derecha, mientras que el de (2) va ala izquierda. El campo resultante también es cero:

E III =

σ2εo

ˆ j −σ

2εo

ˆ j = 0

Es decir, el campo sólo existe para la región entre las placas. La diferencia de potencial entrelas placas se puede obtener de la integral de línea del campo:

∆V = E • dl =σεo

ˆ j • dy∫∫ ˆ j =σεo

dy

0

d

∫ =σεo

d

Que podemos expresar en términos de la carga total, Q, y el área, A, de cada una de lasplacas:

∆V =

(Q/A)εo

d = Qd

εoA

De aquí vemos que la carga en las placas (+Q en (1) y -Q en (2)) es proporcional a ladiferencia de potencial aplicada entre éstas. Es decir, si con una batería aplicamos unadiferencia de potencial a las placas, se carga el capacitor. Esta relación se puede escribir:

∆V =

1C

∆Q C =

∆Q∆V

(4.28)

Donde C se define como la capacitancia del capacitor, con unidades:

C ⇒CV

⇒CJC

⇒C2

J⇒

C2

Nm≡ Farad

El Farad es una cantidad grande, y por lo general se manejan subdivisiones de éste. Encircuitos integrados, por ejemplo, es más común hablar de Atto Farads (aF; 10-18 F) yFemto Farads (fF; 10-15 F) al referirse a capacitancias parásitas. En el diseño decapacitores integrados nos mantenemos en el rango de Pico Farads (pF; 10-12 F); parafuentes de potencia, los valores comunes son de Micro Farads (µF; 10-6 F) y de MiliFarads (mF; 10-3 F).

144 Murphy————————————————————————————————————————————


Para el capacitor de placas paralelas, la capacitancia es:

C = εo

Ad

(4.29)

Este resultado sólo depende de la geometría del capacitor y del dieléctrico entre las placas,por lo podemos esperar que sea distinto para capacitores de otro tipo (cilíndrico, esférico,etc.).

Podemos aumentar la capacitancia poniendo un dieléctrico LIH entre las placas. En base a ladiscusión de las secciones anteriores, sabemos que (4.29) será idéntica siempre y cuandoreemplacemos la permitividad del espacio libre por la del dieléctrico.

C = ε

Ad

(4.30)

Y la razón de la capacitancia con dieléctrico entre las placas, a la capacitancia con el espaciolibre entre éstas es:

Ce

C=

ε Ad

εoAd

=εεo

= ke ⇒ Ce = keC

Es decir, el dieléctrico aumenta la capacitancia por un factor ke. Si por ejemplo el dieléctricoes mica (ke = 5.4), aumentamos, para el mismo capacitor, la capacitancia por un factor de5.4.

Ejemplo 32.- Calcule la reducción en área obtenida al hacer un capacitor de placas paralelascon mica entre las placas, a la de un capacitor similar, con el mismo valor de capacitancia,pero con el espacio libre entre las placas.

La capacitancia debe ser igual, y tenemos, considerando la misma separación entre placas, d:

Ce = ε

A1

d=ε o

A2

d= C

Resolviendo para la razón de las áreas:

A2

A1=

εεo

= ke

Con mica reducimos el área en un 81.5%.————————————————————*

Murphy 145————————————————————————————————————————————


Además de aumentar la capacitancia, el uso de dieléctricos en capacitores tiene otrasventajas; se puede mantener la separación entre placas constante, el dieléctrico funcionandoa la vez como soporte mecánico. Hay dieléctricos con voltajes de ruptura mayores a los deaire, por lo que se puede aplicar una mayor diferencia de potencial entre las placas. Sepueden hacer largas tiras de capacitores de placas paralelas, separando las placas con unapelícula de dieléctrico delgada (≈25µm), y enrollarla para reducir el tamaño aparente, etc.

Como veremos posteriormente, los capacitores son fundamentales en la electrónica; dehecho, cualquier dispositivo semiconductor tiene capacitancias asociadas, algunasbeneficiosas, otras parásitas. Un televisor, o aparato similar, funciona con miles decapacitores, y es imposible encontrar un circuito electrónico, a no ser que seaextremadamente simple, que no utilice capacitores.

En los circuitos integrados, los capacitores se deben hacer e interconectar en el mismo dado,y vienen en muchas presentaciones. Un ejemplo concreto es el capacitor MOS (Metal-Oxido-Semiconductor).

Ejemplo 33.- Un esquema simplificado del capacitor MOS se muestra en la Figura 4.6.

Polisilicio

Substrato

Óxido de campo

Aluminio

Dieléctrico de compuerta

Compuerta: G

Figura 4.6

Éste es del tipo de placas paralelas, fabricado sobre un substrato semiconductormonocristalino (generalmente silicio). Sobre este substrato se crece una película de dióxido

146 Murphy————————————————————————————————————————————


de silicio (SiO2, vidrio), del orden de 100 Å de espesor. Sobre el óxido, se deposita unmaterial conductor, que puede ser un metal (por lo general aluminio), o un semiconductor“degenerado” (altamente dopado), como podría ser el polisilicio (silicio policristalino). Lasuperficie del substrato y el conductor depositado funcionan como las placas del capacitor,y el dióxido de silicio como el dieléctrico (ke=3.9).

Si tomamos un substrato tipo N, al aplicar un potencial positivo al electrodo superior, elcampo eléctrico atraerá electrones del substrato hacia la superficie del mismo, representandouna densidad superficial de carga de igual magnitud pero de signo contrario a la del electrodosuperior. La capacitancia por unidad de área (C'=C/A) para el sistema es:

C' =

εox

tox=

3.9εo

100Å=

3.4531X10−11F/ m

1.0X10−8m= 3.4531X10−3F /m 2 = 3.4531X10−3pF/ µm2

Para tener capacitores de 100pF, por ejemplo,se requiere de un área de aproximadamente170µm X 170µm, que es grande en un circuito integrado; las capacitancias integradassiempre serán mucho menores a ésta.

Las tecnologías VLSI y ULSI usan óxidos con espesores del orden de hasta 35Å, lo queaumenta la capacitancia en casi un factor de tres.

————————————————————*

Ejemplo 34.- El espacio entre las placas de un capacitor de placas paralelas se llena con dostablillas de materiales dieléctricos LIH distintos, cada una de espesor s=d/2, donde d es laseparación entre las placas, como se muestra en la Figura 4.7. Analice el sistema y calculetoda la información pertinente.

La información relevante en este caso incluye D, E, P, V, las densidades de carga depolarización, y la capacitancia.

El vector desplazamiento se puede calcular de la ley de Gauss usando una caja de pildorasgaussiana que cubra la placa y parte del dieléctrico. Para la tablilla superior, con densidad decarga positiva, D apunta hacia abajo pero da hacia arriba (positivo saliendo de la superficie),por lo que:

D • da∫ = −Dda = σda∫∫

Y los integrandos deben ser iguales, de donde:

D = −σ ˆ k

Murphy 147————————————————————————————————————————————


Ambos medios son LIH, por lo que D tiene el mismo valor en todo punto. Los camposeléctricos en cada tablilla (D = εE), sin embargo, son:

E1 = −

σε1

ˆ k E2 = −

σε2

ˆ k

d

ε1

ε2

σp1s

σp1i

σp2s

σp2i c

a

b

Figura 4.7

También podemos calcular la polarización en cada tablilla de (4.22):

P1 = εoχe1E1 = −εoχe1

σε1

ˆ k = −ke1 −1

ke1

σ ˆ k

P2 = εoχe2E2 = −εoχe2

σε2

ˆ k = −ke2 −1

ke2

σ ˆ k

La diferencia de potencial entre las placas se encuentra de la integral de línea del campo encada una:

∆V1 = E1• dl =∫ σ

ε1

d2

∆V2 = E2 • dl =∫ σ

ε2

d2

Ya que la caída total es Vo:

Vo = ∆V1 +∆V2 =

σd2

1ε1

+1ε2

Ya que la polarización es constante, no hay densidad volumétrica de carga de polarización.La densidad superficial de carga de polarización estará en las entrecaras a, b y c (Figura 4.7).

148 Murphy————————————————————————————————————————————


Entrecara “a” —entre la placa superior y la tablilla 1. La densidad superficial de carga depolarización se debe a la carga de polarización en la superficie del dieléctrico 1:

σpa = σp1s = P1 • ˆ n 1s = −P1 = −

ke1 − 1ke1

σ

Entrecara “b” —entre las dos tablillas. La densidad superficial de carga de polarización sedebe a las densidades en cada una de las tablillas:

σp1i = P1 • ˆ n 1i = P1 =

ke1 −1ke1

σ

σp2s = P2 • ˆ n 2s =−P2 = −

ke2 −1ke2

σ

σpb = σp1i + σp2s =

ke1 −1ke1

σ −

ke2 −1ke2

σ =

1ke2

−1

ke1

σ

Entrecara “c” —entre la tablilla 2 y la placa inferior. La densidad superficial de carga depolarización se deberá sólo a la de la superficie inferior de la tablilla dieléctrica:

σpc = σp2i = P2 • ˆ n 1s = P2 =

ke2 − 1ke2

σ

La densidad de carga neta en cada entrecara se calcula entonces de la suma de la densidadesde carga libre y de polarización. Esta densidad, multiplicada por el área, dá la carga neta encada entrecara:

Entrecara “a”:

σa = σ +σ pa =σ −

ke1 −1ke1

σ =

σke1

Entrecara “b”:

σb =

1ke2

−1

ke1

σ

Entrecara “c”:

σc =σ +σ pc =−σ +

ke2 − 1ke2

σ = −

σke2

Murphy 149————————————————————————————————————————————


La capacitancia de cada tablilla se encuentra de la carga libre y la caída de potencial:

C1 =Q1

∆V1=

σA

σd2ε1

=2Ad

ε1

C2 =Q2

∆V2=

σA

σd2ε2

=2Ad

ε 2

La capacitancia total está dada por:

CTOT =QVo

=σA

σd2

1ε1

+ 1ε2

=2Ad

ε1ε 2

ε1 + ε2

Y notamos que la capacitancia total es la misma que al considerar los dos capacitores enserie:

CTOT =C1C2

C1 + C2=

2Ad

ε1

2Ad

ε 2

2Ad

ε1

+

2Ad

ε2

=2Ad

ε1ε2

ε1 +ε 2

————————————————————*

Ejemplo 35.- Calcule la capacitancia por unidad de longitud de una guía coaxial de radiointerior “a” y radio exterior “b”, mostrada en la Figura 4.8. Los conductores estánseparados por un dieléctrico LIH con permitividad relativa ke.

Suponemos que el cable interior tiene una densidad superficial de carga σ1, y el exterior σ2,

y llamamos a la carga por unidad de longitud λ1 y λ2, respectivamente, siendo λ1=-λ2=λ.Usando una superficie gaussiana cilíndrica en el interior, el flujo a través de ésta es:

D • da∫ = σ1da∫ = λz

Ya que D y da son paralelos:

D(2πrz) = λz

De donde:

D(r) =

λz2πrz

ˆ r =λ

2πrˆ r

150 Murphy————————————————————————————————————————————


a

b

r

z

ke

Figura 4.8

Y el campo eléctrico es:

E(r) =

Dε

ˆ r =λ

2πεrˆ r

Si usamos una superficie gaussiana en el exterior de ambos conductores, la carga encerradapor ésta es cero, y consecuentemente el campo afuera de los conductores es también cero.El campo eléctrico es entonces:

E(r) =0 para r ≥ b

λ2πεr

ˆ r para a < r < b

La diferencia de potencial se calcula del campo:

∆V = V(a) − V(b) = − E(r) •dr

b

a

∫ = −λ

2πεrdr

b

a

∫ =−λ

2πεln(r)

a

b

∆V =

λ2πε

lnba

Murphy 151————————————————————————————————————————————


Y la capacitancia por unidad de longitud, en F/m, es entonces:

C'=

Cl

=λ

∆V=

2πεln b /a( ) (4.31)

Una guía típica tiene radio interior a=0.4mm y radio exterior 2.3mm. Si tomamos laconstante dieléctrica ke=2.26, la capacitancia por unidad de longitud del cable coaxial es:

C'=2πkeεo

ln b/a( ) =2π(2.26)(8.85X10−12F /m)εo

ln2.30.4

= 7.184X10−11F/ m = 71.84 pF/ m

Esta es la capacitancia parásita por unidad de longitud del cable.

————————————————————*

Para una capacitor arbitrario —dos conductores separados por un material de permitividadε— la capacitancia se encuentra de:

C =

ε E• da∫E •dl

+

−

∫(4.32)

4.9 EFECTOS DE BORDE

E

dl

Figura 4.9

152 Murphy————————————————————————————————————————————


Hasta ahora hemos supuesto que el campo eléctrico entre las placas de un capacitor esuniforme; perpendicular a las placas. Pero si fuese uniforme, se violaría la condición ∇× E = 0 del campo electrostático en los bordes del capacitor (Figura 4.9):

La integral de línea del campo eléctrico en la trayectoria indicada (dl) es obviamente distintade cero. Debemos considerar que el campo se distorsiona cerca de los bordes, que seoriginan líneas de campo en la parte exterior de las placas y que por lo tanto el campo esdistinto de cero afuera del capacitor, como se muestra en la Figura 4.10, de manera que

E• dl∫ = 0:

E

dl

Figura 4.10

El campo en esta región no es uniforme, y por lo tanto, la fuerza sobre un dipolo, o unconjunto de dipolos, no será igual a cero, es decir, F+ ≠ F-. Si colocamos un dipolo cerca delcapacitor, como se muestra en la Figura 4.11, éste experimentará una fuerza que tiende ajalarlo hacia el capacitor. Esta fuerza se puede calcular de:

FTOT = F+ − F− = q E+ − E−( ) = q∆E

E

Figura 4.11

Murphy 153————————————————————————————————————————————


Suponiendo que la separación entre las cargas, S , es pequeña, la variación espacial delcampo se puede expresar:

∆E = S• ∇( )E

Y la fuerza sobre el dipolo es:

F = q∆E = q S• ∇( )E = qS •∇( )E = p •∇( )E

Ya que qS = p es el momento dipolar. Si tenemos un material dieléctrico parcialmente fueradel capacitor, podemos encontrar la fuerza sobre éste considerándolo como un conjunto dedipolos, usando:

p = Pdτ∫

F = P •∇( )E∫

La fuerza por unidad de volumen se puede definir por:

f = P • ∇( )E

Para un dieléctrico LIH, ésta es:

f = εoχeE • ∇( )E = εoχe E• ∇( )E

Que podemos expresar de manera más práctica usando la identidad (A.55):

E •∇( )E =∇ E2 −E × ∇× E( ) − E × ∇ × E( ) − E •∇( )E

Y dado que el rotacional del campo es siempre cero:

E •∇( )E =

12

∇E2

La fuerza por unidad de volumen sobre el dieléctrico es entonces:

f =

12

εoχe∇E2

154 Murphy————————————————————————————————————————————


Ejemplo 36.- Una tablilla de material dieléctrico está parcialmente dentro de las placas deun capacitor de placas paralelas. Calcule la fuerza sobre la tablilla.

y=0 y=yo

s

d

Figura 4.12

La situación se ilustra en la Figura 4.12. Por simetría vemos que la fuerza será únicamenteen dirección - j ; las componentes en x y z se cancelan. El gradiente se reduce a:

∇E2 =

∂∂y

E2ˆ j

Y la fuerza es:

F =

12

εoχe∂

∂yE2dxdydzˆ j ∫

Que también se puede escribir:

F =12

εoχe∂

∂yE2dy

0

yo

∫

dxdz j ∫Y haciendo la integral en y:

F =

12

εoχe E2(y o) − E2(0)[ ]dxdz j ∫

Murphy 155————————————————————————————————————————————


Si el punto y=yo está lo suficientemente lejos del capacitor:

E(yo) ≈ 0

Y si el punto y=0 está lo suficientemente dentro del capacitor, donde el campo es uniforme:

E2(0) =

Vo2

d2

Donde d es la separación entre las placas y Vo es la diferencia de potencial aplicada. Lafuerza sobre el dieléctrico es entonces:

F =12

εoχe −Vo

2

d2dxdzˆ j

0

W

∫0

d

∫Realizando las integrales sobre x y z:

F = −

12

εoχeWd

Vo2ˆ j

————————————————————*

4.10 ELECTRICIDAD EN LA ATMOSFERA

La superficie y la atmósfera de la tierra forman un capacitor esférico; la superficie estácargada negativamente mientras que la atmósfera, arriba de los 50Km sobre el nivel del mar,tiene una carga positiva. Esta parte de la atmósfera se conoce como la “ionosfera”. La cargase debe precisamente a la ionización del aire por radiación electromagnética (especialmenteultra-violeta) y por los rayos cósmicos. La diferencia de potencial entre la superficie y laionosfera es de aproximadamente 400,000 Volts, y el campo eléctrico en la superficie es de100V/m, dirigido hacia abajo. El campo eléctrico hace que los iones positivos se muevanhacia la tierra, formando una corriente prácticamente constante de 1,800A. Se ha encontradoque la corriente varía en ±15%, con máximo a las 19:00 hora de Greenwich (GMT) ymínimo a las 04:00 GMT, independientemente de donde se mida. Esto último se debe a quela ionosfera es un muy buen conductor lateralmente, por lo que se puede considerar como unequipotencial a los 50Km sobre la superficie del mar en cualquier punto de la tierra.

Pero esta corriente descargaría la superficie de la tierra en media hora, y obviamente hapasado mucho más tiempo que eso desde que se descubrió el campo eléctrico atmosférico.Para mantener la distribución de la carga, tiene que existir un mecanismo que compense a lacorriente. Este mecanismo son las tormentas eléctricas.

156 Murphy————————————————————————————————————————————


Hay alrededor de 40,000 tormentas eléctricas cada día, y a las 19:00 GMT hay alrededor de100 relámpagos por segundo. Es así como se mantiene la distribución de carga.

El mecanismo de formación de nubes de lluvia es complejo y aún no está completamenteentendido, pero para nuestros propósitos basta decir que al empezar a llover la parteinferior de la nube tiene una alta densidad de carga negativa, que induce una densidadpositiva en la superficie de la tierra. La diferencia de potencial puede llegar a ser de hasta100 millones de volts en una distancia de 2 km entre el fondo de la nube y la superficie. Loselectrones en el fondo de la nube son acelerados hacia la superficie en lo que se llama una“guía”. La guía avanza en intervalos de unos 50m, se detiene y después de una pausa de50µs continúa. La guía se puede ver como una columna de cargas negativas, que a su vezioniza el aire alrededor haciendo una trayectoria conductiva. Cuando la guía está cerca de latierra, el campo eléctrico ioniza el aire en el punto más cercano, y de este punto sale unagran descarga eléctrica que se encuentra con la guía; lo que vemos como el relámpago, y suberápidamente hacia la nube; es decir, los rayos salen de la tierra, y no caen en ésta. Lamisma guía se puede usar entonces para otras descargas en sucesión rápida. Una vez que seestablece la trayectoria conductiva, la carga negativa de la nube puede llegar a la superficie dela tierra, descargando parcialmente la nube. La nube se cargará de nuevo en unos 5 segundos,volviendo a presentar las condiciones para otra descarga. El trueno que se oye esconsecuencia de la rápida expansión del aire por la descarga, que puede alcanzar los20,000A.

El pararrayos sirve para controlar el lugar de donde salen los rayos, evitando que éstossalgan de otros lugares como árboles, antenas de televisión, personas, torres, etc. Lasuperficie de la tierra, y lo que está sobre ella (árboles, edificios, personas, etc.) se puedeconsiderar un equipotencial, por lo que la magnitud del campo eléctrico es mayor mientrasmenor sea la distancia al fondo de la nube. Si colocamos un buen conductor en una regiónalta, podemos hacer que de allí “salga” el rayo. Además, como vimos en el Capítulo 2, elcampo eléctrico es más intenso si la punta del conductor es afilida, y al hacerla así podemosmejorar al eficiencia del pararrayos. Para asegurar buena conducción a tierra, el pararrayosse conecta con un cable lo suficientemente grueso y bien aislado a una “tierra física”. Éstaes una varilla de cobre de unos 3 metros de longitud, enterrada. Por lo general se rodea a lavarilla de sal en roca para aumentar la conductividad de la varilla a la tierra que la rodea. Como regla general, podemos decir que el área que un pararrayos protege es un cono con elradio de la base igual a la altura, por lo que mientras más alto esté, mayor área protegerá.

4.11 ENERGÍA Y TRABAJO

Al cubrir energía en el campo eléctrico habíamos llegado a (2.29):

W =

12

ρV∫ dτ

para una distribución de carga arbitraria. Usando la ley de Gauss ( ∇• D = ρ) la podemos

Murphy 157————————————————————————————————————————————


expresar:

W =

12

(∇• D)V∫ dτ

Con la identidad (A.56) la podemos expander a:

W =

12

∇• VD − D •∇V[ ]∫ dτ

Aplicando el teorema de la divergencia para expresar la primer integral como una desuperficie:

W =12

VD • da − D •∇ Vdτ∫∫

Pero la divergencia del potencial es el negativo del campo eléctrico, por lo que:

W =12

VD • da + D •Edτ∫∫

Si tomamos el volumen como infinito, la primera integral es cero (hay que recordar que seusó el teorema de la divergencia para definir esta integral de superficie: da define lasuperficie que delimita el volumen. Si se habla de potenciales y campos debidos a cargaspuntuales o equivalentes, muy lejos de la distribución el flujo de campo es despreciable;para campos dipolares o menores (de mayor orden), el flujo decrece más rápidamente, y eltrabajo es entonces:

W =

12

D• Edτ∫La densidad de energía se encuentra de:

u ≡

lim

τ→ 0

12

D• Edτ∫τ

=12

D • E (4.33)

Y si estamos en el espacio libre D = εoE y (4.33) se reduce a (2.30).

Ya que existe un campo eléctrico entre las placas de un capacitor, éste puede almacenar

158 Murphy————————————————————————————————————————————


energía. La relación entre la energía y la capacitancia se puede obtener de la definición deesta última:

C =

QV

Derivando con respecto a la carga:

dC =

dQV

Y substituyendo en la definición de la densidad volumétrica de carga:

ρ =

dQdτ

=VdC

dτ

El trabajo, o la energía almacenada en el campo es:

W =

12

ρVdτ∫ =12

VVdCdτ

dτ∫ =12

V2dC∫ =12

CV2

Este resultado se puede expresar de maneras distintas, en términos de la carga, el potencial ola capacitancia:

W =

12

CV2 =12

QV =12

Q2

C(4.34)

4.12 CONDICIONES DE FRONTERA PARA D Y E

En el Capítulo 2 encontramos que las condiciones sobre el campo electrostático en elespacio libre, en forma vectorial, son:

∇• E =

ρεo

∇× E = 0

Y hasta ahora sabemos que:

∇• D = ρ

Pero no nos hemos preguntado acerca del rotacional de D. Este es:

∇× D = ∇× εoE + P( ) =∇ ×ε oE + ∇× P = εo∇× E +∇ × P = ∇ × P

Murphy 159————————————————————————————————————————————


El rotacional de E sigue siendo cero, pero ∇× P no tiene por que ser cero siempre (aún encasos en que ∇• P = 0, ∇× P no es necesariamente cero, por ejemplo:

P = yzˆ i + xzˆ j + xyˆ k ).

Podemos darnos una idea del rotacional de la polarización analizando qué pasa con el vectordesplazamiento al cambiar de medios. La Figura 4.13 muestra la entrecara entre dos medioscualquiera. En el caso general, podemos suponer que existe una densidad superficial de cargalibre, σ, entre los medios. Ya que la polarización es función del material, no podemos tomaral vector desplazamiento como igual en cada medio. Es decir, las componentes normales(subíndice “n”) y tangenciales (subíndice “t”) de D pueden ser distintas en cada medio.

β

α

dl

2

1D1

D2

Figura 4.13

La relación entre las componentes tangenciales se obtiene de la integral de línea a lo largo dela trayectoria dl:

D • dl∫ = D1 • dl∫ + D2 • dl∫ = −D1lcos α + D2lcos β = l D2t − D1t( )

Ya que la polarización es distinta en cada medio, las componentes tangenciales de D no soniguales, y por lo tanto, la integral de línea no es cero. Esto implica que el rotacional de D noes cero tampoco, en el caso general. El rotacional del campo eléctrico sí es cero, por lo quelas componentes tangenciales del campo son siempre continuas:

E1t = E2 t (4.35)

Para encontrar la relación entre las componentes normales, podemos aplicar la ley de Gaussen la entrecara, usando una supeficie gaussiana en forma de caja de píldoras:

D • da∫ = Qenc = D1 • da1∫ + D2 • da2∫ = D2n − D1n( )da∫ = σda∫

160 Murphy————————————————————————————————————————————


D2n − D1n = σ

Si la densidad superficial de carga libre es cero (σ=0), la componente normal del vectordesplazamiento es continua:

D1n = D2n

Si los medios son LIH:

ε2E2n − ε1E1n = σ

Y si la densidad superficial de carga libre es cero:

ε1E1n = ε2E2n ⇒ E1n =

ε 2

ε1E2n (4.36)

Y vemos que las componentes normales del campo eléctrico son siempre discontinuas alcambiar de medio. Ya que el campo se obtiene del negativo del gradiente del potencial,considerando la derivada normal del potencial obtenemos la componente normal del campo:

ε1∂

∂nV1 −ε 2

∂∂n

V2

entrecara

= −σ (4.37)

Hemos estado usando esta condición repetidamente para plantear las condiciones defrontera, y ahora vemos que estuvimos justificados al hacerlo. El potencial es siemprecontinuo, pero el flujo de campo eléctrico es discontinuo si existe carga libre, y el campoeléctrico es siempre discontinuo al cambiar de medio.

Las condiciones de frontera sobre el vector desplazamiento y el campo eléctrico se puedenexpresar entonces:

ˆ n • D2 −D1( ) = σ (4.38)

ˆ n × E2 − E1( ) = 0 (4.39)

4.13 ECUACIÓN DE LAPLACE

El potencial también se puede calcular en medios dieléctricos LIH con la ecuación de Laplaceen regiones donde la carga libre (o densidad de carga libre) es cero. El procedimiento esidéntico a los casos cubiertos en el Capítulo 3, sólo que ahora se considera el medio a travésde su permitividad. Esto se ilustra con el siguiente ejemplo.

Murphy 161————————————————————————————————————————————


Ejemplo 37.- Se tiene una esfera dieléctrica de radio R en un campo eléctrico uniforme;

E = Eoˆ k . Calcule el potencial dentro y fuera de la esfera, el campo eléctrico dentro y fuera,

la polarización y la densidad de carga de polarización.

Este ejemplo es similar al Ejemplo 23, con la diferencia que en ese la esfera era conductora.Las condiciones de frontera son:

1) V(r→∞) = -Eorcosθ2) VINT(r=R) = VEXT(r=R)3) DnINT = DnEXT

La condición 3) se sigue ya que no se tiene densidad superficial de carga libre. La solucióngeneral en coordenadas esféricas, con simetría azimutal, es:

V(r,θ) = Anrn +Bn

rn+1

n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

Para satisfacer la condición (1), afuera solo podemos tener el término n=1 de:

An rnPn(cosθ)

Pero podemos tener cualquiera del tipo:

Bn

rn+1

Ya que éstos tienden a cero conforme r→∞. De la condición de frontera (1) tambiénreconocemos A1=-Eo, por lo que la solución afuera es entonces de la forma:

VEXT (r, θ) = −Eorcos θ+Bn

rn +1n= 0

∞

∑ Pn (cosθ)

El potencial adentro no puede tener términos en:

1

rn+1

Ya que el potencial no estaría definido en el origen. La forma general de la solución allí esentonces:

162 Murphy————————————————————————————————————————————


VINT(r, θ) = Cnrn

n=0

∞

∑ Pn(cosθ)

Expandiendo la condición (2) término por término tenemos:

Co + C1Rcos θ + C2R2P2(cosθ) + ... = −Eorcos θ+

Bo

R+

B1

R2cosθ+

B2

R3P2 (cosθ) + ...

Y de la condición (3):

ε INT∂∂r

VINT

r = R

= εEXT∂∂r

VEXT

r = R

Dado que afuera tenemos el espacio libre, εEXT=εo y adentro εINT=ε, la permitividaddieléctrica del material. La derivada normal es la derivada radial en este caso, y la ecuaciónanterior se puede escribir usando la permitividad relativa, ke=ε/εo:

ke∂∂r

VINT

r = R

=∂∂r

VEXT

r = R

Efectuando las derivadas indicadas:

ke C1 cosθ+ 2C2RP2 (cosθ) + ...( ) = −Eo cosθ−

Bo

R2−

2B1

R3cosθ−

3B2

R4P2(cosθ) + ...

Para que las ecuaciones derivadas de las condiciones de frontera (2) y (3) sean ciertas, loscoeficientes de los polinomios de Legendre deben ser iguales. Esto lleva a las siguientesecuaciones:

Co =

Bo

R C1R = −EoR +

B1

R2

C1R

2 =B2

R3 0 =

Bo

R2

keC1 = −Eo − 2

B1

R3 2keC2R = −3

B2

R4

Murphy 163————————————————————————————————————————————


Resolviendo éstas simultáneamente:

Co = 0 Bo = 0

C1 = −Eo

3ke + 2

B1 = EoR

3 ke −1ke + 2

2keB2 = −3B2

Esta última es cierta sólo si B2=0=C2, y se puede ver que lo mismo se aplicará a términosmayores; es decir:

Cn = Bn = 0 para n ≠ 1

Las soluciones al potencial son entonces:

VEXT (r, θ) = −Eorcos θ+ Eo

R3

r2

ke −1ke + 2

cosθ

VEXT (r, θ) = −Eorcos θ 1 −

R3

r3

ke −1ke + 2

El primer término se debe al campo externo, y el segundo a la distribución de carga depolarización en la superficie de la esfera. Notamos que este término decrece conforme alinverso del cuadrado de la distancia; es decir, es un término dipolar. El potencial internoes:

VINT(r, θ) = −Eorcosθ

3ke + 2

Éste no es constante, como se esperaría para una esfera conductora. Evaluado en lasuperficie de la esfera, encontramos:

VINT(R, θ) = VEXT(R, θ) = −EoRcosθ

3ke + 2

También podemos expresar el potencial interno en términos de z usando z=rcosθ:

VINT(z) = −Eoz

3ke + 2

164 Murphy————————————————————————————————————————————


Y el campo eléctrico en ambas regiones es:

EEXT(r, θ) = −∇VEXT(r, θ) = −∂

∂r−Eorcosθ 1−

R3

r3

ke −1ke + 2

r −

1r

∂∂θ

−Eorcosθ 1−R3

r3

ke −1ke + 2

ˆ θ

EEXT(r, θ) = Eo cosθ 1+ 2R3

r3

ke −1ke + 2

r − senθ 1 −

R3

r3

ke −1ke + 2

ˆ θ

E INT(r, θ) = −∇VINT (r, θ) = −

∂∂r

−Eorcosθ3

ke + 2

r −1r

∂∂θ

−Eorcosθ3

ke + 2

ˆ θ

E INT(r, θ) = Eo

3ke + 2

cosθˆ r − senθˆ θ [ ]

Evaluados en la superficie:

EEXT(R, θ) = Eo cosθ 1 +2R3

R3

ke −1ke + 2

r − senθ 1−

R3

R3

ke −1ke + 2

ˆ θ

EEXT(R, θ) =

3Eo

ke + 2ke cosθˆ r − senθˆ θ [ ]

E INT(R, θ) =

3Eo

ke + 2cosθˆ r − senθˆ θ [ ]

De aquí vemos que las componentes normales (radiales) del campo eléctrico evaluadas en lasuperficie son discontinuas, como esperamos de (4.36), mientras que las tangenciales(polares) son continuas, de acuerdo con (4.35).

El campo interior también se puede expresar en términos de z:

E INT(z) =−∇VINT(z) = −

∂∂z

−Eoz3

ke + 2

ˆ k

E INT(z) = Eo

3ke + 2

k

Murphy 165————————————————————————————————————————————


La esfera es de material LIH, por lo que la polarización es proporcional al campo interno:

P = εoχeE INT = εoχeEo

3ke + 2

k = εo ke − 1( )Eo

3ke + 2

k

P = 3εoEo

ke −1ke +2

k

Ya que la polarización es uniforme (constante), no existe densidad volumétrica de carga depolarización (que también podemos deducir porque estamos usando un dieléctrico LIH y nohay densidad volumétrica de carga libre). La densidad superficial de carga de polarización seobtiene de:

σp = P• ˆ n = P• ˆ r

r = R

= 3εoEoke −1ke + 2

k • ˆ r

r = R

Para efectuar el producto punto, hay que expresar los vectores unitarios en el mismosistema coordenado. En este caso, conviene expresar:

k = cosθˆ r − senθˆ θ

σp(θ) = 3εoEoke −1ke + 2

cosθˆ r − senθˆ θ ( ) • ˆ r

r = R

σp(θ) = 3εoEo

ke −1ke + 2

cosθ = σpo cosθ

Donde:

σpo = 3εoEo

ke −1ke + 2

Vale la pena comparar los resultados de este ejemplo con los obtenidos en los ejemplos 23 y30.

————————————————————*

166 Murphy————————————————————————————————————————————


4.14 ECUACIÓN DE POISSON

Las fuentes del campo eléctrico son las cargas, que pueden ser libres o de polarización, yesto se debe reflejar en la ecuación de Poisson. De:

∇• E =

ρ +ρ p

εoy E = −∇V

Obtenemos:

∇2V = −

ρ +ρ f

εo

= −

1εo

ρ− ∇• P( ) (4.40)

En un medio LIH, sin embargo, la densidad volumétrica de carga de polarización esproporcional a la densidad volumétrica de carga libre, dada por (4.27). Entonces:

∇2V = −

ρεo

1 +1− ke

ke

= −

ρεo

ke +1− ke

ke

= −

ρεo

1ke

= −

ρεo

εo

ε

= −

ρε

∇2V = −

ρε

(4.41)

De nuevo, notamos que si tenemos un medio LIH, las expresiones matemáticas para elcampo y el potencial son isomórficas a las del espacio libre, y sólo debemos substituir elvalor adecuado de la permitividad dieléctrica del medio.

4.15 RESUMEN

Los materiales dieléctricos no tienen cargas libres. Los electrones en un material dieléctricoestán fuertemente unidos a los átomos y se requiere de mucha energía para removerlos, oionizar a los átomos que lo componen. Al colocar un dieléctrico en un campo eléctricoexterno, los portadores de carga fijos tratan de moverse con o contra el campo, pero sinsepararse de sus átomos a menos que el campo sea muy intenso. Sin embargo, el campoproduce un alineamiento de la carga, lo que nos permite modelar al dieléctrico como unaasociación de pequeños momentos dipolares.

Un dipolo eléctrico experimenta un torque en un campo eléctrico, que tiende a alinearlo conel campo:

N = p × E

En el caso general, un material se polariza más facilmente en una dirección que otra, y por lotanto el momento dipolar inducido será distinto en cada una de las direcciones. Esto se

Murphy 167————————————————————————————————————————————


puede expresar:

p =px

py

pz

=α xx αxy αxz

α yx αyy αyz

αzx αzy αzz

Ex

Ey

Ez

Las 9 αij forman el tensor de polarizabilidad del material. Para materiales lineales (lapolarización sólo depende de la primera potencia del campo), isotrópicos (se ven iguales entodas direcciones) y homogéneos (sus propiedades eléctricas no dependen de la posición), elmomento dipolar es proporcional al campo:

p=αE

Algunos ejemplos de materiales LIH son: los gases diluidos, algunos líquidos, cristalescúbicos simples, y muchos sólidos amorfos.

La polarización se define como el momento dipolar por unidad de volumen:

P =

lim

∆τ→ 0

p∆τ

El potencial en un material dieléctrico polarizado se puede obtener de:

Vdip =

14πεo

P • ˆ ξ ξ2

dτ∫Para lo que es necesario conocer la forma de P. Alternativamente, se puede calcular de:

Vdip =1

4πεo

σ p

ξda∫ +

ρ p

ξdτ∫

Donde se definen la densidad superficial de carga de polarización:

σ p = P• ˆ n

Y la densidad volumétrica de carga de polarización:

ρp = −∇• P

El campo macroscópico dentro de un dieléctrico, que es el promedio espacial y temporal delcampo microscópico, se calcula de estas densidades de carga:

168 Murphy————————————————————————————————————————————


E(P) =1

4πεo

σ p

ξ2da ˆ ξ ∫ +

ρ p

ξ2dτ ˆ ξ ∫

La Ley de Gauss relaciona la densidad de campo eléctrico, definida como el vectordesplazamiento, a la densidad volumétrica de carga libre:

En forma integral:

D • da∫ = Qenc = ρdτ∫

Y en forma diferencial:

∇• D = ρ

Donde el D se define por:

D = εoE + P

Esta forma de la Ley de Gauss también se conoce como la primera de las cuatro ecuacionesde Maxwell.

Podemos usar la Ley de Gauss en forma integral para encontrar el vector desplazamientosiempre y cuando cumpla con condiciones de simetría similares a las del Capítulo 2:

1) D debe ser o normal o tangencial a la superficie en cualquier punto. Estacondición implica que debemos conocer la dirección de D a priori.

2) D debe ser constante en la superficie gaussiana usada.

En el caso general, P no tiene la misma dirección que E, y por lo tanto D tendrá unadirección distinta a E y P. Para los dieléctricos LIH, la polarización es proporcional alcampo, y por lo tanto tiene la misma dirección (y entonces también D):

P = εoχeE

D = εoE + P = εo(1 + χe)E = εE

Donde la constante χe es la susceptibilidad eléctrica del medio (para el espacio libre, χeo=0),

y ε es la permitividad dieléctrica del material, definida por:

Murphy 169————————————————————————————————————————————


ε = εo(1+χe)

También podemos definir la permitividad relativa o constante dieléctrica:

ke =1 + χe =

εεo

Un capacitor es un dispositivo que almacena energía al mantener un campo eléctrico en unaregión. La capacitancia se define por:

C =

ε E• da∫E •dl

+

−

∫Para un capacitor de placas paralelas, la capacitancia está dada por:

C = εo

Ad

Este resultado sólo depende de la geometría del capacitor, por lo que será distinto paracapacitores de otro tipo (cilíndrico, esférico, etc.).

Podemos aumentar la capacitancia poniendo un dieléctrico LIH entre las placas.

Ce = keC

El campo eléctrico cerca de los bordes de un capacitor no es uniforme, por lo que un dipoloexperimenta una fuerza hacia la región de campo uniforme. Para un dieléctrico LIH, lafuerza por unidad de volumen es:

f =

12

εoχe∇E2

La energía (trabajo) está relacionada al campo eléctrico y al vector Desplazamiento:

W =

12

D• Edτ∫

170 Murphy————————————————————————————————————————————


La densidad de energía es:

u =

12

D• E

Y si estamos en el espacio libre:

D = εoE

u =

12

εoE2

La energía almacenada se puede también expresar:

W =

12

CV2 =12

QV =12

Q2

C

Al cambiar de medio, el campo y D están sujetos a condiciones de frontera. Estas son:

Las componentes tangenciales del campo eléctrico son siempre continuas:

E1t = E2 t

Mientras que las componentes normales del Vector Desplazamiento son discontinuas siexiste una densidad superficial de carga libre en la interfaz:

D2n − D1n = σ

Si la densidad superficial de carga libre es cero, la componente normal de D es continua:

D1n = D2n

Si los medios son LIH:

ε2E2n − ε1E1n = σ

Y si la densidad superficial de carga libre es cero:

E1n

E2n=

ε2

ε1

Y las componentes normales del campo eléctrico son siempre discontinuas al cambiar demedio. En términos del potencial esto es:

Murphy 171————————————————————————————————————————————


ε1∂

∂nV1 −ε 2

∂∂n

V2

entrecara

= −σ

Y si σ = 0:

ε2∂

∂nV2

entrecara

=ε 1∂

∂nV1

entrecara

Para un dieléctrico LIH, la ecuación de Poisson se transforma a:

∇2V = −

ρε

Siempre y cuando tengamos un medio LIH, podemos aplicar las mismas técnicas que en losCapítulos 2 y 3 para encontrar el potencial y de allí el campo y las ecuaciones demovimiento; sólo debemos reemplazar la permitividad del espacio libre por la permitividaddel medio.

La conclusión principal de estos primeros cuatro capítulos son las dos primeras ecuacionesde Maxwell, para el caso estático:

∇• D = ρ ∇× E = 0

4.16 EJERCICIOS

4.1 Calcule el campo eléctrico necesario para separar el electrón del protón en un átomode hidrógeno usando el modelo de Bohr.

4.2 Un cascarón esférico de radio R tiene densidad superficial de carga σ=σocosθ, donde

σo es una constante con las unidades apropiadas. a) Calcule el momento dipolar de esta distribución.b) Encuentre el potencial fuera del cascarón. c) Comente.

4.3 Una esfera de de radio “R”, hecha de material dieléctrico LIH de permitividad ε tienepolarización P = λorˆ r donde λo es una constante con las unidades apropiadas,como se muestra en la Figura 4.14.a) Determine las densidades de carga de polarización.b) Calcule el potencial afuera de la distribución.

172 Murphy————————————————————————————————————————————


z

y

x

εR

P

Figura 4.14

4.4 Un cilindro de longitud “l” y radio “R” tiene polarización permanente P = Poˆ k ,

donde Po es una constante con las unidades apropiadas. Encuentre el campoeléctrico dentro y fuera del cilindro.

4.5 Demuestre que la carga de polarización se suma siempre a cero.

4.6 a) Calcule el campo eléctrico en el óxido del capacitor MOS del Ejemplo 33suponiendo que el voltaje aplicado a la compuerta es de 3.3V, que el substrato semantiene a potencial cero y que el espesor del óxido es tox=100Å.b) Repita el inciso anterior considerando tox=35Å

4.7 Un capacitor esférico se hace con una esfera conductora de radio “a” rodeada de otroconductor en forma de cascarón esférico de radio “b”. Si la región entre la esfera y elcascarón se llena con un dieléctrico LIH de permitividad ε:a) Calcule la capacitancia del sistema.b) Calcule el valor numérico de la capacitancia para el caso particular:a=6,000 Kmb=6,100 Kmε=εo

4.8 Analice la forma general de la ecuación de Poisson para medios no LIH (4.40) ydiscuta sobre las dificultades que presenta para resolverla.

4.9 En relación a la Figura 4.13 (pp. 159), suponga que ambos medios son LIH y que ladensidad de carga libre en la entrecara es cero. Exprese los ángulos α y β en términosde las permitividades de los medios.

4 el campo elÉctrico en materiales … · 4 el campo elÉctrico en materiales dielÉctricos ......

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