8/18/2019 DESARROLLO EJERCICIO COLABORATIVO

1/4

Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se le aplica

una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las uer!as de

amortiguaci"n o e#ternas que puedan estar presentes, determine la ecuaci"n de movimiento de la

masa junto con su amplitud, periodo y recuencia natural. $u%nto tiempo transcurre desde que se

suelta la masa hasta que pasa por la posici"n de equilibrio&

SOLUCION

$omo es un caso de movimiento sin amortiguaci"n, la ecuaci"n dierencial es'

d2 x

d2t + k 

m x=0

(a ecuaci"n caracter)stica es'

r2+ k m x=0

De modo que'

r2=−k 

m

*ntonces'

r=  −k m

r=±√ k 

mi

(a ecuaci"n de movimiento es de la orma'

 x (t )=C 1cos(√  k m t )+C 2 sen(√ k m t )

+abemos que

mg=4

l=3 pulgadas=0.25 pies

*mpleando la ley de oo-e'

 F =kl

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2/4

*ntonces'

4=k (0.25)

or lo tanto'

k =16  lb

 pie

or otra parte, como'

g=32  pie

seg2

mg=4

+e tiene que'

m=  4

32=1

8

or lo tanto'

√ k 

m=

√16

1

8

=8√ 2

(uego la ecuaci"n de movimiento es' x (t )=C 1cos (8√ 2 t )+C 2 sen (8 √ 2 t )

y

 x' ( t )=−(8 √ 2 t )+C 1 sen (8√ 2 t )+(8√ 2 t )+C 2 cos (8√ 2t )

$omo las condiciones iniciales son'

 x (0 )=6 pulgadas=0.5 pie

 x ' (0 )=

√2  pieseg

+e tiene

0.5= x (0)=C 1cos (0 t )+C 

2sen(0 t )

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3/4

0.5=C 1

C 1=1

2

'

√ 2=¿ x' (0 )=−(8√ 2 t )C 1 sen (0 t )+(8√ 2 t )C 2cos (0t )

¿

2=¿ (8√ 2 )C 2√ ¿

C 2=1

8

*ntonces la ecuaci"n de movimiento es'

 x (t )=1

2cos (8 √ 2 t )+

1

8sen (8√ 2 t )

ara e#presar la soluci"n en orma senoidal, hacemos'

 A=√ C 12+C 

2

2

 A=

√(12)2+(1

8)2

 A=√17

8

tan (∅ )=C 

1

C 2

=

1

2

1

8

=8

2=4

*ntonces'

8√ 2 t +∅

 x (t )=√ 17

8sen¿

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4/4

$on ∅=arctan (4 )=1.326

or lo tanto'

(a amplitud es

 A=√17

8

*l periodo es'

T =2π 

8√ 2=

π 

4 √ 2

la recuencia natural'

f =4√ 2

π 

0inalmente, el tiempo que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posici"n

de equilibrio es'

8√ 2t +∅=π 

t =π −∅

8√ 2

t =0.16042