DERIVANDO INTEGRALES E INTEGRANDO LA DERIVADA…

CALCULO INTEGRAL

ESTE TEMA ES INTERESANTE, YA QUE HAY FUNCIONES QUE DERIVAMOS O INTEGRAMOS PERO ¿QUE PASARÍA SI DERIVAMOS DENTRO DE UNA INTEGRAL Y VICEVERSA?.

HAY VARIOS TIPOS DE CASOS EN QUE SE DERIVA CUANDO ESTÁ INTEGRANDO A LA VEZ, CUANDO LA INTEGRAL ESTA DEFINIDA Y CUANDO NO LO ESTÁ Y HACIENDOLO DE UN MODO Y VICEVERSA.

VEAMOS LOS CASOS…

1er CASO: CUANDO SE DERIVA EN UNA INTEGRAL INDEFINIDA…

𝑑

𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑥

1

3𝑥3 + 𝐶

=𝑑

𝑑𝑥

1

3𝑥3 +

𝑑

𝑑𝑥𝐶

=3

3𝑥2 + 0 = 𝑥2

𝑑

𝑑𝑥

1

𝑥2+1𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝐶

=𝑑

𝑑𝑥𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 +

𝑑

𝑑𝑥𝐶

=1

𝑥2+1+ 0 =

1

𝑥2+1

2do. CASO: CUANDO SE DERIVA EN UNA INTEGRAL DEFINIDA…

𝑑

𝑑𝑥 0𝑥𝑥3𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑥

1

4𝑥4 − 04

=𝑑

𝑑𝑥

1

4𝑥4

=4

4𝑥3 = 𝑥3

𝑑

𝑑𝑥 −𝑥0𝑥3𝑑𝑥

=𝑑

𝑑𝑥04 −

1

4𝑥4

=𝑑

𝑑𝑥−

1

4𝑥4

= −4

4𝑥3 = −𝑥3

3er CASO: CUANDO SE DERIVA CON LA INTEGRAL DEFINIDA EN LA EXISTENCIA DE PARAMETROS…

𝑑

𝑑𝑥 0𝑥𝑡3𝑑𝑡

𝑓(𝑥) = 0𝑥𝑡3𝑑𝑡 y 𝑔(𝑥) = 𝑥

=𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 ×

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑔 𝑥 ×

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥

= 0𝑥𝑡3𝑑𝑡

𝑑

𝑑𝑥𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥

1

4𝑥4 − 0 ×

𝑑

𝑑𝑥𝑥 = 𝑥3 1

= 𝑥3

𝑑

𝑑𝑥 1𝑥3sen 𝑡2 𝑑𝑡

𝑓(𝑥) = 1𝑥sen 𝑡2 𝑑𝑡 y 𝑔(𝑥) = 𝑥3

=𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑜 𝑔 𝑥 ×

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥𝑓 𝑔 𝑥 ×

𝑑

𝑑𝑥𝑔 𝑥

=𝑑

𝑑𝑥 1𝑥3sen 𝑡2 𝑑𝑡

𝑑

𝑑𝑥𝑥3 = [sen(𝑥3)2] × 3𝑥2

= 3𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥6

4to CASO: CUANDO INTEGRAMOS INDEFINIDAMENTE EN UNA DERIVADA

𝑑

𝑑𝑥𝑥4 𝑑𝑥

= 4 𝑥3 𝑑𝑥

= 𝑥4 + 𝐶

𝑑

𝑑𝑥csc(𝑥) 𝑑𝑥

= − csc 𝑥 𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥

= csc 𝑥 + 𝐶

5to CASO: CUANDO INTEGRAMOS DEFINIDAMENTE EN UNA DERIVADA

−𝑥0 𝑑

𝑑𝑥𝑥9 𝑑𝑥

= 9 −𝑥0𝑥8 𝑑𝑥

= 09 − −𝑥 9

= 𝑥9

6to CASO: CUANDO INTEGRAMOS DEFINIDAMENTE EN LA EXISTENCIA DE PARAMETROS U OTROS CARACTERES…

−𝑡0 𝑑

𝑑𝑥𝑥5 𝑑𝑡

= 5 −𝑡0𝑥4 𝑑t

= 5𝑥4 0 − (−𝑡)

= 5𝑥4𝑡

0𝑥 𝑑

𝑑𝑡𝑡6 𝑑𝑡

= 6 0𝑥𝑡5 𝑑t

= 𝑥6

CONCLUSIONES1. EN OCASIONES CUANDO DERIVAMOS EN UNA INTEGRAL INDEFINIDA SOLO BASTA CON

REANOTAR EL RESULTADO DE LA FUNCIÓN, YA QUE OBTENEMOS EL MISMO RESULTADO. AHORA EN EL CASO DE LA INTEGRAL DEFINIDA ES CUESTION DE OBSERVAR QUE LETRA O VARIABLE CAMBIA AL MOMENTO DE EVALUARLA CON SUS LIMITES Y VER SI ES NEGATIVO O POSITIVO YA AL LLEGAR NUESTRO RESULTADO FINAL.

2. EN EL 3er CASO, CUANDO SE MANEJAN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SOLO EXTRAEMOS LO QUE ES ESA FUNCIÓN Y ESCRIBIMOS LA LETRA O VARIABLE QUE MARCA EN EL(LOS) LIMITES DE LA INTEGRAL DEFINIDA (COMO SE OBSERVÓ EN EL CASO DEL sen 𝑡2 Y SE OBTUVO sen 𝑥6) Y DERIVAMOS ESA FUNCION QUE TIENE DENTRO DE LA FUNCION TRIGONOMETRICA YA EVALUADA INTEGRALMENTE (ES DECIR 𝑥3 Y SU DERIVADA ES 3𝑥2). ESTO TAMBIEN OCURRE CON LAS INVERSAS TRIGONOMETRICAS, LAS HIPERBOLICAS E INVERSAS HIPERBOLICAS.

BIBLIOGRAFIA

AGUILAR, Gerardo y Castro, Jaime, “PROBLEMARIOS DE CÁLCULO INTEGRAL”, 1ra edición, División Iberoamericana, Julio 2003, págs. 36-37.