I.T.TelecomunicacionesCurso2000/2001 DPTO. MATEMTICA APLICADA Javier Martnez del Castillo Tema 2Pg. 1 de 20 Tema 2: Derivacin de funciones reales. Aplicaciones 1.Derivada de una funcin en un punto. Definicin: Seaf D : una funcin y seaa D . Llamamos derivada de la funciny f x ( )en el puntox a , ylo representamos por f a ( ) , al valor del siguiente lmite (si existe) : + + + f a LimyxLimf a h f aa h aLimf a h f ahh h h( )( ) ( )( )( ) ( )0 0 0 Observaciones: a)La derivada de una funcin en un punto es un nmero. b)Tambin nos podemos encontrarcon la siguiente definicin equivalente de derivada : f a Limf x f ax ax a( )( ) ( )

2.Interpretacin geomtrica. Tangencia. Consideremos la funciny f x ( ) , tomemos dos puntos( ) Aa f a , ( )y( ) Ba h f a h + + , ( )de dicha funcin y tracemos la recta s y m x bs +que pasa por dichos dos puntos. Mirando el dibujo se observa que : La rectases secante a la funcin y f x ( ) . La pendiente de la rectases : mf a h f aa h af a h f ahyxs + + + tg( ) ( )( )( ) ( ) Entonces,cuandox h 0,tenemosqueelpuntoBtiendeaconvertirseenelpuntoA,yportanto,la recta secantestiende a convertirse en la recta tangente a la funciny f x ( )en el punto A.Es decir : Limm Lim Limf a h f ahf a mhsh hr + 0 0 0tg( ) ( )( ) tg Entonces : Limm m Limhs rh 0 0tg tg . Con lo que tenemos que la interpretacin geomtrica es la siguiente : Laderivadadeunafunciny f x ( ) enunpuntox a , f a ( ) ,coincideconlapendientedelarecta tangente a la funcin en dicho punto, es decir : f a mr( ) tg I.T.TelecomunicacionesCurso2000/2001 DPTO. MATEMTICA APLICADA Javier Martnez del Castillo Tema 2Pg. 2 de 20 Por lo tanto, como sabemos que la ecuacin punto-pendiente en un punto( , ) x y0 0 es :y y mx x 0 0( ) , podemos expresar la ecuacin de la recta tangente a la funcin en el puntox a como : f x f a f a x a ( ) ( ) ( ) ( ) Es decir : La ecuacin de la recta tangente a la funciny f x ( )en un puntox a , es la recta que pasa por el punto( ) a f a , ( )y que tiene por pendiente la derivada de la funcin en el puntox a . Adems, f a ( ) midelarapidezdevariacindelafuncin,esdecir,laproporcinentreloquevariala variable dependiente (y) y la independiente (x), cerca del puntox a . Ejemplo 1: Seay f x x ( )2. a)Calcularlapendientedelarectatangenteenelpuntox 3,yescribirlaecuacindelarecta tangente en dicho punto. b)Anlogo para la recta normal. Observaciones:a)Laaplicacindelconceptodederivadaesmuyimportante,yaqueporejemplovdsdt advdt . b)Si f a ( )existe, entonces diremos que f es derivable enx a . Definicin: Decimos que una funcin es derivable, si lo es en cada punto de su dominio. Entonces podemos definir la funcin : f Df: Esta funcin recibe el nombre de funcin derivada, y asocia a cada punto su derivada (un nmero). Teorema: Consideremos una funcinf y seaa Df . Entonces : Sifes derivable en a f es continua en as Observacin: El recproco no es cierto. Es decir, el hecho de que una funcin sea continua en un punto no implica que tenga que ser derivable en dicho punto. Ejemplo2:Seaf x xx si xx si x( )