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XVI Encuentro Departamental de Matemáticas: “La innovación en el proceso docente educativo en
Matemáticas a partir de diferentes medios de aprendizaje” y I Encuentro Departamental de GeoGebra
Conjugan los dos anteriores
Excelente visualización
Manipulación de software
Exactitud en la ubicación de los puntos notables
Puede partir de conocer la longitud de los lados
Netamente intuitivos.
Inexactitud de los instrumentos
Imprecisión del dibujante
Datos exactos
Ubicación en el plano cartesiano de los
vértices del triángulo
Uso de la geometría analítica (puntos
medios, pendientes, ecuaciones de rectas y
puntos de intersección)
Requiere gran desempeño matemático y
cálculos diversos.
Difícilmente se parte de conocer las
longitudes del triángulo
MÉTODO SINTÉTICO
Netamente intuitivos.
Inexactitud de los instrumentos
Imprecisión del dibujante
MÉTODO ANALÍTICO
Datos exactos
Ubicación en el plano cartesiano de los vértices del triángulo
Uso de la geometría analítica (puntos medios, pendientes,
ecuaciones de rectas y puntos de intersección)
Requiere gran desempeño matemático y cálculos diversos.
Difícilmente se parte de conocer las longitudes del triángulo
Conjugan los dos anteriores
Excelente visualización
Manipulación de software
Exactitud en la ubicación de los puntos notables
Puede partir de conocer la longitud de los lados
MÉTODO DINÁMICO
LÍNEAS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: es la recta, o parte de recta, que divide a un ángulo en otros dos ángulos congruentes entre sí.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO: es la recta, o parte de recta, que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a éste, es decir, que divide a un segmento de recta en otros dos, congruentes entre sí.
MEDIANA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
ALTURA DE UN TRIÁNGULO: es el segmento de recta que va desde un vértice hasta el lado opuesto o su prolongación y es perpendicular a éste.
TEOREMAS SOBRE CONCURRENCIA DE LÍNEAS NOTABLES Las mediatrices de los tres lados de un triángulo concurren en un punto que
equidista de los tres vértices, al cual se les denomina CIRCUNCENTRO Las alturas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina
ORTOCENTRO . Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo concurren en un punto
que equidista de los lados, al cual se les denomina INCENTRO Las medianas de un triángulo concurren en un punto, al cual se les denomina
GRAVICENTRO o BARICENTRO, cuya distancia a cada vértice es dos tercios de la medida de la respectiva mediana
El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo (tangente a los lados del triángulo), por lo tanto, el segmento perpendicular, que une el incentro con uno de los lados del triángulo, es el radio de la circunferencia inscrita.
El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo (que pasa por los vértices del triángulo), por lo tanto, el segmento que une el circuncentro con uno de los vértices del triángulo es el radio de la circunferencia circunscrita.
En todo triángulo el ortocentro, el gravicentro y el circuncentro son puntos colineales (están sobre una misma línea recta- la recta de EULER-).
TEOREMA DE COLINEALIDAD DEL ORTOCENTRO, EL GRAVICENTRO Y EL CIRCUNCENTRO
En un triángulo no equilátero, el gravicentro está distante del circuncentro un tercio de la longitud entre el circuncentro y el ortocentro.
TEOREMA DE LAS RAZONES EN EL SEGMENTO DE EULER
DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS NOTABLES RESPECTO DE UN TRIÁNGULO, CON BASE TRIGONOMÉTRICA
Se parte de la ubicación de los puntos notables respecto de un triángulo, con base trigonométrica, llevando a cabo todo un proceso demostrativo basado en teoremas del triángulo y fórmulas analíticas.
)0,0(B )0,(aC ),cos( csencA
cos222 accab
Al establecer un sistema coordenado con origen en el vértice B, cuyas distancias se consideran positivas hacia la derecha y hacia arriba de B, y negativas hacia abajo y hacia la izquierda de B, se tiene que las coordenadas de los vértices del son:
cba
acseny
cba
acx
)cos1(
cos2,
cos2
)cos1(),(
2222 accaca
acsen
accaca
acIyxI
cba
ahr
COORDENADAS DEL INCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
3
APLP
3
cseny
3
coscax
3,
3
cos),(
csencaGyxG
COORDENADAS DEL GRAVICENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
2
ax
sen
acy
2
cos
sen
acaCyxC
2
cos,
2),(
COORDENADAS DEL CIRCUNCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
tan
cos,cos),(
cacOyxO
COORDENADAS DEL ORTOCENTRO CON BASE TRIGONOMÉTRICA
tan
coscay
coscx
COORDENADAS DE LOS PUNTOS NOTABLES EN TÉRMINOS DE LA LONGITUD DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO. Se parte de las fórmulas con base trigonométricas obtenidas previamente y considerando que cos2222 acacb
ac
bac
2cos
222
2222
2
2cos
ac
bac
2222
2
21
ac
bacsen
2222
21
ac
bacsen
)(2
)(4,
2
222222
,,cba
baccabcaI cba
a
bacca
a
bcaG cba
6
)(4,
6
3222222222
,,
222222
222
,,
)(42
)(,
2 bacca
abcaaC cba
Así:
de donde:
222222
222222222
,,
)(42
))((,
2 baccaa
bcacba
a
bcaO cba
DISTANCIAS ENTRE PUNTOS NOTABLES CON BASE TRIGONOMÉTRICA Para determinar la distancia entre puntos notables, se parte de considerar las coordenadas de dichos puntos y aplicar la fórmula de la distancia, en un sistema coordenado,
322222 cos8cos)(8cos10)(
2
1),( accaacca
senOCd
322222 cos8cos)(8cos10)(
3
1),( accaacca
senOGd
Se puede entonces determinar que
),(3
2),( OCdOGd
Al determinar la distancia entre el circuncentro y cada uno de los vértices del triángulo , y , es decir, el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo, se tiene que:
Lo cual lleva a Como la coordenada del incentro corresponde a la distancia desde este hasta lado a , se tiene que ésta distancia corresponde al radio de la circunferencia inscrita, esto es:
sen
acaC
2
cos,
2
),cos( csencA )0,0(B )0,(aC
22
2
cos
2cos),(
sen
accsen
acACd
sen
bACd
2),(
cos222 accaca
acsenri
Haciendo los correspondientes reemplazos en las fórmulas obtenidas para los puntos notables, con base trigonométrica, se tiene que:
La distancia entre el gravicentro y el circuncentro
El radio de la circunferencia circunscrita
El radio de la circunferencia inscrita
222222 )(4 bacca
abcrc
EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO DESCARTES.
EJEMPLIFICACIÓN CON EL PROGRAMA DINÁMICO GEOGEBRA.
BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA: ORTIZ ALZATE, HERNÁN DARIO (2010): “Determinación de los puntos notables de un triángulo en términos de sus lados” en CEID ADIDA. LECCIONES DE MATEMÁTICAS NÚMERO CUATRO. PP. 17 – 26. http://herdaror.blogspot.com/ http://es.scribd.com/doc/39824995/Determinacion-de-los-Puntos-Notables-de-un-Triangulo-en-Terminos-de-sus-Lados http://elimeceid.ning.com/profiles/blog/list